Matematica 5 - Editorial Pilares X3 Ccesa007.pdf

5
Educación Secundaria
TRIGONOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo
Grandes Libros
G r u p o E d i t o r i a l

Te ayudarán a desarrollar los temas de una manera ordenada y progresiva.
Sistema de medidas angulares
Sistema de medidas angulares
Para representar la medida de un ángulo trigo-
nométrico, existen tres sistemas de medida los
cuales son los más usados y estos son el sistema
sexagesimal, centesimal y radian.
A continuación, se explicará en que consiste cada
uno de ellos.
1. Sistema sexagesimal
Es el sistema cuya unidad de medida es el grado
sexagesimal (1°), donde una vuelta equivale a 360°.
a. Subunidades:
En el sistema sexagesimal existen las sub-
unidades de los grados sexagesimales, las
cuales son los minutos sexagesimales (1') y
segundos sexagesimales (1").
b. Equivalencias

1°<>60'
1'<>60" 1°<>3600"
c. Descomposición de un grado sexagesimal:
Dados los números x, y, z ∈ R se cumple que:

x°y' z"=x°+y'+z"
2. Sistema centesimal
Es el sistema cuya unidad de medida es el grado
centesimal (1
g
), donde una vuelta equivale a 400
g
.
a. Subunidades
En el sistema centesimal existen las subuni-
dades de los grados centesimales, las cuales
son los minutos centesimales (1
m
) y segun-
dos centesimales (1
s
).
b. Equivalencias

1
g
<> 100
m
1
m
<> 100
s
1° <> 10000
s
c. Descomposición de un grado sexagesimal:
Dados los números x, y, z ∈ R se cumple que

x
g
y
m
z
s
= x
g
+y
m
+z
s
Marcelo se levanta muy temprano todos los
días para llegar temprano al trabajo. En el bus,
él observa en su reloj que son las 6:30 de la
mañana y se percata que el ángulo que for-
man las manecillas del reloj es de 15°. Si él
ingresa a su trabajo a las 7:00 de la mañana,
¿qué ángulo formarán las manecillas del reloj
cuando sea la hora de ingreso del trabajo de
Marcelo?
¿De qué otras formas podemos expresar los
ángulos mencionados?
3. Sistema radial
Este sistema tiene por unidad el radian (1 rad),
el cual representa el ángulo central del arco
cuyo valor es igual al radio de la circunferencia.
R
1 rad
R
R
1 vuelta <> 2 π rad
4. Equivalencia entre los sistemas angulares
Un ángulo trigonométrico puede ser represen-
tado en cualquiera de los sistemas angulares
mencionados.
Dada su representación en la circunferencia,
existe una proporción entre el valor numérico
que toma un mismo ángulo en cada uno de los
sistemas angulares.
Para expresar un ángulo de un sistema angular
a otro existe una equivalencia la cual es:

S
360
C
400
R
2π
= =
O
α
s°
c
g
R rad
B
A
Y como consecuencia se cumple que:
⟹ C = 200k ^ R = πk
C
200
R
π
=
⟹ S = 180k ^ R = πk
S
180
R
π
=
⟹ S = 9k ^ C = 10k
S
9
C
10
=
Donde k ∈ R
8
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 1
Ejemplo:

Determina el valor de α si es un ángulo agudo y
además se cumple que
tg α = 4 sec 37° − 2 ctg
53°
2
Solución:
Utilizando los triángulos notables se tiene que
sec 37° =
5
4
˄ ctg
53°
2
= 2
Reemplazando:
tg α = 4 ∙
5
4
− 2 ∙ 2 = 5 - 4
tg α = 1 ⇒ α = 45°

1. Si ABCD es un cuadrado y M es punto medio de
AD, calcula el valor de x − y.

A
B
y
x
P
M D
C

En la figura, si el lado del cuadrado es igual
a 2l; entonces, dado que M es punto medio
de AD
se tiene que
AM = MD = l
Entonces:

A
B
y
y
x
P
M
45°
D
C
l l
2l
Del gráfico, el triángulo DMC es notable de
53°
2
, entonces:
x = 90 −
53°
2 ⇒ x =
143°
2
Luego, del triangulo MPD se tiene que
x + y + 45°=180° ⇒
143°
2
+y = 135° ⇒ y =
127°
2
Entonces x − y =
143°
2 −
127°
2
= 8°
2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C,
donde A > B. La relación de los catetos es igual
a 2
3 y además
M =
13 sen A + 6 tg B − 3
3 ctg
A +B
2 Calcula el valor de M.

Dada que la relación de los catetos es igual
a 2
3, entonces estos son de la forma 2
3 k
y k: además, como A>B, entonces el cate-
to opuesto a A es el de mayor valor que es
igual a 2
3 k. Graficamos el triángulo ABC.
B
c
k C
A
23k
Por teorema de Pitágoras:
c
2
= k
2
+ (2
3k)
2
c = 13k
Entonces:
13 sen A = 13 ∙
23 k
13 k
= 23
6 tg B = 6 ∙ k
2
3 k
=
3
3
= 3
33 ctg
A+B
2
= 33 ctg
90°
2
= 33 ctg 45°= 3
3
Reemplazando en M se tiene:
M = 2
3 + 3 − 33 ⇒ M = 0

3. Si tg x =
1
2, halla el valor de AC
.
C
B
x74°
50
A

En el gráfico, se traza la altura BH
tal que
C
B
H
x74°
50
14
A
192
48
Por la proporcionalidad de triángulo de
74° y 16°, ademas dado que
tg x =
1
4, entonces AH
= 14 y AH
= 192
Por lo tanto, AC
= 14 + 192 = 206
11
Trigonometría
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Apertura del área
Presenta situaciones retadoras gracias a las cuales movilizarás tus habilidades,
destrezas, valores y afectos a través del diálogo y la apreciación personal.
Título del área
Presenta los
aprendizajes
esperados.
Formula preguntas
para orientar el análisis
de la imagen
Presenta
un texto
motivador
Se presenta
un conflicto
cognitivo
relacionado
con el enfoque
transversal.
Los ejercicios
resueltos son
ejemplos
de como
se deben
resolver los
problemas
referidos a
los temas
propuestos.
Para el desarrollo
del libro se
presentan
secciones
diferenciadas
por medio de
unidades.
Reconocemos la importancia
de planificar metas
Unidad I
• Resuelve problemas de conversión entre los
tres sistemas de medidas angulares.
• Examina propuestas de modelos referidos a
razones trigonométricas de ángulos agudos
al plantear y resolver problemas.
• Resuelve triángulos rectángulos conociendo
las medidas de dos de sus lados, o un lado y
un ángulo.
• Plantea conjeturas sobre los ángulos de
elevación y de depresión.
Unidad II
• Resuelve situaciones de reducción al primer
cuadrante de ángulos de la forma 90°± α,
180°± α,270°± α y 360°± α.
• Reconoce las propiedades de la CT y su
relación con las razones trigonométricas.
• Plantea conjeturas al demostrar identidades
trigonométricas.
• Emplea las propiedades de los ángulos
compuestos para resolver problemas de
aplicación.
Al iniciar el año escolar los estudiantes del 5° año de secundaria se plantearon objetivos por lograr
luego de culminar su etapa escolar. Algunos de ellos quieren ingresar a universidades destacadas;
mientras que otros, quieren desarrollar sus capacidades artísticas y deportivas.
Con el fin de lograr dichos objetivos, durante todo el año se apoyaron mutuamente, logrando así que
muchos de ellos mejoren; esto los incentivó a continuar trabajando en equipo.
Búsqueda de la
excelencia
Enfoque transversal
Perseverancia,
liderazgo
Valores
Desempeños
6
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cia
α
α α α
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Unidad 1
Trigonometría
Unidad III
• Aplica las def iniciones de ángulo doble,
mitad y triple en la reSolución: de
igualdades trigonométricas.
• Identif ica y analiza las distintas
transformaciones trigonométricas.
• Emplea estrategias heurísticas para resolver
problemas relacionados con la ley de senos
y cosenos.
• Interpreta de forma adecuada la def inición
de función trigonométrica y determina
el dominio y rango de una función
trigonométrica.
Unidad IV
• Interpreta de forma adecuada la def inición
de función trigonométrica inversa y
determina el dominio y rango de dicha
función.
• Resuelve una ecuación trigonométrica
haciendo uso de las identidades
trigonométricas.
• Emplea estrategias heurísticas para resolver
problemas de inecuaciones trigonométricas.
• Relaciona las propiedades de los
números complejos con las funciones
trigonométricas.
• ¿Qué mensaje nos deja la imagen mostrada?
• ¿De qué forma el trabajo en equipo ayuda a mejorar nuestras capacidades?
• ¿Crees que es importante planificar metas? ¿Por qué?
Observamos y respondemos
7
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Organizadores internos
Conociendo nuestro libro
Se integra
el enfoque
transversal y los
valores a trabajar
en la unidad.

Cuaderno de trabajo
73
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Básico
Intermedio
Avanzado
Unidad 3
Refuerzo en casa
Nivel b?sico
1. Si
cos
cos
x
x
1 2
1 2
7
1
-
+
=. Halla el valor de sen
2
x
a.
7
8
b.
7
8
-
c.
8
7
d.
8
7
-
2. Reduce la siguiente expresión.
cos
cos cos
cos
2
3
4
i
i i
i
+
-
a. cos θ
b. sen θ –1
c. 2 cos θ
d. –2 cos θ
3. Si α ∈ IVC ,
simplifica la expresión.
co
s c
os
3 2
41 2 1 2a a
+ - -` j
a. cos sen
3
4
a a+
_ i
b. sen
7
6
a
c. sen
3
4
a
d.
cos
3 2
4
a
4. Calcula el valor de P si
csc s eccos
P
x senx x x3
1
3
1
: :
= -
a. –2
b. secx
c. cscx
d. 2
5. Si
,cossen x x 04+ = . Halla sen 2x.
a.
25
23
b.
25
21
c.
25
21
-
d.
25
23
-
Nivel intermedio

6. Si se cumple que
cos2
16
2 2 2
3
6 23a
= + + +
-
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
Determina el valor de tg α + ctg α
a.
2
3 2 b. 3 2
c.
2
3 2
-
d. 3 2
7. Calcula el valor de cosE sen
2 2
a a
= -
b bl l
, si
csc 20
9 5
a=
y α ∈ IC
a.
3
5
b.
3
2 5-
c.
3
5 2+
d.
3
5 2-
8. Si se cumple que
sen
sen
x6
2
1
1
a
a
=
-
. Halla
x en
función de α
a. cos4 2
2
a
b. cos4 2a
c. cosa
d.
2cos2a
9. Simplifica la expresión
sec s ec
ct
g t
g
2
4
2
3
1
4 2
2
2
i i
r
i i
-
- -
b
_
_
l
i
i
a. sen 4i
b. cos4 4i
c. cos 4i
d. sen 4i
Nivel avanzado
10. Del gráfico,
halla el valor de x.
x
10
8 β
β
a. 18
b. 24
c. 32
d. 45
11. Del gráfico,
halla AB
C
B
A
P
D
5αα
2α
a. 10
b. 15
c. 5
d. secα
12. Si M = 1 – sen 2°cos 2°cos 4°cos 8°,
calcula el
valor de 200M.  (UNAC 2019-1)
a. 202
b. 190
c. 193
d. 203
13. Simplifica la siguiente expresión
(csc x+csc 2x+csc 4x+csc 8x+csc 16x+ctg 16x)
–1
a. ctg
x
4
J
L
K
K
K
N
P
O
O
Ob. ctg
x
2
J
L
K
K
K
N
P
O
O
Oc. tg
x
4
J
L
K
K
K
N
P
O
O
Od. tg
x
2
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Nivel destacado
14. Calcula el valor de x ∈ [0 ; π], el cual hace que
la función tome su mínimo valor
f x
sen x
sen x sen x3 2 2=
+_ i
a.
3
2r
b.
3
r
c.
6
r
d.
6
5r
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
c d a d c c b d
9 10 11 12 13 14
a b a c d d
TRIGONOMETRIA DE 5TO CT.indd 73
14/03/2020 13:42:13
Interiores
Cajitas adicionales
Dato histórico: brinda información histórica
que narra hechos o personajes matemáticos
que influyeron a lo largo del tiempo.
Enlace: como su nombre lo dice, vincula lo
trabajado con contenidos afines.
Dato importante: brinda información sus-
tancial al tema trabajado.
En 5 minutos: propone actividades senci-
llas que deberás realizar en el aula.
TIC: sugiere enlaces de Internet, donde
encontrarás información adicional rela-
cionada al tema tratado.
Metacognición: son preguntas formula-
das para que reflexiones sobre tu propio
aprendizaje.
Sabías que... presenta datos curiosos que
brindan información complementaria al
tema.
En 5 minutos
Indica cuál de los enunciados son correctos.
•Seno y secante no son R.T. recíprocas
•Cotangente y tangente son R.T. recíprocas
•Coseno y secante no son R.T. recíprocas
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s
Enlace
TIC
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s
Cuaderno de trabajo
93
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Básico
Intermedio
Avanzado
Unidad 4
An?lisis trigonom?trico de los n?meros complejos
Recordamos lo aprendido
Forma trigonométrica de un número complejo
Im
Re
|z|sen θ
|z|cos θ
|z|
θ
z = |z|(cos θ + i sen θ)
Forma exponencial de z
z = |z|e
iθ
; donde θ es el argumento de z
Fórmula de D’ Moivre
z
n
= |z|
n
[cos (nθ) + i sen (nθ)]
Relación entre la fórmula de D’ Moivre y el
Binomio de Newton
cos (nθ) + i sen (nθ) =
n
k=0
c
k
n
(cos θ)
n−k
(i sen θ)
k
Razones trigonométricas de un número complejo
sen z =
e
iz
− e
−iz
2i

cos z =
e
iz
+ e
−iz
2
Propiedades
1. sen (z + w) = sen z cos w + cos z sen w
2. sen (z − w) = sen z cos w − cos z sen w
3. cos (z + w) = cos z cos w − sen z sen w
4. cos (z − w) = cos z cos w + sen z sen w
5. cos  z +
p
2
= −sen z   ⋀   sen
z +
p
2
= cos z
6. cos (z + p) = −cos z   ⋀   sen (z + p) = −sen z
7. sen
2
z + cos
2
z = 1
Regiones en el plano complejo:
Se tiene los si-
guientes casos:
? Región en el plano respecto de la parte real
? Región en el plano respecto a la parte imaginaria
? Región en el plano respecto al argumento
? Región en el plano respecto del módulo
Practica lo aprendidoNivel b?sico
1. Determina la forma binomial del siguiente nú-
mero complejo z = 2e
p
4
i
.
2. Sea z =
3
2
+
3
2
i, determina el valor de z
3
.
3. Determina el valor de i
i
.
4. Calcula el valor de cos i.
Se tiene que:
z = 2e
p
4
i
=2cos
p
4
+ isen
p
4
⇒ z = 2
2
2
+ i
2
2
∴  z = 2 + 2 i
Transformamos a su forma exponencial.
z =
1
2
+
3
2
i = cos
p
3
+ i sen
p
3
⇒  z = e
p
3
i
Ahora elevando al cubo tenemos que:
z
3
=
e
p
3
i
3
= e
pi
⇒  z
3
= e
pi
= cos p + i sen p
∴  z
3
= −1
Primero, expresamos en forma exponen-
cial la unidad imaginaria (i):
i = 0 + i.1 = cos
p
2
+ isen
p
2
i = e
p
2
i
Ahora elevamos a la (i) a ambos miembros
y obtenemos:
i
i
=
e
p
2
i
i
= e
p
2
i
2
∴  i
i
= e
-p
2
Tenemos que:
cos(i) =
e
i.i
+ e
−i.i
2
cos(i) =
e
i
2
+ e
−i
2
2
∴  cos(i) =
e
−1
+ e
2
TRIGONOMETRIA DE 5TO CT.indd 93
14/03/2020 13:43:31
Para el desarrollo
de los ejercicios
presentamos un
resumen de la
teoría.
Presentamos una
serie de ejercicios
para reforzar lo
aprendido en
clase.
Presentamos un
ejercicio para
plantearnos
retos.
Presentamos los problemas con una
jerarquía de niveles: nivel básico,
intermedio y avanzado.
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego.
Nació en la isla de Samos en el año 497 a. C., fue
discípulo de Tales de Mileto y perteneció a su
escuela, hizo aportes al campo matemático los
cuales son muy importantes hasta la actualidad;
un ejemplo de sus aportes es el teorema de
Pitágoras.
Dato histórico
Dato importante
Para ubicar un punto P(x;y) en el plano
cartesiano, primero debemos reconocer el
signo de la abscisa y la ordenada para de
esta manera saber en que cuadrante se
encuentra.
Metacognición
•¿Qué aprendí?, ¿cómo aprendí?
•¿Qué di&#1711302912;cultades tuve?, ¿cómo las su-
peré?
•¿Para que me sirve lo aprendido en este
tema?
El teorema de Pitagoras es una herramienta
muy usada en la resolución de problemas que
involucran las R.T. de ángulos agudos.
Sabías que...

Texto escolar
1
Reconocer la
importacia de
planificar metas
6 - 7
Valores
Perseverancia,
liderazgo.
Enfoque
transversal
Búsqueda de la
excelencia
Sistema de medidas angulares 8
Razones trigonométricas de ángulos agudos 10
Resolución de triángulos rectángulos 12
Ángulos verticales y horizontales 14
2
Reducción al primer cuadrante 17
Circunferencia trigonométrica 19
Identidades trigonométricas 21
Razones trigonométricas de ángulos compuestos 23
3
Razones trigonométricas de ángulos múltiples 26
Transformaciones trigonométricas 28
Resolución de triángulos oblicuángulos 30
Funciones trigonométricas 32
4
Funciones trigonométricas inversas 35
Ecuaciones trigonométricas 37
Inecuaciones trigonométricas 39
Análisis trigonométrico de números complejos 41
Cuaderno de trabajo
1
Sistema de medidas angulares 45
Razones trigonométricas de ángulos agudos 48
Resolución de triángulos rectángulos 51
Ángulo vertical y horizontal 54
2
Reduccion al primer cuadrante 58
Circunferencia trigonometrica 61
Identidades trigonométricas 64
Razones trigonométricas de ángulos compuestos 67
3
Razones trigonométricas de ángulos múltiples 71
Transformaciones trigonometricas 74
Resolución de triángulos oblicuángulos 77
Funciones Trigonométricas 80
4
Funciones trigonometricas inversas 84
Ecuaciones trigonométricas 87
Inecuaciones Trigonométricas 90
Análisis trigonométrico de los números complejos 93

UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
TRIGONOMETRÍA
1
5

Reconocemos la importancia
de planificar metas
Unidad I
? Resuelve problemas de conversión entre los
tres sistemas de medidas angulares.
? Examina propuestas de modelos referidos a
razones trigonométricas de ángulos agudos
al plantear y resolver problemas.
? Resuelve triángulos rectángulos conociendo
las medidas de dos de sus lados, o un lado y
un ángulo.
? Plantea conjeturas sobre los ángulos de
elevación y de depresión.
Unidad II
? Resuelve situaciones de reducción al primer
cuadrante de ángulos de la forma 90°± α,
180°± α,270°± α y 360°± α.
? Reconoce las propiedades de la CT y su
relación con las razones trigonométricas.
? Plantea conjeturas al demostrar identidades
trigonométricas.
? Emplea las propiedades de los ángulos
compuestos para resolver problemas de
aplicación.
Al iniciar el año escolar los estudiantes del 5° año de secundaria se plantearon objetivos por lograr
luego de culminar su etapa escolar. Algunos de ellos quieren ingresar a universidades destacadas;
mientras que otros, quieren desarrollar sus capacidades artísticas y deportivas.
Con el fin de lograr dichos objetivos, durante todo el año se apoyaron mutuamente, logrando así que
muchos de ellos mejoren; esto los incentivó a continuar trabajando en equipo.
Búsqueda de la
excelencia
Enfoque transversal
Perseverancia,
liderazgo
Valores
Desempe?os
6
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Unidad 1
Trigonometría
Unidad III
? Aplica las definiciones de ángulo doble,
mitad y triple en la reSolución: de
igualdades trigonométricas.
? Identifica y analiza las distintas
transformaciones trigonométricas.
? Emplea estrategias heurísticas para resolver
problemas relacionados con la ley de senos
y cosenos.
? Interpreta de forma adecuada la definición
de función trigonométrica y determina
el dominio y rango de una función
trigonométrica.
Unidad IV
? Interpreta de forma adecuada la definición
de función trigonométrica inversa y
determina el dominio y rango de dicha
función.
? Resuelve una ecuación trigonométrica
haciendo uso de las identidades
trigonométricas.
? Emplea estrategias heurísticas para resolver
problemas de inecuaciones trigonométricas.
? Relaciona las propiedades de los
números complejos con las funciones
trigonométricas.
? ¿Qué mensaje nos deja la imagen mostrada?
? ¿De qué forma el trabajo en equipo ayuda a mejorar nuestras capacidades?
? ¿Crees que es importante planificar metas? ¿Por qué?
Observamos y respondemos
7
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Sistema de medidas angulares
Sistema de medidas angulares
Para representar la medida de un ángulo trigo-
nométrico, existen tres sistemas de medida los
cuales son los más usados y estos son el sistema
sexagesimal, centesimal y radian.
A continuación, se explicará en que consiste cada
uno de ellos.
1. Sistema sexagesimal
Es el sistema cuya unidad de medida es el grado
sexagesimal (1°), donde una vuelta equivale a 360°.
a. Subunidades:
En el sistema sexagesimal existen las sub-
unidades de los grados sexagesimales, las
cuales son los minutos sexagesimales (1') y
segundos sexagesimales (1").
b. Equivalencias

1°<>60' 1'<>60" 1°<>3600"
c. Descomposición de un grado sexagesimal:
Dados los números x, y, z ∈ R se cumple que:

x°y' z"=x°+y'+z"
2. Sistema centesimal
Es el sistema cuya unidad de medida es el grado
centesimal (1
g
), donde una vuelta equivale a 400
g
.
a. Subunidades
En el sistema centesimal existen las subuni-
dades de los grados centesimales, las cuales
son los minutos centesimales (1
m
) y segun-
dos centesimales (1
s
).
b. Equivalencias

1
g
<> 100 m1
m
<> 100 s1° <> 10000
s
c. Descomposición de un grado sexagesimal:
Dados los números x, y, z ∈ R se cumple que

x
g
y
m
z
s
=
x
g
+y
m
+z
s
Marcelo se levanta muy temprano todos los
días para llegar temprano al trabajo. En el bus,
él observa en su reloj que son las 6:30 de la
mañana y se percata que el ángulo que for-
man las manecillas del reloj es de 15°. Si él
ingresa a su trabajo a las 7:00 de la mañana,
¿qué ángulo formarán las manecillas del reloj
cuando sea la hora de ingreso del trabajo de
Marcelo?
¿De qué otras formas podemos expresar los
ángulos mencionados?
3. Sistema radial
Este sistema tiene por unidad el radian (1 rad),
el cual representa el ángulo central del arco
cuyo valor es igual al radio de la circunferencia.
R
1 rad
R
R
1 vuelta <> 2 p rad
4. Equivalencia entre los sistemas angulares
Un ángulo trigonométrico puede ser represen-
tado en cualquiera de los sistemas angulares
mencionados.
Dada su representación en la circunferencia,
existe una proporción entre el valor numérico
que toma un mismo ángulo en cada uno de los
sistemas angulares.
Para expresar un ángulo de un sistema angular
a otro existe una equivalencia la cual es:

S
360
C
400
R
2p
= =Oa
s°
c
g
R rad
B
A
Y como consecuencia se cumple que:
⟹ C = 200k ^ R = pk
C
200
R
p
=
⟹ S = 180k ^ R = pk
S
180
R
p
=
⟹ S = 9k ^ C = 10k
S
9
C
10
=
Donde k ∈ R
8
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Ejemplo:
Calcula el valor de R
1
p
S + C
SC
Si S, C y R son los números convencionales, para
un mismo ángulo
Solución:
Utilizando la proporción, con k ∈ R, tenemos que

S = 360k ,C = 400k y R = 2pk
Reemplazando en la expresión tenemos que

R =
R =
2 pk
2 k
1
p
1
p
1
p
S + C
SC
S + C
SC
360k+400k
360k ∙ 400k
760k
360 ∙ 400 ∙ k
2

R = =
1
p
19
1800
S + C
SC
19k
2
1800 ∙ k
2
Propiedades adicionales
a. Equivalencias entre los minutos sexagesimales
y centesimales

Donde:
ms : minutos sexagesimales
mc : minutos centesimales
mc
50
ms
27
=

Ejemplo:
Determina a cuántos minutos sexagesimales
equivale 23,4
m
.
Solución:
Utilizamos la equivalencia de minutos
sexagesimales a centesimales:

⇒ ms ==
23,4
50
23,4 x 27
50
ms
27
ms = 12,636
Por lo tanto, 23,4
m
equivale a 12,636'.
b. Equivalencia entre los segundos sexagesimales
y centesimales

Donde:
ss : segundos sexagesimales
sc : segundos centesimales
sc
250
ss
81
=
Ejemplo:
Determina a cuántos segundos centesimales
equivale 0,65'.
Solución:
Transformando minutos sexagesimales a
segundos sexagesimales, tenemos que:
1' <> 60"
0,65' <> x

⇒ x = 39"x =
60" × 0,65'
1'
Transformando 39" a segundo centesimales:
⇒ sc = 120,37=
sc
250
39
81
Por lo tanto, 0,65' equivale a 120,37
s
.

1. Un alumno del colegio “PILARES”, decide crear un
nuevo sistema angular llamado “PILARES” como su
colegio, si 1 grado en el sistema pilares se representa
1
P
, Si se cumple la siguiente relación:
=
S
15
P
54
S representa a los grados sexagesimales y P a
los grados “Pilares”.
Determina a cuántos grados pilares equivalen 100
g
.

Dado que la equivalencia es de grados
“Pilares” a grados sexagesimales, entonces
transformamos 100
g
a grados sexagesimales
⟹ S = 90=
S
9
100
10
Entonces 100
g
<> 90°
Ahora utilizaremos la relación dada en el
problema para calcular a cuántos grados
“Pilares” equivale 90°.
⇒ P = 324=
90
15
P
54
Entonces 90° <> 324
P
Por lo tanto, 100
g
es equivalente a 324
P
.
2. Si S y C son los convencionales para un mismo
ángulo y además S ; 76 ; C forman una progresión
aritmética, determina el ángulo en radianes.

Dada la equivalencia entre los sistemas
angulares se cumple que S = 9k ^ C = 10k, k
∈ R, luego del problema, 9k ; 76 ; 10k es una
progresión aritmética, entonces se cumple
76 − 9k = 10k − 76 ⇒ 19k = 152 ⇒ k = 8
Luego reemplazamos k en S y tenemos que
S = 9 ∙ 8 = 72
Además, se cumple que:
⇒ R = =
72
180
R
p
2p
5
Por lo tanto, el ángulo es
2p
5
rad.
9
Trigonometría
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 1

Razones trigonom?tricas de ?ngulos agudos
Razones Trigonométricas de ángulos
agudos (R.T.)
Para definir las razones trigonométricas de un án-
gulo agudo, representaremos dicho ángulo en un
triángulo rectángulo.
Sea ABC un triángulo rectángulo y α un ángulo
agudo:
B
c
a
b C
a
A
a
c
sen α =
b
c
cos α =
a
b
tg α =
b
a
ctg α =
c
b
sec α =
c
a
csc α =
1. Razones trigonométricas recíprocas
Se dice que dos razones trigonométricas de un
ángulo agudo son recíprocas si el producto de
ellas es igual a la unidad.

sen α ∙ csc α = 1
cos α ∙ sec α = 1
tg α ∙ ctg α = 1
B
c
a
b C
a
A
Además, para los ángulos agudos α, β se cumple
que
sen α ∙ csc β = 1
cos α ∙ sec β = 1 α = β
tg α ∙ ctg β = 1
2. Razones trigonométricas de ángulos comple -
mentarios
Dos ángulos se denominan complementarios
si suman 90°.
En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos
son complementarios; luego, en un triángulo
rectángulo tenemos:
Una familia está yendo de vacaciones a la monta-
ña para quedarse en una cabaña. En el transcurso
de su viaje, una de las llantas de la minivan en la
que se desplazan se atora en plena cuesta, la cual
tiene la forma específica de un triángulo rectángu-
lo con un ángulo de elevación de 60°. Los dos varo-
nes de la familia deciden empujar sin tener éxito,
hasta que toda la familia empuja y juntos logran
salir de semejante apuro. Si luego se dieron cuenta
que la distancia que empujaron fue de 1 km, ¿qué
altura tenía dicha cuesta?

sen α = cos β
tg α = ctg β
sec α = csc β
B
c
a
b C
a
A
b
Ejemplo:
Si α y β son ángulos agudos complementarios,
determina el valor de
P = sen α ∙ sec β + tg β ∙ tg α
Solución:
Como α y β son ángulos agudos complementa-
rios, entonces:
sen α = cos β ˄ tg α = ctg β
Reemplazando en la expresión tenemos:
P = cos β ∙ sec β + tg β ∙ ctg β
Por las propiedades de las razones trigonomé-
tricas reciprocas:
P = 1 + 1 ⇒ P = 2
3. Razones trigonométricas de ángulos notables
Son las razones trigonométricas de los ángulos
agudos que poseen los triángulos rectángulos
notables.
4. Triángulos rectángulos notables

2k
k3
k
60°
30°
k
k2
k
45°
45°
5k
4k
3k
53°
37°
25k
24k
7k
74°
16°
7k
5k2
k
82°
8°
4k75°
15°
62( )k+
62( )k–
3k
k10
k
37°
2
53°
2
2k
k
k5
10
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Ejemplo:
Determina el valor de α si es un ángulo agudo y
además se cumple que
tg α = 4 sec 37° − 2 ctg
53°
2
Solución:
Utilizando los triángulos notables se tiene que
sec 37° =
5
4
˄ ctg
53°
2
= 2
Reemplazando:
tg α = 4 ∙
5
4
− 2 ∙ 2 = 5 - 4
tg α = 1 ⇒ α = 45°

1. Si ABCD es un cuadrado y M es punto medio de
AD, calcula el valor de x − y.

A
B
y
x
P
M
D
C

En la figura, si el lado del cuadrado es igual
a 2l; entonces, dado que M es punto medio
de AD se tiene que
AM = MD = l
Entonces:

A
B
y
y
x
P
M
45°
D
C
l l
2l
Del gráfico, el triángulo DMC es notable de
53°
2
, entonces:
x = 90 −
53°
2
⇒ x =
143°
2
Luego, del triángulo MPD se tiene que
x + y + 45°=180° ⇒
143°
2
+y = 135° ⇒ y =
127°
2
Entonces x − y =
143°
2
−
127°
2
= 8°
2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C,
donde A > B. La relación de los catetos es igual
a 23 y además
M = 13 sen A + 6 tg B − 33 ctg
A +B
2
Calcula el valor de M.

Dada que la relación de los catetos es igual
a 23, entonces estos son de la forma 23 k
y k: además, como A>B, entonces el cate-
to opuesto a A es el de mayor valor que es
igual a 23 k. Graficamos el triángulo ABC.
B
c
k C
A
23k
Por teorema de Pitágoras:
c
2
= k
2
+ (2
3k)
2
c
=
13k
Entonces:
13 sen A = 13 ∙
23 k
13 k
= 23
6 tg B = 6 ∙
k
23 k
=
3
3
= 3
33 ctg
A+B
2
= 33 ctg
90°
2
= 33 ctg 45°= 33
Reemplazando en M se tiene:
M = 23 + 3 − 33 ⇒ M = 0

3. Si tg x =
1
4
, halla el valor de AC .
C
B
x74°
50
A

En el gráfico, se traza la altura BH tal que
C
B
H
x74°
50
14
A
192
48
Por la proporcionalidad de triángulo de
74° y 16°, ademas dado que
tg x =
1
4
, entonces AH = 14 y AH = 192
Por lo tanto, AC = 14 + 192 = 206
11
Trigonometría
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 1

Resoluci?n de tri?ngulos rect?ngulos
Resolución de triángulos rectángulos
Para resolver un triángulo rectángulo es necesa-
rio conocer un lado y uno de sus ángulos agudos,
para esto existen 3 casos que dependen del lado
que se conozca.
Entonces en un triángulo rectángulo:
a
y
x
θ
1° caso
Cuando se
conoce a y θ
a
a sen θ
a cos θ
θ
2° caso
Cuando se
conoce x y θ
x
x tg θ
x sec θ
θ
3° caso
Cuando se
conoce y y θ
y
y csc θ
y ctg θ
θ
Ejemplo:
En el gráfico, calcula AB en función de x, α y
β si CH = x
A
H
C
B
a
b
Una pareja de esposos decide ir de excursión a
una montaña. Suben la cuesta y llegan a la cima
justo antes del mediodía. La mujer se siente de-
masiado cansada para poder bajar al otro lado
de la montaña, aun así, logran descender para la
hora del almuerzo. Si dicha montaña tiene una
altura H y el ángulo que forman al subir es α y al
bajar es β, ¿cuál fue el recorrido hecho al bajar la
montaña? Si α<β,
¿recorrieron más al subir
o al bajar?
Solución:
En el triángulo rectángulo CHA, tenemos que
CA = x ctg α.
Luego en el triángulo rectángulo ABC, tenemos
que AB = x ctg α sec β.
A
H
C
B
x ctg a
x
x ctg a
sec
b
a
b
Por lo tanto, AB en función de x, α y β es igual a
x ctg α sec β.
Área de una región triangular

a
b
θ
A = ab ∙ sen θ
1
2
Demostración:
Trazamos la altura relativa al lado de medida b,
entonces se tiene en el gráfico que:
θ
b
a
a sen θ
Entonces dado que la figura es un triángulo, su
área se determina de la siguiente forma:
A = =
Base ∙ Altura
2
b ∙ a sen θ
2
Por lo tanto:
A = ab ∙ sen θ
1
2
C
B
H
A
a b
12
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Área de una región cuadrangular
A = ab ∙ sen θ
1
2
a
b
θ
Demostración:
En el gráfico:
180°– θ
A
3
x
m
y
180°– θ
θ
θ
n
A
4
A
1
A
2
Luego se tiene que:
A
Total
= A
1
+ A
2
+ A
3
+ A
4
Y además m + n = a ^ x + y = b
Por propiedad del área de la región triangular,
tenemos que:
A
Total
=
1
2
mx ∙ sen θ +
1
2
nx ∙ sen (180°- θ)+

1
2
ny ∙ sen θ +
1
2
my ∙ sen (180°− θ)
A
Total
=
1
2
mx ∙ sen θ +
1
2
nx ∙ sen θ +

1
2
ny ∙ sen θ +
1
2
my ∙ sen θ
A
Total
=
1
2
m ∙ (x + y) sen θ +
1
2
n ∙ (x + y) sen θ
A
Total
=
1
2
(m + n) (x + y) ∙ sen θ
Del gráfico m+n = a ^ x + y = b, por lo tanto:
A
Total
= ab ∙ sen θ
1
2

1. Calcula el área de la región cuadrangular ABCD,
en función de x, 2α y 2β.

B
A
C
D
x
b
a

En el gráfico
B
A
C
D
x cos
b
x sen
b x sen
a
x cos a
x
b
a
Del gráfico se tiene que
A
Total
= A
ABC
+ A
ADC
…. (I)
Además
A
ADC
=
x sen α ∙ x cos α
2

=
2 sen α cos α ∙ x
2
4
A
ABC
=
x sen β ∙ x cos β
2

=
2 sen β cos β ∙ x
2
4
Recordando que sen 2θ = 2 sen θ cos θ, se tiene
A
ADC
=
x
2
sen 2α
4

/ A
ABC
=
x
2
sen 2β
4
Entonces reemplazando en (I)
A
Total
=
x
2
sen 2α
4

+
x
2
sen 2β
4
A
Total
=
x
2
4

(sen 2α + sen 2β)
2. En la figura, si r y R son los radios de las
circunferencias C
1
y C
2
. Calcula O
2
H en función
de r, R y β, si O
2
H ⊥ O
1
Q
0
1
H0
2
C
1T
C
2
b
P Q

En el gráfico se tiene:
0
1
0
2
C
1T
(R+r) cos(b−90°)
R
r
C
2
P Q
H
Dado que P y Q son puntos de tangencia
desde el centro de las circunferencias se trá-
zan a dichos puntos líneas perpendiculares,
luego se traza
O
2
H
perpendicular a O
1
Q .
Del triángulo O
1
O
2
H se tiene que O
2
H = (R
+ r) cos (β − 90°), luego cos (β − 90°) = cos
(90° − β) = cos β
Por lo tanto O
2
H = (R + r) cos β.
13
Trigonometría
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Unidad 1

?ngulos verticales y horizontales
Ángulo vertical
Los ángulos verticales se determinan en el plano
vertical, los cuales, respecto de un observador,
pueden ser de elevación, depresión y observación.
Ángulo de elevación
Es el ángulo que se forma por la línea horizontal y
la línea visual cuando se observa un objeto hacia
arriba.
a
Objeto
Línea visual
Observador Tierra - suelo
Línea horizontal
Ángulo de depresión
Es el ángulo que se forma por la línea horizontal y
la línea visual cuando se observa un objeto hacia
abajo.
b
Objeto
Línea horizontal
Línea visual
Observador
Tierra - suelo
Ángulo de observación
Es el ángulo que se forma al observar el objeto en
su totalidad.
δ
Objeto
Línea visual
Línea visual
Observador
Tierra - suelo
Un joven pescador llamado Mario, al salir tem-
prano a mar abierto, había perdido su rumbo y
no sabía qué dirección tomar para poder regre-
sar, pues, se le había hecho tarde. Sin embar-
go, al revisar un mapa que tenía guardado en
su bote, supo cuál dirección seguir para llegar
al puerto el cual se encuentra ubicado hacia el
este; utilizando solamente la brújula y la puesta
del Sol.
¿Es necesario la brújula para llegar al puerto? ¿Si
fuera de noche Mario podría llegar al puerto?
Ángulo horizontal
Son los ángulos que se determinada en el plano
horizontal.
Rosa náutica
Es una representación gráfica de la brújula, tiene
forma circular y tiene marcados los rumbos Norte,
Sur, Este y Oeste; a partir de ellos se genera un
esquema que se divide en 32 partes iguales, en
donde cada parte posee un ángulo de 11°15’.
N
S
O E
Ese
SE
SSESSO
SO
OSO
ONO
NO
NNO MNE
NE
ENE
Dirección
Se determina respecto de un observador sobre
un punto cualquiera. Esta puede darse de dos
formas, por ejemplo:
? El punto A se encuentra a 20° del Oeste hacia
el Norte del punto O (O20°N).
? El punto O se encuentra a 70° del Este hacia el
Sur del punto A (E70°S).
Las dos proposiciones repiten la idea, solo que las
indicaciones son respecto al punto referente.
Rumbo
Es la dirección, la cual está determinada por el
ángulo que indica la dirección magnética Norte-
Sur y la línea de observación hacia el objeto.
Nota
De acuerdo a las definiciones se puede decir que
todo rumbo es una dirección, pero no toda direc-
ción es un rumbo.
14
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Representación del rumbo y la dirección
Tenemos que
N
75°
15°
S
O E
Rumbo: N75°E
Dirección: E15°N o N75°E
7°
83°
N
S
O E
Rumbo: N83°O
Dirección: O7°N o N83°O
N
50°
40°
S
O E
Rumbo: S50°E
Dirección: E40°S o S50°E
60°
30°
N
S
O E
Rumbo: S60°O
Dirección: O30°S o S60°O
En los gráficos se puede ver que el rumbo es úni-
co, mientras que la dirección toma dos repre-
sentaciones, donde una de ellas coincide con el
rumbo.
Ejercicios resueltos

1. Un atleta que práctica el deporte de
lanzamiento de jabalina, en una de sus
prácticas, lanza la jabalina con un ángulo de
elevación de α respecto de su línea visual. Si la
jabalina después de alcanzar su altura máxima
desciende con un ángulo de depresión θ,
determina a que distancia aterrizo con respecto
a la posición del atleta si la altura máxima a la
que llego fue de H y la altura del atleta es h,
además se sabe que la jabalina en su ascenso y
descenso se movió en línea recta.
Interpretamos el problema de manera
grafica:
P
H
h
S
Q' R
Q
P'
θ
a
Del grafico tenemos que:
S: Punto donde la jabalina empieza a
descender.
R: Es el punto donde la jabalina cae.
Luego, dividimos el grafico en dos triángu-
los los cuales son:
P Q
Q´
S
S
H H ctg a
θ
θ
a
H+h
R
(H+h) ctg θ
Donde por Resolución de triángulos rec-
tángulos tenemos que:
PQ =H ctg α ˄ Q'R =(H+h) ctg θ
Además, se cumple PQ = P'Q' y P'R' = P'Q'
+ Q'R , entonces
P'R = P'Q' +Q'R = PQ + Q'R = H ctg α +
(H+h) ctg θ
P'R = H(ctg α +ctg θ) + h ctg θ
Por lo tanto, la jabalina aterrizó con respec-
to a la posición del atleta con una distancia
de H (ctg α +ctg θ) + h ctg θ
2. Un barco se encuentra perdido en alta mar. Si
al momento de comunicarse con una central
de ayuda esta le da las siguientes indicaciones
para que logre llegar a tierra; dirigirse con
rumbo N37°O unos 21 km y luego cambiar
el rumbo a S53°O unos 3 km, determina la
distancia mínima a la que se encuentran de
tierra y halla el rumbo que debieron tomar.

Realizamos la gráfica:
N
N
E
O
x
O
B
3 km
21 km
A
a
E
O
S
S
37°53°
Luego tenemos el triángulo rectángulo OAB.
x
3 km
21 km
B
A
O
a

Luego del grafico tenemos que el rumbo
que debieron tomar es
N(37°+ α)O ≡ N45°O
Por lo tanto, la distancia mínima es de 15
2 km y el rumbo que debieron tomar es
N45°O.
Dado que los ejes
coordenados
Este-Oeste son para-
lelos tenemos que
∢OAB = 53° + 37° = 90°
Por T. de Pitágoras:
21
2
+ 3
2
= x
2
⇒ x = 15
2
Dado que la proporción
de los lados es de 1 a 7 es
el triángulo notable de
8° y 82°, entonces α = 8°.
15
Trigonometría
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Unidad 1

UNIDAD
Educación Secundaria
2
TRIGONOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo
16
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Reducci?n al primer cuadrante
Ángulos en posición normal
Es un ángulo trigonométrico ubicado en el plano
cartesiano, cuyo lado inicial se encuentra conteni-
do en el eje de las abscisas; su vértice, en el origen
de coordenadas y su lado terminal se puede ubi-
car en cualquier cuadrante o semi eje del plano.
Lado inicial
Lado terminalP(x;y)
IC
IIC
Y
X
IIIC IVC
a
Razones trigonométricas de ángulos en
posición normal
Para determinar las razones trigonométricas de
un ángulo en posición normal, es necesario cono-
ce algún punto que pertenezca a su lado termi-
nal, como se muestra en la figura:
χ
θ
Y
y
r
P(x;y)
X
r = x
2
+ y
2
sen θ =
y
r
ctg θ =
x
y
cos θ =
x
r
sec θ =
r
x
tg θ =
y
x
csc θ =
r
y
Ángulos cuadrantales
Son los ángulos en posición normal, cuyo lado
terminal se encuentra en alguno de los semi ejes
coordenados, cuyas razones son las siguientes
Los alumnos del colegio Riemann hicieron un bra-
zo robótico para la feria de ciencias de dicha insti-
tución. Entre los aspectos que se pueden resaltar,
se encuentra la exposición hecha por el líder del
grupo; el cual explicó que dicho brazo puede girar
ángulos que superan la vuelta cuya utilidad es el
rango de alcance sobre su eje e hizo una demos-
tración, al girar el brazo los siguientes ángulos 30°;
150°; 390°; 870° ¿será necesario hacer giros cuyos
ángulos sean mayores a una vuelta? ¿existe alguna
relación entre los ángulos con respecto a sus razo-
nes trigonométricas?
R.T 0° 90° 180° 270° 360°
sen
0 1 0 −1 0
cos 1 0 −1 0 1
tg 0 N.D 0 N.D 0
ctg N.D 0 N.D 0 N.D
sec 1 N.D −1 N.D 1
csc N.D 1 N.D −1 N.DSignos de las razones trigonométricas
El signo que toma las razones trigonométricas
de un ángulo, depende de a qué cuadrante
pertenezca dicho ángulo.
A continuación, analizaremos los posibles
cuadrantes a los que pertenece un ángulo α.
1. Si α ∈ I C, entonces todas las razones son positivas.
2. Si α ∈ II C, entonces solo las razones sen y csc
son positivas, las demás son negativas.
3. Si α ∈ III C, entonces solo las razones tg y ctg
son positivas, las demás son negativas.
4. Si α ∈ VI C, entonces solo las razones cos y sec
son positivas, las demás son negativas.
Ejemplo:
Si P (−2 ; 5) es un punto del lado final del
ángulo en posición normal γ, determina el
valor de A = sen γ ∙ cos γ +tg γ.
Solución:
Calculando el radio vector del punto P:
r = (−2)
2
+5
2
= 29
Luego, se tiene x = −2, y = 5 ˄ r = 29
Entonces en A se tiene:
A =
29
5
∙
29
−2
+
5
−2
= −
10
29
−
5
2
A = −
165
58
17
Trigonometría
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Unidad 2

Reducción al primer cuadrante
Toda razón trigonométrica de cualquier ángulo
trigonométrico puede ser relacionada a la razón
trigonométrica de un ángulo que pertenezca al
primer cuadrante. A esta relación se le llama re-
ducir un ángulo al primer cuadrante.
Dependiendo del ángulo tenemos:
1. Para ángulos positivos menores a 360°
Para reducir un ángulo positivo al primer
cuadrante menor que 360°, dicha acción va a
depender de cómo se expresa dicho ángulo.
a. Usando los cuadrantales 90° y 270°
Un ángulo, dependiendo del cuadrante, se
puede expresar de las siguientes formas:
α = 90° + xα = 270° + xα = 270° − x
Donde x es agudo, entonces se cumple que
RT = ± Co − RT (x)
90° + x
270° ± x
b. Usando los cuadrantales 180° y 360°
Un ángulo, dependiendo del cuadrante, se
puede expresar de las siguientes formas:
α = 180° − xα = 180° + xα = 360° − x
Donde x es agudo, entonces se cumple que
RT = ± RT (x)
180° ± x
360° − x
En ambos casos el signo depende del
cuadrante al que pertenece el ángulo inicial
y de su R.T.
2. Para ángulos negativos
En este caso tenemos que
sen (−α) = − sen α
tg (−α) = − tg α
sec (−α) = sec α
cos (−α) = cos α
ctg (−α) = − ctg α
csc (−α) = − csc α
3. Para ángulos mayores que 360°
Si α > 360° se cumple que
α = 360° ∙ n+θ ⇒ RT (α) = RT (θ)
Donde n ∈ N.
Ejemplo:
Calcula el valor de
P =
cos(180°n+37°) − tg(360°n − 45°)
2
si n ≥ 3, n es impar.
Solución:
Para ángulos mayores que 360°:
tg (360°n − 45°) = tg (−45°) = −tg 45° = −1
Dado que n es impar, tenemos que puede ser de
la forma n = 2k + 1 con k > 1, entonces:
cos(180°n + 37°) = cos[180°(2k + 1) + 37°]
cos(180°n + 37°) = cos(360°k + 180°+ 37°)
cos(180°n + 37°) = cos(180° + 37°) = −cos 37°
cos(180°n + 37°) = −
4
5
Reemplazando en P:
P = =
2 2
4
5
− − (−1)
1
5
⇒ P =
1
10
1. Del gráfico, calcula sec β.
Y
X
(-3;3k)
(2k–1; 4k+1)
b
Del grafico se cumple que
2k − 1
− 3
=
4k + 1
3k
⇒ 3k ∙ (2k − 1) = −3 ∙ (4k + 1)
6k
2
− 3k = − 12k − 3 ⇒ 6k
2
+ 9k + 3 = 0
Factorizando se tiene:
3(k + 1)(2k + 1) = 0 ⇒ k= −1 ˄ k = −
1
2
Reemplazando los valores de k en los
puntos, obtenemos:
Para k = −1
(−3; 3k) = (−3; −3)
(2k −1; 4k + 1) = (−3; −3)
Luego, los puntos son iguales, lo cual no es
posible dada la grafica.
Para k = −
1
2
(−3; 3k) = −3; −
3
2
(2k − 1; 4k + 1) =(−2; − 1)
Entonces, el valor que toma k es −
1
2
.
Para calcular la sec β se necesita el radio vector,
trabajando con el punto (
−2; −1), se tiene
r=
(−2)
2
+ (−1)
2
) = 5
Por lo tanto sec θ = −
5
2
18
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Circunferencia trigonom?trica
Circunferencia trigonométrica (C.T.)
Es una circunferencia que se encuentra en el pla-
no, cuyo centro se ubica en el origen de coorde-
nadas y su radio es la unidad.
θ
(-1;0)
(0;-1)
A=(1;0)
P(x;y)
(0;1)
r=1
rad X
Y
O
Donde:
? P (x; y): Punto extremo del arco AP
? A: Origen de arcos
Razones trigonométricas en la C.T.
Para determinar las razones trigonométricas de
un ángulo en la C.T. este debe de encontrarse en
posición normal, donde los valores de dichas ra-
zones trigonométricas serán:
1. Seno de un arco en la C.T.
Es la ordenada de su punto extremo.
y = sen α
y' = sen β
a
b
B
B’
A
P(x;y)
Q(x';y')
A’
X
Y
O
sena
|senb|
2. Coseno de un arco en la C.T.
Es la abscisa de su punto extremo.
a
b
P(x;y)
AX
B’
B
A’
Y
acos
b||cos
0
P(x';y')
x = cos α
x' = cos β
Los jóvenes del 4
to
año de secundaria fueron pre-
miados con una salida a los juegos mecánicos por
tener un desempeño extraordinario como grupo
en el primer bimestre de clases, si luego de la sali-
da, el profesor de matemáticas les pide que reali-
cen un ensayo, relatando su experiencia en la sali-
da y que asocien algún aspecto de la matemática
con lo que más les llamó la atención, si Brandon
en su ensayo asocia a la ruleta con la circunferen-
cia trigonométrica, donde entre asientos hay una
separación de 30° y el radio de la ruleta mide 1 dm
¿Es correcta la analogía que ha hecho Brandon?
¿Qué coordenadas representa cada asiento?
3. Tangente de un arco en la C.T.
Es la ordenada del punto de intersección entre
la línea tangente al origen de arcos y la prolon-
gación del diámetro que contiene al punto ex-
tremo del arco.
y = tg α
y' = tg β
A’
B’
B
A0
T(1;y)
tgaa
b
|tgb|
S(1;y')
Y
X
4. Cotangente de un arco en la C.T.
Es la abscisa del punto de intersección entre la
línea tangente al punto (0 ; 1) y la prolongación
del diámetro que contiene al punto extremo
del arco.
x = ctg α
x' = ctg β
A’
B’
AX
Y
0
T(x';1) lctgblctga
B
S(x;1)
a
b
5. Secante de un arco en la C.T.
Es la abscisa del punto de intersección entre la
línea tangente al punto extremo y el eje de las
abscisas.
x = sec α
x' = sec β
0
B
B’
Y
T(x';0) S(x; 0) X
lsecbl seca
b
19
Trigonometría
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Unidad 2

6. Cosecante de un arco en la C.T.
Es la ordenada del punto de intersección entre
la línea tangente al punto extremo y el eje de
las ordenadas.

y = csc α
y' = csc β
b
a
lcscbl
csca
B
A’ A
B’
T(0;y')
S(0;y)
Y
X
Respeto a la interpretación de las gráficas se
tiene que
? −1 ≤ sen α ≤ 1
? −1 ≤ cos α ≤ 1
? −∞ < tg α < + ∞
? −∞ < ctg α < + ∞
? sec α ≤ −1 ˅ 1 ≤ sec α
? csc α ≤ −1 ˅ 1 ≤ csc α
Representaciones auxiliares
Verso
El verso de un ángulo α se denota como ver α y se
cumple que
ver α = 1 −cos α , α ∈ R
Coverso
El coverso de un ángulo α se denota como cov α y
se cumple que
cov α = 1 −sen α , α ∈ R
Exsecante
El exsecante de un ángulo α se denota como
exsec α y se cumple que
exsec α = sec α − 1 , α ∈ R −
{(2n+1)
π
2
}
Representación del verso, coverso y exse-
cante en la C.T
Verso
Es el segmento dirigido en el eje X, el cual parte
desde el punto cuya abscisa es el coseno del arco
y termina en el origen de arcos.
0 ≤ ver α ≤ 2
a
A X
Y
0(cos a;0)
vera
Coverso
Es el segmento dirigido en el eje Y, el cual parte
desde el punto cuya ordenada es el seno del arco
y termina en el punto (0 ; 1).
0 ≤ cov α ≤ 2
a
A X
Y
0
(0;sena)
cova
(0;1)
Exsecante
Es el segmento dirigido en el eje X, el cual parte
desde el origen de arcos y termina en el punto
cuya abscisa es la secante del arco.
exsec α ≤ − 2 ˅
0 ≤ exsec α
Y
X
A0
(seca;0)
a
exseca

1. Calcula el área del triángulo PTQ en el gráfico:
a
P0 AQX
Y
T

En el gráfico tenemos:
a
Y
X
QAP0
T
sena
exsecavera

Donde PA = ver α y AQ = exsec α, dado
que posee dirección positiva; entonces,
PQ = PA + AQ = ver α +exsec α
Por lo tanto:
A
∆PTQ
=
sen α ∙ (ver α + exsec α)
2
=
sen α ∙ (sec α − cos α)
2
A
∆PTQ
=
sen α ∙ (tg α ∙ sen α)
2
=
sen
2
α ∙ tg α
2
20
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Identidades trigonom?tricas
Identidades trigonométricas
Una identidad trigonométrica es una igualdad
que vincula, un grupo de razones trigonométricas
y es válida para todo valor donde las razones tri-
gonométricas están definidas.
Identidades trigonométricas fundamentales
Identidades
Pitagóricas Por cociente Recíprocas
sen
2
α+cos
2
α=1tg α =
sen α
cos α
sen α ∙ csc

α=1
1+tg
2
α=sec
2
αctg α =
cos α
sen α
cos α ∙ sec

α=1
1+ctg
2
α=csc
2
α tg α ∙ ctg

α=1
Donde el valor de α depende de que las razones
trigonométricas estén definidas.
Identidades auxiliares
1. sen
4
α+cos
4
α = 1−2sen
2
α cos
2
α ; ∀α ∈ R
2. sen
6
α+cos
6
α = 1−3sen
2
α cos
2
α ; ∀α ∈ R
3. tg α+ctg α = sec

α csc α ; ∀α ≠
kπ
2
, k ∈ Z
4. sec
2
α+csc
2
α = sec
2
α csc
2
α ; ∀α ≠
kπ
2
, k ∈ Z
5. (1 ± sen α ± cos α )
2
=2(1 ± sen α)(1 ± cos α) ; ∀α ∈ R
Tipos de problemas sobre identidades
trigonométricas
Problemas tipo demostración
Los problemas consisten en una igualdad que se
cumple para todos los valores admisibles de la
variable.
Para resolver este tipo de problemas, se debe de
En el instituto Cantor, estudia Joao que está
becado gracias a sus habilidades con las mate-
máticas y por tener una buena empatía con los
demás. El día de ayer, el profesor le hizo un reto
sobre trigonometría, le pidió que hallara los va-
lores de x, para que se cumpliera la siguiente
igualdad:
sen
6
x+cos
6
x = 1 −3sen
2
x cos
2
x
El profesor dijo que dicha igualdad solo se cum-
ple para los ángulos 0; 90; 270 y 360 grados. ¿Será
cierto lo que dice el profesor? ¿Crees que esa igual-
dad es en realidad una propiedad para todo x?
partir de uno de los lados de la igualdad y con las
identidades trigonométricas conocidas trasfor-
mar dicha expresión en su equivalente dado.
Problemas tipo reducción
Consiste en reducir una expresión compleja en
una expresión equivalente simple.
Problemas tipo condicionados
Consiste en reducir una expresión con los datos
que nos proporcione el problema
Problemas tipo eliminación de ángulos
A partir de algunas relaciones de variables con ex-
presiones trigonométricas que nos proporciona el
problema, debemos encontrar una relación don-
de el ángulo no aparezca.
Ejemplo:
Demuestra que
sec
2
α + csc
2
α = sec
2
α csc
2
α
Solución:
Partiendo de la expresión sec
2
α + csc
2
α, expre-
sando las razones trigonométricas en función de
seno y coseno:
sec
2
α + csc
2
α =
1
cos
2
α
+
1
sen
2
α
sec
2
α + csc
2
α =
sen
2
α + cos
2
α
sen
2
α ∙ cos
2
α
Por las identidades fundamentales se tiene:
sec
2
α + csc
2
α =
1
sen
2
α ∙ cos
2
α
=
1
sen
2
α ∙
1
cos
2
α
sec
2
α + csc
2
α = sec
2
α ∙ csc
2
α
Por lo tanto, sec
2
α + csc
2
α = sec
2
α csc
2
α
21
Trigonometría
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Unidad 2

1. Si x ∈ IV C, reduce la siguiente expresión:
E =
2(1 + senx)
1 + cosx

Luego, determina el valor de P=E+csc x+ctg x.
Multiplicamos tanto al numerador como
al denominador de la fracción por el factor
(1 + cos x) de la siguiente manera:
E =
2(1 + sen x) (1 + cos x)
(1 − cos x) (1 + cos x)

Por diferencia de cuadrados en el denomi-
nador se tiene:
E =
2(1 + sen x) (1 + cos x)
1 − cos
2
x
=
(1 + sen x + cos x)
2
sen
2
x

Dado que x ∈ IV C, entonces se tiene que
cos x > 0 ∧ sen x < 0.
Luego, se cumple que
0 < 1 + sen x + cos x
Resolviendo en E obtenemos:
E =
|1 + sen x + cos x|
|sen x|
Dado que 0 < 1 + sen x + cos x ˄ sen x < 0,
entonces
E =
1 + sen x + cos x
−sen x
=
1
−sen x
+
sen x
−sen x
+
cos x
−sen x
E = − csc x − 1 − ctg x
Entonces
P = E + csc x + ctg x = −csc x − 1 − ctg x
+ csc x + ctg x
P = −1
2. Si tg α + ctg α = m, expresa en términos de m
H = (sec x + csc x )
2
Por las identidades auxiliares tenemos que
tg α + ctg α= sec α csc α = m… (1)
Resolviendo H
H=(sec α + csc α)
2
= sec
2
α + 2 sec α csc α
+ csc
2
α
H = sec
2
α csc
2
α + 2 sec α csc α
Reemplazando (1) en H se tiene:
H = m
2
+ 2m
3. Si se cumple que tg θ + ctg θ = 3, determina el
valor de:
U =
sen
6
θ + cos
6
θ
sen
4
θ + cos
4
θ
Por identidades auxiliares se cumple:
tg θ + ctg θ = sec θ csc θ = 3
1
sen

θ
∙
1
cos

θ
= 3 ⇒ sen θ cos θ =
1
3
… (1)
Resolviendo U
U =
1 − 3 sen
2
θ cos
2
θ
1 − 2 sen
2
θ cos
2
θ
Reemplazando (1) en U se tiene:
U =
1 − 3
(
1
3
)
2
1 − 2
(
1
3
)
2
=
1 − 3 ∙
1
9
1 − 2 ∙
1
9
=
1 −
1
3
1 −
2
9
=
2
3
7
9
U =
6
7

4. Se tiene el siguiente triangulo rectángulo:
B
H
CA
Demuestra que AB ∙ BC = AC ∙ BH , usando
identidades trigonométricas.
Como se puede ver, esta es una de las pro-
piedades de relaciones métricas en trián-
gulos rectángulos
Para demostrar esta propiedad usaremos
Resolución de triángulos rectángulos.
En el gráfico, si BH = a tenemos que
B
H
CA
a
b
b
a csc b
a ctg b a tg b
a sec b
Luego, del grafico se tiene AB = a csc β ˄ BC
= a sec β
Entonces
AB ∙ BC = a csc β ∙ a sec β = a
2
csc β sec β
AB ∙ BC = a
2
(tg β +ctg β) = a(a tg β + a ctg β)
Además AC = a tg β + a ctg β ˄ BH = a
Por lo tanto AB ∙ BC = AC ∙ BH
22
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Razones trigonom?tricas de ?ngulos compuestos
Identidades trigonométricas de ángulos
compuestos
Son identidades que relacionan las razones tri-
gonométricas de la suma o diferencia de 2 án-
gulos con las razones trigonométricas de dichos
ángulos.
Razones trigonométricas de la suma de
dos ángulos
Si tenemos los ángulos α y β, se cumple que
sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos (α + β) = cos α cos β − sen α sen β
tg (α + β) =
tg α + tg β
1 − tg α ∙ tg β
Ejemplo:
Calcula el valor de tg 38°
Solución:
Para calcular el valor de tg 38°, utilizaremos la tan-
gente de la suma de dos ángulos, donde α = 8° y
β = 30°, entonces:
tg 38° = tg (30°+ 8°) =
tg 30° + tg 8°
1 − tg 30° ∙ tg 8°
tg 38° =
3
3
3
3
73 + 3
21
21 − 3
21
1
7
1
7
+
∙
=
1 −
tg 38° =
73 + 3
21 − 3
(73 + 3) ∙ (21 + 3)
(21 − 3) ∙ (21 + 3)
=
tg 38° =
150 3 + 84
438
Juan Carlos, quien está en la búsqueda de ser
el mejor esquiador de su país y un buen líder
para sus alumnos, se fue a la montaña más alta
para esquiar. Estando en el trayecto hacia la
montaña, se dio cuenta que cuando avanzó la
tercera parte del recorrido total, el ángulo for-
mado entre su dirección y una línea horizontal
era el doble y que, si el ángulo fuera otro, de
la misma manera, iba a poder establecer una
relación entre ambos ángulos. ¿Lo que dice
Juan Carlos es que sen(α+β)=sen α cos β + cos
α senβ? ¿valdrá sen(α+β)=sen α+sen β?
Razones trigonométricas de la diferencia
de dos ángulos
Si tenemos los ángulos α y β, se cumple que
sen (α − β) = sen α cos β − cos α sen β
cos (α − β) = cos α cos β + sen α sen β
tg (α − β) =
tg α − tg β
1 + tg α ∙ tg β
Ejemplo:
Calcula el valor de cos 1°.
Solución:
Para calcular el valor de cos 1°, utilizaremos el co-
seno de la resta de dos ángulos, donde α = 16° y
β = 15°, entonces:
cos (16 °− 15°) = cos 16° cos 15° + sen 16° sen 15°
cos 1° =
24
25
∙
6 + 2
4
+
7
25
∙
6 − 2
4
cos 1° =
246 + 242
100
+
76 − 72
100

cos 1° =
316 + 172
100
Teorema
Si A y B son constantes reales y x una variable,
entonces:
A sen x + B cos x = A
2
+ B
2
sen (x + α)
A sen x − B cos x = A
2
+ B
2
sen (x − α)
Sí y solo si
cos α =
A
A
2
+ B
2
; sen α =
B
A
2
+ B
2

23
Trigonometría
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 2

Corolario
Si A y B son constantes reales y x una variable,
entonces:
−A
2
+ B
2
≤ Asenx + Bcosx ≤ A
2
+ B
2

Donde
R
min
=−A
2
+ B
2
; R
max
= A
2
+ B
2

R
min
: mínimo valor de la expresión Asenx+Bcosx
R
max
: máximo valor de la expresión Asenx+Bcosx
Ejemplo:
Si 3 sen x + 5 cos x = k
1
y 7 sen x − 8 cos x = k
2
,
determina el máximo valor de k
2
2
+ k
2
1
Solución:
Para calcular el máximo valor de k
2
2
+ k
2
1
, se utili-
zara el corolario anterior.
? Para k
1

R
max
= 3
2
+ 5
2
⇒ R
max
= 34
k
1
= 34 ⇒ k
2
1
= 34
? Para k
2

R
max
= 7
2
+ 8
2
⇒ R
max
= 113
k
2
= 113 ⇒ k
2
2
= 113
Por último tenemos que
k
2
2
+ k
2
1
= 113 + 34 = 147
Propiedades adicionales
1. Si A + B + C = nπ; n ∈ Z, se cumple
tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C
ctg A ctg B + ctg B ctg C + ctg A ctg C = 1
2. Si A + B + C = (2n+1)
π
2
; n ∈ Z, se cumple
ctg A + ctg B + ctg C = ctg A ctg B ctg C
tg A tg B + tg B tg C + tg A tg C = 1
Ejemplo:
En un triángulo ABC se sabe que tg A = 3 y
tg B = 5, calcula el valor de tg C.
Solución:
Dado que ABC es un triángulo, la suma de sus án-
gulos internos es igual a 180°:
A + B + C = 180°
Entonces, se usa la propiedad adicional 1 donde
n = 1
Luego, reemplazando en la propiedad tenemos que
3 + 5 + tg C = 3 ∙ 5 ∙ tg C
8 + tg C = 15 tg C ⇒ tg C =
8
14
=
4
7
Por lo tanto, tg C =
4
7

1. Si tg (α + β − θ) = 4 y además tg (α + β) = 2,
calcula el valor de tg θ y luego determina a que
cuadrantes pertenece θ.
Por tangente de la diferencia de ángulos se
tiene
tg (α + β − θ) =
tg (α + β) − tg θ
1 + tg (α + β) ∙ tg θ
4 =
2 − tg θ
1 + 2 tg θ
⇒ 4 + 8 tg θ = 2 − tg θ
9 tg θ = − 2 ⇒ tg θ = −
2
9
Dado que tg θ < 0, entonces θ ∈ II C ˅ IV C
2. Si α + β + θ = kπ, donde k ∈ Z, determina el
valor de
tg α ∙ tg β ∙ tg θ
Si ctg α −
π
2
+ ctg β −
π
2
+ ctg θ −
π
2
= 3
Dado que α + β + θ = kπ:
α −
π
2
+ β −
π
2
+ θ −
π
2
= kp −
3π
2
=(2k − 3)
π
2
Entonces, se cumple que
ctg α −
π
2
+ ctg β −
π
2
+ ctg θ −
π
2
= ctg α −
π
2
ctg β −
π
2
ctg θ −
π
2
3 = ctg α −
π
2
ctg β −
π
2
ctg θ −
π
2
3 = [−ctg
π
2
− α ] ∙ [−ctg
π
2
− β ] ∙ [−ctg
π
2
− θ]
3 = [− tg α] ∙ [− tg β] ∙ [− tg θ] = − tg α tg β tg θ
tg α tg β tg θ = −3
24
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UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
TRIGONOMETRÍA
3
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2525

Razones trigonométricas de ángulos
múltiples
Son llamados ángulos múltiples aquellas que son
un múltiplo o parte de algún otro ángulo, es decir,
si a es un ángulo, sus ángulos múltiples seran
a
2
;
2a; 3a;…
Razones trigonométricas de ángulos doble, triple
y mitad
a. Razones trigonométricas de ángulo doble
sen 2a = 2 sen a cos a cos 2a = cos
2
a – sen
2
a
tg
tg
tg
2
2
1
2
−
−
−
∈
∙
Propiedades del ángulo doble
1. Fórmulas de degradación
2 cos
2
a = 1 + cos 2a
2 sen
2
a = 1 – cos 2a
2. tg a + ctg a = 2 csc 2a
3. ctg a – tg a = 2 ctg 2a
4. sen
4 4 3
4
1
4
4− − −∈ ∙ ∈cos c os
5. sen
6 6 5
8
3
8
4− − −∈ ∙ ∈cos c os
Ejemplo:
Sicos2
1
5
x=, calcula el valor de sen
4
x + cos
4
x.
Solución:
Por las propiedades del ángulo doble se tiene que
sen x x x
4 4 3
4
1
4
4 1− ∈ −cos c os...()
Luego por la fórmula de degradación para 4x:
2 cos
2
2x = 1 + cos 4x
Reemplazando el dato cos2
1
5
x= tenemos que

2
1
5
1 4
2
25
1 4
4
23
25
2
−
∈
∙
α
θ
β

cos c os
os
x x
c x
Reemplazando cos 4x en (1) se tiene:
sen x x
sen x x
4 4
4 4
3
4
1
4
23
25
52
100
− ∈ ∙ α
− ∈
cos
cos
b. Razones trigonométricas de ángulo triple
sen 3a = 3sen a – 4sen
3
a
cos 3a = 4cos
3
a – 3cos a
tg
tg tg
tg
3
3
1 3
3
2
−
− −
−
∈
∙
∙
Propiedades del ángulo triple
1. sen 3a = sen a(2cos 2a + 1)
2. cos 3a = cos a(2cos 2a – 1)
3. sen 3a = 4sen a ⋅ sen(60° – a) ⋅ sen(60 + a)
4. cos 3a = 4cos a ⋅ cos(60° – a) ⋅ cos(60 + a)
5. tg 3a = tg a ⋅ tg(60° – a) ⋅ tg(60° + a)
Razones trigonom?tricas de ?ngulos m?ltiples
Caroline es una deportista que entrena todos
los días desde las 7:00 a.m. hasta la 1:00 p.m.
porque desea participar en el próximo torneo
internacional de atletismo. Cierto día, durante
su rutina de ejercicios al exterior, se da cuenta
de que a cierta distancia de ella hay un poste;
del cual divisa la parte más alta con un ángulo
que, después de avanzar cierta distancia hacia
este, se duplica.
¿Cómo plantearíamos lo que observó Caroline?
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26

Ejemplo:
Demuestra que:
sen 3a = 4sen a ⋅ sen(60° – a) ⋅ sen(60° + a)
Solución:
Partiendo de la expresión sen 3a, tenemos que:
sen 3a = 3 sen a – 4sen
3
a = sen a (3 – 4 sen
2
a)
sen 3a = sen a (3 – 4sen
2
a)
sen 3a = sen a [3cos
2
a – sen
2
a]
Por diferencia de cuadrados tenemos que:

sen s en sen s en3 3 3a a a a a a= - +( cos )(cos )
Multiplicamos y dividimos por 4

sen s en
sen s en
sen s e
3 4
3
2
3
2
3 4
a a
a a a a
a
=
-+
b
r
r
1
2
3
3
4+
b
r
r
1
2
3
3
=
cos c os
nn s en sena a a a a
3
2
1
2
3
2
1
2
cos c os-
+
b
r
r
1
2
3
3
4
+
b
r
r
1
2
3
3
Luego tenemos que:
• 
3
2
1
2
60 60
3
2
1
2
60
cos c oscos
cos (
a a a a
a a
= - + b = + b
= -
sen sen sen
sen sen++ =a)

•

r - + b r + b
r -
a a a a
a a
cos c oscos
cos

3
2
1
2
60 60
3
2
1
2
sen sen sen
sen seen( )60+ ra
Reemplazando se obtiene la igualdad.
c. Razones trigonométricas de ángulo mitad
El signo ± depende del cuadrante al que
pertenece el ángulo:
a
2
sen
a a
2
1
2
=
-
+
b
r
1
2 3
4cos
cos
cosa a
2
1
2
=
-
+
b
r
1
2 3
4
tg
a a
a2
1
1
=
-
+
b
r
1
2 3
4
R
cos
cos
Propiedades del ángulo mitad
1. tg ctg
a a
a
2 2
2
=
-
+
b
r
1
2
=
-
+
b
r
1
3csc
2. ctg t g t g
a a
a
2 2
2
=
-
+
b
r
1
2
=
-
+
b
r
1
3c
3. Si a ∈ [0; p], se cumple:
a. 2
2
22 2 2 2 2sen
n
n radicales
a
a
=
-
+
b
r
1
2 3 4 4 4 4 4... cos
" "
a =------- +--------
b. 2
2
2 2 2 2 2 2cos ... cos
" "
a
a
n
n radicales
=
-
+
b
r
1
23 3 3 3 3 3
a =------- +--------
3. sen s en
a a
a
2 2
1
=
-
+
b
r
1
2
=
-
+
b
r
1
3 42cos
4. sen s en
a a
a
2 2
1
=
-
+
b
r
1
2
=
-
+
b
r
1
3 42cos
Ejemplo:
Si se cumple que
sen2
2
2 2 2 2
5
4 5
n
a
= - + + +
J
L
K
K
K K
N
P
O
O
O O
Determina el valor de tg (na)
Solución:
Utilizando la fórmula 3.a se tiene que n = 4.
Además, se cumple que cos2
5
4 5
a= y dado que
por la misma propiedad α ∈ [0; p], entonces a =
-53
2
.
Nos piden calcular: tgn tg t g( )a = -
+b
r
1
2
3
4
= +4
53
2
106
tg tg tg106 1 8074 74
24
7
a = a -a =- a = -( )
Por lo tanto, tgn( )a =-
24
7
1. Si tg 2a = 22 y además a ∈ IC, halla el valor de tg a.

Expresamos la tg 2a, en función de tg a
tg
tg
tg
tg
tg
2
2
1
2 2
2
1
2 2
a
a
a
a
a
=
-
+ =
-
Si tg a = x, se tiene la siguiente expresión:
a
=
- a + = -
2
1
2 2 2 2 0
2
2x
x
x x
Utilizamos la fórmula general:
xa
= -= =
a
= -1 1 4 2 2
2 2
1 3
2 2
2
( )( )
Las raíces serán x
1
2
2
=y x
2
= –2, es decir:
tg tga a= - = +
2
2
2
Como a ∈ IC ⇒ tg a > 0 ⇒ tga =
2
2
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27
Trigonometría
Unidad 3

Transformaciones trigonométricas
Una trasformación trigonométrica consiste en
expresar una suma o diferencia de expresiones
trigonométricas en producto o viceversa.
Trasformación de suma o diferencia a productos
sen sen sena =
a = a =
- +
-b
r

b
r

2
2 2
cos
sen sen sena =
a = a =
- +
br

-r

2
2 2
cos
cos cos cos c osa =
a = a =
- +
-b
r

b
r

2
2 2
cos cosa =
a = a =
- + -
br

-r

2
2 2
sen s en
Ejemplo:
Reduce la siguiente expresión:
H
sen s en
sen
a
= - =
= + =
120 4 0
10 50cos
Solución:
Resolviendo el numerador, se tiene:
sen s en sen
sen
120 4 0 2
120 40
2
120 40
2
120
a = a -
a +ab
r

a =ab
r

cos
aa = a - a asen s en402 80 40cos
Por ángulos complementarios se tiene que
cos 80° = sen 10° ∧ sen 40° = cos 50°
Reemplazando se tiene que
H
sen
sen
Ha
= - =
= - =
+ a
2 10 5 0
10 50
2
cos
cos
Trasformación de producto a una suma o
diferencia
2 sen a cos b = sen (a + b) + sen (a – b)
2 sen b cos a = sen (a + b) – sen (a – b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a – b)
2 sen a sen b = cos (a – b) – cos (a + b)
Ejemplo:
Calcula el valor de sena si se cumple que
cos (a + b) = 0,35 y cos (a – b) = 0,24 y además se
tiene el siguiente gráfico:
cos b
1
a
Solución:
Del gráfico se tiene que
cos
cos
cos
cos cos
tg
sen
sen s en cos cos
1
2 2
&
&
a
b
a
a
b
a a b a a b
= =
= =
Aplicando trasformación de producto a suma:
2 sen a = cos(a + b) + cos(a – b)
Reemplazando los datos:
2 sen a = 0,35 + 0,24 ⇒ sen a = 0,295
Transformaciones trigonométricas
Mario es un estudiante hábil en matemática, y
en ocasiones ayuda a su hermana Alexandra a
comprender ciertos conceptos matemáticos.
En una ocasión, Alexandra, le preguntó por el
significado de la siguiente expresión:
sen asen bsen
a b a b
a =
a-
+
b
r

-
+
b
r

2
2 2
cos
¿Cuál crees que haya sido la respuesta de
Mario?, ¿habías visto anteriormente la expre-
sión mostrada?
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28

Propiedades
Si A + B + C = 180°, se cumple:
sen AsenBsen C
A B C
− − ∙
≤
∞
≠

≤
∞
≠

≤
∞
≠

4
2 2 2
cos cos cos
sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A sen B sen C
cos coscosA B C sen
A
sen
B
sen
C
− − ∙
≤
∞
≠

≤
∞
≠

≤
∞
≠

−4
2 2 2
1
cos 2A + cos 2B + cos 2C = –4 cos A cos B cos C – 1
Ejemplo:
En un triángulo ABC, reduce a productos la
expresión:
M
sen Asen Bsen C
A B C
−
∙ ∙
∙ ∙ ≤
2 2 2
1cos coscos
Solución:
Dado que ABC es un triángulo, la suma de sus án-
gulos internos será igual a 180°, entonces se cum-
ple que
sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4senAsenBsenC
cos coscosA B C sen
A
sen
B
sen
C
− − ∙
≤
∞
≠

≤
∞
≠

≤
∞
≠

−4
2 2 2
1
Reemplazando en M:
M
senAsenBsenC
sen
A
sen
B
sen
C
M
−
∙
≤
∞
≠

∙
≤
∞
≠

∙
≤
∞
≠

−

4
4
2 2 2
1 1
4 2ssen
A A
sen
B B
sen
C
2 2
2
2 2
2
2
∙
≤
∞
≠

∙
≤
∞
≠

∙
≤
∞
≠

∙
≤
∞
≠

∙
≤
∞
≠
cos c os

∙
≤
∞
≠

∙
≤
∞
≠

∙
≤
∞
≠

∙
≤
∞
≠

−
∙
≤
cos
cos
C
sen
A
sen
B
sen
C
M
A
2
4
2 2 2
8
2
∞∞
≠

∙
≤
∞
≠

∙
≤
∞
≠

cos cos
B C
2 2
Propiedades adicionales
1. sen
2
x – sen
2
y = sen (x + y) sen (x – y)
2. cos
2
x – sen
2
y = cos (x + y) cos (x – y)
3. Suma de senos cuyos ángulos están en progre-
sión aritmética:
sen k r
sen
nr
sen
r
sen
P U
k
n
[ ( ) ]− ∙≤ ∞
≠

≠

∙≠

∞
1
2
2
2
1
4. Suma de cosenos cuyos ángulos están en pro-
gresión aritmética:
cos[( )] c os− ∙≤ ∞
≠

≠

∙≠

∞
k r
sen
nr
sen
r
P U
k
n
1
2
2
2
1
Donde:
n: Cantidad de términos de la sumatoria.
r: Razón de la progresión aritmética de los ángulos.
P: Primer ángulo de la serie.
U: Último ángulo de la serie.
1. Calcula el valor de:
H = senx + sen3x + ... + sen31x
Si x = 11,25°

Utilizamos la suma de senos, cuyos ángulos
están en progresión aritmética en H.
Para H tenemos que
n = 16 ; r = 2x ; P = x ; U = 31x
Reemplazando tenemos que
H
sen
x
sen
x
sen
x x
H
sen x
sen x
−
∙≤
∞
≠

≤
∞
≠

∙
≤
∞
≠

− ∙
162
2
2
2
31
2
16
ssen x16
Además, por dato tenemos que x = 11,25°.
Entonces reemplazando en la expresión te-
nemos que
H
sen
sen
sen
H
sen
sen
−
∙ ≤
≤
∙ ∙ ≤
−
≤
≤
( , )
,
( , )
,
16 1125
1125
16 1125
180
1125
∙∙ ≤
−
≤
∙
−
sen
H
sen
H
180
0
1125
0
0
,
Por lo tanto, el valor de H es igual a 0.
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29
Trigonometría
Unidad 3

Triángulos oblicuángulos
Son los triángulos cuyos ángulos interiores son
todos diferentes a 90°.
Solución de triángulos oblicuángulos
Para la solución de un triángulo oblicuángulo
existen propiedades que relacionan a las razones
trigonométricas de los ángulos interiores de los
triángulos y sus lados.
1. Ley de seno
En todo triangulo se cumple que
R
A C
B
a
b
c
a
sen A
b
senB
c
sen C
R= = =2
Donde:
R: Circunradio
2. Ley de cosenos
En todo triangulo ABC se cumple lo siguiente
cosa b c bc A2
2 2 2
=+-
Bcosb a c ac2
2 2 2
=+-
cosc a b ab C2
2 2 2
=+-
3. Ley de las proyecciones
En todo triangulo ABC se cumple lo siguiente:
a = b cos C + c cos B
b = a cos C + c cos A
c = a cos B + b cos A
4. Ley de tangentes
En todo triangulo ABC se cumple que:
a b
a b
g
A B
g
A B
a
=
-
a+
b
r

=+
b
r

t
t
2
2
Elementos auxiliares de un triángulo
Calculamos utilizando expresiones trigonométri-
cas el valor de la bisectriz interior, y exterior, inra-
dio y exradio de un triángulo relativo a cada uno
de sus lados.
1. Bisectriz
a. Bisectriz interior
A
C
b
c
V
a
D B
A
2
A
2
V
bc
b c
A
a
a
=
-
+
b
r

2
2
cos
Donde:
V
a
es la bisectriz inte-
rior relativa al lado a.
Análogamente para las bisectrices interiores
relativas a los lados b y c.
V
ac
a c
B
b
a
=
-
+
b
r

2
2
cos V
ab
a b
C
C
a
=
-
+
b
r

2
2
cos
b. Bisectriz exterior
A
C
b
a
c
DB
90° –
A
2
90° –
A
2V
a
*
V
bc
b c
sen
A
a
*
a
=
-
+
b
r

2
2
Donde:
V
a
*
es la bisectriz exte-
rior relativa al lado a.
Resolución de triángulos oblicuángulos
Juan, el profesor de atletismo, este año está dise-
ñando una pista circular con la finalidad que sus
alumnos tengan un buen equilibrio en las olimpia-
das interescolares. Al diseñar está pista circular, se da
cuenta que si logra inscribir un triángulo ABC con un
ángulo conocido (supongamos C) y si llega a obte-
ner el lado que se le opone a dicho ángulo, entonces
logrará encontrar el radio de la circunferencia más
adecuado para la pista de atletismo. ¿Habrá otra
manera de obtener el radio de dicha circunferencia?
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30

Análogamente para las bisectrices relativas a
los lados b y c:
V
ac
a c
sen
B
b
*
−
∙
≤
∞
≠

2
2
V
ab
a b
sen
C
c
*
−
∙
≤
∞
≠

2
2
2. Mediana
C
b
c
m
a
B
A
4 2
2 2 2
m b c bc A
a
− ∙ ∙ cos
Donde:
m
a
es la mediana relativa
al lado a.
Análogamente para las medianas relativas a los
lados b y c:
4 2
2 2 2
m a c ac B
b
− ∙ ∙ cos 4 2
2 2 2
m a b ab C
c
− ∙ ∙ cos
3. Inradio
B
A Cb
r
c a
r pa tg
A
− ∙
≤
∞
≠

( )
2
Donde:
p es el semi perí-
metro, también se
cumple:
r pb tg
B
− ∙
≤
∞
≠

( )
2
r pc tg
C
− ∙
≤
∞
≠

( )
2
4. Exradio
A B
C
a
A/2
A/2 r
a
H
O
q
r qtg
A
a
−
∙
≤
∞
≠

2
Donde:
r
a
es el exradio relati-
va al lado a.
Análogamente para los exradios interiores rela-
tivas a los lados b y c:
r qtg
B
−
∙
≤
∞
≠

2
r qtg
C
−
∙
≤
∞
≠

2
1. En un triángulo ABC de lados a, b y c se tiene
que A – C =
p
2
y, además
c
a
=
1
7
,
Calcula el valor del ángulo B.

Analizando los datos tenemos que
c
a
c k a k− ∙ − ≤ −
1
7
7
Por ley de tangentes:
7
7
2
2
2
6
8
4
2
k k
k k
g
g
A C
k
k
g
g
A C
−
∙
≤
∞
≠

∙∞
≠

∞
≠

∙∞
≠
t
t
t
t

∙∞
≠

≤
∙ ≤
tg
A C
A C
2
4
3
106
Dado que A ,B y C son ángulos de un trián-
gulo, entonces:
A + B + C = 180° ⇒ B + 106° = 180° ⇒ B = 74°
2. Sean a, b y c lados de un triángulos ABC de
tal manera que c, b, a forman una progresión
geométrica de razón k > 1. Si la bisectriz exterior
relativa al lado a es igual a c, halla cos A en
función de k.

Del problema tenemos que c, b, a es una P.G
de razón k > 1 entonces b = ck ∧ a = ck
2
.
Además V
a
*
= c, reemplazando en la fór-
mula de la bisectriz exterior tenemos que:
C
ckc
ckc
sen
A c k
c k
sen
A
−
∙
≤
∞
≠

≤
∞
≠

2
2
1
2
1 2( )
Dado que c > 0 y k > 1; (k – 1 > 0), entonces
|c(k – 1)| = c(k – 1), luego:
1
2
1 2 2
1
2
−
∙
≤
∞
≠

≤
∞
≠

−
∙ck
c k
sen
A
sen
A k
k( )
Usando identidad del ángulo doble.
cos c os
cos
A s en
A
A
k
k
A
k k
k
− ∙
≤
∞
≠

∙
∙≤
∞
≠

−

1 2
2
1 2
1
2
2 1
2
2
2
2
2
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31
Trigonometría
Unidad 3

Funciones trigonométricas
Son las funciones cuya regla de correspondencia
posee alguna razón trigonométrica.
Tipos de funciones
a. Función seno
Se define de la siguiente manera:
f = {(x; y) ∈ R
2
/ y = sen x}
Gráfica de la función seno
3p
2
5p
2
–p
2
p
2
–p p
2p
X
1
Y
• Dom f = R; Ran f = [–1; 1]
• Periodo: T = 2p
• f es impar
b. Función coseno
Se define de la siguiente manera:
f = {(x; y) ∈ R
2
/ y = cos x}
Gráfica de la función coseno
3p
2
5p
2
–p
2
p
2
–p p
2p
X
1
–1
Y
• Dom f = R; Ran f = [–1; 1]
• Periodo: T = 2p
• f es par
c. Función tangente
Se define de la siguiente manera:
f = {(x; y) ∈ R
2
/ y = tg x}
Gráfica de la función tangente
3p
2
5p
2
–p
2
p
2
p
2p
X
Y
0
T = p
•
, ,Dom f k k Ranf2 1
2
R Z R!
r
= + =-^ h( 2
• Periodo: T = p
• f es impar
d. Función cotangente
Se define de la siguiente manera:
f = {(x; y) ∈ R
2
/ y = ctg x}
Gráfica de la función contangente

3p
2
–p
2
p
2
p
2p
X
Y
0
T = p
–p
• Dom f = R – {kp, k ∈ Z}, Ran f = R
• Periodo: T = p
• f es impar
Funciones trigonométricas
Jhon es un ingeniero civil muy comprometido con
su profesión; siempre se asegura que todos los obre-
ros trabajen satisfactoriamente. Un día, durante la
construcción de un puente, se dio cuenta que, de
acuerdo a los estudios sobre el clima, el puente iba
a tener una vibración en forma de senoidal de for-
ma: f(x) = asen(3px – 4) donde x, representa la po-
sición. ¿Qué valores debe tomar el número a, para
que el puente no vibre demasiado?¿Crees que las
funciones trigonométricas sean importantes para
una mejor interpretación de la naturaleza?
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32

e. Función secante
Se define de la siguiente manera:
f = {(x; y) ∈ R
2
/ y = sec x}
Gráfica de la función secante

3p
2
–p
2
p
2
p
2p
X
Y
0
T = 2p
–p
• ,Domf k k2 1
2
R Z!
r
= +-^ h( 2
• Ranf = 〈–∞; –1] ∪ [1; +∞〉
• Periodo: T = 2p
• f es par
f. Función cosecante
Se define de la siguiente manera:
f = {(x; y) ∈ R
2
/ y = csc x}
Gráfica de la función cosecante

3p
2
–p
2
p
2
p
2p
X
Y
0
–1
1
T = 2p
–p
• Domf = R – {kp, k ∈ Z}
• Ranf = 〈–∞; –1] ∪ [1; +∞〉
• Periodo: T = 2p
• f es impar
Funciones trigonométricas compuestas
Son las funciones de la forma:
f(x) = A ⋅ R.T.(Bx + C) + D
Donde A,B y D son constantes reales y C es un án-
gulo en radianes.
1. Desplazamiento vertical
• D > 0 : La función se desplaza hacia arriba
• D < 0 : La función se desplaza hacia abajo
2. Cambio de fase
El cambio de fase está determinado por
–C
B
3. Desplazamiento horizontal
•
^h
(
2
b
r

C
B
0 :Se desplaza hacia la derecha.
•
^h
(
2
b
r

C
B
0 : Se desplaza hacia la izquierda.
4. Periodo
Depende de la razón trigonométrica que posea
la función trigonométrica compuesta
Razón trigonométrica Periodo
Seno, coseno, secante
y cosecante
2p
B
Tangente, cotangente
p
B
5. Amplitud
La amplitud es igual a |A|, donde esta caracte-
rística solo las posee las funciones cuya razón
trigonométrica sea el seno o coseno
1. Determina la amplitud de la siguiente función
f(x) = 3 sen x + 5 cos x

Utilizamos el teorema donde:
A senx B x A B senx^ h ^ ^cos ( )
2 2
(
sí y solo si:
cos ;^ ^h
(
h
(
A
A B
sen
B
A B
2 2 2 2
Entonces
3 5 3 5
2 2
senx x s enx^ h ^ ^cos ( )(,
donde:
cos ;^ ^h
(
h
(
3
3 5
5
3 5
2 2 2 2
sen
Luego f x sen x( ) ( )^ h34 (
Por lo tanto, la amplitud de f(x) es igual a
se^ h34
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33
Trigonometría
Unidad 3

UNIDAD
Educación Secundaria
4
TRIGONOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo
34
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Sofía se queda hasta tarde en la universidad
para poder culminar el trabajo de investigación
que le dejó su profesor de un día para otro.
Solo le faltaba resolver el ejercicio avanzado,
este tenía una gráfica muy familiar que le hizo
recordar a sus clases de
Trigonometría. Esta es la
gráfica que vio en el
problema.
¿Qué función pertenece la
grafica que vio Sofía?
Funciones trigonom?tricas inversas
Funciones trigonométricas inversas (F.T.I.)
Una función trigonometrica inversa depende -
rá de un intervalo en el dominio de la función
trigonometrcia donde dicha función no posea
periodicidad.
Función arco seno
Se define de la siguiente manera:
; / arc senf xy y xR
2
!= =_ i$ .
Gráfica de la función arc sen x
2
RT
-
2
RT
y
x
1– 1
? ;Dom f 1 1= -7 A
? ;Ran f
2 2
ππ
=-
R
T
S
S
S
S S
V
X
W
W
W
W W
? La función es
creciente en todo
su dominio.
Función arco coseno
Se define de la siguiente manera:
; / arc cosf xy y xR
2
!= =_ i$ .
Gráfica de la función arc cos x
? ;Dom f 1 1= -7 A
? ;Ran f0RT=7 A
? La función es
decreciente en
todo su dominio.
2
RT
y
x
1O– 1
RT
Función arco tangente
Se define de la siguiente manera:
; / arc tgf xy y xR
2
!= =_ i$ .
Grafica de la función arc tg x
? Dom fR=
? ;Ran f
2 2
ππ
=-
? La función es
creciente en todo
su dominio.
? f es impar
2
RT
-
2
RT
O
y
x
Función arco cotangente
La función arco tangente se define de la siguiente
manera:
; /fx y y arcctg xR
2
!= =_ i$ .
Gráfica de la función arc ctg x
2
RT
RT
O
y
x
? Dom fR=
? ;Ran f0RT=
? La función es
decreciente.
y
x
1
–1
2
RT
-
2
RT
O
35
Trigonometría
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Unidad 4

Función arco secante
Se define de la siguiente manera:
; / arcf xy y sec xR
2
!= =_ i$ .
Gráfica de la función arc sec x
? ;Dom f 1 1R= --
? ;Ran f0
2
π
π
= -
7 A( 2
? La función es
creciente en todo
su dominio.
2
!:
y
x
1
O–
1
!:
Función arco cosecante
Se define de la siguiente manera:
; / arcf xy y csc xR
2
!= =_ i$ .
Gráfica de la función arc csc x
2
!:
y
x
1O–
1
2
!:
-
? ;Dom f 1 1R= --
? ;Ran f
2 2
0
ππ
=- -
R
T
S
S
S
S S
V
X
W
W
W
W W
" ,
? La función es
decreciente en todo
su dominio.
? f es impar
Propiedades fundamentales
La relación entre las funciones trigonométricas
directas e inversas es de la siguiente forma:
F.T.I (x) = α + F.T (α) = x
Donde α pertenece al rango de la F.T.I.
F.T.I. de expresiones negativas
1. ; ;arc senx arc sen xx 1 16!- =- -_ i 7 A
2. ; ;arccos a rccosx x x 1 16!!:- = - -_ i 7 A
3. ;arc tg x arc tg xxR6!- =-_ i
4. ;arc ctgx a rcctg xxR6!!:- = -_ i
5. ; ;sec s ecarc x arc x x 1 1R6!!:-= - --^ h
6. ; ;csc c scarc x arc x x 1 1R6!-=- --^ h
Propiedades de las F.T.I.
1. Arco seno
? ;sen arc sen xx x1 1# #= -_ i
? ;arc sensen
2 2
# #! !
:
!
:
= -_ i
2. Arco coseno
? ;cos cosarc x x x1 1# #= -_ i
? ;cos cosarc 0 # #! ! ! :=_ i
3. Arco tangente
? ;tg arc tg xx x R6!=_ i
? ;arc tg tg
2 2
< <! !
:
!
:
= -_ i
4. Arco cotangente
? ;ctg arcctg xx x R6!=_ i
? ;arc ctgctg 0 < <! ! ! :=_ i
5. Arco secante
? ; ;sec secarc x x x 1 1R6!= - -_ i
? ; ;sec secarc 0
2
6!! ! ! :
:
= -
_ i 7 A % /
6. Arco cosecante
? ; ;csc cscarc x x x 1 1R6!= - -_ i
? ; ;csc cscarc
2 2
06!! ! !
: :
= - -_ i 9 C # -
Propiedades adicionales
1. ; ;cos arc sen x x x1 1 1
2
6!= - -_ i 7 A
2. ; ;cossen arcx x x1 1 1
2
6!= - -_ i 7 A
3. ; ;cosarc senx arcx x
2
1 16!
!:
+ = - 7 A
4. ;arc tg xarc ctgx x
2
R6!
!:
+ =
5. ; ;sec c scarc x arc x x
2
1 1R6!
!:
+ = - -
6. ; ;cscarc senx arc
x
x
1
1 106!= - -b l 7 A # -
7. ; ;cos s ecarc x arc
x
x
1
1 106!= - -b l 7 A # -
8. ;arc tg xarc ctg
x
x
1
0>= b l
9. ;arc tg xarc ctg
x
x
1
0<!:= - b l
Ejercicios resueltos
1. Resuelve:arc senx arc sen x2
2
!:
+ =
cosarc senx a rc senxarc senx arc x2
2
2&
!:
= - =
Evaluando seno a ambos lados
sen s en cosarc senx arc x x x2 2 1
2
&
= = -
_ ^i h
Elevando al cuadrado ambos
x x x x x2 1 4 1
5
52 2
2
2 2
& & != - = - =_ `i j
Si x
5
5
=- , la expresión es negativa en-
tonces x
5
5
=
36
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Sergio quiere ingresar a la universidad luego
de culminar la secundaria, es por ello que
practica con el profesor de Matemáticas por
las tardes. En la última reunión, el profesor les
pidió encontrar información acerca de cómo
resolver la siguiente expresión:
sen x3
32
1r
+=b l
¿Es posible resolver la expresión?, ¿cómo
lo harías? ¿Escuchaste alguna vez la frase
“ecuación trigonométrica”?
Ecuaciones trigonométricas
Ecuación
Es la igualdad entre dos funciones que poseen
una cierta cantidad de incógnitas, cuyos valores
que satisfacen dicha ecuación son llamados solu-
ciones de la ecuación.
Ecuación trigonométrica
Consiste en la igualdad de dos funciones, donde al
menos una de ellas es una función trigonométrica.
Ecuación trigonométrica elemental
Son aquellas ecuaciones de la forma:
F.T (ax+b)=N
Donde
a, b y N son constantes reales y x la variable
angular, además a � 0 y N debe tomar valores en
los cuales la función trigonométrica esté definida,
es decir, valores que pertenezcan a su rango.
Valor principal
Es el valor que puede tomar la expresión (ax+b)
en la ecuación trigonométrica elemental y a la
vez debe estar en el rango de la función trigo-
nométrica inversa.
Ejemplo:
Determina el valor principal V.P. de la siguiente
ecuación:
sen x3
32
1!:
+=a k
Solución:
Para calcular el valor principal de la ecuación tri-
gonométrica elemental, aplicamos la función in-
versa a cada uno de los términos de la igualdad.
arc sensen x arc sen3
3 2
1!:
+ =a bk l
R
T
S
S
S
S S
V
X
W
W
W
W W
x3
36
&
ππ
+=
Por lo tanto, el valor principal de la ecuación es
6
!:
.
Solución general de una ecuación trigonométrica
elemental
Para determinar la solución general en una ecua-
ción trigonométrica elemental, se tienen las expre-
siones que dependen de la función trigonométrica
que se utiliza en dicha ecuación.
1. Si la F.T. es sen, entonces sen (ax+b) = . La so-
lución general es:
,axb k arc senN k1 Z
k
!!:+=+-_ i
2. Si la F.T. es cos, entonces cos (ax+b) = . La solu-
ción general es:
cosaxb k arc N2!!:+=
3. Si la F.T. es tg, entonces tg (ax+b) = . La solución
general es:
,axb k arc tg NkZ!!:+=+
Ejemplo:
Determina el conjunto solución de la ecuación.
cos x3
2
1
=
Solución:
Del problema se observa que la F.T. es cos. Enton-
ces la solución general es de la forma:
cosx k arc N3 2 !!:=
Donde N
2
1
=, entonces:
,cosx k arc k3 2
2
1
Z! !!:=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Además, se sabe que cosarc
2
1
3
!:
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O, entonces:
;x k k3 2
3
Z! !π
π
=
;x
k
k
3
2
9
Z! !
ππ
=
37
Trigonometría
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 4

Solución de una ecuación trigonométrica no
elemental
Para poder resolver este tipo de ecuaciones, tene-
mos que trasformar dicha ecuación en una elemen-
tal, con ayuda de las identidades trigonométricas
estudiadas y realizando operaciones algebraicas.
En algunos casos al realizar algunas operaciones la
variable va a tomar valores que no satisfacen la ecua-
ción, a estos valores se les llama soluciones extrañas.
Este tipo de soluciones aparecen cuando se eleva al
cuadrado los términos de la igualdad.
Para evitar como respuesta soluciones extrañas, lo
recomendable es evaluar las soluciones halladas an-
teriormente en la ecuación.
Ejemplo:
Calcula los valores de x que satisfacen la siguiente
ecuación.
: ;cos xsen x x 0 21! !:- = - 7 A
Solución:
Elevamos al cuadrado los términos de la igualdad.
sen
cos
cos cos
sen x x
x senx x x
1
2 1
2 2
2 2
- = -
- + =
_ _ i i
Además, recordamos que
sen cos
cos
x x
sen xx senx
1
2 2
2 2
+ =
=
Entonces, reemplazando se tiene:
sen x sen x1 2 1 2 0&- = =
Luego:
x k arc sen x k2 1 0 2 1 0
k k
&ππ=+- = +-_ _i i
;x k x
k
k2
2
Z& !π
π
= =
Entonces los valores que satisfacen la condición
de ;x0 2! r7 Ason:
; ;; ;x 0
2 2
3
2!
π
π
π
π' 1
Luego, verificando para que valores cumple la
ecuación:
:
:
:
:
:
cos
cos
cos
cos
cos
x s en
x s en
x sen
x s en
x s en
0 0 0 1
2 2 2
1
1
2
3
2
3
2
3
1
2 2 2 1
π ππ
ππ π
π ππ
ππ π
= - =-
= - =
= - =
= - =-
= - =-
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
Donde los valores de ;
2
π
π, son las soluciones
extrañas, la cuales no pertenecen al conjunto solución
Por lo tanto, los valores que satisfacen la ecuación
son 0,
2
3!:
, 2π.
Ejercicios resueltos
1. Resuelve la ecuacióntgx ctgx 4+ =, si ;x0 2! !:7 A
Utilizando la identidad trigonométrica
sec csctgx ctgx x x:+ =
Tenemos que: sec cscx x 4: =
Representado en función de senos y cose-
nos tenemos que:
cos
cos
x senx
sen xx
1 1
4 2
2
1
&: = =
Por ángulo doble sen x2
2
1
=, entonces:
x k arc sen k2 1
2
1
1
6
k k
ππ
π
=+- = +-
J
L
K
K
K
_ _
N
P
O
O
O
i i
,x
k
k
2
1
12
Z
k
!
ππ
=+-_ i
Por lo tanto los valores de x que satisfacen
la ecuación y además x0 2# #!: son:
. ; ; ;C S
12 12
5
12
13
12
17ππ ππ
=' 1
2. Juan en su clase de física realiza un experimento,
el cual consiste en ubicar una pesa en un resorte
pegado a una pared sobre una mesa. Su profesor
describe tal experimento como las oscilaciones
amortiguadas y comenta que la velocidad
inicial se determina de la siguiente forma
cosv A sen A0 ! : , :=- + , donde α es llamado
fase inicial. Si la velocidad inicial de la pesa es
v
0
= 0 y además A = 1, γ = 0,8 y ω = 0,6. Calcula
los valores que puede tomar la fase inicial.
Reemplazando en la ecuación de la veloci-
dad los datos se tiene:
, , cossen0 1 0 8 1 06: : αα= - +
cossen
5
4
5
3
0αα- =
Además, tenemos que
°cossen s en
5
4
5
3
370αα α- = - =^ h
Dada la forma de la ecuación trigonomé-
trica se tiene:
° ,k a rc sen k37 1 0 Z
k
!! :- = +-_ i
k k
180
37
1 0
180
37k
&!
:
: ! :
:
- = +- = +_ i
Por lo tanto, los valores que toma α son:
,k k
180
37
Z!π
π
+( 2
38
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Andrea ayuda a su hermano a resolver los
ejercicios que su profesor de Trigonometría
dejo para la casa. Ella también es una profesora,
aunque sea joven ya es encargada del área de
matemática en el colegio donde trabaja. El
profesor le dejo la siguiente inecuación:
senx
sen xsenx
1
2 1
0
2
2
+
+ -

¿podremos usar métodos de inecuaciones
fraccionarias en este tipo de inecuaciones?
¿para qué valores de x la expresión no estará
definida?
Inecuaciones trigonométricas
Inecuación trigonométrica
Una desigualdad es llamada inecuación trigo -
nométrica si está compuesta de dos funciones f(x) y
g(x) tal que dichas funciones pueden ser constantes
o funciones trigonométricas, donde al menos una
de las funciones es una función trigonométrica.
Ejemplo:
• cos xsenx
3
1
$-
Solución de una inecuación trigonométrica
Para determinar el conjunto solución de una
inecuación trigonométrica, debemos de realizar
los siguientes pasos:
1. Encontrar los puntos de intersección, es decir
resolver la ecuación f(x) = g(x).
2. Graficar dichas funciones señalando los puntos
de intersección.
3. Luego respecto a la desigualdad, se analizará la
gráfica de las funciones.
a. Si f(x) ≤ g(x) o f(x) � g(x)
En este caso se busca los intervalos donde la
gráfica de g(x) este por encima de la gráfica
de f(x).
b. Si f(x) ≥ g(x) o f(x) � g(x)
En este caso se busca los intervalos donde la
gráfica de f(x) este por encima de la gráfica
de g(x).
4. Respecto a las desigualdades tenemos que:
a. Si f(x) � g(x) o f(x) � g(x)
En este caso los intervalos son abiertos
b. Si f(x) ≤ g(x) o f(x) ≥ g(x)
En este caso los intervalos son cerrados
Ejemplo:
Resuelve la siguiente desigualdad sen x
2
3
2
Solución:
Identificamos las funciones que serán parte de
nuestro análisis:
f xsen x=_ i y g x
2
3
=_ i
Resolvemos la ecuación f(x) = g(x)
,
,
x k arc sen k
x k k
1
2
3
1
3
Z
Z
k
k
!
!
π
π
π
=+-
=+-
J
L
K
K
K
K
_
_
N
P
O
O
O
O
i
i
Entonces el conjunto solución será de la forma:
; ; ; ; ; ;
3
5
3
4
3 3
2
3
7
f f
ππ ππ π
- -( 2
Dichos valores serán las abscisas de los puntos de
intersección
Ahora realizamos la gráfica de las funciones:
–1
o
y
x
3
5!:
-
3
4!:
-
3
!:
2!:- 2!: 3!:!:- !:
3
2!:
3
7!:
3
8!:
1
2
3
Donde los intervalos señalados son donde la gráfica
de f x_ i que está por encima de g x_ i.
Dado que la desigualdad es estricta, entonces los
intervalos son abiertos y por lo tanto el conjunto
solución de la inecuación es:
; ; ;
3
5
3
4
3 3
2
3
7
3
8
, , , ,f f
ππ ππ ππ
- -
Cuya forma general es:
;k k2
3
2
3
2
π
π
π
π
+ +
39
Trigonometría
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 4

Nota: Existe otro método para resolver inecuacio-
nes trigonométricas de la forma ;fxk kRU !^ h ; la
cual consiste en ubicar los intervalos solución en
la circunferencia trigonométrica.
Del ejemplo anterior, tenemos que sen x
2
3
2 ;
ubicando en la C.T. los valores que admite la
desigualdad.
2
3
2
3
3
r
3
2r
X
Y
Donde ;x
3 3
2
!
r r
; dado que este proceso se da
en cada vuelta. La solución general será de la
forma ;k k2
3
2
3
2
π
π
π
π
+ +
Casos especiales
En estos casos una de las funciones que interviene
en la desigualdad es la función nula o 0, entonces
a. Cuando una de las funciones es el seno
• ; ;Sisen k k k0 2 2 1 Z&$ ! !+ + & &+_ i8 B
• ; ;Sisen k k k02 2 1> Z& ! !+ + & &+_ i
• ; ;Sisen k k k0 2 1 2 2 Z&# ! !+ + & &+ + _ _i i8 B
• ; ;Sisen k k k02 1 2 2< Z& ! !+ + & &+ + _ _i i
b. Cuando una de las funciones es el coseno
• ; ;cosSi k k k0
2
2
2
2 Z&$ ! !+ +
&
&
&
&-+ +9 C
• ; ;cosSi k k k0
2
2
2
2> Z& ! !+ +
&
&
&
&-+ +
• ; ;cosSi k k k0
2
2
2
3
2 Z&# ! !+ +
&
&
&
&+ +; E
• ; ;cosSi k k k0
2
2
2
3
2< Z& ! !+ +
&
&
&
&+ +
Ejemplo:
Determina el conjunto solución de la siguiente
inecuación sen x3
5
0<
+&
-a k .
Solución:
Reemplazando x3
5
+
&- = tenemos que la inecua-
ción es de la forma sen α < 0, entonces tenemos:
; ;k k k2 2 2 Z! !+ & & & &+ +
Dado que x3
5
+
&
= - , entonces:
k x k
k
x
k
2 3
5
2 2
3
2
5
2
3
2
15
11
< <
< <
ππ
π
ππ
ππ ππ
+ - +
+ +
Entonces: ; ;x
k k
k
3
2
5
2
3
2
15
11
Z! !
ππ ππ
+ +
Ejercicios resueltos
1. Resuelve la siguiente inecuación
sen
; ;
sen x
x senx
x
1
2 1
0 0>
2
!+&
+
+ -

Factorizamos el numerador por aspa simple:
2sen
2
x +sen x –1
2sen x –1
sen x +1
Entonces:
sen xsen x sen x sen x2 1 2 1 1
2
+ - = - +_ _i i
sen x
sen x sen x
sen x
1
2 1 1
0 2 1 0> >&
+
- +
-
_ _i i
Donde sen x sen x1 0 1&! !+ -
Resolviendo la restricción:
,sen x x k arc sen k1 1 1 Z
k
& !+&=- =+- -_ ^i h
x k x k1
2
1
2
k k 1
&π
π
π
π
=+- - =+-
+
_a _ik i
Entonces se tiene que: x k 1
2
k1
!π
π
+-
+
_ i
Luego resolviendosen x2 1 02- se tiene que:
sen x sen x2 1 0
2
1
&2 2-
Graficamos y señalamos los intervalos en
los cuales se cumple la desigualdad.
o
–1
Y
X
6
11+&
-
6
7+&
-
6
+&
2+&- 2+& 3+&+&- +&
6
5+&
6
13+&
6
17+&
1
2
1
Cuyos intervalos donde sen x
2
1
> son:
; ;;; ; ; …
6
11
6
7
6 6
5
6
13
6
17
f
ππ ππ ππ
- -
Si ;x0! +& entonces se tiene que:
;x
6 6
5
!
ππ
40
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Ruth se queda estudiando todas las noches
porque ella se está preparando para postular
a una buena universidad. Ella ve en un
prospecto que le piden el tema de “análisis
trigonométrico en los números complejos”.
Luego de investigar sobre el tema observa
que es posible determinar las razones
trigonométricas de un numero complejo.
¿se cumplirán las mismas propiedades que en
el caso de los números reales ?
Análisis trigonométrico de números complejos
Forma trigonométrica de un número complejo
También llamada forma polar, es aquella donde
el número complejo se expresa en función de las
razones trigonométricas seno y coseno, y de su
argumento.
Sea z xyi=+, entonces:
θ
z
|z|
|z| sen θ
|z| cos θ
Im
Re
Donde cosx z y zsen/θθ= =
Reemplazando en z se tiene que:
cosz z i senθθ= +_ i
Forma exponencial de z
Dado el número imaginario z = x + yi , su forma
exponencial es de la forma
z ze
i
=
i
Donde θ es el argumento de z.
Fórmula de D’ Moivre
Sea n un número natural y cosz z i senθθ= +_ i ,
con z ∈ C , z � 0, entonces se cumple que:
cosz z n isen n
n n
θθ= +_ _i i8 B
Relación entre la fórmula de D’ Moivre y el
Binomio de Newton
coscos C i senn isen n n
k
k
n
n k k
0
θθθθ =+
=
-
_ __ _ i ii i /
Ejemplo:
Sea z un número complejo cuyo argumento es
igual a
5
!:
y |z|=3 , determina el valor de z
5
.
Solución:
Con los datos podemos hallar el complejo en su
forma polar.
cos i senz 3
5 5
ππ
= +a ak k; E
Utilizando la Formúla de D’ Moivre tenemos que:
cos c osz i sen i sen3 5
5
5
5
243
5 5
: : :
ππ
ππ= + = +a ak k; 7E A
cosz i sen z243 2 43
5 5
&:ππ= + =-7 A
Razones trigonométricas de un numero complejo
Podemos determinar el valor de las razones trigo-
nométricas sobre números complejos, los cuales
están definidos por:
sen z
i
e e
2
iz iz
=
-
-
cos z
i
e e
2
iz iz
=
+
-
Donde zC!
Propiedades:
1. cos cossen zw senz w z senw+= +_ i
2. cos cossen zw senz w z senw- = -_ i
3. cos c oscosz w z w sen zsen w+= -_ i
4. cos c oscosz w z w sen zsen w- = +_ i
5. cos c osz s enz senz z
2 2
/
ππ
+=- +=a ak k
6. cos c osz z sen z sen z/ππ+=- +=-_ _i i
7. sen cosz z 1
2 2
+ =
Podemos ver que estas propiedades se conservan
también en el campo complejo. No obstante, no
podemos decir que el seno ni el coseno se en-
cuentran en el intervalo [–1; 1].
41
Trigonometría
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 4

Ejemplo:
Determina el valor de cos i
2
4
!:
+a k
Solución:
Utilizando una de las propiedades tenemos que:
cos i sen i
2
4 4
!:
+=-a k
Calculamos el seno del número complejo 4i
sen i
i
e e
sen i
i
e e
4
2
4
2
i i i i4 4 4 4
&=
-
=
-
: : - -
sen i
e e
i4
2
4 4
=
-+
-
Regiones en el plano complejo
Para un número complejo z, Re(z), Im(z), Arg(z) y
|z| son números reales los cuales pueden ser com-
parados por medio de una igualdad o desigual-
dad. A este conjunto de números se les conoce
como región.
Región en el plano respecto de la parte real
Para señalar la región que determina la parte
real de un número complejo analizaremos los si-
guientes casos:
Ejemplos:
a. Grafica Re(z) = 7
Solución:
Im
Re
7
b. Grafica Re(z) < – 4
Solución:
Im
Re
– 4
Región en el plano respecto a la parte imaginaria
Para ubicar la región que determina la parte ima-
ginaria de un número complejo analizaremos los
siguientes casos:
Ejemplos:
b. Grafica Im(z) ≥ 6
Solución:
Im
Re
6
a. Grafica Im(z)= – 5
Solución:
Im
Re
–5
Región en el plano respecto al argumento
Ejemplo:
Im
Re
4
3r
b. Grafica Arg(z)
4
3
<
!:
Solución:
Im
Re
6
!:
a. Grafica Arg(z)=
6
!:
Solución:
Región en el plano respecto del módulo
Para un número complejo z = x + yi tenemos que:
z x y z x y
2 2 2 2 2
&= + =+
La ecuación que se presenta es la de una circun-
ferencia, de centro (0; 0) y radio |z|, es decir el
conjunto de números complejos que poseen el
mismo módulo forman una circunferencia en el
plano complejo.
Ejemplo:
a. Grafica |z|=4
Solución:
Im
(0; 0)
Re
r=2
Im
(0; 0)
Re
r=4
Ejercicios resueltos
1. Determina el valor de:
sen s encosM z z z
2
2
2 2 2π
π= + + + +a _k i

Resolvemos cada una de las expresiones
por separado
sen c os cos
cos c os cos
z z z
z z z
2
2 2 2
2 2 2
π
π
+= =
+= - =_
a
_
_
i
k i
i
Reemplazando en M tenemos que:
sen
sen
cos cos
cos
M z z z
M z z M
2
2 2 2
2 2 2
2 2
&
= + +
= + =
b. Grafica |z|< 2
Solución:
42
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Cuaderno de trabajo
43
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
CUADERNO
DE TRABAJO
43
Educación Secundaria
TRIGONOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo

44
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
44
UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
TRIGONOMETRÍA
1

Cuaderno de trabajo
45
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
Sistema de medidas angulares
Recordamos lo aprendido
Sistema de medidas angulares
Sistema sexagesimal (1°)
? Equivalencias:

1° <> 60' 1' <> 60" 1° <> 3600"
Sistema centesimal (1
g
)
? Equivalencias:

1
g
<> 100
m
1
m
<> 100
s
1° <> 10000
s
Sistema radial
Tiene por unidad el radian (1 rad)
Equivalencia entre los sistemas angulares

S
360
=
C
400
=
R
2π

S
180
=
R
π
C
200
=
R
π
S
9
=
C
10
Propiedades adicionales
a. Equivalencias entre los minutos sexagesima-
les y centesimales
mc
50
=
ms
27
Donde:
ms: minutos sexagesimales
mc: minutos centesimales
b. Equivalencia entre los segundos sexagesi-
males y centesimales
sc
250
=
ss
81
Donde:
ss: segundos sexagesimales
sc: segundos centesimales
Practica lo aprendido
Nivel b?sico
1. Calcula los segundos centesimales que equi-
vale 5°32'6''.
2. Determina el valor de la siguiente expresión:
M =
8°15'
5'
+ 20
3. Calcula la equivalente en grados, minutos y se-
gundos sexagesimales de la expresión:
53
2
14
5
−
∈
∙
α
θ
β

−
∈
∙
α
θ
β

4. Halla «x» , si (3x + 15)° <> (2x+98)
g
Convertimos a segundo sexagesimales
5°∙
3600
1
−−
∈
∙
α
θ
β

= 18000'' ˄ 32'∙
60
1
−−
−
∈
∙
α
θ
β
= 1920''
⇒ 5°32'6'' = 18000'' + 1920'' + 6'' = 19926''
Trasformamos a segundo centesimales
sc
250
=
19926
81
⇒ sc = 61500
s
Por lo tanto, 5°32'6'' equivale a 61500
s
Debemos expresar todas las cantidades en
la misma unidad.
Sabemos que 1°= 60' ⇒ 8° = 480'
Reemplazamos:
M =
8°15'
5'
+ 20 =
480'15'
5'
+ 20
M =
495'
5'
+ 20 = 99 + 20
M = 119
Se tiene:
53
2
14
5
−
∈
∙
α
θ
β

−
∈
∙
α
θ
β

= (26,5)°+(2,8)'
●(26,5)° = 26° + 0,5°
⇒ 0,5°∙
60
1
−
∈
∙
α
θ
β

= 30'
Se tiene: (26,5)° = 26° + 0,5° = 26° + 30'
●(2,8)' = 2' + 0,8'
⇒ 0,8'∙
60
1
−−
−
∈
∙
α
θ
β
= 48''
Se tiene: (2,8)' = 2' + 48''
Entonces sumando lo hallado tenemos que
(26,5)° + (2,8)' = 26° + 30' + 2' + 48''
(26,5)° + (2,8)' = 26° + 32' + 48''
(26,5)° + (2,8)' = 26°32'48''
Dada la equivalencia de grados sexagesi-
males a centesimales tenemos que:
S
9
=
2x + 98
10
⇒ S =
9(x + 49)
5

Dado el problema tenemos que
9(x + 49)°
5
= (3x + 15)°
9x + 441 = 15x + 75
6x = 366 ⇒ x = 61

46
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
5. Del gráfico, determina el valor de
x
y
.
C
1000
9
B
A
5yº
2x’
x
g
6. Si S, C y R son los convencionales para un án-
gulo y además se cumple que
3SC + S
2
C + 3S
=
117
74
Determina el valor de M =
π(S
2
+ C
2
)
SCR
Nivel avanzado=
7. Si dos ángulos son complementarios, además
el número de grados centesimales que indica
la medida de uno de ellos y los
2
5
del número
de grados sexagesimales que indica la medi-
da del otro están en relación de
5
9
. Calcula la
medida del ángulo mayor en sexagesimales.
8. El grupo de estudio FCM decide crear un nue-
vo sistema de medición angular, cuya unidad
de medida es F, en el cual un grado se repre-
senta como (1
F
). Si se sabe que
1
5
C
B
x
7
4
°
F
equivale
a la décima parte del ángulo
3
2
π
rad, determina a
cuántos grados centesimales equivale 1
F
.
En el gráfico, tenemos que
1000
9
x
g
= 5y° – 2x' ...(1)
Realizando la transformación a grados
sexagesimales:
●
S
9
=
1000
9
10
x
⇒ S = 100x
●2x' ∙
1
60 30
C
B
x
7
4
°
5
0
A
Cx

Reemplazando en (1)
100x° = 5y° –
x°
30
⇒
3001
30
x° = 5y°
x
y
=
150
3001
Por dato S = 9k ˄ C = 10k con k constante de
proporcionalidad, reemplazando tenemos
3 ∙ (9k) ∙ (10k) + (9k)
2
10k + 3 ∙ 9k
=
117
74
270k
2
+ 81k
2
37k
=
117
74
⇒ k =
1
6
Luego tenemos que
S =
3
2
; C =
5
3
˄ R =
πk
20
=
π
120

Reemplazando en M, se tiene que
M =
C
C
3
2
5
3
3
2
5
3 120
181
36
15
720
2 2
B
x
7
4
°
5
0
B
x
7
4
°
5
A
2
2
2
’
g

⇒ M =
724
3
De dato tenemos que
1
5
C
B
x
7
4
°
F
=
1
10
∙
3π
2
rad =
3π
20
rad
Convirtiendo
3π
20
rad a centesimales
1
5
C
B
x
7
4
°
F
=
3π
20
rad =
3π
20
rad
200
g
radC
B
x
7
7
4
°
5
5 = 30
g
Por último, tenemos que
1
5
C
B
x
7
4
°
F
<> 30
g
1
F
<> x
⇒ x =
1 30
1
5
F g
F
C
B
x
7
4
°
5
= 150
g
Por lo tanto, 1
F
equivale a 150
g
Sean α y β dos ángulos expresados en gra-
dos sexagesimales, tales que:
α + β = 90° ⇒ β = 90° – α
Expresando α, en grados centesimales

α
9
=
C
10
⇒ C =
10α
9

Por dato del problema tenemos que
10
9
2
5
90
C
CB x7 4
=
5
9
⇒ 10α = 2(90°– α)
12α = 180° ⇒ α = 15°
Como α = 15°, entonces β = 90° – 15° = 75°
Luego expresamos β en radianes
75
180
=
R
π
⇒ R =
5π
12
⇒ β =
5π
12
rad.

Cuaderno de trabajo
47
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
Refuerzo en casa
Nivel b?sico
1. ¿Cuántos segundos centesimales equivale
1°45'99''?
a. 19 750
b. 19 500
c. 19 250
d. 20 000
2. Determina el valor de la siguiente expresión:
M =
25
g
20
m
28
m
+
20
m
15
s
31
s
a. 150 b. 155 c. 140 d. 145
3. Halla el valor de «x», si (8x – 15)° <> (5x + 2)
g
a. 4,4 b. 4,6 c. 4,8 d. 5
4. Determina la medida en grados centesimales
del siguiente ángulo:
[1 + 2 + 3 + ⋯ + 35]°
a. 750
g
b. 500
g
c. 600
g
d. 700
g
Nivel intermedio
5. Los siguientes números representan la medi-
da de un ángulo en los sistemas sexagesima-
les y centesimales:
S = 3x – 4 , C = 3x + 4
Calcula el valor de dicho ángulo en radianes.
a.
π
5
radb.
2π
5
radc.
3π
5
radd.
4π
5
rad
6. Si S y C son los convencionales para un ángulo
y además se cumple que S, C, SC se encuen-
tran en progresión geométrica, halla la medi-
da del ángulo en radianes.
a.
π
162
radb.
π
81
radc.
3π
162
radd.
2π
81
rad
7. Del siguiente gráfico, determina el valor de
1 100x – 9y.
(2x – 7)º
x
g
–y
m
a. 7 000b. 8 000c. 7 500d. 10 000
8. Si el ángulo cuya medida es ab
m
es equivalen-
te a 1 458 segundos sexagesimales, calcula el
valor de:
E= a
b
+ b
a
a. 1 681
b. 1 649
c. 145
d. 135
Nivel avanzado
9. Si S, C y R son los convencionales para un án-
gulo, además se cumple lo siguiente:
CR + S
SR + C
=
4
5
Calcula la medida del ángulo en radianes.
a.
5
14
radb.
9
14
radc.
5π
14
radd. –
5
14
rad
10. Dos ángulos α y β son suplementarios. Si el
número de grados centesimales que indica
la medida de uno de ellos y los
2
5
del número
de grados sexagesimales que indica la medida
del otro están en relación de
5
9
. Calcula el valor
de sen α + csc β.
a.
5
2
b. 2 c.
3
2
d. 1
11. Si la medida de un ángulo en el sistema sexa-
gesimal es a°b' y en el sistema centesimal es
b
g
a
m
, si además se cumple que b – a = 323,
determina el valor de a + b.
a. 4 520
b. 5 623
c. 5 645
d. 4 553
Nivel destacado
12. En un nuevo sistema angular, la unidad de
medida 1
a
es equivalente a la 450
ava
parte del
ángulo que representa una vuelta, además
existen subunidades las cuales son 1
b
y 1
c
don-
de 40 de ellas forman la unidad inmediata su-
perior respectivamente, convierte 44°24'63''al
nuevo sistema.
a. 45
a
12
b
56
c
b. 50
a
17
b
30
c
c. 65
a
15
b
18
c
d. 55
a
20
b
35
c
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a b c d b a a b d a b d
Unidad 1

48
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Razones trigonométricas de ángulos agudos
Recordamos lo aprendido
Razones trigonométricas recíprocas
sen α ∙ csc α = 1
cos α ∙ sec α = 1
tg α ∙ ctg α = 1
para los ángulos agudos α, β se cumple que:
sen α ∙ csc β = 1
cos α ∙ sec β = 1
tg α ∙ ctg β = 1
α = β
Razones trigonométricas de ángulos comple-
mentarios
α + β = 90°
sen α = cos β
tg α = ctg β
sec α = csc β
Triángulos rectángulos notables
2k
30°
60°
k
k
45°
45°
k
k
k
53°
37°
5k
3k
4k
2
3
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. En un triángulo rectángulo, un cateto es el
séptuple del otro. Calcula el coseno del mayor
ángulo agudo.
2. Halla el valor de «x», si:
sec (37° – x) • tg 8x = csc (53° + x) • ctg 7x
3. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se
cumple que
sec A – sen B
csc A – cos B
=
8
27
. Encuentra
el valor de F = sec
2
A + csc
2
A.
Por el teorema de Pitágoras:
(7k)
2
+ k
2
= (AC)
2
49k
2
+ k
2
= (AC)
2
50k
2
= (AC)
2
AC = 50
2
k
AC = 5 2k
θ
α
7k
B C
k
A
5 2k
Además, a mayor lado le corresponde ma-
yor ángulo, entonces:
cos α =
k
k5 2
=
2
10
Como (37° – x) + (53° + x) = 90°, por ángulos
complementarios tenemos que:
sec (37° – x) = csc (53° + x)
Luego
sec (37° – x) • tg 8x = sec (37° – x) • ctg 7x
tg 8x = ctg 7x ⇒ 8x + 7x = 90°
x = 6°
AC
B
a
c
b
sec
csc cos
A senB
A B
c
b
b
c
c
a
a
c
c b
cb
c a
ac
7
7
k
7
7
k
7
7
2 2
2 2
Luego por teorema de Pitágoras tenemos
que:
c
2
– b
2
= a
2
˄ c
2
– a
2
= b
2
sec
csc cos
A senB
A B
a
cb
b
ac
a
b
7
7
k k
2
2
3
3
Por dato tenemos que
a
b
a
b
a
b
3
3
3
8
27
8
27
2
3
7 k 7 k 7
Con esto se tiene que a = 2k, b = 3k.
Por teorema de Pitágoras en el triangulo
ABC tenemos que:
(2k)
2
+ (3k)
2
= c
2
⇒ c = 13k
Así:
F = sec
2
A + csc
2
A =
13
9
13
4
169
36
+ =

Cuaderno de trabajo
49
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
Nivel intermedio
4. Si
cos(35° + 4x) • ctg(15° – 2x) • csc x = tg (2x + 75°)
Halla el valor de
A = tg
2
(3x – 3°) + 10 sec
3 4
2
x7 kB
C
A
1
3
k
5. En el gráfico BC = 50, AB = 45 y ctg α =
13
2 14
Calcula el valor del lado AC.
A C
B
α
Nivel avanzado
6. En la figura, si PB = p y AC = q. Determina el
valor de
q
p
.
37˚
45˚
A
C
B
P
7. Del siguiente gráfico, determina el valor de
U = 17 tg α + 4 ctg β, si AR = 8, CR = 63
A
B
Q
C
R
P
α
α
α
β
β
β
Trazamos AH, altura relativa al lado BC
A C
B
α
45
13k
11
H
50
2 k
14
ctg α =
BH
AH
⟹ BH = 13k,
AH = 2k14
Por teorema de Pitágoras en △ AHB
(13k)
2
+ (214k)
2
= 45
2
⟹ k = 3
Luego, BH = 39 ˄ AH = 614
Además
HC = BC – BH = 50 – 39 = 11 ⟹ HC = 11
Por teorema de Pitágoras nuevamente
(AC)
2
= (11)
2
+ (614)
2
⟹ AC = 25
cos(35° + 4x) • ctg(15° – 2x) • csc x = tg(2x – 75°)
Como (15° – 2x) + (2x + 75°) = 90°
Tenemos:
cos(35° + 4x) • ctg(15° – 2x) • csc x = ctg(15° – 2x)
cos(35° + 4x) • csc x = 1
cos(35° + 4x) = sen x ⇒ 35° + 4x + x = 90°
5 x = 55° ⇒ x = 11°
Reemplazando en A tenemos que
A = tg
2
(3 ∙ 11° – 3°) + 10 sec
3 11 4
2
7 kB kC
A
1
3
k
H
A = tg
2
30° + 10 sec
37
2
3
3
10
10
3
2
7k
B
C
A
1
3
k
k
B
C
C
A
1
3
3
4 8
A =
1
3
10
3
11
3
7 k
Trazamos PH paralela a AC , H en BC
37˚37˚
H
53˚
45˚
A
C
B
P
4p
5
4p
5
7p
5
3p
5
q
De esto tenemos que ∢BPH = 37°y por trián-
gulo notable 37° y 53° PH =
4
5
p
y BH =
3
5
p
Además, por triángulo notable de 45 °
HC =
4
5
p
Nos piden
q
p
.
3
4
53
7
5 28
15
7 k 7 B 7ctg
p
q
q
p
A
B
QN
C
R
PM
4
8
9
30˚30˚
α
α
α β
β
β
43
63
33
Del gráfico:
3α + 3β = 90
⟹ α + β = 30
Prolongamos AQ y CP y trazamos la altura
CN y AM respectivamente.
Como RC = 63 ⟹ NC = 33 y RN = 9
AR = 8 ⇒ MR = 43 y AM = 4
Así 17 tg α = 3 3 y 4 ctg β = 103
∴ U7 k 73 3103 13 3

50
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel b?sico
1. Determina el valor de β, si se cumple:
tg β = tg 45°– sen 30°
a.
37°
2
b.
53°
2
c. 45° d. 60°
2. Resuelve la siguiente expresión:
A =
18 sec 20° • sen 37° +2 csc 70° • sen 37°
sec 20°
a. 3 b. 12 c. 25 d. 18
3. En el siguiente gráfico, determina el valor de
tg α.
A C
B
2
5
α
a.
2
5
b. 3 c.
10
5
d.
1
5

Nivel intermedio
4. Sea COD un cuadrante y BD = 6. Calcula el va-
lor de sec α.
α
A
C O
D
B
13
a.
13
3
b. 13 c.
13
4 10
d.
1
5

5. De la figura, halla el valor de tg
α
2
.
k
2k
k
α
3
a. 2 + 3b. 2 – 3c. 3
d. 2
6. Si:
cos(3x + 12) csc(y + 18) = 1
ctg(y + 17) = ctg(x + 17)
Donde x, y son ángulos agudos, calcula el valor de
B =
4
3
tg
2
3x + csc
2
2(x + y)
a.
8
3
b.
2
3
c.
10
5
d. 2
Nivel avanzado
7. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), la
medida de sus lados se encuentra en progre-
sión aritmética y A < B, además:
M = 10 sen A + 6 tg B – 12 ctg
A BAC
B
2
C
R
P
2
Halla el valor de M.
a. 3 b. 4 c. 1 d. 2
8. En la figura mostrada, PQRS es un cuadrado
y O es su centro, si
QR
MR
=3 2. Determina el
valor de cos
2
α.
P
Q
O
Mα
R
S
a.
4
13
b.
2
5
c.
2
37
d. 2
Nivel destacado
9. Del siguiente gráfico, encuentra el valor de
A = (753 – 64) tg α, si AP = 20.
R
A
P
D
B C
37˚
7˚
α
a. 39 b. 48 c. 56 d. 42
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
b b c c b a d a b

Cuaderno de trabajo
51
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
Resolución de triángulos rectángulos
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Halla el área del triángulo BDC, si ABC es un
sector circular.
r
A
B
β
C
D
x
2. Si sen
7
2
k
B
C
A
1
3 =
1
5
. Calcula el área del triángulo.
12
θ
7
3. Halla el valor de D
1
, si D
2
= 3D
1
y además el área
del trapecio es 24.
D1 D2
Nivel intermedio
4. Dado un triángulo acutángulo, de lados A, B
y C, se tiene que AB = x + 1 y BC = x – 2 , cuyo
ángulo interno de B es 53°. Calcula el valor de
«x» si el área del triángulo es 4.
Recordamos lo aprendido
1. El valor de un lado en relación a un ángulo
θ
a
y
x
R.T.
Valor del
lado
R.T.
Valor del
lado
senθ =
a
y
y = asenθcscθ =
y
a
a = ycscθ
cosθ =
a
x
x = acosθsecθ =
x
a
a = xsecθ
tgθ =
x
y
y = xtgθctgθ =
y
x
x = yctgθ
2. Área de una región triangular
θ
a
b
A ab sen
2
1
i=
A
3. Área de una región cuadrangular
θ
b
a
A ab sen
2
1
i=
Del gráfico tenemos AD = rcos β y BD = rsen β
Luego, como ABC es un sector circular AC = r y
DC = r – rcos β = r(1 – cos β)
entonces el área del triángulo será:
A =
rsen β•r(1 – cos β)
2
=
r
2
sen β(1 – cos β)
2
Si sen
7
2
k
B
C
A
1
3 =
1
5
entonces cos
7
2
k
B
C
A
1
3 =
26
5
,
luego por la propiedad del ángulo doble te-
nemos sen θ = 2
1
5
2 6
5
7
k
B
C
A
1
7
k
B
B
C
A
1
1
=
4 6
25
, enton-
ces el área del triángulo es
A =
7•12
2
sen θ = 42
4 6
25
7
k
B
B
C
A
1
1
=
168 6
25
Por la fórmula
A =
D
1
D
2
2
sen 90° = 24
⇒
3D
1
2
2
= 24 ⇒ D
1
2
= 16 ⇒ D
1
= 4
Graficamos
Luego por la fórmula
A
T
=
(x + 1)(x – 2)
2
sen 53° = 4
⇒ (x
2
– x – 2) ·
4
2(5)
= 4
⇒ x
2
– x – 12 = 0 ⇒ x = 4 o x = –3 ⇒ x = 4
A
C
B
53˚
x+1
x-2

52
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
5. Calcula el valor de tg x en función de φ.
P
Q
R
O
ϕ
T
x
a
6. Halla el área de un cuadrilátero, si se sabe que
una de sus diagonales es el quíntuplo que la
otra, además su área es numéricamente igual
a la distancia de la menor diagonal y el ángulo
formado por sus diagonales es 45°.
7. Calcula el valor de sec β en función de x e y.
x
2β β
y
Nivel avanzado
8. Calcula el área del trapezoide ABCD en fun-
ción de a, si tg θ +
3
2
sen 2θ = 4
A D
B
a
3a
P
θ
C

9. Determina el valor de la tg x en función de m;
n y θ.
x
n
m
θ

Del gráfico notamos que PC = 3a cos θ y
AP = a sec θ, luego el área del trapezoide
es A =
(4a)(3a cos θ + a sec θ)
2
sen θ
A =
(4a
2
)
2
(3 cos θ • sen θ + sec θ • sen θ)
A = 2a
2
(
3
2
sen 2θ + tg θ)
A = 2a
2
(4) = 8a
2
Sea k la medida de la menor diagonal,
entonces
k
5k
45˚
Por hipótesis A =
k(5k)
2
sen 45° = k
⇒
5k
2
•
1
2
= 1 ⇒ k =
22
5
= Área
si trazamos la altura
entonces tenemos que
x
2β β
y
h
h = y sen β = x sen 2β, luego por la propiedad
de ángulo doble tenemos que:
y sen β = x • 2sen β • cos β ⇒ sec β =
2x
y
Trazamos la altura del triángulo como se
muestra en la figura.
x
n
m
h
a
θ
Tenemos que el valor de ctg x =
n + a
h
, luego
podemos notar que h = m sen θ
Y que a = m cos θ entonces
ctg x =
n + m cos θ
m sen θ
Del gráfico:
PR = acos φ y
OT = a tg
φ
2

Luego tg x =
RT
OT

tg x =
a a
a g g
x
y
R
xcos
t
cos
t
O
O
O
O
2
1
2
P
Q
R
O
ϕ
T
x
a
a

Cuaderno de trabajo
53
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
Refuerzo en casa
Nivel b?sico
1. Una persona se ubica a una distancia de 10 cm
de una estatua, determina la longitud de la es-
tatua si tg (α + β) – tg α = 4.
10
β
α
a. 45 b. 40 c. 80 d. 38
2. Halla el valor de «x», si el área de los triángulos
ABM y AMC son iguales.
37˚
A
B
M
C
x
45˚
30
a. 17 b. 18 c. 182 d. 34
Nivel intermedio
3. Calcula el sen 2α si el área del triángulo ABC
es 4.
A
B
C
α
αa
3a
a. 2a
2
b. a
2
c.
a
2
2
d.
3a
2
2
4. Dado un trapecio rectangular, determina el
área del trapecio en función de m, α y β.
β
A B
C
m
D
α
a.
m
2
(ctg α + 2 tg β)
2

b.
m
2
(ctg β + 2 tg α)
2

c.
m
2
(sec α + 2 csc β)
2

d.
m
2
(sec β + 2 csc α)
2

5. Halla el área del trapezoide. Si tenemos que la
base mide 12 cm y las áreas de los triángulos
ABD y ACD son 30 y 33 respectivamente
A
B
D
C
30˚ 30˚
a.
7
303
b.
2
513
c.
3
28 3
d.
2
553
6. En las circunferencias tangentes de la figura,
son datos r
0
y α. Determina R. (UNI 2009-I)
R
R
r
0
α
a.
cos
r
0
a
b.
sen
r
0
a
c.
cos
r
1
cos0
a-
a
d.
r
2
0
Nivel avanzado
7. En la figura, ABCD es un cuadrado, halla
R
r
en
función de α y β
B C
DA
α
β
R
r
a.
ctg
tg
a
b
b.
ctg
ctg
1
1
a
b
+
+
c.
ctg
ctg
b
a
d.
tg
tg
a
b
Nivel destacado
8. Si las circunferencias son idénticas cuyo radio
es igual a r. Calcula O O
1 2
en función de r si
ctg (0,5x) – ctg (0,5y) =2
0
1
0
2
x
y
a. r b. 2r c. 22rd. 2r
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
b c b b d c b c

54
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
?ngulo vertical y horizontal
Recordamos lo aprendido
Ángulos verticales y horizontales
Ángulos verticales
1. Ángulo de elevación (α)
2. Ángulo de depresión (θ)
3. Ángulo de observación
(γ = α + θ)
Ángulos horizontales
? Dirección
? Rumbo
El rumbo es único, mientras que la dirección
puede tomar dos representaciones donde una
de ellas coincide con el rumbo.
Practica lo aprendido
Nivel b?sico
1. Luis de 1,5 m de estatura observa una piedra en
el suelo con un ángulo de depresión de 37°. ¿A
qué distancia de Luis se encuentra la piedra?
2. Desde un punto se observan dos niños en las
direcciones N20°O y S70°O, a las distancias de
40 m y 9 m respectivamente. ¿Cuál es la dis-
tancia de separación de los niños?
3. Una persona de h de estatura observa un
edificio de
H de altura con ángulo de eleva-
ción
α.
Determina la distancia entre la persona
y el edificio.
4. Un auto A se dirige en dirección NNE y otro
auto B se dirige en dirección
ESE. Si A se dirige
con una rapidez de 3 km/h y B se dirige con
una rapidez de 12 km/h.
Calcula la distancia
que los separa en una hora.

Nivel intermedio
5. Un príncipe desea salvar a una princesa que
se encuentra atrapada en la parte más alta de
una torre. Si desde un punto D la observa con
un ángulo de elevación α y luego de avanzar la
mitad del camino que le faltaba para llegar a la
torre, la princesa lo observa con un ángulo de
depresión de (90° – α), halla el valor de la tg α.
VISUAL
VISUAL
Ángulo de
elevación
Ángulo de
depresión
HORIZONTAL
α
θ
1,5 = 3k
37˚
37˚
d = 4k
Del gráfico se tiene que 1,5 = 3k ⇒ k = 0,5
Nos piden hallar d = 4k = 4 • 0,5 = 2 m
Por lo tanto, la distancia entre Luis y la pie-
dra es de 2 m.
Como A va a 3 km/h y B va a 12 km/h, en-
tonces en una hora A y B recorrerán 3 km y
12 km respectivamente. Luego, graficamos:
N
S
E
12 km/h
3 km/h
A
d
B
θ
θ
NNE
ESE
Por Teorema de
Pitágoras:
d
2
= 3
2
+ 12
2

⇒ d = 317
Con los datos indicados, ubicamos las direc-
ciones de cada niño:
x
N
S
EO
AA
70°
20°
40
9
En la figura se observa un triángulo rectán-
gulo, y por el Teorema de Pitágoras:
x
2
= 40
2
+ 9
2
⇒ x = 41
α
h
d
d
H – h
H
Del gráfico se tiene que
d
H – h
= ctg α
⇒ d = (H – h) ctg α
Sea el gráfico:
tg α =
n
H
…(2)
tg α =
H
2n
…(1)
90˚– α
90˚– α α
D n nC A
B
H
α
Multiplicando (1) y (2):
tg
2
α =
1
2
⇒ tg α =
2
2

Cuaderno de trabajo
55
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
6. Desde el punto Q se observa una casa A en la
dirección
SO; y una casa B en la dirección E75°S
.
Calcula la distancia entre A y B, sabiendo que la
distancia del punto Q a la casa A es de 16 km y
además A se encuentra al O30°N de B.
Nivel avanzado
7. Un niño se encuentra entre dos postes y ob-
serva la parte superior de cada uno de ellos
con un ángulo de elevación de 2θ y 4θ y a una
distancia de 25 y 40 m respectivamente. Si se
sabe que la altura del poste que se observa con
el ángulo 4θ es igual a la distancia del niño ha-
cia el otro poste. Determina la altura del poste
que se observa con el ángulo de elevación 2θ.
8. Desde un punto P se observa la parte más alta
de un panel solar que se encuentra encima de
un edificio, si nos encontramos a
x m de dis-
tancia del edificio, la antena parabólica se ob-
serva con un ángulo de elevación θ, si la altura
del edificio es de 100 m y la de la antena pa-
rabólica de 20 m.
Halla el valor de x sabiendo
que, desde el mismo punto frente al edificio,
se ve otra antena parabólica situado a 12 m a la
izquierda del edificio con dirección E(90°– θ)S.
Realizamos la gráfica
20 m
x
P
12 m
90º - θ
θ
100 m
Q
Podemos observar que se trabaja tanto en el
plano horizontal como en el plano vertical.
En el plano horizontal tenemos que
tg (90° – θ) =
12
x
⋯ (1)
En el plano vertical tenemos que
tg θ =
100 + 20
x
tg θ =
120
x
⋯ (2)
De la ecuación 1 tenemos que
tg (90°– θ) = ctg θ
ctg θ =
12
x
⋯ (3)
Por razones trigonométricas recíprocas te-
nemos de 1 y 2 que
120
x
∙
12
x
= 1 ⇒ x
2
= 1 440
x = 1210 m
Por lo tanto, la distancia del punto P en el
cual nos ubicamos hasta el edificio es de
1210 m.
Colocamos los datos de manera gráfica
N
N
45º
45º
45º
s
o
Q
15º
O
A
E
16 km
N
45º
30º
s
15º
O B
Extraemos el triángulo de vértices AQB
Graficamos el problema:
2θ
25
4θ
40
H
1
= 40 sen 4θ
25 sen 2θ = H
2
25 cos 2θ40 cos 4θ
Por dato tenemos que 40 sen 4θ = 25 cos 2θ
80 sen 2θ cos 2θ = 25 cos 2θ ⇒ sen 2θ =
5
16
Y por último, calculamos H
2
.
H
2
= 25 sen 2θ = 25
16
5
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
⟹ H
2
=
125
16
Luego tenemos
que
16=2k ⇒ k=8
AB = k 3 2
AB = 8 6 km
30˚
45˚
45˚
60˚
k
75˚
A
k6
k3
B
Q
16 = 2k

56
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel b?sico
1. El señor Ramírez de 2 m de estatura observa lo
alto de un edifico con un ángulo de elevación
de 37°, si el edificio mide 14 m, ¿a qué distancia
del edificio se encuentra la persona?
a. 12 m b. 16 m c. 18 m d. 20 m
2. José observa a 3 km en la dirección N60°E un
árbol, y a 4 km en la dirección S30°E una ban-
ca. Halla la distancia entre el árbol y la banca.
a. 6 km b. 8 km c. 5 km d. 4 km
3. María observa a Luis en la dirección E37°N a
una distancia de 100 m. Si Luis camina hacia el
sur hasta ubicarse al este de María. Calcula la
distancia entre ambos.
a. 100 m
b. 90 m
c. 50 m
d. 80 m
4. Juanita de 2 m de estatura divisa lo alto de una
torre de 32 m de altura con un ángulo de eleva-
ción de 15°. Si se acerca una distancia «x» el ángu-
lo de elevación se duplica. ¿Cuánto vale «x»?
a. 15 m
b. 30 m
c. 60 m
d. 120 m
Nivel intermedio
5. Un arquitecto observa la parte más alta de un
edificio con un ángulo de elevación «x», luego
se aleja una distancia d y observa el mismo
punto con un ángulo de elevación y. Calcula la
altura del edificio.
a.
d
tg x – ctg y
b.
d
tg y – tg x
c.
d
ctg x – ctg y
d.
d
ctg y – ctg x
6. Dos personas comienzan a correr al mismo
tiempo del mismo punto con rumbo N30°E y
N53°E. Determina la relación entre sus veloci-
dades, si en todo momento una de las perso-
nas está al sur del otro.
a.
5
7
b.
8
5
c.
4
5
d.
5
4
7. Luis observa a Fiorella en la dirección E20°N
a 300 m. Si Cecilia observa a Luis y a Fiorella
en las direcciones O33°N y N20°O respectiva-
mente. Calcula la distancia que separa a Luis
de Cecilia.
a. 500 m
b. 1 500 m
c. 800 m
d. 1 600 m
Nivel avanzado
8. Renzo quiere rescatar a la princesa de sue-
ños, quien está encerrada en su castillo. Él se
encuentra al sur a cierta distancia y observa
la parte superior de esta con un ángulo de
elevación θ y al desplazarse hacia el Oeste se
encuentra en la dirección S30°O respecto al
castillo. La princesa lo sigue con la mirada y
observa a Renzo en su nueva posición con un
ángulo de precisión de 90°- θ. Halla 2 ctg
2
θ.
a.
3
b.
5 c. 7 2
2
d.
15
9. Susana sale de su casa en la dirección N53°E
recorriendo una distancia igual a 15 m. Luego
de lo cual decide ir a hacer unas compras al
supermercado tomando la dirección S37°E re-
corriendo una distancia de 20 m; finalmente,
cambia su dirección según N37°E recorriendo
una distancia de c m y notando que se en-
cuentra justo al Este de su casa. ¿A qué distan-
cia de su casa se encuentra?
a. 29,50 m
b. 30 m
c. 25,75 m
d. 29,25 m
10. Desde un punto en la tierra un hombre mira la
parte más alta de un edificio con un ángulo de
elevación «x». Una semana después ocurre un
terremoto y éste mismo edificio se desvía des-
de su base un ángulo α respecto a la vertical y
hacia el lado del punto de observación. Desde
el mismo punto el mismo hombre observa el
edificio, que no ha perdido su longitud, bajo
un ángulo de observación β. Halla ctg x.
a. cos (β – α) . sec β
b. sen (x + α) . sec β
c. sen (x – α) . csc β
d. cos (β – α) . csc β
Nivel destacado (UNI 2014-I)
11. Un águila se encuentra a una altura H y ve a
una liebre de altura h. se lanza sobre la presa
a lo largo del tramo de la trayectoria descrita
por la gráfica de la función f(x) =
1
x – 1
, x > 1,
llegando a su presa. Determina la tangente del
ángulo de depresión con el cual el águila vio al
inicio su presa.
a. 1
h
b. hH c. H
h
d. H – h
h
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
b c d c d b a a d d b

Cuaderno de trabajo
57
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
UNIDAD
Educación Secundaria
2
TRIGONOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
57

58
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Reducción al primer cuadrante
Recordamos lo aprendido
1. Signo de las razones trigonométricas:
Analizaremos cuadrantes a los que pertene-
ce α para determinar el signo de las razones
trigonométricas.
IC IIC IIIC IVC
sen + + – –
cos + – – +
tg + – + –
ctg + – + –
sec + – – +
csc + + – –
α
2. Reducción al primer cuadrante:
a. Usando los cuadrantales 90° y 270°
. . . . ( )R T
x
x
CoR Tx
270
90
°
°
!
!
+
= -
J
L
K
K
K K
N
P
O
O
O O
b. Usando los cuadrantales 180° y 360°
. . . . ( )R T
x
x
R Tx
360
180
°
°!
!
-
=
J
L
K
K
K K
N
P
O
O
O O
Donde en ambos casos el signo depende del
cuadrante al que pertenece el ángulo inicial
y de su R.T.
Para ángulos mayores que 360°
Si °360>a y además nN!
° . .() ..()n R T R T360 &:a i a i= + =
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Reduce la siguiente expresión
( )
( ) ( )cos
M
senx sen x
sen x x
180
360 2 70
°
° °
:
:
=
-
- +
2. Si el punto ;Q 48-_ i pertenece al lado final del
ángulo en posición normal β, calcula el valor de
cosE tg4 5b b= -
3. Calcula el valor de R si � + β = π
( )sec
sec
R
tg
tg
180
2 3
4 5
2 3
°a
a b
b a
b a
=
-
+
+
+
+_
_
_i i
i
Usando los cuadrantales de 360°, 270° y 180°
Tenemos que: sen (360°– x) = –senx
cos (270°+ x) = senx
sen (180°– x) = senx
Nos queda:
M
sen xsen x
sen xsen x
1
:
:
=
-
=-
Del dato, tenemos que: a + b = π
Además:
●sec s ec
sec s ec
sec s ec
2 3 2
2
a b a b b
r b b
r a a
+ = + +
= +=
= - =-
_
_
_
`_i
i
i
ij
● ( ° )sec s ec180a a- =-
●
tg tg
tg tg
2 3 2
2
b a b a a
r a a
+ = + +
= +=
_ `
_
_i i
i
j
●
tg tg
tg tg
4 5 4
4
b a a b a
r a a
+ = + +
= +=
_ `
_
_i
i
i
j
Reemplazamos y tenemos que:
sec
sec
R
tg
tg
1 12
a
a
a
a
=
-
-
=+=+
Realizamos la gráfica del ángulo y calcula-
mos el radio vector

x
y
Q (–4; 8)
b
Por T. de Pitágoras
r
2
= (–4)
2
+8
2
r = 4 5
Entonces tenemos que
costg
4
8
2
4 5
4
5
1
/b b=
-
=- =
-
=-
Calculamos E, entonces tenemos que
E E
E
4 2 5
5
1
8 1
7
&: := - - - =-+
=-
J
L
K
K
K K
_
N
P
O
O
O O
i

Cuaderno de trabajo
59
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Nivel intermedio
4. En un triángulo ABC, calcula el valor de
cos
G sen
A B C
A B C
tgA B
tgC4
2
=
+ +
+
+ +
+
-
b
_
_
l
i
i
5. Si tg
2
5
13
4r
a+=
-
b l y α es un ángulo en el
primer cuadrante, halla el valor de cossen13 a a
6. Calcula el valor de
° ° °... °cos cos cos c osP 1 2 3 180= + + + +
Nivel avanzado
7. Halla el valor de ctg �
y
x
-3
3
P
α
8
L

8. Calcula tg θ en el siguiente gráfico:

y
x
Q(6;-5)
P(-3;-2)
θ
O
Del dato tenemos: A+B+C=π
Además: sen
A B C
sen
2 2
1
r+ +
= =
b bl l
cos c os
tgA B tg C tg C
A B C 1
r
r
+= - =-
+ + = = -
_
_
_i
i
i
Entonces reemplazamos:
G
tgC
tgC4 1
1
4= +
-
-
- =
_
_
i
i
Observamos que
cos c os cos cos
cos c os cos cos
cos c os cos c os
1 1 79 1 1 790
2 1 78 2 1 780
89 91 89 91 0
° ° ° °
° ° ° °
° ° ° °
&
&
&
h
=- + =
=- + =
=- + =
Y además ° °cos c osy900 1 80 1= = -
Luego sumando todas las ecuaciones te-
nemos por lo tanto que P = –1
En el gráfico ubicamos el ángulo α de tal
forma que α + θ están en posición normal.

y
x
Q(6;-5)
P(-3;-2)
θ
αO
Utilizando propiedad de ángulo compuesto :
tg
tg
tg tg
tg tg
3
2
1
6
5
6
5
3
2
9
5
6
5
9
4
2
3
8
27
&
&
:i
i
i i
i i
=
--
-+
+ =-+
= =
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Del gráfico tenemos que la pendiente es
m = 1, además (x
0
; y
0
) = (0 ; 3).
x
y
xy1
0
3
3 0&=
-
-
- -=
Luego tenemos que el punto P es ;x 81_ i,
además P!L, entonces
x x8 3 0 51 1 &- - = =
Para calcular ctg �, � debe ser un ángulo
en posición normal entonces tenemos
Luego tenemos
del gráfico que
( )ctg
ctg
180
8
5
8
5
°a
a
+=
=
X
8
180°
3
-3
P
Y
α
L
Del dato tenemos que
tg ctg c tg
2
5
13
4
&
r
a a a+=- =b l
Dado que IC!a , entonces

B
A C
c
4k
a
k13
Entonces, cossen
29
13
29
4
/a a= =
Reemplazando tenemos que
cossen13 13
29
13
29
4
29
52
: :a a = =
Por T. de Pitágoras
c k k
c k
13 4
29
2
2
2
= +
=
` _j i
Luego, tenemos
del grafico que
tg
tg
6
5
3
2
a
a i
=-
+=_ i

60
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel b?sico
1. Reduce:
( )
( )
( )
T
tgx
tg x
sen x
sen x1440
1080
2 720°
°
°
=
-
+
+
+
-
_ i
a. 5 b. –2 c. –3 d. 3
2. Simplifica:
( )
( )
( ) ( )cos
cos
N
sen x
sen x
x
x
tg x
tgx
180 1 80 180° ° °
=
-
-
+
-
-
+
-
-_ _i i
a. 2 b. 10 c. –1 d. 1
3. Siendo A y B complementarios. Halla el valor de
la siguiente expresión
( )cos csc
sec
B
sen AsenB
ctg A
tgB
B
A
sen A
90°-
+ + -
a. 0 b. 2 c. 4 d. 3
4. Si el punto ;P 53-_ i pertenece al lado final del
ángulo en posición normal θ, calcula el valor de
E ctg sen6 3 4i i= -
a. 5 b. –2 c. –7 d. 3
5. Halla el valor de M
cos c os cscM t g
6
553
4
325
3
673
4
321r r r r
=
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
b b
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
l l
a.
2
1 b. 0
c.
2
3
- d.
2
1
-
Nivel intermedio
6. Sea un triángulo ABC, el cual tiene sus ángulos
en progresión aritmética, donde A es el menor
y C es el mayor de los ángulos, determina el
valor de:
cos
cos
sen BC
sen A B C
B C
B A C3 2 2 3
-
+ +
+
-
+ +_
_
_
_i
i
i
i
a. 5 b. –2 c. 0 d. 3
7. Sea θ un ángulo del segundo cuadrante.
.
,
sec
cos
sen
n
sen n n
n
321
4
2 2 4 1
3
161
4
Z!i
r
r r
=
+
+ +b_
b_
b_il
il
il
Calcula el valor de – 2 cos θ.
a.
2
1 b. 0 c. –1 d. 1
8. Siendo α y β ángulos complementarios. Calcu-
la el valor de R.
( )sec
sec
R
tg
tg
90
2 3
4 5
2 3
1
°a
a b
b a
b a
=
-
+
+
+
+
-
_
_
_i i
i
a. 2 b. –1 c. 0 d. 1
Nivel avanzado
9. Si tg (π + α) = 7 y α ∈ III C.
Calcula 7 sen 2α.
a.
25
49 b. 0 c. –3 d. 7
10. Del gráfico, calcula el valor de
sen
tgctg
5
a
a b+
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
y
x
O
(-4,-2) (5,-3)
α
β
a.
4
1
-
b. 1
c.
4
1
d.
2
11
11. Sea N tg
4
683
2
r
a= +-b l . Si α
π π
∈






4 2
;. Halla el
máximo valor de N.
a. 1- b. 1 c. 2- d. 0
Nivel destacado
12. De la siguiente figura, calcula el valor de x+ 3,
si costg seni a a- = -_ i
α
θ
-3
4
7
N(6,x)
M(6,7)
x
y
a. 6 5- b. 13 c. 4 d. 7
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
c c b c c c d b a d a a

Cuaderno de trabajo
61
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Circunferencia trigonométrica
Recordamos lo aprendido
Variación de las razones trigonométricas
a. sen1 1# #a-
b. cos1 1# #a-
c. tg3 31 1a- +
d. ctg3 31 1a- +
e. sec s ec1 10# #a a-
f. csc c sc1 10# #a a-
Representaciones auxiliares
α
A
X
Y
0(cos α;0)
verα
α
A
X
Y
0
(0;senα)
covα
(0;1)
Y
X
A0
(secα;0)
α
exsecα
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Se sabe que θ ∈ III C. Halla el intervalo de varia-
ción de la siguiente expresión:
cos
P
5
4 3i
=
-
2. Sea la circunferencia trigonométrica y la recta
tangente L
T
. Halla el área de la región sombreada.
θ
LTL

3. Halla la variación de P sen c v2 1
2
a q a= + +
4.
Dado que θ ∈ III C, entonces tenemos que
la variación del coseno será la siguiente:
–1<cos θ <0
Luego tenemos que:
cos c os
cos
P
4 4 0 7 4 3 3
5
7
5
4 3
5
3
5
7
5
3
&
&
1 1 1 1
1 1 1 1
i i
i
- - -
-
-
- -
-
-
Por lo tanto, el intervalo de variación de P
es:
;
5
7
5
3
- -
Identificamos las razones trigonométricas
en el gráfico

LTL
θ
|cosθ|
|tgθ|
Ya queIIC!i , entonces:
cos c os tg tg/i i i i=- =-
1 23444 444
Z
Hallamos el área:
cos
cos
cos
A
tg sen
sen
2 2
1
2
1:
:
i i
i
i
i
i=
- -
= =
Sabemos que cov α = 1 – sen α…(γ)
Reemplazando (γ) en lo que nos piden:
P = sen
2
α + 2 cov α + 1
P = sen
2
α + 2(1 – sen α ) + 1
P = sen
2
α + 2 – 2 sen α + 1
P = (sen
2
α – 2 sen α + 1)+2
P = (sen α – 1)
2
+2
Dado que – 1≤ sen α ≤1, entonces:
–2≤sen α – 1 ≤ 0
0≤(sen α – 1)
2
≤ 4
2≤(sen α – 1)
2
+ 2 ≤ 6
2 ≤ P ≤ 6
Por lo tanto, la variación de P es:
;P 26!7 A

62
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Calcula el valor de PQ en función de α.
4.
y
x
P
T
O A
α
Q
5. En la circunferencia trigonométrica, halla el área
de la figura sombreada.
4.
y
x
θ
LTL
Nivel avanzado
6. En el círculo trigonométrico de la figura, determi-
na el área del triángulo sombreado. (UNI 2015 – II)
4.
θ
y
x
4.
7. Halla el área de la región triangular PQS
8.
θ
x
y
S
P
Q
4.
En el gráfico tenemos que

θ
θ
y
x
A1
A2
1
cosθ
Del gráfico calculamos las áreas A
1
y A
2
cos cos cos cos
A A
2
1
2 2
1
2
1 2
:
/
:i i i i
= = = =
Luego el área sombreada es A = A
1
+ A
2
,
entonces reemplazando lo hallado tene-
mos que
cos cos
cosAA
2 2
&
i i
i= + =
En el gráfico trazamos la altura QH del trián-
gulo PQS

θ
x
y
S
P
Q
H
senθ
exsecθ
Del gráfico tenemos que QH =sen θ y dado
que la exsec θ tiene dirección positiva enton-
ces PS =exsecθ, luego tenemos que:
sec sec
A
sen ex sen
A
tgsen
2 2
1
2
PQS
PQS
: :i i i i
i i
= =
-
=
-
3
3
_ i
En la circunferencia trigonométrica se tiene:

y
x
P
T
O A
α
Q
sec α
csc α
Luego aplicando el T. Pitágoras para los
triángulos OPT y OTQ , tenemos que:
csc
sec
PT PT ctg
TQ TQ tg
1
1
2 2 2
2 2 2
&
&
a a
a a
+ = =
+ = =_ i
Por último, tenemos que
PQ PT TQPQtgctg& a a=+ = +
Del gráfico tenemos:

y L T
x
θ
1
1
|senθ| |senθ|
|cosθ|
|senθ| =h
Como IIIC!i entonces:
cos cossen sen/i i i i=- =-
1 23444 444 1 23444 444
Hallamos el área del trapecio:
cos
cos cos
A
sen
A
sen
sen
2
1 1
2
2
2
1
i i
i i
i
i
=
- +-
=
- -
= -
J
L
K
K
K
_
_
^
^
N
P
O
O
O
i
i
h
h8 B

Cuaderno de trabajo
63
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. En la siguiente circunferencia trigonométrica,
halla el área de la región sombreada.
y
x
θ
a. senθ b. –senθ c. cosθ d. –cosθ
2. Calcula el área de la región sombreada.
y
x
CT
θ
a.
cossen
2
:i i
b.
cos
2
i-
c.
cossen
2
:i i-

d.
cos sen
2
i i+
3. En el siguiente gráfico, calcula la medida del
segmento AP.
y
x
PA
α
B
a. −verα − ex secα
b. secver ex:a a
c. secver exa a-
d. secc vex:q a a
Nivel intermedio
4. En la siguiente gráfica, calcula PQ
Q
x
P S
y
α
a.
tg
2
a
b.
ctg
2
a
c. tg
2
a
b l
d. ctg
2
a
b l
5. Determina la variación de la expresión
5. M = 2 verα + sen
2
α + 1
a. ;1 57 A b. ;2 67 A c. ;1 1-7 A d. ;0 47 A
Nivel avanzado
6. Halla la variación de cosM v er1
2
b b= - +
a. ;
4
1
4
2
- -; E
b. ;
4
1
2-; E
c. ;
4
1
2
-
R
T
S
S
S
SS
d. ;
2
1
4
1
-
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
7. En la circunferencia mostrada, se tiene una
circunferencia trigonométrica donde PQ es
tangente a la circunferencia en P. calcula el
área del trapecio OMPQ en función de θ.(UNI
2019-II)
P
θ
Q
M
O
a. cos sec
sen
2
i
i i+_ i
b.
cos
cscsen
2
i
i i- +_ i
c.
cos
cscsen
2
i
i i- +_ i
d. cos sec
sen
2
i
i i- +_ i
Nivel destacado
8. Halla el área de la región sombreada
θ
y
x
a. ver cv
2
1
i qi
b. sen cs
2
1
i qi
c. ver cvi qi
d. cossen
2
1
1
2
i i- +_ i
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
b a a d a b b a

64
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Identidades trigonométricas
Recordamos lo aprendido
Identidades pitagóricas
1. cossen 1
2 2
a a+ =
2. sectg1
2 2
a a+ =
3. cscctg1
2 2
a a+ =
Identidades por cociente
1.
cos
tg
sen
a
a
a
=
2.
cos
ctg
sen
a
a
a
=
Identidades reciprocas
1. cscsen 1:a a =
2. cos sec 1:a a =
3. tgctg 1:a a =
Identidades auxiliares
1. cos c ossen s en1 2
4 4 2 2
a a a a+ = -
2. cos c ossen s en1 3
6 6 2 2
a a a a+ = -
3. sec csctgctga a a a+ =
4. sec csc sec csc
2 2 2 2
a a a a+ =
5. cos c ossen s en1 2 1 1
2
a a a a+ = + ++_ _ _i i i
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Si cossen x x
5
1
+ = , calcula E = sec x + csc x
2. Simplifica la siguiente expresión:
1. A
ctg xctg x
tgx tg x
3
3
=
+
+
3. Elimina x.
Si: cos c osssen x x p enx x q3 3 /+ = - =
4.
4. Simplifica la siguiente expresión:
5.
c
t
csc c sc
sec s ec
W
x tg x x ctgx
x gx x tgx
1 1
1 1
=
+ - - +
+ + - -
_
_ _
_
i
i
i
i
6.
Elevamos al cuadrado ambos lados de la
igualdad del dato
(sen x + cos x)
2
=
5
1
2J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
cos cossen x sen xx x2
25
12 2
+ + =
cos c ossen xx s enx x1 2
25
1
25
12
&+ = = -
Desarrollamos E
sec csc
cos c os
cos
E x x
x senx senx x
sen x x1 1
= + = + =
+
Reemplazamos con los datos ya obtenidos
E
25
12
5
1
12
5
=
-
=-
Por lo tanto, E
12
5
=-
Factorizando tenemos
g g g gt t t t
A
ctg xctg x
x x
ctg xctg x
x x
1
1
3
3
2
2
=
+
+
=
+
+_
_
i
i
Usaremos las identidades pitagóricas:
g g
g
g
csc
t sec t cos
t t
t
A
ctg x x
x x
ctg x
x
sen x
x
x gx
A x
1
1
4
2
2
2
2
2 2
: := = =
=
Elevamos al cuadrado ambas expresiones
y tenemos:
cos c os
cos c os
sen x x senx x p
sen x x senx x q
9 6
9 6
2 2 2
2 2 2
+ + =
+ - =
Sumamos ambos resultados y nos queda:
cossen x x p q10 10
2 2 2 2
+ =+
Por lo tanto, nos queda:  p q 10
2 2
+=
Asociamos, para obtener diferencia de
cuadrados
ctg
g g
g
csc c sc
sec t sec t
csc
sec t
W
x x x ctgx
x x x x
W
x ctgx
x x
1 1
1 1
1
1
2 2
2
2
=
+ - - -
+ + - +
=
- -
- +
_
_
_
_
_
_
i
i
i
i
i
i8
8 8
8
B
B
B
B
csc
sec
W
x c tgx ctgx
x t g x tgx
1 2
1 2
2 2
2 2
=
- - +
- - -
_
_
i
i
Tenemos que:
g g g
ctg
gt t t t
W
ctg xctg x ctg x
x x x
x
x
2
2
2
2
2 2
2 2
=
- +
- -
=
-
Por lo tanto, gtW x
2
=-

Cuaderno de trabajo
65
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Nivel intermedio
5. Si se cumple que sen x + cos x = m
4. Halla el valor de
g ctgt
sec csc
V
x x
x x
1
1
2 2
=
+ -
+ -
6. Si
seccos
cos
E
x x sen x
sen x x
1 2 2
2 2 2
8 8
=
- -
-
_ _ i i
7. Determina el valor de
E
1
–1
8.
Nivel avanzado
7. Si se cumple que
cos
cos
sen x x
sen x x
4
1
6 6
4 4
+
+
=
Determina el valor de tg
2
x + ctg
2
x + 1
8. Si x ∈ IC , simplifica la siguiente expresión
cos c os
cos cos
E
sen x x senx x
sen xsen xx x
3
2 1
1
2 2 4 6
=
+ +
+ + +
-
_ i
Por diferencia de cuadrados, tenemos:
cos cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
cos c os
E
x x
x
sen x
sen x xsen x x
E
sen x x
x
sen x x
sen x x senx x
1
1
2
1 2
2 2
2
2
4 4 4 4
2 2
2
2 2
2 2 4 4
=
- - -
- +
=
-
-
- +
J
L
K
K
K K
J
L
K
K
K
_
_
_
_
_
_
N
P
O
O
O O
N
P
O
O
O
i
i
i
i
i
i
Utilizando diferencia de cuadrados e
identidades auxiliares
sec c os cos
cos c os
sec
cos
E
x senx x sen x x
sen x x senx x
E
x
x
1
2 2 2 4 4
2 2 4 4
2
2
=
- +
- +
= =
_
_
_
_
i
i
i
i
Por lo tanto sec
E
x t g x
1
1 1
2 2
- = - =
Por identidades auxiliares tenemos que
cos
cos
cos c os
cos
sen x x
sen x x
sen x x s enx x
sen x x
1 3
1 2
4
1
4 8 1 3
5
3
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
-
-
=
- = -
=
Luego tenemos por identidades auxiliares
que
sec csctgx ctgx x x
2 2
+ =_ _i i
cos
tgx ctgx
sen x x
12
2 2
+ =_ i
tgx ctgx
3
52
+ =_ i
tg
2
x + 2 tg x ctg x + ctg
2
x =
3
5
tg
2
x + 1 + ctg
2
x =
3
2
Resolviendo la fracción
cos c os
cos
E
x senx senx x
sen x x
3
2 1 1
1
2 2 6 6
=
+ +
+ +
-
_ _ i i
Utilizando las identidades auxiliares
cos c os
cos
E
x senx s enx x
sen x x
3 1 3
1
1
2 2 2 2
2
=
+-
+ +
-
_ i
cosE senx x 1 1= + + -
Luego como x IC! , entonces tanto sen x
como cos x son positivos, entonces
cos c ossen x x s enx x1 1+ + = + +
Entonces en E tenemos que
cosE senx x 1 1= + + -
Por lo tanto, E = sen x + cos x
Utilizando el dato, lo elevamos al
cuadrado
cos
cos cos
cos c os
sen x x m
sen x sen xx x m
sen xx m sen xx
m
2
1 2
2
1
2
2
2 2 2
2
2
&
+ =
+ + =
+ = =
-_ i
Por identidades reciprocas tenemos que
( )
...csc secx x
m 1
2
2
a=
-
^ h
Resolviendo V, utilizando las propiedades
auxiliares
sec csc
sec csc
sec csc
sec csc sec csc
sec csc
V
x x
x x
V
x x
x x x x
V x x
1
1
1
1 1
1
2 2
=
-
-
=
-
- +
= +
_ ^i h
Reemplazando (a) tenemos que
V
m m
m
V
m
m
1
2
1
1
2 1
1
1
2 2
2
2
2
=
-
+=
-
+ -
=
-
+

66
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Reduce la expresión
sec coscos cscsen x x x x x sen x
2 2
+ + +
a. ctg xsen x+
b. csc secx x+
c. cossen x x+
d. g gct tx x+
2. Determina el valor de
csc
cos cos
E
sen x x x
x
1
1
1
1
2 2 2
2
=
-
+
-
-
a. 2 b. 0 c. 1 d. 3
3. Calcula el valor de A
sec
A A
x
1
1
1
1
2
2
+
+
-
=
a. cossen xx
b. cos x
c. sen
2
x
d. sen x
4. Reduce la expresión
g gcos t sec tx x sen x x x+ - +
a. tg x b. ctg x c. sen x d. cos x
5. Simplifica la siguiente expresión
g ctgt
sec csccos
Y
x x
x x x senx
=
-
+ -_ _i i
a. 2 b. –2 c. –1 d. –3
Nivel intermedio
6. Se tiene la siguiente igualdad
cossen x x
2
14 4
- =
Calcula el valor de cos x si x∈IVC
a.
2
1
- b.
2
1
c.
4
1
- d.
4
1
7. Elimina x de
cos cos
sen xsen xm
x x n
2 4
2 4
- =
- =
a. m n
2
=
b. m n=
c. n m
2
=
d. m n=-
8. Halla el menor valor entero que toma la si-
guiente ecuación:
gt s ecM x x4 4 3
2
= + +
Además ,x0
2
!
r
a. 5 b. 12 c. 8 d. 6
9. Si se cumple que
g
g
t sec
sec t
x
y
1
1
a a
a a
+ + =
- +=
Elimina α
a. y
x
y
1- =
b. x y1=+
c. xyy 1=+
d. y x2 1
2 2
+ =
10. Si x∈ IV C , reduce la siguiente expresión
cos
E
x
sen x
21
1
=
+
-
^ h
Luego calcula gsec tP
E
x x
1
= - -
a. –1 b. 2 c. 1 d. –2
11. Si gsec tx y 7= =
Calcula el valor de secP y tgx
2 2
= -
a. 3 b. 1 c. 2 d. –1
Nivel avanzado
12. Si g ctgt x x 2
2 2
+ = y x pertenece al tercer cua-
drante, determina el valor de E
g c tg
g c tg
t
t
E
x x
x x
15 15
10 10
=
+
+
a. 1 b. 4 c. 2 d. 6
13. Si el ángulo θ satisface sen s en1
2
i i= - , calcula
gcsc tM
2 2
i i= -
a. 2 b. 3 c.
2
1
d. 2
14. Halla el mayor valor entero que toma la si-
guiente ecuación:
cosN senx x6 9 15
2
= + +
a. 25 b. 15 c. 12 d. 14
Nivel destacado (UNI - 17 I)
15. Al eliminar α y β de las igualdades
g g
cos
cos
t t
p sen q a
q sen p b
p q
2 2
2 2
a a
b b
a b
+ =
+ =
=
Donde p≠q, obtenemos.
a.
p q ab
1 1 1 1
- = -
b. p q a b- = -
c. p q a b+=+
d.
p q ab
1 1 1 1
+=+
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
b b d a c b b c a c c a a a d

Cuaderno de trabajo
67
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Razones trigonométricas de ángulos compuestos
Recordamos lo aprendido
R.T. de ángulos compuestos
1. Razones trigonométricas de la suma y dife-
rencia de dos ángulos:
Dados α y β ángulos, se cumple que
( )
( ±)
( )
cos cos
cos c oscos
sen s en sen
sen sen
tg
tg tg
tg tg
1
±
±
±
!
"
" :
a b a b a b
a b a b a b
a b
a b
a b
=
=
=
Teorema
• Si A y B son constantes reales y x una
variable, entonces:
cos
cos
Asenx B x A B senx
Asenx B x A B senx
2 2
2 2
a
a
+ = + +
- = + -
_
_
i
i
sí y solo sí
;cos
A B
A
sen
A B
B
2 2 2 2
a a
+
=
+
=
Donde   ;R A B R A B
2 2 2 2
min m ax=- + = +
Propiedades adicionales
a. :; ;
g g g
ctg
t t t t t t
secumple
g AgB g C
SiA B C nn
A B C
A ctgB ctgB ctgC ctgA ctgC 1
Z!r
+ + =
+ + =
+ + =
b.
; ,
ctg
tg
SiA B C n n se cumple
ctg A B ctgC ctgA ctgB ctgC
A tgBtgB tg CtgA tg C
2 1
2
1
Z!
r
+ + = +
+ + =
+ + =
_ i
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Determina el valor de la expresión:
( ) ( )
cos x
sen x sen x60 60
1
° °
+ + -
+
2. Si se cumple que 45
°
i n+= ; tg
5
3
i=;
determina el valor de tgn.
3. Calcula el valor de tg 61°.
Nivel intermedio
4. Calcula el valor de tg β
A
1
B
2
3
D 4
E
C
θ
β
α
Desarrollaremos el numerador:
( )
( )
cos c os
cos c os
sen x sen x sen x
sen x sen x sen x
60 60 60
60 60 60
° ° °
° ° °
+= +
- = -
Sumando ambas expresiones:
( ) ( ) …()cossen x sen x sen x60 60 2 60
° ° °
a+ + - =
Reemplazando (α) tenemos:
cos
cos
x
sen x2 60
1 3 1
°
+=+
Del dato tenemos que
θ + μ = 45°   ⇒   μ = 45°–θ
Desarrollando tg
tg tg
tg tg
1 45
45
°
°
n
i
i
=
+
-
Reemplazando los valores
tg tg
1 1
5
3
1
5
3
4
1
&
#
n n=
+
-
=
Expresamos 61° en suma de angulos nota-
bles, entonces:
61° = 53°+8°
Luego, aplicamos tangente de la suma,
entonces:
° °
° °
tg
tg tg
tg tg
tg tg
538
1 53 8
53 8
61
1
3
4
7
1
3
4
7
1
21
17
21
31
61
17
31
° °
° °
&
:
:
+ =
-
+
=
-
+
= =
^ h
Del gráfico se observa que 180a bi+ +=
Además de los triángulos ABC y CDE
gt t g
2
1
3
4
/a i= =
Luego utilizando la propiedad adicional y
reemplazando los valores tenemos que
g g
g g
t t
t t
2
1
3
4
2
1
3
4
6
11
3
1
2
11
&
: :b b
b b
+ + =
=- =-

68
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
5. Se cumple que sen (α + x) = 6 sen (α – x). Calcu-
la el valor de N
tgx
tg
2
a
= +.
6. Determina el valor de M si
° ° °cos c ossen M10 10 35+ =
7. Del gráfico, halla el valor de x.
C
D
B A
6
237°
x
Nivel avanzado
8. Calcula el valor de sen φ.
β
α
ϕ
6
5
4
3
9. Si tg α y tg β son raíces de la ecuación
x
2
– 7x + 5 = 0
Determina el valor de sec
2
a b+_ i
Del gráfico se observa que
α +β + φ = 90°
Además, se cumple que
tg tg
6
3
2
1
5
4
/a b= = =
Luego, utilizando la propiedad adicional
se tiene:
tg tg
tg tg
2
1
5
4
5
4
2
1
1
5
2
10
13
1
13
6
&
: : { {
{ {
+ + =
+ = =
Ubicamos φ en un triángulo rectángulo:
c
13
6
ϕ
. áPorTdePit goras
c
c
c
136
205
205
2 2 2
2
= +
=
=
Por lo tanto, sen
205
6 205
{=
Desarrollemos el dato que nos dan:
● cos c ossen xsen x sen x: :a a a+ = +^ h
● cos c ossen x sen x sen x6 6 6: :a a a- = -_ i
Restando las ecuaciones:
:
cos c os
cos c os
sen x sen x
x
sen x sen
tgx tg
Nos piden
N
tgx
tg
0 7 5
7 5
5
7
2
5
7
2
5
17
&
: :a a
a
a
a
a
= -
= =
= +=+=
Por la propiedad de Cardano tenemos que
tg tg tg tg
1
7
7
1
5
5/ :a b a b+ =-
-
= = =
Luego calculamos gta b+_ i
tg
tg tg
tg tg
1 :
a b
a b
a b
+=
-
+
_ i
Reemplazando tenemos que
tg tg
1 5
7
4
7
&a b a b+=
-
+=-_ _i i
Utilizando identidades trigonométricas
calculamos seca b+_ i
tgsec
sec
1
16
65
2 2
2
a b a b
a b
+= + +
+=
_
_
_i
i
i
Aplicando el teorema obtenemos lo
siguiente:
( ) ( )
, °
cos
cos
sen M I
Donde sen y
1 1 10 35
2
1
2
1
45
° ° …
2 2
&
: a
a a a
+ + =
= = =
Reemplazando en (I) tenemos que
( ) cos
cos c os
sen M
M M
2 10 45 3 5
2 35 3 5 2
° ° °
° ° &
+ =
= =
α
C
D
B A
6
237°
x
Luego calculando tg (� + 37°)
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x x x x
8
1
2
4
3
2
4
3
8
4
4 6
4
8 3
8
4 6
8 3
32 48 8 3 4 0 4
2 2
& &
& &
:
=
-
+
=
-
+
=
-
+
- = + - = =_ i
Del grafico tenemos que
ABD tg
x
ABC tg
x
2
37
8
°
&
&
V
V
a
a
=
+ =_ i

Cuaderno de trabajo
69
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Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Refuerzo en casa
Nivel b?sico
1. Si α+β=45°, determina el valor de
tg tg tgE t g :a b a b= + +
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
2. Simplifica la siguiente expresión:
( ) ( )
( ) ( )cos c os
E
sen s en60 60
45 45
° °
° °
a a
a a
=
+- -
+- -
a. 2- b. 2 c. 2 d.
2
2
3. Si se cumple que ( °)tg 45
3
1
a- = , calcula el va-
lor de tg α.
a. 1 b. 2
c.
2
1

d. 3
4. Determina el valor de P si
° ° ( °)cos c ossen P3 20 4 20 17+ = -
a. 5 b. 3 c. 4 d. 7
Nivel intermedio
5. Si se cumple
cos
sen IIC
IIIC
10
1
17
4
!
!
a a
b b
=
=-
Halla el valor de tga b+_ i.
a.
7
1
b.
7
1
- c.
13
1
d.
13
1
-
6. Si ABCD es un cuadrado, halla el valor de tg θ

B C
A D
θ
4 1
a. 1 b. 4 c. 9 d. 5
7. Halla el máximo valor de Q:
( ) ( )Q sen x sen x37 53 1
° °
= + + -+
a. 2- b. 5 c. 5 1+ d. 2 1+
8. Si
tg tg
ctg ctg
x y m
x y n
- =
- =
Calcula tgx y-_ i en función de m y n
a.
m n
mn
-
b.
m n
mn
+
c.
n m
nm
-
d.
m n
n
+
Nivel avanzado
9. Calcula el valor de tg x si se tiene el siguiente
gráfico

45°
P
Q
R
N M
x
a.
5
8
b.
11
5
c.
11
3
d.
8
3
10. Dado el siguiente grafico
θ
α
β
Si se cumple que tg 3a=- y tg2b=,
determina el valor de θ.
a.
3
r
- b.
6
r
- c.
4
r
- d.
3
r
11. Si ; ;tgA tgBtgC están en progresión aritmética
donde tgB
3
2
= , calcula el valor de la razón si
además se cumple que A B C
2
5r
+ + =
a.
2
3
b. 3
c.
3
3 d. 2
Nivel destacado (UNI-2019 II)
12. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado. Si
BD corta a la circunferencia inscrita en P y Q es
punto de tangencia, calcula tg θ.
13.
θ
B Q
C
A D
P

a.
5
2 21-
b.
3
3 21-
c.
5 21
4
+
d.
4
2 21-
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a a c a d c d c c c c c

70
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70
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UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
TRIGONOMETRÍA
3

Cuaderno de trabajo
71
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
Razones trigonom?tricas de ?ngulos m?ltiples
Recordamos lo aprendido
1. Razones trigonométricas de ángulo doble
? cossen s en2 2a a a=
? cos c os sen2
2 2
a a a= -
? tg
tg
tg
2
1
2
2
a
a
a
=
-
? cos c ossen
4
3
4
1
4
4 4
a a a+ =+
? cos c ossen
8
5
8
3
4
6 6
a a a+ =+
2. Razones trigonométricas de ángulo triple
? sen s en sen3 3 4
3
a a a= -
? cos c os cos3 4 3
3
a a a= -
? tg
tg
tg tg
3
1 3
3
2
3
a
a
a a
=
-
-
? cossen s en3 2 2 1a a a= +_ i
? cos c os cos3 2 2 1a a a= - _ i
3. Razones trigonométricas de ángulo mitad
?
cos
sen
2 2
1
±
a a
=
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
? cos
cos
2 2
1
±
a a
=
+
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
?
cos
cos
tg
2 1
1
±
a
a
a
=
+
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Si α ∈ [0;π], se cumple:
? ...cos c os2
2
2 2 2 2 2 2
radicandos
n
n
a
a= + + + + + +
b l
1 2 34444444444444444444444444444444444444444444444
? ... cossen2
2
2 2 2 2 2 2
n
n radicandos
a
a= - + + + + +
b l
1 2 34444444444444444444444444444444444444444444444
Practica lo aprendido
Nivel b?sico
1. Calcula el valor de x si
2. ;x ICsen x2 2 2 3 !=+ +
2. Si °sen m80=, calcula el valor de P en térmi-
nos de m.
° °P ctg ctg40 50= +
3. Simplifica la siguiente expresión
cos
cossen
sen
2
4 4
2
a
a a
a
-
+
4. Calcula tg x en función de m y n si se cumple que
sen 3x – sen x = m
cos 3x + cos x = n
Le damos la forma a la expresión
2 cos
2
2 2 2 2
2
1
n :
a
= + + +b l
Reemplazando tenemos que
cos c os sen x
2
60
2
15
2
165
2
165° ° ° °
3
&= = =
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
Sabemos que por R.T de ángulos comple-
mentarios que ctg t g50 40° °= , entonces
P ctg tg40 40° °= +
Por propiedad de ángulo doble tenemos
cscP 2 80°=
Por dato sabemos que
° ° cscsen m
m
80 80
1
&= =
Por último, reemplazando en P se tiene
P
m
2
=
Sabemos por productos notables
cos c os cossen s en sen
4 4 2 2 2 2
a a a a a a- = + - _ _i i
Además 2cos c os sen
2 2
a a a= -
Reemplazando en lo que nos piden:
●
cos
coscos
sen
sen sen
sen
2 2
2 2 2 2
2
a a
a a a a
a
-
- +
+
_ _i i
●
cos
cos
sen
sen
sen
2 2
2 2
2
a a
a a
a
-
-
+
● cossen1
2 2
a a-+ =-
Por propiedades del ángulo triple tene-
mos que
En la primera ecuación
cos
cos
sen x x s enx m
x senx m
2 2 1
2 2
+- =
=_ i
En la segunda ecuación
cos cos cos
cos cos
x x x n
x x n
2 2 1
2 2
-+ =
=
_ i
Dividiendo ambas ecuaciones tenemos
que
tg
cos cos
cos
x x
x senx
n
m
x
n
m
2 2
2 2
&= =

72
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
5. Del gráfico halla el valor de tg
2
a
b l
15
a
3
6. Si tg2
12
5
a= y además α∈ II C , calcula el valor
de tg 3α

Nivel avanzado
7. Del gráfico, calcula tg θ
1
2
3
a
a
θ
8. Si x ∈ IC , calcula el mayor valor que puede to-
mar tg 2x si se cumple que
tgtgx tg x x12 4 4 12
2 3
- = -
En el gráfico podemos ver
15
a
a
3
12
18
3
Del triángulo sombreado hallamos cosα
cos
18
12
3
2
a= =
Luego hallamos el valor detg
2
a
b l
± ±tg tg
2
1
3
2
1
3
2
3
5
3
1
2 5
5
&!
a a
=
+
-
= =
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
Como α ∈ IC entonces tg
2
a
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
es positivo
Por lo tanto, tg
2 5
5a
=b l
En la gráfica tenemos que

1
2
3
a
a
θ
m
Utilizando tangente de ángulo doble
tg
tg
tg
m
m
m
m
m
2
1
2 3
1
1
2
1
1
1
3
2
3
2 2
2
&
&
:
a
a
a
=
-
=
-
- = =
J
L
K
K
K
b
N
P
O
O
O
l
Entonces tg2 3a= y tg2 2 3a i+=_ i ,
Calculando tg2a i+_ i
tg
tg
tg tg tg
2 3
1 3
3
2 36 3
7
3
&
i
i
i i i
=
-
+
- = + =
Resolviendo tenemos que
tgx tg x tgx
tgx tg x tgx
tgx
tgx tg x
tgx
4 3 4 13
3 1 3
1
1 3
3
3 1
2 3
3 2
2
3
&
- = -
- = -
=
-
-
=
_ _i i
Como x ∈ IC, entonces
3x = 45° ⇒ 2x = 30°
3x = 225° ⇒ 2x = 150°
Por último tenemos que
° °tg tg30
3
3
150
3
3
/= = -
Por lo tanto, tg 2x =
3
3
Por fórmula de ángulo doble tenemos que
tg
tg
tg
tg
tg
2
1
2
12
5
1
2
2 2
&a
a
a
a
a
=
-
=
-
tg tg
tg tg
tg tg
tg tg
5 5 24
5 2 4 5 0
5 1 5 0
5
1
5
2
2
0
a a
a a
a a
a a
- =
+ - =
- +=
= = -
_ _i i
Como α ∈ II C entonces tg α = –5
Calculamos el valor de tg 3α
tg
tg
tg tg
tg tg
3
1 3
3
3
1 3 5
3 5 5
3
37
55
2
3
2
3
&
:
:
a
a
a a
a a
=
-
-
=
- -
- --
=-
_
_
_i
i
i
●tg
m
1
a=
●tg
m
2
3
a=
●tg
m
2
6
a i+ =^ h

Cuaderno de trabajo
73
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si
cos
cos
x
x
1 2
1 2
7
1
-
+
=. Halla el valor de sen
2
x
a.
7
8
b.
7
8
- c.
8
7
d.
8
7
-
2. Reduce la siguiente expresión.
cos
cos cos
cos
2
3
4
i
i i
i
+
-
a. cos θ
b. sen θ –1
c. 2 cos θ
d. –2 cos θ
3. Si α ∈ IVC , simplifica la expresión.
cos c os
3 2
41 2 1 2a a+ - -` j
a. cos sen
3
4
a a+_ i
b. sen
7
6
a
c. sen
3
4
a
d. cos
3 2
4
a
4. Calcula el valor de P si
csc s eccos
P
x senx x x3
1
3
1
: :
= -
a. –2 b. secx c. cscx d. 2
5. Si ,cossen x x 04+ = . Halla sen 2x.
a.
25
23
b.
25
21
c.
25
21
- d.
25
23
-
Nivel intermedio
6. Si se cumple que
cos2
16
2 2 2
3
6 23a
= + + +
-J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
Determina el valor de tg α + ctg α
a.
2
3 2 b. 3 2
c.
2
3 2
-
d. 3 2
7. Calcula el valor de cosE sen
2 2
a a
= -
b bl l
, si
csc
20
9 5
a= y α ∈ IC
a.
3
5
b.
3
2 5-
c.
3
5 2+
d.
3
5 2-
8. Si se cumple que
sen
sen
x6
2
1
1
a
a
=
-
. Halla x en
función de α
a. cos4 2
2
a
b. cos4 2a
c. cosa
d. 2cos2a
9. Simplifica la expresión
sec s ec
ctg t g
2
4
2
3
1
4 2
2
2
i i
r
i i
-
- -b
_
_
l
i
i
a. sen 4ib. cos4 4ic. cos 4id. sen2θ
Nivel avanzado
10. Del gráfico, halla el valor de x.
x
10
8 β
β
a. 18 b. 24 c. 32 d. 45
11. Del gráfico, halla AB
C
B
A
P
D
5aa
2a
a. 10 b. 15 c. 5 d. secα
12. Si M = 1 – sen 2°cos 2°cos 4°cos 8°, calcula el
valor de 200M. (UNAC 2019-1)
a. 202 b. 190 c. 193 d. 203
13. Simplifica la siguiente expresión
(csc x+csc 2x+csc 4x+csc 8x+csc 16x+ctg 16x)
–1
a. ctg
x
4
J
L
K
K
K
N
P
O
O
Ob. ctg
x
2
J
L
K
K
K
N
P
O
O
Oc. tg
x
4
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
d. tg
x
2
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Nivel destacado
14. Calcula el valor de x ∈ [0 ; π], el cual hace que
la función tome su mínimo valor
f x
sen x
sen x sen x3 2 2
=
+
_ i
a.
3
2r
b.
3
r
c.
6
r
d.
6
5r
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
c d a d c c b d
9 10 11 12 13 14
a b a c d a

74
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Transformaciones trigonometricas
Recordamos lo aprendido
1. Trasformación de suma o diferencia a pro-
ductos
• cossen sen sen2
2 2
a b
a b a b
+ =
+ -J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
• cossen sen sen2
2 2
a b
a b a b
- =
+ -J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
• cos cos cos c os2
2 2
a b
a b a b
+ =
+ -J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
• cos cos sen s en2
2 2
a b
a b a b
- = -
+ -J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
2. Trasformación de producto a una suma o di-
ferencia
• cossen s en sen2ba a b a b= + + -_ _i i
• cossen s en sen2b a a b a b= +- -_ _i i
• cos cos cos c os2 a b a b a b= + + -_ _i i
• cos c ossen sen2 a b a b a b= - - +_ _i i
3. Propiedades
Si A+B+C=180° , se cumple
•
cos coscossenA senB senC
A B C
4
2 2 2
+ + =b b bl l l
•
sen Asen Bsen C senAsenBsenC2 2 2 4+ + =
• cos cos cosA B C sen
A
sen
B
sen
C
4
2 2 2
1+ + = + b b bl l l
• cos c os cos c oscos cosA B C A B C2 2 2 4 1+ + =- -
4. Propiedades adicionales
• sen xsen ysen xy senx y
2 2
- = + -_ _i i
• cos c os cosx seny x y x y
2 2
- = + -_ _i i
• sen kr
sen
r
sen
nr
sen
P U
1
2
2
2
k
n
1
:a+- =
+
=
^
b
b
bh
l
l
l7 A/
• cos c oskr
sen
r
sen
nr
P U
1
2
2
2
k
n
1
:a+- =
+
=
^
b
b
b
h
l
l
l
7 A/
• Donde:
• n: Cantidad de términos de la sumatoria.
• r: Razón de la progresión aritmética de los
ángulos.
• P: Primer ángulo de la serie.
• U: Ultimo ángulo de la serie.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Simplifica:
cos c os sec
sec
A
sen s en
25 35 5
55 35 10
° ° °
° ° °
=
+
+_
_
i
i
2. Si 12x – π = 0, calcula el valor de la expresión
P
sen x
sen xsen x
11
5 1 7
=
+
3. Reduce la siguiente expresión:
cos
N
sen x x
sen xsen xsen xsen x
3 10 7
5 8 15 2
=
+
Por transformación de suma a producto
cos cossec
cos sec
A
sen
2 30 5 5
2 45 10 10
° ° °
° ° °
=
Por razones trigonométricas reciprocas te-
nemos que
cos sec cos sec10 10 1 5 5 1
° ° ° °
/= =
cos
A
sen
301
451
3
6
°
°
:
:
= = A
3
6
&=
Por dato tenemos que 12x – π = 0 ⟹ x=
12
r
Resolviendo
cos
cosP
sen x
sen x x
P x
11
2 11 6
2 6&= =
Reemplazando x
12
r
= en P
cosP P2
12
6
0&
r
= =
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
Multiplicando por 2 numerador y
denominador:
cos
N
sen x x
sen xsen x sen xsen x
6 10 7
2 5 8 2 15 2
=
+
Además
cos
cos cos cos c os
cos
cos cos
N
sen x x
x x x x
N
sen x x
x x
6 10 7
3 13 13 1 7
6 10 7
3 1 7
=
- + -
=
-
Luego
cos
N
sen x x
sen xsen x
N tg x
6 10 7
2 10 7
3
1
7&= =

Cuaderno de trabajo
75
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
4. Halla el valor de
…cos c os cos c osM
11
2
11
4
11
6
11
20r r r r
= + + + +
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
Nivel intermedio
5. En la siguiente igualdad trigonométrica:
cos c os cos
cos c os cosm n p q
4 6 2
3 5 7
5 3
a a a
a a a
- +
=+ + +
Halla los valores de m,n,p y q.
6. José desea comprar un terreno de forma trian-
gular, si sabe que dos de sus lados miden cos 41°
y cos 33° y el ángulo formado por dichos lados
mide 30°. ¿Cuál es el área de dicho terreno?
7. En un triángulo ABC se cumple lo siguiente
cos A – 2 sen B sen C =
7
4
   y  sen A =
4
1
, deter-
mina el valor de k = sen2B + sen2C
Nivel avanzado
8. Sean α y β ángulos agudos, si sen α – sen β =
17
13
y cos α – cos β =
17
12
-. Calcula 313 cos (α + β).
Utilizando series trigonométricas:
, , ,
cos
cos
n r P U
M
sen
sen
M
sen
sen
sen
sen
M
10
11
2
11
2
11
20
112
2
112
102
112
2 20
11
11
10
11
11
1 1&
:
:
:
:
r r r
r
r
r r
r
r
r
r
r
= = = =
=
+
= = - = -
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
b
b
_
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
l
l
i
Como ABC es un triángulo entonces
A + B + C = 180° y se cumple que
sen 2A+sen 2B+sen 2C = 4sen A sen B sen C
sen 2A – 4 sen A sen B sen C = –k
Sea M = sen 2A – 4 sen A sen B sen C
M = 2 sen A cos A – 4sen A sen B sen C
M = 2 sen A (cos A – 2 sen B sen C)
Reemplazaando los datos tenemos que:
M=2
4
1
7
4
: :  M
7
2
&=
Por lo tanto, sen Bsen C2 2
7
2
+ =
-
cos
cos cos
sen sen sen
sen s en
17
13
2
2 2
17
12
2
2 2
a b
a b a b
a b
a b a b
- = =
+ -
- = - =-
+ -
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
Dividiendo ambas expresiones obtenemos
ctg
2 1 2
13a b+
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Dado que los ángulos ya b son agudos,
entonces °
2
90<
a b+

luego ubicamos el ángulo en un triángulo
rectángulo
13a
12a
a+β
  2
Nos piden 313 cos (α +β), entonces
cos c os
cos
2
2
2
2
1 2
313
169
1
313
25
2
:
a b a b
a b
+
=
+
- = -
+=
J
L
K
K
K K
J
L
K
K
K
_
N
P
O
O
O O
N
P
O
O
O
i
R
T
S
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
W
Por lo tanto, 313 cos (α+β) = 25
Llamaremos M a la siguiente expresión:
cos cos cosM 4 6 2
5 3
a a= - +
Resolvemos M
cos cos cos
cos cos cos
cos c os cos
cos cos
M
M
M s en sen sen
M s ensen
2 2 3 1
2 1 2 1
2 2 2 2
2
1
4
4
1
3 5
4 2
2 2
2
a a a
a a a
a a a a a a
a a a a
= - +
= - -
=- =-
=- =- -_
_ _ i
i
i
7 A
Comparando tenemos que
, ,m n p y q0
4
1
4
1
0= = - = =
Sea el terreno de forma triangular, calcu-
lamos su área:
cos cos
cos cos
A s en
A
2
1
41 33 30
8 2 41 33
° ° °
° °
: :
:
=
=
8 7 4 8
7
25
7
5 2
8
14 352
10
14 352
80
A
A
= ° + ° = +
=
+
⇒
+
cos c os
a313

76
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Reduce:
csc c scsen s en33 29 25 29
2
° ° ° °: : +
a. °csc 29b. °cos 5 c. sen 3° d. cos 4°
2. Simplifica la siguiente expresión:
sen s en sen s en
sen s en
80 50 27 3
107
2
47
2
° + ° + ° − °
°
( )
+
° ( )
a.
2
1
b. cos 20
°
c.
5
4 5

d. sen 7
°
3. Reduce la siguiente expresión:
cos c os
sen
sen s en
24
5 1 3 1 9 1 1: :
a
a a a a+
a. sen 3ab. cos 6a c. cos 2a d. sen 5a
4. Al copiar la expresión sen 40° – sen 20°, un
estudiante cometió un error y escribió
cos 40° – cos 20°. Calcula la razón entre la ex-
presión y lo que copió el alumno.
a. 3- b. 3 c. 2 3-
d.
2
3-
Nivel intermedio
5. Del siguiente gráfico, halla ctg θ.
sen 80° + cos 50°
sen 50° – sen 10°
θ
sen 50°-sen 10°
sen 80°+sen 50°
a. tg20
°
b. cos 50
°
c. sec 40
°
d. sen40
°
6. Al simplificar la expresión
cos
cos
sen
sen
31 31
17 17
° °
° °+
Se obtiene (UNMSM 07-I)
a. 2 2 b. 4 2 c. 2 d.
2
2
7. Determina el valor de P si senx y
4
1
+ =
_ i
cos
sen ysen x
x seny
sen x y
2 2
2 2 2
2 2
:+
-
+_ _
i
i
a.
2
1-
b.
2
1
c.
4
1-
d.
4
1
8. Si A y B son dos angulos agudos tales que se
cumple que cos AB
3
1
- =
_ i
y además A>B,
halla el valor de N
cos cos
N
sen AsenB
A B
=
-
+
a.
2
2-
b.
2
2 c. 2 d. 2-
Nivel avanzado
9. Del gráfico, halla – 3125A, si A sen sen9 7a a= +
O
Y
X
(1;3)
a
a. 159 b. 52 c. 336 10d. 1 296
10. Una hormiga recorre por cada n-esino segundo
una distancia de
4
3 18
3 2
12
cos
π π
n sen cm+( )





( )
Calcula la distancia recorrida desde el quinto
segundo hasta el decimocuarto.
a. sen
5
2
36
61r
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
b. cos
3
2
36
61r
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
c. cos
5
1
18
r
b l
d.
2
1
11. En un triángulo ABC se cumple
cossen AsenB
C
2
2
+ = b l
Luego el triángulo es
a. rectángulo
b. equilátero
c. escaleno
d. isósceles
Nivel destacado
12. En un triángulo ABC se cumple que los ángu-
los están en progresión aritmética de razón
r>0 y además cos c osA C a2 2+ =, calcula el
valor de cos 2r en función de a si se cumple
que A B C1 1
a. –a b. a2- c. a d. a2
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
d c b a a a b c c b d a

Cuaderno de trabajo
77
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
Resoluci?n de tri?ngulos oblicu?ngulos
Recordamos lo aprendido
b
c
A
B M G C P
a
V
a
V
a
*
m
a
a
2
A
2
A
2
a
2
a
a
1. Ley de seno:
sen A
a
senB
b
sen C
c
R2= = =
2. Ley de cosenos:
Acosa b c bc2
2 2 2
=+-
3. Ley de las proyecciones:
cos c osa b C c B= +
4. Ley de tangentes:
tg
tg
a b
a b
A B
A B
2
2
+
-
=
+
-
b
b
l
l
5. Bisectriz interior:
cosV
b c
bc A2
2
a=
+
b l
6. Bisectriz exterior:
V
b c
bc
sen
A2
2
*
a=
-
b l
7. Mediana:
cosm b c bc A4 2a
2 2 2
=+ +
C
B
M
N
A
O1
O2
q
r
r
a
a
8. Inradio: Exradio:
tgr p a
A
2
= -_ bi l r qtg
A
2
a= b l
Practica lo aprendido
Nivel b?sico
1. Determina el valor de BC, según la figura.
B C.T.
C
A
radO
6
p
2. En un triángulo ABC, la m∢B = 120° y la
m∢C = 23°, si AC = u8 3. Determina el valor
de BC
3. Dado un triángulo ABC, reduce la expresión:
; :
cos c os
cos c os
M
c A a C
a B b A
si sen CsenB2 2=
+
+
+ =
Tenemos que m A rad= = °
π
6
30
, . .
sen
BC
R porser unaC TR
BC
BC u
6
30
2 1
2 2 1
1
°
&
:
= =
=
=
Realizando la gráfica:
3
A
B
C
120°
37° 23°
8
Por ley de senos:
,
sen s en
BC
BC u
120
8 3
37
9 6
° °
&= =
Por ley de proyecciones:
a cos B + b cos A = c ; c cos A + a cos C = b
Por ley de senos:
sen C
c
senB
b
b
c
senB
sen C
ReemplazandoenM tenemosque
M
2
2 2 2
=
= =
=+=

78
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. En un triángulo yABBCABa BC b1 = =^ h ,
tal que a y b son números consecutivos y
AC ab 1= +.
Si b
2
– a
2
= 15, determina el valor de tg B.
5. En un triángulo ABC la m∢C=60°, si BC = 3AC.
Halla el valor de cos (A – B).
Nivel avanzado
6. De acuerdo al gráfico, calcula el valor de AC si
P y Q son puntos de tangencia.
5u
QC
74°37°
A
B
P
O
7. De acuerdo al siguiente gráfico, calcula PQ
si se sabe que ctg 2β = 15, ctg 2α = 22 y
BP = 2PQ.
B, P y Q son colineales
B
A
Q
C
P
6
a
a
β
β
74°
Del dato tenemos
a bb a a b
a b
Reemplazandoa yb
AC
15 15
7 8
7 81 57
&
& /
:
+ - = +=
= =
= +=
_ _i i
Ley de cosenos:
B
B
cos
cos
577 8 2 78
57 113 112
2
2 2
: :=+-
= -
cosB tgB= ⇒ =
1
2
3
Dado que CO es bisectriz de C, entonces
m QCO53°B =
5u
QC
74°37°
A
B
P
53° 3u
4u
O
Dado que O es el excentro del triángulo
ABC
( )
,
AQ tg AQ
Por ltimodel gr fico
ACCQAQ AC
AC u
4
2
37
12
3 12
9
°
ú á
&
&
:= =
+ = +=
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Del dato tenemos:
ctg s enB
ctg s en
2 15 2
4
1
2 2 2 2
3
1
&
&
b
a a
= =
= =
Ley de senos en el triángulo ABC
,
BC
BC
4
1
6
3
1
8&= =
Dado que BQ es bisectriz interior y 3 PQ = BQ,
entonces
cosBQ u PQ u
6 8
2 68
2
74
35
192
35
64°
&
: :
:=
+
= =
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Del triangulo ABC tenemos
°A B A B120/ a+= - =
Luego tenemos la gráfica
B
A
C
3k
60°
k
Ley de tangentes:
tg
tg
BCAC
BCAC
A B
A B
2
2
+
-
=
+
-
b
b
l
l
k
k
tg
tg
A B
tg
Luego
4
2
60
2
2
3
2°
&
a
=
-
=
J
L
K
K
K
b
N
P
O
O
O
l
Luego
tg tg tg A B2
2
⋅( )
= = −( )
α
α
Por ángulo doble
tgα α=
⋅
−



 





= ⇒ =
2
3
2
1
3
2
4 3
1
7
2
cos

Cuaderno de trabajo
79
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Dado un triángulo ABC, reduce la siguiente ex-
presión.
coscos B
S
a senC csen A
b C c
a
b
2
:=
+
+
a.
3
1
b.
2
1
c.
4
1
d.
5
1
2. Sea un triángulo ABC, cuyos valores a, b y c es-
tán en los lados BC, AC y AB respectivamente.
Determina en función de a, b y c la siguiente
expresión: bc cos A+ac cos B+ab cos C
a. a b c
2 2 2
+ +
b.
c
a b
2
2 2
+
c.
a b c
2
2 2 2
+ +
d. a2
2
3. Desde un helicóptero se divisan dos ciudades
A y B, si la distancia de la visual desde el heli-
cóptero hacia A es 100 m y hacia B es 120 m
y los ángulos que forman la horizontal con las
visuales de A y B son 60° y 37° respectivamente.
Determina la distancia de A hacia B.
a. 146 m b. 120 m c. 220 m d. 150 m
4. En un triángulo ABC, se tiene que °m BCA60B = ;
si BC y AC3 1= = . calcula tg
A B
2
-
J
L
K
K
K K
N
P
O
O
O O

a.
3
3
b.
4
3
c.
2
3
d.
5
3
Nivel intermedio
5. Del gráfico, calcula b c bc5 5 8
3 2 2
+ - .
B
A C
5c
b
37°
a. 10 b. 1 c. 5 d. 3
6. Sea el triángulo ABC de lado AB = 15; BC=10 y
AC = 12. Si la medida del ángulo A es igual a 53°.
Calcula la mediana respecto del ángulo A.
a.
7 65
2
b.
3 65
2
c. 9 65
2
d. 5 65
2
7. Del gráfico, BC = 11 y AN = 14. El perímetro del
triangulo ABC es 30. Halla la relación entre el
inradio y el exradio.
C
B
M
N
A
O1
O2
q
r
r
a
a
a.
13
17
b.
11
4
c.
11
1
d.
7
2
Nivel avanzado
8. Un día mientras Kennet iba a clases se dio
cuenta que había una estatua de Federico Vi-
llarreal cerca de su facultad, se detuvo a verla y
notó que la visual hasta la parte más alta de la
estatua medía 6 m y la visual hasta la parte más
baja 4 m, si el ángulo entre estas visuales es 60°.
¿Cuánto mide la estatua? .7 264.
a. 7 m b. 5.44 mc. 6.38 m d. 5.28 m
9. En la figura, .cos
A B
sen
A B
sen AB
2 2
+ -
= +b b _l l i
Calcula el valor de b.
A
B
b
C
7 15
a. 7 b. 8 c. 9 d. 10
Nivel destacado
10. Sea el triángulo ABC de lado mAB20= y
mAC 15= con ángulo A = 60°. Determina la
relación entre la bisectriz interior y la bisectriz
exterior.
a.
8
3
b.
5
3
c.
6
3
d.
7
3
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b c a c c b d d b d

80
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Funciones Trigonométricas
Recordamos lo aprendido
Dominio Rango
sen R ;1 1-7 A
cos R ;1 1-7 A
tg ,k k2 1
2
R Z !
r
- +_ i' 1 R
ctg ,k kR Z !r-# - R
sec ,k k2 1
2
R Z !
r
- +_ i' 1
;11R--
csc ,k kR Z !r-# - ;11R--
Funciones trigonométricas compuestas
.f xA RT Bx C D:= + +_ _i i
Desplazamiento vertical
• D>0 : La función se desplaza hacia arriba
• D<0 : La función se desplaza hacia abajo
Desplazamiento horizontal
•
B
C
02
-
b l : La función se desplaza hacia la
derecha
•
B
C
01
-
b l : La función se desplaza hacia la
izquierda
Cambio de fase
Está determinado por
B
C-
2. Halla el dominio de la función
cos
cos csc
f x
x
sen x x x
2 1
8
2
=
-
+
_ i
3. Halla el desplazamiento que tiene la función
f xsen
x
3
5
2 3
6=
-
+_ bi l
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Halla el rango de la función
2. ;fx sen x six IIIC4 1
2
!= +^ h
Como x ∈ III C lo representamos en la C.T.
Y
X
-1
Por lo tanto, ;Ran f1 5=
Sabemos que:
f xA senBxC D= + +_ _i i
Entonces comparamos con la función dada:
, ,A B C y D3
5
2
5
3
6&= = =- =
Como D = 6 > 0: La función se desplaza
verticalmente hacia arriba 6 unidades
Veamos si tiene desplazamiento horizontal:
B
C
5
2
5
3
2
3
02- =-
-
=
b l
Entonces tendrá un desplazamiento hori-
zontal de 1.5 unidades hacia la derecha
Por lo tanto, tiene desplazamiento vertical
de 6 unidades y horizontal de 1.5 unidades
Desarrollamos la función utilizando identi-
dades trigonométricas
cos
cos
cos
cos
cos
cos
f x
x
sen x x
sen x
f x
x
sen x
sen x x
f x
xsen x
sen x x
2 1
8
1
2 1
8
2
8
2
2
2
2
:
=
-
+
=
-
+
=
+
_
_
_
^ _
b
i
i
i
h i
l
Del denominador tenemos:
cos c osx senx x sen x2 0 2 0 0& 0! ! !_ _i i
Entonces
; ;;... ; ;; :...
; ;;... ; ;; :...
;
x x
x x
x n x n n
2
2 2
3
2
5
0 2 3
4 4
3
4
5
0 2 3
2 1
4
Z
0
0
0
! !
! !
! ! !
r rr
r rr
r rr
r rr
r
r+^ h
Por lo tanto, el dominio es de la forma
;D mf n n n2 1
4
R Z , !q r
r
= - +_ i(# '- 12
sen x
sen x
sen x
sen x
y
1 0
0 1
0 4 4
1 4 1 5
1 5
2
2
2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
-
+

Cuaderno de trabajo
81
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
Nivel intermedio
4. Halla el dominio y rango de la función:
cos
sec csc secf x
x
sen x
x x x senx1
2
2
2
:= +- +
J
L
K
K
K K
_
N
P
O
O
O O
i
5. Sea la función
3xcosf x4=_ i
Halla la amplitud, su período y gráfica la función:
Nivel avanzado
6. Una población de aves amazónicas tiene
modelo de crecimiento dado por la fórmula:
cosN t t102 5
3
b= +_ ` _i ij aves, t en años, con
fluctuaciones periódicas de 7 años. Determina
el menor tiempo en que la población será de
6000 aves. (UNI 16 – I)
7. Determina el área de la región sombreada si
OA BC AB= =
8.
Y
X
0A B
C
2
r
2
r
-
9.
Reducimos la función
tg
tg tg
sec
cos
cos
cos
f x x x
sen x x
sen x
f x x x
sen x x
sen x
f x
sen x x
sen x
f xsen x
1
1 1
1 1
0
1 1
2 2
2 2
= - - +
= - +
= +
=_
_
_
_
b
_
_
b
b
b
b
b
i
i
i
i
l
i
l
i
l
l
l
l
8
8
7 A
B
B
Vemos que los denominadores son dis-
tintos de 0:
cossen x x0 00! !
; ;; ;... ; ;;...
;
x x
x n x n n
0 23
2 2
3
2
5
2 1
2
Z
0
0
! !
! ! !
r rr
r rr
r
r
+_ i
Entonces el dominio de la función es:
D mf n n2 1
2
R ,q r
r
= - +_ i(# '- 12; nZ!
Para el rango tenemos que sen x≠0 y ade-
más dado que ( )x n sen x2 1
2
1& !! !
r
+
Entonces el rango de la función será:
;Ran f1 10=--# -
Sabemos que f(x) = Acos (Bx + C) + D
Entonces comparamos con la función dada
A = 4, B = 3, C = 0 y D = 0
Entonces tiene una amplitud igual a 4
Su período es igual a
B
2
3
2r r
=
Ahora grafiquemos la función coseno
p
6
p
3
2p
3
p
2
-4
4
La gráfica representa las funciones tg y ctg
Luego, de la gráfica se cumple
OCOABCAB= + + y OC
2
r
=
Por dato tenemos que OA BC ABk= = =
k k k k
2 6
&
r r
=+ + =
De la gráfica los puntos de intersección del
rectángulo con las funciones son
; ; ctgtg
6 6 3 3
/
r r r r
J
L
K
K
K K
J
L
K
K
K K
J
L
K
K
K K
J
L
K
K
K K
N
P
O
O
O O
N
P
O
O
O O
N
P
O
O
O O
N
P
O
O
O O
Donde tg
6 3
3r
=
J
L
K
K
K K
N
P
O
O
O O
, es la altura del rectángulo
;
63
3r
J
L
K
K
K K
N
P
O
O
O O
3
3
6
r BA
;
3 3
3r
J
L
K
K
K K
N
P
O
O
O O
Del problema, las fluctuaciones periódicas
vienen a ser el período de la función de
crecimiento, entonces
7
2
7
2
&
b
r
b
r
= =
Para una población de 6000 aves, se tiene
cos
cos
t
t c ost
6000102
7
2
5
2
7
2
5 6
7
2
2
1
3
&
r
r r
= +
+= =
J
L
K
K
K
b
b
b
N
P
O
O
O
l
l
l
Como se quiere el menor tiempo, entonces
ñt t a os
7
2
3 6
7
&
r r
= =
Por lo tanto, el menor tiempo es de 1 año y
2 meses
El área del rectán-
gulo será
A A
63
3
18
3 &:
r r
= =

82
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Halla el dominio de la función:
ctg tgf x x x3 3= -_ i
a. /
n
n
6
R Z !
r
-' 1
b. /
n
n
3
R Z !
r
-' 1
c. /
n
n
2
R Z !
r
-' 1
d. /
n
n
4
R Z !
r
-' 1
2. Determina el período de la siguiente función:
sec cos
f x
sen x
x x
=
-
_ i
a.
3
r
b.
3
2r c. r d. 2r
3. Sean A, B, C constantes y :fR R" dada por
cos c osf xA senx B x C sen xx= + +_ i , cuya grá-
fica parcial se muestra a continuación

2
1
2
2
+
2
r
4
r
1-
2
Y
X
Calcula A+B+C. (UNI 19-II)
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
Nivel intermedio
4. Si el gráfico representa una función. Halla la
unión de su dominio y rango de la función.
p
1
–1
Y
X
f
2
r
2
r
3
2r
3
r
a. ;0
3
2r
b. ;0
3
2r
R
T
S
S
S
S S
V
X
W
W
W
W W
c. ;1
3
2r
-
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
d. ;0
3
2r
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
5. Sea la función:
cosf xsen x sen2
2
17
2
r
r
r
r
= - +_ b `_ bi i jl l
Halla el rango de la función.
a. ;1 1- b. ;0 27 A c. ;0 17 A
d. ;0
2
1
R
T
S
S
S
S S
6. Halla el mayor valor que puede tomar la función:
cos c osf x x x6 2 5
2
= + +_ i
a. 25 b. 32 c. 33 d. 31
7. El proceso rítmico de la respiración consiste
en periodos alternantes de inhalación y ex-
halación. Cada 5 segundo se lleva a cabo un
ciclo completo (inhalación y exhalación). Si
F(t) = asen(bt) representa el flujo de aire en el
tiempo t (en litros por segundo) y si la máxima
intensidad de flujo de aire es de 0.6 litros/seg,
obtenga una formula que represente este pro-
ceso. (UNAC 2018-2)
a. . sen
t
0 3
5
r
b l
b. . sen
t
0 2
3
2r
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
c. . sen
t
0 5
3
2r
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
d. . sen
t
0 6
5
2r
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Nivel avanzado
8. Si 〈a; b〉 y T son el rango y el período de la fun-
ción real f definida por:
f x ctg xsen x3 3 3 1 5:= - +_ _i i
Halla a T
6b3
r
+b l
a. 4 b. 2 c. 0 d. 3
9. Halla el conjunto imagen de la función:
,f x
sen x
sen x
x
21
2
R!=
-+
-
_ i
a. ;
4
3
2
1
- -; E b. ;
2
1
4
3
; E
c. ;
3
4
3
5
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
d. ;
2
1
4
3
Nivel destacado (UNI-13 II)
10. Sean ,f xsen
x
g xsen x
2
2= =_ b _il i , para
; ;x
3
2 2
2,!
rr
r r
; ;E E
, entonces podemos afirmar
11. que.
a. f xg x1_ _i i
b. f xg x#_ _i i
c. f xg x2_ _i i
d. f xg x$_ _i i
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a c b c b b d d a d

Cuaderno de trabajo
83
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
83
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
TRIGONOMETRÍA
4

84
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Funciones trigonometricas inversas
Recordamos lo aprendido
Función inversa Dominio Rango
arco seno [ −1 ;1] −
p
2
;
p
2
arco coseno [−1 ;1] [0; p]
arco tangente R −
p
2
;
p
2
arco cotangente R 〈0; p〉
arco secante R − 〈−1; 1〉 [0; p] −
p
2
arco cosecante R − 〈−1; 1〉−
p
2
;
p
2
− {0}
Propiedades
1. cos(arc sen x) = 1 − x
2
; ∀ x ∈ [−1; 1]
2. sen(arc cos x) = 1 − x
2
; ∀ x ∈ [−1 ;1]
3. arc sen x + arc cos x =
p
2
; ∀ x ∈ [−1; 1]
4. arc tg x + arc ctg x =
p
2
; ∀ x ∈ R
5. arc sec x + arc csc x =
p
2
; ∀ x ∈ R −〈−1; 1〉
6. arc sen x = arc csc
1
x
; ∀ x ∈ [−1; 1] − {0}
7. arc cos x = arc sec
1
x
; ∀ x ∈ [−1; 1] − {0}
8. arc tg x = arc ctg
1
x
; x > 0
9. arc tg x = arc ctg
1
x
− p; x < 0
Practica lo aprendido
Nivel b?sico
1. Determina el valor de arc sen cos −
5p
3
.
2. Si x ∈ [−1; 1] − {0}, calcula el valor de H.
H = arc csc
1
x
+ arc cos x
3. Determina el dominio y rango de la función f
f(x) = arc sen x + arc cos x + arc tg x + arc ctg x
+ arc sec x + arc csc x
Nivel intermedio
4. Calcula el valor de P si:
P = sen
p
2
− arc tg −
3
2
Primero calculamos el valor de lo que está
dentro de la función arc sen, entonces:
α = cos
−5p
3
⟹ α = cos
5p
3
α = cos 2p −
p
3
⇒ α = cos
p
3
α =
1
2
Luego reemplazamos en la función trigo-
nométrica inversa y tenemos que
arc sen α = arc sen
1
2
⇒ arc sen α =
p
6
Por propiedad tenemos que
arc sen x = arc csc
1
x
; ∀ x ∈ [−1; 1] − {0}
Luego reemplazando en H tenemos que
H = arc sen x + arc cos x
Ya que arc sen x + arc cos x =
p
2
, tenemos que
H =
p
2
Se utilizarán las siguientes propiedades:
arc sen x + arc cos x =
p
2
; ∀ x ∈ [−1; 1]
arc tg x + arc ctg x =
p
2
; ∀ x ∈ R
arc sec x + arc csc x =
p
2
; ∀ x ∈ R − 〈−1; 1〉
Reemplazamos en la función f(x) y obtenemos
f(x) =
p
2
+
p
2
+
p
2
=
3p
2
⇒ Ran f =
3p
2
Además, el dominio es
Dom f = [−1; 1] ∩ R ∩ R − 〈−1; 1〉
Dom f = {−1; 1}
Por reducción al primer cuadrante tenemos
P = cos arc tg −
3
2
Luego definimos α como
α = arc tg −
3
2
⇒ tg α =
−3
2
, α ∈
−p
2
;
p
2
Dado que tg α < 0 y α ∈
−p
2
;
p
2
, entonces α < 0,
P = cos α =
13
2
⇒ P =
213
13

Cuaderno de trabajo
85
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
5. Sea la función f(x) = 3 arc sec (2x − 3) − p, halla
su dominio y rango.
6. Indica los valores de x, para el cual la funcion f
está bien definida.
f(x) =
1
arc tg
2
x − 2 arc tg x + 1
Nivel avanzado
7. Determina el valor de
P = cos 3 arc tg

13
7
− arc tg
3513
871
8. Resuelve la siguiente ecuación:
arc cos 2x + arc cos x =
p
2
9. En el gráfico, calcula el área del triángulo AOB.
Y
X
A
B
0
g(x)=arc tg x
f(x)= arc ctg x
2
p
p
Hallemos el dominio de f , en el denominador
arc tg
2
x − 2 arc tg x + 1 ≠ 0
(arc tg x − 1)
2
≠ 0 ⇒ arc tg x ≠ 1
Además
−p
2
< arc tg x <
p
2
Con lo que tenemos
−p
2
< arc tg x < 1 o 1<arc tg x <
p
2
x < tg 1 tg 1 < x
∴ Domf = 〈−∞; tg 1〉 ∪ 〈tg 1; ∞〉
Sea α = arc tg
13
7
⇒ tg α =
13
7
Por ángulo triple tenemos:
tg 3α =
35
13
871
⇒ 3α = arc tg
3513
871
Reemplazando en P
P = cos arc tg
3513
871
− arc tg
3513
871
P = cos 0 = 1
Para la función arc sec x tenemos que x ∈ ⟨−∞;
−1] ∪ [1; +∞⟩, entonces
2x − 3 ≤ −1 ˄ 1 ≤ 2x − 3
2x ≤ 2 ˄ 4 ≤ 2x
x ≤ 1 ˄ 2 ≤ x
Entonces tenemos que Dom f = R − 〈1; 2〉
Hallamos el rango de la función f
0 ≤ arc sec (2x − 3) <
p
2
˄
p
2
< arc sec (2x − 3) ≤ p
−p ≤ f(x) <
p
2
˄
p
2
< f(x) ≤ 2 p
Entonces tenemos que Ran f = [− p; 2p] −
p
2
arc cos 2x =
p
2
− arc cos x ⇒ arc cos 2x = arc
sen x
Evaluando coseno a ambos lados
cos(arc cos 2x) = cos (arc sen x) ⇒ 2x = 1 − x
2
Elevando al cuadrado ambos:
(2x)
2
= (
1 − x
2 )
2
⇒ 4x
2
= 1 − x
2
5x
2
= 1 ⇒ x = ± 5
5
Para x = −
5
5
, no verifica dado que tanto arc
sen 2x
como arc sen x son negativos , lo cual
hace absurda la igualdad, entonces x =
5
5
A
B
1
O
Dado que en el punto B las gráficas se inter-
ceptan tenemos que
arc tg x = arc ctg x
De la gráfica tenemos que x > 0, entonces
arc tg x = arc ctg
1
x
, reemplazando tene-
mos que
arc ctg
1
x
= arc ctg x
Aplicando ctg a ambos lados tenemos que
1
x
= x ⇒ x
2
= 1 ⇒ x = 1 > 0
Entonces el punto B es de la forma (1; y)
Además se tiene que
y = arc tg 1 ⇒ y =
p
4
Por último, en el triángulo OAB tenemos que
Por último, tenemos que
A
∆OAB
=
1
2
∙
p
2
∙1
A
∆OAB
=
p
4
2
r

86
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel b?sico
1. Determina el valor de arc tg ctg

−
5p
3
.
a.
p
2
b.
p
3
c.
p
6
d.
p
5
2. Determina el dominio de función f definida por
f(x) = sen arc cos

1
x
a. R − 〈−1; 1〉
b. [−1; 1] − {0}
c. R − [−1; 1]
d. R
3. Encuentra el rango de la función f, si:
f(x) =
7
2
arc sen

x
3
+ 4
a. [−p; p]
b. −
7p
2
;
7p
2
c. −
p
2
;
p
2
d. −
7p
4
;
7p
4
4. Determina el dominio y rango de la función f.
f(x) = arc csc
1
x
+ arc sec
1
x
+ arc ctg
1
x
+
arc ctg x + arc sec x + arc csc x
a. Dom f = {1} ˄ Ran f =
3p
2
b. Dom f = {−1; 1} ˄ Ran f =
5p
2

c. Dom f = {0; 1} ˄ Ran f =
3p
2

d. Dom f = {−1;0 ; 1} ˄ Ran f =
3p
2

5. Calcula el valor de E, si:
E = cos arc

sen
1
4
∙sen arc

cos
2
3
a.
53
12
b.
63
12
c.
73
12
d.
113
12
Nivel intermedio
6. Calcula
10
12
sen 2 arc

cos
3
7
− 3 cos arc

sen
1
2
a.
13
19
b.
517
8
c.
141
98

d. 73
7. Elimina x, si se cumple que
P = arc tg(−x) − arc sen x
Q = arc ctg x − arc cos(−x)
a. P = Q
b. P + Q = 0
c. P = 2Q
d. Q = 2P
8. Calcula el valor de P si
P = sen(p − arc sec(−2))
a. 2 b. 3 c.
33
2
d.
3
2
9. Determina el valor de
H = 5 sen3 arc

cos
1
2
− arc sen
2
5
a. 2 b. 2 c. 5 d.
1
2
Nivel avanzado
10. Calcula el valor de H, si:
H senarc s enarc s enarc= ( )
⋅( )
⋅ ⋅ ( )
cos c os cos
1
2
1
3
1
2

a.
n
n 1+
b.
n
n
2
1+
c. n
2
1+
d.
n
n
1+
11. Determina el rango de la función
f(x) = cos (arc sen x) + sen (arc cos x)
a. [0; 2] b. [−1; 1]c. [0; 1] d. [1; 2]
12. Resuelve la siguiente ecuación
arc tg 2x + arc tg x =
p
2
a. −
2
2
b.
2
2
c.
3
2
d. −
3
2
Nivel destacado
13. Calcula la distancia horizontal aproximada en-
tre los puntos A y B en la siguiente gráfica.
-1 1
y
x
A
B
0
p
2
p
a. 2,748b. 2,544c. 2,485d. 2,635
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
c b d a a c a d a b a b b

Cuaderno de trabajo
87
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
Ecuaciones trigonom?tricas
Recordamos lo aprendido
Ecuación trigonométrica elemental
F.T(ax + b) = N
Donde a, b y N son constantes reales y x la va-
riable angular, además a ≠ 0 y N debe tomar
valores en los cuales la función trigonométrica
este definida, es decir valores que pertenezcan
a su rango.
Valor principal
ax + b
1. Si la F.T es sen, entonces si sen (ax+b) = N,
la solución general es
ax + b = kp + (−1)
k
arc sen N, k ∈ Z
2. Si la F.T es cos, entonces si cos (ax + b) = N,
la solución general es
ax + b = 2kp ± arc cos N
3. Si la F.T es tg, entonces si tg (ax + b) = N,
la solución general es
ax + b = kp + arc tg N, k ∈ Z
Solución de una ecuación trigonométrica no
elemental
Para poder resolver este tipo de ecuaciones, te-
nemos que trasformar dicha ecuación en una
elemental, con ayuda de las identidades trigo-
nométricas estudiadas y realizando operacio-
nes algebraicas.
Practica lo aprendido
Nivel b?sico
1. Halla los valores de x en la siguiente ecuación:
cosx
2
−
3senx
2
=
1
2
2. Determina todos los valores de x de la siguien-
te ecuación:
2
2
(cos x + sen x) = cos
p
4
+ x
3. Halla los valores de x, en la siguiente ecuación:
sec x sen 2x = 1
Para 0 ≤ x ≤ p
La ecuación será igual que:
sen 30°cos x − cos 30°sen x =
1
2
sen
p
6
− x =
1
2
Luego la solución general es:
p
6
− x = kp + (−1)
k
arcsen
1
2
p
6
− x = kp + (−1)
k
p
6
x = (1 − (−1)
k
)
p
6
− kp
De la ecuación tenemos que:
2
2
(cos x + sen x) = cos
p
4
+ x
2
2
cos x +
2
2
sen x = cos
p
4
+ x
sen 45°cos x + cos 45°sen x = cos
p
4
+ x
sen x +
p
4
= cos
p
4
+ x
tg
p
4
+ x = 1
La solución general es:
p
4
+ x = kp + arctg 1 = kp +
p
4
x = kp, k ∈ Z
De la ecuación:
sec x sen 2x = 1 ⇒ sen 2x = cos x
2 sen x cos x = cos x ; 105x + 0
(2 sen x − 1)cos x = 0
(2 sen x − 1) = 0 ∨ cos x = 0
sen x =
1
2
∨ cos x = 0 ; 105x + 0
Entonces los valores de x son
x = kp + (−1)
k
arcsen
1
2
∨
x = 2kp ± arccos 0
x = kp + (−1)
k
p
6
, ∨ x = 2kp ±
p
2
k ∈ Z
Como 0 ≤ x ≤ π. Entonces tenemos que
x =
p
6
;
5p
6
Luego el conjunto solución es:
π π
6
5
6
;{ }

88
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Halla los valores de x en la siguiente ecuación:
sen 2x ctg x =
1
4
Para x ∈ [0; 2p]
5. Determina todos los valores de x de la siguien-
te ecuación:
2sen
2
x + cos x − 2 = 0
Para los que verifican que 0 ≤ x ≤ 2p
Nivel avanzado
6. Halla todos los valores de x ∈ [0; 2p] que satis-
face la siguiente ecuación:
cos 60°sec
2x
5
= tg
x
5
7. Calcula los valores de x para los cuales satisfa-
ce la ecuación:
2cos x + tg x = sec x
sen
2
x ctg x =
1
4
⇒ sen
2
x
cos x
sen x
=
1
4
sen x cos x =
1
4
⇒ sen 2x =
1
2
Entonces, la solución general es:
• 2x = kp + (−1)
k
arc sen
1
2
• 2x = kp + (−1)
k
p
6
• x =
kp
2
+ (−1)
k
p
12
entonces x =
p
12
;
5p
12
;
13p
12
;
17p
12
Ahora restringimos los valores de x tal que
sen x = 0
entonces x ≠ kp ⇒ x ≠ 0; p; 2p
∴ x =
p
12
;
5p
12
;
13p
12
;
17p
12
De la ecuación tenemos que:
⇒ cos 60°sec
2x
5
= tg
x
5
⇒
1
2
•
1
cos
2x
5
=
sen
x
5
cos
x
5
⇒ 1 = 2sen
x
5
cos
x
5
= sen
2x
5
La solución general es:
•
2x
5
= kp + (−1)
k
arc sen 1
•
2x
5
= kp + (−1)
k
p
2
• x =
5
2
kp + −1
kp
2
⇒ x =
5p
4
…….(I)
y eliminamos los valores de x que hacen
que cos
x
5
= 0
x
5
≠ 2kp ± arc cos 0 = 2kp ±
p
2
x ≠ 10kp ±
5p
2
⇒ x ≠
5p
2
…….. (II)
De (I) y (II) tenemos ∴ x =
5p
4
Tenemos que:
2sen
2
x + cos x − 2 = 0
⇒ 2 − 2cos
2
x + cos x − 2 = 0
⇒ cos x(1 − 2cos x) = 0
⇒ cos x = 0 ∨ cos x =
1
2
Entonces:
x = 2kp ± arc cos 0 ∨ x = 2kp ± arc cos
1
2
⇒ x = 2kp ±
p
2
∨ x = 2kp ±
p
3

Entonces los valores de x tal que 0 ≤ x ≤ 2p
x =
p
2
;
3p
2
;
p
3
;
5p
3
De la ecuación obtenemos:
2 cos x +
sen x
cos x
=
1
cos x
2 cos
2
x + sen x = 1
2(1 − sen
2
x) + sen x = 1
(2sen x + 1)(sen x − 1) = 0
Entonces: sen x = 1 o sen x = −
1
2
x = kp 1
2
kr
+-^ h o x = kp + (−1)
k
arc sen −
1
2
x = kp 1
2
kr
+-^ h o x = kp + (−1)
k
−
p
6
∴ x ∈ kp; k ∈ Z ∪ kp + 1
6
k 1r
-
+
^ h ; k ∈ Z

Cuaderno de trabajo
89
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
Refuerzo en casa
Nivel b?sico
1. En las siguientes proposiciones, determina el
valor de verdad.
? Si sen x = cos x, entonces x =
p
4
+
kp
4

para todo k ∈ Z. ( )
? Toda ecuación trigonométrica tiene
por lo menos una solución. ( )
? Toda ecuación trigonométrica se puede
reducir a una ecuación trigonométrica
fundamental. ( )
a. VVV b. FVF c. FFF d. VFF
2. Calcula el valor de x ∈ [0; p] tal que satisface la
siguiente ecuación:
4
5
cos x −
3
5
sen x =
1
2
a. 37° b. 54° c. 23° d. 60°
3. Halla el valor de x, en la siguiente igualdad.
1 + tg x
1 − tg x
=
3
3
a. 2pk −
p
8
b. pk −
p
2
c. pk −
p
12
d. 2pk −
p
6
4. Encuentra un valor de x, en la siguiente ecuación:
sen
2
x =
3(1 − cos x)
2
a.
p
3
b.
p
5
c.
p
6
d.
p
12
Nivel intermedio
5. Dada la siguiente ecuación:
4 sen
2
x − 3 = 0
Encuentra el menor valor positivo de x.
a.
p
3
b.
p
6
c.
p
2
d.
2p
3
6. Calcula el menor valor posible para que se sa-
tisfaga la siguiente igualdad.
cos
2
3x − 3 sen 3x − 3 = 0
a.
p
8
b. p
c.
p
2

d.
5p
3
7. Halla la suma de las soluciones de la siguiente
ecuación:
(sen x − cos x)
2
= 1 − cos x, x ∈ [0; p]
a.
p
6
b. p c.
p
3
d.
3p
2
8. Determina la suma de los valores agudos de
las soluciones de la siguiente igualdad:
ctg β − 4 cos
2
β = 0
a.
p
2
b. 3p
c.
p
5

d.
3p
7
Nivel avanzado
9. Halla el número de soluciones de la siguiente
ecuación:
cos 5x•cos 3x - sen 5x•sen 3x + cos 2x
cos 3x
= 0
Donde 0 ≤ x ≤
p
2
a. 5 b. 1 c. 2 d. 4
10. Resuelve la siguiente ecuación y encuentra la
solucion:
3 tg
2
2x + 5 sec 2x + 1 = 0
a. kp ±
p
3
; k ∈ Z
b. kp ±
2p
3
; k ∈ Z
c. kp ±
2p
5
; k ∈ Z
d. kp ±
p
6
; k ∈ Z
11. Halla la suma de las dos menores soluciones
positivas de la ecuación:
1 − 4 cos x
1 + 4 cos x
= ctg
2
x
a.
p
8
b. 2p c.
p
2
d.
5p
8
Nivel destacado
12. Calcula el menor valor que toma la función
definida por:
f(x) =
sen 3x + 2 sen 2x
sen x
a. −1 b. 1 c. 0 d. −2
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
c c c a a c d a c a b d

90
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Inecuaciones Trigonom?tricas
Recordamos lo aprendido
Casos Especiales:
Cuando una de las funciones es el seno
Si sen α ≥ 0 ⇒ α ∈ [2kp; (2k + 1)p] ; k ∈ Z
Si sen α > 0 ⇒ α ∈ 〈2kp; (2k + 1)p〉 ; k ∈ Z
Si sen α ≤ 0 ⇒ α ∈ [(2k + 1)p; (2k + 2)p] ; k ∈ Z
Si sen α < 0 ⇒ α ∈ 〈(2k + 1)p; (2k + 2)p〉 ; k ∈ Z
Cuando una de las funciones es el coseno
Si cos α ≥ 0 ⇒ α ∈ −
p
2
+ 2kp;
p
2
+ 2kp ; k ∈ Z
Si cos α > 0 ⇒ α ∈ −
p
2
+ 2kp;
p
2
+ 2kp ; k ∈ Z
Si cos α ≤ 0 ⇒ α ∈
p
2
+ 2kp;
3p
2
+ 2kp ; k ∈ Z
Si cos α < 0 ⇒ α ∈
p
2
+ 2kp;
3p
2
+ 2kp ; k ∈ Z
Practica lo aprendido
Nivel b?sico
1. Determina el conjunto solución de la siguien-
te inecuación trigonométrica
cos β ≥
1
2
2. Halla un intervalo en el cual M = cos θ − sen θ
es positivo.
3. Determina los valores de x que pertenezcan al
intervalo 0;
3p
2
tal que satisfacen la siguiente
inecuación
sen 2x > 4cos x
Se ubican E
1
y E
2
, en los extremos del arco,
solución de la ecuación cos β =
1
2
Donde β =
p
3
+ 2kp ∨ β =
5p
3
+ 2kp

Y
X
1
2
1
2
E1
E2
La solución de la inecuación propuesta
está dada por los valores de β que cumplan:
2kp ≤ β ≤
p
3
+ 2kp ∨
5p
3
+ 2kp ≤ β ≤ 2(k + 1)p
Por lo tanto,
β ∈ 2kp;
p
3
+ 2kp ∪
5p
3
+ 2kp; 2(k + 1)p
Entonces nos piden:
cos θ − sen θ > 0 ⇒ cos θ > sen θ
Graficamos y analizamos en la circunferen-
cia trigonométrica:
p
4
X
Y
5p
4
Entonces tenemos que:
x ∈ 0;
p
4
∪
5p
4
; 2p
Sea f y g dos funciones de modo que:
f(x) = 4cos x; g(x) = sen 2x
Graficamos las funciones y comparamos
en que intervalos g(x), se encuentra enci-
ma de f(x).
2
2
4
-4
-2
p
p
O
2
3p
y = f(x)
y = g(x)
Como nuestro análisis es sobre el intervalo
0;
3p
2
, entonces tenemos que:
g(x) > f(x) ⇒
p
2
< x <
3p
2

Cuaderno de trabajo
91
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
Nivel intermedio
4. Si α ∈ IC, resuelve la siguiente inecuación
cos a(tg
2
a + 1)
sen a(ctg
2
a + 1)
≥ 1
5. Dado θ ∈ [0; 2p]. Determina el intervalo de
2 sen
2
θ − 3 sen θ ≥ −1
Nivel avanzado
6. Para a ∈ [0; p]. Calcula el intervalo solución de
tg
p
4
− a > 2 − 3 tg a
7. Resuelve:
8.
tg 2a ∙ cos a
sec 2a
−
tg a ∙ cos 2a
sec a
<
2
2
9. Si a ∈ [0; p]
Por razones trigonométricas sabemos:
tg
2
α + 1 = sec
2
α
ctg
2
α + 1 = csc
2
α
Reemplazamos en la inecuación:
cos a(sec
2
a)
sen a(csc
2
a)
≥
sec a
csc

a
≥ 1 ⇒ tg α ≥ 1
Graficamos:
p
4
x
y
Por lo tanto,
α ∈
p
4
;
p
2
Resolvemos la ineacuación
2 sen
2
θ − 3sen θ + 1 ≥ 0
2 sen θ −1
−1sen θ
(2 sen θ − 1)(sen θ − 1) ≥ 0
Se sabe que: sen θ ∈ [−1; 1], entonces
(sen θ − 1) ∈ [−2; 0] ⇒ sen θ − 1 ⩽ 0
Luego tenemos que:
(2sen θ − 1)
(−)
(sen θ − 1) ≥ 0
2sen θ − 1 ≤ 0 ⇒ sen θ ≤
1
2
Además sen θ = 1, por lo tanto,
θ ∈ 0;
p
6
∪
2
r
( 2 ∪
5p
6
; 2p
Del enunciado tenemos que:
tg
p
4
− a > 2 − 3tg α ⇒
tg
p
4
− tg α
1 + tg
p
4
∙ tg α
> 2 − 3tg α

1 − tg a − (2 − 3tg a)(1 + tg a)
1 + tg a
> 0
3tg
2
a − 1
1 + tg a
> 0 ⇒
(3tg a − 1)(3tg a + 1)
tg a + 1
> 0
+
-1
+
3
3
3
3
Entonces:
−1 < tg
a <
−
3
3

˅
3
3
< tg a
Por lo tanto,
α ∈
p
6
;
p
2
∪
3p
4
;
5p
6
p
5p
6
O
p
6
3p
4
3
3
3
3
–1
Operamos la expresión:
tg 2a ∙ cos a
1
cos 2a
−
tg a ∙ cos 2a
1
cos a
<
2
2
⇒ tg 2a∙cos a∙cos 2a − tg a∙cos 2a∙cos a <
2
2
⇒
sen 2a
cos 2a
∙cos α∙cos 2α −
sen a
cos a
∙cos 2α∙cos α <
2
2
⇒ sen 2α∙cos α − sen α∙cos 2α <
2
2
⇒ sen (2α − α) <
2
2
⇒ sen α <
2
2
Utilizando la C.T tenemos que:
Por lo tanto,
α ∈ 0;
p
4
∪
3p
4
; p
Op
2
2
2
2

92
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel b?sico
1. Resuelve: tg θ <
1
2
. Si θ ∈ 0;
p
2
a. 0; arc tg
1
2
b. −arc tg
1
2
; arc tg
1
2
c. −arc tg
1
2
; arc tg
1
2
d. 0; arc tg
1
2
2. Determina el intervalo solución de:
tg a ≤ sen
2
β + cos
2
β
Si a ∈ 0;
p
2
a. ;0
2
r
R
T
S
S
S
S S
V
X
W
W
W
W W
b. ;0
4
r
R
T
S
S
S
S S
V
X
W
W
W
W W c. ;0
3
r d.
;0
2
r
3. Calcula los valores de x en el intervalo
−
p
2
;
p
2
tal que:
7
2
sen

x
3
< 0
a. −
3
2
;
3
2
b. 〈0; 3〉c. −
5
2
; 0d. −
p
2
;
p
0
Nivel intermedio
4. Resuelve la siguiente inecuación
−3sen
2
a ∙ cos
2
a + tg a ≥ sen
6
a + cos
6
a. Si a ∈ 0;
p
2
a.
p
4
;
p
2
b.
p
4
;
p
2
c.
−p
2
;
p
2
d.
−p
4
;
p
4
5. Determina uno de los intervalos de la solución de
4sen 3θ + 4sen θ ≥ sen 2θ
Si θ ∈ [0; 2p].
a. 2p − arc cos
1
4
; 2p
b. 2p − arc cos
1
4
; 2p
c. p − arc cos
1
4
; 2p
d. 0; arc cos
1
4
6. Sea la siguiente inecuación trigonométrica con so-
lución en el intervalo
p
3
; 2p
q ∙ sen a − p ∙ cosa <
3r
2
Si (−p; q) es un punto perteneciente al primer
cuadrante de una circunferencia de radio r y
con centro en el origen de coordenadas.
Determina:
q
p
a. −3 b.
3
1
c. −
3
3
d. 1
7. Determina los valores de 3a, si a∈ 0;
p
2
tal que:
3(sen 2a + 2cos a) < 4(2cos
3
a + sen
3
2a)
a. 0;
3p
2
b. −
p
2
;
p
2
c. −
p
2
; 0d. −
p
2
;
p
2
Nivel avanzado
8. Sea un triángulo A, B y C (recto en B) de lados
sen
2
x, cos
2
x y el lado opuesto al ángulo B es
2sen a de esta forma tendremos la siguiente
desigualdad:
2sen a − cos
2
x < sen
2
x
Dado: k ∈ Z. Calcula el complemento del C.S.
a.
p
6
+ 2kp;
5p
6
+ 2kp
b.
p
6
+ 2kp;
5p
6
+ 2kp
c.
p
6
+ 2kp;
5p
6
+ 2kp
d.
p
6
+ 2kp;
5p
6
+ 2kp
9. Resuelve:
4
2
45
4
2
4
2
2
cos
cos
α
π
α
− °
( )
<
( )
+sen
Si a ∈ 0;
p
2
a.
p
4
;
p
2
b.
p
6
;
p
2
c. 0;
p
4
d. 〈0; p〉
10. Si a, b son números pares positivos, además:
E = a sen a +
a
4
+ b
4
a + b
p sen 2160°
+ b cos (a − sen 1080°)
Determina el máximo valor de E.
a.
a
4
+ b
4
a + b
b.
a
3
+ b
2
5
c. a
2
+ b
2
d. a
3
+ b
3
Nivel destacado
11. Determina el intervalo solución:
10 7
67 2
3
39
10
⋅ °⋅
°⋅
+( )
<cos
cos sen
sen sen
α
α α
Si: a ∈ 0;
p
2
a. 0;
2p
3
b. 0;
2p
5
c. 0;
2p
7
d. 0;
p
3
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a b d a d b a d c c d

Cuaderno de trabajo
93
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
An?lisis trigonom?trico de los n?meros complejos
Recordamos lo aprendido
Forma trigonométrica de un número complejo
Im
Re
|z|sen θ
|z|cos θ
|z|
θ
z = |z|(cos θ + i sen θ)
Forma exponencial de z
z = |z|e
iθ
; donde θ es el argumento de z
Fórmula de D’ Moivre
z
n
= |z|
n
[cos (nθ) + i sen (nθ)]
Relación entre la fórmula de D’ Moivre y el
Binomio de Newton
cos (nθ) + i sen (nθ) =
n
k=0
c
k
n
(cos θ)
n−k
(i sen θ)
k
Razones trigonométricas de un número complejo
sen z =
e
iz
− e
−iz
2i

cos z =
e
iz
+ e
−iz
2
Propiedades
1. sen (z + w) = sen z cos w + cos z sen w
2. sen (z − w) = sen z cos w − cos z sen w
3. cos (z + w) = cos z cos w − sen z sen w
4. cos (z − w) = cos z cos w + sen z sen w
5. cos z +
p
2
= −sen z ⋀ sen z +
p
2
= cos z
6. cos (z + p) = −cos z ⋀ sen (z + p) = −sen z
7. sen
2
z + cos
2
z = 1
Regiones en el plano complejo: Se tiene los si-
guientes casos:
? Región en el plano respecto de la parte real
? Región en el plano respecto a la parte imaginaria
? Región en el plano respecto al argumento
? Región en el plano respecto del módulo
Practica lo aprendido
Nivel b?sico
1. Determina la forma binomial del siguiente nú-
mero complejo z = 2e
p
4
i
.
2. Sea z =
1
2
+
3
2
i, determina el valor de z
3
.
3. Determina el valor de i
i
.
4. Calcula el valor de cos i.
Se tiene que:
z = 2e
p
4
i
=2cos
p
4
+ isen
p
4
⇒ z = 2
2
2
+ i
2
2
∴ z = 2 + 2 i
Transformamos a su forma exponencial.
z =
1
2
+
3
2
i = cos
p
3
+ i sen
p
3
⇒ z = e
p
3
i
Ahora elevando al cubo tenemos que:
z
3
= e
p
3
i
3
= e
pi
⇒ z
3
= e
pi
= cos p + i sen p
∴ z
3
= −1
Primero, expresamos en forma exponen -
cial la unidad imaginaria (i):
i = 0 + i.1 = cos
p
2
+ isen
p
2
i = e
p
2
i
Ahora elevamos a la (i) a ambos miembros
y obtenemos:
i
i
= e
p
2
i
i
= e
p
2
i
2
∴ i
i
= e
-p
2
Tenemos que:
cos(i) =
e
i.i
+ e
−i.i
2
cos(i) =
e
i
2
+ e
−i
2
2
∴ cos(i) =
e
−1
+ e
2

94
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
5. Representa en el plano complejo los números
z = x + yi ; que verifican
2
2
≤ |z| ≤ 1.
6. Sea z =
1 + i sen θ + cos θ
–1 + i sen θ + cos θ
; determina |z|
Nivel avanzado
7. Sea z, w ∈ C, demuestra que:
8. sen z cos w + cos z sen w = sen (z + w)
8. Sea z ∈ C, calcula los valores de z tal que verifi-
can la siguiente igualdad cos z = 2
Sea z = x + yi, entonces
2
2
2
≤ x
2
+ y
2
≤ 1
⇒
2
2
2
≤ x
2
+ y
2
∧ x
2
+ y
2
≤ 1
Esto representa el interior entre dos cir-
cunferencias de centro (0; 0) y radios
2
2

y 1 respectivamente.
2
O
-1 Re(Z
)
1
1
-1
Im(Z)
2
2
Sea: z =
1 + i sen θ + cos θ
–1 + i sen θ + cos θ
Tenemos que
●1 + cos θ = 2 cos
2
θ
2
● 1 − cos θ = 2 sen
2
θ
2
●sen θ = 2 sen
θ
2
cos
θ
2
Reemplazando en z
z =
2 cos
2
θ
2
+ 2i sen
θ
2
cos
θ
2
–2 sen
2
θ
2
+ 2i sen
θ
2
cos
θ
2
z =
2 cos
θ
2
cos
θ
2
+ i sen
θ
2
–2 sen
θ
2
sen
θ
2
– i cos
θ
2
z = i ctg
θ
2
⇒ |z| = ctg
θ
2

Sea z, w ∈ C; entonces se tiene:
sen z cos w + cos z sen w =
e
iz
− e
−iz
2i

e
iw
+ e
−iw
2
+
e
iz
+ e
−iz
2

e
iw
− e
−iw
2i
=
e
i(z+w)
+ e
i(z−w)
− e
i(w−z)
− e
−i(w+z)
4i
+
e
i(z+w)
− e
−i(z−w)
+ e
i(w−z)
− e
−i(w+z)
4i
=
2e
i(z+w)
− 2e
−i(w+z)
4i
=
e
i(z+w)
− e
−i(w+z)
2i
= sen (z + w)
∴ sen z cos w + cos z sen w = sen (z + w)
Sabemos que: cos z =
e
iz
+ e
−iz
2
, entonces
e
iz
+ e
−iz
2
= 2 ⇒ e
iz
+ e
−iz
= 4
e
iz
+
1
e
iz
= 4 ⇒ e
2iz
+ 1 = 4e
iz
e
2iz
− 4e
iz
+ 1
Hacemos: x = e
iz
; entonces obtenemos:
x
2
− 4x + 1 = 0
Utilizando la formula general tenemos:
x =
4 ± (−4)
2
− 4(1)(1)
2
⇒ x = 2 ± 3
Luego
x = 2 − 3 ∨ x = 2 + 3
e
iz
= 2 − 3 ∨ e
iz
= 2 + 3
iz = ln(2 − 3) ∨ iz = ln(2 + 3)
z =
In(2 − 3 )
i
∨ z =
In(2 + 3 )
i
z = −i ln(2 − 3) ∨ z = −i ln(2 + 3)
∴ Los valores de z son:
−i ln(2 − 3) ∨ −i ln(2 + 3)

Cuaderno de trabajo
95
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
Refuerzo en casa
Nivel b?sico
1. Determina la forma binomial del siguiente nú-
mero complejo z = 2e
p
3
i
.
a. 3i + 1
b. 3i + 2
c. 2i + 1
d. 5i + 2
2. Sea z =
2
2
+
2
2
i, determina el valor de z
4
.
a. 1 b. 2 c. 3 d. −1
3. Calcula el valor de sen i.
a.
e
2
b.
e
2i
c. 3 + 3
d.
e
−1
− e
2i
4. Sea z un número complejo. Si su argumento
es igual a
p
11
y |z| = 2, calcula el valor de z
11
.
a. –2 048
b. –2 120
c. –2 230
d. –2 350
Nivel intermedio
5. Halla el valor de (1 + 3i)
7
.
a. 128 cos
7p
3
− isen
7p
3
b. 32 cos
4p
3
+ isen
4p
3
c. 128 cos
7p
3
+ isen
7p
3
d. 32 cos
4p
3
− isen
4p
3
6. Si z
1
= 4(cos 75° + isen 75°) y z
2
=
1
2
(cos 45° + isen 45°)
Halla z
1
∙ z
2
.
a. 1 − 3i
b. −1 − 3i
c. −1 + 3i
d. 1 + 3i
7. Sea z un número complejo, halla el valor de z
que cumple la siguiente igualdad
cos z =
3
2
a. ln
5
2
3+
b.
l
i
ln
5
2
3+
c. i ∙ ln
5
2
3+
d. i ∙ ln
1
4
Nivel avanzado
8. Calcula el valor de:
1 + cos a + isen a
cos a – 1 + isen a
a. –i ctg
a
2
b. ctg
a
2
(sen a − icos a)
c. tg
a
2
(sen a − icos a)
d. tg
a
2
(sen a + icos a)
9. Calcula el valor de M + N si:
M =
sen (z + 45°) + sen (z − 45°)
22
2

N =
cos z +
p
3
+ cos z −
p
3
2
2
a.
3
2
b. 2 c.
1
4
d.
1
2
10. Calcula el valor de:
cosz +
p
2
+ senz +
p
2
+ senz +
p
4
+ cosz +
p
4
en términos de z, z ∈ C.
a. cos z − sen z + 2 cos z
b. cos z − sen z
c. cos z − sen z − 2 sen z
d. (cos z − sen z + 2 cos z)
2
Nivel destacado
11. Con los datos de los siguientes gráficos,
0
Z=-2-2 i
Re
Im
3
0
W=-1-i
-1
-1
Re
Im
Determina la forma trigonométrica de z y w, y
da como respuesta la diferencia de sus argu-
mentos.
a. 45° b. 15° c. 135° d. 120°
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a d d a c c b a c a b

Libros
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio y trigonometría. México: Publicaciones cultural.
• Ávila, J. (2011). Álgebra y trigonometría. Editorial tecnológica de Costa Rica.
• Ayres, Frank. (1970). Trigonometría plana y esférica. McGraw-Hill. Bogotá, Colombia.
• Leithol, L. (2007). Álgebra, trigonometría y geometría analítica. Oxford. México.
• Swokowski, E., Cole, J. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Cengage Learning. México.
Enlaces web
• https://es.khanacademy.org
• https://www.uaeh.edu.mx
• http://educativa.catedu.es
• https://prezi.com/5yjzupfyacho/angulo-en-posicion-normal-o-estandar
• https://www.profesorenlinea.cl/geometria/Trigonometria_Razones.html
• https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/
• https://www.hiru.eus/es/matematicas/fundamentos-de-trigonometria
• https://es.khanacademy.org/math/trigonometry
• https://fqm193.ugr.es/media/grupos/FQM193/cms/TFM_(Fco_Javier_Fernandez_Medina).pdf
Bibliograf?a y p?ginas web

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