Matemáticas II Telesecundaria

LIBRO DE MATEMÁTICAS DE SEGUND GRADO DE TELESECUNDARÍA. AHORA CON SUS DOS VOLÚMENES JUNTOS.

1. 2do Grado Volumen 1

2. 2do Grado Volumen I

MATEM

ds

TELEsecundaria

3. ‘Notas ment dab ent Cana de oat sa delaiutoLatnaamean delaComuncacón
a LCE de aso cone one de bannen Saba deca Bay LCE

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PUBLICA
ina Vue Mets

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA
Tee fern Gora Sine

Dien Genera de Materials Eduatos
“a Ein bees js

Subdirección de Deseos Innovación
do Mateos educativos pra a Educación Secundaria

tación Edo

INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIÓN EDUCATIVA.

Dien General
Manu Quero Quo

Cooránaión e Infomática Educativa
Fée Cape

Diecén Académica Genera
nos Canal Cano

Coordinación Académica
mando Sas ae

ses Académica Servis totales
Na Tos Bj Cats OME Cine Drac dean
Be Elan Landman Dr Ces) ac Medes Got
(Comer LE Cm 2005)
Diner
Autoren ES
‘el Casio cs at Du Porc,
nes Mana Esposo At Siva Gi Peta, Disgamacón
Jos Cruz Gr Zag, Op re ope Es, rae Contes Gat Gon Fern
tein ets orto itn or ic, be Vi
Apoyo toy pdagógko Konagata:
Ma Coton Ora Mer Cri vacio
Coordinación era Digamacan
Even Brae Contes Gobi Gena frando

‘atin or Vic mae Vi
Primer cn. 2007 (o xl 20072008)

gor 28 Cow, ésto Cars, Curo Gomer, Coos xa,
06820 Mesta. DF ‘bl odes

San 978 970720 951-9 ara camp) rate

SON 378 570 70.833 ment Gr aio Fernando Vian

prio en co

4. Mapa-indice
Clave de logos

“ace y Muliplcación y división de números con signo

serena: robles ogrerones sigas

<A 3 Expresiones algebraicas y modelos geombéicos

secuencia 4 Ángulos

Pe y Sil

secuencia 6 Ángulos entre paralelas

ica 7 Larelaldn inversa de una lan depropordonaidd directa
esas proporcionalidad múlip

SCH > Problemas de conteo

Suc 10. Polganos de frecuendes

secuencia 11 La jerarquía de las operaciones

secuencia 12 Multiplicación y división de polinomios

secuencia 13 Cubos, prismas y pirámides.

secuencia 13. Volumen de prismas y pirámides

secuencia 15 Aplicación de volumenes

secuencia 16 Comparación de situaciones de proporcionalidad
secuencia 17 Medidas de tendencia central

Bibliografía
¿Quién es el INEA?
Recortables.

7. € anbojg

8. Deer nas peau unes sump man ete songes pme
ose me RPE Spain mm it LES

SODISQIONDAL SOsundau

+ anbojg

10. Clave de logos

TRABAJO INDIVIDUAL Sıios DE Inrenner

En PAREJAS BIBLIOTECAS ESCOLARES Y DE AULA

En Equiros

ToDo EL Gauro PROGRAMA INTEGRADOR EDUSAT

CONEXIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS. Interactivo

GLOSARIO AuDIOTExTO

CONSULTA OTROS MATERIALES. AULA DE MED1OS

CD DE RECURSOS Ornos Textos

BoD > 4 my

12. b/a=d/c

13. ENCIA 1

Multiplicación y:

división de números:
con signo

y En esta secuencia resolverá problemas que impliquen sumas, rests,
multiplicaciones y divisiones de números con signo.

sesión 1 LOS NÚMEROS CON SIGNO
>>> Para empezar
me
Enlasscouncias25y 93 det tro Matemáticas Volumen I sowie problems en

los que utilizaste sumas y estas de números con signo. En esta sesión recordarás cómo
==" hacer sas operaciones.

Los números con signo son los números positivos y los números negativos. El cero no
tiene signo.

Los números positivos se ubicn la derech del cero enla recta numérica. Pueden
ago on go an Cando Ronny «pore se
Son postives Por ejemplo: 49,16, 479. 1035, 48.74

ee eee
e escriben anteponiéndole el sign — Pr ejemplo: 7,1, 4.1,-1273, $, A

1
T TT r
+3479 +1095 «16

|
q 27

+e

14. MALEN

Cuando se hacen operaciones de números con signo, los números se escriben entre
paréntesis para no confundir los signs de los números con los signos de la operación.
Por ejemplo:

(+65) 15)
Se puede escribir Sen vez de +5 y entonces no son necesarios los parétises:
(4) +5=(-15),

>>> Lo que aprendimos

1. Unasustancia química que esti a una temperatura de -5“C se calienta en un meche=
ro hasta que alcanza una temperatura de 12°C.

¿Cuántos grados subió la temperatura de la sustancia?

2. En una tienda de abamotes se realizó el balance bimestral de todo un año. Se indica-
ron las ganancias con números negros y las pérdidas con números rojos. El saldo
para un periodo se calcula sumando las ganancia y restando las pérdida:

Enereb | Marabr | May-lun | JulAgo | septoct | MovDic

960.60 | 77350 | 1755.75 | 44120 | 2907.25 | 4647.00

3) Respondan sin hacer la cuenta, ¿el saldo anual fue positive o negativo?

1) ¿De cuánto fue el saldo anual enla tienda?

9 Enotr tienda, el saldo anual fue de $950.60. En el bimestre enero-Febreo tu-
vieron pérdidas por $845.25,

¿Cuál fue el saldo en esta tienda de marzo a diciembre? _

3. Eseriban mayor que (>) o menor que (< según corresponda.

a7 se ura
gen it den. 4
Jean) ea) em es

15. Recuerden que:

+ Los números simétricos son los que
están ala misma distanch del cero.
+ El valor absoluto de un número
siempre es un número positive,
se representte utlizando dos
borro verticales,

erden que
pane ‚mar dos números. del
no si se pete
2 er aso
ere ef signo del
tamer y 1590
ato sigo de
a
dos números de
+ Por sut ni
atin se put
contrat lo diferencia de
es ests des
es pels dl
do sr de
res de mayor alt
moe

Recuerden que:
Para hacer restes de números com
signa se puede sumar el simétrico:

aso.
(OO = (9) 45-2.

Recuerden que:
Para reoizar una suma de varios números
con signo podemos sumar primero todos
los números positivos, después todos los
números negativos y por último sumar los
resultados. Por ejemplo

(18) +91 + (-24) =91 + (42) = 11
(15) +11 + (-8) + 28 = 99 + (28) = 16.

4. Escrian el smétic 0 el valor absoluto de os siguientes
"número con sign, según correspond
a) Esimétreo de 20.3. 203
0) Esmérco de (-P) es

9 RSA1-

a bal

5. Resuelvan ls siguientes sumas:
a) (-8)+ (18) =
0) 244 (24) =
d (31) 448 =
4) 594 (-81)=
9 43+ (872

9 CH te

6. Resuelvan ls siguientes resta

a) (-81)-14=
0) 46-(-10) =

9 2-4659=

4) (-52)-(-19)=

9 (157 -(-179)=

o.

7. Resuelvan ls siguientes sumas:

a} (-10) +174 (-15)=
1) 28+(-4)+11=

9 (-10)+ 21) +86 =

8) (-47) + 12) + 39) =

e) 144 (25) + (-89) + 92=

D (10) + (39) + (98) + (-9) =

16. MALEN

8. El municipio de Temösachie, localizado en el noroeste del estado de Chihuahua, es
uno de los municipios con la temperaturas más bajas del país En el año 2006, en esa
localidad se registraron las siguentes temperaturas minimas promedio por mes [en
grados centigrados):

Ene | Feb | mar | Abr | May | dun | Jul | Ago | sept] oct | Now | Dic

Temperatur
ii 2 [o | 2|5|12]13| 4] 10] 4|-3| ©

a) Dibujen una recta numérica y coloquen en ella todas las temperaturas.

1) Con los datos mensuales del cuadro, calcule el promedio anual dela temperatura

9. El aro de Alejandria es una delas siete maravils del
mundo antiguo. Ptolomeo I, rey de Egipto, mandó
construirlo en el año 291 antes de nuestra era, enla
isla de Faro. Consista en una torre de 134 metros de
altura; en su parte superior, una hoguera permanen-
te marcaba la posición del ciudad alos navegantes.

9) La construcción del foo tardó 12 años en com-
pletars, ¿En qué año se terminó de construir?

1) Ptolomeo I tenia 76 años cuando mando cons-
tur el fro, ¿en qué año nació?

9 El sucesor de Ptolomeo I fue su hijo, Ptolomeo I,
‘quien se convirtió en ey en el año 285 antes de
nuestra era, à la edad de 24 años. Se Sabe que
Ptolomeo nació cuandosu madre tenia 31 años.

¿En qué año nació la madre?

17. SESIÓN 2 MULTIPLICACIONES DE NÚMEROS CON SIGNO
>>> Para empezar
Los números tienen su oigen en a necesidad de contr y de medir. Los primeros núme-
os que fueron utlizados son los llamados números naturales:
1.2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12..
‘A conjunto formado por los números naturales lo simétricos delos números naturales
y el cero, se le llama conjunto de los números enteros:
—4,-8,-2,-1,0,1,2,3,4.

>>> Consideremos lo siguiente

Las siguientes tablas son parte de las tabla de multiplicar del 4 y del 6. Completa los
resultados

‘Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que siguieron para llenar
las tablas

18. >>> Manos a la obra
ee

3) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 4 x 5 al resultado de 4 x 4?
1) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 4 x 1 al resultado de 4 x0?

9 Para pasar del resultado de 4 x 0 al resultado de 4 x (1), se resta lo mismo.
¿Cuánto es 4 x (1)?

4) Entre dos renglones consecutivos de la tabla del 4, siempre se resta lo mismo.
¿Cuánto es 4 x (-5)?

9) ¿Cuánto se resta entre dos renglones consecutivos de la tabla del 6?
N ¿Cuánto es 6x (-2)?

9) ¿Cuánto es 6 x (-5)?

© crearse

© 1. Mail x 218 mo qe mar ut ves 2

Se

4x.

+2+2+228.
Se suma cuatro veces 2.

Expresa cada multiplicación como sumas:

a 5x3

19. Il Cuando en una multiplicación el primer factor es un número entero positivo y el
segundo factor es un número negativo, también se hace una suma repetida, por
cjemplo:

2x (-5)= (6) + (5) 5-10.

Se suma dos veces 5.
O tambien:
4x(87)=(8.7)+(3.7)+(9.7)+(-9.7)=-148.

Se suma cuatro veces -37,

Expresa ls siguientes multiplicaciones como sumas repetidas y encuentra el resultado:

DAX IH det )=

v (AN) = 11) + 11) + (11) + 11

96,

Comparen su respuestas ycomenten:en oto grupo encontraron el resultado de 6x (-7)
diciendo que 6 x 7 = 42 y que, entonces, 6 x (-7) = 42. sn de acuerdo con
ste procedimiento? ¿Cómo usaran este procedimiento ara encontar el resultado de
4012) y 006% 4)?

(O eas guien minor
9 xt
wees
orxts9-

d 10x(-4)=

20. M

>>> A lo que llegamos
Cuando en una multiplicación el primer factor es un número entero positivo y
el segundo factor es un número negativo, se suma varias veces el número negativo.
Por ejemplo:
5x (24) = (-4) + (4) + (4) + (4) + (-4)
A

Se suma cinco veces -4
3 x (-6.4) = (-6.4) + (-6.4) + (-6.4)

Se suma tres veces —6.4
4x(-4)=(-4)+6-5)+(-4)+(C4)=C4)-
Se

Se suma cuatro veces -.

En general, para encontrar el resultado de una multiplicación de este tipo se multiplican
los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo =.
Por ejemplo:
6x (-3) =-18 Se hace la multiplicación 6 x 3 = 18, se le antepone
el signo —, y el resultado es 18.

10 x (-8.32) =-83.2 Se hace la multiplicación 10 x 8.32 = 83.2, se le antepone
el signo —, y el resultado es 89,2.

>>> Lo que aprendimos

1. Completa la expresión de cada una de as siguientes multiplcaciones como una suma
y encuentra el resultado.

DER = + + +
d 8x0= =
9 8xt-7= =
doxtn= =
9 (2) = 2) + 2) + (2) 4-2) 4-2) 42) 42) =

fax = =-12

21. 9) Sx (-10.4) = —
ny 6x(-#)= _
2, Realiza ls siguientes multiplicaciones:
5x(-8)= Bxen= 2x0= so).
11x0= CETTE tx (9e 10x0=
6x (-48)= 8x(-225)= 7x(-H= ax
sesión 3 MAS MULTIPLICACIONES

DE NUMEROS CON SIGNO

>>> Para empezar

En esta sesión vas a continuar haciendo multipicaciones de números negativoscon posits,

>>> Consideremos lo siguiente

© issues ton rs is e plc de nu ra

8x5=

Bxa=

8x3-

8x2=

8x1=

8x0=

8xety=

OS

OS

8x(-4)=

8x(-5)=

8x(-6)=

KO) compare sus seas. Comenten co von comando los eda en Is tas,

22. >>> Manos a la obra
©. observa tas tay respondes preguntas:

a) En la tabla de la izquierda, de ariba hacia abajo, clos resultados aumentan o dis-
minuyen?

1) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 4 x Bal resultado de 3x8?

9 dCuänto se resta para pasar del resultado de 2 x 8 al resultado de 1 x 87

Para pasar de resultado de 0 x 8 al resultado de (-1) x 8, se reta lo mismo.
¿Cuánto es (=1) x 87

+) Entre dos renglones consecutivos de la tabla del 8, siempre se reta lo mismo.
¿Cuánto es (-5) x8?

¿Cómo son los resultados en cada renglón de as dos tablas? ¿Son iguales o son
distintos?

LO) comparen os setas Camere 8x)

72, ¿cuómto e (-9) x 8?

Os

10x 50 5x10= | 50
10x 40 ax10= | 40
30 axto= | 90
20 2x10= | 20
10 1x10= | 10
o ox10= | 0

(x10

(2): 10=

(9): 10=

(a) 10=

(-5)x 10=

a) En as tabla, los resultados aumentan o disminuyen?

1) Los resultados, en cada renglón de ambas tablas, ¿son iguales o son diferentes?

23. 11 Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones:

a) 7x(4)= U HxT=
dx (= IS
9 8x(-12)= D (12)x8=
9 4x(27)= mM 2mx4=
D 16x(4= i) (2)x18=
N 10% (-16)= D 9x 182

Comparensusrespuests, Comenten cuáles esigno del resultado cuando multplicamos.
‘un número negativo con uno positiv.

>>> A lo que llegamos
Cuando en una multiplicación el primer factor es un número negativo
y el segundo factor es un número entero positivo, se multiplican los
valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el
signo -. Por ejemplo:

{-8)x2=-16 Se hace la multiplicación 8 x 2 = 16, se le antepone
el signo — y el resultado es =16.

© Mco se muii un nner ere pat por una fin o un minero des
manga GE no: e ml sales aod ens
{alee mon lo Rea asus muii

a 8x(-4.41)= D (847 x 10=

a (ro a sx(-#)=

24. >>> Lo que aprendimos

1. Realiza ls siguientes mulilicaciones:

M

M

oxse Tene axe
m init ene

mora texe= esse
extea- (4)x6= exi)

LA REGLA DE LOS SIGNOS 1

>>> Para empezar

Cuando se multiplican números con signo se utiliza a regla dels signos. En esta sesión

vas a conocer ya utilizar esta regla.

>>> Consideremos lo siguiente
a mA

4 [2]
slwimle FIEIEHEN
sie|s|e EIEIEIEN
2|e|s|a 2|+ +s|=
HENENE: HE
olojo/o/o o|o/o/o

[3

3

4

CComparen sus respuesta. Comenten cómo van cambiando os resultados en cada ren-

lin yen cada columns,

SESIÓN a

25. >>> Manos a la obra
© 1. mar ia repond segue
a) ¿Cuánto se suma para pasar del resultado de 4 x (-3) al resultado de 3 x (-3)?

) ¿Cuánto se suma para pasar del resultado de 1 x (-3) al resultado de 0 (-3)?

9 Entre dos resultados consecutivos de la tabla del (-8) siempre se suma lo mismo.
uo (1) x ESP

Dun

11. Responde ls siguientes preguntas

a) En a tabla del (1), pora pasar de un resultado al siguiente ¿se suma o se resta?
— ¿Cuánto se suma o cuánto se resta?

1) En la tabla del 1, para pasar de un resultado al siguiente ¿se suma o se resta?
¿Cuánto se suma o cuánto se resta?

Ena tabla del 2, ¿cuánto se suma o cuánto se resta para pasar de un resultado al
siguiente?

A) En la tabla del (4), ¿cuánto se suma o cuánto se resta para pasar de un resultado
asigne? _

+) ¿Cuál es el signo del resultado de multiplicar dos números negativos?

{OP Comparen sus respuestas Comenten cuál eel resultado de multiplier (-3) x (7).

© tata siguientes mation:

POS D 12) x4=

ax = ax

9 8x (15)= HEINE =

26. M

IV. Completa as afirmaciones con positivo o negat
3) Cuando multiplicamos un número positivo por uno negativo el resultado es

1) Cuando multipticamos un número negativo por uno
resultado es positivo.

9 Cuando multipicamos un mümero porno positivo
resultado es positivo,

) Cuando multiplicamos un número negativo por uno
resultado es negativo.

O compara ssp

>>> A lo que llegamos
Para multiplicar números con signo se multiplican los valores absolutos de los números
y luego se determina el signo del resultado utilizando La regla de los signos:
cuando multiplicamos
Positivo por positivo el resultado es positivo.
Positivo por negativo el resultado es negativo.
Negativo por positivo e! resultado es negativo.
Negativo por negativo e! resultado es positivo.

Por ejemplo, para multiplicar (-4) x 11, primero se hace la multiplicación:
4x11=44,

y utilizando la regla de los signos sabemos que el resultado es negativo. Entonces,
(24) x 11 =-44.

V. Cuando se multiplican fracciones o números decimales con signo, también se utiliza
la regla delos signos. Realiza ls siguientes multiplicaciones:

a (5)x8.4= ©) (10.95) x (-4) =
CNED CES DAS

9 > MBA

27. >» Lo que aprendimos

1. Realiza ls siguientes multiplcaciones:

(8)x0= 1x(-15) = 0x(4)=
(CIN x1= (3) x13 =

(16) x2= R=

ETES IT 4x3)
sesión s LA REGLA DE LOS SIGNOS 2

>>> Para empezar

La regla de los signos también se utiliza para hacer divisiones entre dos números con
signo.

>>> Consideremos lo siguiente
€) moins dan yasni que atan ens is liens

Compare sus esputo Comenten qu irn pr ncntiresign de ls nies
que faltaban.

>>> Manos a la obra
D 1: spnan as siguiente preguntas:

3) Un número multiplicado por 17 da como resultado 204, ¿cul esla operación que
se puede hacer para encontrar ese número?

28. 1) ¿Cuál es el número que buscamos?

9 Esto es cierto porque: xt

204.

) Para encontrar el número que multiplicado por -8 da como resultado 184, ¿cuál

esla operación que se puede hacer?

e) ¿Cuáles el número que buscamos?

A. Esto es cierto porque: x(-8)= 184.

I. En Ia siguiente tabla se presentan algunos problemas. Complétenla:

Problema

Division que se hace
para encontar el número

Verificación

Cuáles el número que al multiplicar
por 3 da -782

(+3

Cuál es el número que al multiplicar

por-9 da 1717

Cuál es el número que al multiplicar

por 7 (75) + (2 x =-75

a) ¿Cuáles el signo de resultado de dividir un número negativo entre uno positivo?
1) ¿Cuál es el signo del resultado de dividir un número positivo entre uno negativo?

9 Cui esl signo del resultado de dividir un número negativo entre uno negativo?

Al Encuentren el resultado delas siguientes divisiones:

a) 1240) = D) (+18)
9 4-4) = a) (20)+5=
9 19) +8) = A 28+ (2

£2 compren ss puestos Comenten qt hin pr ncn sign de sr

tados.

29. >>> A lo que llegamos

Para hacer divisiones entre números con signo se dividen los valores absolutos de los
"números y luego se encuentra el signo del resultado utilizando la regla de los signos:
Cuando dividimos,

Positivo entre positivo el resultado es positivo.

Positivo entre negativo el resultado es negativo.

Negativo entre positivo el resultado es negativo.

Negativo entre negativo el resultado es positivo.

Por ejemplo, para dividir (-110) + (-5), primero se hace la división: 110 + 5 = 22,
y utilizando la regla de los signos, sabemos que el resultado es positive. Entonces,
(110) + (-5) = 22.

© Wende ein fuses nies demas cono, mb e aña
rela de losignos Ralien ls siguientes operaciones:

a) -74)42 d (155)+5)=

a (+

n 4e

>>> Lo que aprendimos

1. Realiza as siguientes operaciones:

1x 29 oxt29
eax7- (x3 mo»

12x (19 x)= (10) x19) =
Pre (9 +8= (18) + -4)=
(29s (29 +4) = EE
ex (-59)= eax24- mo asa

30. a lili

ares (48)x5= a+ -)=
(74) x51= (27) x (-10.5) = (xs
$x(3)= Ems) (+ Ep

2. Del 25 al 29 de diciembre de 2006 se registraron las siguientes temperaturas en Te-
môsachic, Chihuahua:

25 25 E 2 2
Temperatura máxima | 8. 174 | 202 16 7
Temperatura mínima | -10 | -94 | -88 o 6

a) Encuentra el promedio de las temperaturas máximas en sos das
6) Encuentra el promedio de las temperaturas mínimas en sos días.

9 Encuentra la temperatura promedio de cada di (el promedio calculado entre la
temperatura máxima y la minima de ese dia).

3. Coloca los números que faltan para que todas las operaciones sean corrects:

+[a[< |»
al. 2

>>> Para saber más

LE: Sobre o números enters consulta en as Bibles Escolares y de ul
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Números enteros”, "Suma y resta de números enteros” y "Multiplicación y
división de enteros”, en Una ventana al infinito. México: SEP/Santillana Libros del Rincón, 2003.
Sobre los números con signo:
Marván, Luz María. “Números con signo”, "¿Mayor o menor?”, “El valor absoluto” y “Reglas para operar con
negativos”, en Representación numérica. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.
© Sobre los egipcios consulta:
© hittp:/redescolaritce.edumx/redescolafact_permanentes/farofhome-htm
Ruta: Menú — Sobre héroes, tumbas y sabios —» El periódico Egipeio
{Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007].
Red Escolar, Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa.

31. ENCIA 2

Problemas aditivos

con expresiones
_algebraica

fp En esta secuencia resolverá problemas de adición y sustracción de
expresiones algebraicas.

SESION 1 LOS GALLINEROS
>>> Consideremos lo siguiente

(O am ent sn ajo qe da comi un aie de fama ang
Beni ac e renta coment ue lagu del eme rl
Pen

"Para determinar las dimensiones del gallinero, don Lencho tiene una gran cantidad de
posibilidades que respeten la recomendación anterior

Siel número de metros que tiene el ancho se representa con la
letra a escribe una expresión algebraica que represente el pe-
rimetro del gallinero,

Perimetro =

Comparen sus expresiones algebraicas Comenten;
¿Cuál ese perímetro del gallinero sel ancho mide 1 metro?

32. >>> Manos a la obra
CD Comp sinne ta ar aura dn Len ei mao de ine

Se

Mia en mei Perinat de liner
1 2 6
‘+

2 4 12

3

8
45 27
48
a

(Comparen sus tablas Si es necesario,
los rectángulos correspondientes (

ifiquen sus respuestas dibujando en su cuaderno.
una escala de Tem = 1m). Comenten:
a) ¿Qué operación hicieron para obtener la medida del largo del gallinero cuando a
representa la medida del ancho en metros?

1) ¿Qué operaciones hicieron para obtener el perimetro del galinero cuando arepre=
‘Senta la medida del ancho en metros?

Ou. cometo gen

2) Enlassiguientes expresiones algebraicas eta arepresenta el nämero de metros
que tiene el ancho del galinero. Subraya la expresiones que, al sumarse, permiten
‘obtener el perímetro ¡Cuidado, puede haber más de una que sea correcta!

a4 9420420

30430

33. 1) El resultado de la suma a+ a es 22,0 ea, 2 veces a Completa e siguiente esque
ma para encontrar el resultado de la suma a a+ 2a+ 2a,

DAA
ara +(a+2)+ (a+ a)

9 ¿Cn vrs ape ae lemme a4 2604 + (ara?
CC) Comentn ssn qe bic.

>>> A lo que llegamos

JN En una suma de expresiones algebraicas los sumandos se llaman
términos. Por ejemplo, a y 28 son términos de la suma
a+a+2a+2a

Los términos tienen coeficiente, literales y exponentes.

El término 2a tiene:
Coeficiente: 2 Literal: a
Exponente: 1
El término a tiene:
Coeficiente: 1 Literal:
Exponente: 1
El término 3a? tiene:
Coeficiente: 3 Literal:

Exponente: 2

‘A los términos que tienen la misma literal con igual exponente como
a 33,2 1.52 se les llama términos semejantes.

Los términos numéricos son semejantes entre sí.
Por ejemplo, 8 y 5 son términos semejantes.

3a? y 2a aunque tienen la misma literal no son semejantes porque
no tienen el mismo exponente.

34. y

M

O nue op en or or

perímetro.
Es 8x
6x
15x
= = 45x
65x

LC) comparen ons que tico. Comenten:
to sma eins se jte cdo sn ia?

>>> A lo que llegamos

Para sumar términos semejantes se suman los coeficientes y se con-
serva la parte literal. Por ejemplo:

5.2x+7.3x=12.5x
14 1
5.2+7.3=12.5

Recuerden que

Dos términos son semejantes
© We perimeto del trióngulo ABC es 18% ado: dé
e 1) tienen la misma parte literal,
‘como 3w y 24.
2) son términos numéricos,
como -2, 8.
ax
8
A ox

¿Cuál es la medida del lado BC?

€ compare spas y comet
{ut penn con pr econ leia dedo CP

35. >> A lo que llegamos

Para restar términos semejantes se restan los coeficientes y se conser-
va la parte literal. Por ejemplo:

Tx-4x=3x
ver
7-4=

>>> Lo que aprendimos

1. Elancho de un rectingulo es 18x, y el larg tiene la medida del ancho más 3x Dibu-
Ja en tu cuaderno el rectángulo con la medida de sus lados y escribe la expresión que
corresponde asu perímetro.

2. Escribe la expresión del perimetro para cad uno delos siguientes poligonos regulares

2x 122 24y

3. Encuentra el valor faltante en cada una delas figuras siguientes.
a o

—=

El perimetro del triángulo isóseles es Sy ¿Cuánto mide cada uno de os lados

iguales?

El perimetro del rectángulo es By ¿Cuánto mide de largo?

36. MATEM

A MEDIR CONTORNOS SESION2
>>> Para empezar

Son binomios expresiones algebraicas con dos términos como las siguientes:

ri

2647

>>> Consideremos lo siguiente
© En etsiguiente rectángulo se han determinado ls medidos de a base yla altura

i
a
===
E
Largo = 2x

a) {Cua esa expresión algebraica que representa el perimetr del rectángulo?

€ comparen sis respuestas y mente:
‘Simo on pene deleting?

>>> Manos a la obra

©) § ¿Cuáles de tas siguientes expresiones permiten encontrar el perimeto del
rectángulo anterior? Subráyenlas.

x+242x
2x4 2x + (x42) + (x42)

Are (x42) 42x 4642)

(+2) + (8x2)

37. CC) comparen ss espesas y comen: ao qu as pra que saloon ere
tan lo mismo (el perimetro del rectángulo)?

Dira A
ern
irae

suma 2x + 2x4 (+ 2) + (+ 2) se suman los términos semejantes.

2x + 2x 4 (42) + (42)

a

8 202

1) Suma los términos semejantes de las siguientes expresiones:

Dee (42) 420 2) 4

x4242x=

6214 Gx42)=

© conan stan

© incites ope sti ups pto dt se ena

Comparen las soluciones que obtuvieron. Sumen los términos semejantes y verifiquen si
úbtienen el mismo resultado.

38. M

>> A lo que llegamos
Para sumar binomios se suman los términos que son semejantes.

(lx + 3) + (x-2) = 3x41

2x+x= 3x

>>> Lo que aprendimos
1. La altura de un rectángulo es x, yla base es unidades mayor que a altura. Dibuja
en tu cuaderno el rectángulo on la medida de sus ados y escribe la expresión que
‘respond asu perímetro. Note olvides de sumar ls términos semejantes

2. Escribe la expresión que corresponde alperimetro de cada poligono. No te olvides de
sumar los términos semejantes.

a a D)
bo 4 142
rot +
7 7.2
Perímetro: Perímetro:

3. E perimetro del rectángulo de la derecha es
10y+6.

ayaı
¿Cuál es a medida dei largo?

39. SESIÓN 3

LA TABLA NUMERICA
>>> Para empezar

En a columna x de la siguiente tabla se encuentran algunos números enteros.

Los nümeros de las columnas: 2x, 3x, -3x,0x,y -x se obtuvieron al multiplicar el cofi-
ciente de cada expresión algebraica por el valor de x que est en su mismo renglón.

ax | o ar eae)
comas | 09600 | mes | 16-50 | 15460210
-2 | 0 a 8 D
[os . » lo = 6 6
2| 4 6 + lo 2 ‘
1| 2 3 so a 2
o| o o o o o o o
A Le A O | nen | AA
2 | 4 s 6 o 2 a
3) + > > o 3 + <
4| + I» | 2 o 4 =
| m | os | ss o 5 -10
Ey

€) com ob yet
«ovat real de x30

© ¿Por qué el valor de 3x+ (-2) equivale sumar el valor de xa 8x?

40. y

M

>> Consideremos lo siguiente

© us cartones ages dl eg super delas primes clas sn
POR

8) ¿Cuál de ellas es el resultado dela resta 3x 2
1) ¿Cuál sel resultado de la suma 3x + (A?

O comparer sue y cometen
Eine ise prier

>>> Manos a la obra
1. Observen a tabl y contesten:

a) ¿Qué columnas tienen los mismos números que la columna 3x +(-2)?

Sise agregaran a columna 2x + (-9x) y la columna 2x4 (x):

) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendra los mismos números que la columna
ara?

9 ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendria los mismos números que la columna
ao

CO) compren apes y mente:
¿For qu oe que lama 2 (9 tee mimos tao qa ctm 22

>>> A lo que llegamos

SW Para sumar términos semejantes con coeficientes que son números.
con signo, se suman los coeficientes y se conserva la parte literal.
Por ejemplo:

6+(-8)=6-8=-2

41. LO) tio Aaregen ala tabla 1 a columna 2x = (x) y escriban los números que deben ir en
coda renglón.

3) ¿Qué columna tiene los mismos números que la columna 2x= (-x)?
1) ¿Cuál es el resultado dela operación 2x = (+2)?
Sise agregaran la columna x (-x) yl columna =x=(-3x):

©) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendri los mismos números que la columna
Er

+) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendri los mismos números que la columna
a?

CComparen sus respuestas y comenten cómo encontraron el resultado de las estas
anteriores.

>>> A lo que llegamos

Para restar términos semejantes con coeficientes negativos, se restan
los coeficientes y se conserva la parte literal.
-2x- (-5x) = 3x

ie

-2-(-5)=-2+(45)= 43

© Iris gesamter pe nena luto des open
a

D 2er

dex)

(O Goran un res

€) 1 Compte siguientes operaciones sumando stand teins semejantes

dx- =0%=0
Dre ex
d 2200
gx sx
ax

42. >>> Lo que aprendimos

1. Para cada operación dela izquierda escoge su resultado de las expresiones que apa-
recen en la columna dela derecha.

Operaciones Resultados posibles
a) Sra 2x
ee x
CETTE Er

di 8x4 (89 = 48x
Ira

2. El largo de un tereno rectangular mide 12.5 metros menos que el doble del ancho.
La barda que lo rodea mide 197 metros. Sil ancho mide x metros:

Ancho = x

===
Largo

3) ¿Qué expresión algebraica corresponde ala medida del largo?
$) ¿Qué expresión corresponde al perímetro?
9 ¿Cuántos metros mide cada lado del terreno?
‘ancho: metros. Largo: metros
3. Un comerciante vendió cierta cantidad x de aguacate el lunes, el martes vendió

20 kg más que el lunes y el miércoles le faltaron 5 kg para vender el triple de lo que
vendió el lunes. Sn ls tres dias vendió en total 167.5 kg de aguacate:

3) ¿Qué cantidad de esta fruta vendió cada dia?

Lunes: Kg Marts: kg Miércoles: to

1) ¿Qué dia vendió un poco más de 50 kg de aguacate?

9 ¿Qué día vendió 86.5 kg?

43. sesión a CUADRADOS MÁGICOS
Y NÚMEROS CONSECUTIVOS
>>> Para empezar
Rp o mg delos chinos

El origen delos cuadrados mágicos es incierto, aunque sabemos que antiguas civilizaciones
losconocieron, Se piensa que su origen se da hace cerca de 400 ahos en la antigua China
Enel siguiente cuadrado mágico, las sumas de los tres números de cada renglón, de cada
columna y de cada diagonal dan como resultado el mismo número,

5 | 6 "
8 | wm) nv
9. | a) 7

En total hay ocho sumas. Comprueba que todas dan el mismo número como resultado.

>>> Lo que aprendimos

(O 1: tosnimersconsecutos:-6 8 4,-2.2 1,01 y se pueden amade un
cuadrado möge para que sus englones clunnas agonal sumen el mismo
numer. Completa Curado mágico und ls ndmeros ue proporcionan.

Nümeros faltantes: ~6, 5, 4, -3 y 2

44. y

M

2. Para el siguiente cuadrado mágico los nueve números consecutivos est representa-
dos por las expresiones algebraeas: n,n + 1,n+ 2, n+3,n+4,n+ 8,n+6,n+ 7,
+8.

Acomoda ls expresiones faltantes de manera que ls renglones, columnas diago-
rales sumen lo mismo.

na

ne ma

Expresiones que falta colocar: n+2, n+9, n+5, n+6 y n+7.

Haz ls siguientes sumas para verifica i los renglones, columnas o diagonales suman
lo mismo. No te olvides de sumar los términos semejantes.

3) Renglôn superior: on TE

1) Renglön central:

engin inter
Cota uit “
<A alumna centra: nr +08
0 Coun derecha: CEE

A) Diagonal de izquierda a derecha J+ (+4) + (net) =

hi) Diagonal de derecha a izquierda (I + (+4) 9 (—)=

45. 2. Realiza las siguientes sumas:

d1+2+

2484

0 15+16+17=

Bram + (n42) =

+) ¿Por qué la suma de tes números consecutivos es un múltiplo de 97

14. Realiza las siguientes sumas:
aD 14249442
0) 104114 124 19=
9) 45+46+47+482
d 100+ 101 + 102+ 103 =
9 n4 (net) + (042) + (049) =

1) ¿Será cierto que la suma de cuatro números consecutivo es un múltiplo de 4?

Juste tu respuesta

5. La suma de cinco números consecutivos es un múltiplo de 5. Realiza la siguiente
‘uma para comprobarlo.

+ (041) + (092) + (048) + (0+4)=

¿Por qué Sn +10 es múltiplo de 5?

6. La suma de nueve números consecutivos de un cuadrado mágico es un múltiplo de 9,
2) Realiza la siguiente suma para comprobarlo.

4 (041) + (n42) + (049) + (044) + (095) + (046) + (47) + (048) =

1) ¿Por qué el resultado dela suma anterior es un múltiplo de 97

46. ane

>>> Para saber mas

© Sobre resolución de cuadrados mágicos consulta:
© httpalinteractiva.matemunammx
Ruta: Secundaria > Juegos aritméticos — Un cuadrado mágico.
[Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007].
Proyecto Universitario de Enseñanza de la Matemáticas Asistida por Computadora
(PUEMAC), UNAM.

iy Pato ses dl interactive Sana y ss de expresiones agree.

47. Expresiones

algebraicas

En esta secuencia reconocerás y obtendrás expresiones algebraicas
equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos

sesión 1 EXPRESIONES EQUIVALENTES
>>> Para empezar

En primer año aprendiste obtener expresiones algbracas para calcula el re de dis-
tintas figuras geométricas. Por ejemplo, para un rectángulo de altura ay base bobtuvis-
tela expresión ab.

De igual manera, la expresión 46 representa cl rea
de un rectángulo que mide 4 unidades de altura
(a=#) y b unidades de base.

ei

Los siguientes rectángulos tenen altura 4 y distintas ba
e puede calcular usando la expresión Ab. Calcula ls re

3y 6. Elárea de cada uno
md esta expresión,

I i 7
=b=2m- b=30m b= 6.0m
Area = _ - Area = _ - Área=

48. y

M

En esta secuencia encontrarás distintas expresiones algebraicas que representan distinta.
formas de calcular el área de un rectángulo. Para simplificar los cálculos omitiremos las
unidades de medida de sus ados. Puedes pensar que se trata de medidas en centímetros.

>>> Consideremos lo siguiente in ee

De las siguientes expresiones, ¿cuáles representan el area del rectángulo

enmarcado en ojo? Para incor Que un número

multi a ane exe
Sean ls prema

509 =5x(0+3
4
— 2—

a) 4+2 dav 9 40+2 4) 2042) +2{0+ 2)

Comparen sus respuestas y comenten: a

mo saben cuáles son cota y cuáles no? Los múltiplos de 3 se obtienen
al muliplicar los números
enteros por 3

>>> Manos a la obra Son múltiplos de 3:

LO coros reos 189 08.60.12...
2) dd lamen de au de enga emma nrj?

altura =

1) Escriban una expresión que represente la medida dela base de este rectángulo.

base =

9 ¿Qué expresión resulta al multiplicar la medida dela altura por la medida de la
base?

altura x base =

49. I Realicen lo siguiente.
3) Exriban una expresión que represente el rea del rectángulo verde oscuro:

1) Esriban una expresión que represente el ea del rectángulo verde caro:

9 Observen que el área del rectángulo enmarcado en rojo esla suma del área del
rectángulo verde claro y del verde oscuro. Esciban otra expresión que represen
te el área del rectángulo enmarcado en rojo a partir del área delos rectángulos
verde caro y verde oscuro

O comerme:

li En a siguiente figura, la superficie del rectángulo enmarcado en rojo se dividió con
una linea horizontal

a+2

3) Esciban una expresión que represente el dre del rectángulo gris oscuro:

) Esriban una expresión que represente el área del rectángulo gris lar

€} Usando las expresiones anteriores, escriban una expresión que represente el rea
del rectángulo enmarcado en rojo:

50. y

M A

€) 14 tn nude bj y usen an pr encontra aire a+
oe

—— 242 —

Áres

© comparen is respuestas comenten ut información.

Existen varias expresiones algebraicas que representan el área de un rectángulo,
de medidas 4 y (a+ 2) Por ciemplo, las tres expresiones 4{a+ 2) 4a 8 y 2(a+ 2) +2(2+2)
representan su área.

Da

3) ¿Cuánto vale la expresión 4(a +2), si

) ¿Cuánto vale la expresión 42 + 8, si 2=97

9 ¿Cuánto vale ta expresión 2(2 + 2)42(a + 2),si a= 87

© vico a siguen ut cuts eer des eins + 2.4 +8
VAUT 220 spr bs wns snap counts

a a +2) 4a+8 2a +2)42{a + 2)

4 | arar2j=a(o)=zs

45 4(4.5)+8=18+8-26

55

6 2(642)42(6+2)=2(6)+2(8)=1

51. cones sits que ten en ass cunas ome
[bes peda ee en
Fo gun calar oda.

>>> A lo que llegamos
Las expresiones 4{a+ 2), 4a+ 8 y 2{a + 2) + 2(a + 2) siempre dan
el mismo resultado al asignarle valores a a, pues representan el área
del mismo rectángulo, por lo que se puede escribir:
A(a+2)=42+8=2(2+2)+2(2+2)
A este tipo de expresiones se les llama expresiones equivalentes.

D we competena sgn ta

40+2
45 245)+2 =18+2=20
5
55
6

La expresión 4a + 2 no representa el área de un rectángulo de lados que miden 4 y
(a+2), ¿por que?

>> Lo que aprendimos

1. Las siguientes figuras son dibujos del mismo rectángulo, con distintas divisiones de su
superficie. Para cada una de sta figuras serbe una expresión algebraica que repre-
sente su re a pati de la division que se propone,

—— +2 —

Expresión: 3(642)

52. e © © © I «

| 1
1
| | |
| 2
bee
ee Expresión:
© 2. trenes os prions equates qe er
pe
fur ques propa.
|
e Pen r

Uenen la siguiente tabla para verficar que las expresiones que obtuvieron dan el mismo
resultado al sustituir los valores ¢= 3,5, 4, 4.5 y algún otto valor que elijan.

Expresión 1 Expresión 2

(O vta ua de ders en mens de me
Be ie
BES

53. SESION 2

MAS EXPRESIONES EQUIVALENTES
>>> Para empezar

En a sesión 1 aprendiste a obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir de un
rectángulo. En esta sesión aprenderás a obtener expresiones equivalente a partir de
otra dada.

>> Consideremos lo siguiente
© ar ads una de sigues epresones nern un sión qin

a) 9x42) = AR 4 =

compres rapt y conn im en pro ene.

>>> Manos a la obra
€) 1. je um retngu cy res se represente sn a expres 2)

Se

Expresión Rectingulo

Dividan la superficie de rectángulo anterior en varios rectángulos pequeños, Encuentren
las expresiones que corresponden al ärca de cada uno de los rectángulos pequeños y
andtenlas:

34x42) =

‘Comparen sus respuestas Comenten cómo dividieron la superficie del rectángulo grande
y cómo encontraron el área de cada uno de ls rectángulos pequeños.

54. MALEN

11, Dibujen un rectángulo cuya área se represente con la expresión 2(2c+ 4), dividanlo
en rectángulos más pequeños y encuentren sus áreas.

Expresión Rectingulo
2ax+ 4)

2ax+4)=

‘Comparen sus respuesta y comenten: son equivalentes las expresiones que obtuviron?
¿Por que?

© een un pr cn a cri cute 22

rar

55. >>> A lo que llegamos
MM Wis expresiones equivolentes
‘Cuando se quiere encontrar una expresión equivalente a otra dada, puede ser útil cons-
‘tuir un rectángulo cuya área se represente con la expresión. Por ejemplo, para la expre-

sión dada 3(2x + 1) se puede construir un rectángulo que mida 3 unidades de altura y
2x+1 unidades de la base:

il:
|
!
1

rs

re

Dividiendo este rectángulo en piezas de menor área se puede ver que la expresión 6x+3
también sirve para calcular su área, y por lo tanto es equivalente a la expresión 3(2x#1).

>>> Lo que apren os

1. Para cada una de las siguientes expresiones encuentra una expresión equivalente a
éso.

a) 92x48) = baleen) =

© 2: mento dessus enga moi as mes de ss sen os
pd cn ess
es

a

56. Ayúdate def siguiente figura para encontrar una expresión equivalente a expresión

G+16+2=

b

tae

57. ENCIA 4

Angulos

esta secuencia determinarás la medida de ángulos usando tu
transportador, y deducirás algunas medidas sin usarlo.

SESION 1 MEDIDAS DE ANGULOS
>>> Para empezar

BR" El rado como unidod de medido
La regularidad de los fenómenos naturales y astronómicos interesó a hombres de todos
los tiempos. Antiguas civilizaciones, como la bablénic, estimaron la duración del año
en 360 dias. Como esta civilizaciones pensaban que el Sol giraba alrededor de a Tierra,
ivdieron en 360 partes la trayectoria en Ia que velan moverse al Sol, haciendo cores-
ponder a cada parte un día y una noche. Es probable que de esta división se derive la
division de un giro completo en 360 partes, llamadas grados.

Los siguientes son algunos ángulos que encontrarás frecuentemente en tus secuencias
de geometria. Observa sus medidas y sus nombres.

le AY -G-

Angulo recto Angulollano Angulo entrants Angulo perigonal
Son oe Soguoe que
inden me de 180"
Y menos de 360°
>>> Consideremos lo siguiente

(O) En et baúl desu papa, Jaime encontrö un vie pergamino en el que se indica cómo
y dónde encontrar un cofre lleno de monedas de oro. Las indicaciones para llegar al te-
oro estaban cars, pero una mancha de agua borró el mapa. Sigue la indicaciones y
Aayúdale a Jaime a reproducir el mapa. Supón que un paso es igual a un centímetro.

58. M

Para encontrar el cofre tienes
que llegar ala meseta del Cerro.
Colorada y caminar hasta el
monolito que ahí encuentres.
Luego, tienes que sentarte en el
monolito viendo hacia al Este,
gira G0" al Norte y camina de
frente 3 pasos. En ese punto clave
una estaca. Regresa al monolito y +=
siéntate viendo al oeste. Gira 150°
al sur y camina de frente 4 pasos,
‘en este punto clava otra estaca.
Elcofre está enterrado justo a la
mitad de la distancia entre las dos

Da oa sce ana

>>> Manos a la obra

© 1. ace on roosts en que morose ue de ma
À

59. ¿E compare ss espesas y comenten es eons qu suenen lus del an
Deren nes Comenten Ln Ji Sess miedo
franco Sg?

© 1 ode ts siguentes gls ample cn a kan el map paa tem
hare Mga depen eta?

estaca ı

monolito

monoñto.

"monolito

CC) omparn es retos y somente sens qe dba ns gls Ve
aps Sage VE.

>» A lo que llegamos

Al medir un ángulo hay que colocar la marca central del transportador sobre el vértice
del ángulo. La marca que corresponde a O° debe coincidir con un lado del ángulo.

ns 115°

60. M

M

Orar esse

Prolonga uno de os lados del ángulo marcado de forma que la prolongaciôn lo divi
da en dos ángulos.

3) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos que se formaron? y

1) ¿Cuánto mide el ángulo marcado originalmente?

© Compre sus respuestas y comente: br gun ots mana de mer un glo
marque 100 LOT

© 1% cuna qe un gl e mat or seits queen emi pu
mo fom fr ngs Ans lo foe

vértice.

61. > ca ens cits sims para read mayors messi
unt toa

ron
vn

KB Span morgens bai
a) ¿En que se fijaron para comparar los ángulos?
1) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos?

>>> A lo que llegamos

62. Y
>>> Lo que aprendimos

1. Considera ls siguientes semirectas como un lado y su punto inicial como vértice.
Construye los ángulos que se piden, utiliza tu transportador.

IN

120% 210° w

2. Usa tu transportador y determina cuánto miden los ángulos marcados.

>= LE)

3. Varios estudiantes fueron al museo y se pararon frente a una de las pinturas para
‘observarla mientras escuchaban la explicación del guia. Las figuras muestran la for-
ma como se acomodaron los estudiantes A fi de ver la pintura completa identifica
quién tiene el mayor ángulo.

¿Cuál de todos tene el mayor ángulo para ver a pintura completa?

63. SESIÓN 2 ÁNGULOS INTERNOS DE TRIÁNGULOS
>>> Para empezar

Un ángulo se puede representar por medio de una letra mayúscula asignada a su vértice.
Por ejemplo, el siguiente ángulo se puede representar como 4D.

>> Consideremos lo siguiente

(O tesauros ees nubs nese un ng?
Satara a Dita cepn iBone ed io

a) 90°, 60°, 70°

A 8
éPudiste construire triángulo?

Justifca tu respuesta
b) 50°, 70°, 120"

éPudiste construir el triángulo?

Justifica tu respuesta

64. «50°, 60", 70°

¿Pudiste construir el triángulo?
Justifica tu respuesta

compare ss eps y meten cmo conser siglos

>>> Manos a la obra
Où cms
{rue triángulo con La tema de medidas 30°,80° y 70° y con el segmento NM como

uno de sus lados Completa la construcción.

4} Con tu transportador mide el tercer
ángulo interno de este triángulo.

¿Cuánto mide?

©) ¿Cuánto suman ls mesos delos a
Sngslosintemosdeesetringui? À

© comer remus

© i Eat usenet sont ila
Au conta tena 60% 70 y 120° cmo mets
a ingl interes y cor € segments OR
Some i aa ies Cons

éPudiste construir el triángulo?

Justifica tu respuesta 1

65. LC compar us crios y comente:
2) Samu en rte mie 0: vo mie ee gu neo?

b) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos intemos que midan 70° y 120"?
or que?

© 1. Dibja un rüänguloen una hoja banca pint cada uno de sus ángulos ntemos de un
color distinto. Cora el triángulo en tres parts de manera que en cada parte quede
uno de los ángulos internos Pega lastre parts haciendo coincidir los vertices en un

punto rojo, como se indica en las fotos. Ten cuidado de que no se encimen las partes
y que no dejen huecos entre ellas.

¿Cuánto mide el ángulo que se obtiene al pegar los tres ángulos del triángulo que
Aibujaste?

comptes repay cone

¿Creen que si dibujan otro triángulo, la medida del ángulo formado al pegar sus tres
ángulos intemos sea la misma? ¿Por qué?

A LO QUE LLEGAMOS.
La suma de las medidas de los ángulos internos
de cualquier triángulo es igual a 180,

2

66. MALEN

© nets ngs intemos e siguentes tno Ana meds en al

Se à

“riángulo Ángulo Ángulo Ángulo — | medidas delos

Away We

anu

>>> A lo que llegamos

La suma de las medidas de los ángulo:
es igual a 180°,

ternos de cualquier triángulo

67. >>> Lo que aprendimos

1. Lostriámgulosequilteros tienen sus tresángulos
internos iguales, Sin sar transportador, contesta la
pregunta.

¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos de

cualquier triángulo equlitero?

DEDUCCIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
>>> Para empezar

¿Sabías que en todos ls triángulos iséscles

dos de sus ángulos internos son iguales?

Verifica esta propiedad en lo siguientes trián-

gui séscels y pinta del mismo colo os án-

Suis que sen iguales

A continuación se presentan varios problemas sobre medidas de ángulos.

68. M

>> Lo que aprendimos

tra forma de representar ángulos es con tres letras mayúsculas, una para el vértice y
dos para un punto de cada lado del ángulo. Asi, el ángulo.

se representará como ATSR. Observen que la letra correspondiente al vértice se coloca
‘en medio de las otras dos.

(O) 1: Bpntägone ua está Inte en an culo de ento Oy ai OR.

Recuerda que:
Se llaman triángulos
equiláteros aquellos
que tienen sus tres
lados iguales,

Recuerda que:
Se llaman triángulos
isósceles los triángulos
que tienen dos lados
iguales.

Sin utiliza instrumentos de mediciön responde: ¿cuánto mide LAB
KO) comparen y comenten sus respuesta

(O) Responde as siguientes preguntas.
4) ¿Cuánto mide el ángulo central del pentégono?
b) ¿Qué tipo de triángulo es OAB?
e) ¿Cuánto miden 4OAB y <OBA?

à) 4OBA = 4OBC ¿por qué?

69. © 2 En etes vidoes acess mer med e glo fama oros
Id que Secon dr meo gusano y ans
cnet au amen

ANA

Se go 675 35 40

© 2 detent vr eo óngulo marcados y ses ent unr eco que
tite pa determi er eo an

ON

Pentágono formado,
Hexägono regular porunrectinguloy un
‘wiangulo equlatero,

70. y

M

4. Sin utilizar instrumentos de medición, determina la medida de los ángulos marcados.
‘on rojo en as ustraciones.

T

ARST =

E "
$
s
m
AMNO =

>>>

%

71. SESIÓN 1

Recuerden que:

Lo dist

recta se mide sobr
(del punto a a recta

Observer:

¿Cómo se llaman las rectas que no se cortan?, ¿y las que si se cortan?;
‘cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos, ¿cómo se
relacionan sus medidas?

Este tipo de preguntas son las que podrás contestar cuando termines
de estudiar esta secuencia.

£

RECTAS QUE NO SE CORTAN
>>> Para empezar

Desde a escuela primaria has estugido el trazo de paralelas usando dstintos recursos,
== do recuerdas? Uno de ess recursos fue el dobiado de papel. Consigue una hoja y haz ls

(dobieces tal como se muestra en la figura y marca las rectas paralelas. Después pega la
hoja en tu cuademo.

>» Consideremos lo siguiente

LO) caen que recta mie meta ns cometa y ae
{mre km Lc doy atin» 2m ci

sen ponte a uno carretera de! lado donde está el punto azul, señala con puntos

to perpendicular cine lugares donde podría esta la casa de Lety

72. y

M

Si localizaron bien ls cinco puntos podrán unirlos con una linearect,tracen esa linea
recta

3) ¿Cómo son entre sla recta roja yla que acaban de traza?

) Anoten dos cosas de su alrededor que representen rectas paralelas.

y
+) Bseriban una definición para rectas paralelas.

LO compares is sae des ems pes co sus comparas y cat
‘todos, elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta tra-
o ca ac

>>> Manos a la obra
|. En cada caso marquen con Y ias reta representadas son paralelas

“EA

1 2

oe

A1 Se desea trazar una parlea a a recta que pase por el punto.

»

73. S@ 1a siguiente figura muestra un procedimiento completo con e que, usando regla y com-
és, e trazó una recta que pasa por el punto P y es paralela al recta negra.

nalen a figura y
2) Reprodizcanta en su cuaderno.
1) Esriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron,

I Subrayen las dos definiciones correctas de rectas paralelas. En cuanto as incorec=
tas, busquen un ejemplo para mostrar por qué lo son.

3 Son rectas horizontales.
1) Son rectas que siempre conservan la misma distancia entre si
«Son rectas que no se cortan.

+) Son rectas que tienen la misma medida.

>>> A lo que llegamos

Las rectas que no se cortan se llaman rectas paralelas.

SS

i una recta m es paralela a la recta n, esto se escribe: ml n.

74. MALEN

>>> Lo que aprendimos
1 Busca una manera de trazar reta paralelas usando sól rega y transportado. Cuan-
do lo hayas hecho comenta en grupo los diferentes procedimientos y Sen alguno no
están de acuerdo argumenten sus razones (ita: analiza Is dobeces que hiciste al
inicio de lasesón, te ayudará resolver este problems).

2. En cada caso, traza una recta paralela a la recta / que pase por el punto M.

m
nn ÿ
7

RECTAS QUE SE CORTAN SESIÓN 2

>» Para empezar

También ls rectas perpendiculares pueden trazarse usando distintos recursos, como el do-

== blado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces que se muestran en a figura, marca
las rectas perpendiculares y después pega la hoja en tu cuaderno

75. >>> Consideremos lo siguiente

En el primer recuadro trace dos rectas que se corten formando cuatro ángulos iguales
y enel segundo recuadro tracen dos rectas que se corten formando ángulos que no sean
todos iguales,

3) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del primer recuadro?

) i trazaron bien las ects del primer recuadro,se trata de dos
rectas perpendiculares. Anoten dos osas de su alrededor que
representen rectas perpendiculares.

(9 Esriban una definición para rectas perpendiculares.

das rectas que trazaron en el segundo recuadro se llaman.
blicas Esriban una definición par rectas oblicuas

Comparen las diferentes definiciones de rectas perpendiculares y rectas oblieuas con las
de sus compañeros y entre todos elijan aquella que ls parezcan adecuadas.
alguna es incorrecta traten de dar un ejemplo de por qué lo es.

>>> Manos a la obra

D 1 ctas nte ares rpresenttasson perpen bic

1 2 3

76. MALEN

Mn ma ion a te ei

a

{a siguiente figura muestra un procedimiento completo para hacer el trazo con regla y
compás.

nalen la figura y
a) Reprodúzcanla en su cuademo.
1) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron

I Subrayen las dos definiciones correctas para rectas perpendiculares y para rectas
úblicuas, para las otras definiciones den un ejemplo de por qué las consideran i
correctas.

Rectas perpendiculares:
3) Son dos rectas, una vertical y otra horizontal

1) Son rectas que se cortan formando ángulos rectos
Son rectas que no se cortan

Son rectas que al cortarse forman cuatro ángulos iguales

Rectas oblicuas:
9) Son rectas que se cortan formando ángulos iguales

1) Son rectas quese cortan formando dos ángulos agudos y dos obtusos
9 Son rectas que se cortan formando ángulos que no son rectos

Son rectas que no se cortan

77. >>> A lo que llegamos

Si dos rectas que se cortan forman ángulos de 90°, entonces se Ila-
‘man rectas perpendiculares; si se cortan formando ángulos que no
son de 90° se llaman rectas oblicuas.

Si una recta p es perpendicular a la recta q, esto se escribe: p Lg.
Para indicar que un ángulo mide 90°, es decir, que es recto, se coloca
en el ángulo una marca como la roja.

>>Lo que aprendimos

1. Busquen una manera de trazar recta perpendiculares usando sólo regla y transpor-
tador; cuando o hayan hecho comenten en grupo ls diferentes procedimientos si
en alguno no están de acuerdo argumenten sus razones.

2. Realice lossiguientes trazos en una hoja blanca, utilizando sus instrumentos geomé=
bricos.

3) Un cuadrado de cualquier tamaño cuyos lados no sean paralelos alos bordes de la
hoja.

1) Un rectángulo de cualquier tamaño cuyos lados no sean paralelos a los bordes de
la hoja.

3. En cada caso, tracen una recta perpendicular a la recta rque pase por el punto.

Pa

78. MALEN

RELACIONES ENTRE ÄNGULOS SESIÓN 3
>>> Para empezar

Une dos paits lápices con una liga, como se muestra en la foto, y manipúlaos para
==" formar ángulos.

¿Cuántos ángulos se forman?
¿son todos diferentes?
thay algunos que sean iguales entre si?

Coloca los palitos de tal manera que todos ls ángulos sean iguales. Cuando los colocas

de esta manera ¿cuánto mide cada ángulo?

>>> Consideremos lo siguiente

© ino npr encanta ln sono decd
cia vea ye

o | so 0 ns

79. O crm canine sang win ji cece pene mar ea:
SEAS ees

a) ¿Cómo pudieron calcula la medida de los ángulos?
1) ¿Cuáles la reaciôn ente los ángulos ay ede cada pareja de rectas?

©) ¿Cuáles a relación ente los ángulos a y 6 de cada pareja de rectas?

>» Manos a la obra

|. De acuerdo con lo lustrado contesten lo que se pide.

Escriban una definición para
Ángulos opuestos por el vértice

Ángulos adyacentes

KO) compa defines que sien pr gus pues pore vey nuts
tiie
agua dti es parce nae te e dar arguments dept aut und
dean pe empl in po dee ogo puc por ler como
Seals ue sna, pd pone de po cr ngs dn tang qu
M ala pr non oper eee

80. Il Realicen lo que se indica

+ Recorten una tra de papel de 10 cm de largo. + Coloquen la tra en el transportador como se
por 3 em de ancho; a 1 largo de ella y pasan- must en el dijo, de tal manera que puedan
o pr la mitad, acen una ina recta. Oibujen gar

un punto en el centro de la tira.

SQ Siren a tra de modo que el ángulo 1 mida 80. Ayúdense del transportador para

‘obtener las medidas de los ángulos 2,3 y 4. Anoten esas medidas en la tabla que se
muestra adelante, en el renglón del ángulo de 30°. Repitan lo mismo con ls otras
medidas quese indican enla tabla para el ángulo 1.

81. Angulo 1 Angulo 2 Angulo 3 Anguio a

75

190

145°

3) ¿Qué relación encuentran entre las medidas de los ángulos 1y 32
1) ¿Y entr las medidas de los ángulos 2 y 47
9 ¿Entre las medidas delos ángulos 1 y 22

A) ¿Y entre las medidas de los ángulos 3 y 4?

+ Regresen al problema del apartado Consideremos l siguiente y verifiquen que sus
respuesta coincidan con las relaciones que acaban de encontrar

>>> A lo que llegamos
Cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos.

Los ángulos ay eson opuestos por el vértice, observa que tienen el
‘mismo vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del
otro, Los ángulos ay 6 suman 180° y, además, son ángulos adyacen-
tes, observen que tienen en común el vértice y un lado.

MR Pocos ce rectos

‘Ahora sabes que dos rectas pueden cortarse o no cortarse. Si se cortan pueden formar
ángulos rectos o ángulos no rectos

82. e © © © = «

>> Lo que aprendimos
1. Pants una ecuación y encuentra el valor de os uato Angus del siguente gua,

2. Sia suma delas medidas de dos ángulos adyacentes es 180", y uno de elos mide el
doble del otro, ¿cuánto mide cada uno?

3. Anota las medidas delos otros tres ángulos que forman las diagonales.

De

‘=

ge

>>>

&
À

83. ENCIA 6

Angulos entre
paralelas

{£ En secuencias anteriores has estudiado, por un lado ángulos, y por
otro rectas paralelas, ahora seguirás explorando ambos temas: ángu-
los entre paralelas. También trabajarás con los ángulos interiores de
triángulos y paralelogramos.

SESION 1 ÁNGULOS CORRESPONDIENTES
>» Para empezar

Considera las siguientes rectas paralelas, y ra Recuerda que esto se escribe: Ira

?

Observa que la recta f corta alas dos rectas paralla. sta recta recibe el nombre de
transversal o secante.

>>> Consideremos lo siguiente

Sin medir, encuentren y noten el valor de cada uno delos ángulos marcados con rojo.

x nie

LC} Comparn ss estados os detesto depa y hoy estas drets ng
en ein on

84. M
>> Manos a la obra
O4 Rein siguente actividad

A 1. racer en una hoj blanca de papel delgado (depre- 2. Marquen un linea punteada como la quese muestra

forenci transparente) dos retas paralelas y una enel dibujo:
transversal, y numeren ls ángulos dela siguiente

3. Conenta hoja por la línea punteada. A. Coloquen una parte de la hoja encima dela tra de
{al manera que elángulo coincid exactamente con
elánguloS.

‘Ahora tienen el ángulo 5 sobre el ángulo 1

Los ängulos 1 y 5 se man ángulos correspondientes.

3) éCuâles el ángulo corespondiente dei? àydel8? éydel#?

1) ¿Cómo son entre si las medidas de Los ángulos correspondientes?

9 Verifiquen, midiendo, que cuando dos rectas paralelas son cortadas por una trans-
versal los ángulos correspondientes son iguales.

85. (O resiente reci
ALTRE
EI is TA

9 45 = 47 porque son ángulos opuestos por el vértice,

d) 45+ 4 6 = 180° porque son ángulos adyacentes que se forman
cuando dos rectas se cortan.

li Completen el razonamiento para encontrar F considerando que 4 2 = 50° y que se
trata de dos rectas paralelas cortada por una transversal.

das 4 cporque
Entonces el 2 emide

heed F180" porque

Porto tanto, & fe

IV, Regresen al problema del apartado Consideremos 10 siguiente, identifiquen los ängu-
los correspondientes y verifiquen que sus respuestas hayan sido correctas.

V. Consideren ahora dos recta que no son paraleas y que son cortadas por una transversal.

3) En este caso también se dice que el ángulo 1 es correspondiente del ángulo 5,
y el 2 del 6, ¿cuál es el correspondiente del 37
¿ydela?

1) Comparen las medidas delos ángulos correspondientes cuando las rectas no son
paralela.

86. M

>>> A lo que llegamos
‘Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman angulos corres-
pondientes iguales.

El 41 es correspondiente al Z 2, por lo tanto 4 1 = 4 2.

Si dos rectas que no son paralelas son cortadas por una transversal los ángulos corres-
pondientes tienen diferente medida.

>>> Lo que aprendimos

Encuentra el valor de los ángulos que faltan en cada caso.

XM HS

ANGULOS ALTERNOS INTERNOS SESION2
>>> Para empezar

(Cuando dos rectas paralela son cortadas por una transversal se forman ocho ángulos

Observa que osángulos 2/9,6Y 7 están dentro de as parles,
Estos inglssellamanintemog PPP eS 08 nas pars

Qué ángulos quedan fuera de as paralelas?

¿Cómo cree que se laman estos ángulos?

87. >> Consideremos lo siguiente

Sin medir los ángulos, ¿cómo podrian convencer a alguien de que 4 a= £ #7 Anoten sus
argumentos.

Comparen sus argumentos on ls del esto del grupo, observen que hay diferentes ma-
eras de llegar al mismo resultado.

>>> Manos a la obra

Du var agent tin
à ios coe id ne Bad tend

à en
Por ejemplo 277s aera ESS

Hay otra pareja de ángulos aternos internos, ¿cuáles? Sy 6. —

1) Si dos ingulos estan de diferent ado def transversal, en diferen-
te paralela y fuera de las paralelas, se llaman alternos externos.
Por ejemplo.

Hay otra pareja de ángulos altemos externas, ¿cuál es? 4 5.

En figura del apartado Consideremos lo siguente identifiquen än-
gulos alternos internos atemos extemos y verifiquen que miden Io

11. Con respecto la figura del aportado Consideremos lo siguientesubrayen ls afirma-
ciones que son verdaderas

8) 4 = 4 F porque son ángulos alternos internos.
b) 4 a 4 € porque son ángulos correspondientes.
9 4 e à d porque son ángulo alternos externos.

d) 4 a» £h porque son ángulos opuestos por el vértice.

88. y

I. En a siguiente fig
¡Completen el razonamiento para justificar que los ángulos

alternos internos siempre son iguales,

M

de k frome
A F2 ag pore 5

Ste
Entonces, como ls dos ángulos, el Z dy el gsoniguales Dr

al 2 E podemos decir que
IV. Bseriban en su cuaderno un razonamiento parecido paa jutífiar que dos ángulos
alternos externos son iguales.

Y. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y revise los argumen-
tos que dieron para justificar I igualdad de los ángulos ay À

>» A lo que llegamos

‘Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se
forman ángulos alternos internos y alternos externos que miden
lo mismo.

El Z 1 es alterno extemo del 4 7 , por lo tanto 4 1 = 4 7.

El Z 4 es alterno intemo del 2 6, por lo tanto 44 = 6.

89. SESIÓN 3

>>> Lo que aprendimos

1. Investiguen s ay ono alguna relación entre las ángulos alternasintemosyalternas
externas cuando la dos rectas que corta la transversal no son paralelas.

LOS ÁNGULOS EN LOS PARALELOGRAMOS
Y EN EL TRIÁNGULO
>>> Para empezar

Las relaciones entre las parejas de ángulos que se forman cuando dos rectas son cortadas

== por una transversal se usan para seguir explorando y descubriendo otras propiedades de
las figuras

>>> Lo que aprendimos
© 1: comida fur de desc y anta as medias que aan

Me use
e y
132 272
hands 48-

Considera los siguientes paraelogramos.

a

3) En el romboide se ha marcado una pareja de ángulos opuestos. Cada cuadrilátero
tiene dos parejas de ángulos opuestos. Identifica y marca, con diferente color,
cada pareja de ángulos opuestos en cada parlelogramo.

90. M

1) Subraya la afirmación verdadera
Los ángulos opuestos de un parallogramo tienen diferente medida.
+ Los ángulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo.
+ Losängulos opuestos de un parallogramo suman 180°.

3. Ahora, en el romboide se ha marcado una pareja de ángulos consecutivos.
a) Marca en los otros paralelogramos una pareja de ángulos consecutivos.

KLA

1) ¿Cuál es la relación entre as medidas de los ángulos consecutivos de un paralelo-
gramo?

A. Considera las rectas paralelas que resultan de prolongar los lados del paralelogramo.

CUP
tlt,

3) Completa el siguiente razonamiento para demostrar que el ángulo 1 es igual al
ángulo 3.
41 = 45 porque
43 = 45 porque

Si ambos ángulos, el 2 1 y el 8, son iguales al 28, entonces

1) Escribe en tu cuademo un razonamiento para demostrar que el ángulo 2 es igual
al ingulo 4.

91. 5. Responde alas preguntas, se refieren a a figura anterior.

3) Considera la transversal £, yla rectas paralelas 1, y ra ¿cuánto suman las medi
das delos ángulos 2 y 9? -

1) Justitia tu respuesta

5. Revisa tus conjeturas de os ejercicios 2 y3 y verifica si corresponden a los resultados
hallados en ls ejercicios 4 y 5,

7. En la secuencia 4 exploraste la relación de los ángulos interiores de un triángulo,
¿cuánto suman ls res ángulos interiores de un triángulo?

$ & Se tiene un romboide cualquiera y se traza una de sus diagonales, observa que se
forman dos triángulos. Completa el siguiente razonamiento para justificar que la
sma dels gui interior del tngulo ABC es 180%

4 d+ à be 4 € =180* porque forman un ángulo de 180°.

4d= da porque
4e= 4 porque
Sisustituimos £ dy £ e por sus iguales, que son 4 ay £ €, entonces lasuma queda

= 180°

92. y

M

¿Cuánto mide el ángulo formado por a escalera yla pared?

Las relaciones delos ángulos ente paralelas y la de los triángulo y paralelogramos te
permiten resolver múltiples problemas,

>>> A lo que llegamos

>>>

93. La relación inversa
de una relación de

proporcionalidad
directa”

En esta secuencia determinarás la relación inversa de una relación de
proporcionalidad directa.

SESIÓN 1 EL PESO EN OTROS PLANETAS
>>> Para empezar
¿Sabias que el peso de un objeto varia en función de la fuerza de gravedad que acta

—— sobre él Est significa que un objeto no pesa lo mismo en la Tera que lo que psa en
ta Luna, Marte 0 en algún otro lugar del sistema solar.

De hecho, el peso que tienen los objetos en un planeta y su peso en otro planeta son
cantidades directamente proporcionales; por ejemplo, un objeto que en la Tera pesa 4
Kilogramos, en Júpiter pesa 10 Kilogramos. ¿Cuánto pesa en Jpiter un objeto que enla

Terra pesa 12 Kilogramos?

En esta sesión descubrirá cómo encontrar el pes de un mismo objeto en distintos pla
metas y satélites del sistema solr

>>> Consideremos lo siguiente

© site ti musas dits pens que una ma bara de pam ene ena
Tiere yen auna:

puedo rade plone
es | ne
eee | Gus

Na m 1m

94. M

on información de a tal anterior respondan lo siguiente:

a) ¿Cuál sl constate de proporcionalidad que permite encontrar el pes de un bje-
to en la Luna apartir desu peso en a Tera?

1) Si una bara de plomo pesa en la Tera 18 Kilogramos ¿cuánto Kilogramos pesa en
la Luna?

de) ¿Cuáles a constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un obje-
10 en a Terra a partir de quese conoce su peso en la Luna?

+) Siuna barra de plomo pesa en la Luna 25 kilogramos, ¿cuántos kilogramos pesa enla
Tien?

CComparen sus respuestas y comenten:
¿Cuántas veces es más pesado un objeto en a Tierra que en la Luna?

>>> Manos a la obra

‘Completen a siguiente tabla para encontrar el peso de algunas baras de plomo enla
Luna conociendo su peso en la Tierra.

Pesoenlatiena | Peo raped
(siren | ayo | ($)
N 720 120
7
2
1
18

Observen que al encontrar cuánto pesa en la Luna un objeto que pesa 1 kilogra-
mo en la Tierra, se encuentra también la constante de proporcionalidad que
peso de un objeto en la Luna conociendo su peso en la Tierra,

permite saber

95. 11. Completen la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barra de plomo en la
Terra conociendo su peso en la Luna.

Peso anlatuna | Peso eniaTiera

La) (en kilogramos) enkilogramos)
120 720
so N

10

25

CC) comparen ss ests y esferas del parade Cremes 5
we

I. Completen el siguiente diagrama y comenten la relación que hay entre la constantes
que utilizaron.

‘Se multiplica por la constante de proporcionalidad, que es:

ose divide entre:

Se multiplica por la constante de proporcionalidad, que es:

Del diagrama anterior se observa que da el mismo resultado
poro recproco, que es $.

dividir ente 6 que multi
Están de acuerdo con esta observación?

Justfiquen su respuesta

96. >>> A lo que llegamos

Cuando dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales, siempre hay en
juego dos relaciones de proporcionalidad. £l siguiente diagrama ilustra esta situación.

Relación 1

Relación 2

La relación 1 permite encontrar las cantidades del conjunto B a partir de las cantidades
del conjunto A. La relación 2, al revés, permite encontrar las cantidades del conjunto A
a partir de las cantidades del conjunto B. Se dice que estas dos relaciones son inversas
una de la otra

Además, las constantes de proporcionalidad asociadas a estas dos relaciones son
recíprocas una de la otra.

Por ejemplo, + es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso en la
Luna a partir del peso en la Tierra, Mientras que 6 es la constante de proporcionalidad
que permite conocer el peso en la Tierra a partir del peso en la Luna.

Estas dos relaciones son inversas y sus constantes de proporcionalidad son recíprocas.

6 y + son reciprocos porque 6 x += 10 +x6=1.

Recuerden que:
>» Lo que aprendimos La constante asociada
ala aplicación sucesiva
la siguiente tabta muestra los distintos pesos que una barr de plomo tiene e la Tira Ja gos connate de
yen Vemos proporcionalidad es
igual al producto de las
dos constantes que se

Peso dela bara de plomo
Peso en la Tierra Peso en Venus aplican sucesivamente,
{entilogrames) {entilogramos)
N 720 cas

97. Contest las siguientes preguntas:

3) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de los
objetos en Venus a partir de conocer su peso en a Tierra?

1) Si una barra de plomo pesa 1 kilogramo en a Tierra, ¿cuánto pesa esa barra en el
planeta Venus?

9 ¿Cuál esla constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de los
objetos en la Tierra a partir de conocer su eso en Venus?

4) Si una borra de plomo pesa 1 Klogramo en el planeta Venus, ¿cuánto peso esa
barra en la Tierra?

SESIÓN 2 EUROPA Y PLUTÓN
>>> Para empezar

¿Sabias que Júpiter, el planeta más grande
del sistema sola, tiene 16 lunas conoci-
das? Una de ellas se llama Europa. Europa
tiene caracteristicas que han fascinado a
los astrónomos contemporáneos, Es un
poco más grande que nuestro satélite, la
Luna, pero lo más interesante esque su sur
perfcie est cubierta por una capa de hie-
lo y se cree que debajo de esta helada capa
‘existe una gran cantidad de aqua. Deer as, sera el único lugar de nuetro sistema solar,
además de nuestro planeta, donde existe agua en cantidades significativas.

>>> Consideremos lo siguiente

(Oat st A
es

Peso en Europa
(en kilogramos) | (en kilograms)
30 240

1

Tat

1 Tabla 2

a) ¿Cuánto pesa en Plutón una barra de plomo que en la Tierra pesa 1 kilogramo?

98. 1) ¿Cuánto pesa en Europa una barra de plo-
mo que en la Tierra pesa 1 kilogramo?

9 ¿Cuáles la constante de proporcionalidad
‘que permite encontrar el peso de un objeto
en Europa a partir desu peso en Plutón?

4) ¿Cuáles la constante de proporcionalidad
‘que permite encontrar el peso de un objeto
en Plutón a parte de su peso en Europa?

Cone area pt

>>> Manos a la obra

CO amok ier o pr contr lps ges br pl en
Ten Fun

Pesoen Europa Peso enla Tera Peso en Platón
ten logramos (enkilogramos) (en Klogramos)
30 240 16
15
1

ogo

¿comparas ts y comple sigut dagana nl que saben guns
feos yt ay cts peso os ray

99. ‘Se multiplica por ‘Se multiplica por

Se multiplica por
Diagrama 1

CO) Veran un respete aparato Core siguente

Decre wet
Se eee

Inden de proporcionalidad Relación inverso

Relación que a cada peso en Europa | Relación que a cada peso en
asocia el peso correspondiente en la asocia el peso correspondiente
Tierra Ca

Relación que a cada peso en Relación que a cada peso en
asocia el peso correspondiente asocia el peso correspondiente
en Plutón. enla Tier.

Relación que a cada peso en Relación que a cada peso en Plutón
asocia el peso corespondiente asocia el peso correspondiente en —
en Plutón. -

Completa el siguiente diagrama para establecer la constantes de proporcionalidad
delos relaciones inversos de las relaciones del diagrama 1.

Se multiplica por Se multilia por

Se multiplica por

Diagrama 2

100. KO) compare sus tablas y

3) ¿Cuál esla constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un

amas. Comenten:

‘objeto en Europa a partir de su peso en Plutón?

1) ¿Cuéles son lo recprocos delas constantes de proporcionalidad indicadas en el
Diagrama 22

siguiente esquema muestra ls constante de todas ls relaciones de proporcionalidad

que hay entre lo pesos en Ptön ia Ter y Europ.
Se multilic por 3

Se multiplica por 15 Se mutipica por +

Se multiplica por Se mutica por 8

Se mutinicapor

>>> Lo que aprendimos

© 1 Eta sión de sevens 6 det de Matemáticas lumen aprende
quels microscopios compuestos tienen dos lentes, lamados objetivo y cular
Un microscopio compuesto tene un Inte objetivo que aumenta 15 veces el tamaño
delo quese observa y un inte ocular quelo aumenta 25 veces.
Cometa el siguiente diagrama para encontar el aumento final obtenido con el
microscopio.

‘Se multiplica por Se multipica por

Se multiplica por

101. Completa el siguiente diagrama para establece ls constantes de proporcionalidad
de las relaciones inversas del diagrama anterior.

Se multiplica por Se multiplica por

Tamaño obtenido
con el primer
lente

‘Se multiplica por

sesión 3 PROBLEMAS
>>> Lo que aprendimos
El siguiente esl dibujo de un rompecabezas:

5 dom

Fgur 1

102. MALEN

‘Seva a hacer una copia del rompecabezas de la figura 1 de manera que el lado que
mide 4 centímetros mida ahora 7 centímetros.

3) Completen la siguiente tabla para encontrar algunas de las medidas dela copia,

Medidas en el original | Midas enla copia
Ten centimetros) | "en centimetrs)
4 7
2
1
6

1) Construyan las piezas de a copia del rompecabezas. Cada uno de las integrantes de
‘equipo contruic una pieza distinta. Al final, armen la copia del rompecabezas.

¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar ls medidas de
la copia a partir de las medidas del original?

) ¿Cuáles la constante de proporcionalidad dela relación inversa, la que permite
‘encontrar ls medidas del orginal a partir de las medidas de la copia?

‘Se va a hacer otra copa del rompecabezas de la figura 1 pero de tal manera que el
lado que mide 2 centimetros mida ahora 3 centimetros. Completen a siguiente tabla
para encontra algunas medidas que tendrá la nueva copia del rompecabezas.

Medidas del rompecabezas | Medidas dela copia
{en centimetros) {en centimetros)

2 3

a) ¿Por qué número hay que multiplicar ls medidas de la figura 1 para obtener las
medidas dela nueva copia?

1) ¿Cuál esla constante de proporcionalidad que nos permite obtener las medidas

del rompecabezas original a partir de las medidas de ta copia?

103. Cn

O

Completa la siguiente tabla para encontra algunas medidas reales y del dibujo de la

Medidas reales — | Medidas en dibujo
(encentímetros) | (en centimetros)

10

largo de a casa 2000

Ancho dela casa 5

recamara À

Ancho del baño 2 200

Largo de
i a as

Lago la 0 |

Largo del baño 2 13

Ancho dela
recámara 2

3) ¿Cuál esta constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas rea=
lesa partir de las medida del dibujo?

) ¿Cuél esla constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas del
dibujo a partir de las medida reales?

104. MATEM

4, Un automóvil tiene un rendimiento de 20 Kilómetros por cada litro de gasolina,
3) ¿Cuántos tos de gasolina consume si recorrió 380 Kilómetros?

1) ¿Cuálestaconstante de proporcionalidad que permite conocerla cantidad de gaso-
lina que consumió el automóvil a partir del número de Kilómetros que recorrió?

>>

0. SO

105. NCIA 8

Proporcionalidad

multiple

gg En esta secuencia estudiarás problemas en los cuales hay dos o más
«cantidades que se encuentran en proporción directa o proporción
inversa con otra cantidad. A este tipo de problemas se les llama
problemas de proporcionalidad múltiple.

SESIÓN 1 EL VOLUMEN
>>> Para empezar

Una dels situaciones en as que surgen problemas de proporcionali-
dad múltiple es el cálculo de volúmenes. En tu libro Matemáticas de
sexto de primaria aprendieste a calcula los volúmenes de algunos
prismas. Por ejemplo, para un prisma rectangular como el siguiente:

Ze
=

Prisma 1

ur
Er

Elvolumen se calcula:
Volumen = 4 em x 2 em x 3 em = 24 em?

106. >>> Consideremos lo siguiente
¿O Besonden guet:
a) Si se aumenta al triple la medida del largo del prisma 1, ¿cuántas veces aumenta

su volumen?

6) Si disminuye ala mitad la medida del largo del prisma 1, ¿cuánta vecesdisminu-
ye el volumen?

9 Siaumenta al doble a medida del largo y aumenta al triple la medida del altura
del prisma 1, ¿cuántas veces aumenta el volumen?

LC) comparen is pussy menencómo ls ito.

>> Manos a la obra

DE Enta siguiente figura se aumentó al til a medida del argo del prima y se ob
tuvo un nuevo prisma rectangular, al que llamaremos prisma 2.

Largo om

9) ¿Cuánto mide el largo del prisma 2?
b) ¿Cuál es el volumen del prisma 27

9 ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el
volumen del prisma 27

4) Supongan que aumentara cinco veces el largo del prisma 1, ¿cuántas veces au-
mentarä su volumen?

9) ¿Cuánto medirá el volumen del nuevo prisma?

107. Ena siguiente tabla las medidas del ancho la altura del prisma 1 permanecen filas,
pero la medida del largo varia. Complete Ia tabla y encuentren los volúmenes c0-

Rae
mas tue TEE
cra] Sea] ae | DT. ee
ca ler | ells
I: 1:1 |
Bie amen Eee
2x4 2 3 er
cas resumen elon?
Elbo sumer
16 2 3 as
Actes amen even?
ago in
2 2 3 a8 ae
¡nas vee diy les?
Gamma teren

D 1 En sine ua e sum ae la medi de au da ye
Shin in nu pan engl q morose 4

108. 3) ¿Cuánto mide ta altura dl prisma 92.

1) ¿Cuánto mide el volumen del prima 32

M

9 ¿Por qué número hay que multiplier el volumen del prisma Y para obtener el

volumen del prisma 87

En la siguiente tabla las medidas del largo y del ancho del prisma 1 permanecen fijas,
pero la medida de la altura varia. Completen la tabla y encuentren los volúmenes.
correspondientes.

>>> A lo que llegamos

Las situaciones de proporcionalidad múltiple se caracterizan porque
dos o más cantidades se encuentran relacionadas proporcionalmente
con otra cantidad.
Por ejemplo, cuando las medidas del ancho y la altura de un prisma
rectangular permanecen fija, la medida de su largo se encuentra en
proporción directa con la medida de su volumen.

Es decir, cuando se aumenta al doble, o triple, etcétera, la medida del
largo del prisma rectangular yla altura y el ancho permanecen fios,
la medida del volumen aumenta al doble, o triple, etcetera

Esto también sucede con las otras medidas del prisma. Es decir, cuan-
do las medidas del largo y del ancho del prisma permanecen fias, la
medida de la altura del prisma se encuentra en proporción directa con
el volumen del prisma. Y cuando las medidas de la altura y del largo
del prisma permanecen fijas, la medida del ancho se encuentra en
proporción directa con la medida del volumen.

targoga | Anchode | Ata det | volumen ‘icin del volumen del prisma
re ma | primas | depa | (mada pap mi
en | em | on | "en | Pr 1170
4 2 3 2
Lo altura amet veces
4 2 2
¿Cuántas veces aumentó el volumen?
La altura aumentó
4 2 2
¿Cuántas veces aumentó cl volumen?
La altura disminuyó
4 2 x
En ¿Cuántas veces disminuyó el volumen?

109. A) 11 Compte eis ue at en prima à par encantar qu ud on
volen de pa cuando med e go se ups y mid ela ta
‘etic pro la met et ano pomans a

Largo cm
|
= |

Prisms

3) ¿Cuánto mide el volumen del prisma 42

1) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el
volumen del prisma 4?

110. MALEN

En a siguiente tabla las medidas de largo y dela altura del prisma 1 arian, pero la medida
el ancho permanece fja. Complete a tala y encuentren los volúmenes correspondiente.

Largo del | Ancho dl Volumen del] Variación del volumen del prisma
AN Yew) | combis masia ello yde logo)
4 2 3 2
¿Cuántas veces aumentó el argo? 2 veces
Bara | 2 ¿Cuántas veces aumentó la altura? 3 veces
¿Cuántas veces aumentó el volumen?
¿Cuántas veces aumentó el argo?
12 2 12 ¿Cuántas veces aumentó la altura?
¿Cuántas veces aumentó el volumen |
¿Cuántas veces aumentó el ago?
16 2 9 ¿Cuántas veces aumentó la altura?
¿Cuántas veces aumentó el volumen?
¿Cuántas veces disminuyo el argo?
2 2 12 ¿Cuántas veces aumentó la altura?
¿Cuántas veces aumentó el volumen?

LC conn py cometo cn attra,

>>> A lo que llegamos

En algunas situaciones de proporcionalidad múltiple, como en la del
prisma rectangular, si dos o más de las cantidades varían al mismo
tiempo, por ejemplo, si el largo aumenta mveces y al mismo tiempo
el ancho aumenta m veces pero la altura permanece fija, entonces el
volumen aumenta mx m veces.

111. >» Lo que aprendimos

KO) * El siguiente prisma rectangular se obtuvo al variar las medidas det prisma 1 de a si-
guiente manera: la altura aumentó al triple, el ancho aumentó al doble y lago se
mantovo fo. Complete los datos que falta ene dibujo.

2) ¿Cuánto mide el volumen del prisma 5?

1) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

volumen del prima 5?

9 Sillas medidas del argo y del ancho del prisma 1 aumentaran al triple y la altura
permaneciera fi, ¿cuántas veces aumentara el volumen del prisma 12

112. LA EXCURSION SESIÓN 2
>>> Consideremos lo siguiente
En una escucta se va a realizar una excursión. Los organizadores saben que en promedio
12 niños consumen 144 litres de agua durante 6 dias
2) ¿Cuántos ios de agua hay que llevar ala excursion si van a ir 60 niños durante 3
dis?

b) Y si fueran 36 niños y ls organizadores levaran 144 ltrs de agua, ¿para cuántos.

dis de excursión alcanzaria el agua?
Comparen sus respuestas.

>>> Manos a la obra

O1. manu ts guientes regu
Sen gr de Fos a unn fan 26 os
os 144 Hrs agua aka pra ns o menos?

© ¿Para cuántos día alcanzaría el agua?

© ¿El nümero de dias aumentaría al doble disminuiria ala mitad?

1) Si en lugar de i 12 niños a a excursión fueran 6 niños:
+ ¿los 146 ltros de agua alconzarian para más o menos días? >

+ ¿Para cuántos dis alcanzaría el agua?

© ¿Elmúmero de dias aumentaría al doble disminuiria ala mitad?

Si fueran a a excursión 4 niños y levaran 144 tos de aqua:

+ ¿Para cuántos días alcanzaría el agua?
© &Elnümero de días aumentaría al triple o disminuria ala tercera parte?

© comparas opus.

113. (& Comenten ls siguientes afirmaciones. Pongan la letra V cuando la afirmación sea
verdadera yla letra F cuando la afirmación sea fala,

Cuando el nimero delitos de agua permanece fo (144 tros). el número de

das y el número de niños son cantidades directamente proporcionales,

(Cuando el número de ltros de agua permanece jo (144 tos), el número de
y el número de niños son cantidades inversamente proporcionales.

Las siguientes tabla son útiles ara determinar s dos conjuntos de cantidades son direc-
tamente proporcionales o inversamente proporcionales.

antidases directamente proporcionales Cantidades inversamente proporcionales

Suna omidad aumenta lo | ta aumenta dela | runa caiga aumenta lobe | no aid ine ai
e al il. cet, ile cet ple tt tad, tercera pate cota.

Si una caido dsinuye a la | Jo ora cro dime a | | uma cani diminue at mi | o ta caido aumenta
mit teen pare, cite. la id ter porta | | 1, trea are ctra. | ob al tl etter

(O sep stents rentes ese queen rome 1 lbs onen
osas oo dort des

3) Si en lugar dei 12 niños a Ia excursión fueran 60 niños:
© ¿Habria que llevar más o menos agua para 6 dias de excursión?
+ ¿Cuánta agua habria que llevar?

+ ¿La contidad de agua aumentaría cinco veces o disminuiia ala quinta parte?

1) Comenten las siguientes afirmaciones. Pongan la letra V cuando la afirmación sea
verdadera yla letra F cuando la afirmación sea falo.

Cuando el número de dias permanece fo (6 días) el
número de niños y la cantidad de agua que se consumi-
+ son cantidades directamente proporcionales.

¡Cuando el número de dias permanece fio (6 días) el
número de niños yla cantidad de agua que se cons
son cantidades inversamente proporcionales.

114. M
9 Sen lugar de ir 6 dis de excursión fueran sólo 3 dis:

© ¿los 12 niños necesitaran más o menos de 144 litros de agua?

+ ¿Cuánta agua tendrian que llevar?

+ ¿la cantidad de agua aumentaria al doble o disminuii a la mitad?

1) ¿Cuántos tos de agua consumen 12 niños durante 1 dia de excursión?

9 ¿Cuántos tos de agua consume 1 niño durante 1 da de excursion?

Comenten las siguientes afirmaciones y pongan la letra V cuando la afirmación
sea verdadera yla letra F cuando la afirmación sea falsa

Cuando el número de niños permanece fijo
(12 ninos), el número de das y la cantidad de
agua que se consumió son cantidades
directamente proporcionales.

‘Cuando el número de niños permanece fijo
(12 ninos), el número de das y la cantidad de
‘agua que se consumió son cantidades.
inversamente proporcionales.

9) ¿Cuántos litros de agua consumirán
60 niños durante 1 día de excursión?

¿Cuántos litros de agua consumiran
60 niños durante 3 das de excursión?

115. >>> A lo que llegamos

Enuna escuela se vaa Enlos problemas de proporcionalidad múltiple puede suceder que
Los organizadores saben — Cuando una de las cantidades permanece fija las otras dos sean direc-
queen promedio 12 is | tamente proporcionales o inversamente proporcionales. Por ejemplo:

agua durante 6 días 1. Si el número de niños que van a ira la excursión permanece fijo,
entonces el número de días que van a estar en la excursión y el
LOSE ESSAI nümero de litros de agua que se consumirán son cantidades direc-
aaa tamente proporcionales.
DLE nm 2, Si el nümero de litros de agua que se consumió en la excursión

permanece fijo, entonces el número de días y el número de niños

am son cantidades inversamente proporcionales.
se Una de las técnicas útiles para resolver algunos problemas de pro-

se porcionalidad múltiple es encontrar el valor que corresponde a las
sw" unidades, Por ejemplo, en el problema de la excursión la cantidad de
agua que consume 1 niño durante 1 dia es el valor que corresponde a

nenne las unidades: en 1 día 1 niño consume 2 litros de agua. El valor que le
ou corresponde a las unidades en este caso es 2.

Luego, si queremos saber cuántos litros de agua consumirán 70 niños
durante 5 días de excursión, solamente tenemos que hacer una multi-
num tana namen» plicación, el siguiente esquema ilustra mejor este hecho.

—" "Número de niños que Nümero delos de agua que
€ fueron ala excursión — consumieron 70 niños durante
Per i il 5 dis de excursion
2x5x70=700
+ <= Valor que le corresponde alas Nümero de das que
ac anidades:mümero de tros de durö a excursión

‘agua que consume 1
La rca cs durante 1 dia de excursión

‘Asi que 70 niños durante 5 días de excursión consumirán 700 litros
de agua.

116. >>> Lo que aprendimos

1. Responde las siguientes preguntas. Recuerda que en promedio 12 niños consumen
144 litros de agua durante 6 dias.

a) Si en lugar de ir 6 días de excursion van 18 días.
+ ¿los 144 litros de agua alcanzaran para más o menos niños?
+ ¿Para cuántos niños alcanzaría el agua?

© ¿Elmúmero de niños aumentó al triple o disminuyó ala tercera parte?

1) Si en lugar de ir 6 das de excursión van 2 das.
© ¿los 144 lits de agua alcanzaran para más o menos niños?
+ ¿Para cuántos niños alcanzarla el agua?

+ ¿Elmúmero de niños aumentó al triple o disminuyó ala tercera parte?

© 2: Comet 1 age bi pra ear sc námer dents y número de ds
tela excursion son cantados drceamente poporonals o inversamente propor.
nales and a cantina de agua permane Na (a is).

“Cantidad de agua consumida | Dias de excursión Nümero de niños
144 os 6 12
144 tiros 3
144 ros 12
144 tiros 1

MÁS PROBLEMAS SESION 3
>>> Lo que aprendimos
(O) 1: Entasesn 1 de est secuencias calculó volumen del prima rectangular 1

Prisma 1 Sem

26m

som

Volumen = 4 em x 2 em x 3 em = 24 em?

117. Contest las siguientes preguntas:

3) Si se aumenta cada una de las dimensiones altura, argo y ancho) del prisma 1 al
doble se obtiene un nuevo prisma: el prisma 6, ¿Cuál sel volumen del prisma 62

1) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el
volumen del prisma 6?

(9 Al aumentar cada una delas dimensiones (altura, largo y ancho) del prisma 1 al
triple se obtiene otro nuevo prisma: el prisma 7. ¿Cuál es el volumen del prisma 72

4) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el
volumen del prisma 7?

6 menos cuadrados = 150 ladils.
1 m= 25ladrilos

On dé ds RNC AR
pectin 00 ao cote Sines peurs

3) ¿Cuántos tabiques se neceitan para constru un muro que mida un metro de

largo por metros de alto? — 75 ac

1) ¿Cuántos tbiquesse necesitan para construir un muro que mida 1 meto delrgo
port metro de ale? 2 ados.

9 ¿Cuántos tabiques se necesitan para construir un muro que mida 12 metros de
largo por metros de alto? _ 900 Icio.

Subray las afirmaciones corrects:

+ Sia medida dela altura del muro permanece fa (2 metros, entonces el nü-
‘mero de ladrillos es inversamente proporcional a la medida del largo del

+ Sila medida del lago del muro permanece fi (3 metros), entonces la medida
ea altura y el número de adrilos que se necesitan son cantidades directa
mente proporcionales.

+ Sila medida dela altura del muro permanece fa (2 metros), entonces la me-
‘ida del largo y el número de ladrillos que se necesitan son cantidades direc
tamente proporcionales.

) Siun muro mide 4 metros de largo y stá hecho con 100 tabiques, ¿cuánto mide
sualtura? metro.

118. MALEN

+) Si un muro mide 2 metros de largo y está hecho con 100 tabiques, ¿cuánto mide
su altura? 2metros.

9 Siun muro mide 1 metro de largo y está hecho con 100 tabiques, ¿cuánto mide
sl meo
) Completa la siguiente afirmación para que sea correcta.
Sila cantidad de tabiques permanece fa (100 tabiques), entonces la medida del
largo y la medida de la altura son cantidades inversamente. proporcionales.

2. Damitn csun granjero y se dec la crianza de guajolotesÉ sabe que 10 gujoo- À quajolote
ves consumen aproximadamente 120 kilograms de alimento durante is consume 4 kilos
on 1 dia

3) ¿Cuántos ilogramos de alimento consumen 10 guajolots durante 1 dia?

40 kilos.

1) ¿Cuántos kilogramos de alimento consume un guajolote durante 1 dia?
4 kilos.

9 ¿Cuántos kilogramos de alimento consumen 40 guajolotes durante 30 dias?
4800 kilos.

4) Si e consumieron 240 kilogramos de alimento durante 12 días, a cuántos gua-

jolotesse alimentaron? 5 guajolotes _—[7T[DCLLLLLL

Si se consumieron 240 kilogramos de alimento durante 3 días, ¿a cuantos guajo-
lots se alimentaron? _ 20 guajolotes.

>>>

119. En esta secuencia vas a identificar regularidades para resolver proble
mas de conteo, Verificarás tus resultados utilizando arreglos rectangu-
lares, diagramas de árbol u otros recursos.

SESION 4 ¿CÓMO NOS ESTACIONAMOS?
>>> Para empezar
MR 0¢ cuóntos formas?

Esisten situaciones en las que queremos ordenar o repartir arios objetos y resulta útil
‘conocer de cuántas maneras distintas podemos realizarlo. En las problemas de conteo se
responde la pregunta ¿de cuántas formas? Es importante contar de manera sistemática
y para llo convene saber desarrollar patrones. En ocasione contar lo casos de uno en
‘uno no resulta práctico, ya que puede requerir de mucho tiempo y además se corre el
riesgo de no contaros todos.

En a secuencia 8 de tu libro Matemáticas 1 Volumen I resoviste problemas de conteo
utilizando tablas, diagramas de árbol y enumeracione, En esta secuencia conocerá.
otras técnicas de conteo. En la secuencia 32 de est libro aprenderás a calcular probabi-
Tidades y tomar decisones utilizando la técnicas de conteo.

>» Consideremos lo siguiente

PPP
de arameo Sn one de AS ES fon Nose ts
Lames name Styl Mic que secon cl che
Sino enano dl grs cpt Ste pue Ciconane en igo DY
sa
en a

A) compren us rusos Comes peines qu tro

120. >>> Manos a la obra

© 1. taste a se para encontrar oases posts omas ns que pn

Sader Soa y ge alt ind que de sde sl pio se
rae ao es im ga era qu adn up Han aa
‘ara apo ens today ios vce,

Soña | Miguel
a [os
a [e
a [o
ale
8 | a
8 | ce
8

Responde las siguientes preguntas:

a) Un dia Sofia leg primero y escogió el lugar B; cuando llega Miguel, ¿cuántos lugares
tiene para escoger?

1) Otro dia Miguel llegó primero y escogió el lugar D: cuando llega Sofía, ¿cuántos lu-
gares tiene para escoger?

el ¿Cuántos lugares tiene para escoger la primera persona en legar?

4) ¿Cuántos lugares tiene para escoger a segunda persona en legar?

+) ¿De cuöntas maneras distintas pueden estacionarse Sofa y

iguel?
oO {Comparen sus respuestas

© 11. atado un nu veo. amado Pame tact uo cad ase en
alguno de los lugares. ¿De cuántas formas pueden estacionarse Sofia, Miguel y Paco?

121. i Las posibles maneras de estacionarse que tienen Sofia, Miguel Paco se pueden re
presentarutilzando un diagrama de árbol El diagram indica e lugar que escogió
cada uno, sin importar quién legó primero estacionarse Compléalo en tu cuaderno:

Lugares.
Sofía Miguel Paco 2S.
c ABC
ao AD
A [e] E ABE
o
E

Utiiza el diagrama de árbol para responder ls siguientes preguntas

a) Si Sofia está en el lugar Cy Miguel no ha llegado, cuando llega Paco, ¿en qué lu-
gares e puede estacionar?

1) Si Paco está en el lugar 8 y Miguel está en el lugar E, cuando llega Sofía, en qué
lugares se puede estacionar?

9 ¿Cuántos lugares tiene para escoger la primera persona en llegar?
d) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la segunda persona en llegar?
+ ¿Cuántos lugares tiene para escoger la tercera persona en llegar?

1) ¿De cuántas maneras distintas pueden estacionarse Sofa, Miguel y Paco?

tra manera con la que podemos calcular el número total de formas que tienen para
estacionarse Sofia, Miguel y Paco, e realizando una operación. Subraya cuál 5:

- 54443
+ 5xax8
- 5x5x5
+ 54545

¿Por qué es a operación correcta?

122. M

IV: Responde as siguientes preguntas:

3) Enel diagrama de rbol, Sofia estä ene primer nivel, Miguel en el segundo y Paco
en el tercero. Si en otro diagrama de árbol ponemos a Paco en el primer nivel, a
Sofía en el segundo y a Miguel en el tercero, ¿habria más, menos o el mismo nú-
‘mero de posibles formas de etacionarseente los tes? Explica por qué:

y

Un dia Paco legó primero y se etacionó en e lugar C; lego llegó Sofa y se es-
tacionó en el lugar E; Miguel fue el último en llegar y e estaciond en el lugar A.
‘Otro dia Miguel llegó primero y se esacionó en el lugar A, luego llegó Paco y se
estacionó en el lugar €, al final legó Sofia y se estacionó en ellugar E. ¿Se cuenta
‘como la misma manera de estacionarse 0 son formas distintas? Explica por qué

C mars rpm, Com a cont leo a e rs que
e e katana o lea

Y. Los cinco departamentos están ocupados. Cada vecino estaciona su auto en alguno.
de los cinco lugares. Responde las siguientes preguntas:

a) ¿De cuántas maneras distintas pueden estacionarse los vecinos?
1) ¿Cuál es L operación a realizar para encontrar de cuántas maneras di

tas pue
den estacionarse los cinco vecinos?

9 ¿Cuil era el inconveniente de realizar un diagrama de árbol para encontra todas.
las formas de estacionarse que tienen los cinco vecinos?

4) Cierto da, dos de los vecinos no utizaron su auto y lo dejaron estacionado,
¿de cuántas maneras distintas pueden estacionarse ls tres vecinos restantes?

(Comparen sus respuestas. Para el caso en el que hay dos personas en el edifico, Sofa y
Miguel, comenten cuál esla operación que se hace para calcular el número total de
formas que tienen para estacionarse.

123. >>> A lo que llegamos

fara caen Los pw
Soman Pasado gor
Set dot ares
a deo are.
Porepmpt Sota unde
‘cadena en euge Dy
Higston lta Bs
‘ors te

Podemos contar las distintas maneras en las que se pueden estacio-
nar los vecinos fijändonos en el número de opciones que tiene para
‘cada uno en el momento en que llega:

Cuando todos los lugares están vacíos, cualquier vecino tiene cinco
‘opciones para escoger. Cuando ya está ocupado un lugar, los otros.
vecinos tienen cuatro lugares para escoger. Si hay dos lugares ocupa-
dos, los tres vecinos restantes tienen tres lugares para escoger. Luego,
si hay tres lugares ocupados, quedan dos lugares para los dos vecinos
restantes. Finalmente, queda un lugar para el último vecino.

El número total de casos posibles se obtiene multiplicando:

Si hay dos vecinos: 5 x 4.
Si hay tres vecinos: 5 x 4 x 3.
Si hay cuatro vecinos: 5x 4 x 3 x 2.

Si hay cinco vecinos: 5x 4 x 3 x 2 x 1

>>> Lo que aprendimos

1. Con os digitos2, 4,8, 5 queremos formar números de tre ias; en cada número no
se puede repetir ninguno de ls digitos. ¿Cuántos números podemos formar? Haz una
lista con todos los números.

2. En una telesecundara, dos alumnos deben escoger
un día, de lunes a viernes, en el que les va a tocar
hacer las tareas de limpieza del salón; cada uno debe
escoger un día distinto. ¿De cuántas maneras puede
hacerse e rol de limpieza de esa semana? Haz un
diagrama de árbol para representar todos los roles
distintos.

3. Cuatro alumnos van con el médico a que les pongan
una vacuna y ninguno quiere pasar primero, ¿de
cuántas formas distintas pueden ordenarse para pa-
sar con el médico?

124. M

LA CASA DE CULTURA SESION2
>>> Para empezar

la Casa de Cultura es un lugar en los municipios y bros en el quese fomentan la ul

ur, cl ate yla educación. En la Casa de Cultura hay biblioteas públicas, se imparten

tallers y cursos, y se organizan conferencias obra de teatro, exposiciones, conciertos y

presentaciones de bros.

la Casa de Cultura tiene como objetivo contribuir a quel població tenga la oportuni~

dad de acercarse a diversas expresiones artistes y tambien preservar las tradiciones del

lugar donde se ubique.

>>> Consideremos lo siguiente
Fernanda ste a a Casa de Cultura de su muni-
ipo; en esta Casa de Cultura se imparten cuatro
Tales: danza, msia, teatro y dibujo. Femanda Casa de

tas formas posibles tiene para inscribirse?
‘Nombre: Fernanda
==>

sie alos siguentes are

LO) comparen ss repuestas Equ cómo bi
eno sae ome ec
tere nanan pe tds o menos
{dts fran one chsh de
erp wise eae os pore tae

125. >>> Manos a la obra

1. En a siguiente lista hacen falta varias de las opciones que tiene Fernanda, encuén-
tras todas y escribes en tu cuaderno,

danza y música
danza y teatro
danza y

11. En el diagrama de árbol están representadas las formas en las que Femanda puede
inserirse:

| Música

0 ===] Teatro

Die
aa
Misc == Teatro
= oi!

Danza

Música
Dibujo
Danza |

Música

Dibujo

Teatro |

3) ¿Cuántas opciones hay en el diagram:
) Cada una delas opciones está repetida: ¿cuántas veces aparece cada una?

(9 Subraya cul de las siguientes operaciones sive para calcular el número total de
formas que tiene Femanda para inserbirse:

4x3

axa
2

© ¿Por qué es a operación correcta?

C coups seta,

126. .c.. © * Il

O1 oa us de atu imparts isms teres ana mi, tt y ab
a nn einen

3) En tu cuaderno haz una lista con todas as posibles maneras de inscribirse
1) ¿Cuántas maneras son?

Si no se ha llenado todavia ninguna de las opciones en la hoja de inscripción,
deuántos talleres hay para poner en la primera opción?

A) Si ya se puso la primera opción, ¿cuántos talleres hay pora poner en la segunda
opción?

+ Subraya cuál de las siguientes operaciones sive para calcular el número total de
formas de lenar la hoja de inscripción:

axa

a Casa de Cultura

Inscripción a los talleres
9. Argument tu respuesta

Nombre:
‘Deseo inscribirme a ls siguientes talleres:

Primera opetón —

Segunda opdôn —

127. >>>A lo que llegamos
En los problemas de conteo hay que distinguir si importa o no el
‘orden en el que pongamos las opciones.
Además, siempre hay que tener cuidado al utilizar un diagrama de
árbol o una lista de enumeración, porque es posible que se cuente,
erróneamente, varias veces la misma opción.

ee
er
À Ss tmp sears ner ar onde pte te

maneras distintas se puede llenar a hoja de inscripción?
) ¿Cuál esla operación con la que podemos calcular el número total de posibles
formas de inscribirse en este caso?

9 Si se hace la inscripción indicando el orden de preferencia (primera y segunda
opciôn) ¿de cuántas maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripción?

4) ¿Cuál esla operación con la que podemos calcular el número total de posibles
formas de inscribirse en ete caso?

En la Casa de Cultura hay n tallers distintos. En a hoja de inscripción se ponen dos
talleres y hay que indicar el orden de preferencia. Subraya cuál de las siguientes
expresiones generals sirve para caleular el número total de formas de insribise

EAN
?

nen

> nee -

CD tomar reas

Se

128. M

>» A lo que llegamos

En una Casa de Cultura se imparten mr talleres. Es posible inscribirse a
dos talleres. Si en la hoja de inscripción hay que indicar el orden de
preferencia, hay m{m-1) distintas formas de inscribirse, Si no indica-
mos el orden de preferencia, hay un maneras de hacerlo.

>» Lo que aprendimos

1. Juan tiene que elegir dos de ls cuatro ejercicios que le dejaron de tarea. ¿De cuántas
formas distintas puede realizar su tarea?

2. Una maestra tiene que elegir a dos alumnos para un comité, uno va a ser presidente
y e tro va a ser secretario. Par ello dispone de cinco voluntarios: Esa, Francisco,
Germán, Jorge y Mari. ¿De cuántas maneras distintas puede elegir a los alumnos?
Haz una lista con todos os posibles comités que puede elegir a maestra,

3. Ahora la maestra tiene que elegir a tres alumnos para organizar la fiesta de fin de
año, Para ello dispone de cinco voluntarios: Juan, Sandra, Alejandro, Hugo y Patrica
Haz una lista on todas las maneras distintas en as que la maestra puede elegir alos
“alumnos ¿Cuántas son?

REPARTO DE DULCES

>>> Consideremos lo siguiente
© Juliá tine cuatro dues de distintos sabores: fresa, piña, sandía y naranja Jin sabe

que a sus primos Diego y Emili les gustan mucho esos duces y se los va a regalar ¿De
cuántas maneras distintas puede repartir os cuatro dulces? (puede decidir regaar todos.
a uno de sus primos)

compare ss putos Comenten Is pocitos que za.

25%

SESIÓN 3

129. >>> Manos a la obra

CO à itn tees sees poses pr rar dus scutes a
dpi to ues wo onde oros dal

En la siguiente lista hacen falta varias de las maneras de repartos, encuéntralas
odas. Cada sabor se identifica por su inc

Diego. Emilio
FPSN
FPSN
FPS N
N Frs
FPN s

Das

CD na ru Ae
OUR cid eri

3) ¿Cuántas opciones tene Julián para regalar el duce de piña? —
1) ¿Cuántas opciones tene Julián para regala el dulce de sandia?

9 ¿Cuántas opciones tene Julián para regalar e dulce de naranja?

130. MALEN

Ota forma de representar las posibles manera de reparti los dulces es utilizando.
un diagrama de rbol.Complétal en tu cuaderno,

ses cia sods aia
tno
Ei ET Digo

Diego

+) llumina, en el diagrama de árbol que hiciste, a opción en la que Juián le da a
Emilio el dulce de fresa y el de sandia, ya Diego, el de piña y el de naranjo.

A. llumina de otro color la opción en la que Julián le da a Emilio el dulce de sandia y
3 Diego todos los demás.

9} ¿De cuántas maneras distintas puede repartir los cuatro dulces?

LE) comparen sus respuesta. Una forma de calcular el número total d maneras en las que
se pueden repartir los dulce es multiplicando 2 x 2 x 2 x 2. Comenten por qué se hace
Asi También podemos escribi esta operación como 2

(O min ne dco ae estres sia: pi nd rra im. Ls
aa ras pins Da Eloy Comin. onde ssn regios

a) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar cada dulce?

1} ¿De cuántas maneras distintas puede repartir los dues?
9 ¿Cuál esla operación con la que podemos calcular todas las maneras que tiene

Juin para repartir los dulces?

vive

131. IV. Roberto tiene trs canicas de distintos colores: azul, rojo y blanco. Las va a colocar en
cuatro cajas numeradas. Puede colocar varias canicas en la misma caja. Responde las
siguientes preguntas.

3) ¿En cuántas cajas puede colocar cada canica?

1) Subray la operación que nos sive para calcular todas las formas posibles de co-
locat las canicas.

e
“4x3
o

9 Argumenta tu respuesta.

) Robert tiene m canicas, todas de distinto color, y tiene m cajas numeradas. Ro
berto va a colocar las canicas en las cajas, es posible colocar varias canicas en a
misma caja. Subraya la expresión general que nos sirve para calcular todas las
formas posibles de colocar las canicas.

om

one

Doa

>>> A lo que llegamos

Si se tiene seis dulces de distinto sabor y hay cuatro niños a los que
podemos regalar los dulces, cada dulce lo podemos dar a alguno de
los cuatro niños. El número total de posibles reparticiones se puede
calcular multiplicando 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4. Es decir, el número
total de reparticiones es 4%, 4096 veces.

Generalizando, si tenemos p objetos distintos y los queremos repartir
‘en gaajas o bolsas, el número total de reparticiones es g? (p puede
ser mayor, menor o igual a q)

132. e." o © *

>>> Lo que aprendimos
Con los digitos2, 4,6, 7,9 queremos formar números de dos cas, se puede repetir
los digitos. Haz una sta con todos os números que podemos formar. ¿Cuántos son?
Vamos colocar una canica roa y una canica azul en cuatro cajas numeradas. Es
posible colocar ls dos canicas en a misma caja. ¿De cuántas manera podemos ha=
eo?
Con los dígitos 5, 6,8 queremos formar números de cnc cis, s puede repetir los
dígitos ¿Cuántos números distintos podemos formar?
Juán tiene cuatro dle, todo son de fresa. Los va regala sus primos Diego y
Emilio. ¿De cuántas maneras puede regalar os dues 3 sus primos?
Vamos a colocar res canica azules en trs cjas numeradas. Es posible colocarlas
tees canicas en la mima Caja. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo?

>>> Para saber más

== Sobre otros ejemplos de problemas de conteo consulta en las Bibliotecas Escolares y
— de Aula
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. EI principio de as casilla”, "Contar: principio de la
suma" y “¿Cuántos caminos llevan a Roma?”, en Una ventana al infinite, México:
SEPISantilana, Libros del Rincón, 2003.

"Nozaki, Akiro. Trucos con sombreros. México: SEPÍFCE, Libros del Rincón, 2005.

Sobre la Casa de Cultura consulta:
© itficconacultagot mx
Futa:Espacos culturales —» Centros culturales => (Dar le cn el ma
estado) =» (Dar ie en el mapa sobr tu municipio).
(Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007).
Sistema de información cultural - CONACULTA

y en

sobre tu

las actividades del interativo Anticipar resultados en problemas de conteo.

133. ENCIA 10

Poligonos de

frecuencias.

Y En esta secuencia, aprenderás a interpretar y a comunicar informa-
ción mediante polígonos de frecuencias, Como recordarás, existen.
diferentes tipos de gráficas estadísticas. En primer grado aprendiste a
construir las gráficas de barras y las circulares, ahora aprenderás a
interpretar y a construir otro tipo de gráficas, llamadas histogramas
y polígonos de frecuencias, que también son muy utilizadas en libros,
periódicos y revistas.

SESION 1 REZAGO EDUCATIVO Y GRÁFICAS
>» Para empezar

Desde 1993 la educación básica obligatoria comprende. secundaria completa.
‘Cuando una persona tiene más de 15 años yest en alguna de las siguientes situaciones:
‘no sabe ler ni escribir, no terminó de estudiar la primaria, únicamente estudió la prima-
ía 0 no terminó de estudia la secundaria, se considera que esa persona se encuentra en
rezogo educativo.

>>> Consideremos lo siguiente

©) ta ss ga eun goo de frecuen, In ea ers os nos que
ee hp rs
Era

Población mexicana de 15 años y más
en condición de rezago educativo en el año 2000
12

o N

1529 9044 4559 60-74 750
totes ln ños)

mero de personas
[en miles)

ne GX Ces Gener de ablación yin. 200s de tos

134. MALEN

3) En el intervalo de entre 15 y 29 años de edad hay 11 millones de personas que
están en condición de rezago educativo, ¿Cuántas personas de 30 a 44 años están

en esa condición?
1) Toma en cuenta la información que presenta el poligono de frecuencias y anota V
según sean verdaderas o fasas las siguientes afirmaciones

Elintervalo de edad con mayor cantidad de personas en condición de rezago.
educativo ese de 15 29 años.

En el año 2000, alrededor de 35 millones de personas se encontraban en
condición de rezago educativo.

8 millones de personas en condición de rezago educativo tienen 45 años.

‘De a población en condición de rezago educativo la cantidad de personas que
tienen entre 15 y 29 años es el doble de la que tiene entre 45y 59 años.

|| Sit población total en México era de 97.5 millones aproximadamente el
6% de ls personas estaban en condición de rezago educativo.

>>> Manos a la obra
1. Contesta ls siguientes preguntas tomando encuenta el poligono de reuencis.

3) ¿Cuántos intervalos de edad hay? ¿Cuántas edades
«comprende cada intervalo? ¿Todos los intervalos son
del mismo tamaño?

ù

La frecuencia en el intervalo de entre 15y 29 años de edad
5 de 11 millones de personas que están en condición de
rezago educativo, ¿en qué intervalo In frecuencia es de 5
millones de personas que están en sa condición?

9

‘Sien elintervalo de entre 45 y 59 años de edad hay 7 millones,
de personas que están en condición de rezago educativo, po
rias decir cuómtas personas de 50 años de edad hay en esa
condición?

a de 45 años?

¿Porque?

135. I los datos del poligono de frecuencias.

) Completa la siguiente gráfica a par

Población mexicana de 15 años y más
en condición de rezago educativo en el año 2000
as

Namero de personas
{eo ones)

1529 WH 4550 6074 7580
ots (noto)
Fun Cee e ablación y Vent, 200 se nto.

+) Esta gráfica es un histograma, ¿Las alturas de la barras son iguales o diferentes?
= — {Que indican?
M Compara el tamaño del ancho de las barra, ¿son iguales 0 diferentes?

¿Por qué crees que ocurre 60?

‘Ahora, calca el histograma en una hoja de papel delgado y coloca la copia sobre el pol-
‘gono de frecuencia del apartado Consideremos fo siguiente.

4) ¿Qué puntos del poligono de frecuencias quedan cubiertos con las barras del
histograma? — 5
A) ¿En qué parte de las barras quedan los puntos del poligono de frecuencias?

En el histograma que calcaste dibuja el poligono de frecuencias. Consieren el primer
Punto del polígono de frecuencias ytracen a partir de ese punto un segmento. perpen=
‘dicular a je horizontal. Este segmento intersecta al je horizontal enel punto medio el
intervalo 15-29 años de edad.

Tracen los segmentos que faltan para los otros puntos del poligono de frecuencias, Ob-
serven que la barras del histograma quedan divididas en dos partes iguales y que los
‘puntos del poligono de frecuencias están sobre a mitad de la parte superior de cada.
barra, es decir a la mitad de cada "techo de Las barras".

136. M

>» A lo que llegamos

Los histogramas se utilizan para presentar información acerca de una situación sobre la

cual se tienen datos organizados en intervalos. Silos intervalos son del mismo tamaño,

como los que estudiaste en esta sesión, un histograma tiene las siguientes caracteristi-

cas importantes:

+ La altura de una barra está determinada por la frecuencia del intervalo correspondiente.

+ La anchura de las barras es igual para cada una debido a que esta medida representa
El tamaño de cada intervalo.

+ En un histograma las barras se dibujan sin dejar espacios vacios entre ellas porque
abarcan todo el intervalo correspondiente a los datos agrupados.

Un polígono de frecuencias de datos organizados en intervalos del mismo tamaño es la

gráfica que se obtiene al unir, mediante una /ínea poligonal, los puntos medios consecu-

tivos de los techos de las barras,

Estas gráficas nos permiten observar de manera general la tendencia de los datos,

Sin embargo, no es correcto darte significado a la línea que une a los puntos medios,

ya que solamente estamos representando la frecuencia por intervalo y no para cada valor

del intervalo.

Por ejemplo, la siguiente gráfica muestra a la población varonil de 15 años y más en

condición de rezago educativo en el año 2000 en México; como podemos ver, en el

intervalo de 15 a 29 años de edad hay 5 millones de varones en total, pero no sabemos

cuántas personas hay de 15, 16, 17... o 29 años de edad.

Población varonil de 15 años y más Rocuerda que:
en condición de rezago educativo en el año 2000 Cada niervalo one un limito
Te inferior y uno supero

El tamaño de un intervalo es.
{gual la derencia entre dos.
sucesivos limites inferiores o
supers.

Por ejemplo, en el polígono de
rocuencias, el primer limite
interiores 15y el siguiente es
30, entonces el tamaño del
intervalo es igual a 30

amero de varones
fon mine)

1529 DM 4559 0074 75:09
bodes ln años)

Tanto en los histogramas como en los polígonos de frecuencias se pueden representar
frecuencias absolutas, relativas o porcentajes.

137. CD 1 nta ate presen! ime psoas eto ms ue ban
cr won Camp tr nd gs ine pain de

Población total y de personas en condición de rezago educativo en México en el año 2000.

Edades | penonos en iones | deretago educ (en miles | "rezago educa po grupo e ad
1529 28 " (114 28) 100 = 992
3044 20

4559 10

5078 6

7599 2

Total 0

3) En elaño 2000 habia 11 millones de personas entre 15 y 29 años de edad con
rezago educativo. ¿Qué fracción representa dela población total de ee intervalo

de edad? Qué porcentaje representan?

1) ¿Cuántas personas de 15 años y más habia en México en el año 20007

9 ¿Y cuántas pesonas de 15 años y más estaban en condición de rezago educativo?

4) ¿Qué porcentaje dela población de 15 años y más se encontraba en condición de
rezago educative?

© sean te normative ¿Quel MENT ear 1y ostenta ses
one

De acuerdo con cifras del INEGI la población total en México durante el año 2000
era de 97.5 millones de personas.

3) ¿Qué porcentaje dela población total representan las personas que tienen un re=
O O
1) ¿Por quérazón creen que no están consideradas la personas menores de 15 años?

9 En su localidad, ¿conocen a alguien de entre 15 y 29 años que se encuentre en
condición de rezago educativo? _
¿Cuáles consideran que son la causas de esa situación?

138. MALEN

4) ¿Y conocen a personas de 60a 89 años que se encuentren en condición de rezago.
educativo? ¿Cuál creen que es la razón principal de esa situación?

+) ¿Creen que estas personas puedan cambiar la condición de rezago en que se en-
cuentran? ¿Cómo?

Investiguen qué programas o alternativas existen para mejorar a condición edu-
ati de estas personas en su localidad

>» Lo que aprendimos
1. Construye el poligono de frecuencias que corresponde sl siguiente histograma.

Población de mujeres de 15 años y más
en condición de rezago educativo en el año 2000
7

6

E :

Nimrod mujeres
nimes)

1529 DA 45% 0074 7599
Edades en años

Fuente MEG Ces Gener de Poti y ir. 200 Bis des

3) ¿Cuántas mujeres de entre 30 y 44 años se encuentran en rezago educativo?

En tu cuaderno, eabora la tabla de frecuencias que corresponde a esta situación
Sila poblacióntotal de mujeres entre 90 y 44 años era de 10 millones de personas,
¿qué porcentaje represent la población de mujeres que se encuentra en rezago.

educativo en ese intervalo?

139. 4) ¿Qué opinas sobre la situación en que viven estas mujeres?

2. Analiza la siguiente grafica para contesta las preguntas que se plantean.

Calificaciones del grupo de 2°
en el examen de matemáticas

À

Número de lanos

|
|
|
|
|
|
|
|

a) Anota en el recuadro V o F según sean verdaderas 0 falsas las siguientes afrma=
ciones, de acuerdo con la información que presenta la gráfica anterior.

Ta mars u ans on 10d cación
|) Mas de la mitad del grupo reprobé el examen.

[post food o

1b) En tu cuaderno, elabora Ia tabla de frecuencia que corresponde a esta gráfica y
contesta ls siguientes preguntas.

¿Cuántos alumnos aprobaron el examen?

¿Cuál esa calificación que más alumnos obtuvieron?

140. y

ANEMIA EN LA POBLACIÓN INFANTIL SESIÓN 2
MEXICANA

>» Para empezar
La nutrición es! proceso pr meio del eva e organismo obtiene, parti de —
los alimentos, los nutrientes y la energía neesais para el sostenimiento. Concsün con Ciencias
dels funciones viales ye a Salud. Un problema nutricional sa anemia la Seen 2 nn ae
(ua ocure cuando no hay una cantidad suficiente de hiro para poducirlos preseason a

>>> Consideremos lo siguiente

La siguiente gráfica muestra el porcentaje de personas de 5 a 11 años que tenían anemia
en el año 1989, según datos obtenidos en la Encuesta Nacional de Nutrición de ese ño,

M

Porcentaje de la población infanti
‘con problemas de anemia en el año 1999.

=
E |

É | |

suo

mue + din

CContesten en sus euadernos las siguientes preguntas:

3) ¿Cómo deserbiran el comportamiento de esta enfermedad en las niñas de 5 a 11
años de edad?

1) ¿la mayoria de la población infantil que padece anemia son hombres o mujeres?
¿Cómo se presenta esta situación en la gráfica?

conten segues

141. >>> Manos a la obra

O 1. Contesten las siguientes preguntas a partir de la información que presentan los poli-
gonos de frecuencias anteriores.

3) ¿Qué porcentaje de niñas de Gaños tenía anemia en 19997

En el primer intervalo se consideran a las niñas y niños que tienen entre 5 años y 5
años 11 meses.

1) ¿En qué intervalo crees que están considerados los niños que tienen 10 años y 8

meses de edad?
¿Porque?

+) ¿Puedes saber cuál es el porcentaje exacto de niñas de 7 años y medio que tenian
anemia en 19992 ¿Porqué?

4) ¿Aqué edad es mayor el porcentaje de niños anémicos?

¿el de niñas anémicas?

©) ¿Para qué edades el porcentaje de niños con anemia fue mayor que el de niñas?

A. Utiicen ls datos que presenta el poigono de frecuencias para completar la si

guiente tabla
Porcentaje de niños de 5 a 11 años que padecen anemia,
de acuerdo con zu ead
" bas Porcentaje de niños.
8
6
7
8
9
10
n

11. La siguiente tabla presenta el número de niños y niñas de 5 a 11 años de edad que
habia en México en el año 2000.

Fobiaden infantlde5 a 1 años de edad (en mines de pesonas) |
Total Nos ns |
47 6 57 |

142. MALEN

a) Sila poblac
niños y niñas tenian anemia en el año de 20007

1) Para orientar la acciones médicas y sociales que ayuden a corregir sta
situación e útil conocer el porcentaje de personas que padecen anemia, mario con cunt
principalmente si se trata de niños de 5 a 11 años. Investiguen en la

cuencia 12 ¿Cómo evitar problemas relacionados con aallmenta- FR inci
ón? des io lenis | Volumen culesson lgunas els ass

de esa enfermedad y cuáles on algunas de sus consecuencias sinose Esa
atiende correctamente. Comentenlas en su grupo.

>> A lo que llegamos

Rs Polizonos de frecuencias en los reportes de investigación

fantilera de 11.7 millones, y 19.5% padecían anemia, ¿cuántos

Los polígonos de frecuencias presentados en una misma gráfica
permiten comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de
datos que se refieren a una misma situación o fenómeno.

>» Lo que aprendimos
1. Para determinar si una población tene problemas de nutrición se analizan factores
omo la estatura, el peso y la anemia. La siquent gráfica presenta os porcentaje de
la población de Sa 11 años con estatura por debajo de sus valores normales (o esta-
tara baja) según su edad y sexo,

Porcentaje de la población de 5 a 11 años de edad
que presentan estatura baja

= Mos +

2 itor ——

5

so

Poren

56 7 8 9 0

a) ¿Aquécdadesmayorel porcentaje deniñas conestatura ba?
¿Xen os niños?

143. b) Ueliza los datos que presenta el poligono de frecuencias para completa la si-

guiente taba,
Porcemaje de niños de 511 años que Uenen tal baja de acuerdo con su edad
caos | Perensjede | Forantjede Toirenda de pornos

s

6

7

8

>

10

1"

9 dEn qué edades el porcentaje de niñas con estatura baja fue mayor que el de los
niños?

4) En tu cuaderno, elabora un poligono de frecuencias en el que se puedan comparar
Los porcentajes de niñas de 5 11 años que padecen anemia con los porcentajes
de niña que tienen estatura baja. Para hacerlo, utiliza la información que se pre=
senta enla siguiente dos gráficas.

Porcentaje de is entre Sy 1 as Porcentaje de niñas de 211 años de edad
con pales de ancnia en año 100. ue tenn estar deja en 1999.
=
w 20 N=
ii N bs |
E | \
jo "| |
“ ft Tj |
o o
A EE CNT HT
poe tos

€} ¿Coincide la edad en que hay mayor porcentaje de niñas con problemas de anemia
y estatura baja? ¿Por qué crees que suceda esto?

144. ¿QUÉ GRÁFICA UTILIZAR? SESION 3
>> Consideremos lo siguiente

{a siguiente gráfica presenta el porcentaje de niños menores de 5 años que tienen esta-
ura baja de acuerdo con su edad. Estos datos están tomados dela Encuesta Nacional de
Nutrición de 1989.

Porcentaje de la población menor de 5 años
que tiene estatura baja de acuerdo con su edad

»
a
==

a

i

é 10+ |

o

OM 1229 2435 3647 4050
totes (en meses)

a) ¿En que interval se encuentran los niños y as niñas de un año y medio de edad que

sen estatura baja?

1) ¿En qué intervalo de edad se encuentra el mayor porcentaje de niñas menores de

5 años que tienen estatura baja?

écreen que se podria utlizar una edad que represente ese intervalo?, ¿cuál seria?

Ly Come steps

>>> Manos a la obra

CD" Contesten as siguientes preguntas tomando en cuenta los poligonos de frecuencias
anteriores.

3) ¿Qué información se presenta en el eje horizontal?
¿Qué unidad o escala se utiliza?
¿Cuántos intervalos se utilizan para representar los datos?
¿De qué tamaño es cada intervalo? ¿Son iguales?

145. 1b) Ahora, en el eje vertical, ¿qué información se presenta?

¿Cuáles son los valores minimo y maximo que están rotulados en este eje?

9 Si quieren conocer qué porcentaje de niñas de 3 años de edad tienen estatura
baja, ¿cuál delos intervalos de edad deben consultar?
4) ¿En qué intervalo de edad el porcentaje de niños con problemas de estatura es
mayor que el de la niñas? ¿Hay algún momento enla gráfica
en que seinvierta esa situación? ¿Enquéintenalo de edad
Cure y cul esa diferencia de porcentajes?

Consieren el punto del polígono de frecuencias en el cual el porcentaje de niños con
estatura baja es el mayor. Tran a partir de ese punto un segmento perpendicular al
eje horizontal. Este segmento intersecta al eje horizontal en ei punto medio del inter=
valo 12-23 meses de eda.

+) Sehen los puntos medios de los intervals que faltan, ¿cuáles son esos puntos?

9. Completen la siguiente gráfica:

Porcentaje de la población menor de 5 años.
que tiene estatura baja de acuerdo con su edad

reieren a una misma situación o fenémen
dif:

i

10

s

o

ss En
Etes en mese)

comes con = 9) Investiguen en la secuencia 12 ¿Cómo evitar problemas relacionados con
Seven 1: ¿mo it la alimentación? de su libro Ciencias I Volumen I, cusles pueden ser algu-
roms road con nas causas de este problema y preséntenlas en una gráfica o tabla que

men? consideren que muestra mejor I información. Expliquen a sus compañeros
ya su profesor por qué la eligieron.

146. >>

>>

A lo que llegamos DRE Es

Un polígono de frecuencias se construye a partir de los puntos medios Ih. na ner
de los techos de las barras de un histograma. nd Ben Ba
(tra manera de construirlo consiste en calcular el valor que se ul deliniralo que e

1 el punto medio de cada intervalo, El punto medio de un intervalo der

es el promedio de los valores extremos del intervalo. ‘superior del intervalo y
ron, ze
Lo que aprendimos Diane

1 En la siguiente lista aparecen ls pesos delos alumnos de segundo grado de una es- PME presentar y

cuela secundaria. Lo pesos e registraron rdondeando al klogrmo md cercano. Sora recense

cualidad o un atibute
Por ejemplo, el color que
Grupo A Grupo B Preiere un grupo de
38, 64, 50, 42, 44, 35, 49, 57, 46,58, 65, 46,73, 42, 47, 45,61, 45, 48,42, Pin tue
40, 47, 98, 48, 52, 45,68, 48,98, 76 50,56, 69, 98, 86,55, 52,67, 54,71 cscuchar. Unagraca
Gieuiar puede ser más
adecuada para comparar
3) ¿Cuáles el peso máximo de los alumnos del grupo A? las distintas pares de un
lodo, especialmente
cuando la presentación
delos datos está en
forma de porcentaje. Por
¿A del grupo 8? ejemplo, el porcentaje de
Personas que preieren
Escuchar la rado, ver
televisión oir al cine en

ET

1) ¿Cuál es el peso mínimo de los alumnos del grupo A?

9 ¿Cuál es el rango de los pesos de los alumnos del grupo A?
A

4) En tu cuademo, organiza los pesos de los alumnos de ambos grupos en
una tabla de datos reunidos en nueve intervalos iguales.

+) ¿Cuáles son los pesos que se consideran en el primer intervalo?

¿De qué tamaño son los intervalos?
A. ¿Cuál es el punto medio de cada intervalo?

9) Elabora, en tu cuademo, una gráfica que presente los poligonos de frecuencias de
Los dos grupos. Utiliza los puntos medios para rotula el eje horizontal

I) En tu cuaderno, describe, a partir de los polígonos de frecuencia, cómo esla dis
tribución del peso delos alumnos de ambos grupos.

147. © 2 san y con snes grins ques even
padres een, Ren ot anzu
cms equipo los rá qv mente
N'a Sgt le ens tos de
{ria qe en cd

3) ¿Cuáles el tipo de gráfica que más se utiliza cuando
Sse quiere comparar la relación entre dos conjuntos de
datos en una misma situación?

© 2 Reine eran ques teen el en ce
tai Aleta aos ts amas de pap Or
Sona rmaseny ds ie aa war u
Prem sat de ad Una de a pre

+ ¿Qué deporte te gusta practcar? Tipo degráfica

© ¿En qué mes es tu cumpleaños? | Tipo de grica

+ ¿Cuántos hermanos tenes? Tipo de gráfica
+ ¿Qué estatura tienes? Tipo de gráfica
+ ¿Qué número de zapato calzas? Tipodegráfica

3) Menciona unarazón por aque elegiste cada tipo deráfica:

1b) ¿Cuál sel deporte que más les gusta practicar los hombres de tu grupo?

+) ¿En qué mes hay más cumpleaños en tu grupo?
4) ¿Cuál es el número promedio de hermanos que tienen en tu grupo?
©) ¿Cuál ela estatura del compañero más alto de tu grupo?

1) ¿Cuántos compañeros tienen la misma estatura que 1?

4) ¿Quiénes son más altos, as mujeres los hombres de tu grupo?

I) ¿Qué nümero de zapato clza la mayoría de tus compañeros hombres del grupo?
2 as mujeres?

148. un

>> Para saber mäs

Sobre a variedad de informacion que puede ser presentada en poligonos defrecuen-
© cias grficas de barras, circulares y tablas estadisticas consul
hetpffwwrinegi gobmx
Ruta 1: Información estadistica —> Estadisticas por tema —> Estadisticas sociode-
mogrficas —> Educación => Poblacin escolar —» Distribución porcentual de la
población escolar de 3 24 años por entidad federativa y sexo para cada grupo de
(dad, 2000 y 2005
Ruta 2: Información estadistico > Estadisticas por temo —> Estadisticas sociode-
mogräfias =» Población hablante de lengua indigena de 5 y más años por entidad
federativa, 2000 y 2005
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Instituto Nacional de Estadistica Geografía e Informática.

Sobre los programas de apoyo que ofrece el Instituto Nacional para la Educación de
los Adultos consulta:

http:/fwwewineasep.gobm

Ruta 1: Proyectos —> Alfabetización

Ruta 2: Proyectos —» Cero rezago —» Estrategias

Ruta 3: Proyectos —» Oportunidades —» Estrategias

[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

Instituto Nacional para la Educación de los Adultos.

(iq Eslora ls actividades de interactivo Pogon de frecuencias

150. BLOQUE

27 E

ge

151. ENCIA 11

lagerarquia devas

-g En esta secuencia aprenderás a utilizar la jerarquia de las operaciones
y los paréntesis en problemas y cálculos.

SESION 1 EL CONCURSO DE LA TELE
>>> Para empezar

Ba concurs deo tee

En 1965, en Europa aparecieron concursos elevados en los que se pedía a cada parti
ipante hacer operaciones con números. Estos concursos continúan viéndose en televi-
m sin y siguen lamando la atención de mucha gente.

‘Uno de estos concursos tiene las siguientes reglas:
1. Se da una list de mimeros. Por ejemplo: 1,3, 4,9, 10.
2. Seda otro número, que será el número a alcanzar. Por ejemplo: 100.

3. Cada jugador debe sumar, restar, multiplicar dividir ls números de la lista hasta
obtener un resultado lo más Cercano posible al múmero dado. Por ejemplo:
9x 10+4+ 3 + 12 08, también 3 x 4 x 9 + 1 — 10 = 90.

4. El concursante deberá emplear cada uno de los números de Ia lista exactamente:
una sola vez,

5. Gana el concursante que obtenga el resultado más cercano al número a alcanzar.
Por ejemplo, entre 9 x 10 + 4+3+1=08 y 3 x 4 x 9 4 1 — 10= 99 gana la se-
gunda opción, porque 99 está más cerca de 100 que 98.

>>> Consideremos lo siguiente
Or. aire que tn en un e ess concursos dla sigut tae números:

El número a alcanzar es el 117. Encuentren una forma de operar los números de lista
para quedar lo más cercano posible al 117. El que quede más cerca del 117 gana!

Anota tu respuesta aque

152. € comparen ptr remets:
À cites que má ana del 172
b) ¿Qué operaciones hicieron?

Di tas siguientes expresiones fueron las respuestas de dos concursantes. Ambos dicen
haber obtenido exactamente el 17

Ana:3+18x7+9=117
Beto: 3+18x7-9=117
3) ¿Cuál de estas respuestas creen que es correcta?

1) ¿Por qué consideran que la otr es incorecta?

oO ‘Comparen sus respuestas.

>>> Manos a la obra

|. Los miembros del jurado señalaron que la ganadora era Ana. Pero Beto no está de
“acuerdo. Beto le di al jurado:

Me a trado por sorpresa
su veredicto. En umd opinión,
la cesión repuesta por mi
«sotano no scort.
Pemitanne ears

Cuando el jurado le oncedió la palabra, Beto tomó un gis y empezó a escribir sobre el
pizarón, al mismo tiempo que explicaba:

La ere demi
ponent pide clar + 18:
leo al restado mu

poe; po limo, al bed

Sumate Entonces estado,

16 135 no 117, como el

153. (E

+9 =195

CO) Compare sus respuestas Comenten: tn e acuerdo con lo que dj eto?

D) 11. Terminada a explicación de Beto, el jurado designó a unos de sus miembros para que
raser os motivos desu veredicto. Dich miembro e acer al pizarrón y explicó

Vemos con cidad e rr que has cometio.
No tomaste en cuenta a era de operaciones.

La foma caca de eur expón de Ana ea int:
primero debemos cell producto 157: dspuéssumar 3
estado y logo 5 amare: al estado 117,
00 15 como ls señalado.

{compre ss request mente:
¿EU lcd eut os porten

>>> A lo que llegamos

La jerarquía de las operaciones es un conjunto de reglas matemáticas
‘que dicen qué operaciones deben hacerse primero. Una de estas
reglas es la siguiente:

Las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y
las restas.

154. OY O © FT Tg,

(O lin et regi pa ir reads de serons de na y Beto

al Ang: 841574

Y) Beto:3418x7-9=

>» A lo que llegamos
Si a las siguientes expresiones aplicamos la regla "Las multiplicaciones y divisiones se
hacen antes que las sumas y restas”, nos dan los siguientes resultados:

¿Lestat op de nino el jd eo slot
leona pea

A >

indicar que primero sumo 3y 15 yugo
Al eto mutige pot 72

(ona nc esputo
(Camana d

Pon paréntesis a la expresión de Beto para que sa correcta
3+18x7-9=117

155. >>> A lo que llegamos

Una regla de jerarquía de operaciones que permite sumar o restar
antes de multiplicar o dividir es la siguiente:

Las operaciones que estén encerradas entre paréntesis se

realizan antes que las demás.
Por ejemplo,
eo. -10=
16 x8 - 10 =
128 - 10 = 118

Los paréntesis pueden usarse varias veces,

@ + 1x6 - 10=
aS

16 x(-2) = -32

A) eps dela pain. rad, ete us ns parti as rn pra
que ft quer creta, Aer el combi que Bet he au xr, el Judo
des dee un amp env Ana y Bt, ue Bt, ue Ao, iz en
Sus cito quen apo cr expen mme

Revisen ls expresiones que encontraron al principio dela sesión y escrbanlasrespetan-
do las reglas de jerarquia de operaciones.

>>> Lo que aprendimos

1. Une con una linea cada expresión de fa columna izquierda con su respectivo valor de
1a columna derecha

D244 12942 a6
Nass eee 2= on
mar 2er = 91
R424 (6 2 = 9%

92

156. MATEM

© 2: tassios opuesta fon spor agus conan tom
‘Secor prance Toda pcs ern. pc ronan
Chon war pre an pr tan pa q sp
mr are
amaia sv
Dot x 2e 10 100

©) 10+2 x 7+3= 120

D 10+2+5x3

© 3. Imaginen que están concursando en uno de estos programas televisados. Combinen
los números de la primera columna junto con las operaciones de suma, rest, multi
plicación y división para obtener un número lo más cercano posible al de la segunda
columna. El que quede más cerca gana ¡No olviden usar correctamente las reglas de
jerarquia de las operaciones!

m] ms
345 o
| ene010 2
|" resss “
rn sue
MAS REGLAS SESIÓN 2

>>> Para empezar

En a sesión anterior vimos que a veces pueden ocurrir confusiones a caeulrel valor de
=" una expresión y que, para evitaras se ha acordado un conjunto de reglas que se conoce

(como jerarquía de operaciones Esta reglas nos dicen qué operaciones se deben hacer
primero. Hasta el momento hemos visto qu

1. Las operaciones que estén encerradas entre paréntesis se realizan antes que
todo lo demás.

2. Las multilicaciones y divisiones deben hacerse antes que las sumas y restas.
Hay más reglas sobre jerarquía de operaciones que ayudan evitar nuevas confusiones.
Por ejemplo:

3. Las multilicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

4. Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha.

157. >>> Consideremos lo siguiente

Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, Respeta las reglas de jerarquía

de operaciones.

2110-3422. b)10-3-
A Mi.
0 2010454 1= 0-10) 454 t=

O tom
2) En toren cn pin pc er I rin?
2 peo pa dei qu wenn ce pine?

>>> Manos a la obra
CO comes ts quiets pregunta tomando en cuentas eas de ru
1 Lo que esté encerrado entre paréntesis se hace primero que todo lo demás,

2. Las multiplicacionesy divisiones deben hacerse primero que las sumas y
estas.

3. Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.
4, Las sumas y restas se hacen de iaquierda derecha.

3) ¿Qué operación hiciste primero para calculr el valor dela expresión 10-9 + 2,
la restate su?

1) ¿Cuál de ls reglas aplicaste (1,2, 30.4)?

(9 ¿Qué operación hiciste primero para calcula el valor de la expresión 24 + 4 2,
la división 24 + 40 la división 4 2?

dl) ¿Cuál delas reglas apicaste (1,2, 9.0 42

9 ¿Cuál de las siguientes operaciones hiciste primero para calcular el valor de la
expresión 20 - 10: 5 + 17 Subréyal

20-10 10.5 51

1) ¿Cuál regla usaste para decidir qué operaciön hacer primero
$) ¿Cuáles reglas usaste para encontrar el valor dela expresión (20 - 10) 5 + 12

€) comparen sus respuestas Si hay difrenciss comenten cuál regla usaron y cómo la usaron,

158. M

>>> A lo que llegamos
Para calcular correctamente el valor de una expresión como
25-15 + 5 +5 debemos decidir cuál operación hacer primero. La
regla de jerarquía de operaciones que usamos para decidir esto es:
Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse primero que las
sumas y restas.

25-

Se hace primero

+5

Una vez decidido cuál operación hacer primero, calculamos dicha
operación y reducimos la expresión

25-15:5+5=25-3+5

Para decidir cuál operación sigue por hacer, usamos otra regla de
jerarquía de las operaciones:
Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha

Primero esta eae ES esta (derecha)

Ya sabemos el orden en que hay que hacer las operaciones, sólo falta
hacerlas:
25-3+5=22+5=27

Orea
ee

a) A12 le sumo el resultado de multiplicar 4 por 3 12+4x9

b) A 12 le sumo 4 y el resultado lo multiplico por 3:
9 Divido 12 entre 4 y el resultado lo multiplico por 3: —

1) Divido 12 entre e resultado de multiliar 4 por 3:

Comparen sus respuestas Comenten si sus expresiones están bien escritas de acuerdo
con ls reglas de jerarquia de operaciones.

159. >>> A lo que llegamos

Una expresión que describe los cálculos de la frase

“Multiplico 6 por y al resultado lo divido entre 10” es:
6x5+10

Los cálculos que indica esta expresión se realizan aplicando la si-

guiente regla de jerarquía de operaciones:

Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.
0

Primero esta izquierda) Luego esta (derecha)

Otra expresión que describe los cálculos de la frase anterior es:
(6x5) +10
En esta expresión los paréntesis se usan para evitar errores de jerar-
quia de operaciones, aunque ya no hagan falta.
También se acostumbra escribir esta expresión así:
6x5
10
En esta última forma, la raya de división indica que toda la expresión
del numerador 6 x 5, se divide entre el denominador 10.

>>> Lo que aprendimos
(O) Caleta et valor de ls siguientes expresiones respetando l jerarquía de las operaciones.

2) 30+10x3= O) 30+(10x3)=
9 20-10+5= 9) 20-(10+5)=

9) 20-30 +10x3+5= D (20-90) +10x(3+5)=

(O? es eae ets siguientes opens

a by 4-545. =

DEEE

160. MATEM

O 3. ¿Sabias que no todas las calculadoras funcionan igual? Hay unas que están progra-
madas para aplicar as regla de jerarquia de operaciones y otras que no. Averiglemos
sila calculadora que tienes (ola que haya en el salón) jerarquiza 0 no.

Presiona la siguiente sucesión de teclas en la calculadora y escribe en el espacio mar-
‘ado cui ue el resultado,

VIQIIB

‘Ahora, calcula los valores de las siguientes dos expresiones sin usar fa calculadora,
pero tomando en cuenta la jerarquia de operaciones.

a) 142%

D (+2)x8=

Compara el resultado que te di la calculadora con ls expresiones anteriores

¿Con cuál resultado coincide tu calculadora (con el de a0 con el de b)?
‘itu calculador coincide con a entonces jerarquza, y si coincide con b no jerarquiza
Tu calculadora jerarguiza o no jerarquizs?

>>

161. NCIA 12

Multiplicacıon

y division de

O En esta secuencia resolverás problemas multipicativos que impliquen
el uso de expresiones algebraicas,

SESIÓN 1 LOS BLOQUES ALGEBRAICOS
>>> Para empezar

oc cons

Los bloques algebra son pers de forma rectangular o cuadrada que permiten mo-
dar operaciones con expresiones algebraic En sta secuencia cupars los guientes
bogus cada uno de los ene un rea ques represent on un opresión algebraica
Re

© Recorta os Bloques agcbracos del anexo 2 Recortables y pégalo en cartón.

162. MATEM

Cubre Is rectángulos siguientes con los bloques algebraic. Une con una linea cada
rectángulo con el binomio que corresponda a su rca.

Acting ds
MEN y
CL 1] a

waar
I || ”

C compare ties

>>> Consideremos lo siguiente
(O tos signs retglose han fomado usando bloques oros

Rectinguio À RectinguloB

i |
ax

163. Rectángulo €

a

¿Qué expresión algebraica corresponde al área decada rectángulo?
a) Rectängulo A: Área =

1) Rectángulo B: Área =

©) Recténguio €: Área =

Comparen sus soluciones.

>>> Manos a la obra

(D à ca tous iris an pa consi da eng? or respondes
RE

Recténguio | Base | Altura | BasexAltura | Expresión algebraica para el área

a | ar) 2 Br

Bo [xey| 2x

€ | a | a

3) ¿Cuántos bloques algebraicos de área x? se requieren para formar el rectángulo A?

1) ¿Cuántos bloques olgebraicos de área x? se usan para formar el rectángulo 82