Matematicas 11 vamos a aprender

LIBRO DE MATEMATICA GRADO11

1. Matematicas

11

TODOSPORUN
NUEVO PAÍS

2. ce Nao Vode, jon Conds Co Daa

manner | | @MINEDUEAGIN

Fos! Conoch Las / El Nat / Wied Comment
7 Bene / ARCHED / Any Kore ads
onan / Gaga Carin si a ig / op
Ce han / mr? / chin ns /
Cale 117No HAL OS
Camba

© Edens SSA, 2017
Come sen AB Ao

D.C, Cotto
SON 9720562020009

Men od Cop |

TODOS PORUN
NUEVO PAÍS

PAZ EQUIDAD EDUCACIÓN

3. Presentación

Aceptar el 1eto de hacer de Colombia la noción més educada de América
latina en el 2025 es una decisión que genera uno gran responsabilidad, La
necesidad de no perder ni un segundo en el camino hacia la calidad es un
llamado urgente a rectores, docentes y padres de familia que se levantan cada
moñono comprometidos con el futuro de miles de estudiantes.

lograr una educación de calidad es el objetivo que nos hemos trazado para
constir un pois con iguoldad de oportunidades para todos y en poz. Una
igualdad que no sólo contemplo el derecho que coda uno de los colombianos
tiene a la educación, sito que se refuerza en la ideo de equiibrar lo cancha
de juego y hacer que todos nuestros niños, niños y adolescentes tengan las
mejores condiciones en los colegios, incluyendo materiales pedagégicos de
alto calidad que contribuyan al fortolecimiento de su proceso de aprendizaje

‘Como Ministerio sabemos que la excelencia educativa se gesta en el aul, y es
li donde se deben concentrar todos los esfuerzos de transformación. Por est,
dolar de herramientas pedagógicos suficientes e idóneos que acompañen y
refuercen la práctico en el solón de clase, es la forma en la que se hará visible
el esfuerzo de un equipo de rectores y docentes pioneros comprometidos con el
mejoramiento de la calidad en la educación.

Por esta razón, el Ministerio de Educación Nacional presenta el siguiente
material de apoyo para el proceso pedagógico de enseñanza de lenguaje y
mateméticos, de olía calidad, Este material ho sido seleccionado de monera
juicioso por expertos, para que docentes y estudiantes lo incorporen a la
préctica de aula, los trabajen, ls disuten con su familia, aprendan con ellos y
descubran un mundo de norraciones mágicas y problemas motemäticos que les
daté paso a un nuevo universo de posibilidades.

Estos libros, cuadernos de trabajo y guias legarén a los colegios y cobrarán
vide en el aula gracias ol compromiso y dedicación de cada uno de ustedes.
Por esto es importante explora, conocerlos y apropiatlos; con seguridad este
será un poso més hacia nuestro meta de hacer de Colombia la més educada
con ustedes como los protagonistas en este nuevo capitulo de su historia.

Sin lugar o duda, esta es una de los opuestas més importantes por el futuro
del pois.

4. Estructura de tu libro

Estelbroesá organizado en ses divisiones o unidades. Cada una de ells se compone
desfbdiviiones o temas Las unidades presentan la siguiente estructura

Apertura de unidad
En esta doble página recordarás
quello que ya sabes y

ocerás lo que vasa

aprender y su aplicación en tu
a cotidiana.

ae
CP

rollo de todos ls contenidos presenta la siguiente ruta didáctica.

Recuerda que esas athées
Ins dees aa en tu ue

5. => Solución de problemas

Resuelve más actividades relacionadas con os

ces de a unidad y desarro ls habilidades
propis dela acid maemácica

Resuelve problemas con el uso de diferentes
estrategas Sigue el ejemplo resuelto como guía
y pon en práctica la esratega estudiada

Evaluación del aprendizaje

En esa sección tendrás la oportunidad
de aplicarlos temas vistos y reforzar

7. Conia
Cora de funcones
nas
Tosen elses
Cote una función
Dorada de una in
in punto. ioc meda
de med dere medion

8. Dein promis
Ft

2% Danas sas dotadas
mias ares
erreur

Reg dei y panes

16 Cri de primer deep

Baden

m

m
m

1. Puros de contin
‘yours cos

2. Punto de co ondes

gra sienta period

4 Andi ro defunciones

5. Esa defunciones

poinámics

6. sudo de funcones racionales
anges con ade

7. Esad defunciones
opel rias

ido defuncones
gonna

m

106

sudor exadcos 206

2. Museo 20

3. Meds de tendencia cl
parados agrupados por des 212
duos agrupados porches 214

5. Medias de dern 216
6 Tendency ands
decomporamieno 20
7. Oseñodeespamenos
ons m
8. Regs de probabil ns
dessen 26
10 Probanden 228
11. Sucesos dependines e
ndependene, 20

12: Probab compas ode a

Resolución de problemas
mu

nn

m

Resolución de problemas as
es

0

9. Vamos a aprender Nos sirve para

+ Alidentica y representar + Resolver situaciones que se
meros racionales iracional yemomos dan modelar medi

+ Ubicar a ar lasolución de un

10. Conjuntos

Seberes previos
Repasa y haz una breve descrip-
In de cómo se clasfcan los seres

Lo cenifics creen que hay are-

detior de 10 millones de especies
(iftrentes en la Tierra. Para hacer
surabajo més fácil, clasifican a los
Serbs vs en grupos y subgrupos
cada vez mis pequeños basindo-
se En las semejanzas y diferencias
delos organismes.

+ ¿Dentro de qué reno se clasica

ls bacterias?

E cea ie ciclo di
PR oeil
en
peer greta are
lpn in
pea

{Un conjunto puede defiise como la agrupación de varios elementos que
comparten caracteriicas similares.

Para notar un conjunto se usan lewas mayúscula y para los elementos se
suelen emplear eras minúsculas.

Según su envolura cellar, las células procariotas se clasifican en bacteria
À Gam negativa bacteria Gram posta arqueay micoplasma,

À En un laboratorio se separó una célula de cada po, se es denominó ab,
4 y respectivamente y se agruparon en un conjunto P Para nota ste co.
{junta se puede escribi

P=labadı

1.1 Clases de conjuntos
De acuerdo con la cantidad de elementos, un conjunto puede ser vacio,
finito 0 infinito. Existe además un conjunto conocido como referencia o
universal cuyos elementos son todos os objetos de estudio en un contento.
dado.

Ea

À Bean 8 dodo números pares qeson impares sac puro
Caen nimer que spare imp limo venga

Econo Cd todos ls res e 2 ino, pues us mentos se

pain con

corn O de todos os mes pare entr pus exe un

À Ge names mp

{Para todos estos conjuntos el conjunto universal © de referencia es el con-

À ro delo números

El conjunto de los números naturals N, el de los números enteros Z, el

{de ls números racionales Q y el de los números iracionals son todos.

1 infinios En este caso, podria considerarse como conjunto de referencia el
Conjunto de los números reales R.

11. Pensamiento numérico

1.2 Representación gráfica de conjuntos

Los conjuntos se pueden representa gráficamente mediante curvas cera
(das, conocidas con el nombre de diagramas de Venn.

Para interpretar un dagrama de Venn se debe tener en cuenta lo siguiente:
1. Los elementos que pertenecen al conjunto se representan con puntos inte
rires à La cuna.

2. Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan con puntos
exteriores ala curva.

3. Ningún punto puede representarse sobre la curva
4, El conjunto referencial se representa mediante un rectángulo para diferen-
«io de os ours diagramas.

Bucci]

De La figura 1.1 se deduce que ls elementos 2.4 6 7 y 8 pertenecen a con
junto 8 el cual se escribe de a siguiente manera:B = (2. 4,6 7,8)

Los elementos 0, 13,5 y9no pertenecen al conjunto 8.

Todos los números dentro de rectángulo conforman el conjunto referencia
universal U En este caso, U = (0,1,2,3,4,5,67.89) ese conjunto delos
nümeros naturales entre y 9 incluyendo al 0.

El diagrama de Venn de la Figura 12 muestra el conjunto Ude todos los y
estudiantes de undécimo grado de un colegio y. en el conjunto A, se repre
senta a quienes estudiarán Administración de Empresas en a universidad.
De acuerdo con el esquema se pueden deducir algunos hechos:
+ Enel grado undécimo hay 16 estudiantes.
+ Losestudiates que seinscrbirän en Administración de Empresas son
{Sebastiin, Carolina, Manuela, Marcela, Ximena, Jul, Hernán]
+ Los que están por fuera del conjunto A estudiarán una carrera dista. En
total nueve estudiantes se dedicarán a ovas profesiones.

+ Es imposible saber qué profesiones prefieren quienes no están en el con-
junto

12. Conjuntos

1.3 Operaciones entre conjuntos
Existen unas operaciones básicas que se pueden realizar con los conjuntos.
Estas operaciones son la unión la intersección la diferencia, la diferencia
simétrica y el complemento.

+ La unión de dos conjuntos Ay Bes el conjunto al que pertenecen todos los
elementos de Ay B.Se representa A UB.

+ La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto al que pertenecen
todos los elementos comunes de À y B.Se nota AM &

+ La diferencia entre A y 8, notada como À — 8 ese conjunto al que pertene-
‘en todos los elementos de A que no pertenecen 2.

+ La diferencia simétrica de dos conjuntos A y Bes el conjunto À À B cuyos
elementos pertenecen ya sea aA 03 B, pero no a ambos ala vez.

+ Elcomplemento de un conjunto A sel conjunto A que contene todos los
elementos (respecto de algún conjunto referencia) que no pertenecen aA.

1 Dado el diagrama de Venn de la Figura 13, se tiene:

-AUR=8579253) + C—R= 3,21)

lance + RAC= 39.213
R= C= 9.33) +A 17.203)

“Algunas propiedades de las operaciones entre conjuntos se muestran en la
Tabla 1,

anane=anuno —

I ane=ana

Abc AUBNARA AMB TA

Dsrbua [AUBNO=AVBNAVO An ANBUANO |
an

mu

Considera la Figura 13 y verifica que la propiedad distributiva se cum-
ple para los conjuntos A, C y R En el diagrama de Venn se observa que
A= 17925, C:

Se debe verificar que A U (CAR) = (A U GA A UR)

Al desarro lado izquierdo dela igualdad se tiene que:
AU(CAR)=137,9,25/U(5.7)=3,5,7,9,25)

Allado derecho de La igualdad se tiene que:
AUQNAUR)=85.7,9,21,25)8,5.7,9,25,33) = (3,5,7,9,25)
Deesa forma AU (COR) =(AUONAUR

13. ‘Actividades de aprendizaje

Ejeriación
© Sen e digrama de Venn dea Figura 14
.

a. Escribe ls elementos del conjunto A ¿Qué tipo
de números pertenecen a tal conjunto?

bo ¿Qué clase de conjuntos 8?

© ¿Existe AN BPSi es at, indica cuáles son sus
elementos: sino existe, explica las razones

e. Hala A U By B UA y escribe una conclusión.

e. Hala A By B DA y escribe una conclusión.

.HallaA = By B = A, y escribe una conclusión.

{Cuil esl complemento de ur

h.¿CómosonA À By B A A? Explica.

Conan

© corse y representa un dagama de Ven con

À wesconjntos y Lora via que er
gan cada una de ls siguientes propidades
2A-8=ANE
PABNO=A-8UA-O

icin dept
© De 40 ua de undécimo gado, 14 toman
(cases de plano 29 caves de ain
2: Se eines ton arias ds i
tos sucre no arena iguana de do
6. Cubos esudane toman case de piano o
devi?
€ ¿uánossudantes oman únicamente cs
devoir

© Excvena nme de nents delaunión

$ elosdosconpintos fits Ay eniendo en
rena que A~ Bene20.ementos 0 — À
Gene 8 a erección de exo conjunos
tere 36.

© tun grupo deo personas, 27 voman bebidas is

9 42 coma ptas cantes y a cadapenona le
busta al menos alguno de ss pos de bin 1A
Alias es gustan ambos pos debida?

(O tun gupo de 100 pesonas 72 hablan inglés y 43
habla francis

a. Representa los aros en un dagrama de Ven

À Caines haba nl some?

© ¿Cuántos hablan solamente ance?

4 cos ban ambos oma

Evalvacton del aprendizaje

(© ca uno des 40 esudames de un custo pac
% ca al menos un de eos deportes bol ba.
lances o voll Se sabe que 18 juegan bo

2o pratcanbloncesa 27 jueganvlebol,7 pre

fete thoy baloncesto, 12 juegan balones y

voleboly lores pores,

à. Dibujaun dagam de Ve paa irreal
mundo Lama Fleonuno de ls edi
tes que juegan fo Vale quienes juegan
Voley quienes pracicanblonces,

b.Deacuerdo con el agama curs estudia
tes pacecan fo! y volea cados juegan
fiboly voll pero no balance?

14. Saberes previos

Esbribecinco números comprendi-
ente 1y2.

Ars observó la recta numérica
la Figura 15 dj que os únicos
números que haba entre 3y 6 eran
a5.

Pensamiento numérico

IH
Fens

16 opinas de esa conclusión?

Números reales y la recta real

En realidad entre 4 y 5 hay una cantidad infinita de números Por ejemplos se
roma la unidad entre 4 y 5 y se alla su punto medio se encuentra el número
45;si luego se hala el punto medio entre 45 y 5 se halla un nuevo punto: 475
(Figura 16) Si se continúa de sa forma, se seguirán encontrando más y más.
números sin quese termine el proceso,

ss

2.1 La recta real

Existe una condición que cumplen os números reales conocida como axio-
ma de completitud que garantiza una correspondencia biunivoca (uno a
uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en a
recta. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta ya
‘cada punto en la recta, se le asocia un único número real

Los puntos en a recta se identifican con los números que representan o con
letras mayúsculas como A,B,C ex. Mientras que las rectas se suelen nombrar
con letras minúsculas como ab, etc.0 diciendo "a recta AS" para hacer re-
ferencia a los puntos A y B que pertenecen a ella

El conjunto de os rales cubre o completa la recta sin dear "huecos!

mu
Sobre I recta a de la Figura 17, se representaron algunos números rales.
Entre cada par de estos números existe infinios números reales.

Wha

Fou

1 Observa cómo se halla el resultado de cada operación entre números reales
À yesmoseubraen esquema dela Figura 18

La
.1+3

A
+ 025 +06
Bl wh
(E
+ (46) = 142-84 (6) =6+ 2-45

15. ‘Actividades de aprendizaje

Comunicación

Oe ena gua 19
cada conjunto numérico

as [E]
ar pene
dde
run || |

Neel de los naturales, el.
el elos racionales ET
Fscribe tres números que pertenezcan a cada con:

juro
O compa esquema dela Fgura 130 con des

"@ ejemplos de números que pertenezcan a cada con-
junco numérico.

© Desemina valor elatioremsad unio

© sectingl sóscls par ca una des secs
mias delos crs y can alor qe ales
como acioaloimcona

a tem b.2cm
€ 3em ae
Razonamiento

© Sscioe dos números racionales y dos iracionles
© ue exén ene cada pa de números dados

3.778 by css
doyen ey É-1y-05
Modelación

© rail venciad de cada una de as siguiemes
$ afrmacones
3 La suma ola dierenda de dos números els
sempre sun número al
5.6 product dedos números racionales ese
pre unnúmero racional

« Elcocientede dos números racionales siempre
À esunnúmeroracional

© sisi det nimero p(n) se obsiene cuando se de

Wide la longrud de una ccunferencia entre su di
mero ige ars bes redondos como las de
Conserv. monedas, pro pocos, ee. y toma la
media dl contomo yde mer En cada caso,
“ecermra codec dea primera mega ena
sequnda y escri un conduiön.

Comunicación
© Animes que tne ninios decimales eteñan
(2 cecicado mines y mine de hora de exc,
“Aunque se han legado a decir unos 27 Bones
Ge decirles de nila compaador mis pode:
ha do caparde calla an márgenes de nor

Deacuerdo con lecture iquépo de nimero em?

Resolución de problemas

O recoit 3 demi cada on ¿Cu
à drain hon eto da y era

© paa corsirun mero dea ob unabailen-

ple 6 horas Cui emp pura hacer 14%
mero ¿Cum paat8 mer

© aire ceca un campo rectangular Se sae que

Ne uno de sus lados mide wes qunas partes dea me.
dad ov ya agonal mide 30m Ca pre
«oque se deber pagar por hacer a cera cada
me cuesta $ 7500 y deperi un 0% del
mate emplado

Evaluación del aprendizaje
Ori y represen sobre la recia al us núme
# SA Sy Gui que

B sea un número irracional negativo que se en-
‘cuenta enredos números racionales y C

(O corso un aro ca goal saga

# la condición en cada caso:
a. su longtud sea un número racional mayor
ques,
bo. su diagonal sea un número racional menor
que 10

16. Pensamiento numérico

Desigualdades

¿Qué significa cada una de las si
genes palabras o expresiones
“ao sumo” "al menos, "máximo"
“cdo minimo" y alo mis?

Se|debe decerminar el peso de un
catión ances de que atraviese un
ute El peso máximo permitido
enel puente es de 32 toneladas Si
la Eabina del camión pesa 10 to-
eds y la parte trasera pesa 6
toneladas cuando está vacía ¿cudl

es la carga que puede levar el ca-
nión para que se le permita pasar
el puente?

Según las condiciones del problems, a suma de los pesos dela cabina, de a

parte taser yde a carga debe ser menor o igual que el peso permitido para
atravesar el puente,

Sise lama cal peso dela carga,
10+ 6 + c debe ser menor o igual que 32

Es deci 16 + € deber ser menor oigual que 32

Luego, debe ser menor o igual que 16:32 — 16 = 16.
ía carga del camión debe ser de máximo 16 toneladas.

Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos cantidades
‘euando estas son distintas.
‚GER

Dos nimeros reales yb,se pueden comparar como se muestra enla Tabla 12.

La <bsigfcaqueaesmenorqueb (ISS -5<-4 -7<5 0<5
> pica que a cs major que, 923 -5>-6 7>-50>-4
as bsentiaqeaesmecroiguiques 7=7 5-1 554 056

anf qu es mayor o ul que b

[s=7 629 626 024
La non a # bsgnicaque o oesalad. |

Las desigualdades satfacen las siguentes propiedades. En cada una se usan
los símbolos < y > pero también se cumplen par los símbolos = y =,
respectivamente.

Transitividad
Para números reales abirarios a, by € se cumple que:

+sia>byb>cenoncesa>e esia <byb <cemoncesa <a
+Sia>byb=centoncesa>c — +sia<byb =< entoncesa<c

Adición y sustracción
«Sia<bentoncesa +e<b+cya=c<b=e
+ Sia> benoncesa + c>b+cyac>b=

Multiplicación y división

Para números reales aio ay y diferent de 0 se cumple ue
+ icespostnoya <b enonces ae bey 2 < À.
+ sicesrepatvoyo <bemoncesac>tey # > 2
puesto

+ Sa < bentonces —a > + Sia > bentonces —a < =

17. Actividades de aprendizaje

Ejercitación
(O Toma dos números reales ayb dsintos de 0, am-
"© bos postvosonegatvos ala vez ea que:

5

<a

à 30<henonces 2 >

b.sia> bentonces

‘Ahora coma dos números de distinc signo y veni
aque

€ sia <b entonces

(O scr dos ejemplos paa cad ua de as propio
À dades de as desquakades ansiada.
Susan mi plcacón don ope

© Usa desigualdades para representar las siguentes
© expresiones.
Todos los números reales mayores iguales
que el opuesto de 10
bs Todos los números ales menores que 5.
«Todos los números rele mayores iguales
que —1 y menores que 15.
© Determina entre qué par de números st cada ex
(© presión sixesun número mayor que pero menor
que 10.
ams

b-n+2 a

Resolución de problemas

© Erbe ua desig par increta ea peg

à 12 ¿Qué número ene que mure por 17y a
roduc sumar 34 para obtener como miimo 8?
Este un ia solución para e problem? Sila
resuena safrmat indica cles sla respuesta
era opera

© Mie Poel eco mundai de sak argo

© con 895 m el cual log en el Mundial de Aes
mode Token 199, El anterio cord mundal
Noten Bb Beamon con 89m ¿Cuáles dsancas
puede la un er que no super el acl e:
‘Cord mural y sa mayor ua que el ante?

@ Durance cero panda temperatura en gados

$ sisi de um cudadhand eme 25) 300
grados Fare env qué valores a em
pera? Ten en cuenta que la tempera en
ados bus y en ados Flesh se reactors
media apres F = 1AC + 32

© Para deermina el cocicene intelectual de una

persona se usa la formulas! = 100% donde ese
coeficiente imelectal Mesla edad real deermi-
rada mediante un es) y Ces edad cronológica
Encuentra una desigualdad que mueste etre qué
valores et la edad mental de un grupo de niños
de años teiendo.en cuenta que a varacón dei
st dada por <1 < 140.

Evalvcion del aprendzale
(© cata cad afmacn como verdader o ft
À En cat caso ay bon meros tees.

à Sia<bentoncesa = b<0

b.Sia <Oentonces aes negatvo.

«La desigualdad a < bindica que a puede ser
‘cualquier número menor que b

& Sia es un número real negativo y bes un real
postvo,a <b,

+. Para todo nümero real no negativo a — a <0.
£ Sia <benconcesa? <b
$ Sia<Oentoncesa? <0

<a tac À eros ce en apres on
PH ene 15 y 2 ysealmena de metales t&-
xicos por lo que es importante en el proceso de
limpieza de agus contaminadas. À

| Escrbela desigualdad que indica elpHen

el que vive la bacteria.

.

18. Pensamiento numérico

ntos números haya entre —5
¿Qué desigualdad representa a
números

aque corte 10 veces más leno
qu él ¿Podrá lograrlo?

Intervalos y entornos

4.1 Intervalos

Ena llamada Paradoja de Aquiles y a cortuga se cuenta que Aquiles un veloz
corredor decide compet en una carera contra una tortuga. Convencido de
su triunfo, Aquiles -ubicado en un punto A- le da una ventaja inci al animal
ubicado en un punto B.

En poco tiempo, Aquiles lega al punto 8, pero en ese momento se da cuenta
de que la rortuga ya no está ahí sino que ha avanzado un poco, hacia un punto C.
Cuando el conedor lega al punto Cla tortuga habrá nuevamente avanzado

una pequeñísima longkud hasta un punto D, y así sucesivamente, infinitas

Se conoce como intervalo al conjunto de números reales que va de un nd
‘mero a 010 o que están comprendidos entre otros dos dados a yb 0 ex.
remos de intervalo,

La clasificación de los intervalos aparece en a Tabla 13, En cada caso a yb son
números reals. La tabla 14 muestra el nombre de cada uno de estos intervalos.

Todos lo números

Le en | wesc) QD TO (ee
Seer] wm] ee) an | à és
SON mm en
Cm oa
sees ue nes tase) er
dame een | en | m ee
[qe ee) e Tem =
ama o

Para representar un intervalo sobre la recta numérica, debe inerprears a
cuál subconjunto dela recta real corresponde. AS, {/ 2 < x = 5} cones-
Ponde al intervalo (2 5] cuya representación se muestra enla Figura 1.11.

|
|

19. Para participar en una prueba aicica ls competidores deben tener edades.
desde los 14 hasta los 18años Todos ls jóvenes cuya edad se encuentren
ese intervalo pueden paricipar.

En ese caso las edades pertenecen al incervalo cerrado (14, 18).

Se conoce como intervalo fundamental de temperatura, al comprendido,
entre a temperatura de fusión del hielo y la del vapor de agua hiviendo ala
presión de 760 mm de mercurio; estas temperaturas constuyen los puntos
fijos. En I escala Celsius esas remperauras son 0° € y 100° €, respectiva

As elintervlo fundamental en esa escala es el intervalo (0.100)

m

Sean A = [~3.4] yB = [~1.7] se pueden efectuar todas las operacioneses-
‘alecidas para los conjuntos nla Figura 1.13 se representan los intervalos
‘Ay Bs luego se realizan algunas operaciones con ellos

ANB=[-1A AUB=(-37) A-B=[-3-1)
A=(67) A=( UA (NU)

4.2 Entornos

Se lama entorno abierto de centro a y radio 1. y se denora por (ar) al
intenalo abierto (a — ra +1) Asi Ela.) = (01.0 +1)

wa
om

Para representar el entorno E(, 4), se halla los dos exremos del intervalo a
parir del centro del entorno, as 3 — 4= —1 y3 + 4 =7.

(1,7) como muestra la Figura 1.15

maz

20. Pensamiento numérico

Intervalos y entornos

Se lama entorno cerrado de centro a y radio ry se denota por Eo, al
Interval cerrado fa = ra +) AS Ela.) = [a —1.0 + 1.

La igua 116musra dlemomo |

E

ee
Den

{Un entorno reducido alrededor dea y radio es un interval abierto al que
no pertenece a: E(a,1) = {x pertenece al interval (a = na +1)x # a).

entomo reducido Er: 4 solamente tiene un punto menos que el encor

idades de aprendizaje

À no abierto £(3 4) como se observa en la Figura 1.17

TEN ETE E E
Fou

Escribe cada una de las siguientes desigualdades en
| su noraciôn deintenalo.

a4sx<9 bAex>-3
dx>-9 ex<o

exes
1x>6
O osemina cada representación de a Figura 118

8] como conjunto y escribe su notación como inter:
valo.

> 7 Fous

© repris cas common rete
am DU eh aan)

O scr con notación de intevalos a representa
Ne|condelaFqua 1

© oxen la unión a inescin y areca
Sims para cada una des par deintenabs
a. A=(25)yB=[-1,3)
b. (2.5)yB = (13)
cA=([25)yB=([-1,3)
dA=(2,5]yB=(-1,3]

Comunicación

Ov (- a] epsomado na Fig 120

© corresponde al resúltado de alguna de las operacio-
esque e prsentnabajo Decide uly xp
lección

De

21. Do e e EE

representa ena eta ra dela gra 121 a
© tersección de los intervalos (1, 5] y (2, 6). Escribe el
intel que brute inerprécl medie una

desigualdad

tema!
(O Escine cinco números ques encuen en cada
à unade as seme inerseccones

aayna bF+e)nt
cannz a (Ao) N
Razonamiento

O Caen como verdadera aba cad afirmación
© 2 Losintervalos (a, bl y (a,b) son iguales.

bo. Elconjunco de os número reales e puede repre-
sentar como un intervalo abierto.

< lab] M(o.b) = (ab)
dabl-(@b= 8

(O Ave qu chien en cada nade as nos
mereces

ame nZ nnd
em dm NZ

Esc ds nero que cumplan a condición
© een ca as

a. Suimenecin es va.

©. Suinesecdénesun nico pum.

«Surin el conju de todos los números

ra.

Su ierenciaimérica e vaca

«e. Su complemento es (—ce, —2) U (3, +00).

1 Suinrseeiön esunodelos dosimenals.
(tados enomas que cumplan las condiciones
(© use mencionan eneada cas:

2 Abies ea ns sen va

b.Ceradosy aja unin eal enor (03)

< Reduidoscon e mimo ceo pero uno con

un radio que sea el doble que el del oxo.

© cvvevatargua ras
+ 7
y

a Escribe en notación de intervalo cada represen
tación.

bo Escribe una operación ene ls intervalo de la
figura de modo que e resultado sea (=3,4).
« Dererminalainerseció de os complementos
de os intervals representados.
Resolución de problemas
DE ie ar ela medida eltempo ene co
$ mienzo de una onda ye final de oa en un decro-
cardiograma (ECG). El valor normal del intervalo QT.
está entre 030 044 segundos
a. sie en oran de interval os valores de
un QF normal
.:Culnto tiempo dala onda de un QT normal

PL Evaluación de oprencizal EEE

(© Obseraaepesncación e a Fgura 123 y rs
br que se nda en cada caso

à Nonba come conjures sinenalos dela
fa
à Bere cad cojo enon deren
€ se ca uno de mena que rom
brastenl ela
depends cada uno
dein neral que determines
(Erbe un operación la en os
pumos del gl que denen dol ado
(O cate ponder en cad enunciada.
#2 Selena de un ere bno 63 su
rado ¿sis pure ten eto
Epic vara
1 inc de ner recio es 3y a
radio so LOS pus tee ee eta?
E cua

5

22. Pensamiento numérico

Es "números sobre la recta nue
América están a7 unidades del nú
mo 8?

E UnA persona que tome un tax
debe pagar $ 2000 por el arranque.
dela carteray $08 por cada metro
recprido

+ SÍ la persona tiene $ 12000, es.
lide la expresión que muestre
Chántos metros puede avanzar
cómo máximo en su recorido,
con ese dinero.

Inecuaciones y valor absoluto

teat denon pone he any ka
Beeren

5.1 Inecuaciones lineales

{Una desigualdad que tiene por lo menos una incógnita con exponente 1
recibe el nombre deinecuacién lineal

Cuando se planea una inecuación lineal puede ocurrir que uno, ninguno o

vaio valores satisfacen la desigualdad, Encontrar dichos valores consiste en re

solver la iecuación y para ell, e aplican la propiedades de as desigualdades

y los procesos algebricos empleados en el despeje de ecuaciones

au

Par saber cuántos metros puede avanzar como máximo la persona de la

situación inicial se debe resolver inecuacién 2000 + 08% = 12000 as:
2000 — 2000+ dae 12000 ~ 2000 = same

8x 10000 race mios

REED noc

Por tant, a persona puede avanzar máximo 12500 m que son 125 km, con
«e dinero que tiene. La solución se puede escribir (ce 125) en este probe
ma, no tiene sentido hablar de distancias negativas, as que la solución real
los.

5.2 Inecuaciones cuadräticas
Unainecuacióncuadrtica sde arms. + bx + € ou epresón
delaformaanteror que nca lun dels otros smbolos de dsl
a]
À Para es aineeucin x x — 20> 0 se aphcan os guientes pasos:
À 1. Se gu el poinomio cudrátio x? — x = 20 à cr y se obinen las
races de a ecuaion de segundo grado usando a mu cuadrática.
MEA =
2 2 7
2. Se representan esos valores en a eta rel se roma un punto de cada
uno de ls ves ines en ls que queda dividida la ra y se es
Ita el potnomio x’ — x — 20con esos La solución esá compues
sa por os intenaos (o el meno) que define ls resultados de la
evaluación que sasfacen la desguadnd En este caso la solución es
5=(-=.-4) UG +)

7,

23. 5.3 Valor absoluto

El valor absoluto de un número rel representa la distancia que hay de ese
número acero, El valor absoluto dea, se denota ll.

EE
La distancia de —4 y de à cer es la misma, sí que
se observa en a Figura 125.

5.4 Propiedades del valor absoluto.

El valor absoluco cumple las siguientes propiedades paraa y nümers als
tjj=o 2=osysloia=0 2la-bl=lal-il
Slot bl slol+ pl Sia=id 6la-bl=osysbsia=b

z= soso ah

9. Para. un número real posivo, x] < ksi y solo sik <x <k

Font ws para

10.Parak, un número real positivo, Jl > k iy solo six > kox < —k

my = Gseveca ls genes propiedades
3.-9-(6] = 141-161 =4-6=24

dels oo < 1-4 + Id yaquez <a +6

sim

Es inecuaciones con valor absoluro como jx — 4] > 12 y para saber
culls valores de x la saifacen se aplica la propiedad 10, ya que 12 > 0.
Con dicha propiedad se obtienequex — 4 > 120x — 4 < —12.De donde
x> 160x< 8

24. Pensamiento numérico

Inecuaciones y valor absoluto

5.5 Inecuaciones con valor absoluto

Para resolver una inecuación con valor absoluto, se deben aplicarlas pro
Piedades de valor absoluto, de manera conveniente.

‚em
{La inecuación |x — 3] < 4 se resuelve al aplicarla propiedad 9 del valor ab-

soluto ya que 4 > 0. Con base en ela, —4 < x — 3 <4 para resovera se
adiciona 3a cada miembro de la inecuación:

44 3<x-343<44 3 delocual 1 <x<7
‘As la solución dela inecuación jx — 3] <4 sel intervalo abierto (1,7).

+ à

ras
1 Sise coma el punto x = 8 que no está en el intervalo dela solución se iene
[8 — 3] = 5 que no es menor que 4 mientras que par x = Ose cumple que
Jo — 3] < 4 por hacer pare de la solución, como se ve enla Figura 128.

Con base en lo anterior ise toma cualquier valor en el intervalo solución.
la inecuaciôn se cumple mientas que para un valor fuera de este, no se
E sacace

Ba
À Para resolver la inecuación [3x + 5| > 8 se aplica la propiedad 10 del valor
1 absoluto, en cuanto que 8 > 0.

À Declose ee que: + 5 > 803 +5 < 8

AL resolver la primera inecuación la solución es x > 1, es decir cual
quier valor en el intervalo (1, +) en tanto que la solución de
x+5<-80x< = osadlinena[-n.-T

3

{Cones la soluin e a necución [x + > 865

¡sua
Us qu el pra a unes

+ E

Buenos]
{La solución dela inecuaciön [3x + 5] = 8 incluye los valores extremos que
} no fueron incluidos en la inecuación del Ejemplo 7.

{Asta solución de [3x + 5] = 8 es el conjunto $ = (o,
{que los valores extremos satisfacen la inecuación

: ET ao $

Ut tea

25. Ejer
O Pesce ca inecuació lineal Expresa schein
à comoimenaloy ersten un pica

aw<s bx+3> 0
cw-2<-2 -0>12
ee 6> S$ EDT

© reset cats inecuación curia. Expresa aso
À lin como mena y represénal en un gc.
um-6+820 bit 1<0

ER-6+3>0 dx eae 3 sO

P= at7<0 623-320

© pesen sienes ecuaciones con alr bso

$ lu seb solu como ner yrepresn-
een in gic

sde
y

7

O resets inecacones rando proce

"miento desc Primero sean a races dl
mado y e denominador Lueg se representan
estos vores en a recu ay se comnúa el proce
so como ens necuciones ua ealundo

las races en a expresión del ado izquierdo de cada

bi-x+s>-2

Bet

a Biles

£41
Ez

€ zo 4 Kets <o
Reh. de problemas
© ren y reset la inecución que esta de
© caca eruncado Luego expresa la solución como un
incr.
a. Tes veces un nümerox restado de 18s menor
ae
Doce vets un nümeroxresado de 3 es mayor
ques

© cata de Helena mide 4 em de ago ycrece à
$ razón de 15cm por mes. Helena quiere que une
bello crezca al menos 7 cm ¿Cuántos meses debe
espera para que eso cura?
@ Una banda musica! rea una gra por wes ciuda
à des y log ran a menos 120000 espectadores
En la primera cu la banda uvo una audiencia
de 45000 y de 33000 en la segunda ¿Cintas pe
sonas astro l concert en aerea ciudad?

(@ iaa connotación de cada nec

Max 3<8 bi+san
C3850 dar+n-2<0
els Lja>a

O Un camionea pesa 501g La diferencia ne
Y peso dela camion va yl peso de a carga

Que wanspora debe ser por lo menos de 41048,
Sila camoneta debe anar custo cas ules.
¿eo puede pesar como mimo, cada ura
para que as pueda anspor

sexualidad y la 6,

@

elas pesonas que hacen pública su orientación
& sexual divers, el 80% han percibido el rechazo.
de su entorno socal y por lo menos el 70% han.
legado a er agredidas.
+ ¿Qué significa la expresión "por Io menos el
70% han legado a ser agredidas?

26. Practica mas

Cohjuntos
Copunicacién
@ Observa esguince conjure:

a G=b-rares

Luego, determina si a siguientes afirmaciones son
Verdaderas falsas.

a= (-7,-6-5-4,-3.-2.-1.0.12
b.G= 1-73

aseo

een operaciones pa els genes

$ connec

k A

P= inmerspimos menes que 1}

= unna

bo-c

Kenank

league

Betten de problemas

© [és una excusin de 100 pesonas 38 var una

© [cee 26 navegan pr y 4 pren de
portes extremos. Doce pesonas fueron al 0 y à à

eva 20 sion ena cura ractaon agin

[depor exemo, 13 navegaron por lo y rat

Karon lin deporte emo y paricparen ens

les acer ¿Cunas pesonas futon nia

rene al ot

Nümeros reales

Con its

presenta en la rect res ls siguientes números
ANT

nn eran
bo tere iria

Yo +208) + (+248)
be) = (08)

En)

nas

| erin
© ata perme dels eones des gas 131
eya

Desigualdades e inecuaciones
Ejecitación

© Ceci la est que se chine en cada
Doo +

a. adiciona —15 a ambos lados de la desigualdad.

b. multiplica por —3 ambos lados dela desigual
dad.

«vide por 1 aambos ados da desualad.
© trata es números que hagan verdadera a cada
= inecuacon
235047
boxes<s
cots=b-n
astres
Resolución de problemas
© sesienendosasasde madera amaslagamide3ém
más que el doble de a más cora, queno excede los

20 dm. La medida de la tercera parte de a más larga
menos la mitad dela más corta es mayor que 2 dm.

a. Plantea la inecuación que representa la situación.

bo ¿Cuáles el valor mínimo que puede medi el asta,
mis conta?

© ¿Cuáles.l valor máximo?

O===:)

27. Resolución de problemas

Estrategia: Descomponer el problema en partes

En un grupo de 40 estudiantes se encontr que 21 pre-
feren el elado con sabor a vail; 17, el de fresa; 19, el
‘de mora; 8 prefieren combinar vaina y rsa 9, ainia
y mora, y 7, fresa y mora. Si cinco combinan los tessa
bores ¿cuántos estudiantes no prefiere ninguno de estos
sabores?

1. Comprende el problema
+ ¿Quéinformación puedes obtener del enunciado?

+ ¿Quéte piden encontrar?

2. Crea un plan
+ Organiza la informacién en un diagrama de Venn,
3. Ejecuta el plan

+ Denomina Val conjunto dels que preñeren elabora
‘anil, Fal de quienes preferen fresa y M al de los que |
prefieren mora,

+ Cinco prefeen ls res
sabores; por tanto, se
ubica el número S enla
intersección delos res
conjuntos. ae

+ Como siete preeren
fresa y mora y ya hay
incon ls res, en la
intersección entre esa
y mora atan dos. A

+ Ubica las demás iner-
secciones y cuenta el
total de elementos en

loscomjuntos. LEE

I Solo dessus no pere ingun de os es sabots
4. Comprueba la respuesta

+ Vera que los que prefieren fresa mora, pero no vai
nila son 17

Aplica la estrategia

© Ere grupo ce 38 siames un cago en ne
empresa eran, 9 hablan ings, haben
francés y hablan alemán. S 5 hablan nés y
francés: ins y alemán 3 francés y alemán.
x 2 personas hablan los ves idiomas ¿cuántas
personas hablan solo uno de eosidiomas?

a Comprende el problema
be Chea um pin
€ ua dpn
4. Compretalarespuesa

Resuelve otros problemas

© ss es un número mal ¿puedes encontrar un
valor para el cual ays recíproco no tengan el
mimo sor

© Ls eresiin x= 200+ Serepesenca la dan.
ciaenmeosrecoria por un mi que eliza
un movimiento lineal (t en segundos). ¿Cuán-
10 dempo mínimo debe wan para que el
sé recora una distancia no menor a 500?

Formula problemas
© Parc y esueve un problema ene cua seu
cela nformación e a figura 136

tu vocabula

Enrique

+ Busca en el diccionario ls palabras unión in
{erseccidn y complemento Escribe su significa»
doentucuaderno,

28. Evaluacion del aprendizaje

Conjuntos

Colmunicacón
rca asaemaciones on verdadero alas.
o ar

a. Un conjunto queda determinado por compren-
sion sise escriben todos sus elementos

b. La unión de dos conjuntos es otro al que pertene-
‘en os elementos de ambos conjuntos.

€: Laintersecciön del conjunto vaio con un conjun-
to unitario sel mismo conjunto unitario.

4. La propiedad que indica a cantidad de elementos
de un conjunto se conoce como cadinaidad.

+. La intersección de dos conjuntos unitarios siem-
pre es vid

Rajonamiento

¡Selecciona cul de os siguientes diagramas de Venn

“represen la operación AUB, dade que À =(1,2.36 9),

yB=(0,1).

| oe a)
Orbe os genes conjures or comprensión
0 cnrs

a. A= fuiéngla cudrtea pencigona hecigona...]

b. B = fleche, queso mantequil,yogur}

1 C= (terra, icosaedro cubo, octaedro,
odecaedro}

Opxemina algunos elementos de cada conjunto y
{clasificalos de acuerdo con la cantidad de elementos,
la. A= {xixes un animal mamifero y acuático)

lb. 8 = (uxes un natural menor que 0)

Números reales

© corp cada oración con los minos dados de
à forma que afmacones sen vertes
racionales natures infin,
Sic, semineca stand
A A todo punto del rca ral le comesponde un
nero el

El conjunco de números naturales se puede repre-
senta con una tomando la mis
ma entre cada par de números.

© El conjunto de números enteros es una ampla-
ción del conjumo de números (—

«Ente cada par de números siem

pre hay un número racional

+ La cantidad de números realeses
Ejerctación

(O rai operaciones ene nümers rs expre
à sado restado con dos cas decimales

ae)
bas) + (13 -7)
Re)

Lene

Desigualdades
Ejercitación

O comple con los signos <, >, o =, sein seal
à rio ener cada par de mer
rely

2304 58020
©. 245604 )254604 di 100í 100003
12012 (£06

| razonamieno

ovens de menor a mayor los números de cada
voue

hate
1,2, -2m, 13,6, 8,42
er

29. Intervalos y entornos

Comunicación

O egesensacaainenaloenarectanuméricay ca

à sal como aber cerdo o semiabieno, Luego,
ésto como conu y sie cinco leemos
Sue peneana
a (3,18)
bina)

(44)

Es
¿314

Ro)

© tacona ta desguatad con su especie
e senacón pia aa

sa<x<b
basxsb —+—
casxéb +
dab —
ca<x +
(ox ——
sasx +
hbex ——
ir TH e

Inecuaciones y valor absoluto
Ejercitación

De con ura feta ca nec con su cores
à Pod ‘caus

a+ 7> 10 x<s
b mbt 6>—9 x>2
e 1K -8< 16 x<2
dse-29>1 x>6
e&-3<9 x<-50x>-2

Cons)

(O resued tus gines inecucione con alo abso
toy ac sun

pera
k-3<
>>
alos

elstal>2

bal

(O nc cs para ua nee ana solución
Yi que tens

2 RERx<
bb Rix> 2)
© ERI x<O}

be RIO0<x< 4)
ERERIK<-N
Retolucién de problemas
QA un esa e clean sus eahaciones sobre
4100 puntos. S en ss racines ha obtenido 7,
58, 850,59 y 95 ¿cub debe sra ota minima en
Su siguiente ealació para obtener un promedio
ia mpeors 9? pense
(Ola sua de dos nümers euros es menor que 100.
Y Siuno dele ümers es lp que el ova ¿cuáles
son los valore enesosmábimos que aícen esa
condición?
© Poo6n una tuación que se pueda desrbir con
e cada una delas sents ecuaciones,

ax-2>5 ——
b4q+2<3

c2+4>10

di-x-n<o

em+2<10

30. 2 Funciones

32. La depreciación e el mecanismo,
man el cal e reconoce el
else que ste un Ben por el
us que sega de se

Delcuerd con esa definición ¡de
qu factors depende la depreca-
ch deuna máquina?

dosto anual, en millones de pe-
og del mantenimiento de una
fina para fabricar botellas de

ico en función del tiempo que

funcionando viene dado por

{Un} tabla de valores es una repre-
senfación de datos mediane pares
ordenados que expresan a relación
encle dos variables.

La expresión analítica de una fun
Gh es una ecuación que relaciona
algebraicamence las variables que
La gráfica de una función es un
diblio o boceto que permite co
oder intuitivamente el comporta:
mio de dicha función.

Concepto de función, dominio y recorrido

1.1 Concepto de función. Dominio y recorrido de una
función
€
en
JE) = 2 — 2 4 1 = 3 (es decir 3 millones de pesos)
ice alanine
16) = 9 — 3 + 1 = 7 (osea, 7 millones de pesos).

Después del tercer año de uso, se hablan inverido en el mantenimiento dela
máquina: 1 + 3 + 7 = 11 milones de pesos Esto se puede establecer debido
a que para cada año el costo de mantenimiento es único.

Una función es una relación que asigna a
«ada elemento x de un conjunto X un éni- X= ra
co elemento yde un conjunto Y. Se lama

dominio def (que se indica como DI) al
conjunto de valores que toma la variable
independiente, x El recorrido de f (que se
‘nota como R{f) es el conjunto de valores
que puede tomar la variable dependiente,
y esto ese conjunto delas imágenes. Fendi

1.2 Formas de definir una función

Las funciones se pueden determinar de vais formas
+ Mediance una abla de valores.

+ Mediante su expresión analíia.

+ Mediante su gráfica

=
La relación fi) = xP — x + 1 es una función que estä expresada mediante
su expresión analítica.

Para trazar su gráfica, puede construirse una tabla de valores.
SES
DS CD = (A+ 1=44#241=7
SM (= (4114141
JO) =0-0+1=0-0+1
M=r-141
Ia=2-2+1

niet
241

33. A represa las parejas ordenadas(~3.13).(~2.71(—13).(0.9.(1.0y
(2.3) y unit mediante un trazos obtiene a representación gráfica dea
función fe) Figura 22)

A parir de a gráfica de la función s posible determinar su dominio y
recorrido,

Puesto que x puede tomar cualquier valor real 0) = R.

Decoder quelaució omar > Y aque

p= eiy> 3] quepueeinscasemetnecienato $

A

Modelación
(O fscsita expen antic des funciones dfn
Xe. dss nos sienes enuncados
2. Acada mero real e lesa ciple desu
cundado menos el doble des cabo
A cada número natural se aoc rai

‘dada negativa de la suma desu cuadrado con él

© diss ita de ss fncones Eabora ua a
à Diadevaresencada caso.

Resolución de problemas
© rca dominio record e as funciones re
$ presencadasentas Murs 23y24

Evaluación del aprendizaje

(© se au consu un rectangle de 12 m’ de
Y dre. ra depende de as medias que tengan
la base x y la altura, y. Por ejemplo si la base es
Gem alu eb 2m
2 Compleat que aa media deal
ray pa dinos ves de

b Ubica cada par de puntos y construye la gré
<a corespondiente.

€ Determina a expresión analítica de esta fur
ción, su dominio y recorrido.

34. De

la

termina las coordenadas de los

3 Tabus ses aloe de -15 415
Sy braza la gica de la Anden
Za

ie

&

puntos de corte de la función. de
fa 25 colo eje de sa

sy las ordenadas.

Yi

Puntos de corte con los ejes. Signo de una función

Cono
2.1 Puntos de corte de una función con los ejes

Los puntos dela gráfica de una función y = 9) son de la forma (a) con
a € DG Enlafigura25 se observa que a grfica def corra led Las absisas
nos puntos (3,0) (1,0) y (3,0) y el eje delas ordenadas en el punto (0.1)
Las coordenadas de los puntos que pertenecen al ej X ls abscias son dela

forma (o, 0) y ls de ls puntos que pertenecen al ej Y ls ordenadas son de
La forma (0)

Los puntos de corte de la función con a je X se calculan resolviendo la
ecuación fx) = 0. Puede haber más de un punto de core de una función
con je X

El punto de corte dela funcién fcon e eje Yes el punto (0,0) Hay más
MO un punto de corte con el eje ¥ ya que sino, fo sera función.

2.2 Signo de una función

Para representar una función, es úl saber en qué intrvalos la gráfica dela
función va por encima o por debajo del eje X. es deci, dónde se cumple que
10) > 0 y dónde que f(x) < 0. Para el, se deben señalar sobre el eje X los
Puntos de corte de la función con este y los puntos de discontinuidad y, a
«continuación estudiar el signo dela función en los distintos intevlos en que
je queda dividido.

Hal os puntos de core conos ejes el gro dea unción) = 276

+ Puntos de corte con el ejeX estos se encuentran resolviendo la ecuación
I) = 0 decic $ = 0 La única solución es x = 6 luego el puno
de core dela función con elejeXes (6.0)

+ PuntodecorteconelejeY:secalulaelvalordelafunciónparax=0Esdecr
one

10
CE)

+ Signo de ft: se debe resolver la inecuación f(x) > 0.

Entonces el punto de corte dela función con eleje es

La pica def) et por
| = + 2/07 0 | enima dej en (=,2).
laica def ex por

= 2100 <0 _bajode ge Xen 26)

La gráfica def) ex por

= + 21007 0 | encima del je X en (6, +2)
|, nla Figura 26 se muestra la represencacion gráfica de(s). me

35. Pensamiento variacional

O

© Dis una unción que cumpla ls condiciones
Y dada en cacao
a. dominio de es os pures decor con el
eje X son (—5, 0). (1,0) y (4,0) el punto de corte
con el eje Y es (0, 2) y el recorrido de f'es [—5, 5]
b. El dominio de fes (0, >}: los puntos de corte
con el eje X son (5, 0) y (12,0) y f(x) = 0.
© Lo puntos de core con je X on (2,0
(.D)y(3 Opel punto decor con eleje es
(0,2% yf) =0en(-2,1) U (3 +2),
© rx api de una función quecumpilosen-
© lidoen aura 27.

CENT Maur
ay toy
non neta

Ejeriación

© Determina los puntos de cone conos ees ig

Bo des funciones rprsenadas en as pur 28
ya

ramas

Resolución de problemas

© Las funciones ce fea y demanda en unción de
$ precio pde un producto son rspcthamente

a. Encuentra el punto de equilibrio (Figura 20) y
da el precio ye número de unidades corespon-
dientes

b ¿Dónde corta la gráfica de a oferta el eje delas
abscisas? Explica qué significado económico
tiene ese punto

© Describe el comportamiento de as funciones de
Oferta y de demanda en érminos de los puntos
de corte os signos.

Evaluación del aprendizaje

(O Cactos punos de cone con ls ejes ala
dominio y exuda el po egin os aloes que
tome variable independiente a org del do-
"ino raiment era area de cada fune
a fix) = 6-5
BAD = + 64
JO #0 +e TEE]

AN) = 08 +2000 1-3)
© fis) = ade? + 2 =)

fl) =x? +9) (2-9)
BJO) = 9) G2 +9)

36. E
El
3
=
E
H
y

Simetría

Hak un dibujo que represente
nd montaña que se refleja sobre
un lago. Explica cómo lo hiciste y
describe la caracceristicas (forma,
tarhaño y curvatura) de la imagen
blenida en comparación con la
mepiaña,

Sm la Figura 211 y determina

po de simetría que present,

3.1 Simetría respecto al eje de ordenadas

El estudio de la sierra de funciones facil la consrcción dela reprsenta-
ción gráfica en el plano cartesiano e reconoce la existencia de una reflexén
de una parte de as curvas.
La función de la Figura 212 es siméxica con respecto al je Y, pues su gráfica
se puede obrener reflejando la mitad dela curva con respecto al ee de las
ordenadas,
Una función es simétrica respecto al ej Y sise cumple que (9) = fle)
Una función que presenta ese po de simetría se denomina función par.

cs
| Lafunciôn ff) = es pas pues x)

Enla Figura 212 se aprecia La imerra respecto del eje de ordenadas
Simetría par

3.2 Simetría respecto al origen de coordenadas
Una función es simét
‘quef(») = fo)
Una función que presenta est tipo de simetía se denomina función impar.
Ejemplo

| Lafuncién f(a) = L esimpar pues f(x)

respecto al rigen de coordenadas si se cumple

En a Figura 213 se visualiza la simetrarespecto al origen de coordenadas.
Simetría impar

37. O Coming de ca unción considerando
© cuecta impar

(O Para ca caso gica ura función que ump ls
© crc ads

a. fe seria pat f(2) = =5 (4) = ys
dominoes el comjuno de osúmeros reales.

54-4)

b.gtienesimetria impa,g(2)

su dominio es [10 10]
«hn tiene sera par niimpat (1)
hd = 3yD(h)=[~ 125},

Aazoeamiento
© eset que einen casa,
$ à Deseminas función" + donde nym
son números pares epa imparono presen
tinge de esas seis.
bo Hazlo mimo para una función + con is
ponen pares
Sparta función + mes pry espa,
¿qué pode simenía presen la funció
for qué ces quee uizan los términos far
ión porfin impar

O rata y responde.
9 ¿Por qué para las funciones no se estudia la simetría

con respect al je X?

(O Determina ss siguien funciones son pres o
impares 05 no presentan rnguna de es me.

ae

Foi
bfx) =D
een

A fedex =e 44-7
cho

ER I

CODES

Ft
ue» 26 +

(O Ur pra tarda ces hors e era ise abren
$ swanco giles

a. Escribe la función que relaciona el número de
gros x con el tiempo, y, que se emplea para
llenar la piscina

à Representa unción bei
<a fncónesparoimpar
LEE
(tes arate yespode
# a. Si el punto (m. n) está sobre la gráfica de una

función par ¿cuál octo punto esta también so»
brea gráfica y es deerminado apartir (mn)?

boi el punto (mm esta sobr la gráfica de una
Función impar ¿cu otro punto esta también
sobre la gica y es determinado a partir de
(nny

38. Saberes previos

qué valores la expresión

AG + 1)esigual 0? En cu
puntos 6) = (« — 4 + 1)
cof al eje Escribe una función
Qué corte al eje X en los puntos
xd 1x==2yx==5.

be las gráficas delas siguien
(0) = Gcesun valor
(constante.

10) = mx + donde
mao.

Ino) = a + bx + donde
aro

Funciones polinómicas

La gic de) = ces una reca paral je arcade go) = mr + b
es una recta dependiente my, hf) = ax + bx-+ ces una parábola que abre
hacia arb, sia > 0,0 bre hacia abso sia <0

Lasfuncionesf.gyh se denominan función constante función afin y función
«cuadrática respecivament sin embargo, tods ela son ejemplos defuncio-
nes polinémicas. Las funciones) = 2.80) = x + 1y ho) =
polinómicas.

HE Y

La función fi) = ax" +a, = + +ax + ax + a, donde a, # 0
y los exponentes de x son enteros postivos se denomina función paliné-
Mica de grado n Las constantes, a, _,0,_.,0,_ y 0,0, se denominan
coeficiente y a, se denomina término independiente. El domino de las
funciones polinómicas es el conjunto delos nümeros reals.

BE
En a Tabla 24 se registra el grado y el término independiente de algunas
Funciones polinómicas.

mi

o

Para tazar un bosquejo de la gráfica de una función polinömica se deben

"haar Is core y los signos de la función.

Enlafunción/b) = x + Ar — x — an se ener:
+ Puntos de corte con el je X:se obrienen resolviendo la ecuación f(

‘ AA BOK + I+ R= 1) = 0
Hay cuatro puntos de corte con el eje X:(~3,0). (0.0) (1,0) y (1,0).

+ Puntos de corte con el eje¥: (0,0), ya que (0) = 0.

+ Signo de la función: se obtiene a partir de la expresión faccorizada de la
funciôn fx) = (x + 3) ex + DA — 1) Se completa la Tabla 25.
Por lo tanto, la gräf
ca de f(x) (Figura 219),
esá por encima del
ge X en (=3 -1) y
(+) y por debajo del je

LX y (1

39. Pensamiento variacional

4.1 Características de las funciones polinómicas de la

forma f(x) = x
+E recorido de las funciones de la forma y = x, con n un número par
(0.42)

+ Elreconido de as funciones de a forma y = x, con n un número impar. es el
conjunto de os números reales

+ La gráfica delas funciones polinómicas de a forma y = x, con nun número
par tiene forma de parábola, similar a a función cuadräticay = x sin es
impar la gráfica iene una forma similar ala dea función cúbica y =".

«Las funciones y = x donde n es un número par son simétricas respecto al
de.

+ Las funcionesy = x, donde n es un número impar son simétrica respecto
al origen de coordenadas.

+ Lagáfica delas funciones y = x, conn e Z corta los ejes en (0.0)

Dado que las funciones f(x) = x. g(x) = xy h(x) = a son de la forma
y = x, con n parse cumple que

1. Elrecorido de cada una es elintenalo o, +).
2. Sonsiménicas respecto aleje Y porque:
¡ar 0)
8-9) = (0) =
hin
3. Tienen forma de parabola, similar ay = xy coran a os ejes en el punto 0
(0.0). coma se muestra en Figura 220.

an
Dado que las funciones f(x) = x. 80) = xy hl)
con n par se cumple que:

son de a forma

1. Elrecorido es el conjunto delos números reales
2. Son simétrica respecto al origen de coordenadas

(a = (a)

an

Le

3. Las gáficas funciones gb y ha) tienen forma similar ay = x y cortan à
los es en el punto (00), como se muestra en la Figura 221.

40. Funciones polinémicas

Gene en GeoGebra

+ Dbserva el procedimiento par representar funciones polinómicas hasta de grado 3

BB Haz ic en el born E selecciona ER
la opción Desizador y hazcicso-— [LO alle

brel Visa Grade CeoGebra. En — — 7

la venana que se despleg, cambia

los valores máximo y minimo del

intel por —10 y 10, especia:

mente Deja el incremento en 01 y

haz een botón pcs

En GeoGebra aparece el desizador

a. Come otros tes desizado-

res con ls miss caracteres y

rómbralos como b cya.

El en la barra de entrada escribe
a + bé + cx + dypulsa Enter En
GeoGebra se observa la gráfica dela
función 2 + 2° + x + 1 ya que tos
ds ls desizadores estén ubicados.
ent

en en cuenta que si ubicas un des-
lzador en 0, esto equivale a eimi-
ar el término correspondiente al
deslzador. De esta manera, podrás
obrener a gráfica de funcione pol
nômics de grado 0 1,2y 3

|Mueve los desizadores para cambiar el valor de los coeficientes de cada término:
[observa cómo varia la gráfica dela función polinómicay responde.

la. ¿Qué obtienes si ubicas todos ls deslizadores en 0?

|b. ¿Qué valores deben tomar los desizadores para obtener una parábola? Escribe
distintas posibilidades.

|© ¿Qué valores deben tomar los deslizadores para obtener una recta?

41. Pensamiento variacional

Ejeritación
(O Desea cuis delas siguientes funciones son
"© polnómicas y para ets hala el gado yaltdmino
Independiente.
a fo) =7 Er
60) = ara 0) = 200 — 4841)
© Hala el dominio y recorrido dels sigientes fun
ones polnmicas.

ayers
cya 42

Razonamiento

© Decrmin cules de la guientes gráficas cones
© ponden aun funció polmömica

a b.
da aT
A 4
y y
ie To

© Deermina cada afirmación es verdadera (Vo
van
a. Una funciön polnömica con todos os expo-
ences pares es una función pa
Una función polnómica enla que todos os
exponentes que aparece son impares una
función impar
«El product de dos funciones ponómica de
rado mes una función polinómica de grado.
La sum dedos funciones polnómicas de gado
mes una función polndmica de grado m.
+ SiPt) es un polinomio de grado impar con
<oeficentes les a ecuación Pa) = Osiempre
dene al menos una solución real

modelación
© Esc un poinomi para cada cso
© 2. Grado 1 y corte con el eje Y en (0, 3).
Grado 4 y (0.0) como punto de cone con el
ex
«Grado 3 eu función impar

Resluién de problemas
(O iss res de as funciones ais ene un
À punto máximo sabre haca abo yun pun mi
fimo Saben hac aba. En cule de sc.

Sos al puns denomina vice
El vice de una parábola sel punco que ene
abscisa x = ©

a
a. Determina elsgno de fs

rt

b. ¿Cuáles elvérice de una parábola que corta los
es en os puntos (1,0) (5,0) y (0, 10)?

© Hal el dominio y el recorido de la función cu
rétine) = x + 2x + 3 Luego, encuentra
cl véric dela parábola correspondiente.

O Una cena ha lnzao una pelota que sige una

% ayectoa dad pora muy = 800416

donde tes tempo (m segundos) tansunid

desde el rca yy sla ara en meros)
que se encuentra la pelota.

à. qu po de gráfica comesponde a yecto
Que describe lam

bo ¿Cuándo alcanza a peloa su máxima altura?

© ¿Cuáles la aura máxima conseguida?

un
(O stats prose core contes coorea-
À cascata uns pole y conse ura tabla
de vars par loue sa pac.
a. fx) = 36 = Sx +1
bg) = + —&
© describe tas canes de as frcons
À phe) = ym) = x y rr bosquejo desis
gis

42. la
med

de

presa la caridad de material
fe se va a necesiar para cada
vase, en función del radio dela

tay = mx + n (con m # 0)
a asintoca oblicua de f si à
ida que Je se incrementa, los
Beenden eye delat

in cadaver más próximos.

Funciones racionales

Para determinar la cancidad de material que se necesita para cada envase, se
debe hallar el área total del laa lindrica, la cua está en función del radio y
la aura del envase, que son cantidades variables en la situación y deben expre-
sarse de modo que permitan calcular el rez.

Sir es el radio de la base y h esla altura de la lara cilíndrica en centímetros
entonces:

V=nrh=30yA,., =2mh +0)

= um + 2m,
Seon
ae be

Al despejar h en la expresión del volumen y suscturla en la del ea total se
obtiene que

La expresión que coresponde al ea totales una función en la variable r que
recibe e nombre defunción racional y ene como dominio conjunto de os
rümeros reales diferentes de.

Unafunciön f(x) dela forma f(x) = 2, donde P(x) y Q(x) son polinomios
6) #0 e lama función racional

Eldomini de unafunciónracion/6)= E eselconjuno delosnúme-
os reales para los cuales Q(x) # 0. &

Las funciones fi) = ARE y 96) = PLE son uncionesra-
orales E dominio de cada una se halla determinando los valore dela

variable independiente (en este caso, que anulan el denominador:

Luego, D() = R — 5)
+ Para se resuelve la ecuación cuadrática,

*-4=0=.
Delo cual D(g) = R — {2.2}

| Para se resuelve la ecuación x — 5 = 0, de donde se obtiene que x = 5

5.1 Asintotas

Lose que o pate demi de inn cn den
os at qa wes nea
A

+ trea ature dj) = st) oy) 0

+ La recta y = b es una asintota horizontal de fs, a medida que fl se incre-
menta, e valor de fx) se aproxima ab.

43. emo
Lametax=2 sun aaa vere delgado = 2
| entra 227 se obsenaquela gia se acerca alretax = 2 pm

¿alega a tocata. Con una calculadora se comprueba que, para valores dex

| mayores pero cercanos a2, la función crece indefinidamente, por ejemplo,

| parax = 21 yx = 2001,el valor de h(x) es 20 y 2000 respectivamente.

© Por oxo lado para valores de x menores pero cercanos a 2, la función es
decreciente, por ejemplo, para x = 1.9 yx = 199, los valores que toma h(x)

son ~20 y —2000, respectivamente.

| La recray = 0 es una asincora horizontal de la grfica de la función h(x) ya
que a medida que x crece o dectee indefinidamente, la función se acerca al

eje Y. pero nunca llega a tocarlo.

5.2 Características de las funciones racionales de la forma
Wr

+ EldominioesR — (0)

+ Sin es un número par el record es (0, +)

+ Simes un número impar.el recordo es R — (0,
1 _
+ Las funciones y =. con n siendo un número par son simétricas respecto
ger. x

+ as funcions «con ende unndmerigar son sméicas seo
toalorgende coordenadas

+ Las rca Oy y Oso aras verily oriol espccamente

“Semon

Enla función f(x) = el dominio es R — {0} y el recorrido es (0, + 2),

Lasrectas
paraftr).

son asncoras vertical y horizontal respectivamente

= 6 luego. fa) es una función par y simétrica res

m
| pectoalder.
La Figura 228 muestra la gráfica def)

44. Pensamiento variacional

Funciones racionales

‘Actividades de aprendizaje

tación

[) Decermina cuáles de ls siguientes funcione son ra
cionales Jsufia tus respuestas

ek)
(O decrmin el dominio y las sos decada una
1 dels sure ncones cones,

LAS 45

O

¿900 =

an

E
= T0008
2
DO

ko =

Lio

Modelación

© Dis grade una fnción racional que cum-
Wp conlascondicone dadas encada aso.

a. Tiene una asintora vertical en x = 2y una as
tota horizontal en y = —1.

Su dominio es Dg) = R = (1)y tiene una asin
tota horzoncaleny

Orion cada una de as funciones de las urs

© 229 230 con la mul qe lecomesponde ue-
go. determina lesa dorm yla seta
En sé una delas

as)

bf)
2
Fenn

pazonamiento

© espia ipuedeaberagura unción acoalcyo

‘à mino sean todos los números els ÿ en co
Amos exe un gem,

45. Determina si cada afirmación es verdadera (V) fl.
EC
a. Toda función polinömica es racional
bo. La suma de dos funciones racionales es una
función racional
«El producto de dos funciones racionales fyg es
{una función racional cuyo dominio corresponde
2Df-H=D9N 0)
4. Todas las funciones racionales tienen al menos.
‘una asincota horizontal
+. Todas as funciones racionales tienen mínimo
una aíncora vertical

© asas asas de as guientes anon ik

'8, ya son dos números rales cualesquiera.

afo=t bso) = 5
cos ase

© una función racona dene una © más sos

1H oblicuas solo cuando el grado del numerador es
una unidad mayor que el grado del denominador
De acuerdo con esta información, determina si as
siguientes funciones tienen 0 no astas oblicuas.

a fo=

ES

3

reses
bf) = E
= St

a

Ejerctación
Determina los puntos de core con los ees el signo.
'8 la símería y las asincoras de cada función

Resolución de problemas
La función raconal ene una asncora vertical en
$ x= 2yd domino delafuncion ges ~ (1
a: ¿Se puede afrmar que2no es un punto del do-
mini ela unción >
bo ¿Esx= Yuna sinoa veta deg?

(© se ha comprobado emplicamente que las garan-
+ cis que obtiene un casino en area dependen el
‘iempo que se permanerca jugando Estación en
te imp yla ganancsse modela con afuncón
"00"
Gt) = RT donde representa el iempo
de juego en minutos y G( as ganancias en mies
depesos
a. ¿Por qué se puede amar que est casino sem:
pre obiene ganancias

2. ¿Qué ganancias obsiene el caso il nera esá
‘cupada durante media hora?

© ¿lafunciónG(0 dene alguna asincorat

Evaluate del aprendzaje

(© tata ori record la ecuación de ls

À sous del siguientes funciones Luego taza
lg provimada decada ura

46. te

la energía liberada por un ere.
moto de magnitud 6 es el doble
dE liberada por uno de magni-
DFE

Funciones exponenciales y logaritmicas

Lé sabes en cuanto alos cere- 6.1 Función exponencial
‘ts? los se miden con expre-

iohes matemáticas que contienen
polencias Menciona tes caracte
sas de la porenciacén

62 se responderá afirmativamente al interrogante.
6) _ 002-105 _ 002.1
3) ~ 0021005 = 02-105

10 = 3162278

Una opción para responder la pregunta, consiste en calcular el cociente entre
la energa liberada porel ertemoto de mayor magnitud y e de menor y si ése

Luego la energía liberada por el terremoto de magnitud 6 no es el doble de a
liberada por el teremoto de magnitud 3, sino mucho mayor de aproximada-

a [energía liberada en un te meme 31600 veces.

repito, medida en kilovados-
se modela aproximada»
mediante la función
002 + 10%; donde x esla

pritud del sismo en laescalade. Una unción dela forma le)

Las funciones del anterior tipo y a de la forma f(s

b sea un número real posiiwo disinto de 1.

+ Elrango def) es (0, +)

deso<o<1
o

| Enlaigura231srepresentan as funcones
| ponencias) = 2 y =]. Para
À els se cumple que

| RY) = (0 +=) = RQ)
| Laintersección de f y g con el eje Y es (0, 1).
+f via de izquierda a derecha asciende,
| nies que descnde

6.3 Funciones exponenciales de la forma f(x)

Las funciones deta forma f(s) = a

6.2 Propiedades de la función exponencial f(x) = br
+ El dominio de x)= b' es el conjunto delos números reales

+ El punto de core dela función (x) con el eje Yes el punto (0,1)
+ El je X es una asinoca horizontal de a gráfica de f(s
+ La función (e) = b visa de izquierda derecha asciende sib > 1,y descien-

10" son exponenciales
y se emplean para medir magnitudes que tienen un rango de variación muy
grande. En este caso para medir la energía liberada por un teremoro.

yes una función exponencial siempre que

Lcona # 0.b >0ÿb # 1,son funciones
exponencales cuyo dominio es el conjunto delos números reales.

& recodo de fe) = a + b es elintenalo (0, +) sia > 0,0 el inervalo
(2,0) sia <Q El punto de corte de esas funciones con eleje Yes (0.0).

47. > Eni gua 232 se muestran las representaciones ricas de as funciones
1)=2-3y90 =2- (y)

punto de corte con el eje Y delas funcions y ges (02).
0G@)y RY) = (0.42) = RG)

6.4 Función logarítmica

{Una función dela forma f(x) = log,x. donde a # Oy a = x se conoce
como función logarktmica

OS
Sif() = logx para hallar el valor de (1)
vary. tal que 2 = 1, ste valores 0, ya que 2

2g, 1. se debe encontar un

Para hala nos valores de) = lg se realza un procedimienco mila

IS

6.5 Propiedades de la función logarítmica

+ El dominio de la función fx) = log, es el conjunto de los números reales
mayores que Oye rango e el conjunto delos números reales.

+ Para todo valora # 0 log, = 0: es decir, la intersección con el eje X es el
punto (1,0) La gráfica de la función fs) = log no inerseca el ej Y
+ Eleje Yes una intra vertical dela gráfica de 0)

+ La gráfica def) vita de izquierda a derecha asciende sia > 1. y desciende.
s0<a<1

eme
> En la Figura 233 se muestan las grficas de f(x) = log, 80) = log y

In = log, x Todas els se inersecan en (1,0) y cumplen las demas pro
piedades mencionadas.

48. Pensamiento variacional

Funciones exponenciales y logarítmicas

tación
Deermina lo que se indica if) = 4 y

800 = log

22 bf ego dan
Qi cl domino ye econo decade cin
©) 2.860 = log, (x = 1) bh) =

cf dre o

=)

Oe yresueve.

e Lafunciónfé) = «es exponencaly es muyimpor
ante porque aparece en descrpcén de miles

procesos naturales como el crecimiento de po:

Clones de microorganismos

Emplea la clcuadora para elaborar una abla de

Valores ya par de la azar gráfica de as de

[ene funciones Luego, hala su dominio y sure:

cord

ay. le boya dea

Lee y resuelve
El lgarimo que tene por base el número e se
¡denomina logaimo natural, se representa como
x = log xy cumple que
yop = x

él des genes reines son funciones bien
vidas? Real la gra de aqueas que lo sean.
siz la calculadora

20) = Ini +1)

gle) = Inf»)

© za se un mimo plan a rica de cada una
dels sueres funciones yde susiméic respec
codelarecay=x

las)
he) = lope

b.80) = logx
di?

© Dei was dels funciones eponencaes
@ fi) = 2, gle) = Y, h(x) = e en el mismo sistema
de oes coorcenadory describe ve cnc
(de las aprendidas que cumplan tods y a menos
ecsctrencas eme cda a,

Modelación
© Dhs ls funciones siméricas con respeto a a
à recu y = x de as funciones eponencites de a
figuras 234 y 235.
a y

(O Representa cada parde funciones en un Mémo pla-

0 cartesiano y con diferente color

+10 [E] retour

b.fl0) =l09, xy 86) = log, x

coe
O comple en tu cutdern a Tab 26 incandode
quo cada un de sfr

a. fs) =e bse) = ere

CNN = loge +3) 4. fe) =x-In2

fo = BIER
hfe) = 5

49. Pensamiento variacional

© decerminay sc domi os puntos decone
conso y sano dela spuentes funciones

fle) "log, — 18) b 800109 (60

sO) = (dre ¿omo

=i

Resolución de problemas
@ Un een ndactvo que decae ensucrecimien-
à «oft depués de un vempor

satisface la fórmula f(t) = 60 + 270%,

2: {Gui esa cantidad de ee elemento lic

de proceso?

{Qué camdad queda después de 500 ao?

© ¿Qué cand queda después de 1000 año?

d. ¿Qué cantidad queda después de 2000 años?.
© Una pobiació de conejos cece un 104% po dí

$ Deine un función que describa el número deco
gos después det días on una población nil de
500 condjos.

Qu ému te tents cin comes e
® A0 = Pe en done A) es el ets aide
despus de aos Pes a ended cal mera
restates dees cdl ese dominio uno

de corte con el eje Y de A(t)?

© to a0 27 muesa mero de peces ave ay
$ Snes cabo de meses

My olslets|als
[En sn mm

a. Encuentra l función que model esta situación
bo ¿Cuánto tempo, aproximadamente, se necesita
para duplicar en cualquier momento la pobla-

ción de peces que hay en el estanque?

| <aapocecune teo snare

Se legar a una población de 1000 peces?

O.

© Ley de entiamienro de Newton exabece que un
$ objeto cales en siendo nae exponen
Gil deacuerdo con asen expresión:
HO = +4 00%
onde 4) sa tempeaua del bj después
deter wanscuide minut tempera
Ambiente la tenpentu ial dl cuerpo y
Una consahte que depende dea natures dl
cho
Con base en ane una azadecaf en una
habitación 220°C se nf de 80°C a60"C entres
minutos. ¿Cuco tempo tardará en enfiase a
30°C! ¿Culo tempo ardark en altamar laten
peratu ambiente!

Evaluación del aprendizaje

(© tas actas son ses nie que se repro:
À duce parndose en dos Supongamos que las
cordes de un uv sols que ls ae
bass dupla aproiadaminte cda hoa
Au iene slo hay una ame Cacao

húmero de amebas que habrá después de 1,2, 3
y 4 horas Construye la abla de datos correspon

dienteescribe la expresión analítica de a función
que define elcrecimienco dela población deame-
bas traza el bosquejo de su gráfica y describe tes
de sus caracterísicas

PC ae
47 X 10" bacteria en un dí, Define la función
que describa el número de bacteria después det
dis con una población nici de 1000 bacteras.
+ ¿Crees que el crecimiento exponencial de las
bacterias ayudan a lo procesos de biorreme-

onde
e

50. nes definidas a trozos

Si uleres hacer un envio de un lu» Dela tabla se deduce la expresión que permite defini la función:

afro eequé depende lor pe
nu y= f(x) =} 204 45x, 5150 x < 100

25 44x, six > 100

ETS donde los precios extn dados en miles de pesos.
tn sets 0 se puede observar esa función viene dada por una fórmula dstinca
die su mercancía según los. CO™O e puede observa esa función vine dada por una fórmula di

para cada una de sus partes

das dela Tabla 27:
nenne Las funciones definida a trozos están definida aplicando diferentes fór-
reOkgyS0kg $S0Mporkg | Mulasalas isinas parts de su domini.

pari de sk, Comportamiento defen valore próximos.
mosderotg $4500Porkg AO i

£20000 Sempron deer, fl05) = 20+ (05) = f(495) = 20 + 5(495) 20 + 45(505)
pari de 10048 $4000 pork | 1 “sas $265, $20725,
ls $25000 de gasosdeemvo. | AA) 20+ (01) = 99) = 0 + ats) =

0 sins, LU ss
hala función que expresa eb AD) = 20 + (001), 898) = 20 + 56899) (5001) = 20 + 456000) =

y. en función del peso x = 52695) 525065

CComportamientoen valores próximos ax = 100:

5 + 41005)
25 + (1009) = 5 4254
25 + 4(10099) = 542504

00.

Todos los precios están dados en miles de pesos

En esa funciôn hay tes puntos de discontinuidad: en x = 0, en x = 50 y en
x= 100 Sise acerca a0 tomando valores mayores, por la derecha, iende a2
ise acerca a 50 tomando valores inferiores, por la iquierda, la función tiende
270 y ise acerca tomando valores superiores, por la derecha, iende a 245,
Cuando x se acerca a 100 la función tiende à 470 ya 425 según se comen valo-
res porla izquierda o por la detecha de 100 respectivamente.

Con est información se traza la gráia teniendo en cuenta que los puntos de
discontinuidad deben representarse con un punto abierto, cuando el valor no
haga pare delos inenvalos definidos en la función, En la Figura 236 se observa
la gráfica de la función.

Apart dela gra se observa que DÍ) = (0, + =)
De or ado R() = (20, + 2)
La función no co ile X nil je.

51. Para graficar la función fs) se analizan los incervalos en los que est defini
Aix <=

Sé 35132

»

16)

six?

+ El primer interval es (as, =3), La función esla recta = 1
+ En (3,2) la gráfica corresponde a una parábola que abre hacia abajo.

| + En (2.0) larepresentación gráfica es una curva ascendente.

Observa que en el punto (2 1) de a gráfica aparece un punto relleno. Esto

es debido a que el intervalo [-3,2] es cerrado en 2 De ora parte el punto

| (2.0) de la gráfica se ha representado con un punto vacío, debido a que el
intervalo (2, + =) esabierto en 2. Observa la Figura 237.

Sirctaiôn Resolución de problemas
O ose ls sientes funciones indica losin: @ Eerie Los nenas en os qe vt de queda
I tease los que scindey descend $ a desecha, la función de la Fgura 239 ande y
aquelos en los que descende

nara :
afQ)ay PARAS
“uae
mas \
vale} désarerss ver
502 | tes
Ronnie EIER

© Eu y escribe a expresión analítica dea un

© Un mé cobras consatas de acuerdo consu
© in iy gia se mues ena Fura 238.

# duración ast
+ Hasta 6 minutos. cobra $ 50000.
+ Entre 6y 15 minutos cobra $ 80000.
+ Por encima de 15 minutos cobra $ 80000 más
$ 5000 por cada minuto adicional alos 15

a. Describe su dominio y su recorido
2. Escribe la función que modela a situación
€: Elabora una gráfica para esta scuación

dl. Calcula el valor de una consulta de 20 minutos,

52. Pensamiento variacional

resenca sobre la recta numérica
los números que se encuen-
a menos de unidades de.

Jplica el significado dela expre
nla

Funciones valor absoluto y parte entera

8.1 Función valor absoluto

La expresión a] simboliza el valor absoluto de un número real ay representa
la distancia de 0. Elvalorabsoluro de un número se define así

la sia>o
b= R sia=0
ras a<o
La función valor absoluto se define de manera similar al valor absoluto de
un número real mediante una función definida trozos

Hrasx<o
Wo fnsxso

“EE
Para dibujar la gráfica del valor absoluto de una función, se puede di
bujar primero la función y luego se aplica una reflsién de la grái
¿a con respecto al je X en los incenalos en los que el signo de la fun
ción sea negativo. En la Figura 240 se observa la grfica de la función
100 = x = 66 + 5, y em la Figura 241, la gráfica de g(x) = Jo — Ge + Sl
‘Como en el ntervalo [1,5] el signo defi) esnegativo se hace la refesión de
‘esa parte de a gráfica con respecto aleje X enla gráfica de gl).

8.2 Propiedades de la función f(x) = lx
+ El dominio dela función valor absolut es el conjunto de los números reales.
+ Elrango es el conjunto de los números reales mayores o iguales que 0.

+ La función (+) = hd es siméxica respecto aleje Y.
= En la Figura 242 se representa la gráfica de la

función fl) = M Esca consta de dos parres: la
recta y = x parax > 0, y larectay = —x para
x<a
ÉTÉ

53. 8.3 Función parte entera

La función pare entera, quese representa por fx) = [e] esla función que aso:
a a cada número decimal su parte ener, es deci, el mayor número entero.

‘menor o igual que x

Por ejemplo (345)

Observa nue} 128
y 5 menor que este

3,1048)

La función pare entera se puede definir como una función por partes así:

Tasa < 1
is=1ex<0
osioex<t

=

La gráfica de esta función y sus caracteíicas se muestra en la Figura 243

ER

=2,pues ~2esel número enero más próximo — 128

Raz
core al je Xen elintervalo[0, 1)
yaleje Yen (0,0).
Jnoessimética

Ejercitación

O ensena ls sguieesfncioes ende edo
We moy rango decada una

arts) = [5H] ba) = [3x + a}

cab =led=e amo=t=+3

ei 6G) = B+ 3
© presa la función 160 = ax + 4 = 2-11
"© como una función definida ros

à Represent su gráfica.

bo Hall su dominio ys recodo

«Determina los puntos e core con ls ejes

a
D eme
ratita es ile
Re pe
M ea sa en
nice
lala cr $300 por pero
Airtel
Écran
abuse
ne ae cn Ca

adicional que leve un diente

O cata o weibe ura rein que model a
quere.

LE.

Evaluación del aprendizaje

(O unarisatmsunnuero bum musical lasser
Y ss semanales (en mies de nad) aumenta.
fon crane cero tempo pero ego decrecer
escudo cone modelos = = 2 + 40
onde te tempo ensemanas
a. Cracala fini,
5 ¿Cuáles lnimero mimo de unidades ven
dés en ura semana?

Da oxo por sur un vu dun.
es: hort exa desemiado por la funn
fit) = 2800 + Soft].

a. Determina el costo de alquiar el videojuego
por 2horasy media

bo Traza a gráfica de función f

54. i
3
3
€
H
é

quéf() = VF no está defn

a todos los números reales?
¿Pa qué valores de x está defini.
de Consruye una tabla de valores
y hz un bosquejo de).

n una prácica de biología han
endontrado que el número de gu-
sanbs de seda que ha crado cada
grupo de trabajo se modela me-
datt la función fix) = + 1
orde.xes el número de semanas.

+ Sen la clase hay cinco grupos,
iduäncos gusanos habrá en coral
final decada semana?

Operaciones con funciones

En la segunda columna de a Tabla 210 se
‘muestra el número de gusanos que hay en
un grupo al transcurrir las semanas y en la
tercera columna, el número de gusanos.
‘que ay en total en los cinco gruposal final
de cada semana. Tales valores correspon-
den a lafunción g(x) = 5 ls)

Aligual que enlosnúúmeros reales, en as funciones también se deinen ls ope-
raciones de acción sustración, muliplicacón y división

Sify g son dos funciones reales de variable rel algunas delas operaciones
básicas que se pueden definir entre fy g son
Suma: (f+ ge) = 6) +E() — Diferencia: (FX) = f(s) — 800

10,
tr]

node: Cane Loza

9.1 Dominio de las funciones suma, diferencia, producto y
cociente

Los dominios de ls funcions suma, diferencia y producto esán formados
porlaiersecció dels dominios de las funciones fy gs dec poros nú.
meros que simultáneamente pertenecen los dominios de [yg En el caso del
cociente sucede mismo pero además hay que ecir del dominio los valores
Queanulan e denominador gs) = 0.

Sampler

{| Dadas as funciones fx) = 1 = VA = 2 y 900) = = 2) = 3, sabe que
| sus dominios son DG) = [2, +29) y Dig) = [1,3]

| Porlo tanto, Df + g) = DF- 8) = 0-8) = DY) DG) = [2.3]

Para alr el dominio de la función cociente 4, se dterminan los valores
que anulan el denominador. En este cso, gx)*= 0 cuando x = 10x = 3

| Comon= 16200) Demons DE) og 00 - 63

9.2 Composición de funciones
ua forma de obtener una función a paride dos funciones dadas es evaluar
una de elas en a ou. Esta operación se lama composición defunciones.

La composición de una función con una función g se representa por fog
ysedefine como (fegXx) = fg}

i

i

55. Sift) = (= 3) Y 809 = x + 1:entonces:

Foe) = flat)
EN) = aft

+ = et 1-3) == 2?
ale = 3] =~ 39 +1 = 98 60410

Dado que (fg) (x) # (= (x) se puede idenacar que la composición de

funciones NO es conmutatia

‘Actividades de aprendizaje

Ejerctación

© Opera las funciones según e india y hallados do-
1 minis de sus resultados renin en cuenta que

SO == 2.86) = fob hide y
Wei

2-0 >

ne Goth)

an) «do

© Hat os dominios que se indican dadas
fe gt) = x + By hb) = x= 5.

a. Dominio de $9 inio defo
Dominio de. b Dominiodefog

© Dominio degef.

&. Dominio deff

© rai ls operaciones y deermina el dominio de
à cad nn sf) =

AQ) = x — 4.
af o

7 vie
ces asegeh

fase
O eme ej»
% 6) == y espica porqué e domino de esa

funcién noes R.

O conse abla de la función dadas y 8
2 detras po las alas 211) 212 espectamence

© Dacastasunciones fo) = 20° - 31 + 5y
© 56) = x + h donde hs un número ea

a cakuafeg

bo. ¿Para qué valores de h la función g compuesta
on ftiene una raz en x = 07

Evalvación del aprendizaje

(O sant = 5-76
# Qu T8273

Fel yx) = x Comple-

oh) =

nen) =

56. Pensamiento variacional

Lo recolectores de café mukipl-
«ah por 0,18 a masa toral de grano
redolectado par saber cuánto de
al se despulpado queda en a
mmándra(semila) que luego se seca
yk muse

Escribe una función que sia para
delerminarcuéncoskilos de almen
dra se obtienen de x ls de granos
de café. ¿Cuántos kilos de grano
depen despulparse para obtener
1546 llos de café en almendra?

fo mm ln
Pros
neuen
en
ee

o 0
at
o a
a ra

m | ne
win

uántos metros ha recorido el
letal cabo de 65 segundos?

Funciones inversas

En la Tabla 214 se observa que a los
65 segundos el ara ha recorido los
Primeros 60 m. La función que rela
ina el tempo con la distancia es,
se denomina inversa de f se denota
[79 y da los metros recorridos por el
“ade en los primeros € segundos de su

La función inversa de una función f se denota como fy se lee “inversa
def.
No toda función tiene inversa, pero cuando existe, se define as

LW) = x y significa quests)

Sify son inversas
El dominio def" es el recorrido def,

Elrecorido def es el dominio de.

Su composición esla función idenidac ffx) = (F=f x)
Las gráficas de fy” son siméxricas respecto del recta y = x

Para que una función tenga inversa debe ser uno a uno. Una función es uno a
uno sys si cada recta horizontal intrseca su gráfica en máximo un punto.

aa

| Para y = 2° ~ 1 se cumple la prueba de a recta horizontal or Io tano,
| =~ 1 ene inversa, Para encontar su expresión analia, se realza el
© Siguiente procedimiento:

| 1.Se despeja la variable independiente. y = [y+ Se intercambian las va
viables y se obtieney = Ur = e

À tas gráficas de las funciones f y f(x)
que se observan enla Fgura 246 son
simétricas respeto alarectay = x

Obsena que
07) = R= Rp yRg-) = 0)
1 gee = ff) (eo)
CCE CES TENTE

57. @ Decide sta fncones ques representan eee
© da een esa ses as ans el bosque desu
iis

Determina si cada una dela siguientes funciones
‘iene inversa, Deer as escribe su expresión anal:
<a hal su dominio y recordo y raza el bosquejo
desu gráfica

afi) = 2-3

5/0

a
fe) ae +2

ao

UE

© tes mi y response.

$ a. Sta magen de 0 mediante una fncónfes3
¿quese pude ahmarde a imagen de Sres
a tam men def

bo Porat as funcones que deseminan pario

Esso denen net

«Por quéla función fe) = Jl no cene inversa?

Gerra
Os lo que se inter à fo = y
= EE
afro O]
en Er)

© Gata cando sea posible is funciones mess y
los dominios decada función

| + vw
[| wem dope

Orts composición de una función y su inversa

© 5 equal à a función dem: es de
Gof NA = YU ef) =x Comprebaesta pro
plead para cada par de funcione.

af Wer
big) = 20-4 conf

Resolución de problemas

@E dos paises angossones se wilza una escala

No de cemperatuas diferente de la escala Celis la
Fahrenheit. Ls temperatura expresadas en ambas
escalas Celis (O) arene (5 réacionanse-
gún esa seni función inet

aye
c= 2-3)

a. sCuimos grados Cebus son 41 gados Fahrenheit

bo ¿Cuénos grados Fahrenheit son 23 gados Ceius?

«Halla la función que permita hacer el cambio
«ontario, de Celsius a Fahrenheit es decir, la
Función inversa de CF)

dl. Representa as funciones CF) y su inversa sobre
los mismos eis.

(© 5 cosoten tires) de producción dexanades
À den arte et do pola función
Co) = 003+ 968.
2. Hala costo de produc ,5y 10 unidades del
ania
b.Eneventa el mer de aus que se deben
produc para queelcosodeproduccónsea56.

© Determina Ce interpreta su significado.
«Halla C-" (1900). C- (3400), "(16 900,
+ Taza los bosquejos de as gráficas de Cy”

58. Saberes previos

sema va selena comple-
lente en 1 minuto, permanece:
lea durante 35 minutos y se vaca
en 05 minutos. Traza una gráfica
qué muestre cómo se repite este
durante 20 minutos.

a función

altura del extremo del minutero de
un flo de pared con respecto al
sudo, al transcurrir el tiempos
biendo que la altura máxima y mí
ima se alcanza alos 4m y 1m
ectivamene,

Funciones periódicas

En a Figura 249 se observa la gráfica dela función

Los valores que toma esta función se repiten cada hora, Este tiempo que tarda
en repeise se denomina periodo y las funciones que tienen este comporta-
miento se llaman funciones periódicas.

Una función f es periódica si exe un número T que verifica que
+ T) = f() par todo x perteneciente al domino de la función
El menor número positivo T con esta propiedad se denomina periodo.

Como la gráfica de una función periódica se repite por intervalos de longitud
igualal periodo, para estudiar dónde asciende o desciende, determinar ss par
impar y halla los puntos en ls que su grfica cora lo jes, se elige un inter
valo de amplitud T y se analiza al su comportamiento Después, se extienden
las caractericas obtenidas a todo el dominio.

‘Aunque las funciones periódica por excelenciason las rigonomtricas ya que
permiten describir de forma adecuada una mulciud de fenómenos naturales
hay tras funciones que tienen esta propiedad.

ise
Observa continuación el estudio dela gráfica def función) = "Dian
ade xal entero más próximo"
Esta funciô es periódica de periodo; por lo que cumple queflr+ 1) =f)
para todo xy para estudiara basta con anlareintervalo [0 1). En la Fgura
250 se observa la gráfica dela función a) en rl inenalo.

H Hz

La gráfica de la función en todo R se representa en a Figura 251,

59. | Elperiodo de esta función es T= 1ya ques (x +

Ejemplo.
Observa a representación de funciön fx) = (x — La) para x > 0.
(9, En consecuencia,

10) 0?

se puede Imitar el esudio al interval 0,1).
En dicho interval la gráfica de la función asciende, corta cada uno de los
ejesXy Y ene punto (0.0) y noes simétrica ni con respecto aleje (asi que

no es par) ni con respecto al origen (asi que no es impar). ER:
actividades de pre .

Razonamiento Resolulo de problems

O nca sta uncon de ta Figura 253 es pesóica.£n @ Demuesa que una función es periódica, de pe
© caso afro decermina su pedo. à odo everfia que JU + 31) =f).

Evaluacion del aprendiz

(O Eo rar 255 obser nbn que de
À bee moumieno dun pena,

© observa función peródca de peiodo Sen ain
+ temalo[-4,4]

2. ¿La función que modela este movimiento es
periódica? So es ¿cuáles su periodo?

bo ¿Para qué valores det el péndulo alcanza su
alkura máxima?

© Para qué valores de el péndulo alcanza su

a. ¿En qué puntos delincevao [10.15] orar
la gra al je?

Eté sign dea funciôn enelintenalo
Esa

© La función fascia cada número veal u pare
+ decimal por jemplo (26) = 06 (42) = 02

a. Dibujasu gia

bs sta función es price? En caso arma,
india su periodo.

© iCudl 6 su dominios

altura minima?

60. <=,

games que una marea te-
neun comportamiento periódico
asfalasOh su acura es m va sue
biéndo hasta alcanzar un altura de
30cm alas 6 luego, baja durante
fas siguientes 6 horas hasta Negar a
0 fr nueramente y sigue bajando
Faja Hear aura profundidad de
30|cm a ls 18 h para finalmen-
te ascender hasta llegar de nuevo
adm a las 24 h Dibuja ese com-
Portamieno y el de as siguientes
24 horas

Representa las funciones
senxy gl) = cos Analiza
‘determina su periodo.

25)

Funciones trigonométricas

12.1 Funciones seno y coseno

Para función f(x) = sense verifica que sex + 2m) = sent y ara la función
gl) = cose se cumple que cosx + 2) = cose por lo tano, el periodo de ls
funciones igonoméricas seno y coseno es T= 2 y basta epresentarls enel
intervalo [0,2m) para luego ir coplando cada trozo de a gráfica a ambos lados
de dicho intervalo según el periode

En la Figura 256 la gráfica de color rojo corresponde a fs) y la de color verde
corresponde agi).

12.2 Características de las funciones seno y coseno
+ Su dominio es Ry sureconido es[=1,1]

+ La función seres impar ya que en(=x) = —senx. Como cos(=x) = cose
coseno es una función par.

+ Como fx) = senxes periódica, entonces (0 + 2mk,0)y (m + 2m 0).con k
‘entero son puntos de corte con elejeX

+ Como la función coseno es periódica, (3 + 2m,0) y (2 + 2m 0),conk
entero son puntos de corte con el ee X

12.3 Función tangente

+ Comorane = SER no ec definida cuando cose = 0 es dei en osvalores
delaformax, = + km sendo cualqier entero porque en dichos valores
se anula el denominador, entonces su dominio es R — {x}.

+ Elrecondo dela función tangente es el conjunto de os números rales ()

kaha ie is

supeñodo es T= m, puestan(x +) = SETH) = seme

+ Lasrectasx = E + km son asincotas verticales.
2
+ Esuna función impar ya que tan(—x) = —tanx

Ena Figura 257 se observa la gráica de a función tangente.

61. 12.4 Función cotangente

+ Como com = 2 no está definida cuando tan = 0, es decia en los valo-

res dela forma x= km, siendo k cualquier entero su dominio es — {x}.

+ Elrecorido dela función corangete es
+ SupeñodoesT = a.

+ Lastecasx = kn con kE Z, son anota venales
+ Aligual qua tangente se taa de una función impar

La gráfica de la cotangente se observa en la Figura 258,

nano

12.5 Funciones cosecante y secante
Arme proces ropicades de as fncionescosecane a

y secante se pueden deducir 3 partir de as propiedades de as funciones seno
y coseno, respectivamente.

+ La función cosecante no esá defiida cuando ser = 0. es decir en los va
lors dela forma x, = kr, siendo k cualquier número enero £ € Z or lo
canto su dominio R — (e)

Demand unción scan e dedos os = den
lard max, = CEET endo EZ acom =}

+ El recorrido de ambas funciones es R — {(—1, 1}.
+ Su periodo es T = 2m.

La funciôn cosecante presenta asinotas verticales en as rectas
Kez

+ Las rectas x = Men con k € Z, son asintotas verticales de la función

+ Son funcione simétricas La función cosecante es impar como el seno, mien-
rasa función secante es par, como el coseno, Sus gráficas se observan en las
figuras 259 y 260,

62. Funciones trigonométricas

Gäfias de funcione trigonométricas en Excel

Ef Excel no solo es posible obtenerla tabla de valores de as funciones trigono-

Iiéricas sino que puedes raza la grfica correspondiente, Para elo, es necesario
nverir los ángulos dados en grados a radianes, debido a que Excel calcula el

lor de as funciones trigonométricas para ángulos expresados en radianes

[Observa cómo trazar la gráfica de la función seno.

"Nombra las tes primeras columnas de Excel como.
grados, radianes y senx. Debajo dela columna de
grados ubica el número 0.
En la pestaña Inicio haz lic en el ícono y selec
ciona la opción “Series” En La ventana que se des-
pliega seleciona columnas. en incremento escribe
20y en limite, 360. Al dar ic en Aceprar’ aparece-
rán os números de 20en 20 hasta 360.

Pensamiento variacional

BD En la celda 82 escribe =RADIANES(A2) y pulsa En-
er Luego, selecciona las celdas desde la 82 hasta la
820 haz ic nuevamente en elícono y seleccio-

na "Hacia abajo” JS E F
beaoianesta2)) ES
Sal

Después, repite el paso anterio, pero escribiendo.
iniialmene enla celda C2 =SENO(B2),

fs

SN

(ame
KY

ES Finalmente, seleccionala columna senxy, enla pes

ill
IN

ana Inserta selecciona el grfic delíneas oe! de ER
‘Obeén la gráfica dela función coseno yla función ==
‘angente realizando un procedimiento similar al ==
descr para la funn seno, 2 es

e

63. ‘Actividades de aprendizaje

Ejercitación
¡Completa la Tabla 215.

ala ela

ía

oe
3

yrs flia

sé

© dcerminay escribe prod das gine tun:
à cones

2.16)

fx) = tan à. = con)

modelación
© Representa las gráficas de a siguientes funciones
9 trigonoméxicas. Para ell, primero determina su
Comino roro su parado y pun de
pi
af) = sen(3x) b. fle) = Scosx
eso 2010)

EN) = sen + cose la) = serv sendx

fs) = cola)

Resolución de problemas

Osean las funcones JU) = es gb) = seme y

© HU) = un Indica si las afirmaciones son ver
dieras (V) o falsa (F) y explica por qué
a. fe esunafunción periódica depeñodo 2. ( )
ba gefesuna función periódica de periodo 2m. ( )
fehesunafunciönpeicicadeperodom ()
hefesunafunciôn periódica de perodo mn. ()
e fefroesunafuncón periódica o

Evaluación del aprendizaje

(© Dina de ca ura des ens an
À cons ignominy demi doris
pari efe cas (no y
Exenciones conos js de rad
à. f= asie 05
BO = Gene eo

J) = == m)
© fo) = en — 2
1.0 = sec m)

64. = barco que parte del punto

(0.D)se ubica enel punto (4 4) de
unblano cartesiano después de un
af de horas. ¿Qué ángulo forma
en ese momento con respecto al
ee

Hala las coordenadas polars del
paf eme por cores
Caresamas 125)

Pensamientos variacional y espaci

Espora $ Je ene
orden = sobs

la calculadora empleando la
tecla tan (que suele activarse put
sano SHIFT an | — } Para que

s 7 res
la ¡pedida del ángulo aparezca en

satis laclculadora debe estar en
modo DEG.

Sistema de coordenadas polares

€
een
ee led denn

res
re fee
r= fe = 13
Como tan 0 = À entonces

Y

=]

Por lo tanta, ls coordenadas polares de P son (13:22) aproximadamente.

28.

En coordenadas polares un punto Pl) queda determinado por los números

+ r que sla distancia del punto Pal origen de coordenadas o polo, .

+ 0, que es el ángulo, en radianes y comprendido ene 0 y 2m, que forma el
segmento OP con la parte positiva del eje X denominado eje polar

Las coordenadas del polo son 0(0.0).

13.1 Conversión entre coordenadas cartesianas y polares

Si un punto tiene por coordenadas cartesianas Py) y por coordenadas
Polares P(r, 8), se puede establecer que

Las primeras coordenadas se utlizan para pasar de coordenadas cartesianas a
Polares y las segundas, para pasar de polares a cartesianas.

D
| Observa cómo se haln las coordenadas cartesianas del punto de coorde.
| nadas polares PG, m).

x= rcos8 = 3cosm =

rend

65. 13. 2 Curvas en coordenadas polares

Una manera de trazar lagáficade una ecuación polar consiste en transformar

la coordenadas caresanas.

| La gráfica de la ecuación polar r = 3 consta de todos los puntos que se
encuentran à tes unidades del polo. En oras palabras, eta gráfica es un
Circuo que tene su centro en el origen y radio 3 (Figura 262) Exo se puede
«confirmar utlizando la relación 1 =» + y? para obtener la ecuación en

coordenadas carcesianas x? + y? = 3.

Halla ls coordenadas polares de los siguientes pun-
1@ (05 que tenen coordenadas cartesianas

ao") DAD
cra) a)
© 00.8) La)

© Pasa cordemascatesanas Los puntos que e
@ nen por coordenadas polares.

bAGa)

:
af

Lo ( . )
q

mm
© Laya dea ecuación por 8 = E cons de
© todos lo purs sobre anime de foma

ángulo de Fon: el je X positivo.

Confira ate hecho teas
~ para obtener la ecuación en coordena-
cscarelnas

aram

© rata la ecuación en cordes canesras de
© 1 = secó) Para ello, recuerda que secó.

ET

colin de problemas
(O Pata inc r = Da forma canesana y raza
la grafica correspondiente.

© Tensor la ecuciôn + y= xa coordenadas
$ poires Epic el procedimiento.

@ oecermina a nues ecuación polar de uva
% cos end = feia al amo pol per cure
ol je polar gra un glo ce #5

Ce

Met hexgono repr dela Fgura 263 comando
‘como polo el punto (0,0) y como eje polar el rayo.
oc=1

x)

66. Practica mas

Cóncepto de función

Ejdcitación
Determina el dominio y el recorrido de a siguiente
función representada en la Figura 264.

© Determina e dominio recordo decada función.
aso= =

co
Jae

CS
É +rane0

F+nsosıss

Soo

és x>0

Puntos de corte con los ees, signo y simetría
du función

ación.
|Observa las funciones representadas en las figuras
265 y 266 y determina los corts con ls ejs,susg-
no y metre

ramas

e)

Funciones polinómicas y racionales
Ejeritación

© Hala los puntos decos el dominio, el rango las
à ey eg de cada función.

fo)
a) = x + 6 + 9)

© Deseminalos puntos de one. domi ang
yelsgn decada función Espora saga
x

se Ee

er

0

et

u Rt
arisanzerpocentile finden
ps
razonamiento

O Orina ua 267
$ 2 Determine dominio cori decada una
delas noes quese represen
b Hala santas de ada ga
« Escbelos puntos d one de cada ge con
lose de cores.
à Describe inenalos donde cada gráfcascien-
deodesiende

67. Resolución de problemas

Estrategia: Identificar submetas

CORO total de la producción de un articulo es de
$180000 más $ 2000 por cada unidad abricada Sielpre-

| cio de venta del atcul es de $ 5000 <uäntosaniculos
debe vender para no tener ni pérdida ganancia?

1. Comprende el problema
+ ¿Quéinformación da el enunciado?

eaten
Pts |
ee

3. Gecuta el plan
+ Lafuncion costo esx) = 2000 + 180000
+ Lafuncén ingreso ess) = $000.
+ La función usidad Ut) es UA) = 1() ~ Ch)
UG) = 5000% = (20004 + 180000)
Ub) = 3000% — 180000
Entonces, no habrá pérdidas ni ganancias cuando
| var
U) = 30004 — 180000 = 0=9 x = 60
| seobetene a siguiente gráfica de as funciones costo
ingeso representada en la Figura 268.

4. Comprueba la respuesta |
+ Verifica que el precio de venta de cad artículo es de
$ 6000 ci punto de equiibro es 45.

Aplica la estrategia

© slorgnizaor deunevenocaicuinen 2000000
loscoso os de montaje más $ 5000 por cada
asstene. Si conside que el ingreso al evento
db tener un precio de $ 1000, con cuántos
asttemes debe contr como mínimo para no te-
rer ir?

a. Comprende el problema

Crea un plan

€ Eecuta el pan

Comprueba la respuesta

Resuelve otros problemas

© Observa la gráfica de la Figura 269.y describe su
domini record los puntos de corte con los
ejes de coordenadas ¿Ext inversa de sa un
cn Exp,

Formula problemas
Inventa un problema que involucre la siguiente
información y rsuélelo.

“La función x es una función impar"

68. Evaluación del aprendizaje

Concepto de función
Heltación

© seccion sreacionesqueconespondenafunco- |
Y |nesy para aqueas que sean la su dominio y su

A
2—6 ys
SCN
= 5
E: |

ptos de corte con los ejes y signo |
ina función.

[Determina los puntos de orte con os ees y ls sig
[ros decada funció Luego, cua sus gähcas

la 160 =
¡IN
ES
ls fo = x +2
Simetria |
Razpnamiento

Indica con una X si cada función es par impar o no
1 {iene simecria

Les
Par) iva) Mains
bso = «= 27
Pr impar) (¡panties
Jo =7
Par) (impr) (parnimps)
impar) (par vipa}

© Sic ls funcione adas en pares impares o no
Wf seca a ore de su represenacion ga

À rer ——
tae a
b y

Funciones polinómicas y operaciones con
funciones
Razonamiento
© Less sientes afrmaciones india son verd.
se deras (V) 0 falsas (F). =
2. Una und poinômes es denia por un po
inom A)
1 Lasuma de dos funciones olnómicasesuna fun
ción plc
«E producto dedos funcions polnómia sun
polinomio demenor gado,
& Laer de dos funciones polnómicasesuna
función polnómic de menor rado.

Funciones racionales
Comunicación
QU con un ca coa nó a
e repecvodomine,

ang=2 R
bf) 4
cel RE
dh R- io}

69. Funciones exponenciales y funciones
logaritmicas

Ejeritación
(O Compas abs a parir e cada expresó

© ayes aaa,
| Bam

by =logx

E [EBENEN
ey=az

=P

Funciones atrozos

Modelación

(O En una peluquería canina cobran e core de pelo de

Y acuerdo con el peso del animal S el pero pesa 15
libras o menos se cobran $ 35000 pes ene 15
y 40 ras, cobran $ 40000. pesa más de 4 ira,
bran $ 40000, más un adicional de $ 2000 por
eda bra aan)
a: Erbe a función que Interpret sa suai,
bo Traza la gráfica correspondiente.

Resolución de problemas

© Una empresa de coreos cobra sem de cuerdo

À consu pesoast AS
Ente0yOSkg cobra $ 72000:de05a menos de 1k
cobra $94000 de 1 a menos de 15 cobra 5106000;
de 15a menos de 2 kg cobra $ 122000 y de 2 25
inclusive cobra $ 138000
a. Determina el dominio y el recordo dea función

que defines cotes de envi,
Cuneo se deberá pagar por enviar un paquete de
wale

Función valor absoluto y función parte entera.
Comunicación

© Relaciona cada función con su gráfica
ae zen
dl (a
A Fan
Ny
AA
| 1

ATA rada

Der
Funciones inversas
Razonamiento
© rosal veracidad decada una de ls sires
Y afrmacones ua spas =
| Tonnen mea
Una función tene inversas y os cada recta
Porzonal nera su ga en eactamene un

Hire pl rk
[A u

"muaa: 8 fo) eal

scrdcen coma pores enuny

* —

72. SHE 145216
Si sb continúa de esa manera, ise
brbndrá el número 41 en algún

Lind escribió los primeros diez mil

sales der qee hall
imo, el quincuagésimo y el cen

ono decenas

Pensamientos variacional y numérico

Sucesiones de números reales. Monotonía y acotación

Se conocen como múltiplos de un número a todos aquelos que resultan de
la multiplicación de ese número con cada uno de los naturals. As. los diez
primeros mükiplosde 5, diferentes de son 5,1, 15,20, 25, 30,35, 0, 45,50
Para establecer una expresión que permita determinar cualquier otro mültiplo
de 5, Lina podría empezar asignando a cada múltiplo una posición, como se

¡Cada múltiplo est relacionado con la asignación dada, es decir, depende de
Su posición ASÍ el primer término es 5 el segundo término es 10.e quinto tér
‘ino es 25 Cualquier múkiplo de 5 se puede halla mediante la expresión Sn,
siendo la posición del mükiplo que se desea encontra.

Por anto, el vigésimo término se obtiene cuando n = 20:5 + 2
Quincuagésimo cuando n = $0:5 +50 = 250, y el centésimo cuando n
5-100=500.

El ejemplo anterior permite ideníficar una Ita de números escritos en un or
den definido: a, a, dd … en donde a, e el primer término, a, es el
segundo término ÿ en genera, es el enésimo término, Esa coleción de
números que guardan cera correspondencia se denomina sucesión.

100, el
100.

Una sucesión de números reales es una relación del conjunto de losnúme-
ros naturales con el conjunto delos números reals. Establecer una sucesión
«es encontar una reg o término general que signa a cada número natural
nun único número real a, conocido como enésimo término dela sucesión.

Muchas sucesiones quedan determinadas por su término general, que suele
ser una expresión algebraica en términos de avaiable indeterminada.
Algunas veces as sucesiones se determinan por sus primeros términos que, en
ocasiones permiten también inti el valor del término general

2 emplot

| Para encontrar los cinco primeros términos de una sucesión, se susiuye
| sucesivamente n por ,2,3,4 y Sn el término general El décimo término se
| encuentra al reemplazarn por 1, Para las sucesiones b, yc, dadas se tiene
| que:

Sun Prmerorecotéminos Okino tino

73. 1.1 Sucesiones monótonas

Una sucesión a, es monétona creciente sia, = a, „para todo nes deci si
«cada término de a sucesión es mayor oigual que él anterior y estrictamente
crecienesia,< a, para todo

{Una sucesión a, es monótona decrecientesia,= a, , para todo ns decir
si cada término de la sucesión es menor o igal que el anterior y estricta»
mente decreciente sa, > a,,,para todo.

© Son ejemplos de sucesiones estrictamente crecientes
ass {
} ri

a, = n°1 = (2.16,162,2048,31250..}

| Esco sucede porque en ambasa, <2, <a, < .. <a, < 0, ¿es decir los
‘valores de os cérminos de cada sucesión aumentan progresivamente.

Son ejemplos de sucesiones decrecientes:

| Estosucede porque en ambas a, >a, >a, > … > 9, > 0, Le decir los
lores de los términos de la sucesión disminuyen progresivamente.

À Pa mé gene e e
À debe proba ues, > 5. par todo éme ral esto spa que
ary A

© Enefeco puesto que (n + 1} > n° + 1y ambos son postivos entonces
por propiedades de las desigualdades
H 1 1
way Sr

|| Luegora,>a, , asf quea, es esrictamente decreciente.
sept
La sucesiôn a, = 1° = {1 1, 1, 1 es una sucesión constante ya que

todos sus términos son iguales es deci, a, = , , para todon.

74. Pensamientos variacional y numérico

pro

Sucesiones de números reales. Monotonía y acotación

1.2 Sucesiones acotadas

Una sucesión está acotada superiormente s existe algún número real ma-
yor oigual que todos los términos de la sucesión. Es decir existe M E R tal
que
a, <M paratodon
{Una sucesión está acotada inferiormente s existe algún número real menor
igual que todos os términos de la sucesión. Es dec ete m E Re tal que:
9,2 mparatodon

Una sucesión acotada superior e inferiomente a la vez se dice que es
acotada.

La figura 31 corresponde ala representación gráfica de una sucesión acotada.

1
2.) es una sucesión scot
= } ai

Puestoque0 < a, = 1.Unacota superior delasucesiön es 1 yuna inferior

less
A
Pr A

+ La sucesión a, = 2n + 1 = (3,5,7,9, 11.) es acotada inferiormente por
m = 3 pero no tiene una cota superior.

5

} sevinequea <a, = 5 parado

LL.

À Seau devas qu iso, = BE. sra sepa

di

} ardemosa ques ccadaapercment debe encore un núme
rer ques mayer ou todos ena

SS HOI Aut o
[E ES E a dre

cado puede ser M = 2

| Para demostrar que es creciente, se debe comprobar que a, <a,
| cualquier valor den. Pero so es equivalence a comprobar que a,
| para cualquier:

Ant )#3 2043 ANNA
E OF OF O73)

3
= 2 0 puescantoelnumerador como él denomi-
D
a 9 nadorson siempre postivos.

para
2,0.

75. vidades de aprendiza

each
O cuen tos primeros cnc ines decadas
coin

ba +
wee

ei

O trata el término general paa cada una de las s
© guenes sucesiones.

20,= (12345.

ba, = (149,16)

<a, = (681216)

© cero primers cusco rémnosyedécimo
© cena de cada sien

1-08 (n= 1) Gn +)

am ve DEA
2

ca=i- +

er
ca CV

© Encuenr ls inc primeros téminos de cada su
© cesiôn dada, = bye =f.

20, be,
es datb,
cate tbe,
va, hove,

pes
© sea as siens sucesiones en recente de
À crient ocean

© deena formaimenre cules sucesiones son ce
cietesycuslesna

um ban

+ an an
A T1

Resa de problemas

@ Después de una operación de ro, Maro debe

'® omenzr ua na de ees aumenta ga
Cuente elim E médcolesgre ora doce
minuros davament durant a primera semana En
[as semana postre debe Incremenar tempo
ses minutos con respeto al semanaameos En
cuántas semanas Ma lgard a entrenar 6 minu-
toscas

Evaluación e aprendizaje

(O val ls primes no términos decada nee

À Sen y cdf de acerlo con sumen
ee

76. Pensamientos variacional y numérico

Allejerctar un músculo, ése au
a 3 mlimetos el primer día
más, el incremento de cada día

es Jgual 2 095 del incremento del

anterior ¿Cuál será el incremen:

to foal al final del ia 18?

[

Unfminero encuentra una muestra
de mineral que contiene 500 mg
de mareral radioactivo, Ese mate
raltiene una vida media de un da,
lo gue significa que al final de cada
lal queda a mitad de ese.

«tha cana de mac
o

n. Convergencia de sucesiones

Sia, a, a, ,… 0, corresponde a cantidad de material al comienzo del dí.

2,= 500mg a, = 250mg a, = 125mg
125mg a, = 15625mg_ a, = 78125mg

“A medida que pasan los días la cantidad de material radioactivo sigue disminu
yendo hasta as desaparecer, pero nunca lega a ser O mg,

625mg

2.1 Sucesiones convergentes
Sea a, una sucesión en RL Se dice que a, converge iy solos para todo
© > exite E Nul que para todo > Na, - U<e.
Entonces y sólo entonces se die que Les limit del suceón a, cuando
noe orestoes., e L cuando 1 osimplemente +

Es deci el límite dela sucesión a, se número real Li para cualquier entor
no de centro Ly radio € tan pequeño como se quiera, se puede encontrar
un término de la sucesión tal que, parir de este, todos ls términos de la
sucesión pertenecen al entorno (Figura 32).

Observa cómo se prueba que Im!
converge a a

es decir que la sucesión,

Sea > Para qué valor de nes cero que

Para n> à

3 et pa atu núms poi ha un neo
feecnne Nyn>N

Ena Figura 33 se observa que cuando crec, los términos se acercan pro
| gresamenea0

2.2 Sucesiones divergentes
Una sucesión, es divergente i su limite es +000 —w, En ese caso, se dice
que a, diverge hacia +200 —

Que ino, = significa que para todo número postivo M existe un número
enero Ñ € N cal que para todo n > Na, > M
Semplo2

Sia, esunasucesón dvergentecona, # Oy n € N,entoncesasucesion >
converge a0 Para demostrar esta afirmación, se ja e > 0 %

Para 2 > Oeste € Nialauepartodon> N,enonceso, > 2

Comoe > y por den imo, = la sucesión converger.

77. Pensamientos variacional y numérico

Los términos de la sucesión a

mr

La sucesión a, = 1 + an es divergent (Figura 34).

2.3 Otras sucesiones

Existen sucesiones que ni son convergentes a un número ni son divergentes
hacia +200 ==». Estas reciben el nombre de sucesiones alternantes.

a, = (—1) es una sucesión que oscia entre ~1 1 (Figura 35) es deci ni

converge ni diverge alterna entre los valores dados.

ER

+ 20? crecen indefinidamente a me-
dida que n también lo hace. ÁS a, no se acerca a un L E R Por tanto,

“© tes sucesiones. Clasicas como convergentes di
vergente o ninguna de esas.

34-5.
532
323.3,
s25n8
DEL:

e 49, —16 25-36,
© reve ques indica sia, =3+ 2

9 2. Halla sus primeros 10 cérinos,

bo Dibuja en el pano cartesiano los 10 puntos que
encontraste en el eral a

© Demuesra que a, converge 3
Reslucn de problemas
© aa la sucesón denia por recuenca de a

a=

(© guiente manera
Decide ses convergence

© his tino genera de cada ua de as sien

e cesión e indica si es convergence, divergente o nin
guna delas dos.

“

©" Siel porcentaje de contenido de oxigeno después
det da de trar basura orgánica en un esanque
esc ado por pl) = 10f #12128) con
respecto al nivel normal ¿Qué ocurre con ese.
porcentaje cuando t aumenta toma valores can
grandes como se quiera? ¿Cómo crees que se
Puede acuer se aumento? ©

78. Propiedades de los limites de sucesiones

eee AIRE
A
genre? Si consideras que no es LES na
Pt gm uo]. ries genere. sos ak pu
a a es eS
no e
: j
= a)

ula el siguiente limite:

3.1 Älgebra de limites

Sim a, = limb, = b,cona,b E R,enoncesseveriica que:
alim@, +b)=0+b b.lim(k-0)=k-a:keR
“es ee 4 lim(@,-by=0~b

Lempira
» hi (at

À lim k = k exo ellímie de una sucesión constante a, = kes la misma

Además, s ds sucesiones son divergentes hacia + a sucesión formic por
lasumadeostésminos deambas tambien diverge aca +e dei
vii a, = +0 yim b, = +2, eones Im (0, +
msn
Obiena cómo se aplican as propiedades ancerores para evalar
tr 8042. nee caso nose puede apa mit del cociente puesto

que las sucesiones del numerador y del denominador no convergen. Sinem
bargo se pueden transformar asi

340403

tetes di
Foro 74

2,
ma

79. ZZ

Eeciacón
(O ta primers cinco términos decada sucesión

© Esas mies ets quienes sucesiones

baat

we ne

© tisalostéminosa,,0,y 4, decada una dels
guientes sucesiones Us fs caleuldora cundo sea

2.0 RH pa, Ed

= don ire
camaras tas Mamet

£ haya D -n

Eiern
© cts os sguieestiices.

Tazonamiento
© inca cue tenor sete, en el clo de ee
© imte

im Y
mene)

Ima

Ims

resolución de problemas
© Caicos mes dass guientes scenes.
° mt pest

im
Man

aim (a, +b.)
cipfiuss) im)

=) a)

(O Espia e comportamiento de la suction a, De
à pende se comporamieno del valor dea?

».Im(t,-0,)

Want?
Ara

Evaluacion del aprendizaje

(© ss osleapicarts propiedades que e mor
Y ronde ese ema pra ar ls gun
Tie? esa caco

80. Saberes previos

ry Laura se encuentran a una
nca de 10 metros Javier avan-
mitad de esa distancia y Laura
cede la cuarta parte. Después,
“avanza de nuevo la mitad de
sancia que lo separa de Lau:
esta resrocede la cuarta part.
¿Ueparán a enconrarse en algún

momento?

Los faces son objeros geomé-
cs que se generan luego de in
finis keradones, donde el mismo
avin de crecimiento se rep a
Ÿ dentes escalas

Pensamientos variacional y numérico

El pdrimero de facal aneros de-
Eb triéngulo de Sierpinski,

estáléado por a sucesión

À Ca el perímeco de todos
log eridngulos generados cuando
+ húmero de lados (n) ende al

Indeterminaciones en el cálculo de límites
de sucesiones

Al calcular el límite de a sucesión cuando n =>, se tene que:

Jo

Luego, se concluye que el perimero de todos los triángulos generados no con-
Verge a un número y por ende no se puede calcular es deci su valor diverge.
Para calcular el límite de una sucesión, se aplican las propiedades de los Imi-
tes Sin embargo, debe tenerse en cuenta que no siempre se pueden aplicarlas
propiedades y e necesario buscar técnicas particulares paa eliminar indetr-
minaciones aunque en algunos casos esto puede no ser posible.

El límite de una sucesión en la que el término general es un polinomio en
es + el coefiiente de mayor grado de dicho polinomio es positivo y
== ies negative

4.1 Indeterminación ©

Cuando una sucesión es un cociente de poinomios y esla la indeter
minación, su Imite se cle dividendo tanto el numerador como el
denominador env el termine de mayor gado.

4.2 Indeterminación = — =
Si dos sucesiones son enteras se fatoriz la potencia de mayor exponente;
¡son racionales se llevan a común denominador, ys poseen radicales se
multiplica y divide porel conjugado dela expresión, para verificar indeter.
minación eiminara

veri va)

ern Se) yes

81. Pensamientos variacional y numérico

43 Indeterminación 1°

Para lel im donde im a

y lim b, = e apical expresión

ale

(O Determina valor de os guientes mies
Simon bm (m 20)

e, lim, tim
re Dur zei

(O cy eve Las ses sucesiones denis
$ como undone adquieren e valor dado cando n

A) gln) 24% hn) 0 kn)

Inca culs operaionesson inderenincones En |e. fin FF à

caso deseo, señala de qué tipo son, Si no lo son.

halla sus ies y
de(s)

afr) + hin) b. An) a(n) (id

O) in| (+ 4)

Rohan deprtlemas

© cer país anal asa de fecundidad y se

$ deo quee número de hijos que tene ura mu
je es fer a canidd de hos proceados en
‘kcadaspasadasSegin los esudos el número de
hijos f(t) puede definirse mediante el modelo:

MEE
0-2
sont ss ninuodests

¿A qué valor tiende el número de hijos cuando el
tiempo crece tanto como se quiera?

82. longitud 1 (cm) de una barra

melálca varía con la temperatura
(40) de acuerdo con la función

305 + 00257.

+ ¿Guál es longitud de la barra
lando T = 249 °C y cuando

T= 251°C?

Und eserarueda sobre una rampa
‘al fomo seobservaen a Figura 37.

Se fabe que la velocidad prome-
dio|de la esfera está dada por la

as”
+ Opcermina a velocidad media de
leer enlosinsaces
a be=sı
ue Se puede conc on e-

cto à la velocidad instancinea

Límite de una función en un punto

Se define a velocidad instantánea o simplemente velocidad como el límite
dela velocidad media cuando el inervalo de tiempo considerado rende à 0.
as

La velocidad media de un cuerpo viene dada porla expresión v, = Zt, donde
Ass vector dsplaramemoyAteslinenalo de emp. SU velocidad ins

tartánea es lv. = Im; es deci cuando se analiza la velocidad media en
un intervalo infinitamente pequeño.

Para la situación planteada en el Analiza, al reemplaza cada valor det enla
ecuación se tiene que las velocidades medias va, YU para € = 49 yt = 51
son respectivamente:

as es as Gos
Yas B= Gee = 00m y t= = GE = OI ms.

sedebecalcular im. = tn =.

Parahalarla velocidad inscncánea para

{Una tabla para valores muy próximos at = 5 tanto por su iquierda como por
su derecha, sera Gl para calcular esa velocidad instantánea

as le) 4 | om | so | sn st | ss
55 0. 999 | sw mn | 1001 19s

S.lavlocidad se acerca cada vez misa 10m/s

Par valores muy próximos a

La expresón li f(x) = b (quese lee limite de f(x) cuando x tiende a
valor a es b) quere decir qu ix soma valores próximos al número, los
comespondientes valores de (x) se aproximan al número b

Para que el límice de una función en x = ase bno hace fla saberlo que
‘curr exactamente en dicho punto, pero silo que ocute asu alrededor

=n
La Figura 38 corresponde alagráfia de a función x + 3. En ela se puede
ver que entre mis cerca se encuenten de 3 los valores de x, los valores de
| fo) se encuentran más cercanos a 12.Esto mismo se identifica ena Tabla 33.

s]9]2] 259] ee | 5
| as [mn ar 9001 owen Lan 6 [as

Asi iy Ge +3) =

83. ntos variacional, numérico y espa‘

5.1 Límites laterales

Para que Im f(x) = debe cumplise que o limites eras es deci, el

limite lateral por la izquierda y el límite lateral por la derecha, sacsfacen,

respeecvamente que

lief) = b fim fo) = b

Era palabras tanto para los valores de x que se acercan a por la dere-
cha, como para los que se acercan por la inquierdalosvaorsde 03) e debe
acer ab

> Ena grâic de y = ff) en la Figura 39 se tene que:

a im =
b im 924

Le: lim (no ee ya quelim f(x) + lim f(x).

ema:

| En a Figura 310 aparece la fica de gb) = Yen la que paa odo
< Ok imagenes = mientas que para todox>0laimagen es Las que

ia rica presenta un sa’ x = Oy entonces as imágenes o e acercan

à un mismo valor En exe caso el me no exc La Tabla 34 muestra e

<omportamiento dela unción la derecha quiet dex = 0.

aos

84. Pensamientos variacional, numérico y espacial

Límite de una función en un punto

‘Completa la abla de valores para cada función.
| Luego, utiliza el resultado para estimar el límit.

airs

EE Lao Toa]

rip E

o

| BO am 9 [som om on

ae ‘| 2 | zon [201 21

e. tin SE

EEE Ets
in

= aon 0 aaa

O bor un caia de valores pra cae función y
© ae testa par ecmar aime

© obser cada ga Encens exe mie
# que se pide. Si no existe, explica la razón.

alin? +3
2 = CRE
TR reas

© decemina calor de cada mice pari dea gl
© ca dex) que se muestra en la Figura 313.

aim JG) bs iste)
mt) im (0)
«im I) © im I)

© corsa

aaa
aa

Desemina sexe Im Jo.

(O Data función

. sd ez
re
Determina si existe el Jim, g(x).

|

85. Pensamientos variacional, numérico y espacial

(O sa turin ua sea y expresó ana se
mena narnia

DETTES

=

sxe?
x4 25x>2

¿Quése puede afirmar demie dela función cuan-
doxseaproximaa 2?

© Observa ls gicas de algunas funcions oros
'8 hala los límites lacerales que se piden y obrén una
conclusión acerca del mite general

im im imo
* #
FE
/ mere
An feo) lim soy Im

o)

© Obie gica y completa cada enunciado.
> v

a stef |
b. ¿A qué es igual lim f(xy?

< ¿A quéesigal Im fo?

de ¿Existe lim fey?

Besolulôn de problemas
© ts serge DH voca sama de un esa
(cuando uedahac bajon una rapa justa

AD Una persona deja caer un objeto desde una altura
1 de 16 metros drancet egundos Deermia

a. La velocidad promedio durante los primeros 3
segundos dela caida,
b. La velocidad instantánea en

Evaluación del aprendizaje

© Decide set límie indicado para cada función exi
A te Justitia cu respuesta,

ie, x82
a. f(x) = 48-26, 2<x<4 im f(x)
4. x24

220 100
x=0

86. Pensamientos variacional, numérico y espaci

¿Qué ocurre si se divide a 1 con-
secltivamente entre 01; 0001;
(9001? ¿El valor quese obiene au-
meta 0 disminuye? Explica.

alma que al reemplazar x
valores cada vez más próximos.
la función fo) = 27 cece o
ce indeñnidamente

cierto lo que dice Juan?

Limites infinitos

Para saber si Juan tiene razón, se pueden tomar algunos valores cercanos a4
Observa

09) = -30 29999) = -30000 f(40001) = 30000 f(4001) = 3000
La afirmación de Juanes coreca, la función f decrece de manera indefinida
mientas x € aproxima a 3 por la irquierda y cece de la misma forma mientras
25€ aproxima a 3 por la derecha. Juan construyó una tabla con los valores que
‘obtuvoy luego trazó el bosquejo dela gráfica correspondiente (Figura 320

Juan observó que a medida que x tomaba valores muy próximos a 4 por la
izquierda, los valore de fx) se hacían cada vez más y más pequeños y que por
‘otto lado, mientras x se acercaba mucho a x por la derecha, os valore de fa)
(rein indefinidamente.

Lacxpresión lim fi) = +2 se ee como ellímie dela función 60) cuando
x tiende al punto a es +, e indica que cuando los valores de la variable
independiente x se acercan cada vez más al punto a, tanto por la ¡quiera
‘como por la derecha, los valores de fx) se hacen cada vez más grandes.
Dela misma forma, se dice que im f(x) = — si se verifica que, cuando los
valores ela variable independiente x se acercan cada vez más al punto a, los
valores de (x) se hacen arbaramente pequeños

Para expresar que los limites por la derecha alrededor de un punto son
0 on se usa ls notacones

mb) +=, im fle) ==, repecthamente.

Paraindcar que los imite por ia iuierda alrededor de un puntoason +0
=> se emplean as notacones

ley 46)= +2 im (= =>. especcvamente
Para escribir mediante limites el comporcamiento del función que construyó
Juan (en el caso de la situacion planteada en la sección Analiza) se escribe:

CCE TES

Ejemplo

A continuaien se estudian ls limites infinitos dela función fs) = gp.
| Como se observa en la Figura 321,cuando x se acerca 1.tano por la dere
| cha como por a izquierda, la función crece indefinidamente y sin cota,
"Esto se resume mediante los siguientes lites:

87. Pensamientos variacional, numérico y espacial

EE

E)

Ejecicacón
O comple a cala de valores par cad función
© Luego, determina si f(x) tiende a + 0 a —% cuan-
do tendea à por la quiera por dercha

2/0

bo»
gee 399 399 4 4001 ao a
<0) = gap
EE 39 39 à a ao an
Modelación

Elabora una tabla de valores para cada función
© 2 parir de la cual se pueda calcular el imite de

fe) cuando x tiende a 3 por la izquierda y por la
derecha,

a
© ras extents gines mis dada aia

© sea fincinst) = 22 (gua 320
a lim f(x)

DT)

© Observa la gráfica de función) = sec ein
© dicas exientosvaloesdelslimies.£ncadacaso,
el valor de xest dado en adanes
20,400
sms)

« tig 6)

Resolución de problemas

© raiz ga dela función fo) = cory decide
© 5 exce os valores elo siguientes mios

16) in I) € im sl)

Ems) tim 0)

(O saber una tabla de valores para clear cada
À uno delos quences ies.

b im à

aim
Mae

S
© et crecimiento desmedido delas algas produce
años en el medio ambiente. El model de ese
(recmieno coesponde a una función expo-
mendal ino se hacen controle el daño puede

ser ieparabl. Por qué crees que el crecimiento,
exponencial de la población de as las atenta
contra el medio ambiente?

88. Pensamientos variacional, numérico y espacial

Un| grupo de artesanos fabrica
sombreros wueliaos en grandes
cantidades Atendiendo alos gas
[de a main. a sa de
los artesanos y a tos factores,
se ha llegado a la conclusión de
qud producir p sombreros tie
ne jun costo total en pesos, de
lp) = 10p + 10000.
Esclibe una función que sea Gil
Park calcula el precio de un som-
breo al fabricar p unidades. ¿Qué
e con el precio a medida que
la producción sea hace cada vez
mayor?

Ua iad de e ua ep à

Core ae | rs de

ia tc ma

fob daa por fan
‘e

pasar el iempo, ¿cuál es la
nidad Imie de droga en laco-
rente sanguinea?

sie

Par responder a pregunta enla sección Analiza, se puede constuir una tabla
de valores para observar cómo varia a cancidad de droga a medida que pasan
las horas

1] 5 [io | SE SE SE SET
5 | 192 | 099 09999 00099 0333 00199 0099

Cuando t toma valores tan grandes como se quiera) se acerca a 0 £50 se
scribe con anotación de límites com: JE)

La expresión lim fe) = bse ee como limite dea función f(x) cuandox
tiendea +esbeindicaquecuandolosvaoresdela variable independiente
se están haciendo cada vez mayores («€ R) losvaloesde (x) seacerean
ab.

La expresión Im f(x) = b se lee como imite de a función) cuando
x tende a ~% es be indica que cuando ls valores de la variable indepen
¿ete x se esán haciendo cad vez menores (x E) los valores de f(x)
acerana b

En tabl se muestran los valores que coma la función fo)

alrededor de x = 0 (figura 325).

=o | 0 I-ılolı | 0 | w
3-0") =3-09) 3 ne) 33-107 3-10"

3
Zen puntos

‘Cuando x toma valores tan grandes como se quiera, f(x) se aproxima más a.
Qesdec Im 3-0 y cada ver que x toma abres an pequeños

À comose quiera) min se prima es im 3 =0
— f

Para calcular im oa se debe ideniicar que ése es indeterminado
ot

del forma sopor end se apa a rica que conse en dv ln
mear y el denominador ete leno de mayor gado de stos que
Coresponde a puso qu enel enomnado e major exponente 6
y 2 encuen dentro de una rl cuadrada. Como xtendes + entonces
AE = x Por lo anterior se vide cada mino dela expresó ete x

89. Pensamientos variacional, numérico y espacial

Ejercitación

© Compta la caba de valores para cada función

© Luego, ulead resultado para estima el Imie de
69 cuando x crece indefinidamente y sin cota.

ww

om
10100

© Reacina cada función cons respect lnc.

“2 1
MI Gree fay
Or
o?
Oo
an 0
Stra
im

tim 000

Resolución de problemas

(O La población de ura epece de animals et mo
© Gé cian
De
Jo = Fees

donde x se mide en años

¿Se puede afirmar que la especie tiende a desapare-
cer después de muchos años?

© Un equipo de fro! dese que odos sus afin
à do adquiean el bono que les permit ingresar
à todos ls partidos dela temporada. La sguen-
ve funcón muestra el número de aionados que
‘compra el ono desde el momento en ques an.
za la oferta (x en meses):
+ m
Er og
¿Cumosafionadoscomprarán bon se man
Gene promoción por u tempo mado?

Evaluación del aprendizaje

Dones amor someto

ee bn NE

90. Pensamientos variacional, numérico y möt

Si y son dos funciones polind-
migas tlesque (1) = 3ya(1) = 5,
AQU se puede amar con respec
worst ac?

om
Un fabricante de productos de
ase ha determinado que el ingre
lemanal por la venta de x one
5 de un nuevo jabón antbac
ter sá dado por la expresôn
fs) = 500° — 6% dares.
+ Hala et nite de fs) cuando x
dea 8e indica qué sign.

Propiedades de los límites de funciones

Para calcular el ingreso por las ventas dela ocho toneladas de jabón se puede
elaborar una tabla de valores que muestren el comportamiento def) a medi-
da que x se aproxima a 8 pora iquieda y por a derecha:

7 [75 |» 75008 | som [ar | a | 9
3206 | 54125 | 307554 | 3615959. 361604 | 165654 | 368556 | «on

Como el valor de {se aproxima a 3 616 mientras xs acerca ano porla
derecha como porlaiaquerda se serie sg Ja) = in Js) =e) =,
Se puede deducir que el fabcanedeabonesrecibe 3616 USD por a venta
de toneladas de su product.

Los mite de funciones cumplen ls siguientes propiedades:
Le

ite de una función, si existe, es único.

2.Silim f(x) = by lim a(x) =b, para odo, con bb, € B, entonces se

a fin (J(x) + (2) =, +0,
im) eb —dlim(k- 46) =k-b, ke

tin £0) A
a

3.5 exse Im f(x) yes fio, entonce se verifican las siguente propia
des sien que tengan senido los resultados obtenidos:

O (iso) OO
de im In(£())= Inlim #6)

£ tm 6) =o by

clim ef

En general cuando se calcu valor de lm fs) se pueden obrene resultados
determinados oindeterminados.

¡salas propiedades delos mies para calcula limite im YY

an igen ET os

belt

91. Actividades de aprendizaje

ectación
© Gata caca ice egin a función 0 dada.
fonera

In) inf)

arras
Im)

ling)

© dcermina el vor decade mite padel gf
‘ca de f(x) en la Figura 326.

aim f(x) lim) mil)
OO)
be): LO AO

© 1 propiedades para calcular cada imite
sims

im)

«Ilse +2)

eines

bl)

(x=2)(x+5)

Razonamleıe
© Decitre cada es el que ein
$ causa crepuesa

NTI

à im 222

2

ra

Encuentra los limites de las siguientes funciones
E vigonoménicas.

b. Imtanx

« lincos™
; ie
Resolución de problemas
Qe un cultor de roms se ha obserado que
® las condicones cimities estin desmyen-
do muchas panas La función que mues
va el número de planas afectadas es
S(t) = SA + 30, donde t está dado en días. Para
controlar el problema se decide aplicar un nuevo
fercizante que una ver usado, genera sa mueva

"so
función de afecraiôn de plantas: HD

a. Selogran obtener buenos resultados luego de
aplicar el ferizante?

b. ¿Se observa alguna mejora en las planta al pr
er dia de ser aplicado el producto?

© ¿Este producto erradicará completamente el
Problema? Explica.

Evaluación del aprendizaje

(© Usas propiedad pra coa cda uno delos
À nenes

«10

b fim (or (2x3)

im donde ft | eee en

4x2

92. Urb especie de animales que

aba con 3 000 000 de indi-
fue atacada por una en-
d. Con el paso del tiem
su población en millones,
«disminuyó según la función
= MCE + 1) en la que tes el
nünero de años wanscurdos
{QUE ocurrá con esa especie a
‘medida que x aumenta?

En|una empresa metalrgica se
ha] determinado que la long
cud () en mm de cierto mate
vial aumenta cuando se calien-
de acuerdo con la expresión
125 + 2x, donde x es a tem:
cra en grados Cebsus, Según
estudios realizados la tsa ala
| se incrementa la longiud está

Pensamientos variacional y numérico.

cermina la variación de long
id que presenta este material

1 pasa cuándo la cemperatu-
“aumenta demasiado?

Indeterminaciones en el calculo de limites
de funciones

Enel caso que indica el problema se ene que:

A) _0542(x+ bo) (1542) _ 5+ 4 abe
Pr = me?
La variación presentada por ese materi es igual a 2 mm por cada grado Ce
is que aumente la remperaura Cuando esta aumenta la funció ende a
init.

9.1 Polinomios al infinito

Para elcáculodellímie en. infiic de un polinomio, asta con considerar
el término de mayor grado,

Dado el polinomio Px) = ax + 0, _ "+ - + a, se cumple que
+510,>0= im PQ) = +2

«Sio,<0= lim py) = —=,

por
Los limites im (x 4 —x-45)==2 yh (-Se 474-8) =42 dan
À dihos resultados porque para el primero a, = 1 > 0 y para el segundo,

Dados los polinomios Pi) = a + 0, xP" " +. +a,y
QW) = by + by 7 +. +b, se cumple que:

pe in 89 .s

as in Bak

Pb)
o]

Cuando se calculan límite de cociente ente polinomios es posible desha-

«Sip>9> Im

según los signos de a, y bj.

cer ingeterminacines dela forma 2 al dvd tano el numerador como
el denominador po a potencia máxima de x que aparece en a fracción

93. Pensamientos variacional y numérico

9.3 Diferencia de expresiones infinitas.
Indete ion = — =
Dados os polinomios Pa) y QUO donde ImPf«)= im (x)= = es posible

rminarsindeterminaiones que se obienen al calcular el lim (P(x) ~ Ab}
Según los polinomios hay ocasiones en las que conviene operar la expresión
y Otras en las que esnecesaro multiplicar y dvi por la expresión conjugada.

Ejemplo.
A
TR ra

baad posa eee Reste

ET af +)

MERE

| à AOC m ER
a lian

im6

9.4 Cociente de polinomios en un punto. nn

Ontos palio 0) y QU. dnde) = QU) = par eae
die ty DI dos promise desen en hm pr
eos on bs popes mens este pa
pte

94. Pensamientos variacional y numérico

funciones

Indeterminaciones en el cálculo de límites de

9.5 Cocientes de raíces cuadradas de polinomios en un
punto. Indeterminación 2
Dados os polinomios Px) y QU, donde uno o ambos son expresiones rad
‘ales de indice = 2. y hay una inecerminacón para lice del cociente
de ésos par calcula el mie m PO). conviene mukipicar y dir por
«el conjugado de la expresión donde aparece a az

9.6 Expresiones exponenciales
En general si Im fx) = b,y Im gx) = b, para todo a, con bb, ER

l)=ryinsle)=*0
El

ay Ls encre te ra nes

| ración digo or ama ee

A parte de ests casos se debe tener presente que los siguientes generan
indeterminaciones:

li $60 = 0y Hn 800 = 0= indeterminación 0°
Im J) = y Im 6) = 0 = indeterminación =
100 = 1y Im ga) = == Inderrminación 1°

95. © deermina valor elos sguieestimites. © Mutipica ydvide port conjugado dela expresión
© à iml-2 + 9x ~4) © que dene art Lega hala e ite

5 Im 30-50 =)

€ im -6+1)

in (648 we + + 74-10)
© cu os siguientes ies.

aim
es

Cape +3)

b.im Resoluciön de problemas

(O unos cents esán probando un traen
con era enfermedad que amena la ia me:
a delos bcs
Los hemacólogos que han empleado el meda
menso saben que la da meda de os bus

aa

O sai cojugado de cada expresión para halo Josvaradependiendodelaurcó ena (del
© lies els funciones etaient según expen (0 = 752
a ir) à Simple aan por un pesodo

muy largo ¿qué pasaría con la vida media de os

5. im(y + x) lobules rojos?
Lili meda de esas la es de 120 ds.

cf - Fr) Seren aia

ame)
u) CE
CENTS aa |

as

Evaluación del aprendizaje

Denen je ais biais
or Spee
EA a a)

x

96. Saberes previos

Tolna una calculadora ponia en
mddo RAD y hall los valores de
ser y tanx para x = 01: 0001 y
1 ¿A qué valor e acercan as
furjcones a medida que x se apro-
sig cada vez más a0?
entra una tercera función con
ismo comportamiento.

Pensamientos variacional y numérico.

23

nadebe analzarsilasfunciones
= senate) = xy hfe) = tam
en el mismo comportamiento
indo x iende 20

16 pudo haber concluido Mi-

El Émbolo — se tla para in-
I que dos infinicsimos son
equivalentes.

Infinitésimos

a da discal
cer M ie

Ela observa que estas tienen un comportamiento.
similar en as cercanía dex respectoa 0:

lin 0) =0 ly g(e) =0 lim hfe) = 0
Portanto es posible afrmar que

Wey gene ge I ene
in sen epa im fen

Se die que una función y = f(x) es un infintésime en x = o, s se veia
que

lo = 0
a)

Son ejemplos de inficésimos as siguientes funciones:
+ Lafunción fs

x= 1esuninfinitésimo enx
im (—1)=0

aque

+ aun) = es uni cando end a puesto que
f

1-0
ann fo) = costes un inns cuandox = ya que
Imcssr=o
1.1 nfinitésimos equivalentes
plz
Ena Taba 32150 muestra algunos infntésimos equivalentes.

PEE)

Para calcular límites con indeterminaciones del tipo
tur ciertos infnitösimos equivalentes

ie im

se pueden sus

Gr)

(camo oe candor ens

97. Actividades de aprendiz

Fazonamien

@ Osea la gra de ls funciones de suas.

% Longa determina cuáles son innésmos y en qué
pumoloson

ape} 6.16)

© cates cad uno deo siguientes mies y decide

9 cuiles infniésimos son equivalences,

Aeslucén de problemas
© Emplea equvaenas ene nintéimos presa
© verlos sues ites.

CAPE)

Grain
© Gata cas tne y decides cada función es un
nino ene punto a que vende vale

a lime +1 bim
cime dm cosx
e im tanx Lime

Be 549

98. Pensamientos variacional y numérico

lue ft

Definiciones formales de limite

1 = 1) Para responder La pregunta de puede construir una taba de valores cercancs

if) =

¿Ple decirse que lim) cuando — 27 = 80 por la izquierda y por la derecha y observar cómo varía el valor de

xubndea1

en m),

580°C?

aan el de ura varia de Shen Pomerat oe à er
ase produce por un sueno en Se ice que Im fix) = bi para cualquier entomo de centro by radio € tan

pentura y viene dada por la

eles la longiud nal del cuer.

no existe? In 3 (14 3X 105-7)

» » | 09 [mom] mor | m | m
ann 3007153007191 3007199 30072 3007209 | 10070 300729

{Asi en proximidades de T = 80°C el valor dese aproxima a 30072 m.

pequeño como se quiera, se puede enconra to entorno de centro ay ado
{tes x went), Bal que todos ls valores de este último entomo, excepto al vez el propio a;
verifiquen que su imagen cae dentro del primer entorn (Fgura 334)

1,5 la longitud inicia

oo ce uncoetcene — 11.1 Definición formal de límite de una función en un
ilatación de la plata y Tes la Punto
cerbperaura (en °C). En enguaje formals excrbe
ui esla longitud nal de una
ora e plata de 3m e longitud

lin 00 = bsiysolosipara todo > se puede encontrar un >01alquesi
temperatura cercana a 0 < x — al <8, entonces fs) — b| <e.

ee a ES
o ames

Pez 4<e

en devais

Alsimplificar se tiene [x 4 <e, que equivalea + 4 <e ox (4]<e
| luego d=e.

11.2 Definición formal de límite infinito

és ir linf(x) = + y solo par todo Nse puede encontrar und > Oralquesi
Du dE r=al<Bentoneesflx) > N (Figura 335).
LL

Para demosrar que im dh = =, débeesabecene que do un N> 0
existe 5 > Oral que + À > Nsiempre que 0 < x0] <8,

Obsera que + > Ne << Luego dado N > 0 se escoge

a | B= ge decalformaquesesataga que +>N cuandoo< x0] <8

99. 11.3 Definición formal de limite en el infinito

lim fs) = bsiyslo par todo e > Ose puede encontrar un M tal que si
Male) -0]<e

lien tx) = b si y sol si para todo > Ose puede encontrar un M tal que
Six <M= llo) — 6] <e (gua 339.

Para probar que À = 0 hay que demosar uepane > Die Moi

Que para odo x > M, se tiene que:

eta depron
Determina limi decada unción Lugo una @ Union dieta una esfera con Sm’ de voumen
© deni mal pra demosrar quel. Red dl des

bo Sielvolumen de a fera varía entre 45 y

afin)
no.) 5,5 em’, ¿cuánto puede variar el radio?
a Evalvacón del aprendizaje
cla Bee me
Be 7) fae) (© Prueba cada uno de os siguientes ites
san
lima A]
imite
© Cac cada imite ydemuesra que efectvamente

“be

aim) 5 tin(4-2)

cimfé-s) aimed)
mA im

100. Practica mas

Halla los diez primeros términos de cada sucesión.
Determina el tipo decrecimiento y siesta es acotada.

a= an
ben ay
ca, = v=
aan

© Determina elrérmino general de cada sucesión.
9.122348

ao,
ba=
DEN ESS
4. 0,= 3-06-29 302-4
imite de una sucesión

Halla ls limites de Las siguientes sucesiones.
aa,= 2m -n

ba,

2n

=
ca, = r="
ao, rn

|Consruye términos generales de sucesiones para
‘cada condición dada,

a. Que tenga como limite 3.

lb. Que crezca indefinidament y sin cora.

(Ostos sens mues

el, tm 2

bin

Cálculo de limite de sucesiones
Ejercitación
(O Catia tos mies dels guientes sucesiones.

DRE

lim ER

ES)

Limite de una función en un punto
Razonamiento.

Calcula los límites indicados a partir dela gráfica de
© gi) quese muestra en la Figura 337.

ts) glen)

Cale los ies indicados a par de a gra de
‘© Jen Fur 338
ee "af

ai «in JG)

101. Resolución de problemas

Estrategia: Aplicar una fórmula

|
| |

Una sucesión recurente es aquella en la que cada uno
de ls términos se obtiene a partir de La suma de varios
términos anteriores. La sucesión de Fibonacci es una de
elas y se define as:

9,=0,=1y0,.,
Representa lo siete primeros términos de eta sucesión. |

1. Comprende el problema

+ ¿Quéiformación aporta el enunciado?
Rue

+ ¿Qué debes hacer

2. Crea un plan

+ Analiza cómo se define por recurenci a sucesión de
Fibonacci y encuentra lo términos que se piden.

3. Ejecuta el plan
+ Los dos primeros términos de a sucesón son 1 1.

«El tercer término es 1 + 1 = 2 y cada uno de los
guientes se encuentran sumando os dos anteriores:

142230224

R: Los site primeros términos de la sucesión de Fibo-
naccison 1,1,2,3,5,8, 13 La representación de estos
términosse observa enla Figura 339.

oe

4. Comprueba la respuesta
+ Veifeaquea, = 610

Que

Aplica la estrategia
© Oberala sucesión recuente defnida por
teen

¿Cuáles son ls cinco primeros términos de esa

a. Comprende el problema
b Crea un plan

€ jecuraclplan

<4 Comprueba a respuesta

Resuelve otros problemas

© La infación se mantuvo en 45% anual durante
los años 200922015. Si el precio de un articulo
en 2012 era de $ 30000, ¿cuál fue su valor en
2013 20142 Escribe un modelo de función que
ve permita saber el precio del ariculo en 2015 y
2016 sabiendo que la inflación se mantuvo en
45% anual en esos años ¿Cuál es el precio del
aricuo en os primeros tes años?

Formula problemas
Formula y resuelve un problema que involucre
la información del gráfica de la Figura 340.

+ Construye una oración con las palabras

sucesión

102. Evaluación del aprendizaje

Sucesiones de números
Cofpunicacion
O econ atenciinyobserala Figura 341
| Helge von Koch procedió de la siguiente manera:
(vii un segmento en tes pares iguales. Bond
ll segmento del cetro yen ee espacio agregó dos
segmentos iguales al bordo, de modo que forma.
‘an un tángulo equitero con roro borrado, Re
Pit el mismo procedimieno con cada nuevo seg
mento y continu rpiténdolo "veces Se podría
(dc que ses la representación de una sucesión.

DM
UTA

Se observa que el número de lados aumenta de
acuerdo con la sguiene sucesión: 1,4, 16,

a Cull es € término siguience?

lb. ¿Cuáles el décimo término dela sucesión?

Molelacin
seso gine cesön con ps de soos

0% BP AR

|cuancospaltos se necesitan para el término 13?

Limite de sucesiones
Ejercitación

O ecidesiosucsión 2 converge oder

* lg. si converge indica el iit no converge exp.

Cálculo y propiedades de los limites de
Ejerctación

Om (1) mes
Qos ne) Be

ite de una función en un punto

ieritacien
© seeccioae air de im a
Dor
gee b
et d Note
5
Bazonamiento
nsix>0
O aan) = sim f(a) =] 3 x, 550 € x <4
axes
Comunicación 5
(O Vialia dea función para calcular aca ice
9 pd

LUC)

ain se)

Lim se

103. Limites infinitos y limites en el infinito
Resolución de problemas

© da tura media de una deceinada especie de pi
*

nos viene dada por la función f (x)= PA

donde t expresa los años transcuridos desde su

plantación. AAA

3. ¿Qué altura meda tienen los pinos al cabo de
neo aos?

bo ¿A euänco tiende la altura media de estos árboles
con el paso de tempo?

asserts
© Cale cada uno delos suites ies ya par
Gi de lo estados explica el comportamiento de
las funciones a medica que rece o decrece anto
comose quier o

2 lim (se 6x+0)
bo Im(e20+1)
(a)

Razonamiento

D Observa siguente secuencia y expica qué ocure

e coneläre de los polígonos regulares inscritos a me-
ida que el número de ados aumenta de manera
infini, Escribe el límite que resuma tu conclusión.

000

Propiedades de os límites de funciones
Razonamiento

(O catia como vera ofa cada afración.

A

LS

2 im

5. Para ua poinomio Im = PC)
20)

< lim
O)
‘P(x es igual al grado del polinomio a(x)

solo existe si el grado del polinomio.

| Comunicación

D Valse delas uniones y dea Figura 345
À poa lao ser.” GORE

Fans

lim (FG) ER)

a Im(£69+200)

Indeterminaciones
Bercacien
© car cada trite.

Aeslucin de problemas

ve cutivo de baca cece sig

* = 7 » donde el tiempo t > 0 se
fo: To Po
ide en hry peso del coo en gramos
Deseminal peso dl culo vancuridos 60

Razonamiento
(O Escibe ex trace verdadero aa

* La suma finita de infnitésimos es un id
infritsimo. o

[EI producto de des nfnitéimos no
necesariamente es un infinitésimo. ie}

© Eproductodeuninfniksimoporuna
funciónacotada esunintaiisimo. ()

(EI producto de una constante por un
infrtésimo es laconsane. &

Definición formal de limite
Razonamiento
© decidesiesconectocada tne, (assem)

À a im(—a)=-2

104. 4 Continuidad y derivadas

EN

106. Continuidad

za la gráfica de una función en
‘que no debas levantar la mano.
papel y ota enla ques debas

£ quiere representar de mane»

gráfica la función definida as

¡Qué po de gráfica obtiene?

1.1 Continuidad en un punto

La imagen de cualquier valor racional que
come Maio e 1, mientas que la que le co
responde a cualquier iaconal e 0 Asi que
I grfica que obtiene son os lineas horzon- ” 0] 1 7
{ales punteadas como seve enla Figura 4

ra función fs continua en un puntox = ade su dominios

lin 4) = fo) sa definición es equivalence a que se cumplan las sguen-
condiciones

2. im fo.

2 Bsa}.

Ambos números coincidan es deci que ia) = fo).

El dominio de a función
10) = x = 62 — x + 30 es el conjunco
‘de os names reales

Para cada uno de esos puntos, la fun-
ibn es continua. Por ejemplo, fs) es
continua en x = 2, ya que:

lim (0 — 6 — x + 30)
2fQ=2-6--2+ 3222,
luegoJ(2) existe.

von: meer

se puede observar en La Figura 43.

reno

107. Pensamientos variacional y numérico.

1.2 Continuidad lateral

Una función es continua por a derecha en a € DI] siti f(x) = fa.
Una función es continua pora izquierda en a € D( il f(x) = Ja).

1.3 Continuidad en un intervalo

{Una funcién es continua en un intervalo a,b) cuando lo es en cada uno
de sus puntos yes continua en uninterval [a,b] cuando lo sen cada uno
de os puntos de (a,b), además por la derecha en a y por la izquierda en b

2

© Da a funn fa) = [E83 obena cmo encon Is ars
que debe rar pr ue cnn noo

Apr dex = à indes coninın lea def po pinos.

Par = a undön cambia sı denn proque par dr con-

Ud de 6) seco cal mue en ee pn

Ip fx) = li (x)= 9K if) = Hi oP +8) = 9+

* Para que exist Im flo limits lacrales deben coincidi por o que
—k=9+kok=0

| emo
Observa cómo haar los valores de a yb para quel siguiente función sea
continua en todo R.
a+ eo
EEE ESS

N = fonc+bsosx <a

¿dor sxe

Los posibles puntos de discontinuidad son 0, y ls que anulen al poino-
mio a + 3x + 2 Para que a función sea continua en
lives laterals deben coincidir

lin, ef

lim, fo) = N (cose + 6) = b
| ti, gel (+-30-)

ee dass are
b-1=-4 a

No hay puntos que anulen a 2 + + 2 asique paraa = 2yb =

Función es continua en todo R. 6

108. Pensamientos variacional y numérico

x

¢

Continuidad

cividades de aprendizaje

jercitacion

Clasfcalas funciones en continuas o disconinuasa
parir de su represenación gráfica en las Figuras 44
A411. Explica us respuestas.

col Ergo
ren 5
ena
TT
Fo un Fema

Indica sas siguientes funcionesson continuas ono
enelpunox = 2

pé-rue>r
wo b. a6) = re

== mr conde fines ake pa
los que cada función f(x) sea continua.

Comunicación

© Inca sis ies funciones soncotimas ono
$ erel punto quese dia

EN) = In(2e + 4 ~ 6),enx =
4/0
fe) = tang en x= m

Ine + 4x — 6, enx=0

Ho = cancenx= F

(O ates valor los valores que se deben dar ak

© pars que as suene funcions sean coninusen
codo el conjunto de os mers rales

beer
fn,

fe ta ec
as

(O Gñcs aratzalaconnicad el fc def

more) = (nes

© obser Fare 412 define de manera ares a
À font ese representa yan su conta

ae Bahr Y
«feo = = 4. fo) = 5 7
dune FE ns
Gens conti de cda nin
af bete sais N
iia aes Sn nee |
E

À continuas en el conjunto de los números reales?

109. © sea = 20 + sla veocdsd de un mdi
$ a, Tara gris de función vl)
bapa sv) scominua en su dominio.

© ¿Qué ease de movimiento ceca el món?
Hala velocidad para ls suene tempos
235 Bs 105 0s

© oh gta de Fgura 413 y decide en eu

À les puncos exten discontinuidades Explica en cada
«aso las razones de tal discontinuidad

© observa gráfica de la Figura 414 y decide sien
"E cada unodelos puntos ques indica a función es
Continua diconinua © no ec deri

bee

dx=

© observa trie de Fur 45
+ ty

a. ¿Cómose define esta función?
b. ¿Cuántos puntos de discontinuidad tiene?
€: ¿Hay puncos en los cuales la función no se en

cuentte definida?

Resolución de problemas

@ paa convaresar ana colonia de backen, se le

"© aplica una ox durante mnuro El comporta
mien dela població de bacteras se ve afectado
de acuerdo cons unción

m

à tea panal in es
ataca

dino emg ps aes deg co
‘Seen pen

Gann yu coin

del aprendizaje

(© Las ass de un médico se basa en a duración
À decada cons
Hasta 6 minutos 5 50000
Ene y 1 minutos 580000.
"minutos o más 50000 más 55000 par cada
muro adicional
a. Escbelaspresón gua de a función y
caza la fica corespondienteal modelo de
cobro del médico
be Gui paga un pacene por una consulta de
‘minus!
« Gui paar alguien por una cosa de 20
Anal a connu del finden

110. a den pa

1.001 y 0001 y explica qué
ure con sus imágenes.

À Explica el comportamiento de la
fica de la función de la Figura
nn
muy cercanos a 5, tanto a la dere-
Bee

Pensamientos variacional y numérico

renos

Tipos de discontinuidad

Aida ue po dc in
liar du dens bm ne de iid ae
Meere

2.1 Discontinuidad evitable

Una función presenta una discontinuidad eviable en x = a si existe y
es fit el ime de la función en a, pero no coincide con la imagen de la
función en ese punto.

m 11 <2
| La función fix) = {3,s=2 presenta una discontinuidad evitable en
Eos

(figura 4.17) la cual se puede evita ifs) se redefine, de al forma que

po)
2.2 Discontinuidad de salto finito

Una función presenta una discontinuidad de salto finito en

a silos
limes trs ena exten yon fito, per no conciden.
enga,
Para suda connu enx = ef [cio
© caleuarlosimies laterals (Figura ana) L#X
~2yli fo) = fn

16) no existe y no es continua en x

‘Como os limits laterals en x = 1 son finitos pero no coinciden presenta
| una dscontinuidad de slo fnito en x = 1

2.3 Discontinuidad de salto infinito

Una función presenta una discontinuidad de salto infinito en x
de oslímits laterales en o, los dos son infinitos.

Las discontinuidades de salto finito o infinito también se denominan dis-
contnuidades inevitables o esenciales.

111. Ls

Analiza el tipo de discontinuidad de a función)

reset
2

| Comolim, fe) = Im,

(4) ey lim, fe) =

{fro.escontinuaenx = 1.

discontinuidad de salto infiio en x = —1 (Figura 4.19).

Actividades de aprendizaje

En este caso, uno de los Imies laterale es infinio, as que f presenta una

tees

Ejerctación

© deer cuss els suene funciones son
‘€ icons y cia us dcominaidades.

a, [ep

30820 laix=o

@ te grfe de cada función definida a veros
"© ca dom yea au conti eps
feando en cada ato up de scout

rare
ae ea

vanes

Da
bye =

I++s.ux>2

Razonamiento

© rc ator os valores de ses que exten
$ pangs nce

farasns=

SO | ux>-2

a Sea conan ex = -2

5. Present un discontinuidad eviable en

© Muesre una dsconinuiad de sako fito en
x=

¿Tenga una dconinidad de ato infini en

x=

Evaluación del aprendi

O teiacona cada unción consu gia y determina
À pode daconinadd que presenta

= <P

ee
Efo0=1 — ha
tanto

O (ee

a. {Qué valores toma a función parax=4.6 8-7
vn

bo Tene esta funciôn puntos de continuidad? Si
‘esas indica en cuáles y revisa quese ver.
quen las re condiciones de continuidad.

©

112. sabe que fle) = » es continua,
puede afirmar que (x) =» —1
10) = > + 1 también lo sont
lia,

g<%

Pensamientos variacional y numérico

la Figura 424 se muestra la grd-
a dela función) = Ine + 2)

De acuerdo con la gráfica ¿en
ju interval es continua esta

Continuidad de funciones elementales

La función) = In(x + 2) es continua en su dominio por ser una función
Jogariwmica. Para calcula el dominio de hay que tene en cuenta que el lo-
arto solo puede calcularse para expresiones positivas luego x + 2 > es
decix > =2 Por tanto, fs continua en (2, +)

3.1 Propiedades de las funciones continuas
Dadas as funciones y continuas en
11. La función (f + gx) = fx) + g(x) es continua en.
Zola función Y — gs) = fo) — la) es continua enx
3.La función (6) = fs) 869 es continua en x

se vera que

469
«ainsi = weinen sonne ego) so
3.2 Continuidad de funciones elementales

+ La función polindmica fs)
todo punto de R.

+ ax + axe +. + 0x es continua en

+ tacón cora = Bender @sonptnoiosen xo
rua en todo pre de excepto en aqueos que alin e denominados

+ afar iraonaly = gs conten odo punto R sin simpa,
Yolo en audios qu van Na) = 03 nes pa

+ a fncénexponenc fe) = a (on a > Oy a #1) es comin en todo
parade

+ La función tgareia a) log (con > Oy 1) commun en os
mers ees ectamere pes

+ as funcnestgonoménicas y= sen y = co son comin en todo
puna eR

+ La función trigonométrica y = tanx es continua en todo R, excepto en los
x= (+ 1 Pez

Ejemplos

iain = [EEG

ca. mientas que en (12) Anne conn por ser panel En

= Osetieneque im Je) = Im (+1) =1y Im fl) = Im e+ 1= 2

| Como no coinciden los limites laterale, fiene una discontinuidad de salto
fnitoenx=0.

es continua en (==) por serpolinómi-

113. Pensamientos variacional y numérico

3.3 Continuidad de la función compuesta

Dadas las funciones fg de forma que f es continua en x = a y que ges
continua en f(a, se verifca que la función (80/26) = aU) es continua

3 y 800) = e; ambas continuas en x = 0.Se ver
36” también es continua en dicho valor ya que:
By he = JO) = 3.

Ce .

Ejeritación Fesolución de problemas
© sucia continuidad de as funciones O un equipo de invesigaciónesimó que d número
; de bacterias en mies, de un cultivo, en función del
E ot = opt? +1) ‘tiempo x viene dado por la función:
res
2 y+ 1i0ses!
m dain RO PR oa
ars
© repris yes tipo de conri que ie an
© nelafunción. a. Comprueba que la función es continua en
ati todo su dominio.
O il bo. Haz una representación dela función.

© Arai la coindad dels sientes funcions

© totor que se debe dr a) pr qe a | Oak connie e cs

sesconimaenara | à 92 ena.
bf) = en
=e responde sim oexixeyfroescontina | fe) = en

© aies dresse | ufmabahı- Narzarmoys-
abajo? Explica tu elección. a

si e. f(x) = 4cos(3x — 1) en.

O xs tuners) == yg) = 25.

dein acond de un compres

«a flg)} ene! puntox= À

E yx

114. Pensamientos variacional y numérico

Teorema de los valores intermedios

y fe lev alcongelador y ahoraesíá son continuas en todo su domino yen
à 10°C su temperarra fuer € concretoenelntenalo (0,1)
erjalgin momento? Explica ‘Ades comof() > 0) (1) <a)

en un pocilo habíaagua a 100°C Las funciones fix) = €” y glx) = VE |

cortan Esto se muestra en a Figura 426, a
Tigra las gráficas de as funciones He
ey da, y comprueba que se cor- Seafunafuncibn real y continus en o, b]
tah en algún punto del intervalo -sia) = f(b) y Mes al que (a) < M < f(b), entonces existe al menos un
Fook. E {a b)talque() = M (Fgura 427)
+ Sia) = f(b) M es tal que (D) < M < f(a), entonces exe al menos un
CE (a,b) cal que fe) = M (Figura 428),

i malen
y | Lafunciónf() = + x = es continua en todos os número reales por ser
a ppolinémica; en particular lo es en el incervao [0,5] (Figura 429).
Como 0) = =1 y AS) = 29 al considera un valor incermedo entre ~1
AAA y 3,1a como 1 y en vieud del teorema de ls valores intermedios debe
feuasa7 | existiral menos un número real c € (0,5) tal que fic) = 11. En este caso el
| valor de ¢ puede hale al solucionar a ecuación € + € = 1 = 11058
y ecuialemec +c-12=0
a | resolve por fctorzaci se tene que: (c+ fe — 3) = Oy de aqui se
$ bienen os alres = —4 0 = 3 pero dado que c € (0,5) se considera
el em
em ite,

1
Dada la función x) = Tap ¿puede asegurarse que no existe ningún

| punoenelinena =! Josue ación ome dor

Linen soni [eos

off)» 27 =urrporuma

LOTS)

No se verifica una de las hipôress del teorema de los valores intermedios,

per es no parie asegura queno ext ningún pc de |
uel función vaga 1. De hecho (0) = 1.

Jena

115. Ejeriación
© rosizalavaidez de sainerpreacó dlterema
À delos valores nemedos.
"Una función continua en un intealo toma cual
<q valr eee dos valores que oma a función en
tseintevalo Asno puede cuir que una función
<ontina tome valores posos y negates y no
come alr
Comunicación
© Dada ia función) = ine
9 à Comprueba que sonia encimera]
para cualquier número natura
bout eta foma ends
tayaalgún punto donde a funcón tome el
valor—2
Bazsnaniene
Once

© 2. Comprueba que a ecuación sen — 2x + 3
‘iene una solución en intervalo (1,2).

. Caleua dicha solución con aproximación alas
centésimas.

© Demuesra que ere una vi 0 ok para la
Genannte 2=0

O cemuesra que este un valor k tal que

$ 10) = 100 sabendoquefs) = + 10000

Or qu ne où sen inde

© f(x) = XP ¿Cuál es el valor mínimo que puede
omar a unción? ¿ara cul alr de x ann
toma como valor 5 ¿Qué ganz I exienca de
er?

ch de problemas

Our sonia sale de un compamemo à las

© 9002. my lega a aca de una mona a ls
00pm A a mañana suene ba dela ma als
900 m,y sue el mtn camino has gar a
campamento à as 800 p.m ola ere de
ls vs inemedios pra demosrar que ha un
panto del camino por el cual el ini paa ls
Cosas came al msm or

OA hacer un record continue por una cansa
À con un perderte muy pronunciada un cia
He ura loa de 8 mi cuando pasa por
ttm 15 de lei cando paa pore
Tmt 124 ¿sean punto ene ls ds
Klos donde e cc aya lead una ve
load de ks?

(O 12e durée dati problema y epica
À qué uen se aplcanyen qué momen
Enunciado:
Sobre la specie dea Tia en cualquier mo
rent hy des puntos ameraine opuesos
Che deen eactamene msn tempera
Solución
Se oan dos puros dameralmente opuso
enlasiprice dela Tra qua 40)

Para mela diferencia de temperaturas ent un
Punto y su contrapuest se determina e valor de
la operación: Temperatura (punto An) = Tempe»
acura (punto opuesto 8n).

Si eso se hace para cualquier par de puntos con

trapuestos se obtiene una función que será pos

tiva sien el unto À hace más calor que en By vi
‘ceversa. Sila temperatura fuera igual en un punto
y su contrapuest, a función valdría cero.

Habrá un par de puntos en lo que el signo de a
diferencia cambie (de positiva a negativa 0 vice.
versa). Como la función quese consruyó es con-
‘inva, también lo será una resta de temperaturas
y. por tanto, debe haber al menos un cero. De
modo que hay al menos un punto en la rayecto-
ri con temperatura igual la desu contrapuesto.

&

116. Pensamientos variacional

nf

Cotas de una función

16 significa que una sucesión
acotada? Escribe 2 ejemplos
sucesiones no acoradas.

‘Chiles son los valores máximo y
mínimo que puede tomar la fun»
seen su dominio?

5.1 Funciones acotadas
El valor máximo que toma la función senx es 1, pues es mayor que cualquier
010 valor que pueda tomar la función; mientras que el valor mínimo es —1,
ya que es menor que cualquier ovo valor en el rango de la función. Observa la
Fgura 431, Al 1 y ~1 son el máximo absoluto y el mínimo absoluto de senx,
respectivamente

Dada una función definida enel conjunto de los números reales R:

"Se dice que est acotada superiormente en R si se puede encontrar un
"número ral M mayor igual que todos los valores que toma fx) en Al
número M se le denomina cota superior de £

Se dice que festä acotada inferiormente en R sise puede encontrar un
número real m menor o igual que odos ls valores que coma (x) en RL El
número m es una cata inferior de £

+Se dice que Festi acotada en R lo está superiormente e infriormente
avez

LL
"Dadas las funciones f(x) = x + 3 y glx) = stone

+ Los valores que toma la funciôn f(x) = = + 3 son siempre menores o
iguales que 3,4, 5... Se dice entonces que la función está acorada supe-
riormente (Figura 432),

«Los valores que toma la función g(x) = -L son siempre mayores que 0,
—1,—2,-3.. (Fgura 433) Se dice emondË quel función g está acorada
| inferormente

A la menor delas cotas superiores de una función definida en Rele denomi-
ra supremo de la función en ese conjunto. Si además, dicho supremo se alean-
za para algún punto de R, se dice que es el máximo absoluto de la función en
eseconjuno.

A la mayor de ls coras inferiores de una función definida en R se le denomi
na ínfimo dela función en ese conjunto. Si además dicho ínfimo se alcanza
para algún punto de R se le denomina mínimo absoluto del función en ese
conjunto

5.2 Teorema de Weierstrass

Si una función es continua en el intervalo cerrado [a,b] entonces est aco-
tadaen 0,b),

‘Como consecuencia de este resultado, s una función es continua en un
intervalo cerrado (a,b), entonces tiene máximo y mínimo absolutos en ese
conjunto.

117. [ +2e42.0080

Ierzsocrsı

O ran función)

. ETES

a. Estudia su acotación en los intenalos:
En (22 Es

bo. Estudia il función toma el valor M = 3 yen
«aso afirmativo, indica un inervao de longitud.
1 donde exsta un punto que verifique esta pro
piedad.

© Para cata una elas sientes funciones y conside

$ rando el inenal salad exc e acoada e
indica ses que evsen lvalr dl suprema inma.
‘isi y minima

8 + Se 6en [1,3]

= ten (1.0)

fe) = AEF en(-20)

ese = Fenton)

© ovservata gi dela gua 434 y apar dee
À determina que senda continuation

à La expresión algeria

ba dominio ysuecorido

«.Laaconacón

d Susupremoeinfma secken

Toluca de problemas
O $ aparece una uz dened ra
À zone ocosness meca en unas ac.
das se econ epeimeclente que exa
dada pory = 1506" 25° para = x5.
a. sen os valores másimosy nos para
safc pea

bo S exisen valores máximos y mínimos hállalos
y explica qué indican.

DL Estació de opr: MMMM

(O tuna prueba sobre la void de rección de

À arc pots e un css dmlada e encon
Ge demo trl move pa resonar
Vai cn edad a pi de cuerdo con
= Aron ts +) sobreunrngo dead
US 155 Demas decos anga qué edad
corespondeelempo mimo de acción?

(O vn psccutor cuir peces en un ago Cantos

más peces indica habrá más competencia
poros aiment ls peces ganarán peso en or
ma más ena, De hecho, cuado hay peces por
Unidad de re de ao la canodad promedio en
peso que gana cada pez duran un temporaéa
está dada por w = 600 - 3n gramos, ¿Qué valor.
den conduce ta producció oral máima enel
peso de os peces?

a. Escribe una función P que muesce la produc
ción coul de peces por unidad de área

bo. ¿Escontinuaen [0,20] la función que escribiste
Silos ¿cule son los valores máximo y minimo |

_que toma la función? ¿Qué indican exos valores

118. Pensamientos variacional y métrico

s

Derivada de una funciön en un punto. Velocidad
media

tanque de agua de una casa. Amedidaquela mancha se expande en el mar su radio aumenta; en tanto que
[erfra, ¿qué debe tenerse en elespesor se hace cada vez menor Por ejemplo la velocidad con que aumenta

cufnia para calcular el tempo en … el radio dela mancha, cuando el radio es de 50 m, e cercana alos 20 mh

al

ba mar se

con forma de clindro recto

jue se desocupará? Uno de los conceptos básico en cálculo es el de derivada, el cual está basado

ferramarse 100 m de peróleo

en la definición de limite y en la definición de un cociente conocido como
cociente incremental.

Dada una función f se sabe que fa) coresponde al valor def evaluada en
el punto a ya + h) corresponde al valor de evaluada en el punto a + h;
luego,alincrementa aen h el incremento producido en fes/fa + h) — f(a

ha formado una man-

Se define el cociente incremental de la función fen el punto a como:

nf
@ ja +) = fo)
Z ñ
/ $. Cuando se considera un incremento h tan pequeño que tiende a cero, el

cociente incremental es Iamado derivada de la función fen el punto a

1 relación exe entre el ra
o dela mancha yelespesorde gg

Elcocienteincremental de la función fe) = 2° — 2 ene puntox = Ves

ESO _ 20-4 22) _ 20-4 26-4 2-2
D F »

MENTE da
+ 7

“im

See que fac fes derable en = ao ei Jet U),
es decir stim Kt NO) es un número real.
Can:
Este nimero se denomina derivada defen a y se designa por (a).
Se ice que fs dervabe ses dervableenx = a para todo a € DI)

De la definición se deduce ques fe dervable en un punto, entonces es con:
‘inua en dicho punto.

La derivada en el punto x = 1 dela función fdefnida en el ejemplo 1 ests
dada port 6+ 2h = 4

119. Sise lama xala expresión a + h,entonces h = x~ atiende solo cuando
tiende aa, Por anto ora forma de escribir (a) era
o)= tn = fad

Ejemplo
> Dadatafunción (a) = 5x — 3, observa como se halla la derivada en x

= mel ia ai

O

6.1 Velocidad media y velocidad instantánea

la ecuación que establece la relación entre la distancia recorrida por un objeto
en caída libre es 0) = — 86 + VE + 5, donde st) represent la posición
del objeto transcurrido un tiempo tg sa constante gravitacional (98 m/s.
u, a velocidad nial y la altura inicia

Sist) esla posición de un objeto en movimiento después det segundos ¿qué
representan el cociente incremental yl derivada en un punto, para una fur
EI

le) el posición delobjeto en un tiempo!
sl, + h) es a posición del obje en un tempo 4, + segundos de donde
sl, +) = sl ea distancia recorda en elintemalode iempolt, 1, + h]
Luego, el cocince incremental NIE) sa dsancia recorrida en h
segundos e es conocido en fc como ha va medi enel iervao
de iempo

La derivada comesponde atin, , S82 += #3), como e intervalo de iem-
po prima aa dead cepo ala vd en lina y
por est razón es conocida como velocidad inscntánea (4) en el erpot,

6.2 Aceleración media e instantánea

Se lama aceleración media de un móvil en el inervalo de tiempo! + h
uno)

al siguiente cociente:

De ova pare aaceleració nantes (a) ent,

a=im dene),

120. Pensamientos variacional y métrico

Derivada de una función en un punto. Velocidad

media
emplos.
Un objeto se mueve en una trayectoria recia horizontal, con sen-
| do posto hacia la derecha, siendo, en cada instante & su posicón
0 = 0 ~ 30 + 2 (Figura 435) Para caler velocidad yl aceeación
inscanténeas se evalia elie

un Heat =i), (CACA (0 +2
oo 7

Luego de cesarolar los productos notables y implicar se obtiene que la
velocidad instantánea (4) del objeto es

drama m=
ga ASA ee

> ? 7
| Laaceleraciön instantánea (a) del objero es:

ms a gg M) dr a)
ET mu 7

6.3 Razones de cambio

Elconcepto derazón de cambio se refiere ala medida en la cul una variable
se modifica con relación a ora. Se wata de la magnitud que compara dos.
variables a part de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no
‘estén relacionadas cendrän una razón de cambio iguala 0.

2

Una empresa elabora cajas metálicas sin tapa con láminas cuadradas de
12 em de lao, recortando cuadrados iguales en Las esquinas y dobländolos
hacia arriba, como muestra la Figura 436, Para hall a razón de cambio del
volumen con respecto ax se iene en cuenta que xe el lado del cuadrado

i | que se vaa cortary Vel volumen de la caja resultante, Entonces

lay À VEO 12 = 20012 = 24) = 40 dB + 166%

| La azón de cambio del volumen con respeto a valor dex que se cora en
lasesquinas se halla al calcula:

Luego de efectuar todos los cálculos se lega a que tal razón de cambio es
F2 — 96x + 146,

121. Activida

de aprendizaje

Comunicación

© oxcie picando la denn de dada, las

$ euiecesfuncones son enables en los puntos
indicados y alu sexe devia

ps
© suas is sienes funcions son desvan
à lp nds

clima

enx=0
Lx >0

SH) ee A

© ote por qué no exten las das delas se
À Baer freres cn puso

€ (6) = 7e + nlenx

© sci commu ya debida de las
$ sientes uniones ens puntosindcados.
[LE ar

2.0

ened

Las sm

-mär<2 mx
AS

b.J0 =

Resoluciôn de problemas

se nera see a un gobo eben à en de
À Bari A quércin vate cro cados
mide mee!

(O En una empresas fabrican cas mets sin tapa
(© con lina cuadradas de 12 cm de do ecoran-
do cuadros gua en ls esquinas y doblindolos
haci at, como se ini en a página anterior
2. Compruba que la axé de cambio delvo-
lumen con espectoa longtud dex quese
reco en as squnas es 126 = 96+ 14
5. Tara gráfica de Vay encuen aque valor
dex parque lvlumen deca seach
mimo pose

Evalvacién dela

(O un móvi se desplaza de acuerdo con la expresión
s(t) = 49 + Se = 4. Calcula la velocidad y acelera
ción instantánea del móvi para = 5

© vna efemecaé arta una ciudad y ls mécios
À conan qued nero de personas enemas ná
dado por la función f(x) = —x + 60x’, donde x
tsel tempo medien dis dese el rnc de
inepderia
a. ¿Cas pesonas e hab ened des
puts dea 0) 15 ds repecnamene?
5. Cudlsi ann de propagación de enter
dad con spec al erpo?
(O Ars pone ur ara decaf en a microondas
sa ana ua tempera de Lue
Sc yl deja pur a 20°G que sla compe
‘aura amber en se moment oben a
expresión T(t) = 80 — 3t + 0,161 que relaciona.
tempera cond dempot

Calcula larazón de cambio da temperatura con
respecto al depo.

h

122. Pensamientos variacional y espaci

UA aucomóxil acelera de tal for-
mf que pasa de una velocidad de
km/h a una de 100 km/h A
rir de esa información, ¿pue
de decerminarse el valor de su
achleracibn?

Medidas e instrumentos de medida de valores medios

teta La nora
a
a

Medidas directas: cuando es posible ulizaralgün instrumento que direct
mente da su valor. Es el caso dela masa la longitud, el tempo yla tempera-
tura estas pueden medirse con la ayuda de una balanza, un metro, un jo
un termómetro, respectivamente.

Medidas indirectas: son aquellas que nose pueden determinar con ningún.
aparato y por so debe recurise ala medida de otras magnitudes a parar
de las que pueden obtenerse. E el caso de la velocidad de un móvi que
«compara la medida del espacio recordo por este en un cero lapso y la
densidad de un cuerpo que se calcula a partir de su masa y su volumen.

7.1 Velocidad media y rapidez media

sisi ci a li arpa
el O mad
ami dem nn

noce como rapide media dine com. £

- Een
Un acera recome 100 men 12 luego da la vuela y recorre SO m en 305 en

dirección al punto donde inició su movimiento.

7.2 Aceleración media

Se considera un cuerpo que se mueve lo largo del ejeXa una velocidad ven
eltiempo¢, y una velocidad , en eltiempo
La aceleración media (a, se define como la razón del diferencia de sus velo-

¿idadesenelintenalo de iempos, = ¿,ast 0,9 2

123. | Un abrianteafirma que el auto que produce acelera desde el eposo hasta

una velocidad de 42 mys ens
Según es información la aceleración que logra el auroes

ss mi

7.3 Densidad media

La densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que

ocupa

La densidad media de una pepita de oro con una masa de 579 gy volumen

dem eo En E aj

dades de apre

Modelación

(O Un mon se depara en una trayectoria recia

'© demanerques asocamos con un ee X de coor
dleradas su posción en sane en que un bj
rara 20.650 m, cuando evel indica 30 la
posición e570 m.cuando ee) indica 0 a pos
¿ón es 60 m y cundo mara 505.5 10 m.Cakua
la velocidad meda entre los instantes

2.207305 b20y40s
< 207508 d30y40s
Resoluciôn de problemas

(O Una pelt und por una aura nina dare
5 segundos, a una aceleración de 8 m/s”. Si la pelo-
ta ne una vec inal de 2 m/s cuando co
mia record ser su void a ral
vcore?

© Ue axrrovisa via 15 km hacia el us desde a

os 13m hail ext yFramene, 10m aca
tlnone, Determina isanca a laque queda fia
men cl ongen

© Un ovo pas de una tempera de 20 Ca
$ 40°C en20 minutos Explica cömohalarassutem-
pra meda

EN

ión del ap

@ Un oto se mueve ene oy 10 segundos ys
movimiento eu descr por sguent ri,
nl cual de ejenesliempo medido en segun

a. ¿Cuál puede ser el objeto al quese refer la
erie?

b ¿Cuáles la aceleración media entre ls tiempos.
15y25s

O un camión de bomberos aumenca su velocidad
1 deOa2im/sen 35 segundos ¿Culless cla»

© Cata densidad de una mater que ene ua
masa de 13450 gamos 6 ocupa un volumen de
Rem.

e

124. ¿Qué caracteriza a una recta tan-

te a una circunferencia en un
Pinto? Puede razarse más de una
a tangente a una circunferencia
por el mismo punto?

Niro participa en una prueba de

ncaa. En a Figura 4385e mues-
parte de su recordo, Observa
leen el punto Ade la trayectora
ha trazado una recta tangente à

Inn
A
ao

(Qué se puede decir de la recta
fangenceala curvaenel punto 8?

Definición geométrica de la derivada

‘Cuando se taza la recta tangente al punto Bes resulta sr paralela al je Xy
su incinaciôn es ula

Como se trata de una grfica de posción-ciempo, se puede afirmar que ave
locidad de Nairo enel punto Bes y que e encuentra en un estado de reposo

8.1 Recta tangente

E een.
‚diente de la recta que une los puntos P(a, f(a)) y Q(a + h,fía + h)).

Cuando h se aproxima a 0, es deci, cuando Q se aproxima a P. puede ocurir

losiguiente:

+ Caso elas rectas que unen a P con los puntos Q se aproximan a una rec-
Ya que, intuitivamente, es la tangente en (Figura 439). Entonces, existe

iy HENLE) alor dorado poro) es precamee pen

dienre de
+ Casolklsretas que unen Pon os puntos Qno se aproiman ninguna
recta (Figura 440). En est caso no exe im JOH I)

Si fes una función derivable en x = a, se define la tangente en Pla, f(a)
‘como la recta que pasa por Py tiene por pendiente ef número fa). Su
ecuación es

y = Falk 0)

La recta tangente de fx) = x en P(2,f(2)) iene como pendiente (2)

Se reemplaza (2) = 4y f (2) = 4 en la formula de la ecuación de la recta
| tangente:y = 4= d(x = 2) y se grafica (Figura 441)

125. Pensamientos variacional y espacial

8.2 Recta normal

La recta norma en Pes areca que pas por Po, o) ys perpendicular

la tangente es dect tiene como pendiente el número — Fig; por lo que

y-10)

Fat?

Hay funciones, como tx) = X en x = 0, que tienen tangente vertical en un
Punto, aunque no son derivables en él. De esta forma, puede identificarse el
«concepto de función derivable en x = a con el de existencia de una recta tan-
gente no vertical en Po, f(a)).

zn
Las ecuaciones de la rectatangente y normal a) = Ox? + 1 en PC.)
se obtienen calculando (2). Como, (2) = 18, entonces la pendiente dela raras
| rectatangente en P(2:18)esf'(2)
© 0) im U m +1 18 pg te 08
Per 7 22
im „mL DEIN a tn ye + 2x + 4) 12
arr CU rer, a

Por anon ecuación dela recta angente es ~ 18= 12 = 2} cuales
equivalent ay = 124 06
La pendiente dea recta normal es

= vo)

| recta normalesy-18
Observa la Fgura 442.

emp
| Par halla las ecuaciones de las recta tangente y normal ala curva de
| ecuacion f(x) = 20 = SP + 3x en = —1,secalalaf(—) = 11

| Seka O

$ De donde tin BES tr oy (2 2720)

AG = 2-17 = HN) + 10 = 19 La ecuación delreca tangente

| y = ct pedia dla recta nomales~2 ya enn
ly.
AA
i © Observala Figura 443

126. ión geométrica de la derivada

8.3 Teorema del valor medio o de Lagrange

E teorema del var med esablece que sie na fun connu en
[ably dervate en 6) ise un puro cpenenee (a) que
ro= 12e
La inerprracón geoméxica de teorema dl valo medio india que hay un
parao en el quelatangemes par secace (gure 44)
ES teorema de Role un caso parar de erema del alr medi, en el
que fla) = f(b).

Be

| Paraversiesaplcableelteorema de Role ala función 69 =
{0.5} Figura 445) se procede ast
El teorema de Role establece que para una función f que es continua en

1a b).dervabe en (ab) que además cumple que fa) = f(b) exit como
mínimo unc € (ab) cal quef'(2) = 0.

= 84 6en

Debe verificarse que la función fcumpl todas estas condiciones.

| + fes continua en [0,5] ya que por ser polindmica,escontinuaen todo R.
+ Como fes derivable en todo R por ser polinémica, entonces es derivable
en particular en (0.5).
+ Debe verifcase hora que (0) = A).
Efectivamente 0) = 0° 5(0) + 6 = 6yfS) = 5° — 5(5) +6=6.

Luego, se puede afirmar que satisface el teorema de Roll.

| Para hallar el punto € para el

cual f(@) = 0, se deben en-
“contra ls valores x que anu:

| lan a primera derivada de la
función

Haciendo el cálculo, se tiene

© quef'(e) = 2x = 5,siseiguala

| a0seobrienequex = À

| Eivalor de c que se busca es
ei.

2

127. Pensamientos variacional y espacial

O cata ccucion de area angen cu ue

YE va enel punto indeada, Comprue tu repuesta
vazando a fea dela funció la dea eta tn
pene

210) =x + en AGO)

boa) eng)

Runonariente
© ac js ange ala cura y = 6) en

E el punto PC. J(2)) pasa también por el punto
Q(=3.0) sabiendo quef'(2) = =1

© Hist os puntos de inerscció delas funciones
© g(a) = xy fi) = +. Comprueba que en dichos
nos a cangene af) es perpendicular ala fun-

cône) = x

O esta ts canciones de ls rc anges

À à à gifs de 0) = 2 iz desde dl pro
P(1, —2). Representa gráficamente la parábola y las
dos tngres bend.

Resolución de problemas.

O tee y resuene

$ Sea) = 2 + ax + 6 Hala los valores de ay
par quel rca = sen agente agan
el punto P(2, 4).

(O Ura parila semueve Lago dela rica de a

ES a
cura y = 2

parax> Lene pur fe y)
iF
1a abandons y gue desplazándose al go de a
recta anger à ch ca

a. Halla I ecuación de dicha recta tangente.

Sie desplazamiento es de izquierda a derecha,
encuentra el punto en e que la partcua inerse-
caaleeX

¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función
© fo) = ben 0.4? bola

© Vera que se cumple el Teorema del valor me
A do para fi) = 26 = 7x + 10 en el imeralo
{2.5}

© 14 posi de un bjt que se mueve en nes
© rca ec dé por fron) = 28 + 1 don
des exá mes en mesos ten segundos.

a. Determina la pendiente de areca en un pun-
to rbirario.

bo Calcula la velocidad insantánea del objero
paat=1syt=5s

© Una partícula se mueve en el plano XY à lo largo

À de la cura de ecuación y = +9. En d punto
(4,5) abandona la curva y Sue por la ca tan-
gene icha cura
Caleta el punto R del eje Y po el que pasar a
partícula Es algin ouo punto Q del cuna
cal que a recta angente al curva en el punto Q
cone el je Y enel mismo punto R anterior?

© sei lea del ángulo de a gua 446 lor
À ado poled abscasylsrecastungentey
normal a la curva y = x + Ten el punto P(1, 2).

(O vera quese comple Teorema del valor me-
WF dom) = +22 Ten deal (021)
suena odos los meron quelo face.

128. Pensamientos variacional y espacial

Derivadas sucesivas y derivadas laterales

¡empre a deradadeunafun: 9.1 Función derivada, Derivadas sucesivas

A partir de la gráfica de y = fx) se puede con-
ui quela tangente en los puntos de abscisa1y
3 es horizontal es deci (1) = 0.3) =0,por
lo que a gráfica de y = f(x) corará el eje X en
los puntos deabscia1y3.

Six < 10x > 3, la pendiente de a tangente en
la gráfica de es posa por lo que") > 0

Asia gráfica de y

(x) será como lade a Figura 448.

Si 1€ x < 3 lapendiente de a tangente es negativa, es decir f(x) <0

La funciôn que cada número x de dominio de fleasigna elnimerof (es
exit, se denomina función derivada de fo dervada def suele represen:

Foss? tarseconf”. También se puede hablar de la función derivada def es deci,

segunda derivada de

De forma análoga se definen las derivadas tercera, cuarta.

de la función (f(x). que suele representarse por") y se conoce como

y de cualquier or

den. En general la derivada enésima, representada por "(se define como a

“derivada de la función fr") es deci f° (1)
para cualquier número natural mayor que 1

106 Formula vida

Ente ora aplicaciones a segunda derivada es muy il para estudiar a forma

dela gráfica de la función y en concret su curvatura,

9.2 Derivadas laterales

Hay funciones no derivables en x

+ La derivada lateral de x) en x = a por la izquierda si existe, es

or) = tin 241)
E77

porque no este im +) 0)

use iy 9140) m +0 I ga

+ Análogamente la derivada lateral de fx) en x = a por la derecha es

or ay esd

+ Una función fes derivable en x = a, y solos exstenf'(ar)yf"(a") y estas

son iguales.

129. Pensamientos variacional y espa

emplea
past

3

Dela gráfica puede deducirse que no hay tangente en
| Sih 2 0 secalcula'(1),se biene el siguiente resultado:

—142,0960 = m ADD

MET]
Po oser
! \—2 aes 0 tn ÚRICO
7 2 nr
EDEN]

Como los mites laterals no coinciden, no exist im A2

AAA

e AA
CESR 5 Dos ates
joe art De Rampe ones
ss daten = Ode sien
OS tn
= A

sf detvable en x = 0?

© acai ts deadas areas en x
$ «= 2 dad funn

(O catia as devas teles para 9 = I en
Y = 0 y decide su denabidadendeho puma

pr, six<-2

ir tas "rss

del a 4, s0<xS2
[ax 31. a>?

¿Es derivable la función en dichos puntos?

© cis by para queaunciónseadesableen

rojo =fldyfienddetrice | @ Hall ls devadas rene enx = Ode a función
i mn mie

@

130. Pensamientos variacional y espacial

¿Chál es la pendiente de una
refra cuya ecuación general es
Ad 59 = 8 Quéindicaesa valor

Analiza
és debe analiza ia función

shi es continua y derivable
el punto (0,0).

Cálculo de derivadas

Pee Sco i ie ear

En ela se observa que, a pesar de que la función es continua en (0,0) por ese
Punto noes posible azar una recta tangente ala curva

10.1 Continuidad y derivabilidad

Existe una importante relación entre la dervabildad yla coninuidad de una
función en un punto, que es fundamental para la demostración de las reglas
de derivación

Sifes una función derivable en x = a, entonces fes continua enx = a

Comprobar ese teorema implica que debe demosrarse que im fs) = fa)
a, lo que vine siendo lo mismo, six = a + h entonces se demuestra que
lin lle +h) - fa] =0

= fl)

Sih <0 seescibe sla + n) ~ fa) = eh =)

NL) pe donde

je AHL) ie 0 0

ua fo +9) == fl =,

10.2 Derivada de f(x) = x siendo n un número real
Para har ese resultado se apical definición de derivada para un punto x

eine

(etn ae

Desarrollando (x + por el binomio de Newon:

FEL gy He Ha yo

= ES
im 5 Po

En general sf) =, emonces (x) = ne.

mal
Par halar a derivada de a función f) = Vi haciendo us de resultado
| anterio e puede eset función deforma fi) =).

131. 10.3 Derivada de la suma y de la diferencia de funciones
Si y & tienen derivada en el punto de abscisa x entonces la función
6) = fa) + a) también dene derivada en el punto de abscisa xyes:

FO) =f) +86)

La demostración de este resultado se obtiene aplicando la defniciôn de deriva

daim FA] = Flo En caso de la derivada de una diferencia de funciones.

se cumple que, s Fe) = lx) — 80) entonces FW) = 00 — El).

plo
Observa cómo se calcula la derivada de F(x) = fle) + gx) con fix) = 2 y
| a=.

500 = fos) + 860)
FO) = £0) + 80)

Be +24

10.4 Derivada de F(x) = kf{x), con k un número real
Sea kun número rely f ura función devableen x = entonces exite yes
derivable a función producto de pork

SiFO) = kf) entonces F(x) = kf".

Con estos es clclos de dervadas elementales se puede obtener deforma

inmeciata la derivada de cualquier función polinómica

SAN = aye-ta,_ #7 +. tax + ax + a,entonces:

FQ) = nage + (n= Ve, 2+ + 20K +,

La derivada dela funciôn fx) = 4x sf") = 5 (= = 20x,

La derivada de f(x)

| Aleectuar las operaciones y simplificar se obtiene:

ES

bad

emos
| Laderivada de una función constante de la forma fx) = kes 0
5160) = fox entonces ft) = k

132. Calculo de derivadas

10.5 Derivada del producto y del cociente de funciones
Sify gson deiablesenx = a, entonces exis yesdervable la función pro-
ducto def yg cumplizndose (=) (a) = f(a) la) + fo) a").

Siglo) # 0, ambien existe yesdervabe. a función cociente ene y ges

dee

- Essen
| + Sise tiene que f(x) = (3x + 2 + 7) y glx) = (Se? + 3x — 1), entonces.
Fo) = fle) * gb).
¿Luego
f Fo) = (120 + (Se + 3x — 1) + (3 + 2 + 7)(10x + 3)
Spates vate ints cen
| spa + ape one ono

U pg = GEIB Ue af) 96 (4 060)
FA Ger se

10.6 Derivada del cuadrado de una función
Dada a funciön fx) continua en a se apica nuevamente a definición de der-
vada para deducir el valor de (°) (a).

tn] asen fia+ nil)

= fett
= bern mel

Como f es continua en a entonces inf {a+ )+ lo)]=2/(e) por lo que
FY 0) = TON

empor

Para lara detada de a función Wa) = (3 + Sx 4) (2 + 5), se aplica
enter correspondiente: es dec fg)" = f'8 +f-8 y la derivada él
cuadrado de una función

Sse considera f(s) = (+ Se + 4) y) = (24 + 5) entonces

| D 5 208 54 Mc + 5) por ser demada del cuado dura
función.

810) = 220 + 5)(8e) por ser la derivada de cuadrado de una función
("= Abe + + AM + SN + 5) + (Be + Sc 4? 220 + SNE)
Y = (BE + + AND + SIG + SO 326 + 301425)

133. Ejecitaión
O tists derivada des funciones adas
Basse

b fo = = 3
«fo = +

Ad = HR x + Ge — 2)
© fo) = (r= 45 = 39)
DOTE)

© cac a derivada dels siguientes funciones
Bs fo) =~ GE x + 4)

MO ri
© caca que se india en cada caso dadas as fun
m clones fo) = + 2 + Tyg) = =

ar HE
or ee
(0 O]

; st
e El to h. el»

© Deine oros la función) = mil
ESTO

Modelación
@ pesen na clado go a compute

® dortafunción td yaproxima los puntos

ret
cen los que su gráfica admite una tangente parallaa

la bisetrie del segundo cuadrante.

Razonamiento
Demuestra est sencilla fórmula que dla derivada
“A segunda de un producto:

CESEN ete

O Sunón que yg son funciones dervabies en todos
À losnúmers reales tales que
1.0) = 17400) = 0 iy") = 8000800 =f)
2 Seas) = 09 + 0) Calla (0) y ua el
resultado para probar que (a) + 8) = 1 para
codox
bs Supón que FyG son ao par de funciones der
‘ables que verícan iy considera la función
Kx) =) = FI + Is) — GOOF:
Cale (0) y ut el resultado para decidir
que relación este entre fy y entre gy.

© Muestra dos funciones) y que verfiquen iyi

Kesolución de problemas
O ex) =D: donde jy son funciones de
e sables
a. Encuentra fórmulas para h'(x), h(x) y h"(x) en
rérminos def. g y sus derivadas.
ba ¿Tesageren sos culos alguna expresión para
hallar hi?

(@ considera una función ¿RR al que
W fin +x) = f(x) flx) para cualesquiera x, yx,
iis) #0
fo =
a. Demuestra que (0) = 1
x, = en dite

Indicación: Toma x,
b. Demuestra que fx) # 0 para todo x
x, en eller

Indicación: Tomax,
«Prueba que () = fs) para todo número real x
dl Sea gorra función que stisfce las condicio

fa)
nes ity considera kin) = 2)

y ) En)
que kes ervabe en odos os nümeros aes,
y obrén ¿Qué ración hy ene fg?

Demuestra

134. Sf) = Sx + 3y gx) = x — LA
qu es igual 1609) y ef)? Son

El [nivel promedo de mondi
0] de carbono en ei aire es
Mr) = (1 + 06m) pares por
min (ppm) cuando el número
de personas es m (en mies) Sila
población en miles en el momento
{ede Pe) = 00 + 30 + 058%

+ Bares el ive de mono de
chrbono como una función del
terme y aca ve de mo
xido. de carbono ent = 5.

Derivada de funciones compuestas e inversas

Para expresa el monóxido de carbono en función del tiempo, se requiere eta-
blecer la función compuesta M P, dela siguiente manera:

(MIP) = (400 + 30¢ + 05)
+ 08400 + 30e + 058)
241 + 18e + 038
Para = 5 MUP(S)] = 241 + 18(5) + 03(5) = 3385 ppm

11.1 Regla de la cadena
El resultado fundamental para obtener la derivada de la composición de
funciones se conoce como regla dela cadena.

Siges derivable en el punto x = a yes derivable en gía), la función fog es
derivable en x = a.y su dervada es
Ugo) = Stalag")
Cuando se aplica la regla de la cadena, es necesario reconocer que la función

dada se puede reescribir como la composición de dos funciones elementales
simples.

CE
| Dada ls funciones fa) = 2 + 3 400 =
| of = abe +3) = 6e +3)
En este cso s se considera = À + entonces
atu) = vy) = Sut?
| Reemplazando el valor de enla expresión anterior se dene
EL) 562 + 3) = Ge + 2)

é, e iene que la composición

11.2 Aplicación sucesiva de la regla de la cadena

Si una función se obrene por composición de tes o más funciones para ob
tener su derivada se aplica a asociatividad de la composición y La rega de la
«cadena, Por ejemplo, sie) = Y ga) su derivada e calculará como:

JD = Gesch’) = TE] eT] hGH)

Bemplo2

Para calculr a derivada de js) = (3x2 -+5 se puede escribir

À = Wege hi con fio) = ige) = Jr + Sy ht) = 3x = 2
100 =%r2 +5" E

Fe)

135. Pensamientos |

11.3 Derivada de funciones inversas
Se sabe que s la funciones fy J" son una la inversa dela ora, entonces.

CNY = x
Además, us gráficas son imétricas con respect al bisects del primer cua
“tante, por lo que, sf tiene tangente no horizocal en el punto Pla, (a).
“entonces f”* tendrá tangente no vertical en el punto QUO), aes deck,
if a) 0 enroneesexscrä YY)

Para calcular la derivada def”, inversa de fes conveniente aplicar la regla
dela cadena ala función (ef) = x As dervando ambos miembros de

la und se bene.
IPN
Porto aan]: (YG) = 1.
De donde: ,
O FOI
2

La inversa def) = dy esy = (Figure 453) Luego, (ef) 0) = (ap x
Al deta ea ima expresión aplicando a rel dela cade en a función
de ado quiero de a ecuación se obtiene ea igualdad

1

aho Alay = porto que) ==

a
Si fes una función derivable en R. cal que (2) = À para determinar
la ecuación de la tangente a f(x) en (1,2), se sabe que (/”)"(2) = rt

gh . Ta
Ash = hv comofit) = Zemtoncest = 2)

Luegof!(1)= 3, por lo que la ecuación dea recta tangente es
y~2=3e~ Noy=3e— 1

Ejemplos
Sean f0 = À + xy gsuinversa, calcular (2)

En este caso no es posble obtener una expresión para g Sin embargo. noes
necesario ener cl expresión para calcular (2).

En efecto, como ( 2 fa) = x es deci. g(x + x) = x entonces al aplicarla
| regla dela cadena se tiene:

H HEN

| Si + x= 2emoncesx
ga

1 de donde se concluye que:

esto sg 2) =

5

espacial.

136. Pensamientos variacional y numérico

Derivada de funciones compuestas e inversas

Evalúa el valor de hlg(1)] sg y h son dos fun:
ciones definidas como gln) = ="? — An? y
HO = 78 + 6 + 360.

"Aplica regla de la cadena para calcular las deriva-
das de las funciones,

a. fo) = (17
b. fa) = — 28 +x 3)
cf |
4. fo) = — 1) firme
Sift) =) = ET = foe?
¡Deriva las siguente funciones compuestas Escribe
© todo el procedimiento.
3. fle) = Ge — 48 +2
Bf = Frs
COLE

ao)
at

$

e.

ES

£40) =

8/0 = 200 (25 9)

N= RE

Lee y responde.
2 Sift) = ya) =

2 paces ares
dex se cumple que (fo g)(x) = (gefixt

Ib. Sist) = x y gx) = x + 2, ¿para qué valores de x
se satisface que (fog) = (gef?

O Hala = 210 y NO) 5 fe) = 2x yale) = 2:
"E Luego determina la dervada de las os funciones
que obtengas

O kesponde,
© sits) == par x # 0 a qué es igual (Fe!

O sis = # + 3y8()= 073 responde ls si
$ viene preguntas.
à Kui eel dominio def
{Cul esl derivada de fog?
€ Kuleeldominiodegep
4 ¿Cudlesla derivada ce ge?

O ee ese

À à. Sesabe quef yg están definidas en el conjunto.
delos números reales y ces un valo constant,
tal que fix) = ox — 3y gb) =o + 5.
Si{fegXx) = (4 + 60 para todos los valores de
eue var de?

DS) = maria) yg

ale 4

© compructs, uslzando la devada del función
A inves, quel dervad de a unción 6) = de

w= +.
fe
O Gaita ecuación dea tangence aj) = YF end

'8 punto de abscisa 32, previa deducción dela derva-
da de dicha función.

© Catia valor dea en cada caso.

Maf@=s 10-2 (YO
bf(-D=4 = rye
fle Os FY=6

© cac era enx = 11 deta ines dela fun
e cidn f(x) =x.

137. Encuentra ladera de las funciones compuestas
e [(feg)eh] y de [fe (ge h)] dadas f(x) =x'.g() = 2x
y Ho) =x 2, compas
tee y sueo
8 Lag - 9) = #0) - fo) seme es
«cierta. ¿También lo es (x) ° atx) = a(x) 2 fo?
b. Para fix) = 3x + ky gtx)
el vaor dek par el que flat
Ia dervada comespondiente,

ay hala

Ejectación |
(Hala ecuación del tangente ao) = [pen
..-0
Determina ecuación de arca targente aa
+ fica de las gentes funciones en el puno quese
india

219 WEF enx = 4

b 6) = PT enx= =5

10
s

unge

© ra gta dela inves deta unción cuya
À fase muestra en a Fura 454.

2Yenx=2

3

(© Hata a deriada de lasinversas de cada función
9 3.4) = 54
bf) = +2 para fee BIx2 0}

= Toro
afoo=e+5
fe) = (72

À =~ 3paa ke Reso}

Resolución de problemas
© a són R en la cal na rec química pro
SE grea es gala VF, donde Y esla temperatura 5

T vara cone tempo t de acuerdo con la fórmula

= GE encuen rain de cambio de 7

con respectoat.

@ La proporción Pde semis que grminan depen

À de dela emperaur Y de so Supongamos que
taj cias condicones P= F y que Y vaa con
respect ala prfundkad dex debajo de a super
econo = EL encuen la aóndecam-
blade Peon exe a a profundidd

@ € número de vendas por ño (N millones) de
© pende de la tasa potecaa de mens aa de

acuerdo con la fórmula: M) = ea.

a
Sn

meses, calcula la casa de cambio de N en t= 6.

en donde t ese iempo en

Evan del aprendizaje
Oia opein KO = € + 23 convene a
Y tempera Cebius à Kei mientas que
ce) = LE — 32) cone la tempera en
ses here a co
Escielafucón compueta que comer la
‘opera Feria Kn de

(O cuen una tom par acl a dada
à dela func) = de paranimpar utzando su
funcónimvesa Apia lead obtenido para
«calcular la derivada en x = 5 de la función.
(O compet que en gener las derivadas de fu
À cores ines no son veras ene dí Ua
paraclolaancions/le) = x= Oy gl) de

138. Déscribe las caacterísias de una
fubcién exponencial, ¿Puede tra-
Zalse una recta tangente por cada
ro de sus puntos?

Mo compró un autom! nue.
que le costó $ 25000000. El
ao se depreca 15% anual.

scribe una funciôn que muestre
démo baja el valor de auxoméniL

Derivada de funciones exponenciales y logaritmicas

factor de deprecaciôn para d valor del auombui es 1 — 015 = 085
y la ecuación que muestra el valor de la pérdida de su valor es
y = ab‘ = 25000000(085) en donde yes el valor del automóvil y xeseliem-
po que ha pasado desde su compra,

12.1 Derivada de la función exponencial: otra definición
del número e

Sise considera la función) = aa > 0, su derivada ser

+)
»

cime

ar

Por tanto la derivada dela función exponencial f(x) = at es proporcional à
dicha función, siendo la constante de proporcionalidad el número (0)

{Habe alguna función exponencial) para la que (+) = fi) e decir para
la que la constante de proporcionalidad (0) valga 1? © lo que es lo mismo,
¿para la que la pendiente de a cangente en (0,1) valga 17 Geométicamente,
esto supondría que la tangente en PO, 1) debe serlarecta y = x + 1

Los puntos O.) y Q{h a”) dela Figura 455 son las intersecciones de as fun
comes y = x + 1yy

A pertenecer Q a ambas funciones, se cumple que a! = 1 + hi luego,
+)

Larry

+1 ser tangenteala curva y = a si Qende a Pes decir sh

se aproxima a 0, Cuando esto ocure el valor dea ser a = (14:1)

Sin = 1 decirque h => equival a esibirn—> +22, por lo que

El número e esla base de la función exponencial fx)
5100 =100).Es deci si) = e entoncesf(e) = e

@ para la que

A parir dela derivada de ees inmediao calcular a derivada dea función ex
ponendal/() = aa > 0 Para elo, se escribe a como er er,

10

por lo que, aplicando la regla de a cadens, se tendrá que
109 =e Ina luego (a)?

139. ra
* Para halla la derivada dela función f(x) = e* 2" e aplica la derivada de un
| producro yla de una función exponencial f(x) = (e)! +2 +e» (2)

Asif") = er + eR Ina) = +2 (1 Im)

Semple?
> Para hallar la derivada de a función g(x) = aa > 0 se utiliza la regla dela
cadena y se absiene como resultado g(x) = Ina f(y).

AA aplicar lanerior resultado al función ga) = 2° seobtiene lo siguiente:
810) = 2+ In -5 = 24-5 +2

12.2 Derivada de la función logarítmica
La función logartmica natural fe) = Inx con x > 0, es lainversa de la función
exponencial ge) = e, es deci ff] = x 0 lo que es lo mismo e
A derivar ambos lados de a igualdad y aplicar la regla dela cadena, se obtiene
(ey = 12 eng! = => fn = 1

1

Por tanto, (no)!

En generals = In entoncesy'(x) = 1

A partir de esta derivada, se puede obtener la cortespondiene ala función
logarimica de base a > 0 La forma más cómoda es escribir log, x como un
logaritmo natural mediante un cambio de base, En concreo, slog, x = L.en-
tonces. = x por lo que:

loge = Line Porta

tina = Inx es deci,

Sif) = log x entonces (0)

es

| La derivada de g(x) = log, fix) paraa =p
La derivada deso) = log. J) para > esate) = Lh fad
Al aplica este resultado yla rela de la cadena ala función

eben cts =

Ejemplos
Para alar la devada de) = Il 2£) se procede si

£0)

140. Pensamientos variacional y numérico

Actividades de aprendizaje

Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas

Hala a dervada de cada función.
af) = In +) bf60 = eine
=) are)
0) = vine 1.0) = 5x log

Decide silasdervadas de (x) = e-*y gtx) = e"
son iguales.

Cua mido isn dat dt
ee

(O ita evades squires fuionesy
À 2 ui com ada ina cdo pal

adora o sofware especializado.
ajo) =e bso) = Re
nen df) = 10"
ese se by) = se

. CO =n
tangente horizontal?

'zonamiento
¡Calcula la derivada de fx) = In + 1).

Calcul a ecuación de la recta tangente ala curva
delafunción fs) = Inven elpumox=11

Determina los valores de x para los que se anulan as
riadas de as siguientes funciones.

af) mex 4 be

ESO) =xine—x

(O til dead cado unción y decide ise
A anula en algún punto.

200 = me 1.60 = (ra)?
6 f) = BER) dt) = Ine 4)
ef) = nse JO = tr + log, x

© Hato dera de cada función yla desu inversa

nt fo) = E
EN) = ine 4. fs) = to)
ef = log +1) E
DO nfo) = +

@ «erin en cui pun de ges de furcion
à 2 rca ange ere ura pendence 23

Comatesièn
D responce ¿Cómoson'ss gas delafuncióne y
indes dera

(Qs y son. Una ea con perder pss

1@ porelorigen yes tangente a la curva y = ln ¿Cuál
sel valor dem?

Ejercitación

© freuen I derivada de caca funció en el punco
Sesenta.

af) = 26 = xenx.
bse) =x ~Senx=2
CH = In = 3'enx = 3
J) = 6-5 + log xenx = 2

141. Best de problemas
una sistance donc con una masa ical
À Ge cinco gramos tiene un vida media de 20 das
La función que muss lacada estante de a
sisanca,engamoscomourafuncóndelenpo
tends ee AU) = 57)
2. Copia completa a Tab

b. Escribe una expresión que mues la cantidad
restante A, en gramos, como una función del
tiempo ten minutos.

D ¿cua es ta diferencia en la razón de cambio de las

funciones e a forma y = ben os casos enlosque

0 <b < 1 yen os que D > 1 Apoya respuesta
con gemplos

DE número de vs a un si web se duplica cada
$ semana Cuandola webster cominea mono
reo hay SO ita
a. Escibeuna expresión que relacone el nimero
de Vitames encino arpa
bi ¿Culos vanes hay en so web después
de cua semanas?
€. Encuentra a razón de cemento dela vistas
depute de cua semana.

© un blog sua eincemen de la poblacón

deunineca La población dest io de msectos
Sep ada semana Supón que nicalmence ay
100 insectos y que su población sue rend a

a. Hala el número de insectos después de cuatro
semanas.

bo. ¿Qué tan rápido crece el número de insectos al
Final dela cuarta semana?

A

a. Busca aros para responder elinerogante
1 Desarollunmodeo para mosar la población
encieto tempat
€: Ua tu modelo para predecir la población mun-
dalen laño 2028
is este modelo sosene a argo pro? Qué
“arable podían car esa tendencia?
© La ia media det C14, un oropo de carbono, es
© 5700 ños Eso sia que una muestra de Cs
se perderá en 5700 años S una muesa og
ral contiene 4 gramos de CH a expesón para
A = Aa ni cantidad de CH que queda
det aos 6a mues. ¿Cuántos gramos quedan
dela muestra después de 102805?
QD La vetas en dlrs VI) de un producto en un
“A erp ein das pora expreión:
200
VO are
¿Cul fea vera nal es dei cuando
b. ¿Qué ocurre con las ventas del producto a medida
quepa depor
«Encuentra a ran de cambio delas venas en
función del erp.

Evalvacion del aprendizaje

© Catia derda de ada funció y decide se
Wana enalgin pro Explica urepuena,

bs) = xe

a)

dns)

142. Pensamientos variacional y numérico

sus inversas

cuáles puntos de a gráfica de
lafunciónserx se puede trazar una
recta tangente que sea paralela al
een?

FU cam eécuica Q que ara-
se vn dew code
Fe ed dada por la expreón
E cos(ut),sendo A yw
la incensidad 1 e la corente
Indica la rapidez con que varia la
ara Q que atraviesa la sección
e conductor deduce losinsan

en que les máxima y minima,

Derivada de las funciones trigonométricas y

La gráfica de a función Q se muestra en la Figura 457.

Al estudiar las pendientes de as rectas tangentes a la curva, se deduce que la
on

pendence möcna ocure parat = yla minima pra

ste resultado se puede obtener calculando la derivada de la función QU), ya
que Q'() = 1 y determinando los puntos máximos y mínimos dela gráfica
correspondiente En ste caso Q'() = Asen(ut) y por tanto los máximos y mi-
rimos del seno se corresponden con los valores en os que se anula la función
coseno.

13.1 Derivada del seno
Siseaplcala definición de derivada ala función (+) = sen, se obtene:

pte

Fi P= fad

. Fr mM Fü

E
2 2

El primer factor es cosx, puesto que la función coseno es continua, y el segundo
es porquet 2 Por ao sr! co
Semple
Para rar a unción fi) = see + 1) hay que tar que s ua de
una union compuestas que se dera picando aga de cadera, de
| mod que = conc +1) "6 = Sos + 1)
13.2 Derivada del coseno
Conon a dada de función sen e ae dada dea función

‘coven recordando que coax = sol = + yepiando la rela de a cadena:
(cosa) {fs -1]
2

BE
La función f(s) = cos'(3e + 1) es compuesta, pero además hay que tener
en cuenta que a función coseno est elevada ala potencia 2. asi que su de-
vada se halla aplicando la regla de a cadena as:
56) = 2eos(3e + 1): [=sen( + 1)-(69]
i —12cos(3e + 1): sen(3e + 1)

143. Pensamientos variacional y numérico

13.3 Derivada de la tangente
A partic de las derivadas del seno y del coseno, y teniendo en cuenta que

tanx = S22 ce biene:

(on = Et semen) cove + sg
Bien)

Para dervar a función fe) = (+ 1) tan(2x — 5) se aplica, además dea
derivada de un producto a ela de a cadena at

FO = Gt na 5) + G+ 1 an — SN

UI = 1+ tan 5) + (+ Dex — 5-2

PO = tan = 5) + 2e + D sex = 5)

La derada do) = ent sf) = cose
La derivada de f(x) = cosx es f(x) = —senx.
La dentada def) = ant es) = sce = 1 ote

13.4 Derivada del arcoseno
Para obtenerla derivada del arcoseno se parte de a relación sen(acsen
que indica que el seno del arco cuyo seno esx es naturalmente,x Al derivar y
aplicarla regla dela cadena a sta igualdad se obtiene

[cos(arcsens)larcsene) = 1Ast(aresens = =

Lcomoen linenalo

dd eid a cum |

(Figura 458) puede escribirse cosarcsenx) = VÎ=Tsenresen = ia
Por tanto farcsenxy
Fr

| e coso nunca es repo,

22

La derivada def) = arcsen se calcula at

10 —— (2)
HS) cs

144. cional y espacial

ro

CET

De

Derivada de las funciones trigonométricas y
sus inversas

13.5 Derivada del arcocoseno

La derivada de la función arcocoseno se

obtiene de la derivada del arcoseno y dela

relación ars = À = arcsenn ya que al
E

Eh ¡EL

N

Ejemplos
Para deivar la función fx) = 3arceosi +05) se aplica laegla cela cadena:

=

re +05)
£0) = 3: — a
dl A era

13.6 Derivada del arcotangente
Su derivada se calcula con el mismo procedimiento queen el caso delarcoseno.
Al derivar tanarranx) = x se obtiene (1 + tanaretana)farctana)’ = 1, de

dondese cone que canst = Ta

- |
La derivada de ha) = x» arcran(S) se obtiene aplicando la fórmula dela
derivada del producto:

i) = 09) + arcane) +. can)"
M = 20: arcas) + [rs] se
i) =2x arcano + [re]
La derivada de f(s) = arcsenx es fie) = EN para xen el intervalo

un

La derivada de fle) = arecose es 6) = para x en el intenalo
un vr

La derivada def) = actances 0) =

|
|

145. Actividades de aprendizaje

eran
(O cata ta ecuación de recta tangente a gia
2 delafuncön/te) = sencenelorgen.

© Catala derivada dey = arccorans

[Recuerda que cotx = 1

Modelación
© ss funciones igonométrics seno, coseno y tan
9 gente, esán asocdas ala circunferencia gonio-
méxrica De manera análoga. la ipérbola tambien
tiene asociadas ss razones igonométias.

Seno hiperbálco(8c) senhx

7

coverage (oncom LIE!

sen

come
Sixes era coloreada en la Figura 457:

Tangente hiperbölca (AD} tan

a. Representa estas funciones con una calculadora
gráfica sofware especializado.

Comprueba que cou = uni =
«Callas dsadas elas funciones tigono-

micas pesos
(O Escuela ecuación de ceca range a gré
a feade fe) = + en Jenx= 1
© cac drva ds ins funciones ig-
À noms ins

a. f(x) = aresen(e’)
b.f) = arcran(1 + x)

fo) = Varccosx

© cuenca la cc dea eta angen ag

© fica def) = E enx = +,

© corsa ncn erica en 1.2} por
© f(x) = [+ sen(mx) + w.
a. Escribe la fórmula para’ en [—1,0),(0. 1) y
13,
bo Estudia derivada de en yen ein.
prea gfcamentelos estado obtenidos
oki de problemas
à posén de una parca para cualquier
(m tempo € > 0 Viene dada por la spresón
SO 2m + cos)
a. Ha derivada de pra deena veo
cidad dl mb en cualquier sane

herraduras paid

©. Para cuáles valores det laparticula est en
reposo?

En cuáles valores de la velocidad dela par
ul es máxima?

€ En qué moment la velocidad es mínima?
Evalvacón del aprendizaje
Otncuenia 6 valor de x en el que la pere
à diene dela tente la cura de ecuación
y= Le = coscesgula2
(O Gata tarada de esas funciones tigonomé
à cas. Describe us procedimientos
a fx) = sen(20)
bf) = cos(x+ 1)
fo) = arsen(se)
de f(x) = tante)
EA = actan(ae +3)
ei
8 f(x) = sex
fi) = arecosíSx = 1)

146. Pensamientos variacional y numérico

les el gado de la función de-
rilada de una función polinómica
grado?

Marcela debía halla a derivada de
la función o) = xy lo hizo así

ON)
Esc bien calculada la derivada
lafunción fo)?

Derivación logarítmica e implícita

14.1 Derivación logarítmica

Aguas dervadas se pueden calcular fácimente aplicando los logaritmos y
sus propiedades Ese es el caso de a funcione del tipo ha) = fe), siendo.
10) > 0 delo cual se obtiene que hx) > 0.

La derivada de fx) = x se hala como se muestra a continuación

Info) =

LR nern bain

Seton ologrimosdecada

RE D pi

Se shan amor memo dea
ena

£100) = (re + 1)-f) = (Ine + dor Seco.

Por lo tanto, Marcela no haló de forma correct la derivada de la función

So) =x.

A este método de cálculo de derivadas de funciones se le conoce como
derivacin logartmica

14.2 Derivación implícita

Hay ocasiones en las que, aunque no e posible despeja y en términos de x si
se puede calcula su derivada expresindola en función de ls coordenadas de
los pares (y). En este cas, para obtener ys utiliza lo que se conoce como
derivación implícita es deci obtener la derivada sin tener que deja explcica
y como función de x

=
La ecuación de la recta tangente ala curva 19
| PQ. 1, iene porecuación y = 1 = y'(2\e = 2)
Para obtener (2) se utiliza la derivación implica,

PAR = 9,en d puro

| Entaespresón dela cuna y? — y +3 = 9,58 derivan ambos miembros

| dela igualdad aplicando la regla de la cadena:

Bar — y) +3
S59)! +) —2y +38 =0

* Esa igualdad es vida para cualquier punto de a cuna, en partir para
P(2.1.porloque2=5-1-y(2)+P=2:1-y(2)+3:2=3y() a
La recta pedida tendrá como ecuación

147. SEED

ado
(O seis mecane erñació logarimica sde
À das els seres fancones
a. flx) = (e + 1), conx > 0
bf) = x, con x > 0

© Deducelademadade/-gy £ medantederacn
© logarítmica. fygson funciones positivas y derivables.
O Hala la ecuación de la tangence a la cuna

$ © + y = 1300 (2 3) de dos formas urilzandola
¿derivación implica y despejando y.

© Usa adición implica par caler pendien-
Nee dela recta tanger al curva dada en punto
Geabschax
ae mans
xa +6

+2 sx 0

Ouai deinen implica para clar

> Se) side — [OF = 12

© Caca as dera dea siguentes funciones
Aa foma
bf) =
<6 fle) = x + sone)
ene

©1950 en cada caso que yes una función de xy
© halla y’ mediante derivación implicita.

artyes
y

ey = sente + 4)
yy tay
cone’

cos + cosy = ose + 29)
st =

he + y= 8

Modelación

(O a hoja de Desans & la ura que onesponde
À ala paca dela cuac» + = y neta
forma singular que sua ena Figura 462,

=
mE
sogrestcnenaono( Jems
pun ae
© Encuentra todos los puntos (x y) de la gráfica de
A srpr ce anti ecngo
esa bea ai

hey
“imi

ts gies dex - 9 + y = 3s tama lp in

+ ina. Encuentra los valores más grandes y mis
Pequeños que pueden omar cada ua de ava
Tables y gra 460)

(O cuenta cua e a eta tangente aa
À He de (6 + y= Seen pumo CL,

O Escena ecuación de arca tangent ala
e wea delafncén + Y women

148. Escribe un límite quel ser cal
‘uli aroje una expreión de la

a
y

Fee limite:
tr

Pensamientos variacional y numérico

Regla de L'Hôpital y aplicaciones

15.1 Regla de L'Hôpital
Ese it es indeterminado, porque im = 4 = Oy Imx —
cult se debe derivar cada uno de los painomies y leur el mie dela

incon resultante, Esto es: we
fw jante Esto es Im = im 2 2.224,

Sean dos funciones fy gales quetin fi) = oylim gh) = 0. Siege

2 exones ein IE se tiene que tim Lwin LLO
a Era ay 8

= 0 Para ea.

im

Conlahipbcessadicionalde que/" yg! seancontinuasenayg (a) # hips:
quese suele verificar en ai codos los casos la ustcació de est eorema
es muy simple Como" y gx son continuas en a exten) yo) por
lo que y 8 son continuas en ay como Um fo) = Oy im ga) = 0 resulta ser
Ko) = 0y (0) = à Asse ee que:

Sera 0er menso y dete Auf) ninasens
4 CI ESO
coll an DL oy re
TE TEN

tf ste

“iinet” Sei)

15.2 Regla de L'Hôpital en otros tipos de limites
La regla de UH6pitalesueeindeterminaciones del tipo 9 cuando = =.

sa fo

Site) =& ine) = Oy exe pm £ entonces een Ll ys

im £2) = im)
a ga)

149. Pensamientos variacional y numérico

Comunicación

Os formas indecerminaas de la forma 0 = se
"© puedenccalvarrescisendo el producto comoun
Eovnte y lego aplicando reg de Uta pra
formas indeterminadas como 2 o + Por ejem-

plo:

agp y Dg

Resuelve cada limite,

fier Ine

mol)

A)

Resolución de problemas
© La regla de LHôpial permite resolverlas guientes.
À custo indeterminacones:
Ses eme im LL se
Ur

+ aes un número realy el límie esdeltipo

as un éme ely imite dl po =
+a = xyel limite es del tipo ©.
yelmitees lipo 2
a =ayellnieesdaopo E.
Sissi econ de ñas even
fe um LO.
no Fy

Indica ies posible aplicarla regla de UHOpitaly en

«caso tal hall el limite correspondiente,

aim Keen
a

De tip BET
or

wns

ET

im ot)
Doro}

8 im et,

© ss ormasindeceminadas ipo - ave
À ces pueden else combinando los minos y
Tranpulndo read para produc una in
determinación como + oF.
Completa ecdculo delos une mes ut
fea us rocedmenes

ee)

Beim in = cos) = In fn

Evalvación del aprendizaje

Calcula cada uno delos siguientes limites.
ain
Te

bom 20
AT

<a = cos) = Inf)

150. Pensamientos variacional y numérico

‘Cro ese signo de las pendien-
teslaue pueden trazase sobre

la gfca de una función en un
intervalo donde es creciente?

£ saa se preguntas parara
À grade ura fncón se require
“ablar gran cantidad de puntos

+ ¿Qué herramienta de cálculo
Pérmiten trazar una aproxima-
ción de la gráfica sin necesidad
¡consu una tabla de valores?

Criterio de la primera y de la segunda derivada

Deer i che i oi aos SR Ra
en
Lan apa ne

16.1 Criterio de la primera derivada
El crtero dela primera derivada permite determinar los máximos 0 mín
mos locales luego de observar los siguientes hechos:
1. Cuando la derivada es positiva, la función rece
2. Cuando la deriada e negativa la función decrece.
3. Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo
local
Esto seobserva la Figura 465,

Sea una función ye un número en su dominio.

Siexisten a ybcona < € < brales que:

1. Fes continua en el incervao o, ).

2. fesderivable en el imenvalo (a,b) excepto qui enc

3 £6) pat prado < con (a nga pr odo > cn
(ab)

Entonces tiene un máximo local enc

Un criteri similar puede tenerse para obtener un mínimo Local. slo es nece-

sario intercambiar"posiivo" por "negativo,

Para determinar exite un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de

los puntos donde se presente un cambio de signo.

16.2 Criterio de la segunda derivada
Sea f una función tal que fc) = 0 y cuya segunda dervada existe en un
intervalo abierto que contiene ac.

+ Sif"(© > 0, entonces fc) es un mínimo relativo,

+50) < 0 entonces fc) es un máximo relative

1+ SI) = 0. este criterio no decide y ha de recur al cirio de I pri
mera derivada,

Sea una función cuya segunda derivada existe en (a,b)

+ Sif) > 0 para todo x en (ob), entonces la gráfica de es cóncava hacia
ariba en ese intervalo,

+51) < 0 para todo x en (a,b), entonces la gráfica de es cóncava hacia
abajo en ee intervalo

+Si(Gfc)) es un punto deinflexión dea gráfica de entonces "() = 0of" no

151. Pensamientos variacional y numérico

cs .
Duden gm BE! pueden ts dl rity
septs a silks tna de cios dh deoeor
ree aora
o cee pel laps bv pac alien] ct dorado
den pila
À Lime dada de 1 04 = (+= 2) El domi del es e
a caca prey
panda cmo o sino ie de además mol e
poe een

wae ne FO) = (1-2)
in

Para x

10=6

| AS parax<2,fesdecreciente yparax > 2,/es creciente. e deduce enton-

© ‘ces que en x = 2 hay un mínimo reluivo ques decrecience en (=, 2) y
crecieme en (2)

Para haar la concaviad y los puntos de inflexión, se half")

Como fl) = Xx — 2), los puntos de inflexiin se obtienen donde

JG) = 00 donde x) no exe.

x= 2esel nico posible punto de inflexión, puesf"(x) espolindmicay existe

para todo valor dex

=1< 0 y para x = 3 se tiene

Para x= 1,5€ ene que "(1) = 3> Oy parax = 3/3) = 3 > 0. Luego la
concavida de) no cambia y no hay puntos de inflexión. Un bosquejo de
NO se muesva en la Figura 466.

‘Actividades de aprendí

Resolución de problemas

(O Deseo ice de crecimienoy de dec
mina los miis y minimos los à conca

ón del aprendizaje

vidad y los puntos de inflexión de la función de la
Figura 467.

Con base enla descripción, decide en qué icena-
10554) yo) son positivas, negativas, nulas o no

(tas veras (en miles de dl) de una compañía
À se modean mecinte función
RO = 005% + 10c— 350 para un número x de
Aides vendas con = x= 15
a. ¿Cuántas unidades debe venderla compañía
par tee lor majors ner, cule se
ingreso? Tara un bosque de la ga.

b. La misma compañía ha determinado que su
función de costo Ca) sigue el modelo
C(x) = 08% + 20, donde C(x) escá en miles de
dólares yx es el número de unidades vendidas.
¿Cuánta unidades debe venderla compañía
para maximizar la tidad, ¿cuál es esa uiidad?
“raza un bosquejo dela gráfica.

152. Pensamientos variacional y métrico

Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

= debe tenerse en cuenta para

{ub un negocio arroje la mayor ut
lids posbler

Analiza
‘Anglia el crecimiento y decre
mibnco de la función y = m6)
cup gráficas

E Fara.

Fenner

La gráfica dey = mi) enla Figura 468 es creciente en los intervals (6), (e)
Y 6 y decreciente en a. (2) y 8) Como la función no necesariamente
toma el mayor o menor valor de su reconido en sos puntos, se firma que
enc y enfse presentan máximos relatives yen bey mimos relativos.

Sea una función definida en un entomo dea
+ 10) es recienten dicho entorno (Figura 469)
fla) < f(s), para todo x del entormo sado ala derecha dea {x > 0).
Ko) > fo) para todo x del entomo situado al izquierda dea (x < 0)

+ 10) decrecienteen dicho entoro (Figura 470)
Ka) > para todo x del entomostuado ala derecha dea («> a)
Ko) < Ho) para rodo x del entomo situado la izquierda dea (x <a).

+ 0) alcanza un máximo reacivo en a (Figura 471) s para todo x del en-
Toro se cumple que 0) > fs)

+ 16) alcanza un mínimo relativo ena (Figura 472) si para todox del entor
0 se cumple que (a) < f(x)

El crecimiento y decrecimiento de una función y sus máximos o mínimos
rélaivos poseen una relación co los signo dela derivada y su anulación.
Sea fla función representada en la Figura 473. Si es derivable en cualquier
Punto desu dominio se puede afirmar que:

+ SF) < en unentormodex, entonces as ecas tangente ala curva en
(fc) para todo x del entomo, excepto quizás en x, tienen pendiente
negativ, lo que significa que s decreciente en ese enromo (cualquier
entorno ala aquierda ce ala derecha de ey a a iquirda de)

Con un anal simi:

SS) > 0 en un entomo de x, entonces es creciente en el entomo,
(cualquier emomo a a iquerda de, a iquerda deb yaa derecha de)

+ De ora par, si presena un máximo o un mínimo relacio en x, en-
oncesf (x) = 0 puesto que la recta tangente ala curva en Pl, (+) es
horizontal (eto ocurre en x = a, be y).

153. Los resultados obrendos anteriormence se resumen a continuación.

Sif (x) > 0 en un encorno de un x deteminado, entonces es creciente en
dicho entomo.

Sila derivada de una función en un entorno de un punto dado es posta,
fas rectas tangentes ala curva de a función en ese entomo tienen pendiente
positiva. Entonces, para todo valor del encorno sucede lo que se observa en x,
para a Figura 474

Sifpresenta un máximo o un mínimo relativo en x, enconces (1) = 0.

Enlos máximos o mínimos relatvos la recta tangente la curva defeshorizon-
tal por tanto, la dervada en ellos será ceo (Figura 475).

Sif") < 0 para unentomo de un x detrminado,enconces es decrecien-
teen dichoentomo.

Sila derivada de una función en un entorno de un punto dado es negativa
las rectas tangentes en ese encorno tienen pendiente negativa. Entonces, para
‘odo valor del entomo sucede lo que se observa en x, para la Figura 476.

| Gemplo2

Para determinar los máximos y mínimos relativos y os intervalos de cre-
cimiento y decrecimiento dela función f(x) = 6% — 154 — 804 + 1 se
procede como se muestra à continuación.

Se halla a derivada de y se factoria para estudiar su signo:

10) = 300 = 600 = 2400 = 300 (8 — 2x — 8) = Bor + 2100-4)
‘Como (x) se anula enx = ~2.x = Oy x = 4,se estudia el signo def"(x) en
losinceralos cuyos exremos son esos valores usando la Tabla de signos 42.
Six < —20x > 4 entonces/'(X) > 0 Por lo tanto es creciene en la regiôn
JU +2).

Si 2 < x < 4yx # Q entonces fs) < 0. Por fo tant, es decreciente en
(-2.4)~ (0

As, sin necesidad de estudiar con precisión el comportamiento de la

función en las proximidades de =2, 0 y 4, se puede esbozar la gráfica de
y= f'),como en a Figura 477

En x = —2, la función pasa de creciente a decreciente así el punto
(2.S(2) es un máximo relativo.

En x = 4 la gráfica pasa de decreciente a creciente y por tanto, (4./(4) es
un mínimo relativo.

Aunque en el punto (0 (0) hay una tangente horizontal ya quef'(0)= 0a
| función es decreciente ala izquierda dex = Oy continúa siendo decreciente
| ala derecha dex = 0, por lo que dicho punto no es ni máximo ni mínimo.
el,

PA

154. Pensamientos variacional y métrico

Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

Oui la scr sions nee
moan

2. Sif) $ 0, entonces es decreciente en x,
b Sify) > 0 entonces fes crciene en x,
€ Sfes decreciente en x, entonces/'() $0,

R so
Con
los de crecimiento y decrecimiento de Las siguentes
funciones.
ANO =P +4 maes
Ow gráficas dels Aguras 478 a 481 corresponden
alas de las derivadas de ciertas funciones. En cada
caso determina sila función corespondiente alean-
Za un valor mayor para x = ao parax = b.

a b.
zee TL À
remos renos
€ a
| \
H 7 JA
res Fon

onsder a Fanci fs) = ne) que tene ls si
> [guientes caracteristicas:
1 La función 00 es continua demabley tiene un
méimoenx= 1.
OPUS
a Tene la funcón fun máximo enx = 1Jusiica
curespuesta.
lb. Si además sesabe que gt) = ax + bx + 6
‘calcula los valores de abc para que tenga un
Mminmoenx=0.

i

Comunicación

Once & comporamieno de la función

A fis) = x — 10n(—2%,0)y (0, +),

Herctación

© Araiza osintenalosdecrecimienoy decrcimien-

+ 10,28 como los máximos y los minimos de cada
función Luego enabiee a lación ene aca una

de els y su correspondent gráfica
a fo) = 938 bf) =x — ae
So) = sex - dicos
eo
PTE
1
v
2
+ 0%
Der ron
3 4
Feres ene

S

Oe + 14
zy / 8
si
7 por
une tenia

155. ción de problemas

© sea Tía) la temperatura en el exterior del carro de

'$ Pedro (media en gados Ces) dada como una
funció dela distancia oral que d condujo (medi.
dda en klómeuos) En a grfica de la Figura 490 se
muestra sa relación.

tao

a. ¿Qué temperatura hacia en el exterior del carro
cuando apenas se iniciaba el movimiento?

bo ¿En quéineralos a temperatura exterior au
ment y en cuáles disminuyó?

© ¿Cuál fue la temperatura máxima entre los ki
metros Oy 110?

© Maa Fernanda aad desde techo de un eco
$ um obo leno de au de foma era La pos
ción vertical dl gobo est dada por a expresión
Kt) = 35 + 301 — St? en metros, donde t es el tiem-
po en segundos desde que globo fue lado
à ¿Cul es loc M dl clin
at)?
Qué oes el bot En ua tempo
Jelogdeso!
€ En cui cempo gb goboal sud?

© Sion que a clac por encima del iv e
© mar de una caer está daa por lafunción:

x) = 500 + cos(;) + Wels),

en donde x eth en mils (m) Supön que x es
postva estamos let del punto inca de medida
y xe negative Siesamos aloese de al pun.
Sicomenzamosa 25 mi al ese del punt nil de
mia mangamoshastasvanear25 males del
Punto iil unas mias dl record seavanab
En ura pendente ascendente?

D La pain de cons {en cence) depués de +
"© años en ura cera fen sá apo expen
P(t) = € In(3t) + 6.
a. {Cu espa ina
1 Dexia sila població de cons decrece en
los dos primers ain

(DE peso de un wein nacido fn bra) durante ls
"ees primers meses de via puede modease me
diante la función w(x) + + = e 2x +8

en donde x ee iempo en meses. Deena Is

intervalos en ls cuales un recién nacido gana peso
y aquellos en los quel perde

Evaluacion el prend MMMM

(O) un paciene sá siendo medicado La concen-
# adi de medicamento t horas después de co-
menzareltrtamieno ven dada poa expresión
ce) = St ml
a Eneuenta CD.
Encuentra lazón de ambi nransánea de

laconcentracin cuando ==

© Encuentra razón de cambio instantánea de
la concentración cuando t= 1

4. Cuando t= 1a concentración rece o de
crecer

+ Encuentra la ecuación de a recta tangente
cuando

(Ora poacón de acer cece de ul ma
OF nce que pués de arses hres hay
P(t) = 2° — 218 + 60t + 3 gramos de estas.

a. ¿En qué intenalos de tiempo crece y decrece
la población?

bo ¿En qué punto se halla el máximo relato?
© ¿En dónde se ubica el mínimo relatvo?

di ¿Cuálesla población inicial
© ¿Cuáles a población en el máximo y el mini

mo telatvos?

e

156. Pensamientos variacional y métrico

Silienes un cartón y quieres cons-
ir una caja con este, ¿cómo lo

aris para que se desperdicira

menor cantidad de maceral?

Lun
{Lebnardo tiene 2400 metros de
ot
e
een
a ne
Saleh pres
en

Problemas de optimizacion

La Figura 491 muesra la situación
+ Hlárea A de este terreno es A = x
+ El perímetro que debe bordearse es 2x + y
Comosetienen 2400 metros de alambre para
bordar el terreno según se indicó, entonces
2x + y = 2400 de donde
+ El interval que debe considerarse es 0, 1200) pues a ser y una longitud
debe ser mayor o igual que cero: y
‘Como x también debe ser mayor o igual que cero, entonces se concluye que

400 — 2x = 0 y de ah x = 1200.

+ Alreemplazary en À se rene la función
AG) = (2400 — 2) = 2400% — 28

+ Para encontrar el máximo valor del función À se hala su derivada, se iguala
Oy se resuelve a ecuación resultante Por lo tanto, A's) = 2400 — 4
de donde, x = 600.

+ Elvalor máximo de A en [0,1200] se alcanza en x = 600.0 en fos exremos
<del incervalo as que se calcula el valor de A en cada uno de esos puntos

ALO) = (600) = 720000; A(1200) = 0
+ Enclinenval cerrado [0,1200] la mayor área posible es 720000 my esta se

600 m yy = 2400 — 2(600) = 1200 m

Para determinar el valor máximo y el valor mínimo de una función conti
‘ua fen un cero intervalo cerrado [a,b] se puede proceder ast

1. Sehalan os puntos c/c, ..c, elinteval 0, ) donde ¡noes derivable.

2. Se obiene (a) y se resuetve la ecuación 0) = 0. De todas las solucio
nes reales de esa ecuación se tenen en cuenta solamente aquels que
‘estén en el interval abiert (0,6). Sean estas,

3. Se calculan fle) fle.» NEO) foe) f fl) y f(0) se eigen el
mayor valor para el máximo y el menor para el mimo.

Los máximos y mínimos de una función pueden estar en donde a derivada es
(0, donde no sea derivable o en los excremos dl intervalo. Cuando el intervaio
esabierto, no tiene senido calcular el valor del función en ls extremos, pero.
se puede sustituir por el clculo de un limit.

157. Pensamientos variacional y métrico

| Para hallar la ecuación de la recta que, pasando por A, 3) determina con

lossemiejes positivos un triángulo de área mínima, se siguen estos pasos:

1. Se nombran las variables base b y atura a del ángulo que se obtiene
(Figura 492),

À a Se re nin opi ene soma, Ar = 2
À 3 Se usa une nee ls bes La em de ou a
H ADC y DOC nas hea a esco $ 4=- Ed
re
4 Sebuscaelinenaloen el qu se mue a variable b (6, +)
US Sebuca minim def) = à Ez loo)

Met BRIE À 0 min waa destin

b=008

Hoya af) in I

1002 E 2 40) += nf Porn el mino e
alcanza en b = 8, por lo que a = ylarecapedidaesy = 2 +6

Ejemplo

En el wängulo isósceles ABC de la Figura 493, AB = AC, el lado BC mide
4 cm y la altura trazada desde A, 1 cm. Para calcular la distancia de un punto
Psobre esta altura, tal que lasuma delas distancias desde Pa cada vértice del
triángulo sea mínima, se realiza el siguiente procedimiento.

1.Se nombran variables. es la distancia de Pa BC.

2/0) = PA + PB PC = 1x + u +4

‘Como la función f(x) depende de una sola variable, no es necesario buscar
relaciones ene variables,

3. La variable se mueve en elintervalo (0, 1)

Se halla el mínimo de fen (0,1)

I0=-1+

Weve

2

F)=08 decis ram

"sts dos valores no pertenecen alnxenalo (0,1) por loque no hay ningún

"valor que anule la derivada en dich intervalo (01 Pr consiguiente basta

calcular [(0)yf(1) y eegirel menor f(0) = 5,1) = 245 por lo que el valor
minimo sealcanzaenx= 1,esdec cuando P= À

158. Pensamientos variacional y métrico.

Actividades de aprendizaje

Problemas de optimización

olución de problemas
Encuentra tres números no negativos que sumen
14 tales que uno sea el doble que el oro y que la
suma de sus cuadrados sea:

a máxima b. mínima

Os: auere escribir un exo en una supero de
36 em, de modo que queden 2 cm en ada mar
gen tral dea hon en que est srt as como
3 em ama y abajo Cael as dmensones de la
ho más pequeña posible
CS
pedo recto de base cuadraca, Para eso se dspone
de 192 m? de baldosas paa recubrir ls paredes y
el fondo dela piscina. Hala as dimensiones de
piscina de manera que su capacidad sea mira
@ Se dspone de un rio mexico de 140 m de long
À Se quiere dvi dicho lentes ons deal
manera que uno de ellos tenga el doble de longue
que elo y que al consi con cada uno de elos
dncuadrdo asuma del res delos escudo
dos sea minima.
Hala longiud de cada ro.

On eo era ys ae gra 40%

se inscribe un con imenido con el véic ene
‘cto dela base Cala ls imendones el cono

Pequeño pra que sasolumen sa min.

Dados los puntos A(0,3) y B(4 5) señala un punto
Men el ejeX al que La distancia = AM + MB sea
mínima,

+

QE à crcunfrenca de un lago de 1 km de radio se

"8 marcan dos puntos AB damerament opuestos.
Una persona quiere i de À a8 puede nadando,
andando po semicrcunerenca combinando
«caminos Sinada a2 km yanda aS km/h ¿cuánto
radar, como minimo, en lega

(O Sandra necesita encerrar un ereno recangua Si

1 ela ene 500 meros de aambreyse sabe que uno
del ados eee no requiere de era ¿cule
son as dimensiones de exe que pueden encerrar la
mayor ra pose?

© Marin quiere conser una caja cuya Iongiud del
ancho dela Das sea tres veces la longitud de su
ancho. El material par elaborar la base y la apa
superior cuesta $ 25000 por mero cuadrado y el
‘que requiere poa las cars cuesta $ 15000 el me
tro cuadrado. Sia caja debe tener un volumen de
50, determina las dimensiones que minimizaán
costo desu consacción
Ricardo tien un trozo de carón de 14 dm por

"© 10m y quier cortar as esquinas como se mues
va en la Fgura 495 para luego hace os doble
ces necesarios y armar una ca. Determina la al
tra de la caja que garantiza el máximo volumen
posible

wi

4D

vn

Pa

(De ce consi una ventana

© como la que se muesca en la

Figura 496 Sihay 12m de mate

vil para el marco, ules deben

ser ls dimensiones que gaan
cena mayor inact

159. © deerina et rea dl ecánguo con la major es
“> postie que pues menbiseen un culo draco
Avr 497)

© Una colonia de moho que cece y decece en un
(© perado de 1515 12.uego dec is cubre un ra
Ge a(t) = 1210 + dada en mm
a, {Cui ese rea máxima que cubre a colonia
durant ee peodo de tempo?
Después de culos is a on crece
máximo posible?
ile re mínima que cabe colonia en
tlimenaio de iempo ndiado?

Se es desarollando un medicamento para el mer-

'4, cado. Debidoa la economía de escala, el costo dela
producción de un frasco de ese medicamento de-
pende dela cantidad de fascos que se produzcan.
Supón que el costo de producir x frascos es de
x + 500) dólares.
El laboratorio que produce el medicamento puede
vender xracos siempre que el precio de cada uno
sea 70 — 095%

a. ¿Cuántos frascos de medicamento se deben
producir para que la uridad sea máxima?

bo ¿Cuál esla uciidad máxima?

© ¿Cuál debe ser el precio de un frasco del medic
ment para quel ulidad sea máxima?

Ten en cuenta que la utilidad se obtiene restando

los costos de producción del dinero que se recibe

de ls ventas (o ingresos).

Pensamientos variacional y métrico
O sae)

OA un pacien sele adminis un mescamen-
À do Para un perodo de 0 = 1 = 7, la concen:
Gin de la daga en su sarge después de in
So del vaamınıo vene dado por la expen
O0) = 804 36 4 IS mg
à ¿En qué momento aconencacó de dogs
fue máxima durante ee dempor

bo. ¿Cuál fue esa máxima concentración?
© ¿En cuál momento la concentración de la droga
fue mínima en ese intervalo de tiempo?

Evalvación del aprendizaje

(O reine de un cao de mat se puede
# evaluar mediante la función y ae parax= 0.
donde x sa and de toneladas de feria
tes usadas por acre de su yy esla producción
de male medida en tondadas porte
2. Encuentra el vel máximo de fcizance que
seusaendalino
b.Eneventa el máximo rendimiento duo.

On cut soseribe de paces Ces una función
# talqueC = FP) — Pye mimo cuivo sue.

bie se hala mediante la devada de
neuen el máximo cultivo sostenible yla po
blacónde euro pur:
(=P +0471 ~ 00001) donde Pes lnúme-
10 de peces ¿Qué porn del població de
cul sede cosecha para ene la pro:
ción mbcmasoxenbie

ental
go
SCHERER)
EI rendimient de un cultivo de maiz se evala

mediante funcióny = S + parax = 0 don-
de xes la cantidad de fertilizante por acre de sue-

160. cn derivada de una función es
a función ¿es su segunda der.

vida también una función?

14 comaminació del agua del mar
«8 estudia a parir del anis de las
bles presentes en pequeñas
vas. La población P de una

<ceminada bacteria, medida en

le por em? (cenimevos bi
ds) coresponde ala función:

D =—0 +98 — 1 + 40 para
oke<7
+ vergua cuándo alcanza su ope
población. cuándo lega a su
ínimo y dónde rece à mayor
mo. Traza un bosquejo de la
fica dela función?

i

fe

Pensamientos variacional y métrico

Aplicaciones de la segunda derivada

19.1 Curvatura y puntos de inflexión

Para la scuación planeada la razón de cambio coresponde a la deriada de la
función Pt) esto es?) = ~3¢! + 181 =15==2t— 1: 5),

Los puntos donde la derivada esOson t= 1 y
Hay un mínimo relative ent = 1, donde P(1) = 33 milem!
Hay un máximo relativo ent = 5, donde P(S) = 65 mile.

En los puntos exremos del intervalo se tiene que PÍO) = 40 millem? y
(7) = 33 mien. La colonia crece más rápido cuando la segunda derivada es
.es decir para Pf) = —6t + 18 = O Esto ocurre parat = 3, donde a pobla-

El máximo incremento en la población es (3)

2 mile.
La gráfica que corresponde al comportamiento de la población de bacterias se
muestra en la Figura 498.

Observa quest <3") >0ysit>3,P10) < 0.

Si se compara este resultado con la gráfica, se deducen la conclusiones de la
“Tabla 43 sobre a relación entre el signo de Pt) yla posición de la gráfica de
P(D respecto dela recta tangente en cada punto.

Curva por encima de la tangente.
“Curva por debajo dela tangente
No puede asegurarse nada

Si se observa la gráfica de la función representada en la Figura 499, se ve que
ala izquierda y hasta el punto a, la curva esá por encima dela recta tangente
en cada punto, y cada punto par de x= a, está siempre por debajo dela
correspondiente tangente.

Sin embargo, en la gráfica de a Figura 4.100 a posición reltva de la curva y sus
tangentes es opuesta ala dela gráfica anterior.

La posición relativa de una curva y sus tangentes en los distintos puntos de
su dominio define lo que se conoce como curvatura de una función en un
punto,

Los puntos en donde se produce el cambio de a posición relativa entre lacurva
y sus tangente (punto a en ambas figuras) se denominan puntos de inflexión
ela función

La forma de estudiar la curvatura de una función es sencilla en los puntos
en que esa es derivable, ya que a cumatura est relacionada con el signo de
la segunda derivada de una función

|
|

161. Pensamientos variacional y métrico

En general para una función:

+ Si) > 0 en un entorno de 0, entonces la función es creciente en
dicho encorn, por lo quela recta tangente estar cada vez más vial (Gu
poniendo que (a) 2 0) es decia la gráfica está por encima de a tangente
(gues).

+ Sif(@)<Oen unentorno deaf) es decrecienteen dicho entora lareta oo
tangence ser cada vez más horiontal(uponiendo que/ (a) = Ohestoesia Pr
gráfica esá por debajo dela tangente Figura 4102) reno

+ En dlcssof"() = Ono puede aseguras nada (Figura 4103)

Sila curva est por encima dela tangente en un punto Pla), se ice que
Fes cóncava hacia ariba en es punto Sila cuna est por debajo delatan
‘gente en Pla fa) se dic que fes cóncava hacia abajo en ese punto

Sil cuna cambia de posición respect de la tangente en Pa fe) se dice
que ese sun punto de iflexiôn

Con estas condiciones se puede eserbir

Sif'a) > 0.fes cóncava hacia ariba eno

Sif'(a) < 0,fes cóncava hacia abajo en a.

SiJ"(@) = 0, no se puede concluir nada, pero sf presenta un punto de in
Mexión enel punto Fa fa) entonces a) = 0.

19.2 Segunda derivada para calcular de extremos relativos

La segunda derivada también srue para saber sun punto dela tangente ho
zontal es máximo o mínimo de una función dada.

Sif(a) = à es dec il tangente en Pla fa) es horizontal entonces: rectos

+ Sa) > 0, la curva está por encima de la tangente y por tanto el punto
Pla.fo) es un mínimo relative.

(a) < 0. la curva está por debajo de la tangente y por tant, el punto
Pa.) es un máximo relativo,

« Sia) = 0 se esudia el signo def" (x) la izquierda y ala derecha dea
emp | |

Los extremos relatvos de la función fe) = 3 — 6 + 1 (Figura 4106) se |
obrienen ast

120 = 12x Asi pues (x) = 0 sx coma ls valores 0, 1.y

12 < 0, el punto (0,1) es un máximo relative.

4 > 0,€ punto (1, —2) es un mínimo relative.

2) es también un mínimo relacivo.

162. Pensamientos variacional y métrico

Aplicaciones de la segunda derivada

Goran 1 sino y mios de a
Sion et

Calcula par la función fe) = (x + Ne ls inter
* valos de crecimiento y decrecimiento, extremos re
lativosy puntos de inflexión.

alos
Denia ás ia da
+! puntos de inflexión de f(x) sabiendo que
£0=0+D0- 30-72)

ene algún punto de inflexión la gráfica dela fun-
A| ción definida como fo) = + cose + 17

rats vers dem pas qu ins ne
fe pe en nel

Jo) = + 40 + me + 362

COR
derivada de cierta función f. À partir de ella, deduce
1a cunanıra def y sus punto de inesén ¿Qué se
puede afar con seguida dela gra de

Y

@ considers ts unciony = Ax + 6° ~ x donde A

1B son constants desconocida Ss posible de-
termina sos valores deal manera quel pica de
tenga un valor mano ens =~ un punto de
toos 1

O tx r2ponde

© La función f (que no se muestra aquí) es continua
y direncabl par odo los número els. as
¿ricas de fy "se muesrn enla Figura 4106
¿Qué puede afirmarse de f(—2)?

rons
O Fur 07 muela dura función y
© es primer y segunda dera

Indica cuál de elas coresponde ala función af" y
af"

© Deserminaosinenos eno que a función cya
À aca se mue ena Fura 4108 one ha
a abay cna aca abajo

Ford
Hal los puntos deinfexión.

163. eon de probleres

@ Uo ecinguotenexmdelargoy20™ de peine

fea ull sel ea másima de dco vectngio?
¿Cuánto mid larg delrecángaor

(un bis se lanza al ae. Su ara h en cuir
© momento en segundos ene dada pora expr:
sinh = 560

‘Cuil esa altura máxima que alcanza el balón?

© aa dosrimers poor y suma ea 75 te
© que el producto de uno por el cuadrado del otro
da nina

© Demuesra que enr todos ls recrángulos con
9 irn gala 10cm. elqu ieneemenorpermero
es elcuadadodelado 10cm

© Un campeiro desea elmkar una pre men
® gal de D dere La ceca ce un coso de
$ 15000 e me.

¿Cuáles deben ser as dimensiones de la parcela
‘de modo que se minimice el costo del cercado,
icômo cambia la respuesta sie costo del cercado,
sube $ 20000 por metro?

(DE cons promo en ares de ricas ct ar

® aloe Cla) = 5 + De 26. en dondex esd
mo deals producidos Encuentra vale
mano dee

(O age va cont anque pr paces con un
"© volumen de 3m y ule que abe ea un cn.
flo cay go dobe que ss anc La ay
Teslados e tanque serán dei Con culs de
tmensonesserequirla menor anti de ii?

-

DA pane comes un ut de manzana 5

© placa más dedo bas el promedio dela roduc
Conse de sprosimadamense 200 Ka peso por
cada il adicoal que mbr, a producción se
bajar en un promedi de 15 las por bo Avo
ur plantar asia cantidad de bols y cb.
tener à mayor beef ¿Cuántos bols deberá
planta par logo?

O csi para frió
Mc de ceil y cation cons
‘cates uns deinen ences de cu

© ra os ares de mp os quel unción
# rimar?
cs sere cnc fc ab

OO ere sn paro de ineión ta gies de
fle) = + senx — 17

(On esucio poyeciö qe para lero de 1990
1 220200 mer de usarios de cla (en mies
de miles) puede medias dance
fit) = —0.0007281 + 004141? — 0,296t + 0,340,
en donde es enero de nos parr de 1990.
à, Halla rain de cambio tain en l
née de suas de ee.

2. Encuentra la razón de cambio instantánea de
la expresión que halle enla part a

© Usa segunda derivada para indicar qué tan
rápido creció la cantidad de usuarios de cou
lar entre el 2005 y el 2015.

de

164. Practica mas

inuidad
ion
Observa a Figura 4109 y determina

tano
a. La continuidad por izquierda en = 1

b: La continuidad por derecha en
€: Lacontinuidad en —1

4. Losintervalosdondela función es continua,
€ La continuidad della función

(O sais comin e cada funny determina
pode deconinuidad que presentan.

Derivadas
eran
© Desea segunda derivada decada función
Ba swyaetx-2
fort
co
46) = +3
eo = 48+ 2 8

© Desemina as signs funciones son coimas
Soma

2. f0) = blpana=0
bf) = x + 2xparaa=3

f)

FFT pasa

fe) = paraa

© Oscars de unción fy als

a La ecuación dela recta secante que paa por
rra 3 (3)

1 La ecuación dea recta tangente nx = 15.

€ Larecta norma ala angen enx = 15.

Rain de problemas
© a posición de un bj mad con una velo
dad rca 50 me model medanel ncn
oa i
Cala el cociente increment yl dead en l |

instante de iempot = 35

165. Resolución de problemas

Est Utilizar una gráfica
En la gráfica dela Figura 4113 se muestra la función

10) = + 3y una recta tangente a dcha función en el
ppuntox = 2

¿Cuál sl ecuación de esta reta tangente?

1. Comprende el problema
+ ¿Quéinformación te dae problema?

+ ¿Qué piden encontrar?

2. Crea un plan
+ Recuerda la inerpreración geoméxica de la derivada
de una función en un punto yaplkala

3. Ejecuta el plan
+ Ladervada def =? + 3050) = 2x
+ La derivada enel punto de angencaesf(2)
+ La ecuación de la recta tangente a) se hala con la
expesiony =y, mb:
rer)
847
“1

La ecuación de a recta tangente es

4, Comprueba la respuesta
+ Verifica que a ecuación de fa recta normal la función

245

endicho puntoesy = — 2 + 3

Aplica la estrategi
© Observa aia de agua 416 que mues-
cra una funcön cudrticayuna recta angence
ala enun punto.
m

ud esia ecuación dela recta normal aa recta
tangente en este punto?
a. Comprende el problema,

Grea pan
© Ejecuta el plan

<4 Comprueba a respuesta

Resuelve otros problemas

© Un cuero realza un movimiento rectineo
escrito como s(t) = 161- *¿Cuálesla expre
ión de su aceleración instantánea?

Formula problemas
© Escribe un problema a parc e a siguiente in
formación y luego resuéhelo.
“La drvad de un cocente, no. sel cociente
delas deñadas”
Entiquece tv vocabu

+ Construye una afirmación válida con las si
ulentes palabras:

Función - Derivada - Continuidad

166. Evaluación del aprendizaje

Escribe el valor de verdad delas siguienesairmaci-

ve nes Justia cus respuesas.

a. Para que una función sea continua en un punto
desu dominio solo debe exil mire de afun-
“Gén en dicho punto

Para que una función sea continua en un punto
de su dominio, basta con que exstala imagen de
se punto.

«Una funcién continua en un intervalo es continua
en cada punto del mismo.

Tipos de discontinuidad

Comunicación

(O pines una función que cumpl as condiciones dr
se cada caso.

a. Continua en x
bo Discontinua de salt finito en x = 0.
€. Con discontinuidad evitable en.

Continuidad de funciones elementales.
‘Comunicacién

© completa los espacios con los sino corrects
Ve paa que a afrmaciones ean veracens
de dos funcione connus

au

b La diferencia de dos funciones (

Ce manie
fo

lona gero
|toma el valor m en el intervalo (1, 2).

Cotas de una función
Estudia la acotación de a funciones dadas en todo.
1 su domino. RE
a 100=2=x beh) = 2 + 3641
eh) = +3 dil) = ac + 36 = 1

Derivada de una función en un punto.

Velocidad instantánea.

Resolución de problemas

Dos parla pasen de un mismo punto sobre una

teca Ine y se mueven alo rg dee según las
ecuacioness() = À — sty sf) = — F,dondes
y 5 ein en meros yen segundos.

a. En qué momento las dos partículas tendrán la
misma velocidad?

b.Determina as velocidades de ls paris en el
momento en que está en la misma posición so
brelareca

Medida e instrumentos de medida de

valores medios

Resolución de problemas

@ Un mó cue se desplaza con velocidad consame
aplicas renos durante 25 y recorte 400 m Pasta

detenese. Call

à. La velo que tna el món antes de picar

los rnos

». La desaceleración produjeron los renos

Definición geométvic de la derivada

Rastmariento

© aa la parila a) = » Halls purs en os

WF els rca agen e paraa bec e pr
me aude a

Derivadas sucesivas
Ejerciación

© Hala las primers cinco deis dela función
te fe) = +26 +345

Continuidad y derivabilidad
Razonamiento
© Response Ha alguna pareja de nimerosayb para
Y los cuales la suene función sea dervableen todo
Rustica cu respuesta,

aux óx<o
Krasosı<2

10

167. Regla de la cadena
Ejen

QD ts a dervada de as guientes funciones.
as nn

ee + 1)

Derivadas de funciones exponencials,
logaritmicas y trigonométricas

Ejeritación

© Desermina ls devas decada una de hs sien
w tesfunciones.

NE NN al
em (FE) asa
ef) RR) = arccose"

TE sene

Derivacién implicita
Herctacisn
© Catia pene dea recatangence area

* dee + = nem (M. 7)

Regla de LH6pital

Raronamieno

© Deecmia sites siguentes afrmacions son verda

deaf. a)
à soient ¿09 yin LE) y songs
o Ep re

se puede clare nite delas devas

bem LD yim LCD exten y hay una
Tata) Hate) NYY
indecermiacion dela forma 20 emonces

10 m
a) ets)

i

Crterio dela primera yla segunda derivada
Comunicación
© Considers uniones ds y eu sus mb.

"mos y mínimos relativos as como su crecimiento y
decrecimiento.
A

ey
© Corea ts sientes afmacone para que sen
1 vedas mem
à Losminmosymismosresondeunafuncönse
Flan par dela

bo Sila segunda derivada es que den
un punto, hay un máximo lative en dicho punto,

«Sila segunda derivada es que den
‘un punto, hay un mínimo relative en ese punto.

«Sila segunda derivadas! quedenun
| punto, se scudia el signo de a primera derivada a
| cadalado del punto.

Problemas de optimización
Modelación
© Caca ecuaciôn deta reta que pasa pore! punto
# A. 0 y determina, con el eX poto ye eje Y
"negativo, un ränguo de rea mínima,
hé si Korn
Aplicaciones de la primera y la segunda
derivada
Fesolución de problemas
© Una Imprenta recibe el encargo de diseñar un car
Y tel con ls siguientes costeras la na impre-
sa debe ocupar 100 cm el margen superior debe
medi em linfrir 2 m y los márgenes laterale
“cm cada uno, Calcula as dimensiones que debe
tener el cartel de modo que se rc la menor cn-
cad de papel posible
| resolución de problemas
© Con 60 cenimeros de alambre se consuyen dos
e ingles quiet cuyos tados miden ey. ¿Qué
valores ex ey hacen que uma dels es elos
| Angus sea minima? As)

D

169. >

Pensamientos variacional, numérico y espacial

EE =

+ Determinar a continuidad + Autlza eerosy + Realiza estudis sobre
de funciones. propiedades para el análisis y funciones que modelan
+ Calcuar la derivada de estudi defunciones. problemas en diferentes
funciones rales. contextos.
E
Be.
3% a

170. Pensamientos variacional y numérico

Puntos de discontinuidad y puntos críticos

ina que vas en biciciera y de- 4,1 Puntos de discontinuidad

al
E A pas de horn de afin aca on os quedan

lun terreno plano. Describe qué — detominado Para encontrarlos e iguala la expresión del denominador Q se
da debes hacer en cada [1CtOrizay se allan as raices del polinomio, como se muestra a continuación.

Cao: mucha, poca o ninguna. 204306010
AA a m2
Los puntos enconrdos son aquellos en ls quel función es dsconinun. En

"mina los puntos de disconi- {à Figura 51 se observa cómo se comporta la gráfica de f(x) en esos puntos.

Jdad dela siguiente función

"Saberes previos

Una función f(x) presenta un punto de discontinuidad enx = a cuando no

DATE «es continua en él es decir, uando f(x) # fía).
RE

Existen puntos de discontinuidad de especial ineré, que son aquellos en los
que almenos existe uno delos límites areas (init infini), De esta forma
es seguro que en ls cercanías de este punto exit la función

En general estos puntos coinciden con los puntos frontera de los intenalos
que constituyen el dominio de a función. Sin embargo, en alguna ocasión pue-
den aparecer otros puntos de discontinuidad (evicableo de salto into) plena-
mente integrados en este dominio,

- |
Los puntos de discontinuidad de la función fx
| nen ralzando el siguiente procedimiento.

WeR-10=0 9 seu erre ncn) 20,
x SN + 2) = 0 «secre ees aero

Seta ere peo,

5
mix

A
Tao

sonx==2y

mini dela función f(x) es

‚on

“-aufe}]

En la Figura 52 se observa

| la gráfica de la función y su
comportamiento en los pun-
tos de disconcinuidad.

171. Pensamientos variacional y numérico

1.2 Puntos críticos

Los puntos criticos de una función son los puntos en os que la función
es continua y su primera derivada se anula 0 no existe; decis los puntos
x= aenlosquef'(e) = 00f"(a) no exis,

elo |
La función 00 = YF ene por dened") = = punox = 068
um punt cra ya queen la funcién es conti per no exite)
ono

torr i ae la) cd
conta secre en demo scan atando Ola pr
men dead denn 1) la ae

7 ara
H POS Re

o

Por lo tanto,f'(x) = 0 si =4r! + 32x — 28 = 0, Al facorizar este polino-
mio y hallar sus raíces se obriene x = 1 y x = 7 que son puntos criticos de

> esta función. Como para todos los elementos del domino existe l primera

derivada de fx), entonces x = 1 yx = 7 son los únicos puntos criticos de
esta función

Lo

Observa cómo determinar los puntos de discontinuidad y los puntos cri

| cos delas siguientes funciones

: a fo ER bet)

Pat
|. Lafuncin fx) es discontinua en los valores en os que a expresión
22 = 4 es igual a 0.Si xl — 4 = 0, entonces x? = 4, de donde
N= 2yx=2
Luego, el dominio dea función es Df) = R — (2,2)
Los puntos de discontinuidad dela función f(x) sonx = —2

Para haar los puntos criticos de f(x), se resuelve a ecuación (x) = 0:
20

= 2 =omx=0

Teniendo en cuenta que para todos elements del domino de fx) ee

la primera drvda e único pun tico esx = 0. En Figura 535 obser

va a reresetació gráfica dela unción 00.

b La función está definida en y. por so, no exten punto de disco
idad. Tampoco tien puntos cios La representación gia de sa
función se observa enla Figura 54.

172. Pensamientos variacional y numérico

E

E

Actividades de aprendizaje

Hall el dominio delas siguientes funciones.

af
bse) =
=
a
es)
DO]

Puntos de discontinuidad y puntos criticos

e+ fans

Inésenx)

miento.
indica los puntos de dscontinuidad de especial in-
terés (puntos de discontinuidad en los que al me.
nos existe uno de ls límite laterals) en ls funcio-

es de ia actividad 1.

Indica también s en alguno de estos puntos a fun-
«ción es continua ala izquierda o la derecha.

tación

Calcul el recordo delas siguientes funciones.

as) =
bye) =
<=
fle) =

a.
bite) =
CCS
af.
ef

ee 6

Pas -2<x<4

Indica los puntos de disconinuidad de f(x}

pes
2

FR
xt dead
bral he

x
#5

Comunicación
© Dern los puros de continuidad de une
© ones epesentass a conencin

Fens

ua

173. Pensamientos variacional y numérico

© hata os puntos cios dete). O un san sins resida veces en una
: es
0m peo ee

tarda en recorte en el intent x viene dado por

Fu mise E

e

ES à Catal demo de ene comen
er À. Pure ede ren demon

realizar el rayecto?

© Calcula el recorrido de T(x) en sucomexto.

. Determina los puntos de disconcinuidad y los
puntos crticos de la función T(x)

fo)

© deri os puns ccs de as uncon que

'9 se representan en las figuras 59 y 50. ex

© inca tos valores dados on unos ios de
cada furcén
af) = aa
b joy = HE
© fx) = x + 32x

ayo=—2o[i) wine

(O un compaia eii tecla promacónque
à semen plan dura

e
la sm pp
same argus |
ee
rs
Somo y tendrás
arma co
Ben
Figua5 0 ¡Suscribete ya!
Pen 7
© Prop una union para cada caso, que tenga los | a-Eserbelafunciön que relaciona el número de
ds lit a er acre
ae Prine pre ns
Dr
«Negi pm ii a barra pound dea
À à ininicos puntos erticos male,

®

174. Ly espacial

Pensamientos variacional

Puntos de corte con los ejes, signo, simetria
y periodicidad

Alede una función corta lee Y

2.1 Puntos de corte con los ejes
+ más de un punto? Explica.

En la Figura 5:12 se observa quel función cora al eje X en el punto (2,0) yal
eje Ven el punto (0, 4),

om El punto de corte con el je de ordenadas Ys exe es P(0,f(0)

¿Cuáles son los puntos de corte aa calcular los puntos de corte con el eje de abscisas X, es preciso en-

ls ejes da función cuya ré contra exten la soluciones x, x. dela ecuación) = 0. Los puntos
semuesra enla Figura512? buscadosserán Q(x, 0. Q{ 0)

ty | pn

| | Laespresión dela función de a Figura S12 ex:

fo) et

Al calcular (0) se obtienef(0) = —4.Por lo cant, a función corta aleje de
* ordenadas en el punto (0, 4)

Para calcular los puntos de corte con el eje X, se considera f(x) = Oy se re
Suele la ecuación como se muestra a continuación:

2 = 44 4 = 02 (x 27 = 0 =
| Entonces f(x) corta le de as abscisas en el punto (2.0).

2.2 Signo

Estuiar e signo de una función consiste en determinar en qué intervalos
la función toma valores positivos, es dec, saber cuándo la gráfica esté por
encima del eje X y en qué intervals toma valores negativos o cuándo la
ra está por debajo del ejeX.

| Paraescudiar lsgno dela función (9)

es necesarioresoher

brinecuaciin ZIEHE > qua 4

| De ahi se obtiene que fx) está por encima del je X en el incrvalo (1, +)
y está por debajo del ee Xen (==2,1).

2.3 Simetría
{Una función es simétrica respecto al eje Y ise cumple que f(x) =f)
{Una función que presenta este io de simetría se denomina función par.

Una función esimétrica respecto al rien de coordenadas se cumple
ques») = =f). En exe caso se dice que es una función impar.

175. | Bemplo3
La funciôn 0) = noes simétrica respecto al ej Y ni respecto.
al rigen de coordenadas porquefía) # f(s) yf(=1) # 160.

pares

2.4 Periodo.

Una función es periódica de periodo T si para todo x real y n entero,
‘Foc + ni) = flo). Es es la gráfica de la función en cada intervalo dela
forma [nf (n + JT), con n entero, es igual que la gráfica de la función en el
intervalo [0,T) y. por tano, basta con estudiarla en ese intervalo,

e
Pare cual peo de a) = cos — sn see en cuna que

las funciones seno y coseno son perióias con periodo 2m; por tanto, se
caleuiag(x + 2m)

ar m

2) vou mn 6)

| in un er ele cn cnn de
aparecerlaexpesion 4 + m

Lo anterior se logra al tomar 4m como periodo. Es decir:

Ze | = sen 40) = co

re

(£ 4 2e
|
! = cost — sen = ale)
| Asipues pedo delafunciónesT = 4.

La gris de función gx) se observa ena Fra 513.

Gemples
| Enla funcion (x) = x — 4x el punto de corte con el eje de ordenadas es
AO) = (0.0).

Al resolver la ecuación x? — 4x = 0, se obtienen los puntos de cote con el
eje de abscisas que son A (0.0),8(~2.0) y C(2.0)

Para estudiar el sgno se resuelve la inecuación x’ = 4x < 0 Luego,fes pos
tivaen(=2.0) U (2, +) y negativa en (2 2) U (0.2).

Como (x) = (=x)! = à (=x) = =(e! — 4x) = =f a función es
impar y por tanto simétricarespecto al origen.

La Figura 5.14 muesra a representación grifica de esta función

176. Pensamientos variacional y numérico

y periodicidad

‘Actividades de aprendizaje

Puntos de corte con los ejes, signo, simetría

Determina os puntos de corte con los jes, el signo
yla simeura de cada una de las funciones represen-
tadas en las figuras 5.15 251.

a y

Fons

El Estudia si son periódicas las siguientes funciones, y
silo son, indica su periodo.

a. fle) = senx + ane

b fe) = send + tanz

fle) = sende + canse

© tts os pu de con con os ejes esi el
sio de cad función

a fle) = 1 +

bos 2
efi) =a ata
ao
=

(O Estas simenias de as guientes funciones
© afle)= 2 +x -1

fle) = tnx?

f(x) = sendx + cossx

Modelación
Traza la gráfica de una función que cumpla con as
"© condiciones dadas en cada caso.
Es simétrica con respecto al je de bscisas y
periódica con periodo 2
b. Essiméxica con respecto al origen y puntos de
core con elejexen(-3,0)y(3.0
©. No tiene simeti par iimpar yes negativa en
(-22)
Es positiva en (2, —5) U (0.2) y negativa en
(-5.0) U (2,2) y dene un punto de core con
eleje Yen (0.0)

177. met vaiacional y numerio EEE

Eerciación
© “uk periodo decada función
Ba fx) = seo

b.f60 = rane

16) = tan)

460 = sense

© Se) = sen

140) = senx + cose
ES) = sen + cos
Razonamiento
(O comprueds que una función 6) ine perodo
© T,entoncesla función (ox) ine peiodo —
iz esa propiedad para hala el periodo de cada
ura delas funciones.
2.60 = sen Ex
b fee) = cos Ex
© fe) = tan)

4.109 = cor Fx

O te araizay responde las preguntas

9 3 Siurafunción es periódica de periodo 4 es
sue conocer su rfc en interval

[-2.2] para poder representaria en R.

¿Qué ración ene dos funciones que son

Simérics respect de a bes del primer y

vere andanıe?

¿La suma de dos funciones pars también es una
función par

¿El cociente de dos funciones impares es una
función paro una función impar? Muestra con
un ejemplo,

{Una función puede ener infinitos puntos de
‘corte con lee y con el ee ?Jstfica us
respuestas

{Exist alguna función que tenga simerría pare
imparala vez ¿cuál

esol de problemas
© Ensumowimiemoderoracónta Tera ds una ue
© comple sobe desu ge enon a

a. Hazla gráfica de a función que indica el núme
ro de grados que gra la Tira en función del
tiempo durante un día

bo ¿Cómo sería la gräfia anterior alo argo de una
semana?

© ¿La función es perócial a función es simétrica?

© Deseados pros de con cons gro
À ylasmera deca unción

178. "Saberes previos

lando un meteorito se acerca a
uh planeta su gravedad lo arae y

ce que su velocidad aumente.
En un cierto momento el planeta
"expulsa" al mereorco y este e ale-
Jalhacia el infini Taza una gäf-
cd que muesre la trayectoria del
mereorto.

Pensamientos variacional y espacial

Describe lo que observas en la Fie

mn nun. 1

roms

Ramas infinitas. Asíntotas

3.1 Asíntotas verticales
Ena unción dela Fgura 519 se observa que cuando xse acerca tanto
por la derecha como pr a lquirda los valores de fi) se hacen cada vez más
grandes más pequeños respectivamente Es deci.

I/O) =+ey Im Dee

Las dos ramas de a función que e acercan ala recta x = 4 e conocen como
amas infinitas (aparecen cuando alguna de las variables o ambas tienden a
42 0 a ==) Si una rama infinita de una función se aproxima a una recta,
‘como en este caso, dicha recta será una asntota de la función. Por tanto, la
recta x = 4es una asimotaverial de o.

Siendo a un número real la recta vertical x = a es una asíntota vertical de
la función y = (x) ie vera lo siguiente

tenJ0) = 22 bien inf)

Observa el procedimiento para hallar las asioras verticales de la función
faye PT

Sten?

«sapo enone sein ostias

2 = 4e y Un HAE m Le por camo la reia
1 Una autor vertical des
Bee"? um 242 3

-Luega.x= 1 noes una asíntota de

ET Tex
1afuncinf En a Fgura 520 se observa la gráfica de a función

3.2 Asintotas horizontales
Larectay = hes ura asntot horizontal de la función y = f()sisecumple:
li 6) = ho bien timf(x) = h

1

Para haar las asincoras horizontales de la función f(x) = e* + 2, se deben
alkular los limites dela función cuando x tiende a + y a =.

Sim (e+ 2) = +0 lim (e" +2) =2

Por lo tata recta y = 2 es una asínora horizontal de fcuando x iende a
=22.Observa que como e* > Opara todo x e* + 2 > 2 entonces la gráfica
def queda siempre por encima dela recra y = 2 (Figura 521)

179. Pensamientos variacional y espacial

3.3 Asíntotas oblicuas
En oras ocasiones cuando x toma valore grandes los correspondientes valo»

res ef(+) también se hacen grandes En estos caso interesa saber sla función
se aproxima auna recta oblicua.

La recta y = mx + n con m % Oy n # Des la ecuación de una asintota
oblicua de fx) si
life) = (mx + n)] = 00 Im fix) — (met n) =

empleos .

la función g(x) = 7 no dene ators horizontales, porque
lim gt) = Hay Im gtx
Para haar las asnoras oblicuas de esta función, se divide el po
linomio del numerador entre el polinomio del denominador. De

esa manera, se puede escribir g(x) = (x — 1) + —2

cs ec
SE 9 clea a ped opine es we

80%) ydelareccay =x— 1son prácticamente iguales y para los el cocien. =

| ce hy esprdescamene Porno =~ Vena anor bles
| deg(e).tamo six tiende a + como ssende a —= (gua 522)

3.4 Método general para el cálculo de asintotas ol

icuas
Siy = mx + mes una asntota oblicua de f(x) cuando x tiende a +, en
tonces:

ma im ID a oyn = lin gtx) = mo}

(DU) = (0, +} entonces sol tiene sentido calcula una asíntora oblicua
> cuandoxtiendaa +2, iy = mx + nes la asintota oblicua, entonces:

fi

a

Laasintotaesy = I. Ena Figura 523 se iene a gráfica dea función fx). En
ell se observa también que ene una asntot vertical en x = 0.

m im OO — mx} = im.

180. Ramas infinitas. Asintotas

Ejercitación

Obs as rpreentciones gráficas das funcio. E) Estudia a asnots dels guientes funciones po-
ves exp porqué en cualquier de elas larecta— Y inomicas

x= a esunaasincora vertical de a función y = f(x)

Pensamientos variacional y numérico

Observa la Figura $27 y calcula los límites.

afl) = H = 2
pS =x ee

(O atlas mous de as sienes luces co

mous
roms =
OO" FEE

PH rene
Ce E

Kansas

4.f60)=
efoy= SS
Ef) =
ef) =

no. ERE

© fever as sires els unes funciones
À icones

E

esas ej Ea

y ES

1-2

181. © orina as sors de as unes funciones
2 con alte abiottos.

a fx) = x 3] + xl
DS

fo) UE

4160 = th 2b

(O cota as asics des siguienes funciones
TB gonomévics

2500) = sene

bfx) = senx + 3cose

Busonarinte

© inca as sgientesañimacones son vertes

$ (Vio atas(F Epc repuesta
o

verticals unaenx=2yomenx==2 ()

bo Larectay = 1 es una asínora horizontal de
deat?

= FS o
© Lafunciin x)= (2 + xe no iene arcas
verticales. oO
4. tating) = no tiene sis
verticales, horizontales ni oblicuas. oO
«e Larectax= —1 es una asincora vertical por
deca de fe) = In +1 o

O Lee anaiza y responde.
® Una función racional fine una aora vericalen
x= 2y el domino de una función ges = (1
a. ¿Se puede afrmar que 200 es un punco del
dominio dep?
by ¿Esx= Tuna ancora vertical deg?
«Escribe a xpresión de una función fy de ura

función g que cumpla con las condicions estar
blecdas,

© sifestfunciôn deiidaen( #1 U (3, +22)por
$ 100 = VE = 2-3 ¿cues des siguientes afirma»
‘ones son verdaderas?

€: Larectade ecuación y = x + es una ancora
oblicua del función

di Lafunción no tiene aintotas horizontals ni
asinocas verticales

Resolucin de problemas
@se esira que d número de ables diles en
"ls coegie de una uch crecerá segin función

(x) = 20%, donde x conesponde al tiempo
medido en ahos.

a. Encuentra las asintotas dela función p(x).

bo Seguin est función, cui es el ope máximo que
Se alcanzará al pasar los años en el número de
tableros digitales?

€ an rade unción en cuado,
vec del prenais
(O tacuna delia 528 represen la unción

* ae tint
19 Tate

Kuilesetvalordea bcd ye?

182. Tea la gráfica de una función que
simétrica con respecto aleje Y
Y que tenga un máximo y un min-
mo relative, Describe el comporta:
miento de tu función.

cad
Peimten obser e comport
Se doar Da
Uda reales en
529 se oma a var de as
es
ee
ge

2

x

otitis

+ Ecrbe dos conclusiones que
sedas inferir de a Figura 529.

Análisis gráfico de funciones

En la Figura 529 se observa que las ventas de la empresa durante os primeros
cuatro años decrcieror; sin embargo, después del cuarco año empezaron a au-
mentar de manera considerable. partir de a gráfica también se puede infer
el total dela vents en cada año; por ejemplo, en el octavo año la empresa
vendió $ 4500000.
Teniendo en cuenta la importancia de a representación gráfica de una función,
a continuación se presentan ls pasos para realizar un estudio compleco de
una función y obtener su representación gráfica.
|. Domini y continuidad
‘Se determina el conjunto de números para los cuales se puede hare valor de
la función y dentro de este, aquellos valores en los cuales la función es continua.
11 Simetría
Se estudi la simeti e la función teniendo en cuenta ls siguientes reglas
«SIJ=x) = fb, para todo x E DÍ), = Lafunción es simétrica respectoal
der.
= fes un función par
«SIS(=x) = f(x) par todo x € D(A) = La función es simétrica respect al
origen 0.
= fes una función impar
IM, Periodicidad.
‘Se analiza sila función es periódica: para elo, se verifica sexe un número
real T al que para cualquier x del dominio f(x) = f(x + T).Sise cumple al
igualdad, la función es periódica con periodo T.El estudio dela periodicidad se
aplica principalmente en funciones trigonoméicas
IM. Punts de corte con los ejes
Se calculan ses posible, los puntos de corte con los ejes,
+ Con el eje de abscisas: se resuelve la ecuación (+) = 0
Se puede obtener ninguno, uno, varios o infrios puntos de core con el je X
+ Con el je de ordenadas: se susctuye en

(00 elvalorx = 0.

Se puede obtener como máximo, un punto de core con el je Y.

VeAsincoas

Se escudia sila función tiene asincoras verticales, horizontales u oblicuas.

+ Las asintotas verticales son las rectas x = a, tales que Im f(s) = 2 0
life) = ==. =
Sebuscanenlos puntos en los quela función noestä definida onoescontinun.

+ Las aíntots horizontales son ls recta y = b, tales que lim fle) = bo
Um JO = b =

+ Lasasintotas oblicuas son las ectasy = mx + tale que m = i
‘iy 10) = me}

16)
,

183. Pensamientos variacional y espacial

Vi. Crecimiento.

Se escudia la monotonía del función.

Cuando una función es derivable

Los intervalos de crecimiento I son aquellos en los que se verifica que
FE) >0,paratodox€ Ly

Los intervalos de decrecimiento / son aquellos en los que se verifica que
FO <0 para todox El

‘il Puntos de inisión yconcavidnd

‘Cuando una función es dos veces dervabe e halanlosintrvalo de conca

ad y los puntos deinlsión

+ Inrvalos de concavidad hacia arriba: son los intenalos I en los que
JS") > 0, para todo x El.

+ Imervalos de concavidad hacia abajo: son os iemaos I en los que
FR) <0 para todo x € L

+ Punto de inflsi (a, (a): es aquel para el que se cumple Sta) = 00
F(0)noexisey además ese punto en elque a función ambasuconcaiad.

Vil Representación gráfica
Con la información obxenida en los pasos anteriores, e raza la gráfica de la
función. En algunos casos puede resultar aconsejable realzar una abla de valo-
res, parafcitarla representación gráfica de la función

emp

Observa el estudio de la función fa)
sentación gráfica,

à — Sy su correspondiente repre

+ La función cuadrática ha) está defnida yes continua para todo número.
reat luego, D(h) = Re

+ La función tiene simetría pa pues se cumple que h(—»)
xER.

10) para todo

h(=x) = (=x) — 5 = fx)
lospunondeconecon alien NE. JE. yl pnd coe
Per
ea los eyes penis e
*E(-%0).
H Mon as
DR 2

e
a

puro dete
À » Ebosqu del cade a finn a) = - Serena en

ron teniendo en euer lem fea ns as neo

184. Pensamientos variacional y espacial

Análisis grafico de funciones

-

Observa cómo se representa la función que cumple los siguientes requisitos.
+ Tiene dos asintotas verticales, que son x = —1yx = 3.

+ fe) > 0six € (UN < 0six E (1,3) UG +2)
+ JR) > Osix € (2,1) UG +2) yf") <0six E (-1,3)
SO =f) = Of) =3
"Primero, se representan en unos ejes coordenados las asintoras verticales,
| El signo de la primera derivada indica que la función es creciente en
| (2% —1)y (1,1) y decreciente en (1,3) y (3, +29) también, que tiene un
figuas31 | máximo relativo en el punto de abscisa x = 1.
El signo de la segunda derivada indica que f es cóncava hacia arriba en
(2, 1) y (3, +22) y hacia abajo en (1, —3).
La gráfica dela función (Figura 531) pasa por los puntos (0,0). (2,0)y (1,3).

fics defunciones sus asíntotas en GeoGebra

Observa cómo se obtiene la gráfica de la función

100 = ET y sus asias en GeoGbra

Se digit en a barra de entrada la función así
AIG — 1) Al pulsar Ener en la vista alge-
bralca aparece la función que se digt y en
la ita gráfica, su representación, como se
‘observaala derecha.

©) Para hallarlasasíncoras de la función, se di
a enla bara de entrada Asncoraf] y luego
se pulsa Enter fes el nombre automático
que le da GeoGebra a la función (ver vita
algebraica) Las ecuaciones de las asincoas
de a función aparecen en la vista algebraica
ay axe he 1

185. Ejecución
@ Esa a aan y ala los puros de ión
À etassiguerestuncones.

a fl) = 20 = ae
b 6) =e"

© fl) =28 + nx
ae À

7
© Lee isintoración y rue.

Emos puntos tios puede haber un punto mi
‘mo ratio, un punto mínimo rato o un punto
de infexión de tangente horizontal

+ Máximo relativ (a (a). En la cercanías dela
irquieda de la función ree, en ls cercanías
dela derecha de a la función decrece

Minimo relativo (oa). En as cercanis dea
izquierda de la función decrece en ls cerca
ras del derecha dela función crece

+ Puntos de infxión. En las cercanía dea l
«reémient no cambia, además la segunda
¿derivada cambia de sgno en x = a,siendo
Fa) = 00f"(@) no existe

Calla los puntos cicos de a siguientes funcio.

nes y determina si estos coresponden a puntos
máximos relativos puntos mínimos eaves pun-
os deinflexén

2/0

5.50

fo) =e +x

de

Modelación
(O represen una función que rena as siguientes
$ racers

+ Escrecienteen (0,0) U (4 +2).

+ Es decreciente en (0, 4).

2 hos xtremosretaivos son (06) y B(4 3)

+ JO >0en(~#,-2) U0 +).

- #10) <0en(-2.2).

Resolución de problemas

© sui gue la función CO) dada a continuacion

"@ modela a puntuación obtenida por un estudiame
en un examen dependiendo del iempo x expres
do en horas que haya dedicado asu preparación

[i sosesrs
E

=P

CE

mos

a. Estudia el crecimiento de esa función

b. Un etudiante ha dedicado menos de quince
horas preperar el examen Jusfica que no
aprobará, eso es que obrendrá menos de cinco
Pumos.

© Explica por qué la puntuación no será superior a
die puntos

(© Obsenata yea defi) = 4e = enla gua
ES

Escudos siguientes aspectos.
a. Dominio y continuidad

bo Simenría

€: Periodicidad

dl. Puntos de cote on ls ejes

© Asinoras

E Crecimiento.

8. Puntos de inflexión yconcavidad

e

186. Pensamientos variacional y espacial

Estudio de funciones polinómicas

[ conoce |

la os valores de x tales que Urafuncnfis)= Px) = au +0, x"""+.+ an + 0,espalnómicas Po)
DH x + 2) = 0. ¿Qué es un poinome en x para todo x E R Las funciones gy son poindmias Yes
concluir de le anterior con afruges adreay hescúbica) yd dominio de ca un esl conjunto den

0 al gráfica de la función merorels in a Fura 533 seobsena ques funcones y son continasen su

(= + Mc 2) ¿Cómo dominio y queno men ning tipo de aso

los puntos de corte de a) y de 1 #

= = Net + 2
1) = 5-3 Fos

Ja el dominio y las asinotas de
las iguiencesfunciones
= 6-2 Para realiza un estudio de una función polinémica fy representara gräfi-

HO) = 1 camente, conveniente tener en cuenta que DI) = R. no tiene ningún
tipo de asintota y que fine dos ramas infinitas.

Para traza a gréfica de una función polinómic, es importante:
1. Estudiar la posbl sera de la función.

2. Estudiar los puntos de corte con ls ejs.

3. Calcular los puntos máximos y mínimos relativos

4. Estcia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento

5. Estudiar ls puntos de infxión y ls intervalos de concavidad.

-
| En la Figura 533 se puede observar lo siguiente

«La función fx) = 5% — 3 no ene puntos máximos ni puntos mínimos y

3
es recente en todo su domini. Esa función cora al ee Xen 2:8) yal
ee Yen (0.3).

La función ga) = ~4e! = 2 es simétrica con respecto aleje Y ene un
máximo relaivo en (0, ~2) es creciente en (2 0) y decreciente en
(0, +22) La función ges cóncava hacia abajo y no tene puntos de conte
con je X

+ Lafuncién h(x) = x! — 1 no tiene simetria par ni impar cora al je Yen

(0. —1) yal ge X en (1,0). Asimismo, h es creciente en todo su dominio,
cóncava hacia abajo en (~, 0) y cóncava hacia ariba en (0, +22) y, por
‘ano, tiene un punto de inflexión en (0, —1)

|
|

187. — emplo?
| Observaacontinuacin el estudio del función polinömica (+) = 30°

+ Df) = Ry no tiene ninguna asintora
+ La función tiene simecraimpar porque

IV (7) = 0 x= 00) = 10)
+ El punto de corte con el eje Y es(0,0) pues (0) = 40) —

commerce ff pearson
pen
oho
Cea “|
SQ) = 92-1 = 0x
Luego, como f es creciente en (=

Portanto,x = 0,

1
3
y

*)

decreciente en

| « La función es cóncava hacia abajo en (22,0) y cóncava hacia ariba en
(0. +2) puess"(e) = 18 < Osix <0yf"(x) = 18c> 0 six > 0 respec:

+ (0.0)esun punto deinfión puesto que/"(x) = 18r = 0=x = Oy además
en ella función cambia su concavidad.

| Para facitar la representación dela función se elabora una tabla de valores.

-2 [aile

roms

188. Pensamientos variacional y espacial

Estudio de funciones polinómicas

Semplos
Observa el análisis yla gráfica de a funciôn f(x) = x + 3 — 4.
«Simetría
(Ex) = = +38 — 4=9 No presenta simetría par niimpar.

«Puntos de corte con ls ejes
Con elejeX:x! + 36 —4= 02 (x= Nx + 2? = 0=x= Am
Con ge ¥:f(0)
Por tant ls puntos de core son: (0, —4) (1,0) (2.0).
Máximos y mínimos relativos e intervalos de crecimiento
SO) = 30 + 6 = 0= Bele + 2) x= OX = 2

Se decide silos puntos criticos son máximos o mínimos resivos observan-
do el crecimiento a la izquierda y ala derecha de cada punto. Para ell se
determinan los intervalos en ls que queda dividida la recta real cuando se
marcan sobre ela los puntos que ana la primera derivada (Figura 535) y
se estudia elsigno de (x) en los intervals obtenidos.

D (20 am
AS

Como f(x) cece en (2, 2) U (0, +) y decrece en (—2,0) entonces la
función tiene un mínimo rlaivo en (0,~$)y un máximo relacvo en (2,0)
«Puntos de inflexión e intervalos de concavidad

Los puntos que anulan a segunda derivada, y en los que cambia la concav-
‘dad, son puntos de inflexión.

SW) =6+6=05%8-1
Al ubicar el punto x = —1 en la recta real esta queda dividida en dos inter:
vals que son (==, ~1) y (—1, +) en los cuales se estudiará elsigno dea
segunda derivada para determinar la concavidad de a función.

Cr

roo

a
_ feas

óncara haci abajo | Conca haci aba

mes
La función es cóncava hacia abajo en (%, —1) y cóncava hac aria en
(EA, +20 Como (=) = 0 y enx = =1,l conca dela uncon
ambi emonces (~1,~2) un puna de infest

| Larepresentación gráfica de la función se observa en la Figura 536.
Fens À

189. AAA

Pensamientos variacional y espacial

Razonamiento

© recor delas guras537a540conas
$ cxresones afébnics comipondintes

1 b he) = pe]
ER die
1 z
1, msg Fans

Ejerctación

© esca tesi completo delas seme ndo
nes polnómicas y dibujo

= 546
eta

249

x

© Fesuevesbiendo que
O

Hala ls puntos de corte con los jes.

Estudia el sign dela función.

Halla el crecimiento def.

Hala los máximos y minimos relatos.

Dibuja la gráfica dela función.

¿Cuántos puntos deinfxión tene a función
Jo

© Cata los valores de a y b paa que ta función
9 10) => + ae + be = 113 tenga un máximo en

el punto (5,162).

colin de problemas
© te caput de concenvacin de una aca de
"à sao ato en una compet de es horas de
Garam ve da port función) = 306
— 1), donde t mide el tiempo en horas yt € (0, 3}.
à Gael osinenaosen os que lacapacién de
(once de a ara menta y aqueos
ens que diminue
bo ¿Cuáles mer momen en mina des
Capac de concenracó par que later
pc atra propa mar?
€: Representa icant la función que indica a
capucdad concern,

Evaluacion del aprendizaje

(O +atatocueseindicacncadacasodadatafunción
# JU) = Artnr
4. Callos valores de ayb para que hay un
parc deinen en (2,0)
by studi lo intenalosde crecimiento y derec-
trent paras valores de oy halos
«Halas exvemoslatvos para los valores dea
yb talados
<4. Esrcilos imenslsdeconcviad para los
valores dea y alados
€: Haas punts deine de
£ Dibuja rc dela función
+. ¿Cuintos puntos de one ene a función con
eje de bss?

¿o sexualidad —

190. Pensamientos variacional y espacial

radicales

ué es un número racional? ;Pue-
«el denominador de un número
onal ser 0 Explica.

Wiesner yd
ngminador de la función racional
ne
Pea aes ene
nen

Estudio de funciones racionales y funciones con

Conoce
6.1 Estudio de funciones racionales

El número x = —1 es una raíz tanto del numerador como del denominador
dex), pues al calcular el valor de cada una de las funciones polinómicas que
forman la función (+) en x = —1 se obriene 0.

La simplificación del función racional se obtiene de esta manera:

pe 2+ 1)
FETE Er "ern

Para representar una funciön racional) = 22), debe asegurarse que

Graver ol deta an ac Srey sc
ich ia À «anima uen aa a ciendo
San eee ro

Para gafa una función racional se debe tener en cuenta lo suite

+ Domino y concnuidad El dominio de cualquier función racional es todo
IR excepto os valores que anulan el denominador Estas funciones son con
tivas en su dominio

+ Ramas infinitas yasintoas

= Presentan asnotas verticales en los puntos que anulan al denominador x
cepto, quizás en aquellos que anuan tambén al numerador

Solo existen asiors horizontales sel gado de numerador es menor ©
igual que el rado del denominador

Solo eisen astra obicus sil gado del numerador es una unidad sue
peor al gado del denominador Se pueden halar mediante la divin del
numerador entre el denominador E cociente obtenido el sito, ya que

= 22 BD Um yo = ce = Im AOL
$00 = Fey = CO + Gis > EMO — Cho] = Im BE = 0

Comoe gado de R(x) es menor que el de Qi) ensonces para x muy gran
deselcocenc tend 30

+ Puntos critics y crecimiento

Se calculan los puntos criticos, se divide la recta real en intervalos limitados.
por estos puntos y se estudia la monotonía de la función en ls intervalos
‘obcenidos

Estos puntos limite en os que se anula primera derivada pueden ser mi
mos. mínimos relaros o puntos de inflexión de tangente horizontal

«Puntos de inflexión y concavidad

~ Se calculan los puntos que anulan la segunda derivada.

Se vide a recta real en intervalos limitados por estos puntos y los puntos
que anulan el denominador dela función y se estudia la curvatura Estos puntos
límite en ls que se anula la segunda derivada pueden ser puntos deineión.