MAT150-U2-2 Diferencial total-Derivada total.pdf

fbb

1. CÁLCULO II
Unidad 2: Derivación de funciones de más de una
variable independiente
Amelia Mérida P.
Bibliografía principal
Haeussler, ErnestF. JR; Paul, Richard S.; Wood,
Richard J. (2015): Matemáticas para administración
y economía. Editorial Pearson, México. Capítulo 17.

2. Amelia Mérida P.
2
Contenido
2.1 Diferencial total
2.2 Derivada total

3. 2.1 Diferencial total
Sea z= f(x,y) una función para la cual las primeras derivadas
parciales, f
xy f
y, existen y las diferenciales de “x” y “y” son
??????�=∆��??????�=∆�,entonces la diferencial total de z es:
??????�=
??????�
??????�
.??????�+
??????�
??????�
.??????�
Ladiferencialtotalpermiteteneraproximacionesalcambio
quesepuedepresentarenlafunciónantecambiosentodassus
variables.
Por tanto, la suma de las diferenciales parciales de una función
es su diferencial total.
??????�
??????�
.??????�,
??????�
??????�
.??????�:reciben el nombre de diferenciales parciales
de “z” con respecto a “x” y “y”, respectivamente.

4. ??????�=
????????????
??????�
�
.??????�
�+
????????????
??????�
�
.??????�
�+
????????????
??????�
�
.??????�
�+⋯+
????????????
??????�
??????
.??????�
??????
2.1 Diferencial total
Continuación….
Generalizando:
La diferencial total de una función �=??????�
�,�
�,,�
�,….,�
??????es la
suma de sus diferenciales parciales:
??????�=
�=�
??????
????????????
??????�
�
??????�
�

5. Ejemplo 1
1. Si �=��
�
+���
�
-2�
�
, calcular la diferencial de z cuando
x=1, y=2, dx=-0,2, dy=0,3. Luego, interpretar el resultado.
Solución
??????�=���
�
+��
�
(−�,�)+����−�(�)
�
(�,�)
??????�=
??????�
??????�
.??????�+
??????�
??????�
.??????�
??????�=���
�
+��
�
??????�+����−��
�
??????�
??????�=��−�,�+−��,�=−�,�
Interpretación:
Si dz=-7,6 significa que: “z” disminuye 7,6 unidades debido a que “x”
disminuyó de 1 a 0,8 unidades, y “y” aumentó de 2 a 2,3.

6. Ejemplo 2
2. Si �=(�+�)�−�, calcular la diferencial de z cuando x=10,
y=6, dx=0,5, dy=-0,2. Luego, interpretar el resultado.
??????�=
??????�
??????�
.??????�+
??????�
??????�
.??????�, (1)
Solución:
�=(�+�)(�−�)
�
�, derivar como producto con respecto a “x”
•
??????�
??????�
=(�−�)
�
�+�+�.
�
�
(�−�)
−
�
�=(�−�)
�
�+
�+�
�(�−�)
�
�
??????�
??????�
=(��−�)
�
�+
��+�
�(��−�)
�
�
=�+
��
�
=6,(2)

7. Ejemplo 2
Interpretación:
Si dz=3,4 significa que: “z” aumenta 3,4 unidades debido a que “x” aumentó de 10
a 10,5 unidades, y “y” disminuyó de 6 a 5,8 unidades.
Si dz=3,4 cuando x=10, y=6, dx=0,5, dy=-0,2
•
??????�
??????�
=(�−�)
�
�+�+�.
�
�
(�−�)
−
�
�(−�)=�−�
�
�−
�+�
�(�−�)
�
�
??????�
??????�
=(��−�)
�
�−
��+�
�(��−�)
�
�
=�−
��
�
=-2,(3)
Sustituir (2) y (3) en (1):dz=6(0,5)+(-2)(-0,2)=3,4
�=(�+�)(�−�)
�
�,derivar como producto con respecto a ”y”
??????�=
??????�
??????�
.??????�+
??????�
??????�
.??????�, (1)
Continuación ….

8. Ejemplo 3
3.Uneditorestimaquesisegastan“x”milesdedólaresendesarrolloy“y”milesen
promoción,sevenderánaproximadamente??????=���
�
��ejemplaresdeunlibro.Los
planesactualesnecesitanelgastode36000dólaresendesarrolloy25000en
promoción.Useladiferencialtotalparaestimarelcambiodeventasqueresultarási
lacantidadgastadaendesarrolloseaumentaen500dólaresylacantidadgastadaen
promocióndisminuyeen500dólares.
Solución
??????=���
�
��Datos
x=36
y=25
dx=0,5
dy=-0,5
????????????=??????
�.??????�+??????
�.??????�,(�)
•??????
�=��.�
�
�=20.��
�
�=����,(�)
•??????
�=��.
�
�
�
�
��=���
�
��=��.��
�
�.��=����,(�)
dQ=4500(0,5)+4320(-0,5)=90
Respuesta: El número de ejemplares vendidos aumentará en 90 unidades al aumentar
el gasto en desarrollo en 500 dólares, de 36000 a 36500 dólares, y disminuir en 500
dólares el gasto en promoción, de 25000 a 24500 dólares.
Sustituir (2) y (3) en (1):

9. Siw=f(x,y,z)tienederivadasparcialescontinuas
??????�
??????�
,
??????�
??????�
,
??????�
??????�
en
algunaregiónyademás,x,y,zsonfuncionesdeotravariablet,
entonces:
2.2 Derivada total-Regla de la cadena
(funciones compuestas)
??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
ysediceque
??????�
??????�
esladerivadatotaldewconrespectoat.Demodoque
??????�
??????�
representalatasadecambio(orazóndecambiooritmodecambio)
dewamedidaquetcambia,ydehecho,esfuncióndetsolamente.
Generalmente a x, y, z se las conoce como variables intermedias.

10. Demanerasemejante,siw=f(x,y,z)dondetantox,y,zson
funcionesdiferenciablesderys,entonces:
2.2 Derivada total-Regla de la cadena
(funciones compuestas)
u
•
??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
Continuación ….
•
??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
Engeneral,siwesunafuncióndiferenciabledex
1,x
2,x
3,…..,x
ny
lasx
isonfuncionesdiferenciablesdeunsegundoconjuntode
variablesu
1,u
2,u
3,…,u
mentoncesladerivadaparcialdewcon
respectoaunavariabledelsegundoconjunto,porejemplo,u
j,
estádadapor:
??????�
??????��
=
??????�
??????�
�
.
??????�
�
??????��
+
??????�
??????�
�
.
??????�
�
??????��
+⋯+
??????�
??????�??????
.
??????�??????
??????��

11. Ejemplo 1
1. Si �=��+��, donde x=3t+5, y=t
2
+2t+1. Calcular
??????�
??????�
cuando t=1.
Luego, interpretar el resultado.
Solución ??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
, (1)
�=(��+��)
�
�
•
??????�
??????�
=
�
�
.��+��
−
�
�(2), sustituir “x” y “y”
??????�
??????�
=[�(��+�)+3(t
2
+2t+1)]
−
�
�, sustituir t=1
??????�
??????�
=[�(�(�)+�)+�((�)
�
+�(�)+�]
−
�
�
??????�
??????�
=[�(�)+�(�]
−
�
�=0,19 ; (2)

12. Ejemplo 1
1. Si �=��+��, donde x=3t+5, y=t
2
+2t+1. Calcular
??????�
??????�
cuando t=1
Solución
??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
�=(��+��)
�
�
•
??????�
??????�
=�;(�)
??????�
??????�
=
�
�
[�(��+�)+3(t
2
+2t+1)]
−
�
�, sustituir t=1
??????�
??????�
=
�
�
[�(�(�)+�)+�((�)
�
+�(�)+�]
−
�
�
??????�
??????�
=
�
�
[�(�)+�(�]
−
�
�=0,28 ; (4)
•
??????�
??????�
=
�
�
.��+��
−
�
�(3), sustituir “x” y “y”
Continuación …..

13. Ejemplo 1
1. Si �=��+��, donde x=3t+5, y=t
2
+2t+1. Calcular
??????�
??????�
cuando t=1
Solución
??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
; (1)
�=(��+��)
�
�
•
??????�
??????�
=2t+2, sustituir t=1
??????�
??????�
=2(1)+2,=4 ; (5)
Para obtener el valor de
??????�
??????�
sustituir (2), (3), (4) y (5) en (1):
??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
??????�
??????�
=(0,19)(3)+(0,28)(4)= 1,69
Continuación …..
Interpretación:
??????�
??????�
es la tasa de cambio de z con respecto a t. Por tanto, si
??????�
??????�
=�,��quiere decir que: z aumenta 1,69 unidades cuando t aumenta una
unidad, de 1 a 2 unidades.

14. Ejemplo 2
1. Si z= x
3
-xy+y
3
, donde x=rs, y=r
2
+s
2
. Calcular: a)
??????�
??????�
, b)
??????�
??????�
Solución
a)
??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
•
??????�
??????�
=��
�
−��+(−�+��
�
).(��), sustituir “x” y “y”
??????�
??????�
=�(��)
�
−(�
�
+�
�
)�+(−��+��
�
+�
��
)(��)
??????�
??????�
=��
�
�
�
−�
�
−�
�
�+(−��+�(�
�
+��
�
�
�
+�
�
)(��)
??????�
??????�
=��
�
�
�
−�
�
�−�
�
+(−��+��
�
+��
�
�
�
+��
�
)(��)
??????�
??????�
=��
�
�
�
−��
�
�−�
�
+6r
5
+12r
3
s
2
+6rs
4
??????�
??????�
=��
�
�
�
−�
�
�−�
�
−��
�
�+��
�
+���
�
�
�
+���
�
)

15. Ejemplo 2
1. Si z= x
3
-xy+y
3
, donde x=rs, y=r
2
+s
2
. Calcular: a)
??????�
??????�
, b)
??????�
??????�
Solución
b)
??????�
??????�
=
??????�
??????�
.
??????�
??????�
+
??????�
??????�
.
??????�
??????�
??????�
??????�
=�(��)
�
−(�
�
+�
�
)�+(−��+��
�
+�
��
).(��)
•
??????�
??????�
=��
�
−��+(−�+��
�
).(��), sustituir x, y
??????�
??????�
=��
�
�
�
−�
�
−�
�
�+(−��+��
�
+��
�
�
�
+�
�
).(��)
??????�
??????�
=3r
3
s
2
-r
3
-rs
2
+(-rs+3r
4
+6r
2
s
2
+3s
4
)(2s)
??????�
??????�
=3r
3
s
2
-r
3
-3rs
2
+6r
4
s+12r
2
s
3
+6s
5
??????�
??????�
=3r
3
s
2
-r
3
-rs
2
-2rs
2
+6r
4
s+12r
2
s
3
+6s
5
Continuación …..

16. Ejemplo 2
1. Si z= x
3
-xy+y
3
, donde x=rs, y=r
2
+s
2
. Calcular: a)
??????�
??????�
, b)
??????�
??????�
Solución
•
??????�
??????�
=3r
2
s
3
-3r
2
s-s
3
+3(r
2
+s
2
)
2
(2r)
OTRA ALTERNATIVA DE CÁLCULO: POR SUSTITUCIÓN DIRECTA (O
SUSTITUCIÓN PREVIA)
a)z= (rs)
3
-(rs)(r
2
+s
2
)+(r
2
+s
2
)
3
??????�
??????�
=3r
2
s
3
-3r
2
s-s
3
+6r( r
4
+2r
2
s
2
+s
4
)
z= r
3
s
3
-r
3
s-rs
3
+(r
2
+s
2
)
3
??????�
??????�
=3r
2
s
3
-3r
2
s-s
3
+6r
5
+12r
3
s
2
+6rs
4
Sustituir “x” y “y” en “z”:
Continuación …..

17. Ejemplo 2
1. Si z= x
3
-xy+y
3
, donde x=rs, y=r
2
+s
2
. Calcular: a)
??????�
??????�
, b)
??????�
??????�
Solución
•
??????�
??????�
=3r
3
s
2
-r
3
-3rs
2
+3(r
2
+s
2
)
2
(2s)
OTRA ALTERNATIVA DE CÁLCULO: POR SUSTITUCIÓN DIRECTA (O
SUSTITUCIÓN PREVIA)
b)z= (rs)
3
-(rs)(r
2
+s
2
)+(r
2
+s
2
)
3
z= r
3
s
3
-r
3
s-rs
3
+(r
2
+s
2
)
3
Sustituir “x”, “y” en “z”:
??????�
??????�
=3r
3
s
2
-r
3
-3rs
2
+6s(r
4
+2r
2
s
2
+s
4
)
??????�
??????�
=3r
3
s
2
-r
3
-3rs
2
+6sr
4
+12r
2
s
3
+6s
5
Continuación …..