Mat porcentagem juros simples

1. Porcentagem e juros simples



Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf


Sumário Página
Porcentagem.................................................................................................................... 1
Resolvendo problemas com porcentagem................................................................ 3
Juros ................................................................................................................................ 5
Juros simples ............................................................................................................ 6
Referências bibliográficas............................................................................................... 9

2. 1
PORCENTAGEM E JUROS SIMPLES

Porcentagem
Praticamente todos os dias você vê na televisão ou lê nos jornais alguma coisa
relacionada com a expressão por cento.
A expressão por cento vem do latim per centum, que quer dizer por um cento.
Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como “Grande liquidação de
verão na loja X: 40 por cento de desconto em todos os artigos”, significa que
você tem um desconto de R$ 40,00 para cada R$ 100,00 do preço de um artigo.
Isso nos leva, então, a estabelecer a razão
100
40
.
Toda razão
b
a
, na qual b = 100, chama-se
taxa de porcentagem.
Assim, 40 por cento é o mesmo que
100
40
.
Em lugar da expressão por cento, podemos usar o símbolo %.
Assim, 40 por cento ou
100
40
é igual a 40%.
OBS: Uma razão
b
a
, com b
¹ 100, também pode ser escrita na forma de %.

Exemplos:
a) Escrever
2
1
na forma de porcentagem.
Resolução:
Vamos escrever uma razão equivalente à razão dada e que tenha denominador
100.
%50
100
50
502
501
2
1
==
×
×
=

3. 2
b) Um desconto de 7 mil reais sobre um preço de 25 mil reais representa
quantos por cento de desconto?
Resolução:
ou ou
Usando regra de três simples:
Porcentagem
(%)
Preço
(R$)
100 25
x 7
%28
25
700
70025
100725
7
25100
=
=
=
×=
=
x
x
x
x
x

Usando razões
equivalentes
razão inicial:
25
7

%28
100
28
425
47
25
7
==
×
×
=

%28
74
7
4
725
100
=
×=
=
=×
x
x
x
x






Uma quantia expressa em porcentagem pode também ser escrita na forma
decimal. Observe:
·
51,001,051
100
51
%51
=×==
·
072,001,02,7
100
2,7
%2,7
=×==
·
1628,001,028,16
100
28,16
%28,16
=×==

4. 3
Resolvendo problemas com porcentagem
Consideremos as seguintes situações:
1ª) Em um jogo de basquete, Oscar cobrou 20 lances livres, dos quais acertou
65%. Quantos lances livres ele acertou?
Resolução:
Este problema se resume em calcular 65% de 20.
13
20
100
65
20 de %65
=
×=
=
x
x
x

Portanto, Oscar acertou 13 lances livres.

2ª) Durante o ano de 2007, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais
venceu 63. Qual é a taxa de porcentagem correspondente aos jogos que essa
equipe venceu?
Resolução:
Vamos indicar por
x o número que representa essa porcentagem. De acordo com
o problema, podemos escrever:
%84
3
252
2523
6343
63
4
3
63
25:100
25:75
6375
100
=
=
=
×=
=
=×
=×
x
x
x
x
x
x
x

Portanto, a equipe venceu 84% dos jogos.

5. 4
3ª) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei, então, R$
76,50 por ele. Nessas condições, qual era o preço original desse objeto?
Resolução:
Como obtive um desconto de 15%, paguei o correspond ente a
%85%15%100 =- do objeto. Indicando por x o preço original do objeto,
podemos escrever:
90
17
1530
153017
5,762017
5,76
20
17
5,76
100
85
50,76
100
85
=
=
=
×=
=
=
=×
x
x
x
x
x
x
x
ou
90
17
1530
153017
5,762017
5,76
100
17
5,76
100
85
5,76
100
15100
50,76
100
15
=
=
=
×=
=
=
=
-
=×-
x
x
x
x
x
x
xx
xx


Portanto, o preço original do objeto era R$ 90,00.

6. 5
EXERCÍCIOS A
(1) Calcule 41% de 54000 votos.
(2) A quantia de R$ 1143,00 representa quantos por cento de R$ 2540,00?
(3) Um aumento de R$ 486,00 sobre um preço de R$ 1350,00 representa quantos
por cento de aumento?
(4) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática.
Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?
(5) O preço de um produto é de R$ 420,00. O vendedor propõe a um comprador
as seguintes alternativas de pagamento:
Alternativa 1: pagamento à vista com 30% de desconto sobre o preço da tabela.
Alternativa 2: pagamento em 30 dias com acréscimo de 10% sobre o preço da
tabela.
Nessas condições, responda:
a) Se o pagamento for à vista, quanto será pago pelo produto?
b) Se o pagamento for em 30 dias, quanto se pagará pelo produto?
c) Qual a diferença entre essas quantias?
d) Ela representa quantos por cento do preço do produto?


Juros

Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a uma outra pessoa ou a um
banco, ela paga uma compensação em dinherio pelo tempo que fica com o
dinheiro emprestado.
Quando uma pessoa compra uma mercadoria a prestação, ela paga um acréscimo
pelo tempo correspondente ao número de prestações.
Quando uma pessoa aplica dinheiro em um banco, ela recebe uma compensação
pelo tempo em que está emprestando o dinheiro ao banco.

7. 6
Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo chama-se
juros e corresponde sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da
compra.
Assim, podemos dizer que:
Toda compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe pela quantia em
dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamada juros.

Juros simples
O regime de juros simples, é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o
capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais,
mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é muito
importante.
Quando falamos em juro simples, devemos considerar:
Capital (C): o dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado.
Taxa de juros (i): a taxa de porcentagem que se paga pelo aluguel do dinheiro.
Tempo (t): o tempo que transcorre durante o empréstimo.
Juros (J): juros produzidos depois de t períodos, do capital C aplicado a uma
taxa de juros, por período, igual a i.
Montante (M): o total que se paga no final do empréstimo (capital + juros)

Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial,
podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável:
tiCJ ××=
No final de t períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial C
adicionado aos juros J produzidos no período. O capital inicial adicionado aos
juros do período é denominado MONTANTE (M).

8. 7
Exemplos:

a) Um aparelho eletrônico custa R$ 620,00 à vista. Em 5 prestações mensais, o
preço passa a ser de R$ 868,00. Sabendo-se que a diferença entre os preços é
devida ao juro, qual é a taxa de juros cobrada ao mês por essa loja?
Resolução:
Devemos marcar os nossos dados:

C = R$ 620,00
t = 5 meses
M = R$ 868,00
J = R$ 868,00 - R$ 620,00 = R$ 248,00
i = ?

Então, aplicando a fórmula, temos:
%8
100
8
i
0,08 i
3100
248
i
248i3100
i3100248
5i620248
tiCJ
==
=
=
=
=
××=
××=

Portanto, a taxa é de 8% ao mês.

9. 8
b) Uma aplicação feita durante 2 anos, a uma taxa de 18% ao ano, rendeu
R$ 1800,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada?
Resolução:
Devemos marcar os nossos dados:

t = 2 anos
i = 18% = 18,0
100
18
=
J = R$ 1800,00
C = ?

Então, aplicando a fórmula, temos:
5000 C
36,0
1800
C
8001C36,0
C36,01800
218,0C1800
tiCJ
=
=
=
=
××=
××=

Portanto, a quantia aplicada foi de R$ 5000,00.

10. 9
EXERCÍCIOS B
(1) Um agricultor fez um empréstimo de R$ 5200,00 e vai pagá-lo em 5 meses, a
uma taxa de 1,5% ao mês.
a) Qual a quantia de juros que o agricultor vai pagar por mês?
b) Após os 5 meses qual o total pago pelo agricultor?










(2) Uma loja colocou o anúncio de um liquidificador em um jornal. O anúncio
indicava o pagamento à vista de R$ 60,00 ou, após um prazo de 30 dias, de
R$ 69,00. Qual a taxa mensal de juros que essa loja está cobrando para
pagamento a prazo?

11. 10
Referências bibliográficas
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando
matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo:
Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
Paulo: Scipione, 2006.
KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em :
<http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 7 de outubro de 2008.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.