MATEMATICA 1- SEMANA 1. Función de variable real.pdf
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Mar 30, 2024
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Se ve los temas de matemática 1 del primer tema que es funcion de variable real
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Facultad de Ingeniería Ambiental
Cálculo Diferencial
Semana 1.Funciones reales de variable real
Unafunciónrealfdevariablerealesunareglaqueasignaacadanúmeroreal
x,deunsubconjuntoD⊂ℝ,otronúmerorealúnicodenotadopory=f(x).
ElconjuntoDeselDominiodefyelconjuntodeimágeneseselRangodef
x: Entrada
Función
f
y = f(x)
f(x):salida
PROCESO
Observación:
EldominiodefsedenotaporDom(f)
ElrangodefsedenotaporRang(f)
Función real de variable real
D
x .
Definiciones:
Función real de variable real:
DOMINIO
����=�∈ℝ/∃��=�∈ℝ=�
RANGO o IMAGEN
????????????��=��=�∈ℝ/.∃�∈����
GRÁFICA
??????????????????��=(�,�)∈ℝ
2
/�=��;∀�∈�
�:ℝ→ℝ
�↦�=��
Gráficamente:
Lagráficade�seinterpretageométricamente comounalíneaenel
espaciobidimensional,ysediceque�=��eslaecuaciónenforma
explícitadelalínea.
X
Y
Dom(f )
Ran( f )
Graf( f )
�,�
�
�(�)
�=�(�)
�=
Ejemplo 1
Función real de variable real
������������������,�??????�����??????����??????
����=6−5−4�−�
2
�??????����??????��������??????�??????�
����=�∈ℝ/.5−4�−�
2
≥0
�
2
+4�−5≤0
�+5�−1≤0
����=�∈ℝ/.−5≤�≤1
Resolución
����=�∈ℝ/∃��=�∈ℝ
����=−�,�
�??????����??????�����????????????���
????????????��=�,�
??????�á���??????���??????�����ó�
X
Y
�=6−9−�+2
2
Ejemplo 2
Sixrepresentalalongituddelradiodeunaesfera,escribir
elvalordesuDIÁMETRO,SUPERFICIEyVOLUMENen
funcióndedichalongitud.
Resolución
DIÁMETRO:
SUPERFICIE:
VOLUMEN:
❑¿Cuáleseldominioyrango
delastresfunciones?
❑¿Cuáleseldominioyrangode
dichosmodelosmatemáticos?
S
�=��
D
�=�??????�
�
V
�=
�
�
??????�
�
Función real de variable real
x
D
S
V
Clasificación de las funciones reales de variable real
Algebra de Funciones
1)Igualdad de funciones.
2)Operaciones con funciones.
2.1.Adición de funciones.
2.2.Sustracción de funciones.
2.3.Multiplicación de funciones.
2.4.División de funciones.
Función real de variable real
1.IGUALDAD DE FUNCIONES
a)�
�=�
�
b)��=��,.∀�∈�
�=�
�
Ejemplo1
Lasfunciones y soniguales,puestoque:��=�
2
−���=�(�−1)
a)�
�=ℝ=�
�
b)��=�
2
−�=��−1=��,∀�∈ℝ
Ejemplo2
Lasfunciones y nosoniguales,puesnosatisfacenla��=
�
2
−1
�+1
��=�−1
primera condición:�
�=ℝ−−1≠ℝ=�
�
Seanlasfunciones y talque .�:ℝ→ℝ �:ℝ→ℝ �
�∩�
�≠∅Decimosqueyson��
funcionesigualessiysólosi:
Composición de Funciones
1)Definición de Composición de funciones.
2)Propiedades.
3)Ejercicios.
Función real de variable real
Representación de funciones como máquinas
Considere las dos máquinas:
Si queremos obtener:
Horas Dinero ganado Dinero ganado Impuesto a pagar
Horas Impuesto a pagar¿Qué deberíamos hacer?
Deberíamos ordenar secuencialmente las máquinas �y�, es decir:
Impuesto a pagarHoras Dinero ganado
y
x
g
f
Dom
g
Dom
fRan
g
Ran
f
f(g(x))
g(x)
f o g
���
��g=�/�∈���
g∧g(�)∈���
�
1.DEFINICIÓN DE COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Si�y??????sondos
funciones,entonces
gcompuestacon�,
denotadapor��??????es
lafuncióndefinida
por:
(��g)�=�(g�)
dondeeldominiode
��??????eselconjunto
detodaslas�enel
dominiode??????,tales
que??????�estáenel
dominiode�.
Seanlasfunciones,y;entoncestenemoslassiguientespropiedades:��ℎ
P1)
���≠���
La composición de funciones es no conmutativa, es decir:
P2)
(���)�ℎ=��(��ℎ)
La composición de funciones es asociativa, es decir:
P3)(�+�)�ℎ=��ℎ+(��ℎ)
P4)(�.�)�ℎ=��ℎ.(��ℎ)
Sieslafunciónidentidad,luego:I
P5)��I=�yI��=�
P6)I
�
��=�
�
,∀�∈ℤ
+
2.PROPIEDADES
3.EJEMPLOS
Dadaslasfunciones:F={(1;2),(2;3),(3;1),(4;1),(5;0)}yG={(0;2),(1;3),(2;0),(3;4),(4;6)}.
Calcular,siexiste:FoG
3.1
Solución:
UnamaneraprácticadehallarFoGesmediantediagramas,endondecadapar
ordenadosetraduceenunaflecha.PrimerograficamosGyenseguidagraficamosF.
Considerandoloselementosasociadosalasflechasquehacenelrecorridocompleto,
tenemos:
0
1
2
3
4
2
3
0
4
6
1
5
0
1
2
3
G
F
F o G
FoG={(0;3),(1;1),(3;1)}