MATEMATICA 1- SEMANA 1. Función de variable real.pdf

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About This Presentation

Se ve los temas de matemática 1 del primer tema que es funcion de variable real


Slide Content

Facultad de Ingeniería Ambiental
Cálculo Diferencial
Semana 1.Funciones reales de variable real

Unafunciónrealfdevariablerealesunareglaqueasignaacadanúmeroreal
x,deunsubconjuntoD⊂ℝ,otronúmerorealúnicodenotadopory=f(x).
ElconjuntoDeselDominiodefyelconjuntodeimágeneseselRangodef
x: Entrada
Función
f
y = f(x)
f(x):salida
PROCESO
Observación:
EldominiodefsedenotaporDom(f)
ElrangodefsedenotaporRang(f)
Función real de variable real
D
x .

Definiciones:
Función real de variable real:
DOMINIO
����=�∈ℝ/∃��=�∈ℝ=�
RANGO o IMAGEN
????????????��=��=�∈ℝ/.∃�∈����
GRÁFICA
??????????????????��=(�,�)∈ℝ
2
/�=��;∀�∈�
�:ℝ→ℝ
�↦�=��
Gráficamente:
Lagráficade�seinterpretageométricamente comounalíneaenel
espaciobidimensional,ysediceque�=��eslaecuaciónenforma
explícitadelalínea.
X
Y
Dom(f )
Ran( f )
Graf( f )
�,�
�
�(�)
�=�(�)
�=

Ejemplo 1
Función real de variable real
������������������,�??????�����??????����??????
����=6−5−4�−�
2
�??????����??????��������??????�??????�
����=�∈ℝ/.5−4�−�
2
≥0
�
2
+4�−5≤0
�+5�−1≤0
����=�∈ℝ/.−5≤�≤1
Resolución
����=�∈ℝ/∃��=�∈ℝ
����=−�,�
�??????����??????�����????????????���
????????????��=��=�∈ℝ/.∃�∈����
??????��∈����→−5≤�≤1
????????????����??????����������������??????�����
�����??????�����??????�=6−9−�+2
2
??????����:
→−3≤�+2≤3
→0≤�+2≤3
→0≤�+2
2
≤9
→0≤9−�+2
2
≤9
→3≤6−9−�+2
2
≤6
→3≤�≤6
????????????��=�,�

Ejemplo 1
Función real de variable real
������������������,�??????�����??????����??????
����=6−5−4�−�
2
�??????����??????��������??????�??????�
����=�∈ℝ/.5−4�−�
2
≥0
�
2
+4�−5≤0
�+5�−1≤0
����=�∈ℝ/.−5≤�≤1
Resolución
����=�∈ℝ/∃��=�∈ℝ
����=−�,�
�??????����??????�����????????????���
????????????��=�,�
??????�á���??????���??????�����ó�
X
Y
�=6−9−�+2
2

Ejemplo 2
Sixrepresentalalongituddelradiodeunaesfera,escribir
elvalordesuDIÁMETRO,SUPERFICIEyVOLUMENen
funcióndedichalongitud.
Resolución
DIÁMETRO:
SUPERFICIE:
VOLUMEN:
❑¿Cuáleseldominioyrango
delastresfunciones?
❑¿Cuáleseldominioyrangode
dichosmodelosmatemáticos?
S
�=��
D
�=�??????�
�
V
�=
�
�
??????�
�
Función real de variable real
x
D
S
V

Clasificación de las funciones reales de variable real

Algebra de Funciones
1)Igualdad de funciones.
2)Operaciones con funciones.
2.1.Adición de funciones.
2.2.Sustracción de funciones.
2.3.Multiplicación de funciones.
2.4.División de funciones.
Función real de variable real

1.IGUALDAD DE FUNCIONES
a)�
�=�
�
b)��=��,.∀�∈�
�=�
�
Ejemplo1
Lasfunciones y soniguales,puestoque:��=�
2
−���=�(�−1)
a)�
�=ℝ=�
�
b)��=�
2
−�=��−1=��,∀�∈ℝ
Ejemplo2
Lasfunciones y nosoniguales,puesnosatisfacenla��=
�
2
−1
�+1
��=�−1
primera condición:�
�=ℝ−−1≠ℝ=�
�
Seanlasfunciones y talque .�:ℝ→ℝ �:ℝ→ℝ �
�∩�
�≠∅Decimosqueyson��
funcionesigualessiysólosi:

2.OPERACIONES CON FUNCIONES
a)�
�+�=�
�∩�
�
b)�+��=��+��,.∀�∈�
�∩�
�
2.1 Adición de Funciones
Seanlasfunciones�y�condominio�
�y�
�respectivamente,definimosla
adiciónde�y�como:
Ejemplo
a)Dominio:�
�+�=�
�∩�
�=ℝ∩ℝ=ℝ
b)Adición: �+��=��+��=7�
3
−�−1
Hallar ,si y��=5�
3
+2�−5��=2�
3
−3�+4�+g
Solución

2.OPERACIONES CON FUNCIONES
a)�
�−�=�
�∩�
�
b)�−��=��−��,.∀�∈�
�∩�
�
2.2 Sustracción de Funciones
Seanlasfunciones�y�condominio�
�y�
�respectivamente,definimosla
sustracciónde�y�como:
Ejemplo
a)Dominio:�
�−�=�
�∩�
�=ℝ∩ℝ=ℝ
b)Sustracción: �−��=��−��=3�
3
+5�−9
Hallar ,si y��=5�
3
+2�−5��=2�
3
−3�+4�−g
Solución

2.OPERACIONES CON FUNCIONES
a)�
�.�=�
�∩�
�
b)�.��=��.��,.∀�∈�
�∩�
�
2.3 Multiplicación de Funciones
Seanlasfunciones�y�condominio�
�y�
�respectivamente,definimosla
multiplicaciónde�y�como:
Ejemplo
a)Dominio:�
�.�=�
�∩�
�=ℝ∩ℝ=ℝ
b)Multiplicación: �.��=��.��=6�
6
−5�
4
−7�
3
−6�
2
+17�−5
Hallar,si y��=5�
3
+2�−5��=2�
3
−3�+4�.g
Solución

2.OPERACIONES CON FUNCIONES
a)�
�/�=�
�∩�
�−��=0
b)
�
�
�=
��
��
,.∀�∈�
�/�
2.4 División de Funciones
Seanlasfunciones�y�condominio�
�y�
�respectivamente,definimosla
divisiónde�y�como:
Ejemplo
a)Dominio:�
�/�=�
�∩�
�−��=0=ℝ∩ℝ−2�
3
−�
2
−2�+1=0
b)División:
�
�
�=
3�
3
+2�−5
2�
3
−�
2
−2�+1
=
�−13�
2
+3�+5
�−1�+12�−1
=
3�
2
+3�+5
�+12�−1
Hallar,si y��=3�
3
+2�−5��=2�
3
−�
2
−2�+1�/g
Solución
�
�/�=ℝ−−1;
1
2
;1

Composición de Funciones
1)Definición de Composición de funciones.
2)Propiedades.
3)Ejercicios.
Función real de variable real

Representación de funciones como máquinas
Considere las dos máquinas:
Si queremos obtener:
Horas Dinero ganado Dinero ganado Impuesto a pagar
Horas Impuesto a pagar¿Qué deberíamos hacer?
Deberíamos ordenar secuencialmente las máquinas �y�, es decir:
Impuesto a pagarHoras Dinero ganado
y

x
g
f
Dom
g
Dom
fRan
g
Ran
f
f(g(x))
g(x)
f o g
���
��g=�/�∈���
g∧g(�)∈���
�
1.DEFINICIÓN DE COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Si�y??????sondos
funciones,entonces
gcompuestacon�,
denotadapor��??????es
lafuncióndefinida
por:
(��g)�=�(g�)
dondeeldominiode
��??????eselconjunto
detodaslas�enel
dominiode??????,tales
que??????�estáenel
dominiode�.

Observación
Componer�����consistesóloenacoplarlamáquina�conlade�;esdecirle
suministramosa�,laproducciónde�.
Considerandoalasfuncionescomomáquinas,podemosentenderlaoperaciónde
composicióncomounacoplamientodeunamáquinaconotra.
Porejemplo,sitenemoslafunción��=�
2
,lacualesunamáquinaquerecibe�yla
elevaalcuadrado;yotrafunción��=2�+3queesunamáquinaquerecibe�,lo
multiplicapor2yluegolesuma3;entonces:
�
y

Seanlasfunciones,y;entoncestenemoslassiguientespropiedades:��ℎ
P1)
���≠���
La composición de funciones es no conmutativa, es decir:
P2)
(���)�ℎ=��(��ℎ)
La composición de funciones es asociativa, es decir:
P3)(�+�)�ℎ=��ℎ+(��ℎ)
P4)(�.�)�ℎ=��ℎ.(��ℎ)
Sieslafunciónidentidad,luego:I
P5)��I=�yI��=�
P6)I
�
��=�
�
,∀�∈ℤ
+
2.PROPIEDADES

3.EJEMPLOS
Dadaslasfunciones:F={(1;2),(2;3),(3;1),(4;1),(5;0)}yG={(0;2),(1;3),(2;0),(3;4),(4;6)}.
Calcular,siexiste:FoG
3.1
Solución:
UnamaneraprácticadehallarFoGesmediantediagramas,endondecadapar
ordenadosetraduceenunaflecha.PrimerograficamosGyenseguidagraficamosF.
Considerandoloselementosasociadosalasflechasquehacenelrecorridocompleto,
tenemos:
0
1
2
3
4
2
3
0
4
6
1
5
0
1
2
3
G
F
F o G
FoG={(0;3),(1;1),(3;1)}

Solución:
Dadaslasfunciones: y3.2 ��=4�−�
2 ��=�−2.Hallar,siexiste,�og
Hallamos���
���✓
Pordefinición:���
���=�/�∈���
�∧�(�)∈���
�
�∈ℝ (�−2)∈[0,4]
�∈[2,6]

���
���=
Hallamos���✓
Pordefinición:����=���=�(�−2)
����=4�−2−(�−2)
2
����=−�
2
+8�−12����∈[2,6]
3.EJEMPLOS

Función Máximo Entero
�:D⊂ℝ→ℝ/��=�
Dominio:
Rango:
�∈ℝ
 �∈ℤ
Gráfica:
Pararealizarlagráfica
aplicamoselteorema:
∀�∈ℝcon�∈ℤ∶
&#3627408485;=&#3627408475;↔&#3627408475;≤&#3627408485;<&#3627408475;+1
Veamos:
Si−&#3627409361;≤&#3627408485;<−2entonces&#3627408467;&#3627408485;=−&#3627409361;
Si−&#3627409360;≤&#3627408485;<−1entonces&#3627408467;&#3627408485;=−&#3627409360;
&#3627408486;=&#3627408485;…
&#3627408486;=&#3627408485;

&#3627408485;−&#3627408485;≥0

Ejemplo 1
Determinareldominioyluegograficar:&#3627408467;&#3627408485;=
&#3627408485;&#3627408485;−&#3627408485;
1−&#3627408485;−&#3627408485;1+&#3627408485;−&#3627408485;
Resolución
Calculandoeldominio.
Delasraícescuadradastenemos:
∧&#3627408485;−&#3627408485;≥0
&#3627408485;≤&#3627408485;∧ &#3627408485;≥&#3627408485;
&#3627408485;=&#3627408485;&#3627408485;∈ℤ
Como&#3627408485;∈ℤentonces:
1−&#3627408485;−&#3627408485;≠0
locualgarantizalaexistenciade
lafunción.
Graficando.
Considerandoeldominio,laregla
decorrespondenciasereducea:
&#3627408467;&#3627408485;=&#3627408485;&#3627408485;−&#3627408485;
Luego:
Si&#3627408485;∈ℤ

entonces&#3627408467;&#3627408485;=−2&#3627408485;
2
Si entonces&#3627408467;&#3627408485;=0&#3627408485;∈ℤ
+
0
Porlotanto:
&#3627408467;&#3627408485;=ቊ
−2&#3627408485;
2
,&#3627408485;∈ℤ

0,&#3627408485;∈ℤ
+
0

Ejemplo 1
Graficando:&#3627408467;&#3627408485;=ቊ
−2&#3627408485;
2
,&#3627408485;∈ℤ

0,&#3627408485;∈ℤ
+
0
Si&#3627408485;=−2entonces&#3627408486;=−8
&#3627408485;=−1entonces&#3627408486;=−2Si
&#3627408485;=0entonces&#3627408486;=0Si

Ejemplo 2
Resolución
Hallandoeldominioyreglade
correspondenciade&#3627408467;&#3627408476;&#3627408467;.
Sea
Considerando&#3627408467;&#3627408485;=ቊ
1/&#3627408485;,..&#3627408485;<0
−&#3627408485;
2
,..&#3627408485;>0
y
g&#3627408485;=
&#3627408485;
2
1+2
??????
,.&#3627408485;<1graficar&#3627408467;&#3627408476;&#3627408467;.g
&#3627408467;
1&#3627408485;=1/&#3627408485;,.&#3627408485;<0y
&#3627408467;
2&#3627408485;=−&#3627408485;
2
,.&#3627408485;>0entonces:
∎&#3627408439;&#3627408476;&#3627408474;&#3627408467;
1&#3627408476;&#3627408467;
1&#3627408485;∈ℝ/&#3627408485;<0∧1/&#3627408485;<0
=&#3627408485;∈ℝ/&#3627408485;<0
&#3627408467;
1&#3627408476;&#3627408467;
1(&#3627408485;)=&#3627408467;
1&#3627408467;
1(&#3627408485;)=&#3627408467;
11/&#3627408485;=&#3627408485;
&#3627408467;
1&#3627408476;&#3627408467;
1&#3627408485;=&#3627408485;,.&#3627408485;<0
∎&#3627408439;&#3627408476;&#3627408474;&#3627408467;
1&#3627408476;&#3627408467;
2&#3627408485;∈ℝ/&#3627408485;>0∧−&#3627408485;
2
<0
=
=
=&#3627408485;∈ℝ/&#3627408485;>0
&#3627408467;
1&#3627408476;&#3627408467;
2(&#3627408485;)&#3627408467;
1&#3627408467;
2(&#3627408485;)=&#3627408467;
1−&#3627408485;
2
=−
1
&#3627408485;
2
=
&#3627408467;
1&#3627408476;&#3627408467;
2&#3627408485;=−
1
&#3627408485;
2
,.&#3627408485;>0
∎&#3627408439;&#3627408476;&#3627408474;&#3627408467;
2&#3627408476;&#3627408467;
1&#3627408485;∈ℝ/&#3627408485;<0∧1/&#3627408485;>0=
=&#3627408485;∈∅
∎&#3627408439;&#3627408476;&#3627408474;&#3627408467;
2&#3627408476;&#3627408467;
2&#3627408485;∈ℝ/&#3627408485;>0∧−&#3627408485;
2
>0=
=&#3627408485;∈∅
Porlotanto:
&#3627408467;&#3627408476;&#3627408467;&#3627408485;=ቐ
&#3627408485;,..&#3627408485;<0

1
&#3627408485;
2
,..&#3627408485;>0

Ejemplo 2
Resolución
Hallandounaexpresiónequivalentepara
eldominioyregladecorrespondenciadeg
Porpropiedades,tenemosque:
Considerando&#3627408467;&#3627408485;=ቊ
1/&#3627408485;,..&#3627408485;<0
−&#3627408485;
2
,..&#3627408485;>0
yg&#3627408485;=
&#3627408485;
2
1+2
??????
,.&#3627408485;<1graficar&#3627408467;&#3627408476;&#3627408467;.g
1+2
??????
=1+2
??????
&#3627408485;<1↔−1<&#3627408485;<1
entonces:


1
2
<2
??????
<1
Porlotanto:
g&#3627408485;=൞
&#3627408485;
2
,..−1<&#3627408485;<0
&#3627408485;
2
2
,..0≤&#3627408485;<1
g&#3627408485;=
&#3627408485;
2
1+2
??????
,.−1<&#3627408485;<1


Ahora,considerandoelmáximoentero
particionamoseldominioenlaforma:
−1<&#3627408485;<1≡−1<&#3627408485;<0∨0≤&#3627408485;<1
Luego:
??????&#3627408470;−1<&#3627408485;<0&#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408464;&#3627408466;&#3627408480;
2
??????
=0g&#3627408485;=&#3627408485;
2
,.−1<&#3627408485;<0


1≤2
??????
<2??????&#3627408470;0≤&#3627408485;<1&#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408464;&#3627408466;&#3627408480;
2
??????
=1 g&#3627408485;=
&#3627408485;
2
2
,.0≤&#3627408485;<1

Ejemplo 2
Resolución
Graficando&#3627408467;&#3627408476;&#3627408467;.g
Como:
Considerando&#3627408467;&#3627408485;=ቊ
1/&#3627408485;,..&#3627408485;<0
−&#3627408485;
2
,..&#3627408485;>0
yg&#3627408485;=
&#3627408485;
2
1+2
??????
,.&#3627408485;<1graficar&#3627408467;&#3627408476;&#3627408467;.g
y
entonces:
&#3627408467;&#3627408476;&#3627408467;&#3627408485;=ቐ
&#3627408485;,..&#3627408485;<0

1
&#3627408485;
2
,..&#3627408485;>0
g&#3627408485;=൞
&#3627408485;
2
,..−1<&#3627408485;<0
&#3627408485;
2
2
,..0≤&#3627408485;<1
&#3627408467;&#3627408476;&#3627408467;.g&#3627408485;=൞
&#3627408485;
3
,..−1<&#3627408485;<0

1
2
,..0<&#3627408485;<1

Y
X
Función Signo
&#3627408467;:ℝ→ℝ/&#3627408467;&#3627408485;=sgn(&#3627408485;)
Dominio:
Rango:
&#3627408485;∈ℝ
 &#3627408486;∈−1,0,1
Gráfica:
sgn(&#3627408485;)=ቐ
−1,&#3627408480;&#3627408470;&#3627408485;<0
0,&#3627408480;&#3627408470;&#3627408485;=0
1,&#3627408480;&#3627408470;&#3627408485;>0
&#3627408439;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408465;&#3627408466;&#3627408466;&#3627408473;&#3627408480;&#3627408470;&#3627408468;&#3627408475;&#3627408476;&#3627408465;&#3627408466;&#3627408485;&#3627408465;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408476;&#3627408481;??????&#3627408465;&#3627408476;
&#3627408477;&#3627408476;&#3627408479;sgn&#3627408485;&#3627408480;&#3627408466;&#3627408465;&#3627408466;&#3627408467;&#3627408470;&#3627408475;&#3627408466;&#3627408464;&#3627408476;&#3627408474;&#3627408476;:

Y
X
Función Escalón Unitario
&#3627408467;:ℝ→ℝ/&#3627408467;&#3627408485;=&#3627408482;&#3627408485;=ቊ
0,&#3627408480;&#3627408470;&#3627408485;<0
1,&#3627408480;&#3627408470;&#3627408485;≥0
Dominio:
Rango:
&#3627408485;∈ℝ
 &#3627408486;∈0;1
Gráfica:
FuncióndeHeaviside
Enelanálisismatemáticodecircuitososeñales,resultaconveniente
definirunafunciónespecialquees0(apagado)hastaciertonúmeroy
luegoes1(encendido)despuésdeloanterior.
LafuncióndeHeaviside recibesunombre
enhonoralbrillanteingenieroelectrónicoymatemáticoinglésOliver
Heaviside(1850-1925)
??????&#3627408485;−??????=ቊ
0,&#3627408480;&#3627408470;&#3627408485;<??????
1,&#3627408480;&#3627408470;&#3627408485;≥??????

Función Escalón Unitario
&#3627408467;&#3627408485;=
&#3627408467;
1,
&#3627408467;
2,
&#3627408467;
3,
&#3627408485;<??????
1
??????
1≤&#3627408485;<??????
2
??????
2≤&#3627408485;<??????
3

&#3627408467;
&#3627408475;−1,
&#3627408467;
&#3627408475;,

??????
&#3627408475;−2≤&#3627408485;<??????
&#3627408475;−1
??????
&#3627408475;−1≤&#3627408485;
&#3627408467;&#3627408485;=&#3627408467;
1+&#3627408467;
2−&#3627408467;
1.&#3627408482;&#3627408485;−??????
1+&#3627408467;
3−&#3627408467;
2.&#3627408482;&#3627408485;−??????
2+⋯+&#3627408467;
&#3627408475;−&#3627408467;
&#3627408475;−1.&#3627408482;&#3627408485;−??????
&#3627408475;−1
??????&#3627408492;????????????&#3627408492;????????????.
D??????&#3627408465;??????&#3627408473;??????&#3627408467;&#3627408482;&#3627408475;&#3627408464;&#3627408470;ó&#3627408475;&#3627408480;&#3627408466;&#3627408464;&#3627408464;&#3627408470;&#3627408476;&#3627408475;??????&#3627408465;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408464;&#3627408482;&#3627408474;&#3627408477;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408478;&#3627408482;&#3627408466;:
&#3627408440;&#3627408471;&#3627408466;&#3627408474;&#3627408477;&#3627408473;&#3627408476;.
Si&#3627408467;&#3627408485;=
&#3627408485;,&#3627408485;<−2
−&#3627408485;
2
,−2≤&#3627408485;<0
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408485;,0≤&#3627408485;<??????
&#3627408473;&#3627408475;&#3627408485;, &#3627408485;≥??????
entoncesaplicandoelteorematenemosque:
&#3627408467;&#3627408485;=&#3627408485;+−&#3627408485;
2
−&#3627408485;.&#3627408482;&#3627408485;+2+&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408485;+&#3627408485;
2
.&#3627408482;&#3627408485;−0+&#3627408473;&#3627408475;&#3627408485;−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408485;.&#3627408482;&#3627408485;−??????

Funciones Hiperbólicas
Seno Hiperbólico Coseno Hiperbólico Tangente Hiperbólico
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;ℎ(&#3627408485;)=
&#3627408466;
??????
−&#3627408466;
−??????
2
cosh(&#3627408485;)=
&#3627408466;
??????
+&#3627408466;
−??????
2
tanh(&#3627408485;)=
&#3627408466;
??????
−&#3627408466;
−??????
&#3627408466;
??????
+&#3627408466;
−??????
&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;ℎ(&#3627408485;)
&#3627408486;=
&#3627408466;
??????
2
&#3627408486;=−
&#3627408466;
−??????
2
&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;ℎ(&#3627408485;)
&#3627408486;=
&#3627408466;
??????
2
&#3627408486;=
&#3627408466;
−??????
2
&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408481;??????&#3627408475;ℎ(&#3627408485;)
&#3627408486;=1
&#3627408486;=−1

Funciones Hiperbólicas
Cotangente Hiperbólico Secante Hiperbólico Cosecante Hiperbólico
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408481;ℎ(&#3627408485;)=
&#3627408466;
??????
+&#3627408466;
−??????
&#3627408466;
??????
−&#3627408466;
−??????
sech(&#3627408485;)=
2
&#3627408466;
??????
+&#3627408466;
−??????
csch(&#3627408485;)=
2
&#3627408466;
??????
−&#3627408466;
−??????
&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408464;&#3627408476;&#3627408481;ℎ(&#3627408485;)
&#3627408486;=1
&#3627408486;=−1
&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408480;&#3627408466;&#3627408464;ℎ(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408464;&#3627408480;&#3627408464;ℎ(&#3627408485;)

Función Regla Dominio Rango Asíntotas
Seno hiperbólico&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;ℎ&#3627408485;=
&#3627408466;
??????
−&#3627408466;
−??????
2
ℝ ℝ &#3627408486;=±
&#3627408466;
±??????
2
Coseno hiperbólico&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;ℎ&#3627408485;=
&#3627408466;
??????
+&#3627408466;
−??????
2
ℝ [1,+ۧ∞ &#3627408486;=
&#3627408466;
±??????
2
Tangente hiperbólica&#3627408481;??????&#3627408475;ℎ&#3627408485;=
&#3627408466;
??????
−&#3627408466;
−??????
&#3627408466;
??????
+&#3627408466;
−??????
ℝ −1,1 &#3627408486;=±1
Cotangente hiperbólica&#3627408464;&#3627408476;&#3627408481;ℎ&#3627408485;=
&#3627408466;
??????
+&#3627408466;
−??????
&#3627408466;
??????
−&#3627408466;
−??????
ℝ−0 −∞,−1∪1,+∞ &#3627408486;=±1
Secante hiperbólica&#3627408480;&#3627408466;&#3627408464;ℎ&#3627408485;=
2
&#3627408466;
??????
+&#3627408466;
−??????
ℝ ۦ0,]1 &#3627408486;=0
Cosecante hiperbólica&#3627408464;&#3627408480;&#3627408464;ℎ&#3627408485;=
2
&#3627408466;
??????
−&#3627408466;
−??????
ℝ−0 ℝ−0 &#3627408485;=0
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