Matemática - 9° ano Resumo da coleção FTD

Aula de Matemática - 9° ano

1. ÍNDICE Unidade 1 3 Unidade 2 11 Unidade 3 19 Unidade 4 26 Unidade 5 33 Unidade 6 41 Unidade 7 47 Unidade 8 57

2. Matemática VOLUME 9 Unidade 1 Conjuntos numéricos, potências e raízes 3

3. Conjuntos numéricos                   4

4. Potências Sendo a um número real e n um número natural, com a ≠ 0, temos que: a n = a. a. a. a. .... .a A base indica o fator que se repete na multiplicação. O expoente indica a quantidade de vezes em que o fator se repete na multiplicação. A potência indica o produto dos fatores iguais. Uma potência com expoente 1 e a base um número real qualquer tem como resultado esse próprio número. Uma potência com expoente 0 e a base um número real diferente de zero tem 1 como resultado . Uma potência com expoente inteiro negativo e base diferente de zero tem como resultado o inverso da base elevado ao oposto desse expoente. 5

5. Propriedades de potências a m = a n a m - n 2 a m = n a m . n 3 4 Sendo a um número real, com a ≠ 0, e m e n números inteiros, temos: a = a . a m + n 1 Sendo a e b números reais, com a ≠ 0 e b ≠ 0 e m um número inteiro, temos: 5 m n a = b . m a m b m . a m b = a m b m 6

6. Notação científica Na notação científica , os números são representados da seguinte maneira: 10 n . a em que a é um número racional, com 1 ≤ a < 10, e n é um número inteiro. 300 milhões de anos 300.000.000 de anos 10 8 3 . anos 0,00000097 m 10 -7 9,7 . m 7

7. Radiciação Sendo a e b números reais não negativos e n um número natural maior do que 1, dizemos que Raiz de um número negativo Podemos calcular a raiz de um número real negativo quando o índice dessa raiz for um número natural ímpar maior que 1. Exemplo: 8

8. Potências com expoente fracionário Sendo a um número real positivo, m e n números naturais tais que m > 0 e n > 1, tem-se que: Exemplos: 9

9. Propriedades de raízes Sendo a um número real positivo e n um número natural maior do que 1, temos que: 1 Sendo a um número real positivo e m , n e p números naturais com m ≠ 0, n > 1 e p ≠ 0, temos que: 2 Sendo a e b números reais positivos e n um número natural maior do que 1, temos que: 3 Sendo a um número real positivo e n e p números naturais maiores do que 1, temos que: 4 10

10. Matemática VOLUME 9 Unidade 2 Circunferência, plano cartesiano e vistas 11

11. Comprimento da circunferência 12

12. Ângulo inscrito em uma circunferência Chamamos de ângulo inscrito todo ângulo cujo vértice está sobre a circunferência e os lados passam por outros pontos distintos dessa circunferência. 13

13. Plano cartesiano A localização de cada ponto do plano cartesiano é indicada por coordenadas cartesianas, que são representadas por um par ordenado na forma (x, y), em que x é abscissa e y é a ordenada do ponto. Observe, abaixo, por exemplo, como indicar o ponto A(-3, 2). 14

14. Perspectiva com ponto de fuga 15

15. Projeção ortogonal A projeção ortogonal de um ponto P em um plano em que ele não está corresponde ao ponto desse plano, de maneira que seja uma reta perpendicular a tal plano, ou seja, forme ângulos retos com ele.   16

16. Projeção ortogonal Projeção ortogonal de um cilindro em um plano. Projeção ortogonal de um cubo em um plano. Projeção ortogonal de uma pirâmide de base quadrada em um plano. 17

17. Projeção ortogonal Representação de um bloco retangular com projeção ortogonal em três planos distintos: I , II e III . A figura obtida em cada um desses planos de projeção corresponde a uma vista ortogonal , estabelecida de acordo com uma referência. 18

18. Matemática VOLUME 9 Unidade 3 Expressões algébricas e equações do 2º grau 19

19. Expressões algébricas, monômios e polinômios Denomina-se monômio ou termo algébrico toda expressão algébrica representada apenas por um número, ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis em que a variável não esteja nem no denominador nem no radical. Um polinômio é qualquer adição algébrica de monômios. 20

20. Produtos notáveis Quadrado da soma de dois termos quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. Quadrado da diferença de dois termos quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. Produto da soma pela diferença de dois termos quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. 21

21. Fatoração de polinômios Fator comum em evidência Agrupamento Trinômio Quadrado Perfeito Diferença de dois quadrados 22

22. Equação do 2º grau com uma incógnita Denomina-se equação do 2° grau na incógnita x toda equação da forma ax 2 + bx + c = 0, em que a , b e c são números reais e a ≠ 0. 2 x 2 – 2 x – 40 = 0 é uma equação do 2° grau na incógnita x , em que a = 2, b = – 2 e c = – 40. Nas equações do 2° grau com uma incógnita, os números reais a , b e c são chamados coeficientes da equação. Assim, se a equação for na incógnita x : a será sempre o coeficiente do termo em x 2 ; b será sempre o coeficiente do termo em x ; c será o coeficiente sem incógnita ou o termo independente de x . 23

23. Equação do 2º grau com uma incógnita Quando b ≠ 0 e c ≠ 0 , a equação do 2° grau se diz completa . Quando b = 0 ou c = 0 , a equação do 2° grau se diz incompleta . 24

24. Resolução da equação do 2º grau com uma incógnita A fórmula é chamada fórmula resolutiva da equação completa do 2° grau ax 2 + bx + c = 0.   A expressão (que é um número real) é usualmente representada pela letra grega (delta) e é chamada discriminante da equação.   A fórmula resolutiva recebeu, também, o nome de fórmula de Bhaskara em homenagem ao grande matemático hindu. 25

25. Matemática VOLUME 9 Unidade 4 Proporcionalidade e funções 26

26. Proporcionalidade Considere dois números a e b , com b ≠ 0. A razão entre esses dois números, nessa ordem, corresponde ao quociente a : b , que também pode ser indicada por .   Sejam a , b , c e d , com b ≠ 0 e d ≠ 0, dizemos que se a razão entre a e b e a razão entre c e d são iguais, então elas formam uma proporção. Os números a , b c e d são os termos da proporção, sendo a e d os extremos e b e c os meios da proporção.   27

27. Grandezas diretamente proporcionais Para confeccionar um mapa, um dos elementos fundamentais é a escala adotada, que indica a razão entre as dimensões reais da região e as dimensões de sua representação nesse mapa. Na aula de Geografia, Helena mediu com a régua a distância em linha reta entre os municípios de Fortaleza (CE) e Natal (RN) no mapa representado a seguir. Qual é a distância real aproximada, em linha reta, entre esses dois municípios? 28

28. Grandezas inversamente proporcionais Um trecho considerado perigoso de uma estrada tem a velocidade máxima permitida de 80 km/h, possibilitando que os veículos o percorram em 9 minutos no mínimo. Para reduzir a quantidade de acidentes que frequentemente ocorrem, a administração dessa rodovia vai reduzir a velocidade máxima para 60 km/h nesse trecho. Com essa mudança, em quanto tempo no mínimo será possível percorrer esse trecho da estrada? 29

29. Noção de função Uma peteca custa 30 reais. Se representarmos por x a quantidade de petecas iguais a essa que Rui, o professor de Educação Física, quer comprar e por y o preço, em reais, que ele vai pagar, podemos organizar o quadro abaixo. O preço y a pagar é dado em função da quantidade x de petecas adquiridas, e a sentença y = 30x é chamada lei de formação dessa função. A variável x é chamada variável independente, e a variável y é dependente da variável x . 30

30. Conjunto domínio e conjunto imagem da função Uma peteca custa 30 reais. Se representarmos por x a quantidade de petecas iguais a essa que Rui, o professor de Educação Física, quer comprar e por y o preço, em reais, que ele vai pagar, podemos organizar o quadro abaixo. O conjunto de valores que a variável x pode assumir chama-se domínio da função e é indicado por D . O valor da variável y correspondente a um determinado valor de x é chamado imagem do número x dado pela função. O conjunto formado por todos os valores de y que correspondem a algum x do domínio é chamado conjunto imagem da função e é indicado por Im . 31

31. Gráfico da função 32

32. Matemática VOLUME 9 Unidade 5 Semelhança de figuras 33

33. Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal 34

34. Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal Ângulos opostos pelo vértice Dois ângulos opostos pelo vértice formados por duas retas concorrentes têm medidas iguais. Ângulos colaterais Dois ângulos colaterais formados por duas retas paralelas e uma reta transversal são suplementares. 35

35. Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal Ângulos correspondentes Dois ângulos correspondentes formados por duas retas paralelas e uma reta transversal têm medidas iguais. Ângulos alternos Dois ângulos alternos formados por duas retas paralelas e uma reta transversal têm medidas iguais. 36

36. Proporcionalidade entre segmentos de reta Chamamos de razão entre dois segmentos de reta a razão entre os números que expressam as medidas desses segmentos, sempre tomados na mesma unidade. , , e são, nessa ordem, proporcionais , quando   Exemplo: 37

37. Teorema de Tales Um feixe de retas paralelas determina, em duas retas transversais, segmentos de reta ordenadamente proporcionais entre si. Com base nesse teorema, considerando um feixe de retas paralelas r , s e t e duas retas u e v transversais a esse feixe, podemos escrever as seguintes proporções: 38

38. Semelhança de polígonos Dois polígonos são semelhantes se os ângulos internos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais entre si. A razão entre lados correspondentes desses polígonos é chamada razão de semelhança. 39

39. Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se possuem dois ângulos correspondentes congruentes. AA Dois triângulos são semelhantes se possuem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo interno formado por eles congruente. LAL Dois triângulos são semelhantes se possuem os três lados correspondentes proporcionais. LLL 40

40. Matemática VOLUME 9 Unidade 6 Relações métricas no triângulo retângulo e circunferência 41

41. Relações métricas no triângulo retângulo É aquele que tem um ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto chamam-se catetos. 42

42. Relações métricas no triângulo retângulo Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois outros triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e semelhantes entre si. 43

43. Teorema de Pitágoras Em um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. 44

44. Arco de circunferência e ângulo central Esses pontos dividem a circunferência em duas partes e cada uma dessas partes é chamada arco de circunferência . Qualquer ângulo que tenha o vértice no centro de uma circunferência é denominado ângulo central . 45

45. Ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência Chamamos de ângulo inscrito todo ângulo cujo vértice está sobre a circunferência e os lados passam por outros pontos distintos dessa circunferência. Em uma circunferência, quando um ângulo central e um ângulo inscrito correspondem a um mesmo arco, a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito. 46

46. Matemática VOLUME 9 Unidade 7 Estatística e probabilidade 47

47. Acréscimos e descontos sucessivos Ao aplicar R$ 100,00 a juro composto à taxa de 10% ao mês durante 3 meses, qual o montante obtido ao final desse período? 48

48. Acréscimos e descontos sucessivos Marcelinho costuma ser um consumidor consciente: pesquisa preços e economiza dinheiro para comprar à vista. A bola que ele comprou para o time, por exemplo, custava R$ 80,00 e teve um desconto de 20% por estar em promoção na loja. Por pagar à vista, Marcelinho conseguiu mais 10% de desconto sobre o preço da bola na promoção. Quantos reais Marcelinho pagou nessa bola? 49

49. Gráficos de composição Gráfico de setores : circular, formado por fatias que somadas compõem 100% do círculo. Existe uma relação de proporcionalidade de cada fatia (setor) com o todo (o círculo). 50

50. Gráficos de comparação Gráfico de barras ou de colunas : compara dados entre várias categorias e entre itens individuais. 51

51. Gráficos de comparação Gráfico de linhas : compara dados (lineares) ao longo do tempo, ou seja, mostra a evolução de uma ou mais variáveis ao longo do tempo. 52

52. Medidas de tendência central Para calcular a média de dois ou mais números, adicionamos esses números e dividimos a soma obtida por essa quantidade de números. A moda corresponde ao dado de maior frequência entre os dados de uma pesquisa. Para determinar a mediana , é necessário organizar os dados em ordem crescente ou decrescente. Quando a quantidade de dados é ímpar, a mediana corresponde ao dado central. Já quando a quantidade de dados é par, a mediana corresponde à média dos dois dados centrais. 53

53. Medidas de tendência central João é técnico de um time de basquete feminino e, para seu controle, registrou a idade das atletas no quadro a seguir. 54

54. Pesquisa estatística Etapas de uma pesquisa 55

55. Probabilidade Dois ou mais eventos são denominados eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros eventos terem ocorrido ou não. Dados dois eventos independentes (A e B) de um espaço amostral, a probabilidade de eles ocorrerem sucessivamente é dada por P(A e B) = P(A) · P(B) No caso de dois eventos dependentes (A e B) de um espaço amostral, a probabilidade de eles ocorrerem sucessivamente é dada por: P(A e B) = P(B e A) = P(A dado que B ocorreu) · P(B) 56

56. Matemática VOLUME 9 Unidade 8 Medidas de volume 57

57. Volume de um bloco retangular Para calcular o volume de um bloco retangular , podemos multiplicar as medidas das três dimensões: comprimento, largura e altura. Como em um bloco retangular a base é um retângulo, também podemos calcular o volume multiplicando a área da base do bloco retangular pela sua altura. 58

58. Volume de um bloco retangular Como o cubo é um caso particular de bloco retangular, em que as arestas têm medidas iguais, podemos calcular seu volume da mesma maneira. 59

59. Volume de prismas Os prismas são sólidos do grupo dos poliedros, aqueles que têm apenas superfícies planas. Um prisma reto é caracterizado por ter duas faces paralelas formadas por polígonos idênticos, que são suas bases, e as demais faces formadas por retângulos, que são suas faces laterais. 60

60. Volume de cilindros Os cilindros são sólidos do grupo dos corpos redondos, aqueles que têm superfície arredondada. Um cilindro circular reto (ou simplesmente cilindro reto) é caracterizado por ter duas superfícies planas e paralelas formadas por círculos idênticos, que são suas bases. 61