mate_3171_p7_operaciones-con-funciones_prof.pptx

funciones

1. Operaciones sobre Funciones

2. Operaciones Aritméticas Dado dos funciones f y g , podemos combinarlos mediante operaciones comunes de aritmética como se ilustra :

3. Operaciones (cont . ) Notas : El dominio de f + g , etc. es la intersección , I, de los dominios de f y g … eso es , los numeros que son comunes a ambos dominios . En adici ón , e l dominio de es un subconjunto de I que consiste de todos los valores de x e n I tal que g ( x ) ≠ 0 .  

4. Ejemplo Sea . Describe el dominio de cada función.   El dominio de f es . El dominio de g es     La intersección de estos conjuntos es: Dom de f Dom de g  

5. Ejemplo Sea . Describe el dominio de cada función.   , dominio es dominio es   +        

6. Ejemplo (cont.) Sea . Describe el dominio de cada función.   dominio es =                  

7. Definición Se pueden combinar funciones para formar lo que se conoce como la composición de funciones . La función compuesta , f ◦ g , ( f compuesta con g ), se define ( f ◦ g )( x ) = f ( g ( x )) e implica evaluar f en g .

8. Funciones Compuestas El dominio de f ◦ g e s el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g ( x ) está e n el dominio de f . Se puede nombrar una composición ( g ◦ f )( x ) ó g ( f ( x )) (se lee “g con f”)

9. Funciones Compuestas (cont . ) Se ilustra f ◦ g con el diagrama :

10. Ejemplo Si f ( x ) = x 2 – 16 y entonces para cada n úmero real x ≥ 0 , mientras que para cada valor real, x            

11. Ejemplo Si f ( x ) = 3 x 2 + 6 y determinar f(g(x)) g(f(x))   = 3(x – 8) 2 + 6 = 3(x 2 -16x + 64) + 6 = 3x 2 – 48x + 192 + 6 = 3x 2 – 48x + 198 = (3 x 2 + 6 = 3 x 2 – 2  

12. Ejemplo – continuaci ón Si f ( x ) = 3 x 2 + 6 y determinar f(f(x)) g(g(-3))   = 3( 3 x 2 + 6 ) 2 + 6 = 3(9x 4 + 36x 2 + 36) + 6 = 27x 4 – 108x 2 + 108 + 6 = 27x 4 – 108x 2 + 114 g(-3) = ( -3 = - 11   g(-11) = (-11 = - 19   g(g(x)) = (x = x – 16 g(g(-3 )) = -3 – 16 = -19   ó

13. Ejemplo Si f ( x ) = x 2 – 5x + 3 y determinar f ( g (x)) g ( f (x)) = = x 4 - 10x 3 + 31x 2 - 30x + 9   = (x 2 ) 2 – 5(x 2 ) + 3 = x 4 – 5x 2 +3 f(f( -1)) = f (-1)= (-1) 2 – 5(-1) + 3 = 10 f(f( -1)) = f(10 )= (10) 2 – 5(10) + 3 = 53 ( x 2 – 5x + 3) 2

14. Ejemplo Se muestran valores de dos funciones f y g en la siguientes tablas. Hallar y

15. Ejemplo Se muestran las gráficas de dos funciones f y g. Determinar, si es posible, cada uno de los siguientes valores. (- 2) = g(f(-2)) Vemos que f(-2) = 2 . Ahora , buscamos g(2 ) = 1 b) (0) = g(f(0)) Vemos que f(0) = 0 . Ahora , buscamos g(0) = 3 c) (2 ) = f(g(2)) Vemos que g(2 ) = 1 . Ahora , buscamos f(1) = ½ d) (-5) = f(g(-5)) Vemos que g (-5) = 8. Ahora , buscamos f(8) = no está definido en la gráfica  

16. Descomponer funciones Algunas veces se quiere “ descomponer ” una función compuesta . Esto es , dada una función compuesta y = h ( x ) , queremos encontrar dos funciones , f y g tal que h ( x ) = f ( g ( x )) La descomposici ón de funciones no es única.

17. Descomponer funciones 1) f(x) = x 4 2) f(x)= 3)   g(x) =   h(x) = f(g(x)) g(x) =   h(x) = f(g(x)) f(x)=   g(x) =   f(x) =   g(x) =   h(x) = f(g(x)) f(x) =   g(x) =  

18. Ejemplos adicionales Operaciones con Funciones

19. Ejemplo Sea . Describe el dominio de cada función.   El dominio de g es . El dominio de f es: El conjunto de valores de x, tal que la expresión en el radicando produce un valor positivo o cero.    

20. Ejemplo Sea . Describe el dominio de cada función.   dominio de es dominio de es     + ,   - ( = -        

21. Ejemplo Sea . Describe el dominio de cada función.   dominio de es = dominio de excluye de [-2,2] los valores que hacen el denominador igual a cero. dominio de   ),     3x + 1 = 0, cuando   [-2, ]   ,  

22. Ejemplo Complete la tabla.

23. Ejemplo Complete la tabla.