Matemática Financeira - Descontos

Material de Apoio do livro Matemática Financeira, dos autores Washington Franco Matias e José Maria Gomes, da Editora Atlas.

1. Washington Franco Mathias
José Maria Gomes

Matematica
Financeira

Com + de 600 exercicios
resolvidos e propostos

5" Edicáo

2. Capitulo 2

DESCONTOS

Gomes

3. Descontos

Quando se faz uma aplicacáo com vencimento
pré-determinado, o aplicador:

» Recebe um compromisso da aplicaçäo;
« Que é uma nota promissöria;
« Ou uma letra de cambio.

=> Obter parte do principal e dos juros, em
troca do título, é uma operacáo de “desconto”.

Mathias
Gomes

4. Descontos

Uma empresa faz uma venda a prazo, com venci-
mento pré-determinado:

« Recebe do comprador uma duplicata.

=> Aempresa pode ir a um banco e transferir a
posse da duplicata em troca de dinheiro.

Esta a uma operacáo de “descontar uma duplica-
ta”.

Mathias
Gomes

5. Desconto Racional

EXEMPLO

« Eo desconto obtido pela diferenca entre o valor
nominal e o valor atual de um compromisso que
seja saldado em n períodos antes do seu
vencimento.

Ou Desconto “por dentro”.

Dr = valor do desconto

N = valor nominal (montante)

n = número de períodos antes do vencimento
i= taxa de desconto

Mathias
Gomes

6. Mathias
Gomes

Exemplo

Uma pessoa pretende saldar um titulo de $ 5.500,00, 3 meses
antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros cor-
rente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter ?

Resoluçäo:

of

7. Exemplo

Temos:
N = 5.500,00
n= 3 meses

Calculando a taxa proporcional a 1 més:
0,40
12

ln =
Podemos calcular:
Nin
1+in

a) O desconto: D,=

5.500 x a di

T+ x
Math:
nes 12

8. Exemplo

_ 5.50000x0,10
1+0,10
_ 55000

D.= 10 =$50000

b) O valor descontado:
V, = 5.500,00 - 500,00 = $ 5.000,00

$ 5.000,00 é o pröprio valor atualdo compromisso. De fato, nos
próximos 3 meses e à taxa de 40% a.a., a aplicaçäo de $ 5.000,00
iria render:

J= Gn

J= 5.000,00 x 0,40/12 x 3 = $ 500,00

Mathias
Gomes

9. Desconto Comercial

EXEMPLO
Ou Desconto “por fora”.

* Eo valor que se obtém pelo cálculo do juro
simples sobre o valor nominal do compromisso que
seja saldado em n períodos antes do seu
vencimento.

Dc = desconto comercial

N = valor nominal (montante)

n =número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto

Mathias
Gomes

10. Exemplo

Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de
$ 5.500,00 é descontado á taxa de 40% a.a., 3 meses antes
do vencimento, qual é o desconto e quanto vai obter ?

Resolugao: procedendo de modo análogo, temos:

Del

Mathias
Gomes

11. Exemplo
a) O desconto:
D, = Nin
D, = 5.500,00 x 0,40/12 x 3 = $ 550,00
b) O valor descontado comercial:
Vc = N(l - in)
0,40

Ve = 5.500,00x(1 —
1122

x3)

Ve = 5.500,00x0,9

Vc = $4950,00
Entáo a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto co-
mercial, que é menos que os $ 5.000,00 que receberia se o des-
conto fosse racional.

Mathias
Gomes

12. Exemplo

E evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comer-
cial a taxa de desconto utilizada nao € mais igual à taxa de juros
capaz de reproduzir o montante. Observe-se que, se o banco ga-
nha $ 550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxa
de juros de operacáo é:

¿35000
4.95000
ou i=0,44 ao ano

=0,1111 ao trimestre

Note-se entäo que, no desconto comercial, & preciso dis-
tingüir entre a taxa de desconto utilizada na operaçäo ea faxa
implícita que é cobrada de fato.

Mathias
Gomes

13. Desconto Bancario [ana]
EXEMPLO

Corresponde ao desconto comercial acrescido de
uma taxa pré-fixada, cobrada sobre o valor nomi-

nal.
D, = N.(in+h)

Db = desconto bancärio

N = valor nominal (montante)

n = numero de periodos antes do vencimento

i = taxa de desconto

h = taxa de despesas administrativas (taxa de despesas ban-
carias)

Mathias
Gomes

14. Mathias
Gomes

Exemplo

Um titulo de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra
2% como despesa administrativa. Sabendo-se que 0 titulo foi
descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa cor-
rente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto
bancario ? Quanto recebeu o proprietario do titulo ?
Resolugao: Lembrando que:

h = 0,02

e procedendo de modo análogo ao exemplo an-
terior:

a) Desconto bancário:
D, = N (in + h)
D, = 5.500,00 (0,40/12 x3 + 0,02)
D, = 5.500,00 (0,10 + 0,02)
D, = $ 660,00

15. Mathias
Gomes

Exemplo

b) Valor descontado bancario:

V, = N[1-(in + h)]

V, = 5.500,00 [1 - (0,40/12 x 3 + 0,02]
V, = 5.500,00 x 0,88

V, = $ 4.840,00

Compara-se este valor que o proprietário recebeu ao
descontar seu título 3 meses antes com aquele obtido via des-
conto comercial ($ 4.950,00). Mais uma vez notamos que a ta-
xa de desconto nao corresponde à taxa implícita na operaçäo:

= 66000
4.84000
i" = 0,5456 ao ano

= 0,1364 ao trimestre

16. Exemplo

E preciso, portanto, no caso dos descontos comercial e
bancério, calcular a taxa que realmente esta sendo cobrada na
operaçäo.

Mathias
Gomes

17. Taxa de Juros

Efetiva ET

É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor
descontado (comercial ou bancário), gera no
período, um montante igual ao valor nominal.

onde:

i, = taxa efetiva
N = valor nominal
V = valor atual (comercial ou bancario)

n = numero de periodos antes do vencimento

Mathias
Gomes

18. Exemplo

Sendo o valor de desconto comercial de $ 4.950,00, o título de
$ 5.500,00 saldado 3 meses antes de seu vencimento, qual é
a taxa de juros efetiva para desconto comercial utilizada ?

Resolugáo: Aplicando diretamente a fórmula, temos:

=
= V.
n
5.500,00 _
. _ 4950 ,00 hl
= US

3 3
ir = 0,03703 a.m. = 0,44a.a.

Observe-se que este é o mesmo resultado ja obtido anterior-
mente, por cálculo direto.

Mathias
Gomes

19. Exemplo

Analogamente, com um titulo de $ 5.500,00 descontado 3 me-
ses antes do vencimento e com um valor de desconto bancario
de $ 4.850,00, qual a taxa efetiva para desconto bancario ?

Resolugáo: Aplicando diretamente a fórmula, temos:

a

=
n
5.500,00 _
. _ 484000 .. 1,1364 -1
f= sf =

3 3
iy = 0,045 a.m. = 0,54a.a.

Verifica-se mais uma vez que o resultado é o mesmo que o obti-
do anteriormente por raciocínio direto.

Mathias
Gomes

20. Relagao entre o Desconto

Comercial e o Desconto [sono]
Racional

Dc = Dr (1+in)

Dc = Desconto Comercial

Dr = Desconto Racional

n = nümero de periodos antes do vencimento
i = taxa de desconto

=> 0 Desconto Comercial pode ser entendido co-
mo sendo o montante do Desconto Racional cal-
culado para o mesmo período e a mesma taxa.

Mathias
Gomes

21. Exemplo

O desconto comercial de um titulo descontado 3 meses antes
de seu vencimento e a taxa de 40% a.a. é de $ 550,00. Qual
é o desconto racional ?

Resolugáo: Aplicando diretamente a fórmula, temos:

D. = DA + in)

550,00 = D.(1 + Lo Do)

550,00 = D.(1 + 0,10)
_ 550,00
1,10

D;

= $500,00

Mathias
Gomes