Matemática primero grado de secundaria.pdf

Matemática1año
Matemática1año
Matemática 1er año
Desde su propio nombre, Conexos -el conjunto
de bienes educativos que hemos elaborado para afrontar
los nuevos retos de la Educación Media- está comprometido
con un mundo de interrelaciones, en el que los saberes no son
estáticos ni están encerrados en espacios restringidos, sino que
andan en constante movimiento, dispersos en inﬁ nitas redes.
Estos materiales didácticos apuntan a potenciar los vínculos,
activar los contactos, descubrir los enlaces.
El aprendizaje signiﬁ cativo, que cultivamos como una de
las premisas conceptuales de todos nuestros materiales
didácticos, tiene una importancia creciente en esta serie, pues
atiende las necesidades de estudiantes que ya han avanzado
a otra fase de su educación formal. La necesidad de que
las competencias adquiridas sean útiles para la vida es
en Conexos una estrategia vital.

Matemática 1er año
© 2012 by Editorial Santillana, S.A.
Editado por Editorial Santillana, S.A.
Nº de ejemplares: 18750
Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1. Sector Montecristo, Boleíta. Caracas
(1070), Venezuela.Telfs.: 280 9400 / 280 9454
www.santillana.com.ve
Impreso en Ecuador por: Imprenta Mariscal CIA. LTDA
ISBN: 978-980-15-0612-6
Depósito legal: lf6332012372265
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización previa de los titulares
del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total
o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos
la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares
de ella mediante alquiler o préstamo público.
El libro
Matemática de 1er año de Educación Media es una obra colectiva concebida,
diseñada y elaborada por el Departamento Editorial de Editorial Santillana S.A., bajo
la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro.
En la realización de esta obra intervino el siguiente equipo de especialistas:

Edición general adjunta
Inés Silva de Legórburu
Coordinación editorial Ciencias y Matemática
José Manuel Rodríguez R.
Edición general
José Manuel Rodríguez R.
Textos
• .N zednánreH .G leinaD
Licenciado en Educación, mención Matemática.
Universidad Central de Venezuela
• oipraC ed ozoreP nylevE
Profesora, mención Matemática. Universidad
Pedagógica Experimental Libertador
• azaM ed sederapalliV .C htebsiL
Profesora, mención Matemática. Universidad
Pedagógica Experimental Libertador
• .P otirB .E aneroL
Profesora, mención Matemática. Universidad
Pedagógica Experimental Libertador
• .M aícraG ailahtaN
Licenciada en Educación, mención Matemática
y Licenciada en Matemática. Universidad
Central de Venezuela
Edición ejecutiva
Nathalia García M.
Lisbeth C. Villaparedes de Maza
Edición de apoyo
Evelyn Perozo de Carpio
Daniel G. Hernández N.
Corrección de estilo
Mariví Coello
Dina Selvaggi
Karina Hernández
Juan Luis Valdez
Samuel González
Lectura especializada
Henry J. Martínez L.
Profesor, mención Matemática. Universidad
Pedagógica Experimental Libertador.
Magíster en Ciencias, mención Matemática.
Universidad Central de Venezuela
Coordinación de arte
Mireya Silveira M.
Diseño de unidad gráﬁ ca
Mireya Silveira M.
Coordinación de unidad gráﬁ ca
María Elena Becerra M.
Diseño de portada
Mireya Silveira M.
Ilustración de la portada
Walther Sorg
Diseño y diagramación general
aihccelignA anaiD , .M arreceB anelE aíraM
María Fernanda Guédez, María Alejandra González
José Pérez Duin
Documentación gráﬁ ca
Amayra Velón
Ilustraciones
Walther Sorg, Oliver González,
Fondo Documental Santillana
Infografías
Walther Sorg
Fotografías
Fondo Documental Santillana
Archivo El Universal (FAM)-Fundación Andrés Mata:
Venancio Alcázeres, Vicente Correale
Retoque y montaje digital
Evelyn Torres
Reimpresión: 2014

Matemática1añoSOLO PÁGINAS SELECCIONADAS PARA MUESTRA

© editorial santillana, s.a. © editorial santillana, s.a.
Estructura del libro
Logros esperados. Enunciados
breves que describen los principales
conocimientos, valores, habilidades
y destrezas que se pretende consolidar
con el desarrollo de los contenidos
de la unidad.
Idea para la acción. Reseña de la actividad grupal para contribuir
al desarrollo de proyectos, trabajos especiales o líneas de investigación,
para ser llevada a cabo durante o al final de la unidad.
Infografía. Recurso gráfico que permite
despertar el interés con relación a los temas de la unidad. Contiene datos y preguntas que favorecen la interacción, participación y reflexión para introducir los nuevos contenidos.
Inicio de unidad
Para reflexionar
y debatir.
Preguntas
dirigidas a generar
conclusiones a partir del
análisis de la información
y los datos planteados
en la infografía.
Desarrollo de los temas
Pensamiento crítico.
Actividades especiales que estimulan la capacidad de reflexión y la emisión de juicios de valor sobre los contenidos de los temas.
Información complementaria. Datos adicionales
que enriquecen los temas, relacionados con diversas áreas del conocimiento, así como con aspectos de la vida cotidiana, como el trabajo, la tecnología, el ambiente y la diversidad cultural del país.
Actívate. Preguntas relacionadas con situaciones de la
vida cotidiana, orientadas a evocar conocimientos previos vinculados con los temas o generar inquietudes acerca de los nuevos contenidos a desarrollar.
Contenido. Tema con información
actualizada, presentada a través de textos e imágenes, organizadores y recursos gráficos novedosos.
2

© editorial santillana, s.a. © editorial santillana, s.a.
Infografías. Temas con una propuesta gráfica diferente y
novedosa, que presentan la información a través de imágenes
y textos asociados, para aprender de manera dinámica.
Actividades. Preguntas, ejercicios, casos y situaciones de
análisis para validar, afianzar y reforzar los contenidos vistos.
Estimulan la capacidad de razonamiento en el plano individual,
y la interacción por medio del trabajo en equipo.
Idea para la acción. Desarrollo
de la actividad anunciada al inicio de
cada unidad, con sugerencias para
su planificación, puesta en práctica
y evaluación, como estrategia para
la generación de conocimientos.
Conexos con… Datos informativos
que ponen en evidencia la relación
de la Matemática con otras áreas del
conocimiento y laborales, resaltando
su aplicación e importancia.
Cierre de unidad
Conexos con…
que ponen en evidencia la relación
de la Matemática con otras áreas del
conocimiento y laborales, resaltando
su aplicación e importancia.
Estrategia de resolución de problemas.
Estrategias sistemáticas para resolver problemas, con base en el desarrollo del pensamiento lógico-matemático.
Actividades de refuerzo. Ejercicios, preguntas y casos
de análisis, vinculados con los temas abordados en la unidad. Persiguen el desarrollo de las distintas habilidades del pensamiento.
3

© editorial santillana, S
.
A
.
© editorial santillana, S.A.
Índice
U1 Números naturales.......................6
Tema 1 Conjunto de números naturales (N) .......................... 8
Tema 2 Operaciones en N ..................................................... 10
Tema 3 Ecuaciones en N ....................................................... 12
Tema 4 Solución de ecuaciones en N ................................... 14
Cierre Actividades de refuerzo ............................................. 18
Estrategia de resolución de problemas ..................... 20
Idea para la acción: Reciclaje de papel...................... 21
U3 Números racionales......................76
Tema 1 Conjunto de números racionales (Q) ........................ 78
Tema 2 Fracciones .................................................................. 80
Tema 3 Fracciones equivalentes ............................................ 82
Tema 4 Recta númerica y orden en Q ................................... 86
Tema 5 Adición y sustracción de números racionales
con iguales denominadores ...................................... 90
Tema 6 Adición y sustracción de números racionales
con diferentes denominadores ................................. 94
Tema 7 Propiedades de la adición en Q ............................... 98
Tema 8 Adición y sustracción combinadas en Q .................. 100
Tema 9 Multiplicación en Q y sus propiedades ................... 102
Tema 10 Potenciación en Q .................................................... 106
Tema 11 Propiedades de la poteciación en Q ........................ 110
Tema 12 División en Q y operaciones combinadas ............... 112
Tema 13 Operaciones combinadas con potencias en Q ......... 114
Tema 14 Ecuaciones en Q ....................................................... 116
Tema 15 Expresiones decimales .............................................. 120
Tema 16 Fracción generatriz .................................................... 122
Tema 17 Notación ciéntifica .................................................... 124
Tema 18 Operaciones básicas
con expresiones decimales ....................................... 126
Tema 19 Operaciones con números
en notación ciéntifica ................................................ 128
Cierre Actividades de refuerzo ............................................. 130
Estrategia de resolución de problemas ..................... 132
Idea para la acción: El trompo alimenticio................. 133
U4 Geometría....................................134
Tema 1 Circunferencia y círculo ............................................. 136
Tema 2 Figuras circulares ....................................................... 138
Tema 3 Ángulo al centro y rectas con respecto
a una circunferencia .................................................. 140
Tema 4 Longitud de una circunferencia ................................. 142
Tema 5 Polígonos ................................................................... 144
U2 Números enteros..........................22
Tema 1 Conjunto de números enteros (Z) ............................. 24
Tema 2 Valor absoluto y orden en Z ...................................... 28
Tema 3 Adición y sustracción en Z ....................................... 30
Tema 4 Propiedades de la adición en Z ................................ 34
Tema 5 Adición y sustracción combinadas en Z .................. 36
Tema 6 Multiplicación en Z y sus propiedades ................... 40
Tema 7 Potenciación en Z ..................................................... 44
Tema 8 Propiedades de la potenciación en Z ....................... 46
Tema 9 Divsión en Z ............................................................. 50
Tema 10 Operaciones combinadas en Z ................................. 52
Tema 11 Ecuaciones en Z ....................................................... 54
Tema 12 Solución de problemas mediante
ecuaciones en Z ....................................................... 56
Tema 13 Múltiplos y divisores ................................................. 58
Tema 14 Números primos y compuestos ................................. 60
Tema 15 Descomposición en factores primos ......................... 62
Tema 16 Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
y máximo común divisor (m.c.d.) ............................... 64
Tema 17 Aplicación del m.c.m. y m.c.d. .................................. 68
Cierre Actividades de refuerzo ............................................. 72
Estrategia de resolución de problemas ..................... 74
Idea para la acción: Deportes extremos a
temperaturas extremas............................................... 75
4

© editorial santillana, s.a. © editorial santillana, s.a.
U6 Informática .................................212
Tema 1 Algoritmos ................................................................. 214
Tema 2 Procesamiento de datos e información .................... 216
Tema 3 La computadora ........................................................ 218
Tema 4 Aplicaciones de las computadoras .......................... 222
Cierre Actividades de refuerzo ............................................ 224
Estrategia de resolución de problemas .................... 226
Idea para la acción: Computadora personal .............. 227
Solucionario ........................................................................... 228
Fuentes consultadas ............................................................. 240
U5 Probabilidad y estadística ............ 194
Tema 1 Probabilidad .............................................................. 196
Tema 2 Diagrama de árbol .................................................... 198
Tema 3 Recolección y organización de datos ....................... 200
Tema 4 Distribución de frecuencias ..................................... 202
Tema 5 Intervalos de clase e histogramas ........................... 204
Cierre Actividades de refuerzo ............................................ 208
Estrategia de resolución de problemas .................... 210
Idea para la acción: Fruto-estadística ...................... 211
Tema 6 Diagonales y ángulos interiores
de un polígono ........................................................... 146
Tema 7 Trazado de polígonos regulares ............................... 148
Tema 8 Triángulos ................................................................. 150
Tema 9 Propiedades de los triángulos .................................. 152
Tema 10 Trazado de triángulos ............................................... 154
Tema 11 Rectas y puntos notables de un triángulo ............... 158
Tema 12 Cuadriláteros ............................................................ 162
Tema 13 Clasifi cación de cuadriláteros .................................. 164
Tema 14 Trazado de cuadrados ............................................... 166
Tema 15 Trazado de rectángulos ............................................ 168
Tema 16 Trazado de rombos ................................................... 170
Tema 17 Área de cuadriláteros ............................................... 172
Tema 18 Área de triángulos .................................................... 176
Tema 19 Área de polígonos regulares e irregulares .............. 178
Tema 20 Área del círculo ........................................................ 180
Tema 21 Área de la superfi cie exterior
de un cuerpo geométrico ......................................... 182
Tema 22 Volumen y capacidad ............................................... 184
Tema 23 Relación entre volumen y capacidad ....................... 186
Tema 24 Volumen de cuerpos geométricos ............................ 188
Cierre Actividades de refuerzo ............................................ 190
Estrategia de resolución de problemas .................... 192
Idea para la acción: Maqueta de poliedro ................. 193
A propósito del lenguaje de género
Según la Real Academia de la Lengua Española y su correspon-
diente Academia Venezolana de la Lengua, la doble mención de
sustantivos en femenino y masculino (por ejemplo: los ciudadanos
y las ciudadanas) es un circunloquio innecesario en aquellos casos
en los que el empleo del género no marcado sea sufi cientemente
explícito para abarcar a los individuos de uno y otro sexo.
Sin embargo, desde hace varios años, en Editorial Santillana he-
mos realizado un sostenido esfuerzo para incorporar la perspectiva
de género y el lenguaje inclusivo, no sexista en nuestros bienes
educativos, pues valoramos la importancia de este enfoque en la
lucha por la conquista defi nitiva de la equidad de género.
En tal sentido, en nuestros textos procuramos aplicar el lenguaje
de género, al tiempo que mantenemos una permanente preocu-
pación por el buen uso, la precisión y la elegancia del idioma,
fi nes en los que estamos seguros de coincidir plenamente con las
autoridades académicas.
A propósito de las Tecnologías de la
Información y la Comunicación
Editorial Santillana incluye en sus materiales referencias y enlaces
a sitios web con la intención de propiciar el desarrollo de las com-
petencias digitales de docentes y estudiantes, así como para comple-
mentar la experiencia de aprendizaje propuesta. Garantizamos que
el contenido de las fuentes en línea sugeridas ha sido debidamente
validado durante el proceso de elaboración de nuestros textos.
Sin embargo, dado el carácter extremadamente ﬂ uido, mutable y
dinámico del ámbito de la Internet, es posible que después de la
llegada del material a manos de estudiantes y docentes, ocurran en
esos sitios web cambios como actualizaciones, adiciones, supre-
siones o incorporación de publicidad, que alteren el sentido original
de la referencia. Esos cambios son responsabilidad exclusiva de las
instituciones o particulares que tienen a su cargo los referidos sitios,
y quedan completamente fuera del control de la editorial.
Por ello, recomendamos que nuestros libros, guías y Libromedias
sean previa y debidamente revisados por docentes, padres, madres y
representantes, en una labor de acompañamiento en la validación de
contenidos de calidad y aptos para el nivel de los y las estudiantes.
5

200 000litros de agua
7 800
kilovatios
de energía
20
árboles
es lo que se necesita
para fabricar una
tonelada de papel
Impresión y escritura:
120 944 toneladas
Papel higiénico:
182 792 toneladas
Bolsas y envoltorios:
15 149 toneladas
Cartulina:
181 172 toneladas
Otros:
5 258 toneladas
Papel higiénico: 13 181 toneladas
Cartulina:
22 302 toneladas
Otros:
3 702 toneladas
Periódico:
20 642 toneladas
Impresión y escritura:
41 616 toneladas
Empaques de alimentos:
1 814 toneladas
Embalaje
(se recicla mucho
más de lo consumido,
producto de las
importaciones)
69 384 toneladas
Aproximadamente
20%
se recupera
para ser reciclado
toneladas
818 757
Periódico:
106 850 toneladas
Empaques de alimentos: 137 208 toneladas
Embalaje (cartón medio corrugado):
69 384 toneladas
el
LOGROS eSPeRAdOS
NÚMEROS NATURALES
IdeA PARA LA AccIÓN
Reciclaje de papel
Al fi nal de esta unidad
realizarán una campaña
de reciclaje de papel,
como una estrategia
de conservación del
ambiente y de obtención
de ingresos.
Para producir una tonelada de papel se talan unos 20 árboles,
y se utiliza una energía que equivale a la que consumen
160 casas en un día. Pese a esto, en Venezuela se recicla
aproximadamente 20% de los materiales fabricados con papel;
el resto es desechado.
¿Cuánto papel se usa y se recicla?
• Reconocer informaciones
numéricas en la vida
cotidiana.
• Comprender el uso
de la matemática en
experiencias cotidianas.
• Aplicar nociones matemá-
ticas básicas en diversos
contextos.
U1
Consumo de papel en Venezuela en 2010
6 Números Naturales
© editorial santillana, s.a.

200 000litros de agua
7 800
kilovatios
de energía
20
árboles
es lo que se necesita
para fabricar una
tonelada de papel
Impresión y escritura:
120 944 toneladas
Papel higiénico:
182 792 toneladas
Bolsas y envoltorios:
15 149 toneladas
Cartulina:
181 172 toneladas
Otros:
5 258 toneladas
Papel higiénico:
13 181 toneladas
Cartulina:
22 302 toneladas
Otros:
3 702 toneladas
Periódico:
20 642 toneladas
Impresión y escritura:
41 616 toneladas
Empaques de alimentos:
1 814 toneladas
Embalaje
(se recicla mucho
más de lo consumido,
producto de las
importaciones)
69 384 toneladas
Aproximadamente
20%
se recupera
para ser reciclado
toneladas
818 757
Periódico:
106 850 toneladas
Empaques de alimentos:137 208 toneladas
Embalaje (cartón medio corrugado):
69 384 toneladas
el
Para reﬂ exionar y debatir
¿Cuántas toneladas de papel se consumieron en Venezuela
en 2010? ¿Cuántas fueron recicladas? Asumiendo que para
generar las toneladas usadas en 2010 no se usaron fi bras
recicladas, ¿cuántos árboles se talaron ese año para fabricar
tal cantidad de papel? ¿Qué puedes hacer para colaborar
con la conservación del ambiente?
Reciclaje de papel
en Venezuela en 2010
Números Naturales 7
© editorial santillana, s.a.

Conjunto de números naturales (N )
Actívate
¿Cómo puedes saber cuántos habitantes hay en un país? ¿A cuál conjunto
numérico pertenecerían los elementos que usarías para identificar a cada persona?
En el conjunto de los números naturales se tiene que 0 , 1; 1 , 2; 2 , 3;
3 , 4… es decir 0 ,1 , 2 , 3 , 4…
Por lo tanto, no hay números naturales entre 0 y 1, ni entre 1 y 2 ni entre
ningún par de números naturales consecutivos.
Conjunto de los números naturales (N)
Los números naturales sirven para contar y ordenar. Se pueden utilizar,
por ejemplo, para contar los habitantes de un país, o indicar la posición
que ocupa una persona en una competencia.
Los siguientes casos son ejemplos del uso de los números naturales:
• En Venezuela hay 43 parques nacionales y 30 monumentos naturales.
•
El Teatro Teresa Carreño, ubicado en Caracas, Distrito Capital,
tiene capacidad para albergar 2 900 personas.
El conjunto de números naturales es infinito porque, dado un número
natural, siempre es posible encontrar su consecutivo.
Orden en N
Los números naturales sirven para contar y ordenar los elementos de
un conjunto. Por ejemplo, en una carrera de fórmula 1, no solamente
es necesario conocer cuántos carros terminan la carrera; también
es importante saber el orden en que llegan a la meta. El orden resulta
al comparar dos números naturales y determinar cuál es el menor
y cuál es el mayor.
Cuando se comparan dos números naturales
a y b, se cumple una y solo
una de las siguientes condiciones:
•
a es mayor que b. Esta relación se escribe a . b.
•
a es menor que b. Esta relación se escribe a , b.
•
a es igual a b. Esta relación se escribe a 5 b.
Al comparar los números 42 y 37 se puede afirmar que 42 es mayor
que 37, es decir, 42 . 37.
En la recta numérica
a , b si el punto que representa a a en la recta se
encuentra a la izquierda del punto que representa a
b. Por ejemplo, 3 , 8
porque 3 está a la izquierda de 8 en la recta numérica:
Números
consecutivos
Dos números que
se suceden uno al
otro se denominan
consecutivos.
Por ejemplo,
5 y 6 son
consecutivos.
Zoom
El conjunto de los números naturales se representa
con el símbolo N, y se escribe: N
5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6...6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
El Parque Nacional Parima
Tapirapecó es el más grande
de Venezuela. Está ubicado
al sureste de la Amazonia
venezolana abarcando
3 420 000 hectáreas.
Tema 1
8 Números naturales
© editorial santillana, S
.
A
.
© editorial santillana, S.A.

Conjunto de números naturales (N )
Ejemplo
En una competencia de halterofilia, una competidora logró levantar
los siguientes pesos en 5 intentos: 200 kg, 250 kg, 225 kg, 180 kg y 275 kg.
Si en cada intento logró levantar un peso mayor al logrado en el anterior,
¿cuál fue el peso que levantó en cada intento?
Procedimiento
Respuesta:
el orden de los pesos fue 180 kg; 200 kg; 225 kg; 250 kg y 275 kg.
Los números naturales pueden ordenarse de menor a mayor (forma
creciente), o de mayor a menor (forma decreciente), utilizando las
desigualdades a , b o a . b respectivamente.
Actividades
Para realizar en el cuaderno
1 Repr en la recta numérica cada grupo de números. Luego ordénalos de menor a mayor
y viceversa.
a) 12; 26; 34; 67; 14; 20 d) 11; 23; 14; 46; 73; 54 g) 11; 6; 27; 81; 40; 59
b) 36; 25; 10; 9; 0; 12 e) 7; 45; 14; 21; 62; 0 h) 98; 74; 10; 46; 33; 3
c) 9; 25; 17; 58; 79; 84 f) 23; 78; 63; 34; 42; 9 i) 52; 2; 47; 74; 12; 18
2 Deter los números representados en cada recta numérica resaltados en rojo.
a) c)
b) d)
0 1 2 0 3
0 5 0 2
3 Responde.
a) ¿Son 8 y 12 números pares consecutivos? ¿Por qué?
b) ¿Los números 1; 3 y 5 son números impares consecutivos? ¿Por qué?
c) Si m es un número par, ¿cuál es el par que le sigue?
d) Si se tiene un número natural cualquiera y su sucesor, ¿cuál de los dos es el mayor?
4 Resuelv los problemas.
a) En una competencia de ciclismo, siete de
las competidoras están a 25 m, 10 m, 17 m,
12 m, 9 m, 4 m y 13 m de la meta. ¿En qué
orden, comenzado por la que está más cerca,
están las competidoras en ese momento?
b)
Un atleta logró las siguientes distancias al
lanzar seis veces una jabalina: 100 m, 112 m, 135 m, 98 m, 120 m y 152 m. ¿Cuáles fueron sus marcas en cada lanzamiento si las hizo de menor a mayor distancia?
200 kg → 200 180 kg → 180
250 kg → 250 275 kg → 275
225 kg → 225
180 , 200 , 225 , 250 , 275
160 180 200 220 240 260 280
225 250 275
1. Se expr
números naturales.
2. Se representa la situación
en la recta numérica.
3. Se ordenan de menor
a mayor.
Conjunto de números naturales (N) 9
© editorial santillana, S.A. © editorial santillana, S
.
A
.

Operaciones en N
Ejemplo
Cinco personas irán a la playa y calculan que gastarán Bs. 1 050. Si cuatro de ellas
aportan Bs. 255, Bs. 180, Bs. 220 y Bs. 175. ¿Cuánto debe aportar la quinta persona?
Procedimiento
Adición y sustracción en N
La adición y la sustracción se usan en diversas situaciones cotidianas, como
en la administración que hace una persona de su dinero.
Respuesta: la quinta persona debe aportar Bs. 220 para completar el presupuesto.
Multiplicación y división en N
La multiplicación y la división se pueden utilizar, por ejemplo, para calcular porcentajes.
Operación Ejemplo Definición
Adición24 365 1 11 314 5 35 679
Dados
a, b, c [ N, a 1 b 5 c; donde a y b
son sumandos y
c es la suma.
Sustracción5 263 2 4 112 5 1 151
Dados
a, b y c [ N, a 2 b 5 c, siempre
que
a 5 b 1 c; donde a es el minuendo,
b es el sustraendo y c es la diferencia o resta.
Se adicionan los aportes conocidos de cada una de las personas y el resultado se sustrae de la cantidad que calcularon gastar.
255 1 180 1 220 1 175 5 830
1 050 2 830 5 220
Raciones: 950
*
80 5 76 000
Nuevo número de días: 80115595
76 000 4 95 5 800 950 2 800 5 150
Se dividen las raciones entre el nuevo
número de días y se calcula la cantidad de
vacas que puede alimentar con ellas. Así se
obtiene la cantidad de vacas que debe vender.
Ejemplo
Un ganadero tiene alimento para 950 vacas por 80 días. Si quiere que el alimento dure 15 días más, sin disminuir la ración diaria, ¿cuántas vacas debe vender?
Procedimiento
Multiplicación
5 206 *
24 5 124 944
Dados
a, b y c [ N, a
*
b 5 b1b1b1b1…1b 5 c
a y b son los factores y c el producto.
División
Dados
D, d, c y r [ N (d  0; r,d),
D 5 d
*
c 1 r; D es el dividendo, d el divisor,
c el cociente y r el residuo o resto.
1 07’5’
25
7 5 43
0
dividendo
residuo
divisor
cociente
a número de veces
FactoresProducto
Tema 2
Actívate
¿Cómo se administra el dinero al salir de viaje? ¿Qué operaciones se utilizan?
Operación Ejemplo Definición
10 Números naturales
© editorial santillana, S
.
A
.
© editorial santillana, S.A.

Analiza la situación y responde.
Una señora resolvió la operación 2 166 4 15 de esta manera:
(1 500160016016)415. Obtuvo como cociente (10014014)5144,
y 6 como residuo.
a) ¿Cuál sería el cociente y cuál el residuo si se usa 2 16652 10014511516?
b) ¿De qué otra forma se puede hacer este cálculo?
Potenciación en N
La potenciación es una multiplicación abreviada. Se puede utilizar, por ejemplo,
para calcular la cantidad de personas que conforman una línea familiar.
Defi niciones
de la
potenciación
• Todo número
(excepto el
cero) elevado
al exponente
cero es igual
a uno.
• Todo número
elevado al ex-
ponente uno
es igual al nú-
mero dado.
Zoom
Operación Ejemplo Defi nición
Potenciación
11
4
5 11
*
11
*
11
*
11

5 14 641
Dados
a, b y n [ N, a
n
5 a
*
a
*
a...
*
a 5 b; donde
a es la base, n el exponente y b la potencia.
1 Resuelve cada operación.
a) 15 356112 9865 f) (2 5002487)435 k) 859 4862788 6975 o) 22
3
5
b) 85 233284 9995 g) 12
5
5 l) 654 712
*
285 p) 10
6
5
c) 2 689 4821285 h) 21
4
5 m) 2 689 48212735 q) 81
3
5
d) 6 987 45013255 i) 10 110 1114 35 n) 3 074 98418425 r) 4
5
5
e) (150236)
*
(125225)5 j) 965 781 1 54 8235 ñ) 9
7
5 s) 11
3
5
Actividades
Para realizar en el cuaderno
EjEmplo
Una pareja tuvo 3 hijos y una hija. Cada uno de los varones, a su vez, tuvo 3 hijos
y una hija, y así sucesivamente. ¿Cuántos primos tiene una bisnieta de la pareja?
Procedimiento
Respuesta:
una bisnieta de la pareja tiene 24 primos.
1. Se representa el problema
con un gráfico. En este caso,
solo se simboliza los varones.
También se puede calcular la
cantidad de bisnietos elevando
el 3 al número de generación.
2. Se realizan los cálculos.
Hijos → 3

5 3
1
; Nietos → 9 5 3
2
;
Bisnietos → 27 5 3
3

Como cada bisnieta tiene 3 hermanos,
27 2 3 5 24
Pensamiento crítico
2 Resuelve los problemas.
b) Una persona es menor que otra por 8
años. ¿Cuál será la diferencia de sus edades
dentro de 5 años?
a) Daniel tiene 3 cajas rojas; dentro de cada una
hay 4 cajas verdes; y cada caja verde contiene
5 cajas amarillas, que a su vez contienen
6 cajas azules. ¿Cuántas cajas azules hay?
n veces
1
a
generación
2
a
generación
3
a
generación
oPeraCioNes eN N 11
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Ecuaciones en N
Igualdades
Una igualdad representa la relación entre expresiones que tienen el mismo valor.
Para expresar una igualdad se utiliza el signo igual (5). Por ejemplo:
Una ecuación es una igualdad que involucra operaciones entre constantes y una o varias incógnitas, que suelen escribirse con letras minúsculas.
Las igualdades que incluyen números y letras se llaman ecuaciones, la cuales son ciertas solo para un valor de la incógnita. Por ejemplo, la ecuación
x 1 3 5 7, sólo es cierta para x 5 4.
Comprobación:
x 5 4 → 4 1 3 5 7
Elementos de una ecuación
Los elementos de una ecuación son las incógnitas, el grado, los miembros y los términos.
Variable o incógnita
Letra cuyo valor
es desconocido Términos
Todas y cada una de las expresiones
que forman los miembros de la igualdad.
Si son números se les llama constantes.
Grado
Máximo exponente con
el que aparece la variable.
Miembros
Expresiones que se encuentran
a cada lado del signo 5 x 1 10 5 13
primer
miembro
segundo
miembro
Un número satis-
face una ecuación
si al sustituir la
incógnita por él la
igualdad es cierta.
Recuerda
Tema 3
Actívate
¿Cómo se puede saber la cantidad que se debe colocar a cada lado
de una balanza para mantener su equilibrio?
4 kg adicionados con 3 kg es igual 7 kg;
es decir, 4 1 3 5 7. Como en ambos lados
de la igualdad hay solo números,
la igualdad es numérica.
Cierta cantidad de kilogramos adicionados
con 3 kg es igual a 7 kg, es decir,
x1357.
Como en la igualdad hay un valor desconoci-
do, la igualdad es una ecuación.
Igualdades númericas Igualdades algebraicas
7kg4 kg
3 kg 3kg
7kg
x
12 Números naturales
© editorial santillana, S
.
A
.
© editorial santillana, S.A.

Ecuaciones en N
Lenguaje algebraico
En el lenguaje cotidiano hay situaciones en las que se usan números naturales
que se pueden expresar con un lenguaje algebraico, es decir, mediante
símbolos, números y signos. Por ejemplo, para expresar la suma de dos números
consecutivos puede escribese
x 1 (x 1 1).
Ejemplo 1
La cantidad de libros que tiene Antonio, aumentada en cinco, es igual a cuarenta. ¿Cómo expresarías la situación mediante una ecuación?
Procedimiento
Ejemplo 2
La diferencia de las edades de dos hermanos es de cinco años. Si la edad del hermano mayor es el doble de la del hermano menor, ¿cómo plantearías la situación con una ecuación?
Procedimiento
Edad del hermano menor → x
Edad del hermano mayor → 2
x
1.
Se identif
datos significativos.
La diferencia de sus edades es de 5 años
→ 2
x 2 x 5 5.
2.
Se plantea la ecuación.
Cantidad de libros → x
Cantidad aumentada en cinco →
x 1 5
1.
Se identif
datos significativos.
La cantidad de libros aumentado en cinco, es igual a cuarenta →
x 1 5 5 40.
2.
Se plantea la ecuación.
1 Identif cuáles de las siguientes igualdades son ecuaciones.
a) 7 1 8 5 15 c)
x 1 10 5 16
e) x 5 2
*
(3x) g) 2 x 1 2 5 14 i) 5 1 3
*
5 5 20
b) 2
x 1 x 5 3
d) 6 1 30 5 36 f) 12
*
2 5 24 h) 3 x 5 6 j) 11 2 3 x 5 2
2 Deter la incógnita, los términos y el primer y segundo miembro de cada ecuación.
a)
x 1 8 5 15
d) 3 z 1 5 5 22 g) 2 r 1 5r 5 4 j) z 1 6 5 10 m) t 1 6 5 10
b) 2
x 1 5 5 3 x
e) w 1 6 5 2 w h) 3 f 2 5 5 4 f k) 1 1 y 5 11 n) 3 x 1 5 5 17
c) 11 1
y 5 32
f) t 1 3t 5 16 i) 8 y 1 3 5 27 l) 4 z 2 2 5 6 ñ) 2 y 1 1 5 13
Actividades
Para realizar en el cuaderno
a) El dob
es igual a 20.
b) Dos personas han gastado Bs. 850.
Una gastó el doble de la otra.
c) Una persona tiene ahorrada una cantidad
de dinero. Cuando tenga 15 bolívares más,
entonces tendrá el triple de lo que tiene ahora.
d) La mitad de un número es igual a 10.
e) Trece es igual a un número menos tres.
f) El triple de un número más su doble
es igual a quince.
g) La suma de dos números consecutivos
es 21.
3 Expr cada situación en forma de ecuación.
Ecuaciones en N 13
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.
A
.

Solución de ecuaciones en N
ACTÍVATE
Sí pagas el monto total de varios artículos y desconoces el precio de alguno,
¿cómo obtienes el dato que hace falta sin preguntarlo y sin ver la factura?
TEMA 4
Solución de problemas usando ecuaciones
Hallar la solución de un problema usando ecuaciones implica plantear una ecuación a partir de
la situación propuesta y descubrir el valor de la incógnita. Para resolver problemas que implican
el uso de ecuaciones se siguen estos pasos:
1. Interpretación del enunciado. Se identiﬁ can en el enunciado los datos y lo que se busca calcular.
Luego se asigna una letra (incógnita) a la información desconocida en el enunciado.
2.  Planteamiento y solución de la ecuación. Se construye una expresión en forma de ecuación.
Luego se resuelve la ecuación y se redacta la solución en los términos del problema.
3.  Comprobación de la solución. Se veriﬁ ca si la solución cumple las condiciones del enunciado
del problema.
Solución de ecuaciones en N
En este tema se estudiarán ecuaciones que tienen una única solución. La solución de una ecuación es el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta. Una ecuación tiene solución en el conjunto de los números naturales si el valor de la incógnita pertenece a N.
Resolver una ecuación signiﬁ ca encontrar su solución. En la ecuación x N 4  7, el valor que hace que la igualdad se cumpla es 3, porque 3 N 4  7. Por tanto, x  3 es la solución de la ecuación.
Para hallar la solución de una ecuación, se deben tomar en cuenta las siguientes propiedades de las igualdades:
•  Si a los miembros de una igualdad se les adiciona o se les sustrae una misma cantidad, la igualdad
no se altera.
•  Si los miembros de una igualdad se multiplican o se dividen por un mismo número, diferente de cero,
la igualdad no se altera.
EJEMPLO
Resolver la ecuación 3x N 2  155.
Procedimiento
3x N 2 155
3
x N 2 2 155 2
3x 153
3
x 3 155 3
x  51
1  Se plantea la ecuación.
2    Se sustrae 2 a ambos miembros
de la igualdad para eliminar la
constante en el primer miembro.
3  Se dividen ambos miembros de la igualdad entre 3.

14 NÚMEROS NATURALES
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ACTÍVATE
Sí pagas el monto total de varios artículos y desconoces el precio de alguno,
¿cómo obtienes el dato que hace falta sin preguntarlo y sin ver la factura?
2  Se resuelve la ecuación.
3  Se comprueba el resultado.
1  Se comprende el problema
y se plantea la ecuación.
Respuesta: la altura del ediﬁ cio es de 950 cm, es decir, 9,5 m.

x
2
o
avión
2 (x50)
1
er
avión
3 (x350)
EJEMPLO 1
Un paracaidista se lanza desde cierta altura. Al recorrer 1 000 m en caída
libre abre su paracaídas y luego recorre otros 500 m hasta llegar al suelo.
¿Desde qué altura se lanzó el paracaidísta?
Procedimiento
Respuesta: el paracaidista se lanzó desde 1 500 m.
2  Se resuelve la ecuación.
3  Se comprueba el resultado.
1  Se comprende el problema
y se plantea la ecuación.
x  1 000  500
x1 000ﬁ1 000500ﬁ1 000
x  1 500
1 500 1 000  500
x 1 000 m
500 m
EJEMPLO 2
El avión que traslada a un grupo de paracaidistas pesa 1 100 kg, lo que representa 12 veces el peso de cada paracaidista más 80 kg. ¿Cuál es el peso de cada persona?
Procedimiento
Respuesta:
cada paracaidista pesa 85 kg.
12x ﬁ 80  1 100
12
xﬁ80801 10080
12
x  1 020
x  85
12
ﬁ
(85)ﬁ801 100
1  Se comprende el problema
y se plantea la ecuación.
3  Se comprueba el resultado.
2  Se resuelve la ecuación.
x

80 kg

12x
1 100 kg
3(
x  350)  2( x  50)
3
x  1 050  2 x  100
3
x1 050ﬁ1 0502 x100ﬁ1 050
3
x  2x  950
3
x2x 2x2xﬁ950
x 950
3(950)  1 050 2(950) 100
1 800
1 800
EJEMPLO 3
Sobre un ediﬁ cio de x centímetros de altura pasó un avión volando a 3(x 350) cm.
Luego de unos minutos pasa otro avión a una altura de 2(
x 50) cm.
Si ambos aviones pasaron a la misma altura, ¿cuál es la altura del ediﬁ cio?
Procedimiento
SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN N 15
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EJEMPLO 4
La suma de tres números naturales consecutivos es igual a 48, ¿cuál son los números?
Procedimiento
Respuesta: los números son 15; 16 y 17.
x →  1
er
número

x ﬁ 1  →  2
o
número

x ﬁ 2  →  3
er
número
x ﬁ (x ﬁ 1) ﬁ (x ﬁ 2)   48
x ﬁ (x ﬁ 1) ﬁ (x ﬁ 2)   48
3
x ﬁ 3   48
3
x ﬁ 3  3   48  3
3x   45
3
x  3   45  3
x   15
Como 15ﬁ(15ﬁ1)ﬁ(15ﬁ2)
15 ﬁ 16 ﬁ 17   48, además,15, 16 y 17
son números consecutivos, entonces
la solución es correcta.
1  Se asigna una incógnita a la información desconocida
en el enunciado.
2  Se plantea una ecuación de acuerdo con los datos.
3  Se resuelve la ecuación hallando el valor de la incógnita.
4  Se hallan los números y se comprueba la solución.
EJEMPLO 5
Un campo de bolas criollas es rectangular y su perímetro es igual a 270 m.
Si su largo es el doble del ancho, ¿cuál será la medida exacta del largo y del ancho?
Procedimiento
Respuesta: el ancho del campo de bolas es de 45 m y el largo es de 90 m.
P   2x ﬁ x ﬁ 2x ﬁ x   270
270  2
x ﬁ x ﬁ 2x ﬁ x
270  6 x
270  6  6 x  6
45
x → x 45
Como 270   2
ﬁ
(45) ﬁ 45 ﬁ 2
ﬁ
(45) ﬁ 45,
entonces la solución es correcta.
1  Se asigna una incógnita a la información desconocida
en el enunciado.
3  Se resuelve la ecuación hallando el valor de la incógnita.
4  Se comprueba el resultado.
2  Se plantea una ecuación de acuerdo con los datos.

2x
x
x  → ancho
2
x → largo
16
NÚMEROS NATURALES
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Actividades
Para realizar en el cuaderno
1 Resuelve las ecuaciones.
a) 23
xN225 g) 28 xN188 x m) x327 r) 152 xN153305 x
b) 3xN2x+8 h) 6 xN2272 n) 4 x326 s) 4 x218
c) 2
x5Nx i) 5 x72 x ñ) 3 xN12(3 x) t) xN2131
d) 3
x78 j) 2( xN7)32 o) 20 xN5x1 225 u) 2 x6x
e) 5
x24 x k) 2( xN1)3( x1) p) 33 x25 v) 5 x41
f)150
xN50175 x l) 2x312 q) 2 xN33 x w) x265
3 Responde los problemas planteados.
a) El doble de la edad de Alicia es igual a
la edad de Daniel, y la edad de José es el
doble de la de Daniel menos 20. Si las edades
suman 85, ¿qué edad tiene cada uno?
b) El perímetro de un jardín rectangular
es de 80 m. Si el largo del jardín es tres veces
el ancho, ¿cuál es el largo y el ancho?
c) En una reunión de 24 personas hay 2 veces
más mujeres que hombres y tres veces más
personas adultas mayores que adultas jóvenes.
¿Cuántas mujeres hay? ¿Cuántas personas
adultas jóvenes hay?
d) Un nadador recorre el largo de una piscina
una vez. Luego repite el recorrido dos veces;
y, finalmente, tres veces. Si en total nadó
300 m, ¿cuál es el largo de la piscina?
e) La edad de Zara es el triple de la de Carlos,
y la de José es el doble de la de Zara. Si las
tres edades suman 130 años, ¿qué edad tiene
cada uno?
f) La cantidad de flores que tiene Marisol
aumentada en seis es igual a cuarenta.
¿Cuántas flores tiene Marisol?
Analiza y responde.
Una persona compró 2 cauchos. Por lo que pagó, hubiese
podido comprar en otra cauchera 4 cauchos, y ahorraba
Bs. 200 por cada uno.
a) ¿Cuánto costaba cada caucho en la otra cauchera?
b) ¿Cuánto gastó en la compra?
c) ¿Es buena la oferta que perdió? ¿Por qué?
Oferta
Pensamiento crítico
a) La suma de cuatro números consecutivos
es igual a 38. ¿Cuáles son esos números?
b) El doble de un número más el triple de ese
número es igual 25. ¿Cuál es el número?
c) Un número menos su mitad es igual a 16.
¿Cuál es ese número?
d) Un número menos dos es igual a dos veces
el mismo número menos nueve. ¿Cuál es
ese número?
e) La suma de dos números consecutivos es
igual a 15. ¿Cuáles son los números?
f) Diez veces un número menos diez es igual
a cero. ¿Cuál es el número?
g) Un tercio de un número menos uno es igual
a dos. ¿Cuál es el número?
h) Quince veces un número es igual a dos veces
el número más trece. ¿Cuál es el número?
2 Plantea cada situación como una ecuación, halla su solución y responde las preguntas planteadas.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN N 17
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18 NÚMEROS NATURALES
Actividades de refuerzo
Para realizar en el cuaderno
Comprensión
1 Identifica los números naturales
en cada grupo.
a) 70; 3, 5; 213; ﬁ12; 256; 0,25
b)
7
3
; 17,8; 500;
2 3
; 101; 28; 45,6
c) 2, 6;
2
3
;
2 4
;
4 5
; ﬁ1; 0
d)
2
3
; 234; 1, 67; 25; 1,04; ﬁ8
2 Representa cada número en la recta numérica.
a) 13; 24 y 35
b) 1170; 1165 y 1172
c) 1755; 1762 y 1750
d) 25478; 25483 y 25490
3 Efectúa cada operación.
a) 36 681 306
ﬂ 9 997 814
b) 6 917 090 635
ﬂ 8 090 974 521
c) 71 343 157
ﬁ 31 847 529
d) 6 909 294 ﬁ 6 090 294
e) 5 178
ﬁﬂ
464
f) 65
ﬁﬂ
(125 ﬂ 73)
g) 32 ﬂ (12
ﬁ
12)
h) 84
ﬁﬂ
(10 ﬂ 15) ﬂ 33
i) 44 128  14
j) 637 825
25
k) 28 224  (36
ﬁﬂ
4)
4 Halla el valor de x en cada caso.
a) 5
x ﬂ 11  21 f) 2 x  3  12
b) 3
x ﬁ 2  2x g) 2 ( x ﬂ 7)  4x
c) 2x ﬂ 18  x 21 h) 2 x ﬂ 7  4x ﬁ 5
d) 21
ﬂ 5x  86 i) x ﬁ 8  12
e) 3
x ﬂ 8  29 j) 2 x ﬁ 5  19
5 Ordena los números de menor a mayor.
a) 64; 68; 54; 60; 55; 71; 59; 69
b) 176; 186; 183; 189; 178; 180; 182
c) 7 510; 5 710; 1 750; 5 017; 1 075; 7 150
Análisis y aplicación
6 Responde.
a)  ¿El número de tu cédula es un número
natural? ¿Por qué?
b)  ¿Los números 3 y 7 son impares
consecutivos? ¿Por qué?
c)  ¿La diferencia entre dos números naturales
siempre es un número natural? ¿Por qué?
d)  ¿En la operación 12
ﬁﬂ
(58 ﬁ 35) se cumple
la propiedad distributiva con respecto
a la sustracción? Compruébalo.
e)  Un número más su consecutivo es igual
a veinticinco. ¿Cuál es el número?
7 Lee los planteamientos y responde.
a)  Una empresa productora de papel usa
20 árboles y 200 000 ﬁ
de agua para
generar 1 000 kg de papel blanco. ¿Cuál sería la cantidad de árboles y agua para generar 1 750 kg?
b)  El perímetro de un triángulo es la suma
de las longitudes de sus lados. Si los lados de un triángulo son números naturales consecutivos y su perímetro es 12 cm, ¿cuál es la longitud de cada lado del triángulo?
c) Una persona hace un salto en bungee usando una cuerda de 30 m de longitud, desde un viaducto de 50 m de altura, ubicado en la ciudad de Mérida.
• Al lanzarse,
la cuerda se elonga 11 m. ¿A qué distancia del suelo se encuentra la persona en ese momento?
  •  Si luego la cuerda
se retrae 23 m, ¿a qué distancia del suelo está la persona?
30 m
11 m
23 m
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NÚMEROS NATURALES 19
La astronomía es la ciencia que se encarga de estudiar
el Universo, los cuerpos celestes, sus movimientos
y los fenómenos ligados a ellos. Gracias a esta ciencia se conoce
la distancia entre galaxias, estrellas, planetas y otros cuerpos
celestes, la cual está expresada con números naturales. Por
ejemplo, la distancia entre el Sol y la Tierra, es de 149 600 000
kilómetros. Esa distancia se llama Unidad Astronómica (UA).
•  Escribe un ejemplo sobre el uso de números naturales para
expresar medidas de elementos relacionados con el Universo.
d) En una pista de atletismo, tres chicas
participan en una carrera de 1 500 m.
Las tres parten al mismo tiempo y al cabo
de 18 s la primera está a 36 m
de diferencia de la segunda, quien a su vez
logra una diferencia de 36 m sobre
la tercera. Si la tercera ha recorrido 18 m,
y a partir de ese momento todas corren
a una velocidad constante de 1 m por
segundo, ¿cuánto tiempo tarda cada una
en correr los 1 500 m, tomando en cuenta
que llegan en el orden descrito?
e) Francisco de Miranda nació
el 28 de marzo de 1750.
En 1781 viajó a España
donde fue nombrado
Teniente Coronel del
ejército Real de España.
En 1785 viajó a Rusia
y conoció a la emperatriz
Catalina II. Más tarde,
en 1810, regresó a Caracas y fue nombrado
Jefe del Ejército patriota. En 1812 fue
acusado de traición a España y encarcelado,
para luego ser trasladado a la prisión del
Arsenal de La Carraca, en Cádiz, donde
murió en 1816.
•   ¿En qué país se encontraba Francisco
de Miranda a los 31 años?
•    ¿Qué edad tenía cuando fue acusado
de traición?
Opinión y síntesis
8 Analiza y opina.
a)  Una compañía encargada del tratamiento
de aguas servidas recibe en un día 1 525 698 litros de aguas negras, de los cuales 982 315 litros se purifican para su nuevo uso y el resto es desechado.
•   ¿Cuántos litros de aguas negras recibe
la compañía anualmente?
•   ¿Cuántos litros se desechan?
•    ¿Qué propuestas harías para que
se puriﬁ que 100% del agua?
b) Una recicladora de aluminio recibe
a diario 421 toneladas de metal para
ser reciclado. Cada tonelada es separada
en grupos, dependiendo de la pureza
del material.
•   Si 525 kg de cada tonelada van
al grupo A, 137 kg al grupo B y el resto
al grupo C, ¿cuántas toneladas hay
en los grupos A, B y C diariamente?
•   ¿Cuáles otros materiales crees que
deberían ser reciclados ? ¿Por qué?
c)  Un obrero de una construcción devenga
un sueldo de Bs. 85 diarios. Cada hora
extra que trabaja se la pagan en Bs. 15.
Al cabo de 30 días de trabajo obtuvo
un total de Bs. 2 565.
•   ¿Cuántas horas extra trabajó?
•    ¿Te parece justo el pago? ¿Por qué?
Conexos con... Astronomía
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20 NÚMEROS NATURALES
Estrategia de resolución de problemas
Problemas
1 Una persona hace dulces tradicionales
para vender en la playa. Vende conservas
de coco en Bs. 3,50 la unidad y catalinas
en Bs. 5,50 cada una. Si un día vendió
56 dulces y recibió Bs. 220 por todos ellos,
¿cuántas catalinas vendió?
2 A través de la ventana de una tienda de
bicicletas y triciclos se pueden contar 270 ruedas. Si hay 119 unidades en exhibición, ¿cuántas son bicicletas?
3 En una obra se utilizaron 20 sacos
de material, unos eran de cemento diluido de 50 kg y otros de grava de 30 kg. Si en total se usaron 820 kg, ¿cuántos sacos eran de cemento diluido?
4 En una pecera se observan 22 crustáceos
marinos, entre camarones y langostas. Considerando que los camarones tienen 5 pares de patas y las langostas 4 pares, y en total se contaron 216 patas, ¿cuántos crustáceos eran langostas?
En un terrario experimental viven 30 artrópodos, entre arañas y hormigas. Si se calcularon 202 patas, ¿cuántas arañas y hormigas hay?
1.  Se parte de una falsa
premisa: “todos estos
artrópodos son arañas”.
Entonces, habría
30
ﬁ
8  240
patas, pero se sabe
que hay 202 patas;
entonces se cometió un
error de
240 ﬁ 202  38 patas
Falsa suposición
Cuando en un problema hay elementos de dos clases diferentes y es necesario averiguar
cuántos elementos hay de cada clase, es posible recurrir a la estrategia de la falsa
suposición. Para esto, se parte de la falsa premisa de que todos los elementos son
de una sola clase.
Ejemplo resuelto
2.  Se analiza el error. El error se debe
a que se consideró como arañas a todos los artrópodos del terrario. Cada vez que se contaba una hormiga como araña se fallaba en 8 ﬁ 6  2 patas. Por lo que se falló 38 ÷ 2 = 19 veces.
3.  Se encuentra la respuesta. Como se falló 19 veces,
entonces 19 de los artrópodos no son arañas sino hormigas. En el terrario hay 19 hormigas y 11 arañas.
4.  Se comprueba el resultado: 19
ﬁ
6 + 11
ﬁ
8 = 114 + 88 = 202
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Idea para la acción
NÚMEROS NATURALES 21
3 Preparación de materiales
• Consigan una balanza o peso para pesar
los paquetes de papel. Si no la consiguen
pueden usar una de las empleadas para
medir el peso de las personas y usarla
restando el peso de quien sostiene
los paquetes.
• Tengan a la mano cinta adhesiva y alambre
o pabilo para empaquetar y clasificar
los papeles.
4 Puesta en acción
•  Hagan una pequeña campaña
de concientización acerca del uso apropiado de papel y las vías para reciclarlo.
•  Recauden el papel, clasifíquenlo y pésenlo.
•  Trasladen el papel a la empresa de reciclaje
y contabilicen el dinero obtenido.
Periódico
Cartón
Papel blanco
Propósito:  ejecutar una campaña de reciclaje de papel como estrategia
de conservación ambiental y de recaudación de fondos.
1 Documentación
•  Busquen información sobre las diferentes empresas de reciclaje de papel en su comunidad. •  Investiguen cuáles tipos de papel reciben para reciclar y el valor estimado por kilo. •  Tomen nota de los posibles lugares destinados para la recolección, como la institución donde
estudian, una ONG, la sede de la Junta de Vecinos la casa de un o una integrante del equipo,
entre otras.
•  Recopilen información acerca de las posibles formas de trasladar el papel recaudado
a la recicladora.
2 Planiﬁ cación
• Definan el lugar de recolección y almacenamiento, la fecha de entrega del material
a la recicladora y las personas adultas que supervisarán la actividad.
• Repartan panﬂ etos en la comunidad y en el liceo, con la fecha de ejecución de la campaña
de reciclaje y los tipos de papel a recolectar, como periódico, hojas para escribir o para imprimir, revistas y cartón.
• Definan el uso que le darán al dinero que se obtendrá con la venta del material reciclado.
Reciclaje de papel
5 Evaluación
•  Comparen los resultados con los de otros grupos y evalúen las maneras en que
se ejecutó cada proyecto.
•  Respondan preguntas como: ¿cuántos kilos de papel se recaudaron? ¿Pudieron haber sido más?
¿Por qué? ¿Se pueden hacer otras recolecciones como esta? ¿Cuáles?  ¿Para qué servirían?
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194 probabilidad y estadística
IDeA PARA LA AccIÓN
Hay muchas diferencias en el consumo promedio de agua
por persona al día entre las diversas regiones del planeta.
Por ejemplo, Venezuela es el país latinoamericano con mayor
consumo de agua per cápita.
¿Cuánta agua consume diariamente
una persona en Venezuela?
Fruto-estadística
Al ﬁ nal de esta unidad
elaborarán un estudio
estadístico sobre
el consumo de frutas
en la institución donde
estudian.
Fuente: - Human Development Report (2006-2008)
China Brasil Francia Japón Venezuela Australia EE UUFranciaBrasilChina FranciaFranciaBrasilBrasilChinaChinaChina
575
495
400
375
285
185
85ﬁ
ﬁ
ﬁ
ﬁ
ﬁ
ﬁ
ﬁ
Consumo de agua diario por persona (litros)
En Venezuela el consumo de agua por persona suele superar
los 400  al día, cuando la Organización de Naciones Unidas (ONU)
establece que con 180  es suﬁ ciente.
LOGROS eSPeRADOS
• Reconocer la presencia
de las informaciones
numéricas en la vida
cotidiana.
• Recoger datos de situacio-
nes cotidianas.
• Representar en distintas
formas: tablas, gráficos
u otros.
• Realizar interpretaciones
y conclusiones a partir
de datos mostrados
en tablas o gráficos.
U5
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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probabilidad y estadística 195
Para reﬂ exionar y debatir
¿Cuánta agua consume diariamente
una persona en Venezuela?
Según los datos estadísticos registrados en esta gráﬁ ca, ¿cuál es el país
que más agua consume por persona? ¿Cuál es el que más se ajusta
a la norma? Entre Venezuela y China ¿cuál país consume más agua?
Sabiendo que en China hay 1300 millones de habitantes y en Venezuela
hay aproximadamente 28 millones de habitantes,
¿qué opinas de la cantidad de agua que se consume?
Fuente: - Human Development Report (2006-2008)
China Brasil Francia Japón Venezuela Australia EE UUEE UUAustraliaVenezuelaJapón EE UUAustraliaAustraliaAustraliaVenezuelaVenezuelaVenezuelaJapón
575
495
400
375
285
185
85ﬁ
ﬁ
ﬁ
ﬁ
ﬁ
ﬁ
ﬁ
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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196 Probabilidad y estadística
Un experimento aleatorio es un fenómeno cuyo
resultado no se puede predecir y que se puede repetir
en condiciones prácticamente idénticas.
Espacio muestral
El espacio muestral de un experimento aleatorio se refiere al conjunto
de todos los resultados posibles del experimento. Por ejemplo, si se lanza un dado
y se observa el número de puntos en la cara superior, el espacio muestral es
el conjunto
1, 2, 3, 4, 5, 6 porque son todos los resultados que pueden obtenerse.
Eventos o sucesos
Un evento o suceso es una situación que puede ocurrir o no en un
experimento aleatorio. Un subconjunto del espacio muestral es un evento
o suceso. Por ejemplo, al lanzar el dado, el subconjunto
1, 3, 5 del espacio
muestral
1, 2, 3, 4, 5, 6 es un evento que se puede caracterizar en palabras
como “sale un número impar”.
Por ahora sólo se considerarán experimentos equiprobables, es decir,
experimentos en los cuales todos los resultados posibles tengan la misma
oportunidad de ocurrir. Esto sucede en el caso del dado, suponiendo que
esté construido de un material homogéneo, ya que su forma simétrica
no favorece a ninguna cara sobre las demás.
Experimento aleatorio
Un fenómeno se llama “determinista” cuando su resultado se conoce de antemano.
Por ejemplo, si se pone un cubito de hielo en agua tibia, se sabe que se derretirá;
y si el agua se calienta a 100° C, se sabe que hervirá. En cambio, un fenómeno que
es “aleatorio” admite varios resultados posibles y no se puede predecir exactamente
cuál de ellos ocurrirá. Así, por ejemplo, cuando se lanza una moneda al aire,
no se sabe si mostrará cara o sello al caer. Otros eventos aleatorios son:
•
Lanzar un dado sobre una mesa y observar el número de puntos que quedan
en la cara superior.
• El sexo del primer bebé que nazca en Venezuela después de la medianoche
del próximo 31 de diciembre.
Existen algunos fenómenos aparentemente impredecibles, pero que con
los conocimientos adecuados, se pueden predecir con exactitud, como
los eclipses. En cambio, otros fenómenos físicos parecen ser impredecibles
por naturaleza, por ejemplo, el instante exacto en que ocurrirá un tsunami.
En conclusión, se dice que:
Si se lanza una moneda
las opciones de resul-
tado son cara o sello.
En este caso, el espacio
muestral se escribe
así: {cara, sello}.
Probabilidad
Actívate
Cuando juegas al fútbol o al voleibol, ¿puedes predecir de antemano quién
ganará? ¿Por qué?
Tema 1
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.
A
.
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Probabilidad 197
Respuesta: la probabilidad de que salga un número impar es de 0,5.
Cálculo de la probabilidad de un evento
Para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento denominado E,
que sea equiprobable, se usa la siguiente fórmula:
Un suceso puede ser seguro, posible o imposible según la factibilidad de ocurrencia:
Los casos favorables son los resultados del experimento para los cuales ocurre
el evento E, y los casos posibles son el número total de resultados que puede
arrojar el experimento. Es decir, el número de casos posibles es el número
de elementos del espacio muestral, mientras que el número de casos favorables
es el número de elementos del evento E.
P(E) =
número de casos favorables
número de casos posibles
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número impar?
Procedimiento
Seguro PE 5 1
Sacar una metra verde de una bolsa con
10 metras verdes
Posible 0 , PE , 1 Al lanzar una moneda, salga cara
Imposible PE 5 0
Al lanzar un dado que tiene números
del 1 al 6, se obtenga un 15
Tipo de suceso Valor de la probabilidad Ejemplo
Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6
6 casos posibles
Casos favorables: 1, 3, 5.
3 casos favorables porque solo
hay 3 números impares
2.
Se deter
favorables.
3. Se aplica la fórmula.
1. Se determina la cantidad de casos
posibles. Es decir, el número
de elementos del espacio muestral.
P(salga número impar) 5
3
6
5 0,5
1 Deter si cada una de las situaciones corresponde o no a un experimento aleatorio.
2 Halla el espacio muestral en la situación “Sembrar tres semillas de frijol y determinar si germinan
o no germinan”. Luego encuentra un suceso probable, uno seguro y uno imposible.
Actividades
Para realizar en el cuaderno
a) Lanzar dos dados al aire.
b) Elegir tres fichas de dominó que sin ver
sumen 6.
c) Lanzar un dado y dos monedas al aire.
d) Asistir a clases con uniforme.
e) Escoger entre dos estudiantes representantes
para el comité estudiantil.
f) Adivinar el número premiado de la lotería.
Probabilidad
Probabilidad
de un evento
Si llamamos k
al número de ca-
sos favorables de
un evento E y
n
al número de
casos posibles,
se tiene que
P
E 5
k
n
.

como entonces
0  k  n,
al dividir entre n
resulta:
0 
k
n

n
n
,
es decir:
0  PE  1.
Por lo tanto,
la probabilidad
de un evento
es un número
comprendido
entre 0 y 1.
Zoom
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A
.

198 Probabilidad y estadística
Ejemplo 1
Al lanzar una moneda 3 veces seguidas, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara (C)
en el primer lanzamiento, sello (S) en el segundo lanzamiento y cara (C) en el tercero,
es decir, CSC?
Procedimiento
Respuesta:
la probabilidad de obtener CSC es de 0,125.
Para contar las ramas de un diagrama de árbol sin dibujarlo, se puede usar el principio multiplicativo.
Por ejemplo, si una persona tiene 3 camisas y 2 pantalones distintos, el espacio muestral
correspondiente a todas las posibles combinaciones que puede hacer la persona con esas camisas
y pantalones tiene 3 · 2 = 6 elementos. Entonces, el diagrama de árbol tiene 6 ramas.
3.
Se calcula la probabilidad.
1. Se representa un diagrama
de árbol en el cual se muestren todas las opciones posibles en cada lanzamiento.
Diagrama de árbol
El diagrama de árbol es una representación que puede ayudar a describir gráficamente el espacio muestral. Cada línea del diagrama se llama camino o rama los cuales son un posible resultado del suceso.
Por ejemplo: un computador se programa para construir todos los posibles
números que se pueden formar con una cantidad de cifras determinada.
El programador desea poner a prueba su programa introduciendo los números
5 y 9. Para saber cuántos números de dos cifras debe producir el programa,
se representa el diagrama de árbol de la derecha.
Entonces, el programa debe producir cuatro números que son 55; 59; 95 y 99.
Actívate
¿Cómo calculas la probabilidad de que un evento ocurra tres veces consecutivas?
¿Será más o menos probable que la probabilidad de que ocurra una sola vez?
Diagrama de árbol
Inicio
cara
cara
cara
cara
sello
sello
sello
sello
cara
cara
cara
sello
sello
sello 1
er
lanzamiento 2˚ lanzamiento 3
er
lanzamiento
P(E) =
número de casos favorables
número de casos posibles
5 1
8
5 0,125
2. Deter
del árbol son casos favorables. En este caso, las opciones resaltadas constituyen la rama
o el camino
3 y es la única que muestra el caso favorable
de obtener cara en el primer lanzamiento, sello en el segundo y cara en el tercero.
1
2
3
4
5
6
7
8
Primer
dígito
Segundo
dígito
555
9 59→
→
5
595
9 99
→ →
9
Tema 2
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A
.
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Diagrama de árbol 199
Ejemplo 2
En una bolsa hay 2 metras rojas y 2 azules. Si todas son del mismo tamaño y se sacan
dos, una después de la otra, sin mirar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean azules?
Procedimiento
2.
Deter
ramas del árbol son casos favorables. En este caso, las ramas 9
y 12 del diagrama son las que
muestran casos favorables de obtener AA, es decir, azul
en la primera extracción y azul en la segunda. Por tanto,
son 2 casos favorables.
1.
Se r
diagrama de árbol
donde se muestren
las opciones posibles
en cada extracción.
Como en la primera
extracción se saca una,
en la segunda quedan
tres posibilidades.
1 Ela un diagrama de árbol para mostrar todos los posibles resultados de cada situación.
a) Una mujer tiene 2 blusas y 4 pantalones. ¿De cuántas formas se puede vestir
si combina una blusa con un pantalón?
b) Se lanza una moneda al aire 3 veces. ¿Cuántos eventos pueden ocurrir?
c) En una cantina venden empanadas, arepas, pastelitos, jugos naturales y jugos envasados. ¿Cuántas
combinaciones de desayuno se pueden hacer escogiendo solo una comida y una bebida?
d) Si se lanza una moneda y un dado, ¿de cuántas formas se puede obtener sello
con la moneda y un número primo con el dado?
2 Resuelvlos problemas.
Actividades
Para realizar en el cuaderno
a) Una moneda se lanza tres veces. Si en
todos los lanzamientos sale cara, la moneda será de Juan. Si sale sello tres veces, será de Pedro. Si dos veces sale cara y una vez sello, será de María. ¿Quién tiene mayor probabilidad de quedarse con la moneda?
b)
Un matrimonio quiere tener tres hijos.
¿Cuál es la probabilidad de que nazcan por lo menos, 2 varones? ¿Cuál es la probabilidad de que los tres sean del mismo sexo?
P(E) =
número de casos favorables
número de casos posibles
5 2
12
 0,17
R
11
a
extracción 2
a
extracción
Inicio
R
R
R
R
A
A
R
A
A
A
A
R
A
R
A
1
2
3
4
5
6
7
8
10
11
9
12
3. Se calcula
la probabilidad.
Respuesta: la probabilidad de obtener AA es de 0,17.
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200 Probabilidad y estadística
Recolección de datos
Hay varias formas de recolectar datos. Algunas de ellas son:
• Observación directa. Método utilizado, por ejemplo, por personas que,
estudian los animales y las plantas en su hábitat natural,
como los zoólogos, los botánicos y, en general, todos los científi cos.
• Observación experimental. Con este tipo de observación
se recaban datos a través de experimentos cuidadosamente planeados. Es un método muy utilizado por físicos y químicos.
•
Cuestionarios. Constan de preguntas utilizadas, por ejemplo, por
los científi cos sociales para obtener información sobre las opiniones,
creencias, deseos o preferencias de un grupo humano.
• Investigación documental. Consiste en buscar datos recogidos
por otros y publicados en libros, revistas, memorias, etc.
Los datos se recogen de una población, es decir, de un grupo de elementos que se requieren estudiar, como seres humanos, animales, plantas y productos, entre otros.
Si una población es muy numerosa, recoger datos de todos sus miembros
resulta costoso y complejo. Por eso se recurre frecuentemente a la selección
de una muestra que es una parte (o subconjunto) de la población.
Datos
Un dato puede ser un número, una palabra o cualquier conjunto de símbolos
utilizados para describir alguna característica de una situación en estudio.
Por ejemplo, edad, peso, fecha de nacimiento y color de ojos, son datos sobre
una persona. El número de habitantes, la superficie y el producto interno bruto
son datos básicos sobre cualquier país.
La recolección y organización de datos es de fundamental importancia
en numerosas actividades ya que, por ejemplo:
•
Los gobernantes necesitan datos demográfi cos, económicos y sociales precisos
para elaborar planes de desarrollo ajustados a la realidad de su país. Los censos
de población y vivienda, como el realizado en Venezuela en 2011,
son uno de los métodos empleados para reunir ese tipo de datos.
•
En las investigaciones científi cas, los resultados de los experimentos se
registran y analizan cuidadosamente para poder llegar a conclusiones válidas.
• En la industria de los alimentos se toman constantemente muestras
de los productos elaborados para analizarlos y verifi car que cumplan
con las normas sanitarias, a fi n de evitar daños en la salud de los consumidores.
Actívate
El Instituto Nacional de Estadística es el ente gubernamental encargado de
recolectar datos de la población venezolana. ¿Cómo crees que los recolectan?
Población
Muestra
Muestra
Población
Tema 3
Recolección y organización de datos
Estadística
La estadística
es la ciencia que
se encarga de
la recolección,
organización,
análisis
e interpretación
de datos.
Conexos con...
Estadística
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Recolección y organización de datos 201
Analiza la información y responde.
En una población se realiza un censo cuya finalidad es determinar
el número de habitantes y la condición de su vivienda. Para ello,
se realizan preguntas como edad, sexo, tipo de vivienda que posee,
y lugar de nacimiento. De esas preguntas, ¿cuáles crees que deben
ser las más importantes, según la finalidad del censo? ¿Por qué?
1 Constr una tabla que muestre el número de estudiantes que hay por cada edad:
12; 13; 15; 15; 11; 12; 14; 13; 15; 12; 15; 12; 12; 10; 11; 12; 13; 15; 14; 15; 12; 13; 14; 15; 12; 13; 15; 14; 13; 12; 15; 12; 11; 10; 15; 11; 15; 11; 15; 14.
2 Pr a 30 personas cuál es su color favorito. Luego organizar la información
en una tabla de datos.
3 Escr la edad, el sexo, el peso y la estatura de cada compañero y compañera
de clase. Registra las frecuencias en forma de tabla y organízalas de la manera que te parezca más conveniente para compartir estos datos con otras personas.
Para realizar en el cuadernoActividades
2. Se cuenta cuántas personas prefi eren
cada deporte. Los resultados se colocan en la celda a la derecha de cada uno.
1.
Se construye una tabla de dos columnas.
En la primera fi la se colocan los conceptos:
deporte y número de personas. Luego en la primera columna todos los deportes que surgieron como respuestas.
Tablas de datos
En estadística, las tablas de datos tienen muchos usos. Generalmente sirven para resumir los resultados de una encuesta.
Ejemplo
Al aplicar un cuestionario a un grupo de 13 personas acerca de su deporte preferido, las respuestas obtenidas fueron: béisbol, fútbol, kárate, voleibol, béisbol, fútbol, kárate, béisbol, béisbol, baloncesto, voleibol, baloncesto y voleibol. Organizar estos datos en una tabla de datos.
Procedimiento
Deporte N° de personas
Béisbol
Voleibol
Fútbol
Baloncesto
Kárate
Deporte N° de personas
Béisbol 4
Voleibol 3
Fútbol 2
Baloncesto 2
Kárate 2
Pensamiento crítico
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A
.

202 Probabilidad y estadística
Esos mismos datos pueden
representarse gráficamente
de varias maneras, una
de las cuales se ilustra
en el diagrama de barras
de la derecha. A cada
valor de la variable
le corresponde una barra
cuya longitud representa
el número de personas
que la prefieren, es decir,
la frecuencia absoluta
del valor. Cada barra
se identifica mediante
el rótulo con el nombre
del tipo de música
correspondiente.
Estos diagramas también
se pueden dibujar con barras
verticales, como se muestra.
Variables
En estadística, se llama variable a cualquier característica de la situación o de
los objetos de estudio que pueda tomar valores diversos. Ejemplos de variables
son la edad, la estatura o el deporte preferido de un grupode personas. Las variables
se clasifican en cuantitativas, cuando son numéricas como la edad y la estatura,
y cualitativas, cuando no son numéricas como el deporte preferido
por una persona, el sexo o el color de los ojos.
Frecuencias
La frecuencia es la cantidad de veces que se repite un dato. Estas
pueden ser absolutas o relativas.
•
Frecuencia absoluta. Número de veces que cada valor de una
variable es observado en una población o muestra. Si se calcula
la frecuencia absoluta de cada valor posible de una variable se
obtiene su lista o rol de frecuencias, que es el caso más sencillo
de distribución de frecuencias. La siguiente tabla contiene la lista
de frecuencias absolutas de la variable “tipo de música”.
Actívate
¿Has oído expresiones como “aquí suceden accidentes frecuentemente” o “esta
semana llovió de manera frecuente”? ¿Qué quiere decir la palabra “frecuente”?
Distribución de frecuencias
Tipo
de música
Frecuencia
absoluta
Salsa 5
Merengue 3
Rock 3
Llanera 2
Pop 1
Clásica 1
0 1 2 3
Frecuencia absoluta
Música
Salsa
Merengue
Rock
Llanera
Clásica
Pop
4 5 6
0
1
2
3
Frecuencia absoluta
Música
Salsa Merengue Rock Llanera ClásicaPop
4
5
6
Tema 4
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A
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Distribución de frecuencias 203
• Fr. Cociente entre la frecuencia absoluta y el número total
de datos registrados. En el ejemplo del tipo de música, el número total de datos
es 15, por lo tanto la frecuencia relativa del tipo de música salsa es
5
15
.
A continuación se resumen, en una tabla, las frecuencias absolutas y relativas
para todos los valores de la variable “tipo de música preferida”.
Música
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Salsa 5
5
15

=
1
3


33,33%
Merengue 3
3
15

=
1 5

=
20%
Rock 3
3
15

=
1 5

=
20%
Llanera 2
2
15


13,33%
Pop 1
1
15


6,67%
Clásica 1
1
15


6,67%
Total 15
15 15

=
100%
1 Ela una tabla con la frecuencia absoluta y relativa correspondiente al peso en kilogramos
de 40 estudiantes: 42; 47; 45; 44; 46; 48; 45; 49; 46; 44; 50; 41; 49; 43; 48; 42; 49; 44; 47; 45; 42;
47; 44; 48; 46; 41: 48; 42; 46; 43; 45; 48; 41; 45; 42; 47; 48; 45; 50; 45.
2 Constr una tabla de frecuencias y su gráfico de barras con la información dada.
En un museo registran semanalmente el día que tuvieron el máximo número de personas
durante esa semana. El siguiente es el registro del primer trimestre del año: viernes, sábado, domingo, viernes, jueves, viernes, viernes, sábado, sábado, viernes, sábado, domingo.
Para realizar en el cuadernoActividades
Es común referirse a las frecuencias relativas como porcentajes. La frase “20%
de los estudiantes prefiere el merengue” equivale a decir que la frecuencia relativa
de esa música es
20
100
, es decir 0,2 o
1
5
.
Para representar las frecuencias relativas se puede utilizar un gráfico circular. Para
este caso, a cada tipo de música le corresponde un sector circular de área proporcional
al número de personas que la prefieren. El ángulo de cada sector se obtiene
de multiplicar 360º por la frecuencia relativa del valor expresada en fracción.
En este diagrama se utiliza
un código de colores para
identificar cada tipo de
música. Si no se dispone de
color, se puede escribir una
leyenda que identifique a cada
sector. También se acostumbra
a indicar el porcentaje del área
del círculo que corresponde
a cada sector.
Diagrama circular
1
3
 360˚5 120˚
1 5
 360˚5 72˚
2
15
 360˚5 48˚
1
15
 360˚5 24˚
Salsa
Merengue
Llanera
Rock
Pop
Clásica
Diagrama circular
6,67%
33,33%
20%
20%
13,33%
6,67%
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A
.

Intervalos de clase e histogramas
La frecuencia absoluta representa la cantidad de datos
que pertenecen al intervalo. La frecuencia acumulada
de un intervalo es la suma de su frecuencia absoluta,
más la frecuencia acumulada que la precede.
Intervalo de clase
(nº de hits)
Conteo
Frecuencia
absoluta
50 – 55 6
55 – 60 5
60 – 65 5
65 – 70 1
70 – 75 6
75 – 80 6
80 – 85 4
Total 33
Intervalos
de clase
Conteo
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
acumulada
50 – 55 6 6
55 – 60 5 6 1 5 5 11
60 – 65 5 11 1 5 5 16
65 – 70 1 16 1 1 5 17
70 – 75 6 17 1 6 5 23
75 – 80 6 23 1 6 = 29
80 – 85 4 29 1 4 5 33
Total 33
1 Se determinó el tamaño de cada intervalo de clase. El tamaño del intervalo puede ser cualquiera. En este caso se tomó 5 hits como amplitud o tamaño del intervalo.
2 Se construyen los intervalos. El primero va desde el dato menor más el tamaño del intervalo. Es decir, el primer intervalo va desde 50, que es el dato menor, hasta 50 1 5 5 55; así, el intervalo es 50 2 55. En este caso, 50 es el límite inferior y 55 es el límite superior. Para el segundo intervalo se considera como límite inferior el límite superior del primer intervalo y se repite el proceso anterior. Así sucesivamente, hasta llegar al último intervalo que contiene el dato mayor.
3 Una vez determinados los intervalos, es necesario contar el número de datos que hay en cada intervalo. Cuando se cuentan los datos, en cada intervalo se incluyen los datos correspondientes al primer valor pero no al último.
jugadores han bateado entre
17
50 - 70 HITS
Tema 5
Actívate
¿Cómo representas datos de intervalos numéricos en un gráfico de barras?
204 Probabilidad y estadística
Agrupación de datos en intervalos de clase
Cuando los valores que puede tomar una variable son numerosos,
se dice que es una variable de tipo continuo, sus valores se pueden
agrupar en grupos de datos llamados intervalos de clase.
Por ejemplo, a cada miembro de un grupo de jugadores de béisbol
se le midió la cantidad de hits durante una temporada; los
resultados obtenidos fueron: 50; 52; 60; 70; 58; 52; 51; 63; 81; 57;
60; 79; 75; 72; 51; 75; 70; 59; 60; 56; 78; 77; 80; 53; 80; 63; 69;
58; 77; 73; 71; 70; 83. ¿Cómo se pueden organizar estos datos
en una tabla?
jugadores 53
jugadores 55 jugadores 52
jugadores 54 jugador 51
Representación
© editorial santillana, S
.
A
.

Histograma
Un histograma es un diagrama en el cual las barras se
ubican una al lado de la otra, sin espacio que las separe.
Se utilizan para representar variables cuantitativas o
intervalos de clase y transmitir la idea de que los datos
varían en una escala continua.
Por ejemplo, durante un mes a un equipo de béisbol local se
le cuenta la cantidad de carreras anotadas en los partidos de
una temporada. Los resultados fueron: 14; 12; 10; 10; 9; 12;
11; 9; 2; 5; 20; 15; 12; 16; 9; 8; 10; 8; 9; 5; 6; 7; 9; 10; 11 y 17.
¿Cómo pueden ser representados estos datos en un gráfico?
1 Se agrupan los datos en una tabla.
2 Se representan los datos en un histograma según como aparezcan en la tabla de frecuencia absoluta.
Del gráfico se puede inferir lo siguiente: •
En 11 partidos, se anotaron entre 5 y 15 carreras.
•

De 26 partidos, solo en uno se anotó entre
0 y 5 carreras.
• Solo en 3 partidos se anotaron entre
15 y 20 carreras.
Bob
Abreu
0.308 Maglio Ordóñez 0.200 Carlos González 0.300 Miguel Cabrera 0.351 Elvis Andrus 0.273 Omar Vizquel

0.364
Gerardo Parra

0.378
Víctor Martínez

0.235
Jonathan Herrera 0.353 Yorvit Torrealba 0.499
Actívate
¿Cómo representas datos de intervalos numéricos en un gráfico de barras?
Algunos peloteros venezolanos de las grandes ligas obtuvieron un promedio de bateo entre 0.200 y 0.500; según estudio
del Correo del Orinoco, prensa de la embajada de la República Bolivariana de Venezuela en Estados Unidos,
del 23 de marzo del 2011 (Consultada el 10/10/2011).
Intervalos de clase
(Cantidad de carreras)
Conteo
Frecuencia
absoluta
0 – 5 1
5 – 10 11
10 – 15 10
15 – 20 3
20 – 25 1
Total 26
Frecuencia absoluta
(Cantidad de jugadores)
Promedio de bateo
4
3
2
1
0
0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450 0,500
Frecuencia absoluta
(Partidos en una temporada)
Cantidad de carreras
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
5 10 15 20 25
Intervalos de clase e histogramas 205
© editorial santillana, S
.
A
.

Respuesta: si se toman los intervalos de clase de 5 kg de amplitud, las marcas
de clase pueden ser 77,5; 82,5; 87,5; 92,5; 97,5 y 102,5.
1. Se escriben los
intervalos de clase
en la tabla.
2. Se calculan las marcas
de clase para cada intervalo.
Ejemplo
En un equipo de béisbol se mide el peso de los jugadores en kilogramos. Los datos obtenidos fueron los siguientes: 75; 78; 80; 90; 95; 102; 85; 82; 91; 100; 101; 95; 80; 81; 77; 89; 88; 98; 96; 95; 81; 92; 96; 99; 84; 79; 81; 83; 96; 101; 102; 99; 87; 78; 77 y 84. ¿Cuáles podrían ser las marcas de clase para estos datos?
Procedimiento
Marca de clase
La expresión marca de clase se utiliza para designar un valor representativo
de todo el intervalo. Generalmente, como marca de un intervalo
a 2 b se
toma su punto medio y se calcula así:
marca de clase 5
a 1 b
2
.
1 Obser los datos, procésalos y luego responde las preguntas. Para procesar los datos
haz una tabla con una amplitud de 5 años, con frecuencia absoluta y acumulada.
Las edades de 40 estudiantes de música son: 10; 10; 9; 11; 12; 13; 12; 11; 5; 7; 15; 12;
19; 11; 12; 13; 12; 10; 5; 7; 20; 22; 21; 6; 10; 7; 16; 13; 19; 9; 26; 20; 19; 11; 12; 11; 10; 20; 5 y 7.
a) ¿Cuál es el intervalo de clase donde hay más estudiantes?
b) ¿Cuál es el intervalo de clase donde hay menos estudiantes?
c) ¿Cuál es la marca de clase para el primer intervalo?
2 Escr los datos que podrías obtener a partir de los siguientes intervalos:
(10 – 15): 2 personas; (15 – 20): 1 persona y (20 – 25): 7 personas. • Ahora responde.
a) ¿ En qué intervalo estará una persona de 21 años?
b) ¿Cuál sería la marca de clase para cada intervalo?
c) Si hubiese una persona de 45 años, ¿cuántos intervalos de clase más habría
que incluir?
3 Constr un histograma con las edades de tus compañeros y compañeras de clase.
Luego realiza un análisis separando los datos por género y por altura.
Actividades
Para realizar en el cuaderno
Intervalos de clase
(Peso en kg)
Frecuencia
absoluta
Marcas
de clase
75 – 80 6 77,5
80 – 85 9 82,5
85 – 90 4 87,5
90 – 95 3 92,5
95 – 100 9 97,5
100 – 105 5 102,5
Total 36
La estadística
en el deporte
Las estadísticas de-
portivas ayudan
a registrar el logro de
un atleta en
cualquier disciplina.
Así sucede en la
natación, donde
se mide el tiempo
que hace un nadador
al completar una
piscina olímpica.
Conexos con...
Deporte
206 Probabilidad y estadística
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.
A
.
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Elabora un histograma con los datos y responde:
Una persona de la tercera edad se ejercita durante algunos minutos al día.
En un mes, estos fueron los minutos que usó para ejercitarce: 15; 10; 11; 5; 12; 11; 3;
20; 25; 12; 12; 10; 8; 25; 30; 12; 11; 9; 24; 15; 25; 12; 23; 12; 31; 25; 18; 16; 16 y 15.
a)
¿Cuál es el promedio de minutos de ejercicio que hace diariamente?
¿En qué clase de intervalo se encontraría ese promedio?
b) ¿Qué le recomendarías a esa persona?
Pensamiento crítico
4 Ag los datos en una tabla de intervalos de clase con una amplitud de 2 segundos.
Un profesor de natación tiene registrados los tiempos, en segundos, que tardan sus
nadadores en recorrer los 50 metros de una piscina olímpica; los tiempos son: 23,5; 24,6;
23,0; 25,6; 27,7; 24,5; 25,6; 26,4; 22,6; 28,7; 25,5; 27,6; 30,1; 32,4; 29,7; 24,2; 25,1; 27,3;
27,6; 29,7; 23,2; 31,6; 30,2; 32,4; 24,7; 24,1; 24,5; 27,3; 27,8; 28,8; 25,0; 31,3; 30,1; 32,4;
31,7; 23,1; 24,5; 27,3; 27,7 y 26,8.
• Responde:
a) ¿Cuál es el intervalo de tiempo donde hay más nadadores?
b) ¿Cuántos nadadores hacen tiempos menores a 26?
5 Constr la tabla de intervalos de clase de acuerdo con los datos usando frecuencia
absoluta, acumulada y marcas de intervalos de clase. Luego grafica el histograma.
Los siguientes datos representan la profundidad en metros alcanzada por varias tortugas
marinas: 20; 21; 23; 40; 32; 12; 5; 12; 25; 27; 36; 19; 18; 28; 30; 33; 45; 60; 45; 55; 52; 32; 21; 12; 6; 12; 9; 12; 20; 54; 57; 23; 30; 9; 23; 45; 49; 47; 32; 49; 23; 16; 20; 36; 38; 42; 40; 39; 36; 15; 20; 10; 15; 59; 58; 45; 36; 25; 12; 9; 19; 22; 21; 44; 47; 43; 38; 59; 29; 49; 49; 46; 22; 45; 22; 16; 20; 36; 35; 44; 33; 39; 36; 15; 20; 14 y 16.
• Responde:
a) ¿Cuál fue la cantidad de tortugas analizadas?
b) ¿Cuánto representa la mayor marca de clase?
c) ¿Cuántas tortugas han bajado menos de 50 metros?
d) Si se toma el primer intervalo de clase desde 0 y el último hasta los 70 metros,
¿habría intervalos de clase sin registro de tortugas? ¿Por qué?
e) Si se quieren hacer intervalos de clase con una amplitud de 2 metros, ¿cuántos habría?
6 Obser el histograma y responde:
a) ¿Cuál es la cantidad total de personas
en el consultorio médico?
b) ¿Cuántas personas son menores de 10 años?
c) ¿Cuántas personas adultas con edades mayores
o iguales a 60 años están en el consultorio?
d) ¿A qué crees que se deba que haya un espacio
entre la segunda y tercera barra?
e) ¿Cuáles son las marcas de clase para
los intervalos de clase del histograma? Edades de unas personas en un consultorio médico
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
12
10
8
6
4
2
Frecuencia absoluta
(Cantidad de personas)
Intervalos de clase e histogramas 207
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.
A
.

Para realizar en el cuadernoActividades de refuerzo
Comprensión
1 Resuelv las situaciones.
a) En una caja hay cinco pelotas rojas, tres verdes,
una azul y una negra.
• ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja?
• ¿Cuál es la probabilidad de sacar una negra?
• ¿Cuáles probabilidades son iguales? ¿Por qué?
b) Un mazo de naipes está compuesto por
52 barajas de 4 pintas: corazón, trébol, picas
y diamante. Cada pinta tiene 13 barajas,
de las cuales 10 son números y cuatro son
letras (A, J, Q y K).
• ¿Cuál es la probabilidad de sacar un
número 7?
• ¿Cuál es la probabilidad de sacar
cualquier letra?
• ¿Cuál es la probabilidad de sacar cualquier
carta de trébol?
c) En una pecera hay 35 peces entre azules y
rojos, distribuidos así: 15 peces son de aleta larga y el resto de aleta corta; solo 4 son de aleta larga y además de color azul; todos los demás peces son rojos.
•
Al usar una red y sacar uno al azar, ¿cuál
es la probabilidad de que sea de aleta corta? ¿Y de que sea de color rojo?
•
¿Cuál es la probabilidad de que sea azul?
2 Deter las probabilidades.
a) Lanzar dos dados y que la suma de los puntos sea igual a 8.
b)
Lanzar un dado y que el número sea primo. c) Lanzar dos dados y que la suma de los puntos sea igual a cualquier númer
o par.
d) Lanzar un dado y que el número sea múltiplo
de 3.
3 Obser el tablero de ajedrez y responde.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al
escoger un peón negro al azar, esté en una casilla negra?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que,
al mover un caballo negro, se mueva a una casilla negra?
c) Si se meten todas las piezas en una caja,
¿cuál es la probabilidad de sacar al azar una torre blanca?
4 Graf según corresponda.
a) Un diagrama circular a partir de los datos:
b) Un histograma con los datos:
12; 10; 16; 11; 7; 15; 18; 10; 9; 5; 6; 7; 7;
18; 9; 14; 11; 12; 10; 6; 15; 12; 10; 8; 20; 19; 16; 20; 8; 18; 6; 5; 15; 16; 13; 12; 12; 15; 20; 7; 9; 10; 16; 10; 16; 12.
5 Calcula las frecuencias relativas o absolutas
a partir de los diagramas circulares, según corresponda.
a) Total frecuencia
absoluta: 50 personas.
b) Total frecuencia absoluta: 360 estudiantes.
90
o
45
o
45
o
180
o
20%
10%
30%
4%
36%
Color
Nº de personas
que lo prefieren
Amarillo 42
Azul 36
Rojo 12
Verde 16
208 Probabilidad y estadística
© editorial santillana, S
.
A
.

La ciencia actuarial o actuaria, es una disciplina matemática
que aplica métodos estadísticos a la evaluación de riesgos
en las industrias, aseguradoras y financieras, por medio
de las probabilidades, las estadísticas y otras ciencias como
la economía. Gracias a la tecnología de las computadoras
esta ciencia ha evolucionado en sus métodos estadísticos.
Investiga en Internet sobre el uso de las ciencias actuariales
en las empresas aseguradoras y cuál es la relación que guardan
con la matemática.
Opinión y síntesis
7 Calcula las frecuencias acumuladas, grafica
el histograma y responde.
a) Un estudio sobre el uso y horario
del teléfono de una casa arrojó estos datos:
• ¿En cuáles intervalos de horas
se realizaron más llamadas?
• ¿Cuántas llamadas se hicieron desde
las 5:00 p.m.?
• Si un plan de llamadas permite hacer
20 llamadas por el costo de una, de 8:00 a.m. a 11:00 a.m., ¿qué recomendarías a esta casa para aprovechar el plan al máximo?
b) Una encuesta sobre el consumo diario
de pastillas para el dolor de cabeza arrojó los siguientes datos: 1; 2; 0; 0 ; 0; 1; 2; 3; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 2; 1; 0; 3; 2; 1; 0; 0; 3; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 2; 2; 1;0; 2; 1; 0.
•
¿Cuántas personas toman más de una
pastilla diaria para el dolor de cabeza?
• ¿Conoces otros métodos para evitar
el dolor de cabeza? ¿Cuáles?
• ¿Qué haces cuando te duele la cabeza?
Análisis y aplicación
6 Repr en un diagrama de barras
y en uno circular y luego responde.
a) Datos sobre el consumo de comida
en una institución escolar.
• ¿Cuál es la diferencia, en porcentaje,
del consumo de pollo con respecto al de cereal?
•
¿Cuál es la diferencia de ángulo al centro
del diagrama circular entre el ángulo mayor y el menor?
b) En una piñatería se compraron juguetes de
varios materiales para rellenar una piñata.
• ¿Cuál es la diferencia en porcentaje entre
los juguetes de plástico y los de madera?
• ¿Cuál es la probabilidad de que, al romperse
la piñata, se tome al azar un juguete de goma? ¿Y uno de metal?
Tipo de comida Cantidad de personas
Pollo 52
Carne 15
Pescado 9
Ensalada 12
Sopa 10
Cereal 30
Tipo de juguete Cantidad de juguetes
Plástico 12
Madera 13
Goma 10
Metal 8
Horas Cantidad de llamadas
8:00 a.m. - 11:00 a.m. 5
11:00 a.m. - 2:00 p.m. 12
2:00 p.m. - 5:00 p.m. 4
5:00 p.m. - 8:00 p.m. 15
8:00 p.m. -11:00 p.m. 9
Conexos con... Ciencias actuariales
Probabilidad y estadística 209
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A
.

Problemas
P 5
2
6
5
1 3
fi 33,3%
Entonces la probabilidad de que Pedro se siente entre las dos chicas es de
1 3
,
o 33,3%, aproximadamente.
Pedro, Rosa y María se ubican en tres asientos contiguos en el cine.
¿Cuál es la probabilidad de que Pedro se siente entre las dos chicas?
1. Se elabora un diagrama de árbol
usando los posibles sucesos
planteados en la situación.
2. Se cuenta la cantidad de casos
del espacio muestral, en este caso,
son 6 porque hay 6 caminos o
ramas en el diagrama.
3. Se cuentan los casos que favorecen
a que Pedro esté sentado entre
las dos chicas en este caso, son 2;
y se calcula la probabilidad.
1 Se lanza un dado y una moneda. ¿Cuál
es la probabilidad de obtener sello y un número primo?
2 Se lanza una moneda tres veces seguidas.
¿Cuál es la probabilidad de que salga sello una sola vez?
3 Se lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la
probabilidad de que salga cara todas las veces?
4 Daniel, Andreína, Giovanni y Rosaura
juegan tenis en parejas. ¿Cuántas parejas se pueden formar? ¿En cuántas está Andreína?
5 Se lanza un dado dos veces seguidas. ¿Cuál es
la probabilidad de obtener un 4 y un 5?
6 Andrés tiene 2 pantalones, 3 camisas y 2
corbatas. ¿De cuántas maneras diferentes puede combinarse Andrés?
7 En una bolsa hay pelotas con los números
del 1 al 9. Se extrae una pelota y luego otra sin introducir la primera en la bolsa. Así mismo, se extrae una tercera pelota. Con los 3 números obtenidos se forma un número de 3 cifras ubicadas en el mismo orden de extracción. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?
1
er
asiento 2
o
asiento 3
er
asiento Resultado
Pedro
Rosa María PRM
María Rosa PMR
Rosa
Pedro María RPM María Pedro RMP
María
Pedro Rosa MPR Rosa Pedro MRP
Estrategia de resolución de problemas
Diagrama de árbol
Si ante todo problema se aspira llegar a la solución, es necesario organizar los datos
y, muchas veces, realizar un esquema apropiado. El diagrama de árbol muestra todas
las posibilidades que se pueden obtener de los datos, desde un punto inicial hasta
un punto final.
Ejemplo resuelto
1
3
5
1
4
6
210 Probabilidad y estadística
© editorial santillana, s.a. © editorial santillana, s.a.

Idea para la acción
Propósito: desarrollar un estudio sobre el consumo de frutas
en la institución donde estudias.
1 Documentación
• Busquen información acerca de los tipos de frutas que venden en el colegio
y cuáles llevan los y las estudiantes de sus casas.
• Investiguen acerca de los métodos existentes para hacer encuestas.
• Tomen nota de los posibles modelos de preguntas que les gustaría hacer
en la encuesta.
2 Planifi cación
• Diseñen el instrumento con el cual harán la encuesta. • Soliciten los permisos necesarios para hacer la encuesta. • Hagan una lista de todos los materiales requeridos para realizar la encuesta. • Tengan a mano la lista de horarios disponibles para no entorpecer
las clases de otros y otras estudiantes al momento de la encuesta.
• Hagan una distribución equitativa de los y las integrantes del equipo
en todo el colegio para distribuir el trabajo en partes iguales.
3 Preparación de materiales
• Preparen los materiales y sitios de trabajo para después de la encuesta.
• Anuncien, con tiempo, el día de la encuesta para que docentes
y estudiantes estén al tanto.
4 Puesta en acción
• Apliquen las encuestas según el instrumento desarrollado. • Recopilen toda la información en un solo sitio. • Cuenten varias veces y por personas distintas, los datos obtenidos,
para evitar errores contables.
5 Evaluación
• Transcriban los datos a una computadora
y organícenlos por tipos.
• Empleen distintos tipos de gráficos como
diagramas de barras, diagramas circulares
e histogramas, si es necesario.
• Realicen los análisis pertinentes a los gráficos.
Para ello, pueden plantearse preguntas como:
¿cuál fue la fruta más popular y cuál
es la diferencia con la menos popular?
¿Existe una cultura de consumo de frutas
entre la población estudiada?
Fruto-estadística
Probabilidad y estadística 211
© editorial santillana, s.a. © editorial santillana, s.a.

Matemática1año
Matemática1año
Matemática 1er año
Desde su propio nombre, Conexos -el conjunto
de bienes educativos que hemos elaborado para afrontar
los nuevos retos de la Educación Media- está comprometido
con un mundo de interrelaciones, en el que los saberes no son
estáticos ni están encerrados en espacios restringidos, sino que
andan en constante movimiento, dispersos en inﬁ nitas redes.
Estos materiales didácticos apuntan a potenciar los vínculos,
activar los contactos, descubrir los enlaces.
El aprendizaje signiﬁ cativo, que cultivamos como una de
las premisas conceptuales de todos nuestros materiales
didácticos, tiene una importancia creciente en esta serie, pues
atiende las necesidades de estudiantes que ya han avanzado
a otra fase de su educación formal. La necesidad de que
las competencias adquiridas sean útiles para la vida es
en Conexos una estrategia vital.

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