Matemática - Estudo da reta

Estudo da reta + Exercício com gabarito

1. MATEMÁTICA 

Editora Exato 11
ESTUDO DA RETA 
1. COEFICIENTE ANGULAR 
Considere uma reta t no plano xOy.
O
y
t
α
ângulo de inclinação

Define-se como coeficiente angular da reta
()
t
t mo valor obtido calculando a tangente do ângulo
de inclinação, ou seja,
t
m tg=α, com
π
α ≠
2
.
1.1.Determinação do coeficiente angu-
lar 
1ºCaso: com 2 pontos distintos
t
α
α
B
B
y
A
A
y
B
x
A
x
B
x
A
x∆x=
B
y
A
y∆y=

Dados os pontos ( )
A A
A x ,xe ( )
B B
B x , xno plano
acima: =
T
m tgα
y B A
x B A
y y
x x
∆ −
= =
∆ −
.
2ºcaso: equação da reta
Dada a reta (t) de equação ax by c 0+ + = com
≠ = −
t
a
b 0 : m
b
.
3ºcaso: com o ângulo de inclinação.
Dada uma reta (t) que possui ângulo de incli-
nação α: = α
t
m tg.
2. EQUAÇÃO GERAL DA RETA 
Toda reta do plano cartesiano pode ser repre-
sentada por uma equação de forma ax by c 0,+ + = com
a, b e c reais, a e b não nulos simultaneamente.

3. FORMA DE EQUAÇÃO DA RETA 
3.1. Equação reduzida da reta 
Toda reta ( )t : ax by c 0+ + = não vertical pode
ser escrita como abaixo:
ax c
t : y
b b
= − −, em que
a
b
− representa o coefi-
ciente angular da reta t e
c
b
− representa o coeficiente
linear da reta.
3.2. Equação segmentária da reta  
Toda reta não horizontal e não vertical pode
ser escrita como abaixo.
x y
1
p q
+ =, em que p e q são os pontos intercep-
tos. (P representa o ponto de encontro da reta com o
eixo x e q representa o ponto de encontro da reta
com o eixo y).
3.3. Equação paramétrica da reta 
A reta representa um conjunto de pares orde-
nados (x,y) do plano cartesiano. Podemos representá-
la em relação a um parâmetro t, ou seja ,
()
( )
=


= 
x f t
y f t
.
Exemplo: 
E.1) Escreva a equação 2x 3y 5 0+ − = na forma
reduzida e segmentária.
Resolução: 
O Equação reduzida
+ − = ⇒ = − +⇒= − +
2x 5
2x 3y 5 0 3y 2x 5 y
3 3

2
m
3
= −
(coeficiente angular)
O Equação segmentária
( )
+ = ⇒ + = ⇒
2x 3y
2x 3y 5 : 5 1
5 5

+ =
x y
1
5 5
2 3
ponto de encontro com o eixo y.
ponto de encontro com o eixo x.

4. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA 
4.1. Por dois pontos distintos  
Dados os pontos ( )
A, A
A x y e ( )
B B
B x , y.

2. Editora Exato 12
P(x, y)
B(x  , y  )
B B
A(x  , y  )
A A
ponto genérico
do plano

Como A, B e P são colineares temos:
A  A
B B
x  y   1
x   y   1  0
x   y    1
=.
4.2. Por um ponto e o coeficiente an-
gular 
Dado o ponto ( )
0 0
B x , ye o coeficiente angular
da reta (t) igual a mt.
∆ −
= α = ⇒ = ⇒
∆ −
y 0
t t
x 0
y y
m tg m
x x

y - y  = m  (x - x  )
0 0
equação fundamental
da reta
B(x  , y  )
0 0
P(x ,y )
ponto genérico
do plano
α
t

5. CASOS PARTICULARES 
5.1. Reta paralela aos eixos 
Dada a reta ax by c 0+ + = .
O Se a =0, então a reta é paralela ao eixo x.
O Se b=0, então a reta é paralela ao eixo y.
5.2. Bissetrizes dos quadrantes 
O Bissetriz dos quadrantes ímpares x y 0− =.
O Bissetriz dos quadrantes pares x y 0+ =.
6. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS  
Considere duas retas r e s não verticais, com
coeficientes angulares, respectivamente, iguais a
r
me
s
m.
O As retas r e s são paralelas quando
r s
m m=.
O As retas são concorrentes quando ≠
r s
m m.
O As retas são perpendiculares quando
r s
m .m 1= −.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 (UFES) O valor de k para que a equação
kx-y-3k+6=0 represente a reta que passa pelo
ponto (5,0) é:
Resolução:
Passa pelo ponto (5,0), substituindo o ponto
(5,0) na equação, temos:
.5 0 3 6 0
5 3 6 0
2 6 0
2 6
6
2
3
k k
k k
k
k
k
k
− − + =
− + =
+ =
−
= −
=


2 (UCS-RS) A figura contém a representação grá-
fica da reta:
y
4
2
0 3 x
Resolução:
O gráfico passa pelos pontos: (0,2) e (3,4),
então a equação da reta é dada por:
0   2   1
3   4   1 0
x    y   1
=
0 3 2 4 0 6 0
2 3 6 0
           ou
2 3 6 0
y x x
x y
x y
+ + − + − =
− + − =
− + =


EXERCÍCIOS 
1 (FASP) A equação da reta suporte do segmento
AB, dados A(7, 11) e B(15, -1), é:
a) 2y-3y -24=0
b) 3y-2x+17=0
c) 3y-2x+7=0
d) 2y+3x -43=0
e) Nenhuma.

2 (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo
ponto ( )A 3, 4−, e cujo coeficiente angular é
1
2
, é:
a) x+2y+11=0
b) x-y+11=0
c) 2x-y+10=0
d) x-2y+11=0

3. Editora Exato 13
e) nenhuma

3 (PUC-SP) A equação da reta com coeficiente
angular igual a
4
5
−,e que passa pelo ponto
P(2,-5), é:
a) 4x+5y+12=0
b) 4x+5y+14=0
c) 4x+5y+17=0
d) 4x+5y+16=0
e) 4x+5y+15=0

4 (PUC-RS) Se as retas 3x-y-7=0,2x+y+c=0 e 2x-
y-5=0 são congruentes, então c é igual a:
a) –3
b) –1
c) 5
d) 7
e) 9

5 (PUC-PR) As retas de equações 3x-4y+1=0 e
4x+3y-5=0 são:
a) perpendiculares.
b) paralelas.
c) concorrentes.
d) coincidentes.
e) Nenhuma.

6 (PUC-SP) As retas 2x+3y=1 e 6x-ky=1são per-
pendiculares. Então k vale:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6

7 (UFGM) Sejam r e s duas retas perpendiculares
que se interceptam em P(1,2). Se Q(-1,6) perten-
ce a uma dessas retas, então a equação da outra
reta é:
a) x+2y-5=0
b) x-2y+3=0
c) 2x-y=0
d) 2x+y-4=0
e) 2x+2y+7=0








8 (FATEC) Na figura abaixo, a reta r tem equação
x+3y–6=0, e a reta s passa pela origem e tem coe-
ficiente angular
2
3
.
y
s
0 rx
B
A

A área do triângulo OAB, em unidade de área, é
igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

GABARITO 
1 D
2 D
3 C
4 A
5 A
6 D
7 B
8 D