Matematica2 7

IFRS - Campus Rio Grande
Matemática 2
Aula 7
Integrais indefinidas - antiderivada

1. Profª Débora Bastos

2. Antiderivadas
Todas as operações básicas possuem as
chamadas operações inversas:
Adição Subtração
3 + 2 = 5 5 - 2 = 3
Multiplicação Divisão
2x3 = 6 6 ¸ 3 = 2
Potenciação Radiciação
3
2
= 9
Potenciação Logaritmação
3
2
= 9 log
3
9=2
3=9

3. Antiderivadas
Se considerarmos a derivada como um
operador sobre as funções, a operação
inversa será chamada de antiderivada.
Definição 1: Uma função F será chamada de
função primitiva ou antiderivada de uma
função f, num intervalo I se F’(x)=f(x)
para todo x Î I.
Exemplo:Encontre a antiderivada da função
f(x)= 4x
3
F
1
(x)=x
4
 F
1
’(x)=4x
3
F
2
(x)=x
4
+1  F
2
’(x)=4x
3
F
3
(x)=x
4
+200 F
3
’(x)=4x
3

4. Antiderivada
Observação: Se foi informada apenas a
função f, a antiderivada não é única, pois
qualquer constante acrescentada a derivada
será a mesma.
Exemplo: Encontre a função primitiva de
f(x)=4x
3
:
F(x)= x
4
+ k, k constante kÎ lR.
Observação: Dizemos que a antiderivada de
f é uma família de funções, pois temos
infinitas possibilidades para k.

5. Antiderivadas
Exemplo: Encontre a antiderivada F da
função real f tal que f(x)= 4x3, sabendo
que F(1)=3.
F(x)= x
4
+ k
F(1)= 1 + k
F(x)= x
4
+ 2
1+ k =3
K = 2

6. Interpretação Geométrica
Exemplo: Encontre a
família de funções
primitivas da função
real tal que
f(x)=2x.
F(x)=x
2
+k
Fixado qualquer
valor de x, as retas
tangentes a família
F em x são
paralelas.

7. Antidiferenciação
Definição 2: Antidiferenciação é o
processo de encontrar o conjunto de todas
as antiderivadas de uma dada função.
Notação:
ò
+= kF(x)f(x)dx
Sinal de
integração
Função
Integrando
Diferencial da
variável de
integração
Integral
Indefinida Família de
antiderivadas

8. Integral Indefinida
Observação: A notação da integral
indefinida (antidiferenciação), usa o
conceito de diferencial (introduzido por
Leibniz), pois além de estar de acordo com
a definição de antiderivada auxilia em
dispositivos práticos para obter a
antiderivada.
Seja F a função primitiva de f, ou seja,
F’(x)=f(x) para todo x Î D(f).
Y=F(x) f(x)(x)F'
dx
dy
==
ò ò ò
=== ydy.dx
dx
dy
f(x)dx

9. Teoremas sobre integrais indefinidas
Sendo k uma constante real:
ò
+=- kxdx1 1
dx
d(x)
=
real constante a
f(x)dxaaf(x)dx2
ò ò
=-
dx
dv
dx
du
dx
v)d(u
+=
+
ò ò ò
+=+- g(x)dxf(x)dxg(x)]dx[f(x)3
1n para
k
1n
x
dxx4
1n
n
¹
+
+
=-
ò
+
dx
du
a
dx
d(au)
=
1n
n
nx
dx
)d(x -
=

10. Observação: Para verificar se a integral
indefinida foi obtida corretamente,
podemos derivar o resultado e verificar se
a resposta é o integrando da integral
indefinida.
1n para
k
1n
x
dxx4
1n
n
¹
+
+
=-
ò
+
n11n
1n
1n
xx
1n
1n
dx
)x(d
1n
1
dx
1n
x
d
=×
+
+
=×
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-+
+
+

11. Exemplos: Determine:
ò
- dxx1
2
ò
- dx
x
1
2
2
ò
- dxx3
3
ò
+- 5)dx(3x4
ò
++- 7)dx2x-9x8x-x5(5
234
ò ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -+
- dx
x
x7x2x
6
23

12. Mais fórmulas básicas
k
1n
v
dvv5
1n
n
+
+
=-
+
ò
dx
dv
nv
dx
)d(v 1n
n
-
=
ò
+=- kvln
v
dv
6
dx
dv
v
1
dx
d(lnv)
×=
ò
+=- k
aln
a
dva7
v
v
dx
dv
aln.a
dx
)d(a v
v
×=
ò
+=- kedve8
vv
dx
dv
e
dx
)d(e v
v
×=

13. Exemplos:
( )
ò
+- dx5x21
2
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
-- dx35xx2
2
ò
+
- dx
2x
x
4
4
3
ò
-
-
x51
dx
3
ò
- xdxe11
2
x
ò
- dx28
x
ò
- dxe10
3x
ò
-
- dx
x41
x
7
2
ò
-gxdxt5
ò
-otgxdxc6
ò
- 4xdxsec39
2tg4x