Matemática - 2º ano - Matriz Inversa.pptx

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1. Matemática Ensino Médio, 2º Ano Matriz Inversa

2. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Noções iniciais No conjunto dos números reais, para todo a ≠ , existe um número b , denominado inverso de a , satisfazendo a condição: a.b = b.a =1 É bastante comum indicarmos o inverso de a por ou a -1 . Exemplo:

3. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Definição Uma matriz A , quadrada de ordem n , diz-se invertível se, e somente se, existir uma matriz B , quadrada de ordem n , tal que: Em que I n é a matriz identidade de ordem n e B é denominada inversa de A e indicada por A -1 .

4. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 1: Verifique que a matriz é a inversa da matriz . Como A · B = B · A = I 2 , a matriz B é a inversa de A , isto é , B = A -1 .

5. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Para verificar se uma matriz quadrada é ou não invertível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa, apresentaremos, a seguir, um processo baseado na definição de matriz inversa e na resolução de sistemas lineares. Quando uma matriz é invertível, dizemos que ela é uma matriz não singular, caso contrário, será uma matriz singular. Observações:

6. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 2: Vamos encontrar, se existir, a inversa de . Devemos verificar se existe , tal que A . A -1 = I n . Logo:

7. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 2 (continuação ): Do conceito de igualdade, seguem os sistemas : , cuja solução é a = 2 e c = -5/2 , cuja solução é b = -1 e c = 3/2 Então, É fácil ver que A -1 . A = I n também está satisfeita.

8. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 3: Vamos encontrar, se existir, a inversa de . Fazendo A.A -1 = I n , temos : Logo:

9. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 4: Com o primeiro sistema não admitindo solução, já seria possível concluir que não existe a inversa de A (O segundo sistema também não admitiu solução). . .(-2) .(-2) Resolvendo os sistemas pelo método da adição, temos: (Impossível) (Impossível)

10. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa O processo apresentado nos exemplos anteriores, apesar do grande nível de complexidade, pode ser usado para o cálculo de inversas de matrizes quadradas de ordem n , com n ≥ 2. Estudar métodos para solução de sistemas lineares será bastante eficaz para o cálculo de matrizes inversas de ordem n , com n ≥ 3 . Observações:

11. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exercícios 01. Obter a matriz inversa da matriz . Resolução: Sendo , temos: , cuja solução é a = 1 e c = -1 , cuja solução é b = -1 e c = 2

12. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exercícios 02. Verifique se é a inversa de . Resposta: SIM 03. Determine, se existir, a inversa da matriz . Resposta:

13. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exercícios 04. Verifique se a inversa de é a matriz . Resposta: SIM 05. A inversa de é a matriz . Determine x e y. Resposta: x = 7 e y = 1

14. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e invertíveis , temos as seguintes propriedades: Dada A , se existir A -1 , então ela é única; (A -1 ) -1 = A; (A . B) -1 = B -1 . A -1 ; (A -1 ) t = ( A t ) -1 .

15. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades Se uma matriz A é invertível, então esta inversa é única. Demonstração : De fato, vamos supor que A seja invertível de ordem n , que B e C sejam suas inversas e ainda que B ≠ C . Dessa forma, AB = BA = I n e AC = CA = I n . Tomando a primeira equação e multiplicando ambos os lados da equação, à esquerda, por C , temos C (AB) = CI n , ou seja, (CA)B= CI n , como CA = I n . Logo: B = C.

16. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades Se uma matriz A é invertível, então a inversa A -1 é invertível e (A -1 ) -1 = A . Demonstração : Sabemos que uma matriz B é inversa de A se, e somente se, A.B=B.A = I n . Como A -1 é a inversa e A , então AA -1 = A -1 A =I n . Pela demonstração anterior, temos que a inversa é única, então B = A é a inversa e A -1 , ou seja, (A -1 ) -1 = A.

17. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 5: Vamos encontrar a inversa de . . Fazendo A . A -1 = I n : Então Calculando (A -1 ) -1

18. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades Se A e B são invertíveis, então AB também é e (AB) -1 = B -1 A -1 . Demonstração : Para verificarmos esta propriedade, devemos mostrar que (AB)B -1 A -1 =I n e B -1 A -1 (AB) = I n . (AB)B -1 A -1 =A(BB -1 )A -1 =AI n A -1 =AA -1 = I n . A segunda identidade é inteiramente análoga .

19. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 6: Encontrando as inversas e o produto de e . Calculando (AB) -1 e B -1 A -1 , podemos confirmar a igualdade :

20. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades Se A é invertível, então A t também é e (A t ) -1 = (A -1 ) t . Demonstração : Com efeito, fazendo uso da propriedade anterior, temos :

21. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 6: Vamos verificar a propriedade (A t ) -1 = (A -1 ) t para a matriz Calculando A t e A -1 , teremos respectivamente : Fazendo uso dos recursos expostos anteriormente, temos :

22. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Aplicação prática: As senhas numéricas de quatro dígitos dos clientes de um determinado banco são representadas como uma matriz S 2 x 2 , em que os dois primeiros são a 1ª linha e os dois últimos, a 2ª linha. O banco usa uma matriz invertível denominada matriz chave, para manter o sigilo das senhas de seus clientes. E, por questões de segurança, o banco gera uma nova matriz T = S.X , denominada matriz transmitida . Como ‘recuperar’ a senha de um cliente, se só conhecemos a matriz chave e a matriz transmitida? Sabendo que a matriz transmitida de um determinado cliente é , qual sua senha? Resposta: a) (SX)X -1 =S(XX -1 )= SI 2 =S b) 2509

23. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exercícios de fixação 01. Encontre a inversa de cada matriz dada, se possível: Resp: é singular Resp: Resp: cos ɵ sen ɵ -sen ɵ cos ɵ 1/5 √2 1/5 √2 -2/5 √2 1/10 √2

24. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exercício de Fixação 02. Dadas as matrizes ,calcule: a) (AB) -1 b) (AB) t c) AA -1 – I d) (2B) -1 1/2 3/2 -3 -8 Resp: a) b) c) 0 d) -16 6 -3 1 1/4 -1 1/2

25. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa 03. São dadas as matrizes A e B , quadradas de ordem n e invertíveis. A solução da equação (BAX) t = B , em que (BAX) t é a transposta da matriz (BAX), é a matriz X tal que: Exercício de Fixação a) b) c) d) Resposta: B

26. Exercícios de fixação 04. Se e , determine a matriz X 2x2 tal que (A -1 .X) -1 = B. Resposta: