Matematicas 9 vamos a aprender

libro 9

1. Matematicas

qe

TODOS PORUN
z NUEVO PAÍS

2. Vamos a aprender

2
atemäticas
Libro del estudiante

9

MSI DE EDUCACIÓN NACIONAL

Son ov Soros Canto

“4 ae Che er

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Les conto Sor re

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ons omy Ace Bans Com One Ans Ss

as Je hb y Mey
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A ua Coons ot, Na eh

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Ormmununnns | Ommenucacon

ES Gi ut, Da Rolón Hands: Man Mco
Va mord ado Gane, At Condo Caro

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io Oc, Joe A Hier ana.

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Ur Bl Apes, A Uy ad ahi

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(tabs ton Guapa Conan [br ey eng?
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dico MSA, 2017
Como SENT uA: 66

Bagot D €, Colo
CET)

Irn en Conta / Pied i Cano
(npn on Se

TODOS PORUN
NUEVO PAIS

PAZ EQUIDAD EDUCACIÓN

3. Presentación

Acepiar el reto de hacer de Colombia la noción más educada de América
latino en el 2025 es una decisión que genera una gion responsabilidad. La
necesidad de no perder ni un segundo en el camino hacia la calidad es un
llamodo urgente a rectores, docentes y podres de famlia que se levantan coda
moñana comprometidos con el futuro de miles de estudiantes.

Lograr uno educación de calidad es el objetivo que nos hemos trazado pore
consi un pois con igualdad de oportunidades para todos y en paz. Una
iguoldad que no sólo contempla el derecho que cada uno de los colombianos
tiene a lo educación, sino que se refuerza en la idea de equilibrar la cancha
de juego y hacer que todos nuestos niños, niños y adolescentes tengan las
mejores condiciones en los colegios, incluyendo materiales pedagógicos de
lt calidad que contribuyan al fortalecimiento de su proceso de aprendizaje.

‘Como Ministerio sobemos quelo excelencia educativo se gasto en el aul, y es
ali donde se deben concentr todos los esfuerzos de translomación. Por esto,
dotar de herramienlos pedogógicos suficientes e idóneos que acompañen y
refuercen la práctico en el salón de clase, es la forma en lo que se hará visible
el esfuerzo de un equipo de rectores y docentes pioneros comprometidos con el
mejoramiento de la calidad en la educación.

Por esto razón, el Ministerio de Educación Nacional presento el siguiente
material de apoyo para el proceso pedogégico de enseñanza de lenguaje y
mateméticas, de alla calidod. Este material ha sido seleccionado de manera
juiciosa por expertos, para que docentes y estudiantes lo incorporen a la
práctica de aulo, los abajen, los disuten con su famili, aprendan con elas y
descubran un mundo de nartociones mágicas y problemos motemöticos que les
dará poso a un nuevo universo de posibilidades.

Estos libros, cuademos de trabajo y guias legarén a los colegios y cobrarán
vida en el aula gracios ol compromiso y dedicación de cada uno de ustedes.
Por esto es importante explorarlos, conocerlos y apropiarlos; con seguridad este
seré un poso más hacia nuestra meto de hacer de Colombia la más educado
on ustedes como los protagonistas en este nuevo capítulo de su historia.

Sin lugor a dudo, esta es una de las apuestas más importantes por el futuro
del pois.

— :

4. Estructura de tu libro

Ciro mses écran dr nia sá nes
sfvones Cada unid eh oran dea Srs mane

E

esta doble página recordará
uello que ya sabes y
nocerás lo que vasa

prender y su apicación en tu
tacordiana

didáctica
srrollo de todos ls contenidos presenta la siguiente ruta didáctica.

Des Lo contenidos del sema Sia
los conceptos bios que debes aprendes

Qi
des realzar en tu caademo.

[pica rue que
asaprendda

‘alia ut conocemos.

Confira a aplicación medias Temas raros
delosconeprs espias

5. Resolución de problemas

Resuelve más actividades relacionadas conlos Hesueive problems: con el uso de diferentes
temas dela unidadydesarrollalashabilidades esracegas Sigue el cjemplo resuelto como guía
propia dela actividad matemática y pon en práctica la estate estudiada,

Evaluación del aprenc

je

En esta seciôn tendrá la oportunidad
de aplcar los temas vistos y reforzar
‘tus conocimientos,

6. " Pensamiento métrico
eros reales Pigs Longitudes, áreas y
volúmenes Pigs

| 1. Soma emi econ
1. piers corisy nimes rca
fre E eii
2. Segmentos proporcionales 42 ug RR
2. Nimans ee, » EEE ec a
NEE cn anna 2. Marie ic »
3 Lavecta real a "A = im eats
2 Longue: de cds
i 4 Rd nny a 4
4 [pencionesco nimesree 18 har
5 Med de ángulos so” mare »
5 poxencscon aponenenteo 20
| € Ranmestigmamiien 5 Tere dee, a
6 facia etn a ‘een
pa PS a F6 tongutesde desde
A fg ps “
7. Rasoresgonoménia
7. Ras x” dedegsorroais 37. Arasyrlamenede
a cor románicos se
a logutmodeunnúmerres 28% Romans ss Se
2 Amnoummdhetn 3

9. Tayecotasy dslacaminos 0

7. 1. mio xan ”
2. Grlfesexadancas 100
3. Hsxogamas m
4. Meddasderendencacena 104
5. Meidasdeposcin noel 108
6 Dayamasdeaaybgoes 10
7. Medias de dee m
1 nec de poblaciones.
ximadors puras mu

3. Varablesexadicas
Bétmenserales Depndenca 116

10 Contain ped m
1. Dogamade tl m
12. pomor m
1 Vasco pendu 126
M Pobla fecal 128
15. se eos, m
ae 5
soudé de problemas

a pmp 133

1. Concept defunción u
2. Funconescecemsy

faneores dere 10,
3. Fundones nya.

Representa fa se
4. Pendemedeunareca 16
5. Brunn dela ec us

6 Sstemasdeccusonsinales 150
7. Resolución de stems por

elimi gio 1%
8. Resolución de semis por
eimkododesisiucin 158
9. Resolución de stemas por
mtododenducen 160
10 Resolución deems por
eméodode lación 16
11 eslucón detras por
lares de Cramer 16

12. Resolución de problemas
ane em de

Ferment cos a

13: Samar de mncuncones

deprmergado 168
Practica mis m
Resolución de problemas
‘sonnets

1. Funden adria
Reprenons ve

2. Oben dels ers de una
ann adi 18

3. Funones poinömias
Represencion pea 194

4. Fancone de proportion
FES mare ae van anit

5. Tendency aous de

rafa 1
6. Funconesexponendales
Representación ica 12
7 Farcones games.
Repeseacon fica vs
8. funciones corales
Representación ca 20
Practica mis E
Resolución de problemas
outing

CH

10. ete ejemplos de situaciones
cotidianas en los que utlices nü-
méfos naturales, números enteros
y rlimeros decimales.

aba una delas ses caras del cubo
de Rubik está compuesta por nue-
ve fuadrados con los colores ban
co[amarilo,roj, azul, naranja y
vere (Figura 1)

1A solución del rompecabezas

«ónsise en que al final los cua-

lados de cada cara sean del

Ismo color ¿Qué parte del to-

| representan los cuadrados

le forman cada cara del cubo
Jucionado?

Números racionales y números irracionales

1.1 El conjunto de los números racionales

¡Como el cubo consta de ses caras y cada cara contiene nueve cuadrados en
total el cubo tiene 6-9 = 54 cuadrados,

De acuerdo con lo anterior a pare del orl de cuadrados que representan los
que forman cada cara del cubo, es

EE.
2 2 2 2 2 2
E E # E El #

úmero 2, es un número racional
Eindmero 2 esunnü 1

Un número rca se expresa de fem 2, donde p y a on nimes
enteos ya sdiino de ce.

Elconjunto delos números racionales Q se determina ask

{rez +€za0}

=

| Elnúmero —957 pertenece al conjunto de los números racionales porque
puede esrbise de la forma 2, donde el denominador de esa facción es
nero 1

=957

-957 = À

1.2 El conjunto de los números irracionales

Todo número ana ten una expres decimal intra no pedia.
Elcojumo delos números bacon Smbola cn.

En as plas o números racionales nos pueden esrb ea foma
2. dondepy son números eres y #0

Los nümeros V4, m, e, 2. v5, @ pertenecen al conjunto de los números ira-
cionales porque su expresión decimal es infinita no periódica:

Wa = 131950791. m = 3141592653.
e = 27182818284. a= 11189207115,
VB = 2236067974. $ = 1618033988749,

11. Según su origen los números iracionals se clasica en algebraicos o ras.

cendentes. Observa a Tabla 11

número reo,
representado pora
Le pega ph.

Número racional
algebraico

Es solación de alguna
ecuación polinómicacuos
coefences son números
racionales

Lasmacesno exactas.

Emo pies ret

Nümeroimacional cn entre a ongiud

rascendente

N de una crcunferenca y
| Noessoluciónde ninguna sy didmeta,
mama Laconsamedetuero ,
} constante de Nope.
Razonamiento Resolución de problemas

(O Les ca saci y escribe la propane
© tano we,
a Todo mer racional puede escribis de a
2
foma 2.
laos números acres scenes se

ubican con exacticud en a recta numérica con
aproximaciones decimales.

© Todo número racional puede expresarse de
forma decimal

El conjunto delos números racionales
es un subconjunto delos números naturales

+. El conjunto de los números racionales
es un subconjunto de los nimeros naturales

cen
O cits cose css presiones eins
eun acción
Escbe dos facons cua expen deciml co-
respond cada o de decima,

© 8 lago y anc de una piscina olímpica es 50 m

$ y 25m respecte Sun nadador quiere e

Come en dona qué tan rec A qué
onu numéro perenece exe va

Evalvación del aprendizaje

(© Mara con una x la ala que coresponda se
à nl les rancio cines

12. Da los como N y Z de
tena un a tien
Voit dee cingleN CZ 6
PEN

La linión de los conjuntos numéri-
Apia

ane

LL ders cie en

te los conjuntos N, Z, Q el.

Números reales

2.1 El conjunto de los números reales

El diagrama que represenca la relación que existe entre os conjuntos numéricos
AN, Z, Qe y la formación de conjunto de los números rales se presenta en
la figura 12.

R

Losnúmeros reales son el resultado deta unión del conjuntodelos nümeros
racionales con el conjunto de los números irracionales. Sesimboliza con Re
2.2 Propiedades de las relaciones de orden

Par by números reales, se cumplen las siguentes propiedades.

Sa<byb<cemonsa<c

Sia < bemonces a +e<b +6
Sa<byc>oemnesa.e<b-e

Sia<bye<O.entoncesa-c>b-«

Sia<byc<denconcesa + e<b-+d,

Sia-b<0entonces
a>0yb<doa<oyb>0.

Sa b> 0 emonces
a>0yb>Goa<oyb<o.

y

5a>ho>0yb>0emons <

13. Observa la propiedad que se aplicó en cada caso.
+Si-2< 3y 3 < 5, entonces —2 < 5, Esta corresponde a la propiedad
‘ranstiva delas relaciones de orden de los números reales (Propiedad 1).
«Sie < m entonces e + 3 < m + 3,Al sumar un mismo número real en

ambos miembros de la desigualdad esta se mantiene (Propiedad 2).

+ 51-5 < 7 y 9 > 0 entonces se cumple que (-5) + 9 € 7 + 9, pues
—45 < 63 La Propiedad 3 indica que al muluplicar ambos miembros de
‘una desigualdad por un número postivo, la desigualdad se mantiene,

+ SI—5<7y-9<0.emtonces (-5)=(-9)>7-(-9) esdecirás > —63.
‘Como se multiplicó por un número negativo, la desgualdad cambió de
sercido (Propiedad 4).

«SIB <11y=5< 3 entonces8 + (5) < 11 + 3 yaque3<14 Cuando
se suman os términos respectivos de dos desigualdades la desigualdad no
cambia (Propiedad 5)

+ S1=21<0,(-7)-3 = -2107-(~3) = ~21.Porla Propiedad 6s tiene
que alguno de ls factores de ~21 es pos y oro es negativo.

+ 5155>0,(-5)-(-11 55 Porla Propiedad 7e iene que
los dos factores de 5 son ambos positivos o ambos negatvos.

* Porla Propiedad 8, como 13 < 17 y además, 13 > Oy 17 > 0, entonces.

BA

Ejercitación

site © 0 € pra sica ración decada
D Pire cn reprend

a4 1
17825, z
04882 1
dom z
© 4699 a
2 R

Resolución de problemas

© anat cesta sir 27 bros ene cao

pesonas de manera equa, Cle mejor
manera deep y porque?

Evaluate der prendrais
( compa as epresones ons nos <,> 0
=seginconepond,

a Sivi<2 V2 +5

14. a ‘una recta numérica en
‘uquadero y representa en ellos
nüheros ~2: 05; 0, y 4. Describe
el pyocedimiento.

Los|números reales se pueden re.
prefencar mediante puntos sobre
¿Qué relación hay entr los nd

10 reales y los puntos de la
rare

Para construirla recta real (Figura 13) se raza una recta y se siguen esos pasos

+ Se ubica un punto de referencia arbitrario lamado origen, al cual lecores-
Ponde el número real 0. parir de este, se definen dos sentidos opuestos
uno postivo y oto negativo.

+ Se ige una unidad de longitu para medir distancia en ambos sentidos de
la recta. Cada número postivo m se representa por un punto enla reta a
una distancia de m unidades ala derecha del origen, y cada número negat-
vo x se representa mediante un punto a una distancia dex unidades a la
iaquierda del rige.

+ Las lechas a izquierda y derecha dela recta significan que el conjunto de los
números reales e infinito,

A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta ya cada
Punto en la recta real se le asocia un único número real. Entre dos números
reales hay infinitos números reales.

LL
ET area

Losnimerosreses (5 — À, - Lo à
real (Figura 14) están ordenados as:

«Einúmero — À < =, o cual indica que — À est ubicado sobre la

a
vectra ala iaquirda de =.
que de ~ À

+ Elnümero v2 ><, entonces V7 está ubicado aa derecha de a

+ Elnúmero 48 = 45, eso significa que = cumple alguna de lass
guiencsposbiidades {3 <W, 0-5 = Ua Enestecasosecumple
la relación de igualdad (=).

ue 3 3%

Den

15. 3.1 Valor absoluto

El valor absoluto de un número real a se smboliza con Lay esla distancia
que hay desde a hasta Osobre la recta ral

emploz
| Enla Figura 1 se representa en la recta real el significado del valor absoluro
delosnúmeros =3y 5.

bara CE

Para implica expresiones con valor absoluto es necesario utilizar las pro
piedades que se definen en la Tabla 1.4 Al los valores dea y b son reales.

1.Elvlorabioluco de un número
nunca esnegatvo.

2 Un número y su inverso aditivo
tienen siempre el mismo valor
abrolto,

3 Elvalor absolute de un produc:
Los el producto de os valves
absolutos.

4 Elvalr absolute de un cociente
eselcociente de os valores abso-
lacs.

Siaybson números reales y a < b,entonces a distancia entre los puntos a
ybenlarectareales|b- al

Gemelos
Para halla a distancia entre losnúmeros —2 y 11,secalcula el valor absoluto
dela resta del número mayor con el número menos a

In-cEal=|1

5

La distancia entre los números —2 y 1 €5 13.

16. La recta real

3.2 Intervalos, semirrectas y entornos

Un intervalo es un subconjunto de números reales que se corresponden
con ls puntos de un segmento o una semirreca en la recta rea

La clasificación de os itervalos se presenta en la Tabla 15, donde los valores
dea y bon reales.

presio ab da | — RÁ
beste am | turn) — E
mean 0 | nr | RÁ
(ab) bla <x 6} ER
= | (a) ex > a} u me
me | Wed | ——
mere [eus] fre | ——
ta] Gey [| -———
(es) R =
wei

Se lama entomo de cen ay tdi, ysesimbola (0) o Ela) line
valoabieno (a= na +1)
ipo
El entoro E 1 de centro 1 y radio 3s representa por elintenaloabiero:
(1-314 3)=(-2.4) Obserala Figura 16.
22

roms

Ems
| Un sismo se considera fuere, según la escala de Richter, si tiene una mag-
| nitud mayor o iguala 6 y menor que 69. Esto se representa con un inter
| valo semiabierto, cuya notación es [6 69). El conjunto correspondiente es
| 1/6 < x < 69) y su representación gráfica corresponde ala Figura 17.

E E CS

ona?

17. idades de aprendizaje

Ejercitación

(O Fis valor des expresonecon alo abou

2a |s-al » ||-101-|-sIl
ck-4 21-41

ets

© Determina dsanca nv ada par de números
Ba sy Deren
à = 67 y 298621

E 8séy 124

h aay 145

O prea en forma de nero os eromos,

a 8-2 1270)
600) 46
ES) EU)

© represen en rca real siguiente conjunto de
números reales

{

© Pesala ria dos siguientes intervals.
One o(- A.2]
4

OR

e bles -67

Wis x < 356)

© Representa era eca re cada pre de números
"© yescbe> < 0 =, segincoresponda.

2-54 38 b-12 23
80-8 ad
eat

© =091 23

ración de pra
O Un nuscionst hace un plan de límentació para
$ que un pacien mantenga su peso normal ence
566 kg y 61,5 kg máximo.
à Haz ua ica dl inenalo del peso normal
©. Expresa la proposién meine anotación de
imenal y de onuno
©. Siel paciente actualmente pesa 75,4 kg, ¿cuántos
‘elogamos debe perder el patente par aca
ar promedio de peso normal

@ tn 1a notación de conjunto para un intervalo, la

# expresón a < x = b se lama desigualdad. ¿Cuál
es la desigualdad que representa al intervalo
(23 56] Explica tu respuesta,

(O se ca proposición medanıe anotación
deiner ye conn

3. Losriveles normales de glucosa en ayunas en

‘un ser humano deben ser mayores o Iguales
Que 70 mg/dl y menores que 100 mg/dL.

beep que tada ua peon enegara
tajo qe ¿hymenro alq
EN

€ La eau de os jugadores de un expo de

baloncesto es menor que 198 my mayor o
igual que 182m

‚nal
Fe
Se

S

© ep de aqua es un nicador desu acids U
agua pura tiene un pH de 7 y el agua potable

puede tener valores de 65 a. Expres la propo-

sición mediante la notación de intervalo y con-

juno, y haz una grfica del intervalo de pH.
¿Crees que la contaminación del agua pue-
de incr en su pH? usa.

(o |

18. Sierhpre que restas dos números
nackrles ¿obtienes un número.
nathral?

oe
pi pp
ata dj una cesta de im
fad máxima de 20V3 m, como se

¿Quárto debe medir el lago de
Ua broca para abrir un hueco

le la cresta hasta el punto,
ms profundo del rer

Operaciones con números reales

Para calcular la longitud de la broca, es necesario calcular la suma entre las
longitudes dadas Esto es:

a
Entonces el argo de la broca debe medir 29/5 m

Ene! anterior problema se observa que tanto los datos como la respuesta per-
tenecen alos números reales; es deci, que as operaciones de tipo aditivo entre
reales cumplen con la propiedad clausuratva, À continuación se estudian otras
Propiedades de as operaciones con números reales

4.1 Adi

n y sustracción de números reales

En expresión a +b =
lasuma.

con a,b yc € Ray bson los sumandos y ces

En la expresión a —
sustraendo y € es la
a+ (6)

d con a by d € Ra esl minuendo, b es el
rencia Esa operación es equivalence a la adición

De forma general para ,b yc E R se cumplen estas propiedades

Clausuracva (0+ DER

Conmurtia +

Asocatia (0+ b)+e= a+ (b+e)

b+a

Modulatva EXste0 € Rtalquea + 0 = 0+ am à

Imertiva Para todo mer real exe a al quea + (0

{Un turista se encuentra enel punto A y se dirige hasta el punto 8 Para la.
tiene que desplazarse por diferents trayectos cuyas distancias son: VS m.
20m SV m, 605 m 12 m y 124 m respecivamente.

La distancia toral que recore el wt está dada por a adición. Observa:

LB + 20456 + OnE + 12+ =
(08 +585)+ (0+ 1) + (8 +268) =
AB + 32+ AS = 25730072

Aproximando por truncamiento ala décima, se obtiene: 2573.
Entonces el turista debe recorrer aproximadamente 257,3 men total

19. 4.2 Multiplicación y división de números reales

Enhopresôna

p.cona byp ER ay bson los actores y p ese pro-

ducto. Se utizan expresiones aternas para indicar e producto; estas son:

Enlaexpresióna +
yes el cociente

a-b=axb=(aXb)=ab
cona,byc € Ra es el dividendo,bes el divisor

De forma general para a, y € € R se cumplen estas propiedades:

‘Clausura
Conmuratia
Asociativa
Modul

| out del mil
re

@-neER

Gen a(b-9

Bixe1 ER lquei-a=a-1= a

1

Par todo ala exige” ta que a=

a+ dno-btarc

Resolución de prblemas
© Encuentra una expresión numérica para el irs de @)Lalongiud de un ccunferenca se expresa con un

= cada figura.

250m" radkode wa catre pr go ang ea
22m Cr er ana Jae epa
Cravacon de arena
(O sata isa de un cabo sis sabe que ene ura
# capniad de 200
fura

Sa

2 ¿Cuál sa figura con mayor área?
> ¿Cuál esla figura con menor área?

3 número racional. Indica el valor que debe tener el

temo tario | @ india propiedad que se debe usar en cada caso

© treo lend

ja

HS

20. Dobla una hoja de papel por la mi-
tad y cuenta las partes iguales que
‘obtienes. Dóblala de nuevo por la
mitad y cuenta las partes. Continúa
el ploceso y determina cuántas ve-
ces puedes doblar una hoja de pa-

pel por a mitad cada vez

Ani

rando y Lt paripan en un
combo de Matemáticas in una
celo tas eben jua sa
explesión —S! = 25 es verdadera
Ferfndo dee que a guides
confer, minas que Luis den
queles falsa.

ae —

+ ¿Quién tiene la razón y cuál sa
jukuficación a est respuesta?

Potencias con exponente entero

Lo anterior india que el exponente 2 afecta solo al número 5 y que el signo —
se ubica luego de halla potencia. or lo tant, Luisa ene la razón

5.1 Propiedades de las potencias con exponente entero
Todo número real a elevado a un exponente entero negativo n, cumple que:

Para simpliica expresiones donde estén presentes potencias con exponentes
entero, se uriizan las propiedades definidas en La Tabla 19, Las bases a yb son
números reales y los exponentes m yn son números enteros

Un cientfico creó una fórmula general para modelar una stuaciön real. La

expresión que escribis o

Para simpliar la expresión se utlizan las propiedades definidas en la

wol) = we

21. idades de aprendizaje

Erin
© Coca las sigenes potencias.
Be as” be
ene E d OF - 234)
2 Lo
ay ho 10°
+)
USA

le

O simpa cada ua de as sienes expresos y
1 imnaloseoponemesnegatvor
Be]

COTES

‘ca CAS
(Fe)
© scribe os siguientes números como potencias ur
sas ners pros
2 8125.26. 102420
ES

e
a

Comunicación
(O Escola propiedad o definición que se uaa

© cat paso ar spa src Kr)

doren

oy
«e

Razonamiento

@ conne abla 110

0 o

Resolución de problemas.

OL ena micro tacts} se

ds.

ES]
# à ¿Cuál esla edad toral de res micro bacterias?

b. Una micro baera M vive la tercera parte de la
vida dela micro bacteria ¿Cuántos das vive la
micro bacteria M?

O ensecnciogaifomásic unio ene trama

ho de 2” bye Un gaby es 2” bytes en tamaño.
Eltamaño de utente ese produc e tamaño
dently orange Cuesta de
un terabyte

Evaluación del aprendizaje

@ Determina e signo de cada expresión si, b yc
# son números ales con a > 0,D < 0ye <0,
bb-ay
& 6-9

@ Ura is propiedades de la pormcacén para
1 smplfcar cada expón

ee)

22. Notación científica

Calguia los resultados de 10 para
RE Z/-5=x55},

La dstanca ene el Soya
Tera es de aproximadamente.
49600000 km.

Esribe esta distancia en nota-
són enc

Par escribir la distancia 149600000 km usando notación cieníia, se deben

seguir estos pasos

Se desplaza la coma decimal en 149600000 hacia la izquierda hasta obrener
un número mayor o iguala 1 y menor que 10.Se quitan los ceros y se obtene
1456.

+ Se scribe el producto entre 1496 y 10 El exponente 8 indica las cifras dec-
males que se desplazó la coma decimal en el paso anterior,

Porlo tanto, 1496 10" esla distancia del Sol la Tera en notación ciencica

{Un número postivo x está escrito en notación científicas está expresado.

10, — dondersa<0yneZz.

Para escribir el número 3113 + 10- en notación decimal se desplazan seis
frs decimales hacia la izquierda como lo indica el exponente de 10,

313 10°'en notación decimales 090000313.

6.1 Notación científica y operaciones

Para sumar y restar números escritos en notación científica es necesario que
losnúúmeros tengan la misma potencia de 10

Para multiplicar y dividir números escritos en notación cieníca se ulisan as
propiedades delas potencias.

| Un automóvil se desplaza a 90 km/h por una autopista que conecta dos.
| ciudades Para transformar esta medida a m/s se utilizan ls propiedades de
* la potenciación y equivalencias entre las unidades de medida. Esto es:

1km=1000m=1-10'm
1h=36005=36-10's
Luego, se transforman 90 kmih a m/s as
Jon AM 5, ikzan las equivalencias arte
0 im = Se Se utiizan as equivalencias anteriores.
30m
am 4 se implicants expresiones utiizando
365 ane i ne

las propiedades dela potenciación.

25 m/s. + Se reaiz la división correspondiente.

i
H

23. 98 de aprendizaje

ecco
O Escibe cada número en notación nica
© à 58934000000 b. 000026

« 97000000000 396000000000

000 121500
Om 92150000000
À anomoonés | 6000000

© ie cata ener en run dena

Mc. b 6-10"
como dam
er (855-10

8 4678-10 30

© iia a nor cea propiedades de as
À pote: y cor pencher lead
entire persone
a (7.2 + 10°X1806 + 107")
„ar
(505 + 107°

© {aoooren(o01587)
1594621 070)(00058)

à 0084-10
(0000000079)

©.02- 10861 10")
Comunicación

CEE

+
|
=
tae
Átomo de

125-10"

ano000op0o182

Resoluciôn de problemas

© sin velocidad dea uz es 3 10 m/e suite
$ tarda eneconer Sin?

(O vnted ren nacido tne ceca de 26000000000
© células Un auto Gene cca de 44 10 cls.
¿Cumas cls más ene un ado que un ein
nada Escribe espera en noacon cena

(O & ra toa de tee ena Tea es aproximads-
'% mentes 10 millas cuadradas ea ocal deere.
no de Australes ceca de 3-10 mias cuadradas.
Aproximadamente, ¿cuántas veces es mayor ea
coral dl teen ena Tier que en Aula?

¿Cuál delas siguientes medida no se debería
‘escribir en notación cenuia: número de
suelas en una galaxia, número de granos de
arena en una playa, velocidad de un caro, 0
Población de un pais?

> 48 nümero 09 + 10” está escrito comecta-
mente en notación científica ¿Por qué?

«¿Qué diferencia hay en el exponente de a
potencia de 10 cuando escribes un número
entre Oy 1 en notación científica y cuando
escribes un número mayor que 1 en notación
científica

24. Radicales

Delcribe cómo a parir del rea de
un Fuadrado puedes determina la
longjtud de su lado.

Andrés sá halando los valores
de nassen a akculadra
Cuándo dg

la pncala Math ro

¿Quiles el significado de “Math
ro para sta ral

7.1 Raíz n-ésima de un número real

Cuando Andrés diga 4g en la calculadora elaviso"Math Eror que aparece
ena pantalla significa que hay un error matemático o que el resultado no está
definido en los números rales.

En este caso, se deduce que la raíz cuarta de —8 no existe porque no hay un
número real que multiplicado cuatro veces por sí mismo dé como resultado
=8 Por lo tanto, 8 no está definida en los números reales.

Sin € Z", enconces la ralzn-dsima de un número real ase define como:
Ya=b significa que br
Sines par se debe tener que a = 0y b > 0.

El número de raies reales que tiene un número real depende del signo del
radicando y de el Índice es paro impar. Ten en cuenta la información de
la Tabla 1.12

Cuakqier | Unadeigual W128 = 2 porque 2= 128
impar mineo Sgroquee! 43TH = =spoque(-5}
wel cdo apo
rose | Dosis DM + mer 206
Par Nulo Unara nula 4/5 = G.porque "= 0
Negativo | Noessten | V5 € R porque no existe un número.
racers Na que onda td à
eme
+ fi
Par robe expen 2 can as aces ues re
ore ETES y ¡ego
y EA

zan as operaciones indicadas at
ms SE
| Comoenel denominador hay dos resultados posibles entoncesla expresión

tiene dos soluciones:

25. 7.2 Potencias con exponente fraccionario

Toda potencia con exponente fraccionario puede escribirse como un rad
cal Sim.n € Zn + 0y a ER, se cumple que.

Idenufica los valores delas incógnita: w y ken las siguientes expresiones:

ar =x (a) = yes

‘Se epresentan estas potencias como expresiones radicales, ast

De esta manera, se identifica el valor de las incógnitas Luego:
Visa

>
€

sk

7.3 Radicales equivalentes

Doso más radicales son equivalentes sus potencias cortespondientes te-
nen la misma base y el mismo exponente,

Los radicales Jas" y W35* son equivalentes porque al escribirlos en forma de
potencia sus bases y exponents son iguales Observa:

Be M = 8 = pt
- amples!

Para encontrar radicales equivalentes a YS se amplifican o simplifican el
indice y el exponente del radicando por un mismo número mayor que 1,3sé

-Sseampicaper secre dal iene.
= emo por 2 cn aca eue

26. Radicales

7.4 Reducción de radicales a índice común

Reducir a indice común dos 0 más radicales es encontrar radicale equiva-
lentes a los dados que tengan el mismo indice

‘pos
Para reducir a indice común los radicales 3m. /2° -(3t)', [2-/°-3° se llevan
| acabolos suene: aos

| à Setalaeiminimo común météo nue ste: em 234) = 12
| tes lee comin para eds rad

| «Se divide el m.c. m. hallado por cada uno de los indices de los radicales; es
| decir entre 2,3y4.

|» Cada read (6 y 3. se mutpica por los exponen comspondin-

tes en los raicandos as

| De esta forma, los radicales obxenidos son equivalente alos dados y son
reducidos a indice común.

7.5 Racionalización

La racionalización es un proceso en el quese elimina la parte radical en el
denominador de una expresión.

Para racionalizar la expresión = cuyo indice del radical es 3, se amplifica

lafaccón porun factor que elmineelradialen el denominador Es dec se
"busca un factor raconalzante que mulipicado por JR dé como rester
| do3h Enestecsoelfacor es ¿fa? porque hn? = 3 Alraconaliar
| expresión se biene

A AS
ec nd

Fri

LL
Para racionalizar la expresión Tr donde el denominador es un bino-
mio, la fracción se amplia por el conjugado del denominado; es decir por

«el binomio con signo opuesto en el segundo término: Ya =-/7.Laraciona
lización se hace ast

e add) a)
QE re

27. Ejercitción
O simpifcacadacspresón.
re bd
fai
M gd
PAT
ew
© Hat dos acicate equivalentes a cada radical
car
és

au)
© rece à nice comin os sue radicals
E Aisa ia fF

RRA

a ae

etal Nab ET
Razonamiento

© Desermina qué número es mayor en cada par de
à expresiones Evia sar calor

© acionalzacada expresión

AS er
rs FA
mine m+i

E een

EN

NA
i
1

Felación de problemas
© Cesc dela super temese aempot que tarda
un objec en caer una disanca dest ado por la

o dnd elem epinsy
df poque in
near ts

(O 1a cin ene el radio yde una esfera y su ea
OS esd deuce

que ene un area oral de 64 unidades cuadradas?

Evalvación del

rendizaje

(O comple abla 1.13 Luega responde.

100
a. ¿Qué sucede con laraizn-ésima de 2 cuando n
seincrementa?

b ¿Quésucedeco rate méximade + cuando
(O Escritor ita proposición sf o Vsies veta
de
3. Raconalar gica minar todo os rad
aes de um expreson
à Sol as expresones on rade de indice 2
se pueden coal,
«fate rconaleate es ua expresión que
permit mina un ca
E conjugado de un binomio es ove binomio
con spre nega.

28. "Saberes pre

“Clántas veces tendras que multi
Par el 2 para obtener el 8 como
ado?

Elo ssensble a una amplava-

Ind de incensidaces de sonido.
El nivel de intensdnd 8, mecico
en decibels (48 se define como:

fi
Ol y

de | esla intensidad del soni
medida en vatios por metro
ado (W/m) y, es la menor
sidad del sonido que puede
tar un oído humano 10°”

Er

£

=

+ Ehcuentra el nivel de incensidad
de una cubina de avión duran:
el despegue ia intensidad es

100 Wim

8 Logaritmo de un número real

El nivel de icensida 8 de una turbina de avión durante el despegue, sla in-
tensidad es 100 W/m, se obtiene sustituyendo este valor yl de, en la fórmula
de nivel de incensidad st

Por lo canto, el niv de incensidad es 140 dB.

El logaritmo de un número x de base a es un número y al cual se eleva a
base a para obtenerla potencia, es decir:
logx=y siysolosi @=x cona>0ya+1

Sienla expresión log no aparece el número que señala a base significa que
el logariemo es en base 10.

Samples
‘aero gano og 1010000 log, se cheque:
las = 3 porque! = 125

ORT = porque 1

“ape”

8.1 Propiedades de los logaritmos

Para todo a x y E R se verfian las propiedades de los logaritmos def
idas enla Taba 1.14

oy slog logy lg 9-81 =o, 9 +81
ey ee i = 5s, 25
en Lo 20 56,30

bg 1=A(pa20+0) bgji=o

Silog2 = 03 hal loslogaritmos decimales de 20,5 y 02.
‘Se escriben os nûmeros en función de potencias de 2 y de 10/a base)
+ log 20-= logía 10) = og) + log (0) = 03 +1 = 13

+ logs = log (10+ 2)= log(10)~ Lg 2) = 1~ 03 = 07

| + 10802 = log + 20) = fg (2) = log) 1=-07

29. 8.2 Cambio de base
Para cambiar la base de un logaritmo se ua la siguiente fórmula:

on
ET pe

Para demostrar que a fórmula de cambio de base de un logaritmo es válido
se parc dela definición delogaritmo:

logx=y
| « Lego se escrbe esa expresión en forma exponencaly se toma logar
| ma con base en cada lad dea gualdad ast

y x» logo”) = log, x
+ Seaplcan ls propiedades correspondientes y se despeja y para obtener

Lex

yrlogaslogx y

| Semplos
Par calcular log, 15, se escribe en función de ogarkmosen base 10 aman:
do bal logaritmo buscado, se tiene que:

H b= log, 15 siysolosi2* = 15
À à ge als logren dena de ambos adore ay pan
Las propiedades delos logarimos Entonces:

NR = 10g 15 b-log2= log 15. 10g, 15-1og2 = og 15
| + Sedespeay se hacen los áluoscoespondientes as

15= ETS 2 1% sa 3907
PSE ga a *

El logarumo de base e e lama logaritmo natural y se denota con In. Es decir
logy = In x donde ees el número racional trascendente 2718281... también
llamado constance de Euler o constante de Napier.

plan
| Para cambiar In20 base 10 se aplica a ru as
A In20 = 12820. 2096
H loge

En la calculadora soo es posible obxener resultados de logaritmos en base 10y
«por el, esnecesaro primero cambiar la base de un logaritmo a esas bases.

30. Logaritmo de un número real

El cambio de base del lg, 345 a base 10 ese muestra en la Tabla 1.15

ie = ns
EST es er;
= 36308 = 36308

Se observa que el resultado aproximado de log, 345 es 36308.

8.3 Paso de una expresién algebraica a una logaritmica
y viceversa

Para convertir una expresión algebraica a una logaritmicase aplica cl loga-
ritmo en a base escogida a ambos lados de la igualdad y luego se utlizan las
propiedades delos logaritmos.

Para convertirla expresión algebraica
se procede así

a una logartmica natural
eg era ba

inR= in
A
n= nm ine? Inge

=3-Inm-7-Int- Lin,
InR=3-Inm—7-Int~ ting

Par conver algunas pres orties api apcans
propltades des lgatenos en endo Imsa

Gomes

La presó gris og = o,f lof Log ke ane
fea en una algeria as

lea = og f+ lg, f=, dE
ogy = og, f°) ~ log VE

| log = Hopf og lok
: HER —
| leet = og,

31. Ejercación
Open ca bgrimmoen fora exponen

Mine 1)=4 b.Iny=5
mi pe
mie thal?)
ei Me
© scribe cada porenca en forma logarímica.
Beer b. 10 = 00001
met ued

© trata vor decada logarimo.

2 à 108,9 og, 64
eg,‘ log,
log, 1 (og, 3

© rpc os ropiades elos logaremos pra am
1 plfcacaa epresen logre

a. logi2+ og? — log
b logs + Slog,2

log, 6+ clog,d ~ rlog,s
log, A + log, B — 2log,C

og x 26g y~ og)
Besoin e problemas
© ta «éd un oso amigo puede deterinase
À por a cad de carbono M radactio que per
Imanece en iD, eslacanidad orignal de cabo
ne y Des end eae, nonce ead
Adel objeto (en años) se determina por:

ne)

Encuentra la edad de un objeto sila cantidad D de
carbono 14 que permanece en él es el 73% de la

dm

cantidad original D,

(Q La magnitud de un terremoto según la escala de

À Ree dsenina por M = log, donde esa
intensdad y 5 la inensidad estándar Si un smo
tiene M = 65 ¿cuál es la magnitud de oto smo
con intensidad 35 veces mayor?

Q pH de om astra ed de por
À PH = —log [H*), donde [H*] es la concentración
Geis jones de tite medida en mals por
ie (M) Lassustancascon un Ph = 7 son nes,
on pH <7 son dds con ph > 7 sonas
à £n una mostra de sangre hurana senor
Que = 316-10" M Determine py
sto

bo La lua más ácida medida en a historia tuvo un
PH de 24 Decermina la concentración de iones
de hidrógeno.

© La concensración de iones de hidrógeno en la
ras de huevo frescas es 13 107? M. Dexermina
su pH y clasifica la sustancia

Evaluación del aprendizaje

© Liz ts propedades delos ogarirmosy calcula.
:

O

cin Jas dnd

esti)

PE

32. Practica mas

Números reales Potencias con exponente entero
Cohunicacien Ejercitación
‘Completa la Tabla 1:16. © simplifica cada una de las siguientes expresiones.

01.9.9465) BS) st (57-59)
se
735° er

8

nue vw
Ubica cada conjunto de nimerosenlarectamumés |,
Oro Semen te Radia
a Bercacién
am -18 ei @ Escribe dos raicalesequivalentesa cada radical.
Sa ain ne
na eb ae

A | @ She tna ono wn ae

= 7
NE]
5.Radonaesyentros

€ Reales eiracioales. Fr AE

Enteros negativos y naturales

© representa en a recta numérica los siguientes iner- | Logaritmo de un número real

vals dental centro y radio Ejeritación
|x| 202 b-7Ex< 5 | (Q) Halalossgueneslogariemos.
jc (5,20) ane 5] © 2. 8,64 b:log81
elrtsisıs ch=ds=5 «logs og. 025
ER log
Resblución de problemas. u, de am
En La Figura 113 se muesr una crcunfrenciains- | © 108,50 hes,
| crita en un cuadrado de diag
5 FPS © Encuentra el valor decada logariemo,
ß 9 2.1817 b.log,12
<-log,10 dog")
«log/2) Lg
m By) logie + y)
¿Cuáles tradi dela cicunterencia ¿logar i loge)

33. Resolución de problemas

Estrategia: Seguir un método

sit = oan, 2 = 0666. $= way

du aes pen hores
did ae ti E cats
etilo des?

do

1. Comprende el problema
+ ¿Qué datos da el enunciado?

¿Qué debes hal

2. Crea un plan
+ Seridemifica el periodo de cada ración.

+ Se expresan las facciones impropias cuyo denomina-
dor es3como lasuma de una facción con un nümero
‘entero ys encuentra una regularidad.

ses
¿es pes or À pue cu

más fracciones tienen una expresión decimal infinita
con periodo 306.

+ Ena fracciones impropia se observa:
1

a+ barton.

Sars ase.

"Cando $ es umadeun irr roy ate
Gén 2 la presión decimal ene período 3 Cuan
dl par acorta rn deta
see peodo&

4 Comprueba respuesta

2er,»

+ Vera con asfacciones +, 5.3.79 2

Aplica la estrategia
© cutestregl general que prie deceminar
la expen decima de un número coral de

lafoma 2 cuando numerador no es mi
odeur
a. Conpended piers

b Crea un plan

© cu el plan

À Compruca a respuesta

Resuelve otros problemas

© En certo experimento se observó que la vaa:
«ión de una población de baca es

‘Alas 800 a.m se inicia con una bacteria,
‘Alas 900 a.m hay tres bacteria,

Alas 1000 a.m hay cinco bacterias
‘Alas 1100 à m hay siete bacterias.

¿Cómo se puede generalizar la variación de la
Población de bacterias?

Formula problemas

© trvenca un problema que involucre os daros de
la Tabla 117

Enriquece tu vocabulario

+ Escribe las diferencias entre números Imacio
als algebraicos y ascendentes.

34. eros reales. Propiedades y relaciones

miento
conectes |
alas). rn)

a. Bien infinitos números racionales.
». Todo número decimal es un número real

o
o
o
o

Lapeión 2 eannimeored
{nde Osan

+ Ente dos números racionales siempre existe
un número ircional. O
Ningún número racionales racional. ()

in setae det er ray de
termina sila siguiente igualdad siempre se cumple.
DE o

Justifica respuesta.

© compra os números dados en cda caso. scribe
“<0 >, según corresponda, nn

22 Ojos »
Ou ¿BO 2
Oy 10-2

das er wis
Ne
en

ina 1
aSa=3yo=2 +0 )+

bSi9-z<0=92( 0

real
lación

Relaciona asexpresonesequiaentes
ax<-3 210]

bsex==3 +80)

ex 050 +6) |

ana a) |

Evaluación del aprendizaje

Resolución de problemas
(O ta semper meca en Montel durant un ño
Y semen nia Figura 14 Ua ému de
tania con valor aioli par ale aumento en
ados cena neos meses de enero so

horse dB eet De
ur

@ La esca numérica de eaiacén por desempe
1 fos en ura tn cava se presenta ena

Tabla 118. a

10229
30339
Mass
46250
me

=
Bo

[ eo
Superior
a. Qué tipo de intervao representa la escala numé-
rica de cada desempeño? Haz la gráfica
b.Si un estudiante obriene 394 en su promedio bi
_mestral ¿qué desempeño obtiene?
Operaciones con números reales
Ejercitación

© resucre ls siguientes operaciones Di qué propio
dadesutlizasteen cada ao

2+ 6-2
248-2
b+ —a595
i+ 2 0086
1
abr tl
hm

35. Potencias con exponente entero

Ejercitación
© Cia mentaimentlassgiemes exresonesap | (Q Un cabe humano tine un anc aproximado de
cando as propiedades de os exponentes. “© 65. 107 mm ¿Cuál e elancho del cabe escrito
‘i en notación decimal ao
a ares
+ Radicales
© implica la pren — 84+ 3. Comunicación
* | escribeosradcales en oa ce potenca conexpo-
Razonamiento {ence facconarioo viceversa en la aba 139
© setecciona a expresión que se obtiene al implicar
À fac BLT? us
Pe
in
ae
ip
Resolución de problemas
@ tn macemáricas nancies xpresón le
SEE = p(t + i determina el valor uo de una E
caridad nical a una tasa de nes pr periodo ==»

dentro de periodos Si se depositan en una cuenta S
$ 350000 a un interés mensual de 025% determina | Logaritmo de un número real

¿valor futuro después deresaños. Ejercitación
== sa fórmula para cambio de base y una calculado

"Notación científica 1 7 para hala cada logaremo. Aproximalo cuatro
Razonamiento cas decimales.
Orr 2.109,89 5.108,26
A Laditanda en el espacio se mide en ños luz Un | <log,18 log

ño luzes a distancia que recorre un rayo deluzen |. log,89 1108,26

un ana Sa velocidad de az es de aproximada | og 82 Reg

mente 300000 m/s, determina los metros recoridos hier Fa

en un ho luz | Cu os,

© £isct expresión que resta de expresa en miga | Resolución de problemas
e mos lamas den prorón (158 10" kg). © Ura fai de bci se divide cada ves horas
# Una colonia comienza con SO bateas y el cempo

2.168: 10" mg, b. 168-107 mg ‘(en horas) requerido para que la colonia crezca N
168-10 mg. 168 + 107 mg RAA EE
bacteras se 04 os al
Resolución de problemas | esa como = 3
(© Sara puede cigitar cerca de 40 palabras por minuto. | ¿Cuántotiempo serequiere para que la colonia crezca.
# KCuintashorsletomarädigtaruntenode26-10° | “aun mildn de baceris? Gas)
palabras?

37. Pensamiento espacial

+ A usar diversos métodos de

demos ia.

38. Inamá de Rafaelleda la siguiente
drucción: “Tiende la cama o lava
ropa". Si Rafal decide lavar su
ipuedes afirmar que hizo lo
su mamá le ordenó? ¿Qué va
(de verdad tendría la afirmación?

ria Fernanda afirma ques e su
‘dos números impares a y bel
itado es un número par.

ué est suponiendo María Fer-
day qué quiere probar?

El proceso de la demostración

María Femanda debe demostrar de manera general lo que afirma. Debe tener
claro cuáles su suposición y qué quiere demosuar El supone que yb son
nümeros impares y debe demostrar que a + bes un número par.

La proposición o sentencia que e supone cera se denomina hipétessy a
proposición que se vaa demosra se denomina tesis

=o

En elenunciado “Toda recta paralela a un lado de un rángulo divide los

tros dos lados en segmentos proporcionales” se identifica que:

+ Hipóxesis es una recta paralela a un lado de un triángulo.

+ Teis: la recta | divide alos otros dos lados del triángulo en segmentos
proporcionales

{Una demostración consiste en un conjunto de supuestos lamados axio-
mas o premisas que se combinan de acuerdo con las reglas lógica, para
deduci como conclusión la proposición quese está demostrando.

{Una demostración consta de la proposición, cuya validez se desea probar; los
fundamentos, que serán ulizados como base dela demostración ya aplica-
ción de las regis de inferencia para construir una cadena de razonamientos
que conduzcan hasta la conclusión.

1.1 Elementos que sustentan la demostración
Entre los fundamentos que sustentan una demostración se consideran:

+ Las definiciones de los elementos que entran en juego en la demostración.
{Una definición es un enunciado que especifica Las caracteríicas de un obje-
to de manera que pueda idenifcars y diferenciarse de oros.

+ Los axiomas y postulados que corresponden a las proposiciones que se to-
man como ceras en el área de estudio.

+ Los teoremas o tess que han sido demostrados con anterioridad.
+ Las reglas de inferencia lógica.

Sip. yr son proposiciones cualesquiera, algunas reglas de inferencia son:
+ Modus ponendoponens (p->q) A p=>q

+ Modus tollendo tolens (PG) A ap

+ Siogsmo hipotético 0994090099
+ Doble negación o) > p

+ Modus tolendo ponens (PV) A pg

39. EU

En el enunciado "Toda recta parles a un lado de un wriángulo divide a los
| otos dos lados en segmentos proporcionales se involucran las defnicio-

mes de "urángulo” rectas paralelas y razón entre segmentos proporciona:
les el axioma Por un punto exterior a una recta se puede raza una Única
recta paralela a a recta”, el teorema “Los segmentos que se generan en dos.
rectas transversales al ser cortadas por rectas paralelas son proporcionales
y, las reglas de inferencia lógica modus ponendo ponens, modus tolendo
| cols y modos toledo ponens.

1.2 Método

recto de demostración

El método directo de demostración es un mérodo de razonamiento en el
cual ise tiene una secuencia de proposiciones P,P, ..P, de manera que
P,9P,P,>P,—.P, _, > P, se puede conclir que P, > P,

Una proposición condicional es una proposición resultante de unir dos pro-
posiciones py q mediante la forma SL entonces Se simboliza como p => 4.

Para probar queenun AABC mA + ma. + MAC = 189 seconsrye
À una abade frmaconesy jusfcaiones (abla 2) y nagra axa.

| serna XT quepsaporCye Porun pun exer a uae paa

+ [pala a pull (gr 2)

D Taras Un dng dados cole mude

“mg + mg2 + mt
mal + ma2 + n

Imätmmäbymzumga \ängiesakenosinemesente

= paralelas sn congruentes.
AA + MXB + mEC = 180 Princpiodesusttucdn.

1.3 Método indirecto de demostración

El método indirecto de demostración es una forma de razonamiento que
1. Negar la tesi del enunciado,

2.Suponer cera la negación de la tesis

3, laborar una cadena de razonamientos que se siguen lógicamente dela
negación de la tess.

4 Obtener una contradicción yafırmar acess inci

40. El proceso de la demostración

re

o] 7
Parademostar queidosrectascoplanares|,y,sontalesquely Ten Ay
TAT en enconces T-Yigura 22) senegal tess suponiendo ques
reas se intersecanen un puto Riga 23) Ass ene que

iersecaal,enR Dado (eva hipéress)

“I,pas pork, LI Dado(nuevapéres |
pass porR y, LI Dado(ouea pes) aay

Se tendrían entonces dos rectas perpendiculares a! que pasan por R, lo cual
esimposible pues “desde un punto exterior a una recta dada hay ao sumo
una perpendicular ala recta dada” De io anterio se concluye que |

1.4 Método de refutación por contraejemplo

El método de refutación por contraejemplo conse en probarla falsedad
de una proposición, mostrando un caso o un ejemplo de un individuo o una
situación para el que nose cumple la afirmación

Para ia exe método se examina e comedo dela proposición ye busca
una setenca que niegue o contada o quese ama, es deci, se hala un
<ontraejemplo

‚za

Elteorema de Tales enuncia lo siguiente:

Sila wanseral, ora a as rcts paralelas, y Len A By G respect
| va beans, I hace en DE y respecamente, tonces
Lore
| Este teorema se demuestra por el méto- j *

do directo como se muestra a continua- 4} lo
ción Ses una unidad de medida al que

AB = xu y BC = pu, y se trazan paralelas 1
al, por los puntos donde se toma cada
Unidad u, entonces BE y EF quedan dv
idos en segmentos de medidas iguales à 9" F
ut (Fgura24) Den

a ty À
ES

41. @ Amar obsena que aa ver que ago

ras de un cado, ess restan e perpen
Cares Ela quiere probar que exa es una pope
ad de codosloscuadados

a. ¿Cuáles enunciado que debe demostrar

bo ¿Cuálesla hipótesis y cuál es?

Ori una consrucción geoménica para cada
À enuncado y paneal proposcón condiralco-
respondent
à Dosing son congue seen dos
Angus respeciamente congruentes

» En todo recrángulo se tine que las diagonales
son congruentes.

© En un wüngulo isóscels los ángulos opuestos
Jos lados congruentes también son congruentes.

© Demuesra as signs proposiciones pore mé
$ todoindecra

a Sixyy son enteros poses y ay es un número
impar entonces xy y son impares

lo Dadas dos rectas cortada por una secante, si
dos ángulos alternos internos entre estas son
«congruentes entonces as rectas son paralelas.

<a by son números enteros positives. Si
ac < be entonces a <b,
Sia EN ya esimpar entonces a esimpar

© cateta a media del segmento AB enla Figura 25.
® Supón que TUT, IT,

© ige e concacempl par a mac dada en
$ cas
à cuadrado de tod número ener es un nú
reo pat,
eG co
Todo nimer par es be entre 4

16+4=4) 10+4=25 9+4=225
© Ningún número primo que sea mayor que 10
termina ens,
9 æ s
Resolución de problemas.

(O Prominin comen paa ca arma,
À a. idos ting rectinguos nen un ángulo
agudo conespondieneconguente,emonces
Senconguenes
2 os gloire dos pares dado on-
arenes once son sem
€ Dosrerngulos ue tenganigal permet
deren ga ra
¿Todo mero el ein.
€ Todoslos ings ernguossonconguen-
os

calvación del aprendizaje

[© cemuesa poros modos deco e indecto

que “Toda parla a un do de un nal que
ide a un lado en segmentos congruentes am
Bien die al oro en segmenos congue:
Usa Fur 28

#

de

42. (2) Segmentos proporcionales

Se busca aquí una expresión algebraica a partir de la representación gráfica.
2+ Sk + + SE = 42
vk = 42
k=3

Entonces, ls dimensiones del aparta

mentoson.2-3= 6myS-3= 15m

2.1 Razones y proporciones

Unarazón el oc ne dos magnitude comparables ene La a
zón a:b (a es a b) se escribe como $ con b # à Cuando À = £
forma una proporción donde ay don ls extremos yb yc son los medios.

Además se cumple que el producto delos extremos es igual al producto
de los medios es deci, ad = bc.

ET

Las edades de Luis (L), Maria (4) y Jorge U) suman 70 años y son proporcio-
nales 2 1,2 y 4 respectivamente, Sik es una constance de proporcionalidad,
se tiene que,

+
Entonces ky) = de
Como a es edades suman Daños entonces + M +
Porlocamok + 2 + 4k = 70 7k = 709 k= 10
| AS‘ ene 10 años Mar ene 2D añ Jog ene 40 alos

Lar

2.2 Segmentos proporcionales

Dossegmentos son proporcionales si sus medidas forman una proporción.

1 Al compararlas medidas de los segmentos correspondientes en los dos rec-
À cérguos lets ues 28y29.seobene que À = Y

| Como 12-15 = 180 = 18- 10 las medidas de los segmentos correspondien-
| Seton ua pen ports socios on pronation

m

| Im he
en ET LUS,

43. Par elaborat os plano de una casa olos modelos para confeccionar una pren-

a de ves. se hace indispensable hacer un dibujo.

No siempre se requiere dibujar un objeto en su tamaño origina algunas veces
es necesario ibujarlo más grande y otras, más pequeño À ese procedimiento
sele conoce con e nombre de dibujo a escala Para realzar un dibujo a escala,
se establece una razón de proporcionalidad ene ls medidas del dibujo y las

del objeo real.

‘A escaa de 1: 1000 y 1: 5000 se pueden estudiar fenómenos de mucho de-
tale. Con escalas entre 1 : 5000 y 1 : 20000 se pueden represenar planos de
ciudades, mienras que con una escala entre 1:200000 y 1: 1.000000 se puede

hacerla representación de un paí.

ARA

© Compara ls medidas de os segmentos conespon

© eres en los mg de las as 210 y 211
Indes llos segmentos comparados on propor
rales Jasa mus respuesta

Te

he i
IS 7

» E
kant Km

© Die cues delas sienes ande son cier
= cs apa por aut

2.2 peer
a$en +

22% dat

ces de

3.2 (2-3

en. Bos

Z due

A % e

eran
© ese es signs problems

® u. Averigua cuáles son las medidas de una hoja ta-

mans cra Sres lados de unen de

Jam por scm proporcionales alos ados de una

hon de se tamal e recngao mie 21

0901297 m ae mimo?

Con crea de as medias de una hoja A y

de una hj Ay ena à ads come.
ponders son propor

(© sis metas de os lados de un tingut rec
# ingulo que esán en razón de + se duplican,

¿cómo varía el perimetro original Con respecto al
del nuevo triángulo? Haz una representación gr
fica que apoye tu respuesta.

Judable
east

e
sk
El consumo de algunas sustancias psicoactivas
a
O
ue
ie ya a
ee

44. ¿QUé objetos tienen una cara plana

forma de circulo? Describe al.
de elos.

era no es esférica, por el se
que tiene un radio medio de
1 km. Si un satélite tiene una
à de 30000 km desde el cen-

lea Tera (Figura 2.2) ¿a qué
ra est el saélte respec dela
brficie de a Tierra?
‘suite
aso
le
tio Terra
mace

Para responder la pregunta se debe rear dela longitud del rado de la tb del
saélelalongiud del ado medio dela Ter, como se muestra a continuación

30000 km — 6371 km = 23629 km
Por o tanto el satdite est a una aura aproximada de 23629 km de a Tier.

Una circunferencia está formada por los puntos de plano que scin a igual
distancia de un punto llamado centro, Tal distancia se denomina radio de
la circunferencia.

Una circunferencia separa el plano en tes pe
subconjuntos:einterior dela circunferencia,

el exterior de esta y la circunferencia propia raten
mente dicha (Figura 213).

La unión de la circunferencia y su interior se Foman
denomina circulo.

3.1 Elementos de la circunferencia
En a circunferencia con centro € se observan los siguientes elementos:

Radio: segmento que une el centro
de la circunferencia con cualquiera
de us puntos.

En Figura 214, AC. Gi y ZN son
radios

Cuerda: segmento cuyos puntos ex-
tremos están sobr la circunferencia

En la Figura 214, MIN y RP son
cuerdas.

faa

Diámetro: cuerda que pasa por el
‘centro de la circunferencia

Enla igura 214, A esun diámetro,

Arco: porción continua de la
rcunferenca
En la Figura 2.14, MR es un arco.

Semicircunferencia: arco determinado por los extremos de un dämetro En
la Figura 214, MN es una semicircunferencia

45. |

“Comunicación

© comple tosenuncadosa paride lo du dels

3 figuras215218.

a 205m > a

à pasen
yr . rom
No.

Ss N Gen

a Sielradio dea circunferencia A mide
entonces la longitud del dimetro es

b Puesto que el diämesro de a circunferencia Bes

de emsuradioesde em
€ Comoe! dela cicunferencia Ces de
43 em entonces la longitud del esde
am.

asiel“ deta crcunferencia Desde Vi cm,
entonces el mide 2,5 cm.

© Determina cada una des genes afimaco-
3 nes es verdadera (V) o falsa (F).
à Todas las curds min mimo.
à lato midela mit del dime.
© Ur usa puede sr un aci.
& 8 käme es mayor de odas ls
cuerdas poes.
«cl spared plano
cera por ra creunereni

incluyendo la propa linea dela
“reunferenca.

© oa conus paraa nca ee rent
À tenia cela

© erica ada uno dos elementos dela crete
$ rena dela gun 29.

G
A .
ke
D roma
a Kes
b.Jesun diémetra
« Dies
Elpunto__ eset centro de a circunferencia

(© raza lostemenes que seinccanen acne
À rencacon certo en (gua 220)

à Unarco AMN,
1 Una cuerda PO.

©. Un ángulo central BOC.
Un arco RS

46. à un extremo de un hilo de
50 km un borrador, Tómalo del
ou exremo y halo grr alrede-
de un punto fo, Cuando el
moyimiento del borrador describa
undrcunferenca, suelta acuerda.
¿Cólno es la trayectoria del borra-
oral sokarlor

(Obéerva la circunferencia con cen
wo y la recta de la Figura 221
[ca qué relacion se puede esta
y entre ellas.

© |

O.

(4) Posiciones de una recta y una circunferencia

La recta RS está en el mismo plano que a circunferencia de centro € y la corta
en dos puntos (R y S) Por lo tanto, RS es secante ala circunferencia porque
tienen dos puntos en común Otras relaciones que se pueden establecer entre
‘una reta yuna circunferencia se muestran enla Tabla 23.

Recta tangente Recta exterior

7 estangentealaceunfe- | T’ esexterioralacicuntren
renc en M porque enenen | ca porque no tienen puntos en
‘comin soo un punto. común

4.1 Posiciones relativas de un punto y una circunferencia

Entre un punto y una circunferencia que se encuentran en un mismo plano se
Pueden establecer as re relaciones siguentes

+ Interior la distancia enel punto À y el centro dela circunferencia es menor
que la medida del radio (Figura 222).

+ Sobre la circunferencia: la distancia ente el punto By el centro de la cicun-
ferencia es igual que a medida del radio (Figura 223),

+ Exterior la distancia entre el punto Cy el centro dela circunferencia es mayor
‘que la medida de radio (Figura 224).

4.2 Posiciones relativas entre dos circunferencias

Entre dos cicunferencas que se encuentran en un mismo plano se pueden
establecer tres relaciones, como se observa en la Tabl 24

Exteriores | Interions | Goncéniriens

47. 4.3 Propiedades de rectas tangentes a una circunferencia
Las ectastangentes a una circunferencia cumplen as siguientes propiedades

1. Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado
porel punto de tangencia

2. Siuna recta es perpendicular a un radio en su extremo, entonces estangente.
Ala cicunferenca

3 105 segments tangents ados desde un punto ener aura cate
renclasonconguentes
=
En Figura 225, PO y FR son tangents a a eicunfrench entoncs se
‘cumple que PQ = PR

4.4 Propiedades de arcos, cuerdas y ángulos centrales

nla Figura 226 además del arco MAN yde la cuerda PQ se determina XAOB,

cuyo vérice coincide con el centro y sus lados son radios de a circunferencia

Este es un ängulo central.

“Algunas propiedades de los arcos la cuerdas y los ángulos centrales en una

<reunferenci, son las siguientes.

1.Todo radio perpendicular a una cuerda bisec la cuerda y el arco corespon-
diene,

2. Si dos cuerdas de una misma circunferencia son congruentes, entonces las
cuerdas equidisan de centro.

3. A ángulos centrales congruentes corespondenarcos congruentes.
4. La medida de un arco e la medida del ángulo central correspondiente

¡Exa

| nla Figura 227, se dene que 00 1 37. Como 00 es unradioy X es una
cuerda de la misma circunferencia, por la propiedad 1 de los arcos, cuerdas y
ángulos centrale se determina que OG Diseca ala cuerda Y
Porlotano.XM = MY = 6em.

4.5 Longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia se obtiene muliplcando la longitud del
(iämerrod porel valor del número iraciona (a = 31416)
lend
‘Como a longitud del dlimeto es el doble de a del radio entonces la long
tud L de una ccunferenca es L = 2.

o espacial

Braun

48. (4) Posiciones de una recta y una circunferencia

‘Matera’
rectastangentesa una circunferencia en GeoGebra

E En GeoGebra, haz clic en elicono ©), y seleciona la opción Circunferencia (centr, radio). Luego, haz clic en
algún lugar de a Vita Gráfica y en la ventana emergence escri el número 4 y selecciona “OK: En GeoGebra
aparecerá una circunferencia de cenvo A y radio 3.

Haz ien lion „A, y luego sobre a circunferencia obtenida apart de la primera consirucción, para bre-
ier el punto continuación pusaelícono seleciona la opción Tangente, haz clic enel punto 8 y luego
len fa crcunferencia En GeoGiebra aparecer la reta tangente a a circunferencia porel punto 8

lueve el punto sobre la circunferencia y observa ls infinitas rectas tangentes ala circunferencia

'Ovrá manera de construir una circunferencia es seleccionando la opción Cicunferenca (centra, punto) y a continua
«ión hacer ic en dos lugares distintos dela Vista Gráfca De esta manera obrendrás una circunferencia de cenro À
y ratio AB. Puedes modifica el radio de eta circunferencia arrastrando e punto.

LA

49. (O aia meca de OR en Fra 228 sabes
2. que PQ es tangente a la circunferencia en P.
ri

© nunca var dt aa dads a longitu de
À cada creunfoerca

Lene 14492 em
L = 39564em L= a576em

© rétciona cada elemento con su medida comespon-
1S dene eiendo en cuena a Figura 233

cab vos
am 180

lema 250"

© cust estalongd deta ccunterenci de Fgura
© 230 ules mei det aio” ies me
de dámeno?

son

Resolución de problemas.

© sitar de una iia ene 80 em dediémeu
© ¿qué dana recorte a ic en cada gro dela
Fué Qué ana recon ense gos?

Evaluación del aprendizaje

(O occitan de enlafiga235.Con-
À sde que Fi y 7 son tangente aa cect
fencaen yLiespecivamene

50. Jit grados gia el horario de

la la medida de la amplitud
lar de los ángulos centrales
ados enla figura

(5) Medida de angulos

5.1 El grado
Para halal medida de a amplitud angular dea. B, yy 8s ja como primer
lado de os ángulos el semieje posiivo de asabscias.

Sie sentido de gro es contrario al de las aguas del reto la medida de los án-
gulos es un número positivo sel sentido es el mismo al de las manecilas es
‘un número negativo.

Por lo tato, la medida de los ángulos a, y y son: 360%, 180" 90" y 270,
respectivamente.

El grado esla medida de amplitud angular de cada uno delos ángulos que
resaltan a dividir e ángulo recto en 90 parte iguales, Susímbolo es".

Un grado se divide en 60 minuros 1° = 60
Un minuto se divide en 60 segundos 1’ = 60.

ET

Para expresar el ángulo de 7225° como la suma de un número entero de
vueltas y un ángulo menor que 360°, se divide por 360%, de modo que el
cociente esel número de velas y el residuo es el ángulo buscado.

7225" = 20+ 360" +25

52 El ra

E radin es la medida de la amplitud angular del ángulo central de una
«circunferencia cuyo arco iene la misma longiud que el radio. Su símbolo.
esrd

Como el ángulo de un gio completo abarca toda la circunferencia, la long

ud de una circunferencia con radio es mr, ete ángulo mide 2a rad Por lo

tanto, seiene la equivalencia

360° = 2 rad = 180" = rad
Elradiin no depende del radio dela circunferencia que se considere ya que to-

dos os sectores circulares determinados por un mismo ángulo son semejante.
entre si (Figura 237)

Los ángulos que determinan arcos de mayor longitud que la de la crcunferen-
cia pueden expresarse como la suma de un número entero de vueltas y un
ángulo menor que 360° o 2m radianes.

5.3 Conversión entre unidades de medida de ángulos

Para hacer conversiones de medida de ángulos entre los sitemas sexages
mal y de radianes se pare dela equivalencia 360° = 2m rad.

51. Para expresar 24 rad en grados se plantea la sega de re:

a x

Para expresar 125° en radanes, se plante a regla de tes:
05" 2 rad

(O irc a qu ángulo menor que 20" equivalen os
IE ngulos quese muesranacominuacón

ane Der € 9
as © 600 £ 1260
Ejercitación

© cata cia en radians delos sienes ngs
À les ddosen gados

ae bina? cr
an ew 1-20
20 se
Ze 1-20
man ne à

© Expresa la medida en radianes del ángulo a, menor
= que 360° al que equivalen estos ángulos.

m4 DIS cop 1440"

(O crea en gados os suene ángulos

a-2n ac «En

End vom ad
dama em Bad

1 =

| ene

i om

i Er

(O unn en posición normal ene suvéie en
origen de coordenadas ado ical once con
else poire de as abs y su lado nal e
be en cualquier aude
Representa cada ángulo en ostión noma eidn-
dass lemenos
3 Salado final debe sar en l primer cuadrante

Su roraciôn debe ser de media vuelta en sentido
contrario al de as manecila del reloj

Su ado final debe coincidir con e semieje posti-
vo delas ordenadas.

Aesolucénde problemas

© 0% galos ay son complementarios sta suma

à ce us mesias sala la medida de un ángulo
ree ecg a+ b= 30° ¿Cul esla medida en
radianes y en gados de ángulo complementan
encres

am bw we 4%

(O acu a ine equal en semido pos
vasa cada uno des temes Inge ta a
loa ridad de median que nen dads

ad

2

er

52. las
com

(6) Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

medidas tanto de susla-
0 de sus ángulos.

va la Figura 238.
©
©
gen
razones se pueden estable-

re las medida des ados

los ángulos que se forman
relación con el ángulo A?

Para determinar ls razones que hay ene las medidas de ls lados del ABC y

del AAC en relación con el ángulo A se tiene en cuenta que:

+ Losds róngulos comparten el ángulo A.

«El £Byel XA’ por ser rectos son congruentes estos, LB & AA:

+ Por lo anterio ls triángulos ABC y AAC’ son semejantes ya que tienen dos
ángulos correspondientes congruentes Esto se denota AABC = MAC y se
conoce como el criterio de semejanza Ángulo Ángulo, En consecuencia, se
pueden establecer as siguientes relaciones:

AA 48 AN ae

a RC ac AC HUM
A estasrazones iguales se ls denominan sen de ángulo A, coseno del dngulo
A y tangente del ángulo A, respectivamente, y reciben e nombre de razones
trigonométricas

Las razones trigonométricas del ángulo a dela Figura 239 son

longiud del cateo opueto a BEER
2 ongrudde iporenusa = €

coseno de

= longiuddelcarwoaacenteae y co

Tongitud de a ipoxenusa

rangentede a = ongtuddeeareoopuesoae@ 5 tang a ©
nents Tongitud del catero adyacente a a >
=

Los tridngulos ABC y A'8'C? de la Figura 240 son semejantes, ya que son
triángulos rectángulos y tienen los ángulos a y a” congruentes: por cons-
inte, los lados correspondientes son proporcionales.

53. Ema

Las razones igonomérics del ngulo agudo de mayor ampltud de un

anglo recánglo ajos lados miden 8 em, 15 cm y 17 cm, respectiva:

mente (Fgura 24), son:

sena mue LS coa = BADEN 8 vo

| Senn come = 5 hp 17 sem

|

¡| —

soni
Fesolución de problemas

© tata ls razones vigonoméxias del ángulo a en (E) La hipotemsay oscars de un ángulo ecrán-

1 cada ingul rectángulo $ gulomiden 20d, 16dmy 12d eapectvamente

¿Cuáles son las razoneswigonométricas del ángulo

4 »
| on =1 K agudo de menor amplitud del triángulo?
3m gan del aprendizaje
| Se (O Es eran de mn yet sense coseno
Ÿ acia deca roo
A Ai

! o
ee \ \ if

ie jonas

Comunicación
O tia las razones vigonoménicas de los in
1S galos agudos de un wänguo ring, à
de sabe que la hiporenusa y uno de ss a.
Fos miden 13 cm y 5 cm. respectant

© describe es formas dis de haar la pote
À nus en un virgo recngal cuando econo
nur caer y und.

54. les
lor

Saberes pre

En In uángulo rectángulo isösce-

paques

gud y los dos ángulos agudos.
engen

gura 247).

(7) Razones trigonometricas de ängulos notables

J |
|

—

da los valores de sen4s®,
5° ycands?,

7.1 Razones trigonométricas del ángulo de 45°
Por era de bora a ips del ing eng es
ae

De acuerdo con las definiciones de Las razones trigonométricas, ara el ángulo
de 45° se tiene que:

nn

A partir dela definición de Las razones vigonométricas en un wängulorec-
tángulo es posible calcular los valores correspondientes a los ángulos nota-
bles ales como 45°, 30° 60°

7.2 Razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°
La aura de un tngul equi
tero lo divide en dos trängulos
rectángulos cuyos ceros meno»
res comesponden à la mitad del
lado y cuyos ángulos agudos mi-
den 30° y 60%, como se muestra
enla Figura 248.

La medida de la aura se calcula
con el teorema de Pirägoras.

As as razones igonoméias del ángulo de 60” sone

wh wh
senso? = LE sand = 2 =
2

sen30° = a

55. ang Lx

Un aro de 45 m de altura ilumina un barco con un rayo de uz que forma un
ángulo de 30° con la horizontal (Figura 24), Para saber la distancia ala que
se encuentra el barco del aro, se urliza la tangente del ángulo de 60" Ast

© Dern la medida dea tur del wüngul ABC
= dela gun 250

O ira is progres

&

Dino mide lángulo a?

à Sielsena
b.SilaanB = Le cuánto mide el ángulo B?

© cotta mei desing dl engl deta
Sama

FAR
À Ke vue

Gerace
© Caleta valor de cada expresión.
à erst + ene?
e cod
© tangs? — (cos60” + sen30")
¿ano? tan? tants?
se + Last
eos" — Bent
0 + nat
Tend unge
1 COS = coso”
sen
Resolución de problemas

O a sera akanza un ventana sida 3 m de
À aura formando un ing de con ep Cal
Strong de escaleras

© ¿Qué distancia separa a dos cartos y B que se des-

À. plaza sobre una via, uno al encuentro dl oo, $
unhombrecon bndeuls stad a 20 m de a va,
‘observa alauto À con un ángulo de 30 ya auto 8
Con undngulo de 45°?

Evaluación del aprendizaje

(© iia cstesta rac ene cada par de valores
# à. Senso? y cos30"

Do 00560? y sen30"
1060? ytan30?

56. Teorema de

losnúmeros3,4ySalcuadra-
y forma una igualdad con ellos.

= dl teorema de Picigoras en

viängulo rectángulo el cuadra

do|de la medida de la hipotenusa
es gualalasuma delas medidas de
losicuadrados de los cateos.

za argumentos geoméxicos
ya demosrar este teorema.

fagoras

Para demostrar geométicamente a relación que plantea el teorema de Piágo-
ras se pueden seguir estos pasos:

1. Se parte de untriángulo rectángulo cuya hipotenusa sea y sus ateos sean
bye (Figure 252)

2.Seconstruye un cuadrado deladoa y se dibujan cuatro tiénguloscongruen-
es al primero (Figura 253)

3. Serotan dos delos ángulos (como eve ena Figura 254

4.Sise prolonga un lado, se observa que a nueva figura está formada por dos
“cuadrados, uno de ado b y otro de lado € Con esto e área del cuadrado de
lado aesiguala la suma dels áreas de los cuadrados de lados by c respec
tamente; es deci, a? = b? + c (Figura 255).

Aza
Fens
Aspe

De esta forma, en un triángulo rectángulo se tiene la siguiente relación:
eo

8.1 Medidas indirectas

“Algunas longiudes no se pueden medir directamente con instrumentos por
ejemplo, alturas muy elevadas o lugares inaccesibles. Por so se dice que son
medidas indirectas. En sos casos, se pueden utilizar relaciones como el teo-
ema de Piägoras.

57. ¡E

| Ena Fgura 256 la tore está situada formando un ángulo reco con los ex
eos del lago. En ete caso, se puede utilizar el teorema de Picágoras para

halla medida a del argo dellago.

a= m

Entonces el largo del ago mide 50m.

8.2 Recono

iento de triángulos rectángulos

Un triángulo de ados conocidos a,b yc es rectángulo s cumple el teorema
de Pirágoras.

Para determinar sun triángulo es rectángulo, se pueden:

1. Medir sus ángulos con un
transportador para com-
probar si alguno de ellos es

En el triángulo de la Figu- ÁS
1a 287 se compras que

ZA mide 90° y por tanto,
rüngul es rectángulo.

2. Medir sus lados y comprobar si cumplen ono el teorema de Piágoras.
Sien el rángulo ABC, a = 13cm.
relación a = 6 + € porque 132
rectángulo

12 emy e = Sem, se comprueba la
12 + $! Por lo amo, el ángulo es

‘Observa cómo se comprueba, sin dibuar sie rüngulo de lados 4 cm, 3m
y ames ectingulo ono.

| Siesrectimgula la ipotenusa debe ser lado mayor el ldo de 4 cm) yse
|. debe cumplr el teorema de Prágoras # = 3 + 2

Entonces, se calcul: 4

16y +2

+48

Como 16 # 13.no se cumple el eorema de Pcigoras: por tance, tiángulo
noes rectángulo.

58. Teorema de Pitagoras

ers

8.3 Cálculo de distancias

Fl teorema de Pirágora permite calcular la distancia entre dos puntos que
son vértices de un triángulo rectángulo 0 que tienen alguna relación con él.

El dormitorio de Pablo es rectangular y sus ados miden 3 m y 4 m Se deci
ió dvi en dos con una cortina que une dos esquinas opuestas (Figura
258) Para determinar cuánto mide la coria, e procede ast:

La diagonal y ls lados del dormitorio forman un uángulo rectángulo en el
que la diagonal esla hipotenusa.

Porelteorema de Piágoras
Passe
Seoperad? =9+ 16= 25,
Sedespened = is = 5 | \
| Porlotanta lacorinamidesm == dm

| Laazota de un ascacils es como la dela Fgura 259, 5e puede caeular la
| media de! ado oblicuo aplicando el teorema de Prágoras.

} Altrazar lara, se oben un wüngubrectin- 4m

} gal: la ipotenua es e lado oblicuo, un cateo EN

} esla altura, y el ot la difrenc de las bases

À (Faure 260) 8m» N

Por el teorema de Pitágoras: = 8 + 6

Se opera:d = 64 + 36= 100 =
fom
Se despeja:d = Vi00 = 10 pe

que, lado oblicuo mide 10m.

Era

En un hexägono regula e segmento que

une el centro con un vértice mide lo mis

mo que un lado. Entonces laapotema es

tun caro de un triángulo rectángulo y el

‘10 cateto mide la mitad del lado.

Aplicando el eorema de Pirágoras
Wakes

= 10 — 5 = 75h = R=assem

Entonces, la apotema mide aproximadamente 866 cm.

59. erica
© ss rss porn se forman con e números
9 eros que camplen a guiada + D = cv
Gen ces ela spines ens de número for.

tran una era pais sea

2 2195197 17,144,140
meras 41.6160
7.24% 18915
san h 6.63.65

© Catia do desconocido eo iguosd as
Saya

: E
UN ee
y RA

—

© deermina el perimero del recnguo de la Fu
‘> 18.264, caja medidas del base ya agonal on
Femy 15m repectamene

TS

| S

Resolución de problemas
© Un sereno rectangulares dividido por un io que

lo atravisaciagonalmence (Figura 265) El dueño
necesita encerar la parc del treno en que seen
cuentran los animals ¿Cuénta mala ular las
medidas de ls lados que forman el ángulo recto

son 12my 15m?

pS

— 160

(O Dos vines sen del mimo aeropueno. Uno

se ige hacia el none y oto hacia orene
Cuando se encuenta, a 1580 o uno del ou
uno de elos ha second 00 km. ¿Qué disanca
ha record el oo avi?

QE cent de una plaza que ene forma rear

À de 300m de dämero hay na esata sobre un
pedestal quemide25 mde aura, Con un todo
fo stuido en el borde de a pa observa la
parce más aa dela san bj un ing de 6.
Sila mia del ecdolose encuenta a 12m del
suelo ¿cun mideh esata?

|
venza

fio

© oxi sn acer jason ings ec

A cinguos aquel yo ads een as medias
dads

> 6dm 10dmy8dm
b 50cm 120em y 130cm
© Mem Semy2em
dem 2emy em
© 3dm.Sdmy6dm

a sesvalidad yla gp
57 %

¿iman rs qu ntti pu
Ce pue en men nme poe
dos la dedoratndos = 36
danés sea a meinen.

Coma fo doi ren
res ras par es loros y
cs con sordera

60. (9) Trayectorias y desplazamientos
=

ribelasindicacionesparairdes- Cuando se describe el movimiento dl vehículo, result insuficiente decir que
colegio hasta tu casa. (Qué “se ha movido en linea recta una distancia de 2k’ Una descripción más com.
lbrasutizas! pleta debería incluirla dirección y el sentido junco con la distancia, en un

enunciado similar a "el automóvil se ha movido una distancia de 2 km en una
(ireciön de 30 al noroeste (respecto al ejeX).

ee
een
teeta una distancia de 2 km.

Una cantidad que se reñere tanto al valor numérico como ala direciön y
al sentido de un movimiento, se lama magnitud vectorial. La magnitud, la
dirección ye sentido son las característica más importante de un vector,

A menudo, magnitudes como desplazamiento, velocidad y fuerza se describen

mediante vectores.

Matemáticamente, un vector ÄB es un segmento orientado que tiene su of

gen en un punto À y su extremo en un punto B Figura 267)

wer

Fens

+ ¿Cómo se puede describe mo-
imienco del auromévil de una
nera más complet? ET

En la Figura 268 vector representa | desplazamiento de un vehículo
La magritud y dirección de 7 dan la disancay dirección de trayectoria
en linea reta, Sin embargo, el vehiculo podría haber legado al punco final
moviéndose primer al exe, grando 9% y moviéndose luego al noni. Esa
trayectoria alternativa, se asocia con dos vectores de desplazamiento x y y.
<denominados componente del vector 7.

wo Las componentes de un vector tienen dos caraccersica principales son
perpendiculares y su suma vectorial es igual al vector origina.

Fens T=3+7

Cualquier tipo de vector se puede expresar en términos de sus componentes.
Para ell, se puede usar cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo re
tángalo para determinara. Por ejemplo, para calular las componentes del
vector À dela Figura 269, se procede así

cos HW

* send = WL = pen
0 Fr A) = sere

61. L

Unvecor desplazamiento 7 tiene unmödulode 7 = 175myapunea con
un ng de 0" consespecio je como se esta nla Fra 270
Par clar ls componenes ys puede conse engl rec:
_gulo ABC formado por el vector 7 y sus componentes.

La componen ys puede oben usando e nguo des

My mans 059050 134m
De manera ii, componente se puede obtener com:

1603508 = 175: 050° = 112m.

— ee
© cuites dea siguienesatimacones estén relacio» @ El futbosta #1 est a 86 m dea porter lanza
ne ee maison sir

à Cai hvala ct pl (us 29 en made e

. Camino 2 km al norte a lo Largo de la playa

© Salto desde un acantilado y eno en el agua
desplazindome 10 km por hora.

«Salto desde un acantilado y entro en el agua
despläzändome verticalmentea una velocidad
de 10 km por hora

ree

Comunicación §

© Cala a maptud de as components decada
cor

del aprendizaje

(O 1a gua 274represeraeimovimienco de una
à combi que desde un puto de las de.

1275 m acia el ese y eg, 125 m hac el
moe Cle longtud de sa parano?

62. Practica mas

Be

Realza una consrucón geoméric y planen la

E proposición condiconal comepondiene

2. Dos rectas paralelas coradas por una transversal
dlecerminan ángulos inemos no akemos suple
means

b Un punto que esté sobre a media de un sg:
meno equa des etremosdesegmeno

« Losángulosopuesos de un paalelogamoson
congruentes

© Precis la falsedad el siguiente afirmación: Todo

| número primo es impar. Cull método de demos-
rc ula?

Segmentos proporcionales

Mdilacion

fala la constrvecén sein as condones adas

2! a. Dos recténgulos cuyos lados correspondientes

sean proporcionales

> Dosrombos uyo dos cresponienes sean
proporcionales

«Dos tinguls rectángulos elos que sus caer
correspondientes sen proporcionales

Dos rirgulos rectángulo dnde a ipotenusay
un cate corespondient sean proporcionales.

öeteitaden

@ vaa longitude segment AG de Fgura 275
.

Circunferencia

© Epica porautlasrecas elas gues 276277 no
Ne son tungen als ercunerencns dadas.

renzo ranzn

Razones trigonométricas y teorema de Pitágoras.

O connu noa26
=

15

sn
2

(O tia cvaoc dela poten y as razones gono-
© méicas el ángulo a en cada caso.

En =

(O ia caca expresión uzando as razones ago
2 noméricas delos ángulos notables.

a, Sen30° cos”
brands? + senso?
€ cos" cos30
sen30° cos30°

©. costs? sends?

63. Resolución de problemas

Estostesso: Analizar un

Observa los triángulos dela Figura 280.
8
e

ANS O roman
om
es lvl dex?

1. Comprende el problema
+ ¿Qué información puedes observa en la Figura 280?

+ ¿Qué debes encontrar?

2. Crea un plan
+ Idenifia cada uno de ls triángulos involucrados es-
tablece relaciones entre susladosy propón una esrate-
a para calcular el valor de
3. Ejecuta el plan
+ Lostriángulos AADB y AADC comparten ellado AD
+ Como mXA = 45° y máD = 90, entonces

MA = 45% por o tanto, el AADB es sósceles. Luego,
AD = BD = 20m.

+ En BADG, se tiene que tan30 = CD. Al despejar se
bene CD = 20can30" = 11,55 m2?
“Comox + D

Om entonces:
xt 1$5m = 20m

20m 1155m
845m

4. Comprueba la respuesta

- Veriica que la hipocenusa del triángulo rectángulo
ADB mide a 20/2 m.

la estrategia
© En circunferencia dela Figura 281 sea rata
douna de sus cuerdas.

¿Cuál sl longitud de dicha cuerda?
a. Comprende el problems

Resuelve otros problemas

© La rueda de una bier iene un diámetro de
120 cm Sila rueda ja un ángulo de 120 ¿a
cuánto equivale el ángulo de gr en radianes?

Formula problemas

© tienta un problem que invoca norma
«ión dela Figura 282 yresuévedo

Enriquece tu vocabulario

+ Explica con tus palabras lo que entendes por
razón y proporción.

64. aluacion

DD Realza una construcción geométrica para cada

rrespondiente. Gun

1. Dos triángulos son congruentes iienen dos än-
galos respectivamente congruentes

En todo rectángulo a diagonalesson congruente.

En un triángulo isóscees ls ángulos opuestos a
loslados congruentes también son congruentes.

© avai ra 283
de jm son

0285

¿Sed verdad que AB BC. = Asa ws

En
© conan émane ti

| Sien el AAGC AB = BD y 7D es bisecri del 4 en
tonces $CAD = 480. ac.

us |
[TA
chars rare es
see
l'en
res
PT

lución de problemas
En un tängulo rectángulo ABC. 44 = 45° = XC Si
‘| lahipotenusa mide 10cm, ¿cuánto mide cada catero?

enunciado y plantea la proposición condicional co. |

del aprendizaje

| Comunicación
| O scsi porn den no engl
1% sesabequelosaeros miden 1 dm y dm rip
camente [AS

| raronamiento

| @ Hat 1 aporema de un hexágono regular cuyo Lado

| ide 16m =
(O cicusi medida de eos segments.

#2. La akura de un triángulo equiitero de 8 cm de
lado. AS

bo La ala de un apa scales de bases emy
Gam yladsconguents des on
| O eeyratzatoqueseiodaacominacón

* Los ados de un vingulo miden 3 em.em y Sem.
a. Dibuja el triángulo y mide sus ángulos ¿El iángu-

| © oes recxingulor
b Compruebasicumple ono el teorema de Piágoras

Resolución de problemas
© Di unacicanferenca de cm dead
1. ¿Cano mides mano?
$. Puedes arr una cuerda de ont Espia.
€ ¿ublsla long dela creunkrenci?
raza ura recta secante y una eta anger la
cnfeenda

© ¿Cuáneo mise el lado de un cuadrado incio en

e una ircanterencia de 7 cm de ado?

(O Obsevalarigura 286.51 Fl suiza as propi

1 dades de ls arcos, cuerdas y ángulos centrales para
encontrarla medida de QR, nu

# 4

65. “rayectorias y desplazamientos Razones trigonométricas de ángulos notables
Ejeriación © Encuentra var de xencadaióngulo.
tossedespiazaskmhacaeleneyluego3imhaca | À Ge
© drone em

6
3. Representa los desplazamientos de Luis con vec: Ay y
tores.

bo ¿Cuál er su desplazamiento total Utiliza el eo-

tema de Pigs para calcula = ee um
Razones trigonométricas de triángulos ler +
rectángulos. >

© Fa as razones igonoméicas de cada tingut

a rectángulo de las figuras 285 à 288. > :
KT N me een

Resolución de triángulos rectángulos
a5 mors Resolución de problemas

“ o D remises |

all suakura.

| hist arroces args
|

*
| + sombra de to dela ua 2950 de 12m

a. Representa el tángulo rectángulo y ubica los va-
lores correspondientes.

a angulo L
l ©. Calcula las razones trigonométricas para el otro.
j ángulo agudo del ingul. 4 = .

ye peatón que se encuentra ala iaquierda,

bo Cakula la razón wigonomörica tangente para el

66. umenes

i

areas y vo!

itudes.

Long

3

67. Pensamiento métrico

+ Éfectuar operaciones con nú

68. “Co una borela de capacidad
SL pora de capacidad 3. cómo.
puedes medir exactamente 4 L?

uellenóelranquedesuauto-
Icon diez galones de gasolina
salir de ve Sien el recordo
352 L, ¿cuántos galones de
lina le quedan en el tanque?

Sistemas de medida internacional y anglosajón.
Conversiones

Para saber cuántos galones de gasolina

sobraron es necesario convertirlos I

os de gasolina que consumió el automóvil a galones, teniendo en cuenta que

1 galón equivale 3785 L

3521 DE = 930

3785

Para determina los galones de gasolina sobrantes se debe halar a diferencia
entre los galones iniciales y los galones consumidos.

10 gal — 930;

a = 07 gal

¡Quedaron 07 galones de gasolina al finalzar el recorrido.

Un sistema de unidades es un conjunto consistente, uniforme y stand

rizado de unidades de medida como
inglés

1.1 Unidades de mec
sistema inglés

dl sistema internacional y el sistema

En la Tabl 31 se presentan algunas unidades básicas de cada uno de estos

sistemas con sus equivalencias

toa Me
ps
| em
E ee)
Capacidad. if Cua
©
non

Pecibco) |

Pugada (in) Siam
Pe(f) 3oas.em
Yarda (pd) 4m
Nid en) | mi = 1609 km
Ubra (o) 1b = 45368
One ar 28358
Tonelda(®) | 10=9072Kg
Gaon (ga)

arto de galón at)

En una carrera adéic Jorge recortó 806 ft y André recorrió 56 y ¿Quién

| recom la mayor distancia?
H Jorge

As im
ang fe- DEM. IT. = 2457 m
_Andis recortó a mayor distancia en

Andrés
sum
ya.

= s120m

3
i

69. vidades de aprendizaje

Eeriación
© Expresa en logramos cada masa.

Aura 6.9458 c87302 4860

© res en mecs lng

Aa DR c28yd d.077mi

© Expres nos las guientes capacidades.
por) big

cork sa
Comunicación

© repond sienes preganas.

9 a. Qué es más pesado, toneladas de plumas o
4536 kg de hero?

bo. ¿Cuántos miligramos hay en 082 02?
«¿Cuántos gramos hay en 0012 0?
dl ¿Cuámos cenvimerros hay en 210.
Razonamiento

(O Ence nun ciclo del mismo color ls medias
© quakes

19m 08 16% 2
105m 3402kg BL 7Sin
761 3h 21202 75016

Resolución de problemas.

(O nta abla 32 presenan as candados e aco

"bol necesa par preparas dienes parues
¿Culos ramos de alcohol se debe emplaren a
preparación decada perfume?

Perfume 1 ar
Perfume? m
Perfume 3 285

(O Se guie tena un tanque con 25000 mL de
1 agua Elancue ene un volumen de 8330, Cuir
os mL de agua puede almacerar el anque Tie
tanque a capacidad para alacena toda gu?

© Lara 3 comeponde al econo deun auto

% moni deura cudada ova Lelabidowade vaje
Gnome que conductor nega ala empresa
sobre record) erp rapa con
cesar pegan

Bitácora de viaje

+ Salide Bogorá el miércoles 13 de abril las
400 dela mañana.

+ Me detuve solo dos veces a primera para
«carga dsl yl segunda para almorzar.

+ En mirecorido un tramo dela carretera
estaba en reparación

a. De cuäntos metros fue el recorrido?
bo ¿Cuántos minutos dur el ecorido?
© ¿Cuánto tiempo se detuvo en cada parada?

¿Cuántas milas recortó el automóvil durance
ls dos primeras horas?

o esla y a

70. Pard ir al colegio desde su casa,
Jar] cuenta 867 pasos y Ana, 933
ualas Si el paso de Juan mide
25 {m y la cuara de Ana mide
13 dm. ¿Quién recorrió la mayor
disc?

La pasa de un cubo mecico es

256 ke y cada arista iene una
longitud de 2 cm ¿Cuál esa den-
dal del cubo metálico expresada

allem?

Magnitudes fisicas

Para determinar la densidad del cubo metálico es necesario conocer su masa
y su volumen. Primero se hal el volumen teniendo en cuenta que V = a
donde a ela arta del cubo.

V= 2em)'= Ben?

ma _ 0255tg ;
Densidad = en = SEE = 0032 kglem

La densidad dei ubo es 0032 kg/cm,

Las magnitudes son atrbutosconlos que se miden dexerminadas propieda-
des cas Existen magnitudes escalares que son aquelas dererminadas por
lun valor numérico y una unidad de medida, y las magnitudes vectoriales,
donde se especifica además de un valor numérico la dirección ye sentido

2.1 Unidades de medida de magnitudes físicas

En la Tabla 33 se presentan las fórmulas con las que se determinan algunas de
las magnitudes ficas y sus unidades de medida

ie donde mesmaayves Salon?
Rapidez media | Maiden 4.dondedesdancty ms
tesvempo
Aceleración &= À, donde F staveocdady | ms
res
na Fm: Fdondemesmasyoe | aye mo
hin aceleración Nake
se We F-d.dondeFesforsaydes = N-mdonde
Trabajo ca Janis
pen = Y donde Wes trabajo realizado y | W = 1/5 donde
tecno We
£,= m-g-hidondemestamas ges
Energía potencial la gravedad y h esla altura, 5
; donde) aos
A | = I: viconde mesh mmayy
avancé

71. | Una are del epora arr ent pia yen 29 sana una velocidad
© e260 tf Para derma su ar sel sient procede

Bi _ Mom = 0m
7 En
lo tant aceleración de avión es 249 mis.

ae om

Enel trabajo con magnitudes físicas es necesar ela el náliscimensio
ral paa conocer en qué unidades queda expresada respuesta. Para haa
loceleració de un cuerpo la ecuación e fuerzas despeja en términos
elaacelerción yse oben:
CA
oe ee

| Kemplo2
Una fuerza de 90 N actúa sobre un cuerpo que tiene 450 kg de masa. Para
halarsuaceeraión d,se aplica la fórmula:
Fama
Se despea la anterior ecuación en términos de la aceleración

EN
ET
La aceleración del cuerpo es 02 mis.

Para saber qué requiere más trabajo, hacer una fuerza de 120N para arrastrar
un bulto de cemento en una carretera de 300 m, o hacer una fuerza de 60
N para arrasar un bulto de arena en una careera de 600 m se aplica la
fórmula del trabajo.

27

w

a
Se hall el trabajo para la carretera de 300 m,

w

20 N + 300m = 36000)

‘Se determina el rabajo realizado en la carretera de 600 m.
W=60N- 600m = 36000)

Por o tanto, para arasra el bulto de cemento y el bulko de arena aplicando.
las fuerza indicadas se require el mismo trabajo.

72. Magnitudes fisicas

La unidad del trabajo en el S es el julio () y se define como el trabajo que
realza una fuerza de 1 N sobre un cuerpo que se desplaza 1 metro en la
misma dirección y sentido dela fuerza La unidad de a potencia en e Sts
Vaio (W) y se define como la potencia necesa para hacer un trabajo de
1) en un segundo.

Ejemplo.

{Una gré eleva un peso de 350 N a una altura de 15 metros en 7 segundos.
El abajo se obtiene de la guiente manera,
werd

w

SON 15,

5250)

La grúa hizo un abajo de 5250).

La potencia se obriene con la siguiente expresión.

52501
a
La potencia de la grúa es 750 W

P= =750W

La unidad dela energía cinética en e Les La misma unidad que La de traba-
jo. es deci el julio (| Esto permite concur que la energía y el trabajo están
estrechamente relacionados pues cuando una fuerza extern nea realiza un
trabajo sobre un objet la energía cinética cambia desde un valor inicial (£)
a un valor final (E) La diferencia entre £, y Ee igual al abajo

{Un cuerpo de 8kg de masa se encuentra en reposo a una altura de 10m.

La energía potencia se obtiene dela siguiente manera,

= m-gch

5

848-989 10m = 784)
La ener potencial de cuerpo es 784}

La energía cinéia se obtiene como se muesra a continuación.

E

ime

1 ny
&= 481g: (0%) =o)

‘Como el cuerpo esá en reposa se asume que su velocidad es 0 m/s. En este

caso su energía cinética 0).

73. Ejeciación

Ona bl 34 se raionan la masa y el volumen

À ce rentes susandas. A prt de a nfomacn.
tema la densidad de cada una en gr

A mo 2»
8 525488
€ ns 0
> so on
E ES .
Resolución de problemas

Ora amuanca se mueve am una velocidad de

"160 kh. S dene que reoner una atop re
à de 50 km ¿qué tempo necesa para gar a su
destino?

© ¿Qué cancia puede corer un conedor en 25
À hors su rapidez mea es 335 mA?

OU acometidas recordo con una velocidad

à de70le/hy ego de S segundos alcanza nave-
loci de 10 km/h Dexia la clean de
amd

Or cuerpo mec con masa de 80 kg cderaa
8 razón de 25 m/s. ¿Qué fuerza lo impulsó?

© ¿Qué masa deve tenes un cuerpo par que una
forza de 50 No clea razon de m?

(O ¿Qué trabajo hizo una persona para arrastar un
1 baúlalqueseleapica una fuerza de SN reconió
100m?

© cotta porc de una gun que eun
à ade 230 losen

Cee
1 volumen des ssancs rentes.

PA

{Cuil sa densidad de cada sustancia
>. ¿Qué volumen tiene 20g de la sustancia A?

O tee cada suai
a. Un automóvil recorre una pista de carreras
ue iene 200 onde roy nahe a mimo
tre que pari demon horsen ace el
Teoria ul ss pide meda?
$. Una par depo aumenta su void
e0830miser segundos Cables
sesso
€.Cakulal abajo la potercla de un motor
que desplaza un objeto a 75 men 12 segun-
dos empleando una fuerza de 300 N.
4. Cala masa de uncuerpo questuado
au lard 0 menos den en ener

parencal de 700).

saludable
oy

#

74. Longitudes de cuerdas y segmentos

“rash una cieunfeenca en u 3.1 Longitudes de cuerdas
cuademo yubia dos puntos uno

incor y 0 exeror. ‚Cuinas
vecs tangenes à la ccunferen-
dia puedes uazar por el punto

‘Como AB y BC son cuerdas de una misma cicunferencia que se inesecan
en dl punto & se cumple que AE > ED = BE EC Para encontar a medida de
ED y AE se reemplazan los daros conocidos en reg anterior y se despeja la
medida desconocida como se muestra a continuación

Como A+ 4D = BEC
AED = sm Rn
ma AED = em

daspetcranieera ques. 2D) = 72cm!
run Ae = then?
Acta = bem
4 | Portoraın At = Vik ent = 2EcmyED = 340) = oem

Para dos cuerdas que se intersecan en el interior de una circunferencia
se cumple que el producto delas longitudes de los segmentos en los que
+ Silse sabe que EC = 12 cm queda dvidida una cuerda es igual al producto de as longiudes de os seg-
BEI= 6 cm y que ED = HAE). mentosen que queda dviida la tra cuerda.
lánto mide ED y AE?

Brena

La propiedad anterior se puede replantear de a siguiente manera

Dadas as cuerdas AD y EC de la circunferencia dela Figura 34. que se intrse
an en el punto £ entonces AE + ED = BE EC.

La demesne muesca bs
ont [sea
waco ou cs Meinen iio

ante ame eos loci |,

e. a] |

== ES |

nara Der i
i

75. LD

En la Figura 35, AE = 3 cm y EC = 27 em. Como el diámetro AC es perpen-

dicular a la cuerda BB, entonces AC biseca a BR. es dec DE = EB = x

Por la propiedad de las cuerdas que se intersecan en el interior de una cr

ccunferencia, se tiene que AE - EC = DE «EB, Al reemplazar en esta igualdad

los datos iniciales se obiene lo siguiente:
PUT =9

Por lo tanto, DE = €8 = 9cmy DB = 18cm.

3.2 Longitudes de segmentos tangentes

Los segmentos tangentes trazados desde un punto exterior a una circun-
ferenciason congruentes y determinan ángulos congruentes on el segmen-
o que une el punto exterior con el centro.

La propiedad anterior se puede enunciar dela siguiente manera:

Si Fay A so segmentos tangents la runfrenca de a Figura 36 quese
intersecan en el punto P exterior a esta, entonces PQ = PR y L.QPC = 4 RPC.

La demostración de eta propiedad se evidencia en la Taba 36.

Los ados de un circunferencia son
perpendiculares als tangente por su
punto de tangencá.

Ql Wy Rs W.acary
‘ARP som ungulsrectinguos

sá Radios da misma ereunfrenca
G = B,D shhpoteta del propiedad flea

aigus rectángulos COP y CRP,
Cerio de congruencia cteco-hipote

cap = ac oe

Ren Uados comespondiee de rings
conne

aie Ángulos coresponiees de un

Los congruenes.

76. Longitudes de cuerdas y segmentos

3.3 Longitudes de segmentos secantes

Para dos segmentos secants trazados desde un punto exterior a una cir-
‘cunferencia se cumple que el producto delas longitudes de un segmento
secante y de su segmento secante externo es igual al producto de las long.
tudes del otro segmento secante y de su segmento externo.

Esta propiedad se puede enunciar de a siguiente manera:

Dados los segmentossecantes Æ y ED que se coran enel punto E exterior a
lacircunferencia entonces AE + £8 = CE ED (Figura 37)

La demostración de la propiedad anterior se muestra en la Tabla 37.

‘Se construyen AD y BE Construcción

Pt nr e
LAËD = 4CEB Propiedad reflex.

Amar | Cede ese ini
2.8 (ne compone dt ern
PAT Paid es porn

En a Figura 38 se observa que PB
secante de la misma circunferencia.

Aplicando la propiedad PB - PA = PD «PC de as longitudes de segmentos
secantes, se obtiene lo siguiente:

(6+9-6=0+11)-7=36+
Por lo tanto, AB = 15 em y PB = 21cm

77. Quam me)

© Determina valor dex de acuerdo con informa
€ cin presentada na gua.

© taco dex ens gars niendo encuen
© cue los segmentos representados en cada cto son
Sansa ceunferenca,

— +5.

gare
© Deermina si cadaafimacn es verdadero ala
À à Un segmento scan auna creunfrencala
conta en dos puntos.
6 Un segmento angeney uno secante una ir
cunferenca se pueden inersecar entres puntos
« Dossegmenossecantesauna creunrenc
pueden ntenecar en ua punts Gerentes
A En una ereunerenc se pueden trazarinintos
+ Sidossegmenosungenesa una mia ce
cunferenci se inescan ene err de esa
se pede afirmar que los segmentos enn la
sina mei
Hercación
On la Fu 317, € = Mm CO = 18 my
(AP), ¿Cuánto mide el segmento secante PB?

Evalvación del aprendizaje

© deste un puro exesora na ccueencade
ae centro O, se traza la recta tangente PT (T es punto.
angry secre qe conc
mano A8 (F2 > PA)
Sil segremo tangente PT mide em y era
de la Scenic elo mie se.
mens?

© 5 y B sonecrassecaces aura cicunerncia

# trazadas desde un punto exterior € TB cora a
Incicunferenca en Ay en By ED lo hace en Cy
ed
Sise sabe que AE = 10 em, AB es un démetro
el circunferencia, EA - AB = 180 em y es
un ado de la cunteencia cles a medida
dei?

78. Hall la medida de los ángulos
agudos y de los ceros

Cálculo de longitudes en un triángulo rectángulo

jadierenes triángulos y mide Dado que ACB es un tängulo rectángulo, se sabe que ma = 90°, Además,
los lingulos inerores. Calcula la Por erisöscles los ángulos agudos son congruentes entre sE deci
‘uma de esos y da una conclusión

MAA + MB = 90° = MAA = máB = 45°
Par averiguar la medida del cateo bse realiza lo siguiente:

707m

a hipotenusa del trängulo rec. Alser a = b.ellado.a mide también 707 cm. El iángulo queda resuelto ast
Angulo isosceles dela Figura 318

a= 707m
mA

707m em 10em
mAb = 45 mac

Resolver un triángulo consise en har la medida de todos sus lados y de
todos sus ángulos,

Ejemplo?

En el wängulo rectángulo de la Figura 219 se observa que mA = 90%,
5 cm y b = cm. Para determinar la medida del ateo yla medida de

los ángulos se puede proceder dela siguiente manera:

+ Por el teorema de Piágoras se cumple que:
prose

+ cose

Portoramo.C
+ Dado que mg + m2. + MAC = 180° má + ma C = 0°
>m48=90 - mac
ma - 36°52 12"
>ma8=53748

4.1 Teorema de la altura

El cuadrado dela altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es
igualal producto de Las proyecciones de los ateos sobre la misma,

aa Ze
Por el teorema de Pitágoras en el triingulo 5 FAN
rectángulo BCH dela Fgura 320secumple 7 |
que ZA
gem th eS
Por elteorema dela aura se dene que =m ruso

79. Bemplos

Para calcular la medida del lado a del

rängulo rectángulo dela Figura 321,

se aplican el teorema dela aura y el

teorema de Picgoras

+ Poreleorema dela altura
M=9-16=H=14=h=12m

+ Por eleorema de Prgors:

+12=0=25=30=15m

4.2 Teorema del cateto

El cuadrado de un catero de un triángulo rectángulo es igalal producto de
la hipotenusa por a proyección del careto sobre la misma

Gemplos ‘3
Pasreaberduingdorecinguodelsreunszienpinerpseiee 3/7
ti e ele atin S

18 my 32 m respectivamente. Por Io tanto, la medida de la hipotenusa ces
18m+32m=50m
Además por el teorema del cateto se cumple que
a= 18:50 = = 900 = a= 30
D = 32:50= à = 1600

0

Como cos

18 = 0 enconces ma B = arccos06 = 53°7 48"
B= 06, 48 06 = 53°7" 48"

Análogamente:
2

mia = arccos E
LA = acc

sv
Por lo tano:

a=Mm b=4om som
AA = 36°52" 12" AB = 537 48" mgC= 90"

+ Por el teorema del cateo se cumple que

m-cyb

80. (4) Calculo de longitudes en un triangulo rectängulo

aprendizaje

+ Distancia dela casa de Sofa ala de Ana (por el teorema del caro):
Bane=

+ Distancia de la casa de Ana ala de Gabriel (por el teorema dePtdgoras):

mh = (18) ~ (108) = 20736= h = 144 km

| Las casas de Sofia, Ana, Gabriel y Martin están ubicadas como se muestra
en à Figura 324 La distancia de la casa de Sofa ala de Marin es de 3 km
y la distancia de la casa de Sofa ala de Gabriel es 108 km. Para determinar
«cuántos kilómetros de distancia hay entre algunas de las casas se procede de
la sguiene manera:

| Lasituación se puede epresentar como en la Figura 325. Por lo tanto,

| « Distancia dela casa de Gabriel ala de Martin:

km = 108 km = 192 km

108 km = 3 km = 324 km! => 6 = 18 km

tación
(O catala mec desta y os ángulos que fa

1@ fan en ls rünguls de las figuras

EN DE en

N

ZN

Razonamiento

(O espe esas pegas Rano us reses

El à. ¿Qué elementos de un uiängul rectángulo hay
‘que conocer para resolverlo?

be puede esc un ing conocer solo
doses ings or at

mavens

O teeyreiee

Unángulo de depresión es el que se forma entre a
línea horizontal yl línea visual entre un observador
y un objeto situado por debajo de a horizontal

Desea cima de un faro de 8 m de altura se divisa
una lancha con un ángulo de depresión de 8. La
Stuaciôn se representa en la Figura 332.

<1

Calcula la distancia entre la lancha y el pie del fro
en ese mismo instante.

81. Raronamiente

iii as mods de os ángulos de un mangue

© ecinguo sabiendo qua ipotensay uno delos
Catetos iden 4 cm y 26m epsciamente

© Dsemia la media e la aura sabe ado
® ceigudeun orp bree idolo mide
6m y se ab que ling desa es deso.

(O ci a mesi de ado de un omo en que
$ aciagona mayormides cy foma oncadalado
ro un ig de 26.

© epic ses poste ester un ing rectángulo
conociendo a aura sobre la hpotensa ya po
yecden de uno de ls caeos sob la misma.

(O Ha mesa de os ángulos dl wapecoecn
® eden 335

Resolución de problemas
© wr sin de combate localiza un barco enemigo

con undnglo de depresión de 28 Sil vgn vuela
33200 m de altura, cules a distancia al que se
encuentra barco enemigo?

© Us crea deta aura pr proponer feo se

À podria consi un segmeno cya long se a
meda proporconl entre ds segmentos de dem
y em ¿Cómo se poda const lossegnentos
tondeacmy bem?

(O tocar along dea ar sobre poe
ns de un tng rectnglo ya potes
ide Wen a so menor em,

CE)

© De un ing ecánguo se conoce que suhipo-
© tenia mide 20 cm y la suma de os ceros mide
2 em ¿Cuán mide res?

© toscaxos den wingulrecingulomiden omy
'© 27 m Cul long dea ura del ángulo
con espero als poten?

Juan subió en un globo aerostático hasta una altura
"a. de 50 m. Sus padres siguen el vuelo desde el suelo,
como aparece en la Figura 334

a. ¿A qué distancia del punto A se encuentran los
padres de juan?

Sil globo continúa subiendo en la misma di
rección y se detiene cuando el ángulo de obser
vación de Juan es de 60”, a cuántos metros de
altura se encontraría el globo en ese momento?

O tt momento del día en que os aos de Sol

forman un ángulo de 60 con la horizontal, la
samba que proyec un ol na sudo os de
26 my la de ouo es de 19 m ¿Cuáno mide de
alocada bo

(O unas etasconsgerons nio sobre eur
à dodeun edico25mdd sio Unntoloon-
sena desd un punto sind à 50 m del ed.
à Calla ng de aber dia
b Cabal el ngul de obsenación de asi
tes

82. Fura

¿Qhé son rectas paralelas? Dibuja
‘ung recta en una hoja y explica
‘Bho construyes una recta que
paralela a ella por un punto

(obrero apoya una escalera so-
una pared y aravesa un palo

m para ayudarla a sostener
tuación se modela enla Fig:
35.

À qué altura est el borde su

rior de la escalera del piso?

¿uz ET
om

Teorema de Tales

Para hallar se establece la guiente proporción:
1S 24S pm
E mom

Por o tanto, el borde superior de a escalera está a 6 m del piso.

Elteorema de Tales sun importante enunciado en elquese airmalos guiente:

Sires o más rectas paralelas son cortadas por dos recas transversales, en
tonces los segmentos de las transversales, determinados por las paralelas,
son proporcionales.

Temple
Como en a Figura 336 se cumple que T 177,
se alu con e iuiente procedimiento:

a entoncesla medida de 57

Spe popa
Serempzino dos
Saale pic ear

El teorema de ales es len la demostración de oros teoremas geométricos,
‘como el quese enuncia continuación

S una recta es paralela a un lado de un triángulo e intersec alos oros dos.
lados entonces determina sobre ells segmentos que son proporcionales
dichos lados.

‘Bemploz
El teorema anterior se puede apicar para determinar la medida de NC en el
‘AABC dela Fgura 337.

NS
Ms à 4°
Como 71 secumple qe f= À,

Luego, sereemplazan los datos conocidos y se determina el valor descono-
ido at

83. Actividades de aprendizaje

Hecación
Orca along desconoció na gas
LE

© Pa decermiart ur de atone de nage se
© midi la akur yla sombra que proyecta un bol
Como se observa enla Fur 341

Calcula la aura de la corte dela iglesia.

Comanicacdón

© arabe stra de io eps deen den

(© pueblo salen con dun alo ysemidesusombra
emo se muesraen Figura 242

mensa
Hala a altura delo.

(O Ata misa hora de dí se mien as sombras que
"© proycan lavo de ye obecode una pe
Za. Malla aura dela one del eo

ir

a |

Evaluación del aprendizaje

(O 2 nc teal ere dos cuado es 65 km,
al medi en un mapa elaborado una escala de
130000 ¿qué dica sepia?

(O Hat alr de x Ten en cueva que Ab y DE
# son pardos

84. pere?

rene named
does

Longitudes y areas de figuras planas

I

breada corresponde a la zona.

in la informacion de a figura,
i es el ea de la zona en la
lese encuentran las silas?

En la Figura 346 se observa que el plano del teatro tiene una forma irregular;
por eso, para halla su área se realiza el siguiente procedimiento:

+ Se raza una altura h del trapecio isósceles BCDE desde elvérice C Entonces,
“ABHC es un triángulo rectángulo ya = 150° — 90° = 60°

=p. m =H m
senso = Hash mrssemy const = MoH 2 15
‘Como BC = DE, se tiene que BE mide 15 + 20 + 15 = 50m.

Porta Au EEE p= 822596 = 9830

+ €l nea del rectángulo ABEF e540 + 50 = 2000 m}.
PorserAF = BE el radio dela circunferencia que pasa por A y por Fmide 25 m.
ASL Aggy = = 1:25 = 19635.

+ Entonces lea ocupada por la zona desler e:

‘= 003 + 2000 8S 1925

Las razones trgonoméricas proporcionan herramientas para el cálculo de
longitudes y áreas de algunas figuras planas.

ga

Se quiere calcula el rea de pentágono regular de lado Sem que se muestra

enla Figura 347

Para hala la medida de a apotema, se une el entro con dos vénices conse»

iv. Los radios OA y OB determinan el ángulo central O. Luego
mao = m

La apotema divide el £A08 en dos ángulos congruentes y al AB en dos

segmentos congruentes Asi a = 36°y AÑ = dem.

Por ser AAMO un ángulo rectángulo, se tiene que:

una sa- Mb san
Por lo canto, el rea del pentágono es
pre _ W551

= 102m?

z

85. Varas

Para hallar e rea del octágono regular dela Figura 348 se procede de la

siguiente manera:
Como el octágono es regular entonces e deduce que:

maroq= 2 = 45

Dado que a aporema a divide al $POQ en dos ángulos congruentes y forma

un ángulo recto con ellado del ocrágono, entonces
POR = 225°

Rom
9

Asi sen225°

Además, PQ = 2PR, por lo cual el lado del octágono es

PQ

Para determinar la apotema, se iene en cuenta que:

21875 mm = 375 mm

4: sen225° = 1875 mm,

con Ls a = 49-cos225" = 4527 mm
sak St = 457

Por último, el rea del octägono regular es:

aw De = (8-375) 4527
2

Actividades de aprendizaje

= 67905 mm?

Ejerciación
© catan ea à prime de os polígonos que

(8 se presentan a continuación.

Cruise

© caca la lngu de Los ris de as canten

$ cas ca y creer en un cctgono regular
cxyoladomde 12m

© Fatal sca de un pencáono regular isco en
© uracrcunfrencade Wem dena,

© catia et read un sng ecngu sts pro
$ yecciones deus cattos sobra ipoenusa miden
‘sem y 256m repecsament

Evaluación del aprendizaje

(O tia peine y el ra de un rectángulo en
que la agonal mide 2824 dy forma con la
base un nulo de 3°41 26,

(O intriga 351semuesras plano deunteneno
"conforma de parsogama
> uiid

bo Sise quiere cerca el
terreno con tes vel
tas de alambre, ¿qué
Cantidad se necesita?

86. ya]
18,

En
dal

si
7

E

ina fábrica de chocolates se
scan los productos en cajas
forma es un prisma trapezoi-

latin de pincura alcanza para
10m yse eben pinar dos
le que miden 35 m de argo
im de ato y 525 m de largo y
Im de alo, respectivamente
pared ene una mayor super-
)? ¿Alcazará el galón de pintu-
a cubrir ambas superficies?

-omo se ve enla Figura 352.

se empacan chocolates de
um? de volumen, ¿cuántas uni
Aes caen enact

el

Areas y volúmenes de cuerpos geométricos

7.1 Área y volumen de prismas
Para resolve el problema es importante recordar que un prisma es un sólido
conformado por dos poligonos paraels congruentes, que se denominan ba-
ses y por tantos parllogramos como lados tengan las base. E a Figura 354
se observa que las bass de las cajassontapecos poro tanto:
BHD y. 1549

es" 7 7
Elvolumen del prsma es V = A, => V= 72cm 21 em = 1512 em
(Como cada chocolate tiene un volumen de 7 em? entonces en la ca caben
1512 + 7 = M6chocoaes

6= nem

Eláreatotaldeun prisma esla suma entre el rea lateral y lére delas dos bases.
El volumen corresponde al producto del área de la base por la aura,

Sienun prisma P, sel perimeto dela base À, el área dela baseyhlaakura,
entonces el ärea total A, y e volumen, V, son respectivamente
A=PA+2A, V=Ah

Para calcula el área totaly el volumen del prima triangular de a Figura 353,
ya base es un ángulo isôsceles, se realiza l siguiente:
+ Secacula la altura del triángulo isóscels de a base

+ Secalcula el perimetro ye rea dela base.

P= 10emyA,

+ Por lo tant el dea tual A, es:
Arm 1028 + 2-25 = 420+ Bem?
{+ Aelvolumen es V = A8 282 16 em

7.2 Área y volumen de pirámides
{Una pirámide es un polio Imita por una base, que e un polígono cal
query por aras, que son triángulos coincidentes en un vérice común

El re total de una pirámide es la suma del rea dels caras laterals y el rea
de à base. El volumen de una pirámide esla tercera parte del volumen de un
prisma con la misma base yla misma aura.

Sien una pirámide, A, es el área lateral À, el rea dela base y ha aura, en-
tonces el rea total Ay y el volumen, V son respectivamente:

Amar ve ah

87. mp

El Area total y el volumen de
la pirámide cuadrangular de
la Figura 354 cuya altura es
723 cm, se calculan as

7.3 Área y volumen de
{Un cilindro es un sólido limitado por dos bases circulares y una cara curva. e.
obriene cuando un rectángulo rota una vuelta entera alrededor de uno de sus
lados En a Figura 355se observa un clindro de altura hy radio de a base.
Elárea total de un cilindro reco es asuma del área lateral y el rea de las dos
bases El volumen corresponde al producto del área de la base por la altura

Si A, es el dea acral de un clindro recto, A, es el área dela base, h es la
aura y res radio de la base, entonces el área total À, ye volumen, V,se
«allan respectivamente como:

A/=A +2, V=Ah

Am zu klar =2arth +e) Ve ah 5
nes
Par alu ra tou el volumen
del ind del Fra 356 saan
ls rar
Amen) pe
2m-3cm-(l0cm+3cm) Fr
mem: Sm
"onen Len
vearh i
(Gems 1m
“Sem 10cm L
any ren

Por lo anto, el iindro tiene 78 cr de dea total y 90m cm’ de volumen.

88. mF

Areas y volúmenes de cuerpos geométricos

esa

7.4 Area y volumen de conos

Un ono, como el dela Figura 357, e un sldo Imiado por una base circular
y una cara curva. Se obtiene al rotar un iángulo rectángulo alrededor de uno
desuscateos.

El re total del cono es la suma del re lateral con el rea de la base. El volu-
men del con es latercera parte del volumen de un dindro con la misma base
y la misma aura

SIA, es lea lateral de un cono de akura h A, esl rea de la base de radio
y 8, la generauiz, entonces el ea total, A. y el volumen, V, del cono son
respectivamente:

AAA,

ng tar = arg +)

| Para determina el re total y el volumen de un cono de akur 12 cm y
| cayo idmetro de a base mide cm, esnecesuro,en primer lugar calcular la
| generara del cone uiizando el teorema de igre.

H = FFF = TG = 1260

| Porloranto:

H A,=m-25-(1226+25)=369m cr?

EHE

Sm cm
3

La Figura 358 está compuesta por un lindo y un cono, Por lo tano, para
determina el área total se suman el ra lateral de cono, el área lateral de
cilindro y el área de una de sus bases.

Por el teorema de Ptägors la generate del cono está dada por

8 PTT = 28cm

El volumen del slido esla suma des volimenes dei cono y del clindro.
mia

+26

89. ‘Actividades de aprendizaje

{© Catala el área tou y el volumen del prisma cuja
base es un hexágono regular (Figura 359)

Sen
Sem
Fem

© Deermina el volumen del sido de a gua
>

\ _—
Lu

© rai tires oly volumen delotoedr presen-
$ cdo en agua

Ste

© cuis a espace ocupado por as pirimides elas
© frs us bases son poligonos regulares?

N Fr
|
5 den LS

em

Resolución de problemas.

© ¿Cuánto papel de regalo se necesita para envolver
© una caja de 95 cm de ancho, 2 cm de largo y em

de profundidad?

(© uno mera se require para arcas man
© inde como lada Fur 3687

E

© ¿cuts son ra ttl y el volumen del sido
e Ge pu 3657

© Agra medias as figuras € ivena un probe-
e ma donde se pda calcula el ra toa y el vol

men decada ura.
a \ b
e 4

|

ne TA

ntl
ave
es

&

© Hal en u casa el volumen de dos recipientes
en los que puedas almacenar aun S bes que
TL 1000em ¿cuál eo do recpemespo-
dias ear quieras recoge agua para rev.
lar en d inodoro? ¿Cómo res que ayuda al
meo ambiente la eun e au?

90. 8) Area y volumen de la esfera
i

of qué no es posble medirelvo- Par calcular os valores sobre os cuales se pregunta, es necesario considerar la
lunfen de un culo? Tera como una esera
Una esfera esl conjunto de puntos de espacio que se encuentran al misma
distancia de un punt fo conocido como centro. Laesea se obrene al gar
om una crcunferenci alrededor de uno de sus diámetros (Figura 370)
El Klämetro ecuatorial del pli Ademds se debe tener en cuenta que e dre de la superficie de una esfera
neta Tera es de 12756 km esigualacuaro vecs el dea de hculo máximo, que contiene el cetro de a
aprpximadamente esfera y ene su mismo radio y que su volumen equnal a cuatro tercios del
producto de m porel cubo desu rado.
Según antros para hallr el re ye volumen dela Tierra se comvienza cal.
cuando su adi, que es de 6378 km. As su área superficial estará dada por:

Kun 4016378 = 162715536 ka
El volumen se determia de la siguiente manera

6378) = 5933229536 km

v

+ Guiles son el área superficial y el

Para una esera de radio lea, A, yel volumen Ve, SOM respeciha-
volumen de la Tierra? a Y o SON respec

m unter

El área superficial y el volumen de un balón de baloncesto cuyo diámecro
mide 24 cm, se calculan del siguiente manera:

Au m dem 1D SOME

mem

El plano que pasa por el centro de la esfera la divide en dos regiones llamadas
Feza31 semiesferas El rea superficial y el volumen de a semiesera corresponden a
la mitad del área superficial y la mitad del volumen dela estra

Para una semiesfera de radio e 41, unos Y VOLUMEN, Vege SON
respectivamente:
A

es = Zur? y,

Eemploz
La cópula dela Figura 371 es una semiesfera cuyo diámetro es 50m
Elárea superficial de la cúpula se calcula de la siguiente manera:

A La 250 1250m mi

votes de enfant
Von be JE mm

91. El volumen dea eser es
ars

El volumen comprendido entre el cubo yla esera es:
+
37

7576 mm -

‘Actividades de

zale

El volumen del cubo de la Figura 372 es 17576 mm? entonces, su lado mide
26 mm Como la esfera est inserka en el cubo, su radio mide 13 mm.

4 y 8 nm?
Lame 2

Oe.)

mm = 690 E mm

Ejeritación
© Ha ra super y el volumen de cad ido.
3 Una sea dedámeno 15 dm

b. Una esfra de diámetro 8 cm.
Una esfera inscria en un cubo de 6 dm de lado
Una semiesfera de dismetro 32m

a
© ac les superficial y el volumen de lactea

E

Razonamiento

© rcuenza radio de ura esa cya re esigala
à uma de lt res decuavo esferas de adios cm

© Dice con agua de us compañeros vercónd

à del suene afemación: El volumen de la era
es ciao vee el volumen de un cono cya ara
y ado dene la misa longitud que el adi el
ce

© Ls siguientes figuras (a esfera y el cono) tienen el
à mismo volumen

¿Cuál debe sera altura del cono para que su base y
«el cículo máximo de a esfera sean iguales?

Evaluación del aprendizaje

QE una caja en forma de prima rectangular de
e dimensiones 12cm 18 cm y 24cm se empacan
bolas de ral de 6 cm der

5485
35
548

Fem

»
as 3

SA

“¿Cuántas bolas caben enla caja?

(O Pura acer un regi aeño se van oras en
tl bls de opor de dem daa Qué an.
{cad dese de compa como minimo?

92. Practica mas

Sistemas de unidades de medida.
Mágnitudes físicas
Reolucén de problemas

Una peloca rue spuendo una vector recta de
We] 1S m dures ¿Cuáles rapidez meda?
(O vn combi se mueve à rx de 0 min Cu
| sla velocidad de aurombri en metros por mito?

Cálculo de longitudes.
Ejelcitación

© tata tong designada con xen cada ángulo
el. b

Rein de problemas
© aaa ong dels lados de un wünguo rec
"| snguo ya proyecciones delo eaters sobre la

Iipotensa miden 4 em y 36m respetvamence

© 5% y B son secames una cicunerenca trazadas
ih | desdeun punto exterior conaalacicuneen
caen AyenB y lohaceenCyend.

Sisesabe que AE = 10cm, ÄB es un diämerrode a
'ieunferenca, EA AB = 180 em y CD es un radio
dela circunferencia, ¿cuál esla medida de EC?

Tegrema de Tales
Bieteitacin
@ Seecciona la proporción correcta. Supón que
A| TT UT ena Figura 378.

e Al

16 3

e

e

£ 3 E

#

Resolución de problemas.

@ ¿cuesta me de ent ventana quesecbrena
$ roo

‘Areas y volúmenes de cuerpos geométricos

Resolución de problemas

QE pivote de ciento mecanismo se us enla Figu

"8 2380, Consiste en os conos iguales de hieno da
mantado, par evar el desgaste por fcc, y un
«lindro de acero templado resistent aka tracción
ules el volumen del pvote?

Un satire artificial se encuentra a 12000 km
"@ del centro de un planeta, como se observa en la
Figura 381.
Calcula el área de la superficie del planeta y hala el
volumen del planeta.

© Ha sea coral el volumen de una pirámide de
© lua cm con base penagoral regular de em de
lado y ura apotema iguala Sem

93. Resolución de problemas

Estrategia: Hacer cálculos parciales

Elemvase de un perfume se elaboró extrayendo de un ci.
lindro de vidrio dos porciones iguales en forma de cono.
y adicionando una semiesera como tapa (Figura 382).
¿Cuál es el volumen de a estructura?

Comprende el problema
+ ¿Cuámomiden el radio de a base ylaakuradelciindro?

+ ¿Cuáles son las medias di radio de a base y la aura
decada cono? ¿Cuáles el radio de a serisfra?

2. Crea un plan

+ Calcula elvolumen delos sólidos que componen es.
tructura. Luego, del volumen del cindro resta el vol
men delos conos y adiciona el de La seriesfra,

3. Ejecuta el plan

+ Se calcula el volumen del iindro, de los conos yde la
semietera

Vamo HSM) Ve

o cn
Vo cy (sen)

Vang = Mem
y,

Br em?

+ Secalcua el volumen delemase.

+. Comprueba la respuesta
+ Verifica quee volumen delos dos conos sea 36m.

Aplica la estrategia
© ¿Culesevoamentoca dela Fgura 33?

€ Ejecuta el plan

4. Comprueba la respuesta

Resuelve otros problemas
© ¿Cuáles volumen en metros cos de una
esfera cuyo idmetro mide 100 centimetros?

Formula problemas

© Plarteay resuelve un problema que involucre la
emanan

e”

[Arán]

DIE

Enriquece tv vocabulario

+ Busca el significado delas siguientes palabra y
explica la diferenca ene elas:

Area lateral

- Area total

„Volumen de un cuerpo geomérico

94. —

a lena compra en el supermercado 23kg.deazicar
y 15 kg dearroz ¿Cuántos gamosen total compro
Elena?

bo. La distancia d desde un bote hasta un punto de
observación es de 6267 m. ¿Qui valor tiene esca
distancia en pes? Y en mis?

© Un automóvil parte del reposo y recore 80 m en
15 segundos ¿Cuál es la rapidez media del auto-
món? ¿Cuál es su aceleración”

4. ¿Cuáles la densidad de una sustancia de masa
12 kg y volumen 3 em?

€: Sun cuerpo de 15 kg lleva una aceleración de
40 m/s ¿cuál sa fuerza que loimpulsa?

£ ¿Cuáles la energía potencia de un mario de 1g
de masa cuando se hla ado à una aura de
25m sobre seo?

«Se empuja un bro 23 m sobre una mesa horizon-

tal con una fuerza horizontal de 4N.¿Qué trabajo
efec la fuerza de 4N?

Cálculo de longitudes

Ejejiación

(0 Determina e valor de asincógnicas
sn)

Razonamiente

© derma 1 longa de segment CD range

# à la circunferencia y la longitud del segmento EF
Ten encuenta que CG = 274 cm, CF = 263cmy
00 =292em

AO.

Teorema de Tales

| modeeiôn

(O Desermina el valor de x Ten en cuenta que
a Pe

95. Resolución de problemas
(O vna eri x oem por es cals te
Ye sonados que cán amaradosalsuo Silos tesco
Besson paa ¿cuáles la atra detre?

own].
exon
ant.

7

JL

raro dr
‘Areas y volúmenes de cuerpos geométricos
Resolución de problemas

@ Deserinal caida de cartón que se ut para

Hem ur 390

© Epincipiode Arquímedes permite clue voir

1% men de un sd regular. Seg pra. vo.
lumen de un cuerpo e all volumen dal que
desplazado se sumerge elsóid en
Sisecuentaconunrecpieconagua.comoeldela
Fgura alsumergrunobjeoelnldeagiasibe
1Sem leseloumen de ojo?

O custesta stra de un pra de base eragoral si
WF sesbe que esmero delabasees 81m aires

lateral es 567 cm? es
à 06m D 70mm
< 1dm à. 00m

© Encens volsmencomprenddo en a pr
Ws de de base cucradayun con que contuye a
par de na crcunfrenci inca en a ae de
Pirámide Ten en cuenta que as rs lates son
rings. m

Razonamiento

Ht et ea ray leal delos primas ectangua-

‘es cuyas dimensiones se indican en a Tabla38.

s 1 “6

© Seña cios os dido puede comen ura
Y semieseades5on de atin

nom Bam
CAT at

96. Estadistica y probabilidad

98. desea saber la intención de
votd en las próximas elecciones
preddenciales de Colombia, ¿se
“debera aplicar una encuesta solar
‘mere en un municipio del pas?

ab
rl la aura media de os

estantes de un colegio se selec
al primer escudante dela is
a de cada uno de los cursos dela
insttuciôn se miden y se obtiene
lomedio de estas medidas.

Pensamiento aleatorio

4

lela población y la mues-
tud st la muestra bien selec»
da

(1) Terminologia estadistica

1.1 Población y muestra
En est iuación se pretende estimar la altura promedio de los estudiantes de
un colegio: por tanto, a población son odos los estudiantes que están mat
ados en lainscución

No siempre es posible estudiar todos los elementos de la población ya que
habra que dedicar mucho tiempo en el andlss de la información y podría
resultar costoso Por el, se eige una muestra, es deci, un subconjunto de la
población En esta ación la muestra corresponde los estudiantes que ena
Ita de cada curso ocupan la primera posición.

Por or lado, la muestra no est bien selecionada ya que los estudiantes
no se eligieron al azar Además puede ser que la muestra as elegida no sea
significa,

La población ese conjunto de todos los elementos que cumplen una de-
terminada caracterísica

La muestra es cualquier subconjunto de a población. Los elementos dela
‘muestra se deben legr de forma alecoría

| Sise desea elegir una muestra de 1000 personas de una población en la que
60% son mueres sede leg al arr 60 mujer y 40 hombres De
sa aera los resladosobendos nea permi deen
| nar conclusiones sobre la población con un margen de error mínimo.

1.2 Caracteres estadísticos y variables estadi

Un carácter estadístico es una propiedad que permite clasficar alos in
dividuos de una población. Puede ser cualitativo, sino se puede medir o
‘cuantitativo, se puede medir

| Ena Tabla 41 se muestra una manera de clasificarlos caracteres estadisicos
que pueden inerveni en un estudio estadísco cuya población son losem-

| plados de una empresa.

pe que racic comida oía pots delos
pad. ee
en enden ah am de sor en empre
Pertes

99. Pensamiento aleatorio

Los caracteres estadísticos pueden tomar dinos valores. EI conjuno de to-
dos estos valores se denomina variable estadística. Las variables estadíscas

pueden ser discreta o continuas.

{Una variable es discreta cuando toma solamente valores itados que se
expresan mediante números naturales y continua, cuando toma todos los

valores posibles dento de un inervao.

ETA

La edad en años es una variable esadíica dira, puesto que solo puede
omar valores como 12, 13,1, et, mientras que la estatura es una variable
estadística continua porque puede tomar valores como 128 em, 156 cm,
136cmetc

(O tun colegio hay 1250 estudiantes, de los cuales
"© 61 son hombres Se ee una muestra de 100
personas ¿cómo se deber elegir la mues para
Que sea representa de la población? ¿Cmos
ombres y cuántas mujeres deberán haber en la
muestra dei?
O conser la pobiaión formada por tus com
À pañeros de case Par esa población determing
à Doscaracees esaisicos altos.
à Doscarciresesdísicos cantacvo de
variable crec y os devarable conn
Resolución de problemas
© En una empresa de transporte público se quire sa
"ber ln opinion els cudadanos acerca del eric
que fee. Para elo unos encuestadores enr
tana os jrs que acedena exe servicio en ves

a ¿Cuáles la población? ¿Cuél esla muestra?
bo Describe la variable estudiada

Evalvación del aprendizaje

(© En década de 190 en una cda e hizo una

# encuesta telefónica para pronosticar el gana:
dor de las siguientes elecciones presidenciales El
pronésico fue que ganaría el candidato A, pero.
en realidad ganó el candidato 8,

{Cuil eslapoblacién?

bo ¿Cuáles.l carácter estudiado?

© ¿Creesquela muestra elegida fue representa
val Por qué

dl. ¿Cómose debió seleccionar la muestra de ma
‘era que los datos fueran confiables?

100. (2) Graficas estadisticas

ora y pega una gra sa
os en cuen y ste
ras conisones de edo
cies

[ Avaiza |

La faba 42 muestra ls citas de
dofacones a diferents funda
neg de un pls durante el peodo
2047 = 2012 Representa sos ae
vosfráficamente

Pensamiento a

ofS 82888

‘ae Se 0a Wor” Die

‘Se puede representar la información del Tabla 42.con un diagrama de bras.
Para ell, se representan sobre el ee X los años y se construyen rectángulos de
altura proporcionales ala cantidad de dinero donado. Observa la Figura 41.

2.1 Diagramas de barras

Los diagramas de barras se tan para comparar datos cualtaioso un
ratios discretos.

2.2 Diagramas de puntos y de líneas

Los diagramas de puntos y de líneas permiten representa las frecuencias
absolutas de los datos para observar su variación con respect al tiempo.

=
| nla Fgura 42 seobsevala vación (en mine de pesos en losingesos
de una aerolines en cinco mess

2.3 Diagramas circulares

Los diagramas circulares se utiizan para comparar los distintos valores que
toma un carácter estadístico, Son recomendables cuando no existen mu-
chos valores y para mostrar cómo se relacionan las partes con e todo.

==

Den gio de 8 pesos ecuador ft 1 bla 6
toc hin car irc npr co
can consis a = Le sr onde ead tt Ob
calar yaaa

Fiol | Bir | Tenis | Nacación | Gdismo
2 |. | w 10
wor om

101. 2.4 Pictogramas

Los pictogramas permiten sinveizar información estaísica mediante sim

bolos que expresan cantidades específica.

En la Figura 44 se representan las cas de reidaje de una ciudad en el
último año mediante un pictograma. De ella, se puede deducir que se han
reciclado 48000 toneladas de vidrio, 96000 toneladas de papel y 120000

toneladas de plástico.

oe)

bovooooooo

Van Fand ad

ota reps 1200 os

SI

Gein

(O da aia recoelosingesos mers (mies de

© pesos) de una empresa en los primeros cuatro me-
escaño

Enero Febrero Marzo Abi

78000 82000. 80000 79000
Elabora con estos datos un diagrama de barras.
¿Qué escala utilizaste?

© consumo de minutos cellar de una persona en
"2 los mos cuatro años ude 800 3620015700
y 400 respeiament,
Representa con un diagrama de puntos y de líneas
Pr

Comunicación

© Diane ano 25e rerron en as ncopin-
A cipales actividades primarias del país las cifras de
producción dela abla 45,

gral 361%
Ganadera T ss
Pesca sr
Minería zum
Exploración forest 6

Representa con un diagrama circular esta informa-
ción y compara los resultados.

© corsa ls as de a de botes en Colomba
À durante el limo año. Dibuja un pirogama que

represente esta información.

Evaluación del aprendizaje

(O El mime de habitantes de diferentes pueblos.

se mues ena Tabla 46.
Pueblo Frecuencia
72000
216000
4000
soo
40m
E 200
Representa la información en un dagama de
barras y en un pctograma. Usa una escala
adecuada,

102. n minutos, que tardan unos

¿[usa
ICE
(ess) no
(0035) | wo
¿uno represents eos dar
top que están agrupados?

Los datos presentados en la distribución de frecuencia se pueden representar

mediante un histograma. Para ello se dibujan sobre el je de las absias los
extremos de a case que tienen amplitud S.Luego, se construyen rectángulos
cua base sea la amplitud del intervalo, y la altura su frecuencia absoluta

El histograma se observa en a Figura 45.

Tepe
nos)

on
200
100]

i eos

ES

Los histogramas permiten representar de manera gráfica las clases o inter.
vas de una distribuciön de frecuencia y ls correspondientes frecuencias

absolutas orl

En La Tabla 485 regisraron las mass de 5000 pacientes de un hospital yen
la Figura 46 el histograma correspondiente.

2)

lm |
CON

(64)
a)
! [em
(70)

1600]
100
1000

2001

En el histograma se puede evidenciar que la mayor cantidad de pacientes

entrevistados tiene una masa entre 24 kg y 36 kg.

También se observa que de las 5000 personas estudiadas, solo 100 tienen

una masa entre kg y 128.

103. Pensamiento aleatorio

CESA

Comunicación
© inunpasseregscötoquehen pesado losbebésal
© acer (Tabla 49)

(2.25) 450 750
es» 1050 9
B39 2250 1950
Bsa) co so
1445) 300 10

21 ¿Cuántos niños y niñas se pesaron?

bo. Representa mediante un histograma las masas
delos niños y mediante oo as de ls niñas.

Cl fue la masa más usual que se registró en la
sala de reción nacidos?

O nation dela Figura 47 e regar ls
$ ingresos mensuales que tienen 3000 restaurantes
deu ciudad

resets

3388883

METETE DEE
tene

Responde ls preguntas.

3. ¿Cuántos restaurantes tenen ingresos entre los
20y 24 millones?

bo ¿Qué porcentaje de restaurantes tiene ingresos
ent los 12 y 16 millones de pesos?

© ¿Qué porcentaje de restaurantes tiene ingresos.
inferiores alos 20 milones de pesos?

DL Evaluación el aprercizale ES

(© serai un suo sobre Los mese de edad que

Y, can unos bebés en el momento que comen.
Daran caminar Ls reslados e expresaron me
«lane lNisogama de la Figura 48.

100,
eo.

0
00
zu

311 1213 1415 1617 18
tes)

Responde ls siguientes preguntas.

a. ¿Cuántos bebés se observaron para realizar el
sudo?

bo ¿Cuáncos bebés comenzaron a caminar entre
los 10 y los 12 meses?

© ¿Cuántos bebés comenzaron a caminar entre
los 12y los 18 mesest

«¿Cuántos bebés comenzaron a caminar entre
los9 y los 12 meses?

al

ve
a
Berta o e ala
‘el consumo de agua en sus hogares en el último.
ee

‘con los datos y explica los resultados.

ee
¿Qué consejos le darías a aquellas personas
ea

104. Un vendedor de jugos de naranja
venfle en promedio 50 vasos de
jug al ca. ¿Qué significado tiene
el término “promedio enla expre
són anterior?

Pensamiento aleatorio

En la Tabla 410, se regis el nú

de llamadas diras recibidas
en Fierta estación de bomberos
trance la primera semana de año.

1 ue el promedio de llama
cars reibidas durante esa
na enla estación?

ms | 0 |
Chu | ns |"

(4) Medidas de tendencia central

4.1 Media aritmética

Para calar el promedio ola medi artic, de as amadas recbiasen la
estación de bomberos duane es semana, e Suman los aros e resultado
Se vide por I cata toa de datos Es dei

158
7
Por lo tance promedio de lamadas aris eciids durante esa semana fue,
aproximadamente de 23lamadas.

26

La media aritmética (denorada 7) de una variable, es el cociente entre la
suma de todos os valores dela misma yla cantidad total N e esos.

AO
N y

4.2 Media aritmética para datos agrupados
Para calcular la media artmérica de un conjunto de datos agrupados en
clases, se determina el cociente de la suma de los products de cada marca
de clase x y su correspondiente frecuencia dividido ence e tota delos
datos.

durante cero da de a semana,Ob-

sera Tabla 411 (mano |
Para determinar el promedio mano | 5 |

| + Primero se calculan las marcas de clase 0 los puntos medios de los inter
| valos de clase, es decir, x enla Tabla 412,

des velocidades:

| «Luego se multiplican por su respectiva frecuencia y se divide la suma de
esos resultados entre el total de los datos

105-15 4 195-354 15-25 + 195-10 „ 10075
: 1535425 +10 s

= 1185 tov

La velocidad promedio a la que transitaron ese dia los $ vehículos que se
| regiaron fue de 1185 km/h.

105. 4.3 Moda y clase modal

La moda (Mo) de una variable estadística es el valor dela variable que tiene
mayor frecuencia absoluta.

Silos datos están agrupados en clases se oma como valor aproximado della
moda la marca de la clase modal

Una distribución puede tener una moda (unimodal), dos modas (bimodal),
tres modas (timoda) ec. Si todos los valores se repiten el mismo número de
veces, se considera que la distribuciön no tiene moda

ES
| Tomás encuest à sus compañeros de clase para determinar el tiempo, en
| minutos que dedican a estudiar en casa y regu los daos en la Tabla 4.13.

‘Se observa que la clase con mayor frecuencia es (35, 45). Esta se denomina CI 1
se modaly sica queen ls compañeros de Tomássonmáslosque 2:3)
¿edicanenre35y 4 minurosa esudar en aa. o
= 459 8

4.4 Mediana y clase mediana

La mediana (Me) de una variable estadísica es el valor de avaiable al que el 5
número de valores menores que les iguala número de valores mayores que 6

La mediana depende del orden de los daros y no de su valor.
EX

Para calcular la mediana de la dsibución de velocidades del Tabla 4.14, se
agrega una columna F,con las frecuencias absoluas acumuladas (Tabla 45)

quod ri Ad D «se Vocal
(km/h)
90. 100)
(100.10)
as | {ra no)
tan m6 ee
(mem mw ana
me mn 0
135 mo 101 =
wi

La clase mediana es (110, 120), porque all F > SOS. El valor aproximado
de a mea sl mara de cae dl inna del medita. Es dt
me HEY oro ana Me™ km

106. Pensamie

(4) Medidas de tendencia central

4.5 Relación entre media, mediana y moda
en una distribución de frecuencias

La relaciôn entre las medidas de tendencia central en una distribución de
Frecuencia, se puede observar trazando una cuna suaviza. À sta relación
se le denomina sesgo.

Dependiendo de los valores de la moda, la mediana yla media se tenen las
siguientes relaciones:

+ Moda < Medina < Media, — À
esunsesgoaderechayequi- 40! ros
vale a una distribución pos- Pre

tiva Fgura 49). ss

+ Moda > Medina > Media,
sun sesgo a izquierda yco-
responde una distribución
negativa (Fgura 410)

+ Moda = Mediana = Media,
es una distribución normal.
La cura es simétrica (Figura
am,

da CET on

Là ré ec by md
| à med y la mean de
la drain de la gra
4212 que deena lava
ción dela pan de un
us in ep do sun
Entonces a debucón es NS
posta poe

107. Herciacin
© at a media aimée delo read regis
(= dosen a Tabla 416 eeemes la long de ato
ddeun gupo eats

Esa 129 05) 039 050
ME

Razonamiento

© Aria o que fa ena sume debo
$ ción para quela medica 18

2) @ ©) © © © @

© renonce nas equa.
2 à. ¿Es posible que la media no coincida con ningún.
Valor de avatar tos posblcon a
mo

Por qué en a Tabla 417 la meciana resulta
Poco significativa?

3 Tu
HA s |:
Resolución de problemas

© Anar un dio 0 vecesseregscarontossguien
à cs resutados de menor a mayor

3. ¿Cuáles.l resultado obtenido con mayor fe-

bo ¿Cuálesel promedio delos resultados?

« Sise lanza una vez más el dado, ¿cuáles el resul:
ado más probable?

© Hat as medias de tendencia central ela dis
$ bución dela Figura 4: y describe ren que
hayenve elas

(O tn ua encuesta sobre movi, se regs a

À 1000conductares acc e número de mulas re
bids que ha do majo oil que y menor o
iualques,

150 190 100 90

alle ls

a. ¿Cuáles el dato central dela distribución?

b. ¿Cuálesla moda delos datos?

© ¿Cuáles el promedio de multas recibidas por los
‘conductores encuestados

Evaluación del aprendizaje

(© se reg ener deters qu 20aados

À ere sra tna por poemas des

lao pad eds ens forn nos
CCC]
bon Bow
yp 2 n 2 2%
ono»...

a. ¿Cuáles el nümero de horas de absentismo.
laboral que ocurrió con mayor frecuencias
».¿Cuálfue el promedio de horas no trabajadas

en este grupo de personas?

108. Hall el 25% el OX y el 75% de

=e
Een
ee
ae,
Be
1

Pensamiento aleatorio

es el porcentaje de estu
ignces que obtuvieron una cali
cin menor o igual que 5?

(5) Medidas de posición no central

Par callar el porcentaje estudiantes que obuieron una calicacón de Some-
os primero se debe organizar la información de menor a mayor Luego, se cal.
uns cuenca absolut y acumuladas tl como se representa en a Tabla 419

ıl21s14als[elzI[eleI»
ifsfafofnlels sl:

lala vals als 5

Finalmente, se hace la medición mediante cuancles. me

5.1 Los cuantiles

Los euantiles son medidas que dividen el conjunto de datos en grupos con
la misma frecuencia

Los principales cuaniles son:

+ Los percentiles: dividen ls datos en cen grupos de la misma cantidad. Esta
‘medida da los valores correspondientes al 1%, 2% 3% hasta e 99% de los
datos,

+ Los deciles: dividen los datos en diez grupos con la misma cantidad de datos
Eos indican el 10% el 20% el 30%, hasta el 90% de ls datos.

+ Los uaries dividen conjunto de datos en cuatro grupos iguales Indican el
25% el 50% y el 75% Este es uno delos tipo de cuantiles que más se ua

5.2 Los cuartiles

Los cuartiles son los valores que dividen el grupo de daros ordenado de
‘menor a mayor en uatr partes iguales.

Hay ves cares, que se pueden defn as

+ Cant (primer valor que super iguala una curra pre delos datos

+ Cuari2(Q) prime valor que supera o iguala la mitad de los datos. Coin
«ide con a mediana dl conjunto de datos.

+ Guar 3 (Q) primer valor que supera o iguala las tres cuartas parts de os
datos.

Para determina os care de a Tabla 49, se alu la cara paredes

datos es dec 50 + 4 = 125.

Q, es pues su frecuencia acumulada es mayor o igual que 125.

Q,655,puessufecuenciaacumulada es mayor oigul que 25.

57, pues su frecuencia acumulada super o gala 375

Esto india que de os SO estudiantes: 25% sacó 4 o una nora inferior a 4 el

50% sac 0 una not inferior y el 75% 5acó 7 0 una not inferior a7.

109. ‘Actividades de aprendizale

erde
(O tata eda a means a mo pars
D des as decada esto em.
Conse alas de reeves y sce un coe
ón pan cad tn
a Seles rep a0 personas cuina hos de
Geant ote yse uur assess

lp TT
alilalrelsiolels|s
3l2lslzlmlalslalelz
slats als

Seles preguntó a 36 estudiantes cuántos mi-
Autos tardan e ir de su cas al colegio y estas
fueron las respuestas.

10 12109510 12 15 16 1
2» 5 0 2 8 2% 2% 2% 0
% 1210 15 2m 2 25 15
10 0 0 5 12 12 15 25 20

po.»

O2 ri 420 muesra losas anaes de losa

"$ bojadores de una empresa Calcul en qué nera.
ls encuenan los cares yal espia.
doe lo porcenajs conespondints

ow
175.100) 35 225
tons 2% 2
usa 5 2
(13048) 2 o»
145,16) om

© A 100 personas de una ciudad se les regu call
$ es laser dea cs o paramenn donde we
Ven. La Tabla 421 mues los esas.

(95,10) 12
(m0, 15) 104
(25:10) 36

(140155) 8

a Calcula a frecuencia acumulada en cada caso.

bo Calcula en que inenaalos se encuentran los
cuaries.

Comunicación

Oroso cociór à cari medo de un gu
pe de das con a meda ame or ot
mera pues con gus de compe
fry estar ora concn er dle

© Es sl cneo en pesos) que cumul ura má
% auinadedulcesen 0 dis

126640 122088 88320 108320

126720014440 576800

O

123200 102880 wo 106080 0

OMS 15680 134560 106080

9340 00 WE 138080

a. Calculala medi, la mediana y los cuarles.
¿Tiene senido incur los días en los que no
hay consumo?

En uno de los das e observa un aumento nota:
ble del consuma Si se elimina ese dia, a media
se ve afectada? Jos cartes cambian? Explica
porqué.

110. (6) Diagramas de caja y bigotes

Las/edades de 25 estudiantes de Para representar los datos en un diagrama de caja, se calculan los siguientes
‘noe grado son: parámevos mie inferior (L), Q, Me, Q, yl límite superior.)

b 15 4 16 16

2 QuE M-Q=6 Q

2 5 15 7 8

3 Luego se dibuja un segmento que ene como extremos y, Sobre se mar.
Bob wv Yl

€ canQ, Q, = Mey Q, Finalmente, se construe una ca (rectángulo) que va de
3 7 1 16 15 Questa, Las eas que sobresalen de a caja se lama bigotes.

6 7 6 15 15
Hall el menor y el mayor dato y
los fuarules Q,Q,yQ, a © 2

E diagrama de caja y bigotes se muestra enla Figura 414

u +

Araiza = pa
ue L

El rime de pulsaciones por mi. a a Le

ruth de $0 estudiantes se registró
en À Tabla 422. AA observar el diagrama se puede concluir que:

+ El bigote dela derecha (Q,,,) es más corto que el de la izquierda (L,Q.lo
que indica que las pulsaciones se encuentran más concentradas en la cuarta
parc más alta delos datos.

2 S| Laspulsciones que se halan ene e 50% y el 75% de os datos (QQ Jesán
Is s Tu ds dispersas que as que ein ene el 25% y el 50% (Q, Q).

“ |»

E] n |» Un diagrama de caja y bigotes es una representación gráfica que permite

2 2» |» estudiar a simeria o asimeriade una distribución En estos díagamas se
| 2 | « refean cinco parämeos os límite inferior y superior y los cuarles
jpresenta los datos en un dia- - SEIN

de caja, y estudialasime- | Para dexermina si una distribución de frecuencia es siméxica o asiméxica

y concentración delos mis- es necesrio alular su media. La media de la disibución dela Taba 422

ps +s 696 Como el valor de a media no sá en el centro de a cj se puede

«concluir que a disribución no es simétrica

El diagrama de cas da información sobre cómo se encuentran concentrados
Los datos Para saber si hay algún valor más alejado o valor aípico que ditorsio-
ne el estudio dels diferentes pardmevos existe el siguiente criteria:

{ >@+10-0)
xs un valor apicos °

ls <o,-140- 0]

111. CEE

Los siguientes datos corresponden al número de falls de asistencia al cole»

io de 30 estudiantes durante un mes.

1324618132 E]
$26212124361413
LT Q=1 Me=Q=2 Q=3 L=8

Los valores atípicos son:

x<Q,- 1510, -Q] x>Q,+151Q,-Q]

x<1-152) x>3+150)

x x>6

Por o anto, eselúnic va-
lor aipico. En el diagrama de
caja dela Figura 415 se bi
có un ateo que señalala gj |
Ubicación del dato auípico. ~ me=0,

Resolución de problemas

O Representa el dagrama de caja y bigotes de cada

(© dsuibucin. Ten en cuenta que para datos aupa:
<osloslimites inferior superior corresponden a as
marca de case del primer y limo inervalo

2. Edades de los estudiantes que acuden a una
biblioteca en un da.

168) | (8,0) (10.13 (1.19)

s rin.

Do Resultados de unos estudiantes enla prueba de
salto de ongitud

(2:25) 1289) (339) 12:10

mon)

Evalvación del aprendizaj

(O inústguas 163 6185eobsenan los dagramas
e de cn y goes dees variables

Determina qué se puede decir de cada uno de
los en cuanto als siguientes aspectos.

a. Concentración de los daros

bo. Dispersion de los daros.

© Simetta

112. Pensamiento aleatorio

@ Medidas de dispersión

Hall el promedio de estatura de
tus dompañeros que tienen menos.
de 15 años y el promedio de los
que ienen 15 años o más Luego,
dercina en cul grupo estin más
cerchnos los datos ala media.

Las falificaciones de un grupo de
diez estudiantes en un examen de
estafísica son las siguientes

58 7 6 7%
nam

Los datos varian entre 56 y95,la menor ya mayor de las calficaciones respec:
vamente, obtenidas por los estudiantes A la diferencia entre estos valores se
le lama rango.

Para comprender el comportamiento de los datos de un conjunto, se puede
determina su dispersión o variabilidad a través del rango l varianza yla des-
viación pica.

7.1 Rango
Fl rango de una distribución sl diferencia entre el mayor valor y el menor
valor de a variable estadia. También se lama recorrido.

7.2 Varianza
‘Antes de estudia el concepto de varianza, es necesario definir à desviación
respecto ala media

Se conoce como desviación respecto a la media, d, a La diferencia entre
‘cada valor de la variable estadia, x.y la media artmetia, Y. Es deci:

La mea afin de os ars da Tabla 425658 = 251 ys dei:
mes epeco area se mesvan na aba 626

sv eo

9 9 29

La varianza de una variable estadística x es la media ariméica de los
cuadrados de las desviaciones respecto aa media, Para datos agrupados es

2 5
v 3 fay = + y A E =
a 6 TETE ET N
E 8 Qe
= 4 | 7.3 Desviación típica
E 3 | Vadesviación pic ses a az cuadrada postiva dela varianza.

: LE

La varianza yla desvacin típica de ls datos de la Tabla 425, son

= ISA 34 (A6 0-84 pe 9-34 OP
ETS

26

2572
AB = 95765

113. 7.4 Coeficiente de variación

El coeficiente de variación CV sive para compararla dispersión de dsribu-
ones que tienen diferentes medias y dintas desraciones pics.

En la Tabla 427, se muestran la media y la desvación típica delas notas de à

Saray Lucia. El coeficience de variación de cada una es:
Poser

= 015

5

0

‘Aunque la desviación típica de Saa es mayor as calificaciones de Lucia son

más dspersas porque es mayor el coeficiente de variación

RES

en
(O sspocensesde so del rn deseguítaden

IE À VB cu de
en ibs 28

Ap Bo @

ble

Calcula el coeficiente de variación en cada ciudad e
Interpret el resultado,

Resolución de problemas.

(O tun coli hay macacos la siete cnt
dad decades

+ En grado sexo hay 112 estudiantes,
+ En grado séptimo hay 123 estudiantes.
+ En gado octavo hay 130 estudiantes

+ En gado noveno hay 110 estudiantes.
+ En grado décimo hay 150 estudiantes.
+ En grado once hay 146 estudiantes,

21 Elabora una tabla que contenga los anteriores
datos,

Halla rango.

© Calcula la varianza yla desvación pia.

© tas fus 19) 420 muescn os pune anor
Y dos por dos jugadores de baloncesto.

E

Th

Aie sa mir med nur
¿Quién es más regular en suposición?

O Ta 429. eit número goles que
Tiron dos equipos de bol yA

BADIA

mewn RD

na»

Calcula el promedio de goes de cada equipo.
¿Cuál de ls es más regular en su desempeño?

114. si T realza un estudio estadistico

muestra no representativa,
¿se podran generalzar las con-
Clusiones a toda la población?
Explica

Pensamiento aleatorio

Si ln una ciudad que tiene
5.040000 de habitantes, se selec
cota una muestra alatora de

À 2000 personas, delas cuales 560

wlan temer, cuál esla estima»
ción puntual del número de cu
dadanos que utizan este servicio?

Inferencias de poblaciones. Estimadores puntuales

8.1 Estimador y estimación puntual
En eta siación se debe calcula la proporción de ciudadanos que ucizan

internet sobre una muestra de 2000 persona; sa proporción se le denomina
estimador o estimador puntual

El porcentaje x de enevistados que utilizan interner se calcula as

vera —
En — ag

Luego,028 esla estimación puntual requerida
Sila muestra está bien elegida, se puede inferirse resultado sobre la pobla-
ción de todos los habitantes de a ciudad: es deci, se podría concluir de forma
un canto superficial que el 28% de la totalidad de habitantes ucizan internet.

Este es un ejemplo de o que se denomina estimación puntual la cual consiste

en asignar un valor muestral concreto al parámerro poblacional que se desea

+ Parámetro: es un valor numérico que describe una característica de una
población

+ Estaditico:es un valor numérico que describe la caractrísica dela muestra,

+ Estimador puntuak es un estadístico quese usa para estimar un parámetro
poblacional

+ Estimación puntual es el valor numérico que toma el estimador puntual
para una muesra determinada,

8.2 Propiedades de un estimador

En los estudios esadisicos se pueden utilizar diferentes estimadores por ello
5 importante reconocer algunas carcteísicas de los eximadores como el
sesgo yla eficiencia.

Un estimador es centrado o insesgado si su media coincide con el valor
del parámetro que se va a estimar La diferencia entre el verdadero valor del
parémerro que se estima y la medi del estimador, mide e error cometido.
Al utilizar el estimador y se denomina sesgo. S el sesg es cero, entonces el
estimador es centrado.

{Un estimador es eficiente cuando su varianza es mínima o cuando presenta
menor varianza que oo.

115. ‘Cuatro tiradores efectuaron diez disparos sobre una diana con el objetivo
de alcanzar ef centro de a misma. Los disparos han quedado reflejados en la

Figura 42.

60000

Der Der Der

Entre los rares se pueden acer las siguientes disinciones:

+ Los disparos del rador A no se desvan en ninguna dirección (ni aria, ni
abajo, nia iquierda nia derecha) por tanto, no iene ningin tipo de sesgo.

hacia ninguna de esas direcciones

+ Los disparos de irador B se desvían hacia la izquierda; por canto, se dice

que están sesgados

+ Los disparos de rador C se desvían haci la laquerda; por tanto, están

sesgados.

+ Los disparos del rador D no tienen ningún tipo de desviación hacia nin
una delas direcciones: portant, se die que están insegados.

Los disparos de os tradores A y B están muy dispersos o poco concentra
dos, mientras que los delos radores Cy D estén muy concentrados.

Comunicación

ise aduce la stunden de Ejemplo 1 en trminos

à dela vorn de la esimación cada depa puede
comesponder à un esimacón fecunda por un
determinado esimador sobre un muestra

Completa cada enunciado,

a. La diana del trador A representa un escimador

— pen

La diana del radar 8 representa un esimador
Y —

« La diana del tirador C representa un estimador

_— = —
«La dana del rador D representa un estimador
y

bn del aprendizaje

[O En una ciudad ay 2000000 de esuiames algu
nos des cules juegan baloncesto

a. ¿Cuál esla estimación puntual del número de
estudiantes, que juegan baloncesto, se selec
ciona una muestra de 500 y entre esos 350
estudiantes pracican este deporte?

¿Cuál debe ser el tamaño de una muestra y
cuántos delos estudiantes de esta deben prac
tica baloncesto para obtener una escimación
‘puntual de 052? ¿y una estimación puntual
e031?

116. regina a site de tus compañeros
las jotas y el número de ausencas
que egisaron en el último periodo
en Matemáticas. Luego, consruye
una tabla en la que oxganices los
(ara. ¿Cómo pods representar la
infoqnacióngficamente

Anal
punta SO personas acerca del
e wanspore público a lo argo
mismo cía y se registraron los
enla Tabla 430,

0 22mm
CEE
2 1.

| ns

ichäneas personas toman tax
ls veces, ¿cuáncas viajan en au
cobis en dos ocasiones, a

taf usa tax y autobús dos veces
al ia?

(9) Variables estadísticas bidimensionales. Dependencia

9.1 Variables estadísticas bidimensionales

Sise tiene en cuenta que en la primera fla es

tán ubicados ls valores de la variable X "nú:

mero de veces que se usa tax” y en la primera

«columna los dela variable Y "número de veces

que se usa autobús” puede decirse que:

+ Hay 20 personas que roman taxi dos veces.

+ Hay 16 personas que viajan en autobús en
dosocasiones,

+ Hay dos personas que usan tax y autobús
dos veces al día

Las arabes qu se obtienen al observa simultáneamente dos caracter
cas de un mismo elemento de una población estadía se laman variables
estadísticas bidimensionales Estas se representan mediante el par (X. Y) y
toman os valores (x,y) (Re)

9.2 Tabla de doble entrada

La tabla de doble entrada se utiliza cuando el número de valores observa
dos de una variable bidimensional es bastante grande y se repiten muchos
delos

zu

La Tabla 431 es una tabla de doble entrada en la que figura los resultados
de una encuesta hecha a los empleados de una empresa para estudiar la
incidencia de tabaquismo en a gravedad delos accidentes laborales.

Con base en los resultados se puede afirmar que de los trabajadores muy
Fumadores solo diz han sufrido accidentes laborales graves en cambio, de
los fumadores esporádicos 60 se han lesionado gravemente.

117. 9.3 Dependencia aleatoria y funcional

La relación entre dos variables unidimensionales puede ser

De dependencia funcional, si sus valores se ajustan a la gráfica de una
función.

De dependencia aleatoria o corelación, si sus valores no se ajustan a la
gráfica de una función, pero guardan cierta relación

El diagrama de dispersión o la nube de puntos se ua para tener una idea
incuitiva dela relación que exite entre dos variables.

oo
Observa las figuras 422 a 424

+ La nube de puntos de la Figura 422 es muy estrecha; por tanto, hay una.
dependencia significativa yal aumentar una variable, aumenta la ota, es
deci presentan una dependencia o una correlación positiva o directa

+ La nube de punts de la Figura 423 es muy esecha; por consiguiente,
también hay una dependencia sgiicacwa y al aumentar una variable, a
otra disminuye esto es, presentan una dependencia o una correlación
negativa o inversa

+ En a Figura 424 no se observa ninguna dependencia entre las variables;
por else dice que su correlación es nula.

[mai 5

En la Tabla 432, se muestran la estatura, en centimetros, de diez personas y
nümer de calzado que usan.

i 154 186 167 158 160 163 165 vo 71 72

S46 6 7 BBO 4 à

A representar los pares de valores de la variable estadística bidimensional
(Estatura, Número de calzado), se obtiene un conjunto de puntos que re
presentan una correlación positiva, como se observa en la Figura 425,

118. Variables estadisticas bidimensionales. Dependencia

9.4 Covarianza
‘A estudiar una variable bidimensional es necesaro estudiar también las varia
bles unidimensionales que la forman,caracterizéndolas por su media y su des
Aviación tica. Este proceso se lama estudio de las distribuciones marginales
asociadas ala variable bidimensional.

xs.) dsrbucones

Varabl bidmensonak &Y) (7.4) ma

Al punto (% 7) se le lama centro de gravedad o de masas de la variable
bidimensional (XY)

Además delos parámetros unidimensionales dados po las distribuciones mar-
nales, es necesario inroducir un nuevo parämerro que tenga en cuenta la
posible relación ene las variables marginales Este nuevo parámevo se llama
covarianza o varianza conjunta delas variables y Y.

La covaranza de una variable bidimensional (% Y) que toma lo valores
(oy yd 9) viene dada pora siguiente expresión

Ay,

| En la Tabla 433, se representan los
dis vanscuridos desde quese plan
* 19 cierta plant yla altura, en cen:
meros que creció. 1 6 10
Observa cómo se calculan los paré. 1278

Las 81135

‘metros de las distribuciones mar
nales de X y Y yla covaianza de la

variable (XY). eee

ir)
a | 114 19 os
196 5152/1074 2363

| Lasistrbuciones marginales de Las variables X y Y respectivamente, son:

Ba das sm ER zus = 1035

ss „|
A

zu
5

= 1 2 364

Conta, = BE nenn

119. Razonamiento
© comic la abia 434

Comunicación
© incica qué po de relació tienen as variables bd
A mensionales (y, y) y y) de la Tabla 435,

alnlzl«ls|?
9 5 1 Be mm
DIESESEIRIEN
alalalıls|a

© cbse aabt bidmersiona regada en a
$ nal y rela o quese pd

36803

0204 05 12 07
a Representa la nube de puntos.
b. Indica el ipo de corlación.

© sua la vaste tdmesional de la Tala 457.
Luego aka ls medas s desviaciones peas
Y

Cno
DPF PTE
© Gac as mess y desviaciones pics de ls
à ares Xy Y yl cnn de a able (Y)
comoju de datos regsrdos enla Tabla 38.
36 8m
ew os ev

Resolución de problemas

(O ren en cueaos as de a Tabla 439.Luga com
à pl proposiciones y respondes preguntas

1315 17m
MEE
HEBESESES
+12]

3 Lafecuencioabsolur de(5, 11).
6 Einúmero de puntos delo (3y) es.
© Einúmero de puntos delo (x, 1)

¿Qué porcentaje de daros present la caracterís.
tica 3 enla variable unidimensional X?

+ ¿Qué porcentaje de datos presenta la caracter
‘ica (511) en la variable bidimensional (X, I?

(O des valores de una variable bidimensional (x y)
‘te son los siguientes: (2, 2), (4, 2), (4,4), (4, 3) (7,5).
(7. 7).(7,6). (5.6). (5, 5) (5, 4). (8 6) y (9.7).
2. Diu el agama de dispersión.
5 Indica el ipo de dependencia ene ambas
vara
(O Dante su primer año de via, an pesado a
1 Miranda cada mes En a Taba 40 aparecen is
pesos, X representa la edad (meses) y Y, el peso.
(kilogramos).

eee sanininlele

2 Representa el dagrama de dispersion,
b.Calculalacovaranza

120. Pensamiento aleatorio

10) Correlación lineal

10.1 Coeficiente de correlación lineal

Las variables representadas en la Figura 426 evidencian una corelación lineal
Perfect, ya que todos los puntos están alineados sobre una recta

das y uno de inversamente
cortlacionadas.

sir rat ta né
a cis aimee
rt ón co

5
en ga D pesée y
Tnt a

-
Observa la relación que hay entre el diagrama de dispersión y el coeficiente
de creation nel en los ass quese muestan ena gues 4272431

a -1<r<0
Conelicibanegativayperfecta. | Conelaciónnegaiva más fuerte
Fernie Los puntos están alineados. cuanto mis se aproxima a ~ 1. y más
Dependencia funcional | bil cuanto mis se aprxima a0.
ué tipo de correlación hay en- Dependencia destora.

las variables representadas?

4 Y |
à x
o<r<1
Correlación posta. ms fre | Corn post y perfecta. Los

«cuanto másse aproximar a 1y más | puntos dela nube extn alineados.
‘bil cuanto más se aproxima a0. | Dependencia funcional
Dependencia akatra

| A

o E
ere) raro

Sir = Olas variables no tienen correlación; es decir hay una independencia
aleaoria (Fgura 431).

121. 10.2 Recta de regresión

E)

Larecta deregresiôn de Ysobre Xpasa porel centro de gravedad o de masas

(5.3) y viene dada por a guiente expresión:
= mx = X}dondem =

Una vez comprobada a existencia de una fuerte correlación entre as variables
X y Y, que componen una variable bidimensional es interesante encontra la

recta que mejor se ajuste ala nube de puntos.

AA

Resolución de problemas.

(O Obseva e iagama de dpesión leg, rte.
x

2. Elabora una tabla de doble encrada para registrar
los datos de as variables y Y.
¿Qué tipo de correlación tienen las dos varia.
bles ¿Fuerte o débil? ¿postiva o negativa?
¿Qué coeficiente de corelación se austria
‘mejor la nube de puntos,
—09r= 03507 = 092

© Consideratainformación de a Tabla 441 y rue

rs 2
ilalalslalalslels]
ilslalslslelrlel7|7

2. Calcul el coeficiente de comeaciôn lineal
Halala recta de regresôn. Six
val

À «its fable ea prediecönt Jusiclo.

¿cubo

O Ena asa 442 e muera e crime delos

à beneficios obtenidos por ura empresa en cada
uno de os och meses de os los dos
aos

Trimestre
Beneficios (1%)

Trimestre
cios (4)

Calcula y dibuja a recta de regresión consideran-
‘do ls ocho pares de datos. ¿Cuil es el crecimien-
to que se estima para el primer trimestre del er.

¿een

La deforestación es una de as principales causas
ela pérdida de os recursos hídricos Sila taa de
<efretacin y la densidad poblacional tienen
un coeficente de corclacón lineal r de 0626,
¿qué tipo de correachn tenen esas variables.

Em

122. (11) Diagrama de arbol
cz

¿Cartas posbiidades hay de ar- _ Paradeterminarcuintos modelos desudaderasrecibiciladuehadelalmacén se

ES mafuns cave dere cifasconlos_repesentan ls colores por ByN ls als por P.M. SG y seconse un
| niperos2y ECTS drama de drbol como e de Figura 433
H M trans
1] Ela Geta de un almacén de opa CR
E | dora encaró stades de ==>

cole Baco y ego en alas pe

qua, medana, gande y eu: " sr ds

4 Sal

El diagrama de árbol conocido también como el principio general de recuen
to, consiste en que si un primer experimento puede hacerse de m formas
diferentes y un segundo experimento puede hacerse de nformasdierenes,
entonces los dos experimentos juntos pueden hacerse de m + n formas
diferentes.

- ETS
| Un determinado automövil se fabrica con dos tipos de motores: diésel y
gasolina, en cinco colores blanco, rojo azul verde y negro, y con res acaba-
des: básico, semlujo y lujo. Para determinar cuántos modelos diferentes se
| construyen se representan los motors por D y Glos colores por BR À. V y
Ay ls acabados por Ba, SL y L.
Se forma el diagrama de rbot de la Figura 434 y se observa que se consru
yen 2: 5 «3 = 30 modelos diferentes.
Motores Colores Terminacionos — Resultados

+ ¿fuámios modelos de sudaderas
dcbiá cuando legue el pedido?

REE S28 RB BREE

sl

ED

E

5

123. Actividades de aprendí

n

Eerciación
O Esbor un dagama de árbol par determina lo
= quese indica encada caso
à. E número de maneras de combinar res olores
de medas con dos colores de zapatos
Formas de selecionar un men teniendo cu
to opciones de ensaada, res de cares ico
dejugosy dos de poste
© Opeiones pra formar parejas deal con cinco
hombres sete mujeres
¿Formas de meca es rats con dos pos de
Fauidosdsimos
Resolciin de problemas
O inunaheeinsevenden conos de un sabor ale
¿ir nue sila esa y arequie, y les pueden
adcionar un aka a gi entre mora, crema de
leche leche condensada

w;

a. Dibuja un diagrama de árbol.

> ¿Cuántos productos diferentes pueden escoger
seen a tienda?

© Setananal sive dos ados cos on as cru

1 reads dela se ana lead des ans
superiores Forma un dagrama de rl ¿Cuántos
resaados diferentes pueden obtenerse?

QE code un candado cosa dedos levas (Ay
$ 8) ye dos imers (1 y 2 Rene el dagama de
Sol y calcula número de odios poses

© 00s eras e palabra "ROMA se formant
"das as palabras posbles de cuavo las tengan o
no engen seno a pe gun Caos

sultados disintos pueden obtenerse?

(O os arios de seminales de una comperenca
© de balorcesoson ense equipo A lequpo Be
uno Cyl qupo

Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a las
posibles finales.

OE una oganizació se quer der una nuna ju
ta direc, Para presidente hay wes candidatos
Ju, Cira y Pal para serrano hay dos Sra
y Andis y para tesorero hay dos Maco y Sofa
Representa en un dagramadeibol todas post
Bildes de lección.
(O Ur ci contiene es alta una roja una ai y
à una banca. Dos de elas e exraen con reemplaza
‘ent, es dec una ve se ha elegido una bala,
seanora su color y luego vuelve inuoducise en la
coja. as balcas se revuelve antes de exter una
segunda balay obserar su color ¿Culs son os
poles resultados?

Evaluación del aprendizaje

(O se unzan un dado y una moneda uno a vez
1 yscobsena número enel dado y ar de a
‘moneda que se bene en cada lanzamiento El
bora un diagrama de bol donde e muesuen as
discs combinaciones que pueden abteneve
(O considera números de cinco cias y responde ls
e Svienes preguntas
=,¿Cuimos son caps es decirqueseeen
‘qual de derecha quiera que de iquierda a
derecha?

bo ¿Cuántos son impares?
{Gunes tienen las cinco cas diseas?

& ¿Cuántos son pares capicúas y mayores que
500002

124. un menú se tiene gaseosa,
vé, papas fas hitos, gall

5 los menús que se pueden
con una bebida un paquete
ru

Pensamiento aleatorio

Julfna, Andrea Sofa paricipanen
‘und compecencia de nado sinero-
rizo en la categoría individual.

cuántas maneras. pueden
fiarse par recibir las meda-
sde oro, plata y bronce?

Para determinar de cuántas formas pueden casífarse las tes participantes
se representa a cada una con una ltr y se forma el diagrama de árbol dela

Figura 435.

+ Para d 15 puesto, hay Vene pue 3 pe Reta
tres nadadoras, it om

+ Para el 2° puesto restan
dos opciones.

+ Para la última medals, wer m
solo queda una candi- =r
data posible

AS pues, el número de o

clasificaciones diferentes. IT m

3216
‘A cada una dels ordenaciones dadas por las ramas del diagrama de árbol se
Les lama permutaciones de tres elementos.

Las ordenaciones en las que intervienen a a ver todos ls elementos y solo
varia el orden dela colocación se llaman permutaciones,
12.1 Permutaciones sin repetición

E nümero de permutaciones sin repetición de n elementos se representa
por P, yes igualaP, = n(n = 1n—2).3-2-1.

Elnémero nía = 1Xn = 2) .3*2 1 se lama factorial den ysesimboliza por
m.siendo n un número natural

Los factories de 0 yde 1 se deinen ast = 11= 1.

12.2 Permutaciones con repetición
Permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se
repiten, veces el segundo, n, veces... timo, n, veces (donde n, + n, +
+ n, =) son os discos grupos quese pueden formar, de manera que
«En cada grupo den elementos el primer elemento está, veces el segundo,
veces ya sucesivamente

+ Un grupo se diferencia de oo únicamente por el orden de colocación de sus
elementos.

El número de permutaciones con repetición de n elementos donde e pri
mer elemento se reiten, veces: el segundo, ry kim, m, veces, se
representa por P,-" Su valor es:

pana

125. temple

Com las letras de la palabra TELÉFONO, se puede formar una permutación
de ocho elementos, donde dos de ellos se repiten una ver cada uno, y los

cuarto elementos restantes son diferentes ence sí

Luego hay} za

10080 ordenaciones diferentes,

Razonamiento

© avais yreponde

#2. Con las letras de la palabra "PERA", ¿cuántos
grupos rente de cust eras puedes cr
Dis que se repia ninguna? Y cuámos ita
primer es eraP?

Con asleasa,b,c.d e yhicuinosgupos
free de sis eras pueden formarse sin que
serepiano

© Con sers dela palabra COLOMB ¿cuán
cos gupo rentes de ocho leas pueden
formarse

En un juego de azar se eligen sis números del
1 al 49 incluyendo estos dos. ¿Cuántas jugadas
istinas pueden efectuarse?

+. De cuántas formas diferentes pueden colocarse
las eras de la palabra LIBRO?

Resolucin e problemas

© in ur pars de caras e reparten incamente

1 cun à cada jugados ¿De cua omas puede
une de elos oranzar sus cua carts?

© Since pone cad día rs de conta en su es

1 camera allegar a casa Al es los ses bros que
uti con mayor frecuencia. ¿Cunas ordenado
es tinta puede realzar

© Para acceder a una caja fuere se tne que ino

"dic un número de dez citas Se sabe que dicho
mer sá formado por cinco doses es nos
y dos see LG claves diferentes se pueden
formar?

© Ur eauipo de baoncesc ha ganado un campeo-

8. | "à nao ganando dez partidos empatando dos pr

5 | cendo cua ¿De cuántas formas diferentes ha

3 Dodo obtener es resutado”

© 00 cimas formas pueden lega ala meta los
compo de ua cae, nc denen cam
sea decloBanco, tes de color anal y ss deco
torre?
($ un evo de Kot parcpa en doce juegos
I {cuis maners hay de qe equipo oberg sie
tejuegos ganado, ves empatados y dos perdidos?
(O En un banque de bodas hay mesas redondas con
à capacidad par ocho persons.
a. ¿Decuánas formas porn sentarse en una de
mea
5 ¿Cuántas dribuones dires habrá en
una mesa ena que do persona queen ear
has

(A una renin de aci menores acuiron
Y docemandzaros os

3 Ala hora de tomar una foto conmemorativa
se ubicaron en fl. De cuántas formas disin.
tas pudieron ubicarse?

LA la hora de comer se sentaron en una mesa.
circular. ¿De cuántas manera isinas pudie-
von ubicarse?

126. Pensamiento aleatorio

d

mina si es verdadera la igual
(12 = 3)Jusica.

Se [organizó un romeo benéfico
cor cuaro equipos profesionales

+ nde canas foma in
ch pueden sane ls os
py abra

Para calcular de cuántas formas diintas pueden otorgarse ls títulos de car
peón y subcampeón en este torneo, e representa a cada equipo con una lea:
(4.8.CyD) y se dabora e diagrama de árbol de a Figura 436,

Por o tano, hay 43 = 12 formas ifrente de adjudica lo ius.

13.1 Variaciones sin repetición
El número de variaciones sin repetición de m elementos tomados de nen n
se representa por V,, yes iguala:

Y, = m(m = Xm — 2)..(m = n+ D = 2

PT

13.2 Variaciones con repetición

Einümero.de variaciones con repetición de m elementos tomados de nen
e representa por VR, y esiguala:
VR, =

13.3 Combinaciones sin repetición

Las combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en

n{n < m) son os distintos grupos que pueden formarse con os m elementos

de manera que

+ Encada grupo haya elementos diferentes.

+ Dos grupos on disiossidierenen algún elemento pero no en e orden de
colocación

Elnúmero de combinaciones sin repetición de m elementos tomados den
en mse representa por. yes iguala

Cou A

13.4 Combinaciones con repetición
Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los
clitntos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:
«En cada grupo haya n elementos repetidos o no.
+ Dos grupos son disintos si ifieren en algún elemento, pero no en el orden
de colocación.
El número de combinaciones con repetición de m elementos tomados de
n'en se representa por CR, OC”. y se calcula mediante la expresión
ca = mtl.

ne nm

127. i

‘Actividades de aprendizaje

Om.

Resolución de problemas

O tuna carer participa 16 cabalosy slo se aj

Suponiendo que no pueden llegar a a meta al mis
mo tiempo, de cuántas maneras pueden oxorgarse
los diferentes premios?

O ura asociación ecológica ex conforma por 30

1 socios fundadores S nen que eg presen,
veepresdene seeano y tesorero, ¿de inas
formas diferentes pueden cubrise sos cargo?

© Enuncursode 2 sucias todos quieren sentar
1 seenloscinco aenos del primera ia ¿De cuán
{as formas puede asar el profesor esos atentos

© {cures números de nes its isis pueden
1 formarse con osos impares conos pares?

Ours sua de tus imermunicial eco der po

à bone ¿Caos iles Grece end que

imps trend en cena queen cada bie

Fra, en primer ga localidad de gen eg

dh dela load de destiny por uma diese
bile eso de da ode ay veta?

O tn una rise, cada sema tenen una sección

‘donde se anaian los signos del zodiaco. A cada
uno dels doce signos se le signa un número en
teo ene 0 y Sen ka categorías e salud der,
amor amistades fami Cuáncos horóscopos di
tints puede hacerla evista cada semana)

(O non rearane de comic pid se puede de

Br ne humbugues con ques indu ve
gel sindch mca ensalada y pero cant,
{Cantos pedidos diferentes puede acer un gu

po de seis amigos?

(O se tienen ss plots de gol que se cole con
tes colors dtretes ¿De cunas formas se pue

den cor

© A rarura ca puede sli como restado cal

cuir nimero natural comprendido ene Oy 36 in
<idosesos dosnúmeros.

Si se gia la ruleta tres veces ¿cuántos resultados
pueden obtenerse?

Evaluación del aprendizaje

(O con cc puns de espai, de os que wes noes
À tán nunca aneados ¿cuántos tiigulsdsintos
pueden formarse?

© Una empresa ofece cinco plazas vacames Tes de
i elas corespondena mujeres dos a hombres Se
presentaron quince hombres y doce mujeres

a. ¿De cuánta formas disinas podrán cubrrse las
vacantes, considerando que todas tienen igual
salario?

De cunts formasdisinas podrán cubrrse
las vacantes sia plazas dels mujeres tienen
todas distinto salario?

$

GF de estos estudios técnico, tecnológico y profe
sional Al conclir una carrera profesional puedes
oprar por hacer una especialización o una maes-
‘tia. Escribe todas las opciones que tiene una per
sona al finalizar studios de educación superior
¿Consideras importante para tu proyecto de vida
tener estos estudios

128. Pensamiento aleatorio

fe
segín

(14) Probabilidad frecuencial

ca las siguientes stuaciones
dependan ono del azar:

+ Upnzar una moneda.
+ Después del día viene la noche,
+ Alimentarse todos los das.

+ Ganar la lotería

+ Marzo tiene 31 as

fogs de ua baa

ué probablidad tiene Susana
ganar dl sorceo?

oro se vendieron 2000
s numeradas del 1 al 2000,

recor ert

Deacuerdo con a nformación Susana tiene diez posibilidades de haber adqui-
rido la boleta ganadora entre las 2000 del sorteo.

Si se denomina A al suceso "Ganar el sorte’ entonces la probabilidad que

= 0005 = 05%.

tiene Susana de ganar es D

14.1 Experimentos aleatorios

Un experimento aleatorio es cualquier suación que se puede repeir in-
defnidamente bao las mismas condiciones, pero de la que se desconoce:
cuál ser su resultado. Por el contrario, cuando el resultado es predecible se
denomina experimento determinista

Siel experimento se repte gran número de veces entonces aparece algún mo-

¿elo de regularidad estcíica en ls resultados obrenidos, de tl forma que

se puede prever el resultado sin necesidad de volver realzar el experimento.

14.2 Espacio muestral

Un espacio muestral (denotado £,5,0.0 U conse en e conjunto de to
dos os posibles resultados indniduales de un experimento aletori,

| Para el experimento aleatoro de lanzar un dado, hay 6 posibles resultados
| que coresponden al número de puntos que hay en cada cara. As el espacio
| muesral para ese experimento es el conjunto 9 = (1,2,3,4,5. 6)

14.3 Regla de Laplace

La probabilidad frecuencial es una medida obxenida de la experiencia de al
gún fenómeno o experimento aleaoro que permite estmar futuro un com-
porramiento; sin embargo, no es defini, por lo que es importante saber
interprear los resultados que se obtienen

La probabiidad frecuencial de un evento À, que se denota P(A) y se conoce:
‘como Regla de Laplace, se obtiene dividiendo el nümero de veces que ocu
rre el evento entre el número toral de veces que se realizó el experimento.
Numero de casos favorables al suceso À
m Nümero de casos posibles

posibles que corresponden al espacio muesral£2= {1,2,3 4,56) yde estos,
tres son casos favorables es dec son números pares: (2. 4,6).

= :
La probabiida de que llnza un dadolacarasuperormuese un nûme À
ropardepanosesP(O= 2 = 1 =05=50%,puesecamesccaos à

129. Aci

de aprendizaje

Comunicación
© ten en cuenca l experimento aletoio "Sacar una
2 car al arr de una bara español. Luego hala la
probabidad de cad suceso.
à Sara cabal
5 Salrun oo‘
€ “Sairun número menor que se
<"Slrun número mayor ques:
© bistaasprobabitdades que se indica nla sguien
= testuacón
En un necio curl prtipan 17 sudan
tes colombanos, brasleros 4 argentinos y 2 ho
Tandeses Ente os participantes se ele uno azar
à. {Cuil sa probabiiad de que ea colombiano?
> ¿Cuáles la probabilidad de que sea baso?
© Copia en tu cuademo la Tabla 443, en la que se
À ues dstibucon de es cursos de un cle.
complica.

Niños Niñas
sun
902 “m
903 7
1 m

Se escoge un estudiante al azar.

3 ¿Cuál esla probabiidad de que pertenezca a
sor

bo ¿Cuál esa probabilidad de que sea nia?

© ¿Cuál esla probablidad de que sea niña yexéen
son

Cuil esa probablidad de que sea niña yexé
no

«¿Cub sl probabilidad de que sea ño sé
Sa
O 3 se ie un personal aa cla a probabil
à dad de que lima clade socia ea
2 nimes
$, un ime pat
© un milplo de

Fesolción de problemas
© se gata fecha dela rule del figura 43,
.

Calculala probabilidad de cada suceso,
a Salirun número par.

bo Salir un número impar y el color rojo.

© Salirun número impar o el color amarillo.
Sal un número par el color verde,

© Nosalirelcolorrojo.

(O lige at azar un cara de una ara faces fr.
@ mada por 54 cartas (con dos comodines).

Calcula la probabilidad de cada suceso.
a. Sacar una pica 0 una figura

bo Sacar una arta de palo rojo.

© Sacar una carta de palo nego o una figura
Sacar una cara de palo rojo y menor que 5.
No sacar un comodín

© La probabil de suceso contrat de A est dado
@ porla formula P(A ) = 1 — P(A).

SA es el evento “lanzar un dado y obtener un nü-
‘mero menor que 3; determina el suceso contrario
der

[© catia a probabtad de que la lima cita de
À un número tónico ses

a un?,
bo un mükipl de 3.
© mayor ques,
ci: menor que 2.

130. Saberes previos
‘una uma con 20 balotas nu:
(das del 1 al 20, Escribe cinco
os asociados la siuación.

za una moneda dos veces

Sen el primer lanzamiento sale
‘ea, des más probable, menos
Pfobabl o igualmente probable
‘ade saga cara en el segundo lan-

Essen experimentos en os que un resultado no afecta oto,
Si se lanza una moneda varias vecs, el resultado que se obtenga al hacerlo la
Primera vez no afecta el resultado del siguente lanzamiento.

15.1 Sucesos aleatorios
Un suceso o evento aleatorio es un subconjunto del espacio muestral.
mp 1
E espacio muestral de lanzar un dado es Q = {1,2 3, 4,56
‚Ahora bien los posibles resutados para el evento “Lanzar un dado y que

¿aga en un número impar” son A = (1, 3,5). Se puede observar que ls re.
sultados del suceso están contenidos en el espacio muestra es deci, A E ©

15.2 Clases de eventos

Dos eventos pueden ser independientes, dependientes, mutuamente ex-
luyentes, compatible e incompatibles

+ Dos eventos son independientes s el resultado del segundo evento no es.
afectado por el resultado del primero. Si À y B son eventos independientes,
entonces PA N 8) = PIA) - PB).

+ Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el
resultado del segundo evento, Se escribe P(B/A) = P(A y B)/P(A).

+ Dos eventos contrarios son mutuamente excluyentes si mo pue
den ocurrir al mismo tiempo, Si A y B son mutuamente excluyentes
P(A UB) = P(A) + PB),

+ Dos eventos son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
SIA yB son compatibles, entonces AB # ©.

+ Dos eventos son incompatibles sino se pueden vercar simultáneamente. Si
AyB son incompatibles entonces À M8

- EE

+ Lanzar al aire dos veces una moneda: eventos independientes,

«Sacar una carta después de sacar una carta sin regresaría al mazo: eventos
dependientes (el resultado dea segunda exracciön depende de la prime:
ra carta exraída),

+ Sacar una carta que sea un as y un rey: eventos incompatibles (ya que no
pueden verificarse simultáneamente).

+ Sacar puntuación par al rar un dado y obtener múliplo de 3: eventos
compatibles (porque el 6 es un suceso elemental común).

+ Sacar un número par al rar un dado y sacar un número impar: eventos
| mutuamente excluyentes (porque (2.4.6) N (1,3,5) = 2).

131. CA

SI

Ejercita

© Una ci comen cuatro has rojs es verdes y

"dos ais Se saa una Ficha de la caja luego sede
vue ys aca ta ficha ¿Cul sl probabilidad
de que la primera cha se aul y la segunda sen
verde?

© a caja coniene cua fs ros, es verdes

"> dos rues Se sca una ficha daca y nose
Gene Sis aca ou ficha dela caja cl sa
probable que la primera chase al y la
segunda e verde?

Razonamiento

© sección una encuesta eefónica a 1000 personas
à para saber screen necesario que se racine la ener
Belinea una hora ar.

De los 390 hombres que contestaron, 215 respon
(iron que sy el esto que no. De las 610 mujeres
que contestaron, 351 estuvieron de acuerdo, mien:
tras que las demás no lo estuvieron.

Sean los sucesos A: "Estar de acuerdo con el racio
namiento” y B:"Que haya respondido un hombre,
¿son A yB independientes? usa.

© A tras un dado ecosieranossuess.

9 A:"Caer en número par: B:"Caer en un número ma-
yor que 3" y C "Caer en un número impar” De los
es pares de sucesos posibles (A y BA y Cy By O)
indica cules son comparibls y cuál son mutua
mente excluyentes.

Modelación

© 40% e un grupo juega baloncesto ye 60% für

© bo Sl 85% paca alguno dels dos deportes,
¿qué porcentaje juega lodos?

© Stanza un dado sn sal 6 se lanza de nuevo.

à ¿Cuáles probabilidad de sacarun enel segundo
lanzamiento?

(O se saca una cha de una bolsa donde hay dos ca

1 casrojs dos blancas y una verde Se observa el co
Jose dee la bos y se aca oa ficha ¿Cuál
esa prbabliad de sacar una cha ro en as dos

(O dove en der aras numeradas de 110 as
À pone boca aja Eee ur ex al aay
Vokes a eaten un mero mayor ques
pone en una pla, Sacra Gent número Sun
número menor, la pone en una segunda pila. Él gana
jeg loge ner oscars na pr pa
fees de Jure eras lasegurda pla
Ele enunciado que mejo dsc sacó.
à Lserets on indeenderts parue ee
Juno devas ning cra
D tosevenosso independientes porque en cada
rose pad en oa ara Co in mer,
mars qe So ura alo meror gut
€ Losevertoso son independiente porque un
rena es eimnadn ea moy es
Fa

Resolución de problemas
© taras un dado de sis caras ys nora cuántos
pos even ensure superan Se conside los

sucesos A = (2,3),8= (1,2) y C = (5).

2 ¿Coso locos Ay 8?

5 Cémosonos ses 8y O

© 5:4 y son dos sucesos munamene experts.
$ yla probabida de Aes 03 y a de B 6508 cuáles
la prebabikad de que acuranambos sucesos?

@ Era ce hay ie io doc ns De ls cn

® conor yecho ifs ocr gi nsrunenomus.
{al ie gun este daras ¿dll prota
Kad de qu sea ay oque un rumor

Evalvación del aprendizaje

(O Luis sen ocho pres de medias dos egos. dos
Ye cafés dos blanco, no oy uno au. Que
pane un par de mes blancas puro ene pr
Za para ear a raj por lo que ag un par

al aar Sino es blanco, lo devolverá al cajón. Si
continúa agarando pares aleacriamente, ¿cuál
es la probabilidad de sacar un par blanco en su
rercerintento?

132. Practica mas

idas de tendencia central

Be ccc errno
:

¡conjunto de datos presentados en la Tabla 444.
an E
ra a
| mm i 5
ea ”
CE ,

de

persion

[Calcula el rango, la varianza yla desviación tipica de
los datos presentados enla Tabla 445.

159) 6
pal i 9
mm 1 >
ima 5
2.35) 2

[Observa los datos de la Tabla 446. Luego, halla el
¡coeficiente de variaion.Incerpreta los resultados.

[De un estudio hecho a 124 personas sobre la edad a
la que comenzaron a habla, se obtuvo el histograma
dela Figura 438 Hala las medidas de tendencia cen-
al y de dispersión.

Variables estadícicas bidimensionales

elec de ebro

@ teeyesthe,

® Ena Tabla 447 se muesrael peso de Ana medida
ue aumeraba susan

ms uo wo 10 1

a. Calcula el coehciente de correaciön que hay
entre las dos variables.

Hal la recta de regresión

© Sila estatura es 165 cm ¿cuál ser su peso?

dl. ¿Es able la anterior predicción? Por qué?

Permutaciones y combinaciones
Kesolución de problemas
(O sauer crear na cave etic con ses ios
9 Silaconcición esque los cgcos o deben epeise,
¿curs claves rents pueden obtenese?
@ Un eaipo de ftbo tiene tes esos diferentes de
à camisetas dos de panaloerasy sde medas ¿De
cuántas maneras diferentes pueden unformarse
para un parido?
© Silos maticulas para motos e representan contes
+ leas y dosnúmeros ¿cuántas moros pueden mar
re en exe sistema?
se nen cho regalos dicos para premi aos
$ mejores sro estuciantesde salón A cada uno se
le dain dos regalos. De cuánasfomas dienes
podrán entregarse ls regalos

Experimentos aleatorios y probabilidad

Resolcién de problemas

(© Para una ría se vendieron 100 bolera con cao

$ números cada una Aba compró es boletas ¿Qué
probabilidad tine de ganar con una bolera? ¿ com
lares bolera?

© 5 lrzan dos dados uno numendo con números

À. pares y otro con números impares ¿Cuál esla proba-
biidad de que la suma sea un número primo?

133. Resolución de problemas

Estrategia: Descomponer el problema en partes Aplica la estrategia
L Problema] © El regis de inventario que realiza una empre-
sa incrventora utiliza sees comuna eva nich
Doce personas van en tres automóviles cada uno con seguida de tes números que pueden epetise.
cuatro personas y cada vehículo es conducido por su ¿Cuémas sees de registro pueden obtenerse si

due, ¿De cuántas maneras pueden reparte en los número cero no puede incrse?

vehículos ls nueve personas restantes sa disposición een dpi
delas personas dentro de cada uno no es relevante? en

1. Comprende el problema

+ ¿Quéinformación puedes obtener del enunciado? Rome

- Qube pidenenconra?
Dee ©. Ejecura el plan

2. Crea un plan -
+ denia el ipo de ordenación que puede hacerse en 4. Comprueba a respuesta
«el vehículo, luego en el 2 y finalmente en el 3.

3. Ejecuta el plan

+ Debe determinarse de cuántas maneras pueden aco- pee ates propia
‘moda es delos nieve pasajeros deo de primer) Guaro amigos se encuenan después de mue
vehicula Es deor hos años deciden ira almorzar para clear

Los El resaurance ls frece una mesa para cuato,
= Sémaners
mA ¿De cuántas formas diferentes pueden acomo-
+ Secalela el número de formas en que ovos res pas darse enla ment
eros ocupará el segundo vehiculo. Eso es Formula problemas
Con SH =20 maneras © vena un problema que involucre la siguiente
informacion y resuévelo.

+ Como as es personas restantes ocuparán el tercer ve-

dee einer “Para ir de Bogotá a Santa Marta, Andrés debe

pasar por Medelin. A Medelín puede ir en
84:20: 1 = 1680 maneras avión, en caro particular o en transporte públi
co.y de Medlin a Santa Marta solo puede ren

Las mueve personas estantes pueden acomodarse en An o en transpor pública

los re vehículos de 1680 maneras dina.

Enriquece tu vocabulario

4. Comprueba la respuesta + Complera al siguiera organizados paie

+ Verifica queelnümero de maneras distintas en que pue.

den acomodarse los pasajeros en lose vehículos sise
‘iene en cuenta suposición dentro de cada uno se:

362880

134. Variables estadísticas

Colnunicación

© Clasicos guientescarateresestaícosen eva

i aos ycuancatvos En caso de que san cuan
caos determina son dt o comimos.

a. Coeficieneinelecual
b. Número de libros en una biblioteca

Medalla ganada en una competencia deportva
'd Número de mascoras

| Distancia recorrida por un automóvil

estadística. Inferencias de poblaciones
En la Tabla 448 e regia el número de habitantes

por vivienda en ira ciudad.
| Mimerodehabtantes Virlendas
2000
wo
som
500
2500

200

ides

a ¿Cuántas viviendas se observaron?

bo. Escribe dos conclusiones relacionadas con la infor
mación.

© Representa la información en un diagrama de ba-
ras un dagrama circular y un pictograma

On à aba 449 se regia el número de ces
Vendidosen una ciudad en os timos anos.

En 50000 |
2013 som |
zu 6000
205 neo

2016 ‘400

Teo |

la. Representa la información en un dagrama de |

puntos. |

bo Escribe dos conclusiones relacionadas con la va- |
ración en el número de celulares vendidos.

aluacion del aprendizaje

ren

500.2

a Consiuye una disibución de frecuencias.
b Escribe una situación que pueda representarse
cone histograma.

© Observa el diagrama de caja y bigotes de la Figura
Moya 0,0,Q)L, a

Resolución de problemas x

AO in una empresa enla que se fabrican anejos se

1% air evar a cabo un contol de calidad de sus
Products. Los responsables del studio piden aun
empleado que seleccione ls muestras de azulejo,
ue alhacera no cielos esperados Ene control
de calidad nose detectan pieasimperecas y, in
embargo labia recibe más devoluciones de as
esperas Por qué ces que sucedió eo?

Medidas de tendencia central, de posición no

central y de dispersión

Resolución de problemas.

O Observa la Figura 441. Determina las variables que

1% intenenen en el problema y hallas medidas de
tendencia central dela disibución y describe are
lación que hay entre ellas. CE a)

135. Comunicación

(O Ua parace emi animer de cientes que

tno enlosprimerosnueve dis en que eo abet
taal públic lnúmer de lets fue

200 295 250 75 351
235 257 207 m
Determina los curul y plantea algunas conclusiones

(O nta ia 65 se muera el número de seni
Y delos esudances de noveno aura case alo lago
deun mes

a. ¿Cuáleselrango de os datos?
bo ¿Cuálesson la varianzay la desviación típica?

Correlación lineal

Resolución e problemas

© A pac de una encusa a3 Jóvenes sobre ús

Y mero des queen al cabo de un aha se ot
ero os dro dela Tabla 451.

Sobre el número de películas vistas en un año se ob-
averno datos e la Tabla 452.

2. Está reaconado el número de bros que len os.
jóvenes con as peiculas que ven? Considera para
«lol variable bidimensoral xy) consuuia a
través de ls pares (y) y labora una abla de
doble entrada

bo Dibuja el diagrama de dispersión Indica qué tipo
decorrelación tienen

Permutaciones combinaciones

Resolución de problemas.

© seis amigos va acne y compran si ea con
Y asientos consecutivos De uintasmaneas pueden

© En un colegio sss aulas de un pas xn des
À das alos ss grupos de noveno gado.

¿De cuántas formas pueden distribuise esos ses
grupos en este pasilo?

(O Se pueden yal dun polideportivo por cinco
1% puenas ernten (De cunts maneras puede una
Sol pesonaacede sir del mma?
Probabilidad y clases de eventos
Resolución de problemas
© En us ena hay 30 balocasnueradas dt 3130 Se
1 extrae ua a aa Gala la probabidad de que a
lou ea mures
à Sea nie par
© Se un mer que termina en
«Sea méplodes,

(© Betaciona cada event con el ipo de suceso comes:
ve pondiente labajarcon una baraja de poke

2 Sacar el ey de corazones. Seguro
> Sacaruna carta de espadas. Compuesto
« Sacar una carta de a baraja. Eemental
dl Sacar una carta de picas Aleatorio
+ Sacarvaris cartas dela baraja. —— Imposble

© Escribe dos ejemplos de eventos independiente.
à dos de eses dependientes y dos de eventos mu.
camente exdajemes

136. Función lineal. Sistemas
de ecuaciones

138. (1) Concepto de función

Saberes previos

“QUE es un par ordenado? :Cémo De acuerdo con su definición la relación R hace coresponder ax de algún
se ica enel plano aresano una Cemento y de sempre cuando y ea múltiplo dex
ee or ant a relación esá conformada por tod ls parejas ordenadas dela
forma (x) que cumpla a condicién que define aR at
R=(0.2,02.0,2:10,(39)6,10).

Analiza

Corfsdera estos conjuntos Ay: Una función es una relación definida de un conjunto A en un conjunto
AF (235618 = (1.249,10) B,talque a cada elemento de Ale corresponde un único elemento de 8
Sixes un elemento de A y y un mediantef.
‘élmenco de 8, puede definirse
ugarelación de Aen Bmediante
anuncado: yesmúliploder: } Sean À = {2.4.68} y8 = (1.35, 7h.yR, una relación definida mediante el

lesson los elementos de R? | enunciado: "es el siguiente de siempre que x sea un elemento dl con

is jumo À y y. un elemento del conjunto 8.
1 Se observa quel relación A, est dada por
R= (216340651187)

} De acuerdo con lo anterior se concluye que esta relación es una función,
1 pues no exsten pares ordenados que tengan el mismo primer elemento, y

cada elemento del conjunto A est asociado a un único elemento del con
junto 8

1.1 Dominio y recorrido de una función

€ donde una unción dencrdo por (sel coun de desks
valores que ora avaiable independence rango orcoid de una
fund devorado por Rf es econ de todos los vales que ome
lavable depen
Exa
La función y = 2 sá defi par odo número ral excepto paa
aque que anus denominador I este cas la que ale eno
rador esx = por loto O{)= R = 1
Para termina record del unción despa variable xen te
nosde vb Lego se maman los nombres de sables con
À toca se bene a expeión y = 2, que ear defi par todo
À mer rea excepto par = es dc = R = (0

1.2 Representación gráfica de una función
La representación gráfica de una función y = (x) en el plano cartesiano.
consta de todos os puntos cuyas coordenadas se expresan mediante parejas
¡ordenadas dela forma (xy) que pertenecen a dich función.

139. AAA

Modelación

© tere la función que representa cada enunciado
"@ En cada caso desermina la varie independiente y
lavarabe dependence.
2. costo mensua del servicio de élan clar
(© esd $200 por mino mis 5800 de cuore
fia
b. Elsalario neto (G) de una persona que gana.
$ 2000 por hora
Comunicación

@ Connie a Tablas. Obsena jemplo.

. :
Función expresada
Función expresada
mediante un enunciado mediante

Función que cada número

leasocia su vil. gree
Función quea cad número
Ieasoca su doble menos 3.
Función que cada número
lesoca su mitad.

=

© isa e dominio yang de ada función
5-7

ef

Razonamiento

© cin cui de ls seres gráficas no conespon
"@ dena una funció ha cu respuesta

ini depen
OS una roc ce a pobremente desde una aura
à de50m alu h en eos lranscunt segun
ns aproimadamente
h(x) = 50 — 49
¿A qu tra eos cuando tanscume un se
funda uno ameuren dor segundo?

Evaluación del aprendizaje

(Eh obsera conos ela Fura 53 y ese

& an
a. Escribe una función que relacione el volumen
del ortoedro V(x) con la medida de su ancho x

». Determina el volumen del ortoedro para las
medidas de x dada enla Tabla 52.
[TEA |
Sem
m

vo

Ben

140. Sab
Dad

(2) Funciones crecientes y fun

heres previos
Ia función fa) = 5x + ca
OD yl FD

¿Pala qué valores dex la función f

= la gráfica de la función f
nada en La Figura 54

Fest

que intervaloscrece la gráfica
En cuáles decrece?

nes decre

En la gráfica de a función se observa que:

+ fes reciente en osintervalos(—6,0] y [6 8], pues los valores dey crecen en
sos inervalos.

+ fesdecreciente en 4,6} ya que los valores de y decrecen en este intervalo.

Una función fs creciente en un intenalo si para todo a € 1y b € Icon
a<b,se cumple que la) <fb)
Una función es decreciente en un intenalo Is paratodo.a € ly b E Icon
a < b se cumple que fa) > fd)

2.1 Tasa de variación

La tasa de variación de una función fal pasar de un punto aa un punto b,
est dada por la expresión: TV [ab] = 0) — fa).

Loi: |
Enla funcién fo) = 24 — 9 + 12x — 3,cuando el valor de x pasa de 122.
La tasa de varación se hall del guiente manera:
TVA] = f2) - + V1,2)=12=
Por tanto latasa de variación def) en intervalo (1,2) es

2.2 Crecimiento y decrecimiento

{Una función es creciente en un intervalo para un par e valores ay ben el
incervalo, con a < b su tasa de variación es positiva; esto es TV > 0.

{Una función es decreciente en un intervalo si para un par de valore ay b
en elintenalo,con a <b, su asa de variación es negativa; esto es, TV <0,

Exa

+ La función h(x) = 3x’ — 1 es decreciente en elintervalo [-5, —2] porque
la tasa de variación TV[=S, —2] = —63y ~63 < 0.

+ La función (x) = # + 2 es creciente en el intervalo [-4, —1] porque la
tasa de variación TV[—4, —1] = 1023 y 1023 > 0.

à — 9% + 12x ~ 3escreciente en elimenalo (0 1],pues

MO 11 =f) ~ fo) =2 = (~

141. ‘Actividades de apren

Omar)

Ejeriación
© Observa las gráficas dela figuras 55 a 58 Luego,
(© india sison crecientes decrecientes.

(© cata ts de vation decada función en os
À tenor dado

foma

TM-3.0)y TV(1.2)

Doors

M 4ymM-30

© i= 7

Mssıymansı

Razonamiento

© Visca ts sens funciones ences ode
à ces sein omespond.

ams bh) = 2x +4

© ica ssn vetas fas esas afimacones

® a. Lafunción fx) = x — 3e + 5 es creciente en el
intenalo [0.2

».Lafuncion fx) = 40 + 2 — 3 escreciene en
tet z

3
© afin fis) = x + 2 es décrite en cl
inenalo (2.6)

ein de problanas

© ena rca dela Figura 59 se muesva a vación

à deinen de una persona cada cinco ños En.
tte qué edades a extra ue rente”

a ER tens

Evaluacion del aprendizaje

(© Descvelosimenalos de cecmientoy de
Y decrecmino dels sures funciones

142. vase?

beres previos

(3) Funciones lineal y afín. Representación gráfica

Ubita en el plano cartesiano los
puros (1, 1) y (5, =) Luego,
traza una lina recta que pase por
esol puntos ¿Qué caracterisi-
ca ee la gráfica de la recta que

rena contenida en un reloj
rena ocupa un volumen de
m? ÿ la velocidad de caida es
Jem? por minuto.

=

into tiempo transcure para
haya la misma cantidad de
na en las dos partes de elo?

bora una gráfica que represen:

Para analzar a stuaciön puede completarse una tabla que mueselarelacién
entre el tempo transcurrido ten minutes el volumen dela arena V, en cen-
‘metros cúbicos que queda en la parte superior del reloj Observa la Tabla 53.

1 mn m » | «© | s | «
Sstem|450em |3é0em 210m) | 180em | Dem | Om’

La relación entre ty V corresponde a una fun
ibn E tiempo transeurido hasta el momen-
o en el que a canidad de arena esla misma
en ambos lados del elo) es de 30 minutos

(RTE:

La gia que representa La relación ene y
V puede bserarse en a Figura 52,ycoes-
ponde a unsegmemodereca cuya expresión © RAE
algebraic sá dada por. VE) = 540 ~ 9 Me

3.1 Función lineal

{Una función lineal es aquella cuya expresión algebraica es de la forma
fa) = mu siendo m un número real dierene de 0.

“Algunas caractersicas dela función inal fo) = max son la siguientes:
+ Su gráfica es una linea recta que pasa por el origen.

+ El valor de m se lara constante de proporcionalidad. Sim > 0 a función
‘escrecientey sim < Ola función es decreciente,

+ Su dominio y su rango coinciden con el conjunto R.
+ Esuna función continua.

En

El ICE (Inter city Express) es un tren que conecta todas las ciudades principa-

ls de emana Anz na veloc meda de 0 Led na 4

o q a add corps

MERECEN NA
se 10 [s/n

Esca stuacón puede modelase por medio de la función D() = 270 cuya
gráfica cs ura nea eta que paa po (0.0). comose bsera enla gua 513.
En est casa la contame de proporcionalidad es 270.

143. 3.2 Función afín

Una función afin es aquella cuya expresión agebraca es de la forma
Sls) = mx +b siendo m yb números rales distinios de,

Las principales caratericas de la función afin fo) = mx + b son:

+ Su gráfica es una línea recta que pasa por el punto (0.b} Este se denomina
punto de carte con el je de ordenadas.

+ El número m se lama constance de proporcionalidad Sim > 0a función
‘escrecentey sim < Ola función es decreciente.

+ Su dominio y su rango coinciden con el conjunco R.

+ Es una función continua.

3.3 Gráfica de una función afín

La gráfica de la función afin fo) = me +b
se obtiene al desplaza verticalmente a gráfica
dela función fa) = mx.

Ena Figura 5:14 se observa que:

+ Sib > 0 el desplazamiento es hacia ariba.

+ Sib < 0 el desplazamiento es hacia abajo

En cierto experimento se midió la temperatura de un líquido somecido a
un aumento gradual de temperatura, Los datos se muestran en la Tabla 55.

Al gralicar la relación dada encre el tiempo que transcure yla cemperatura
del quid se obtiene una nea recta que no pasa por elorigen (Figur 515)
Esto significa que dicha relación es una función afin cuya constance de pro
úporcionalidad es 12 y corta el je Xen el punto (0,12)

(Del razonamiento anterior se iene que m = 12 y

12, con lo cual puede

deducirse que la expresión algebraica de la función es y = 12x + 12

144. (3) Funciones lineal y afin.

Representación gráfica

vgeogebraorg).

Selecciona a opción Comienza acen. ERA.
Señala opción Algebra

I en a bara de rains econ Destaco y
sobre la zona gráfica oe rea de trabajo da cc en el
punto donde quieres que se ubique el deslzador Se
“abrirá una ventana en donde debe digiarse el Nom
bre m. Intervalo Mi: —10 Méx. 10 e Incremento; 05,
Luego, se ubica un segundo deslizador con Nombre
ba Intervalo Mi: — 10 Máx: 10 Incremento: 05.

E cuando se diga (en minúscula f)= mic enel campo de Entrada. el progama musa la gf Ind

rede abad ci quo sbr gray luego sera Popes ena pa und de la para
pareceria opciones parada el color e aga En Böse sion pc qua ble dsp.
Bas opiones secon Valen de ea foma se obsenar a función que see aan a media que
Imuevsiosdeiadors

Uciza esa creación par realizar lo siguiente

+ Sa el desizador en m = 0 y mueve el deszadorb, Responde: ¿cómo son las gráficas?

ora fa el alo de desizador en b = 5. La recta quese dibuj e de la función y = 5, Escribe las coordenadas

de wes puntos de sta función.

+ Sia el desizador en b = 0 y mueve el desizador m. Responde: odas as gráficas pasan por un mismo punto,

‘ual es ese punto?

+ Mueve el desizador m para que tome valores postivos únicamente Responde: cuando m es positivo, ¿son las
fica, recientes o decrecientes Por último, mueve el desizador m para que tome valores negatives única:

tene Responde: cuando m es negativo, son la gráficas recientes o decrecientes

145. DA Actidades de aprenzao|

Comunicación
(O Determina, en cada cao, cuál esla consante de
a proporcionalidad dela función.

200 =>% b.400= de

IG) =~ 4.)

© calas sienes funciones sone fies
ering des dos,

SE NYY = D+ 4
dae Se
ces (fi) = rs

© serca a constant de proporcionadas y à
® pino de cone con gj de ordenada de cada
fren
a
mix)

bf)
480)

+9)
+10

© represen en un mim plano cada función an
$ consurespeciafuncón neal asia

ANO==A+7 bg) =9x-3
O

© Representa en un plano ls valores de cada abla
1 Lego, terminas coresponden a una función I
real an ono neal

1 4
2128
a
77)
2) 8
EUR 4
ot 2 | [elo
Al 7 1 =
za ZA

ola tes
© Obseray responde
>

A cuál delas siguientes funciones coresponde la
gráfica de la Figura 5.16?

ae at DAG) = ats
je) = 83

EN)

& pl)

(O 0 quie de un au Cheol Spark GT sin
"conduc score § 7000 die más $ 50 por

Kamen recono.

a. ala unción neque ras el conto dis
ri delalquleconelnúmer de tomers ye
prés

b.Sienundase recoren 20 ¿cuco debe
pagas por alle

Evalvación del aprendizaje

(O una empresa que vanspor males esublece
Y ss as de a guien manes $10 por dom
vorecodoy $ 15por cada ml ranspoaca
à Gui cor raie 10m con una
tral? AO osa darse MO on
con a malt

1. Completa la Taba 5:10 considerando que se

«Expres la fórmula de la función que relacion.
la distancia en Kilómetros y el valor del rase
do de una sola male,

146. (4) Pendiente de una recta

{QUE tipo de función es ila Tabla S.11 se observa que el número de latios del corazón disminuye a
2x + 37 Escribe dos pun- — Medida que aumenta la edad, pero también se infiere que el cambio sobre el

repre número delos aidos del corazón es constante.

Este valor constante indica el cambio de una variable por unidad de cambio

dela ora, y es lamado tasa de cambio. Gráficamente, en e plano caresano,

em correspondería aa pendiente de la recta que model I stuaciön.
En À Tabla 511 se muestra el nú

Bra en menu ón idea = fra ec dele
ple eher
actividad física en un interva- medianos expresión:
Seman

=
7

Pensamiento variacio

Peden = ER.

(Sy (y son dos pares de valores e a función

(BET o En la Tabla 512 se muestra que la

E tasa de cambio de los datos sobre

« 5 los lados del corazón es constante,
Wis Esdecinsupendientees -05.

à el vrac de a can
Sol las funciones nes ares
a rise osc nina ta de cob poe,

«

En una función lineal y = mxo en una función afi y = mx + bla constan-
‘ede proporcionalidad m corresponde ala pendiente de a recta mediante
la cual se representa a función

De acuerdo con lo anterior, tanto las funciones lineales como las funciones
afines son crecientes en su domini s su pendiente es postiv y son decre-
cientes en su dominio isu pendiente es negativa. Además una función afin es
constante s su pendiente es ero y corresponde a una recta paralela al je X

Eu

À Pra hari pene ela rca de a ua 517 e considerandos pur

À cos que perenercan ala por mia y) = (= y (9) = (01.
Luego e remplaza lo lores components en opresión general

delapendene

ah
Bom TAT
Por lo tant a pendiente dela recta dada es.

=s

147. samiento variacional

© cuenca a pende de area que pas polos
MH punoscados

a (-1.0)y(0,1)

b@Ny(1.0)

€ (-10y24

4 (-6.4y (5-2)

Comunicación

Oieeyreuere

9 Cuando la pendiente de una recta es indetermi-
vada, cha recae era (parla al je) or
Senpla x = 3 esla ecuación de una recta cua
pendence no puede deceminae. Su gaia se
mes ena igure SR

Faas
"raza la gráfica de as siguientes rectas

3 bx=á

© cats pendre de secs que se muesran
© ent hgurs 5193522

ini rtlomae

© és encara de putas e velocidad de una em

à rea meute desea conocr avoid de un
Fn en dr aps de pa Para da midi à
Serpe en mino uno cr a dan econ

en kilómetros (Tabla 5.13).
ree ses
» w
» w
“
mass

a. Analiza los datos y decide se avin tiene una
tasa de variación de cambio constante o no,a.
parir dela relación entre l tiempo transcurido
yla distancia recorrida

bo Halla una función lineal que model a stuaciön.

Evaluación del aprend:

( Escasa e aloe eg asas se-
À in comesponda en funciones eines dece-
A »
x lyst x | vem
=> ass
=a sas
0 > ois
> os
nz 24s
. SN y ap
= 2 vum
> Eu
n a -.
oo». oo
os 1 —
ı m I
was maso

148. a

Pensamiento variacional

(5) Ecuación de la recta

heres previo:

Peles ER
E 2

tiene pendiente m =
por el punto (0,3).

TE de la Figura $23 pasa por

unto (1,3) y tiene como pen-

Fine

Fons

il es La ecuación de a recta?

5.1 Ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto
A la expresión (y = y) = mix = x) se le conoce como ecuación
punto pendiente.

Para ecto dea recta que paa porel punto (1,3) tene pendiente — se
reemplazan estos valores en la expresion general de ecuación punto pendiente
yyseobtiene:

dit Brewin dem

La ecuación de una recta dados la pendiente m y un punto (x, y) es
Uy) = mx

‘Aca ecuación ele denomina ecuación puno-peniente

‚zu

À Lead delarctaquepasaporeipun-

1 to (—2, —1) y cuya pendiente es —1 es:

Ie (23)

a

2-1

3520)

5.2 Ecuación de la recta conociendo dos puntos
Para determinar la ecuación de la recta dados dos puntos (x,.y,)y 6, y),
sedebe
1. Caer a pene por med de expresión m= =
2. Usar a pendiente m caluladay uno de lo puntos (x,y,) x, y) para
reemplazar en la ecuación punto-pendiente (y ~ y,) = m(x — x)

Observa cómo se halla la ecuación de a recta correspondiente a los valores
que se registran en la Tabla $18.

mm molle
N pan

8) 7) = (2: 1) primer se cla penne
en.
eN
Se reemplaza en la ecuación punto pendiente y se obtiene luego de sim
fary= es

149. ER

Eeriación

(O Econ. en cada casa ecuación de areca que

TS pasa porel punto Py ene pendentem
ARIAYmM=S RAN ym

© Hs pencene lección de rer que psa
cad ar de pcos

A)

22010) 4 (AY C40

Raronamiento
© indica cules de os siguientes punos pertenecen
$ lavecay = 2x = 33 cules no justia en ada
cou respuesta,
16-2 62 as) da)
© Deremins valor de vedad de cada fran.
9 a, Larecta que pasa por os puntos (3 —2)y (4)
dene por ecusciény = 20H A
b. La ecuación de la recta que pasa por (—5, 1) y
ES3jey=2+0,
6 Lavectacuyaecucin esy = —6 pasaportes
punos(=1.6)y(-2.)
dl. La ecuación de la recta que pasa por (—7, 8) y
por(—6, 11) es y = 3x + 29.
(tags de rec que ps or(0.—3)y

G-Desy= xs.

Comunicación

© cac pende de cda rca Luego encuen:
à tan ecuación considerando o puntos que pene.
meca.

asian an proiemas
(O Anal lainformacó dea Figura 527.Lueg rs
"pone prepa

cal

¿Cuáles son las ecuaciones dels rectas que conte
ren ls lados del cuadrlitero ABCD?

Evaluación del aprendizaje

(O ura empresa decemotactseradoquecian
à dou pce de un val es de Der ende
40 anos poo st reo sabe $ 1800 ls
Ventas aan 0 ants
a. Encuentra a eu de arca que ep
sera cn y ba pá
bo fent a ria dea unción

© Determina el precio del pase sila venta subea
Saints.

g
SA
© un esti revela que una pat de deserminado
páramo produjo en el primer año de observación
0001 de gua y ls cinco años a producción
de aguas eyo a 15000
+ Hall ecuación del reta que modela
esta situación y graficala. ¿Qué crees que ha
pasado con el paramo?

150. (6) Sistemas de ecuaciones lineales

previos

ra end que modele Lasiuación planea resta inten pues es posible pensar en un mé
ne sac y esc un — dodetaneo paa solucionar. Ste span respondi quince preguntas bien
e vas que haga dera la. Y quince mal el uen ser el squema par razonamiento:

“las edades de emana y 15 preguntas 5 puntos — 5 preguntas 2 puntos = 45 puntos
leds: Preguntas comectas Preguncas ncomectas.

De esta manera puede razonase hasta encontrar una solución Sin embargo,

om se anal el problema desde el punto de via del lara, puede planes a
{Im como la cantidad de preguntas respondidas coectamente y là como

Pará ingresar a una universidad se

a en proces de crane à cantided de preguntas respondidas de forma incorecta As el problema

10 due consta de 30 preguntas Por. Puede expresarse como sigue

ad respuesta conecta se agan my mare

Cinco puntos per por cada espues- $iseanalzan simultáneamente las expresiones anteriores teniendo en cuenta

recta (que noseresponda) queson ls condiciones de problema se concluye que el aspirante respondió

nds puntos. bien 22 pregunas.

Plantear resolver un sistema de ecuaciones permite resolver iuaciones en
las cuales se involucran varias incógnitas que están relacionadas por cond.
ciones específica.

6.1 Generalidades de los sistemas de ecuaciones lineales

=< | Paraindcar un sistema de ecuaciones seul el sign {ys escriben as ecu:
mre ones una debajo dela ora, como se indica aconinuación

lu aspiran bo 94 pun: E er
tcf ¿cumtas preguntas respon- Imtr=30

Un sitema de ecuaciones puede ser 2 + 2 si involucra dos ecuaciones y dos

incógnitas Así mismo, puede ser involucra n ecuaciones yn incógnitas,

Resolver un sistema de ecuaciones lineales hace referencia encontrarlo valo-

res dels incógnitas que verican, simultáneamente, las ecuaciones. Teniendo

en cuenta est los sistemas pueden clasifcarse a

+ Compatibles. Aquellos que tienen solución. Estos su vez pueden ser.
Compatibles determinados. Aquellos para los cuales hay una única solución.
Compatible indeterminados. Aquellos que tienen infinita soluciones.

+ Incompatibles. Aquellos que carecen de solución

El sstema planeado para modelar la stuaciôn inicial es compatible determina-
do pues para resolver solo e determina que m = 22 yr = 8, De la misma
forma y sin saber ningún mécodo de solución, puede determinarse queeste-
‘ma conformado por las ecuacionesm + n = 3y 2m + 2n = 3esincompatble,
ues no hay valores que verifiquen simultáneamente as ds ecuaciones

151. 6.2 Resolución de un sistema de ecuaciones
‘Antes de hablar acerca de cómo solucionar un sitema de ecuaciones, es im-
portance aclarar que solo puede determinarse que a solución de dicho sistema
les correcta al evaluar las dos ecuaciones con los valores determinados para las
incógnitas Silas ecuaciones se verifican, a solución es correcta de fo contrario,
noloes

Para el problema planteado se encontró que m
valores del sistema propuesto se tiene que:

5m = 27 = 9495-22 2-8 = 94
m+r= 309 24+8=30

2 yr = 8 Al verificar os

Puede determinarse que m = 15 y r = 1S no es una solución para el sistema,
Pues para la primera ecuación se tiene que:
mer=30=315+15=30
Mientras que par a segunda ecuación se tiene que:
Sm ~ r= 94=95 +15 = 2415 = 45

‘Aunque se vera la ecuación m + r = 30, puede observarse que para la ecu
ción Sm — 27 = 94 los valores no proporcionan una igualdad; por esta razón
ro son una solución de sistema planeado.

ste varios métodos para solucionar un sistema de ecuaciones 2 X 2.

~ Tablas de valores ) [Gráficas delas ecuaciones lineales
so) re) e
Rad Cane!

‘A continuación se presentan algunas particularidades de cada método.

+ Tablas de valores y gráficas: en estos métodos tiene gran relevancia elandlss
de cada una de ls ecuaciones razón por la cual es importante aplica Los
«conceptos y procedimientos presentados en temas anteriores.

+ Sustitución, reducción e igualación: estos mérodos tienen un componente
algebraico importante; para usarlos, se interpreta cada expresión de forma
Similar a una ecuación razón por la que e usa la propiedad uniforme de a
igualdad ys respeta el orden enel que se despeja una incógnita en Ia ecua
ción.

+ Regla de Cramer: on ste método se solucionan sitemas de ecuaciones par
tiendo del uso de ls coeficientes numéricos decada incógnita. De esta ma
eta, se "ob el proceso alebraico para usar un algritmo aritmético en la
solución.

‘Cada uno de los métodos se explicará con mayor detal en los siguientes te-
mas dela unidad,

152. (6) Sistemas de ecuaciones lineales

6.3 Resolución de sistemas de ecuaciones por tablas
A continuación se deal algunos pasos ús para resolver un sitema de
ecuaciones con este método:

17 Se ge una delas ecuaciones del sitema.

2: Se despeja una delas incógnitas de la ecuación elegida En et caso es
aconsejable despeja la que resulte más sencia.

3: signa un valor ala icógnia independiente Es importante anotar que
aunque se valores abia, deben tenerse e cuenta a condiciones del
Sistema y esimar valores que artero propo, podrían ser solución.

Se reszan ls operaciones planteadas en la ecuación para determinar el
valor dela incógnicadepenciee,

5. e reemplaza, nl segunda ecuación os alors halo en los pasos an

6: Se comprueba dichos valores verifican la segunda ecuación

El proces termina cuando los valores dados paraa primera ecuación veran

la segunda ecuación.

Los pasosanterioresse registran en una tabla na que as dos primers las son

laincógnits y la wera la sa segunda ecuación

fa

Pen ds (2373 tir ius

1 La ecuación elegida esx + y
ay =32x
3-3

3

4 Six = 3 entoncesy = 0
SEEN x + y = —1se eme que —3 + 0
(Los valores no verifican I ecuación =x + y =

Ahora se repiten esos pasos y se completa una tabla hasta encontrarla
solución del sistema, Los valores encontrados se muestran en la Tabla 5.19.

Los aloresx=2y = 1 verifican la segunda ecuación: de eta manera pue-
de concluirse que son la solución del sistema.

Para algunos sistemas la solución no se encuentra de forma tan sencilla
‘como en el ejemplo anterior.

153. vraie

“o 3 02 6 »

En la Tabla 520 se encuentra que los valores x = 11 yy = 8 verfican la se.
gunda ecuación de esta manera puede concluise que son a solución del
ema de ecuaciones dado.

Razonamiento Resolucion de problemas
(O Reacona cada sema de ecuaciones ineles con La diferencia entre dos números es 5 y ise suman,
© surepecia solución. © el total e298, Encuentra los dos números.
Sisemas Soluciones
Eo +9m=.2 ms
12m + 10n = 4 (O soluciona los siguientes sistemas con tablas a
A parir eos valores propuestos
[m+ 6n= 27
ll mans ine
=

«|

doma
À sm + 80 ==60 m= ne 14 ET

(O Espia por qu os valores ados no son una so
À cin del tema de ecuaciones nes Lega es
cie un pra en que ques mado de

eu ATES Te
fiat pri
= lan-y=s [sa—2b= 19 abs?
Salons rms e econ on bla
Pr um o
: .
Hess lios
Clan ssm 2
ERE
EL 100 — 42

154. Sal

Par ler un tanque de 31 m? se

(7) Resolución de sistemas por el método grafico

ne algún punto en común?

heres previos

caresano las funciones llaves pueden representarse por dos incógnitas, por ejemplo, x yy.
dx —1yy= + Sie

Reqjesenta en un mismo pla- Enlasiuación presentada puede observarse que los lits que salen de Las dos
y

Segin as condiciones del problema la relación entre xy puede expresarse ask

Para el tanque de 31m’: hy.

1

Para el tanque de 27m: a+ =

‘As, para responder la stuaciôn debe solucionarse el siguiente sistema de

abren dos llaves smultäneamene. SUICONES

Ung de elas se cierra site horas x + 2y = 31
oo a+ y-0

ras espués Luego intenta lenarse

un fanque de 27m'conlasmismas Es posible hallr la soluciôn del sistema analizando cada ecuación como
llaves pero ahora la primera se ci

una recta y por tanto, el sistema se entendería como dos rectas que sein-
tersecan en un solo punto. Las coordenadas de dicho punto son los valores
que satisfacen simultáneamente as dos ecuaciones.

las cuatro horas de abria y la
nda, alas res horas.

Para soluciona el sema de ecuaciones soca alsin nial ada
ura dels ecuaciones generale tene que ransormarse en ecuaciones pur
copendeme.

Laseaconesson:

sntos los alen de cada I
en una hora?

“
--£r
y=- Lo

Ahora se grafican las ecuaciones, conservando una escala adecuada, y se
busca el punto que ls dos rectas tienen en común.

Y rasa

En la Figura 528 se observa que e punto en el cual se intersecan las dos re
as 65(3 5}; es deci, a solución de sistema esx = 3;

Por o tant, e la primera lave salen tes litros de agua en una hora y de la
segunda salen cinco Iros de agua en una hora

155. 7.4 Analisis de la cantidad de soluciones de un sistema
de ecuaciones

Graficamente es posible identifica sistemas de ecuaciones compatibles deter:
minados (as rectas se intersecan en un solo punto), compatibles indetermina-
dos (las rectas coinciden) e incompatibles (las rectas no se intersecan).

A continuación se muestran gráficas de ls diferents tipos de sistemas:

Compatible dererminado Compatible indeterminado.

Incompatible

Emm
À os suene semss muesan la acción des poses soluciones

de un sistema Las gráfica correspondientes aparecen en las figuras 532 à
534 respectvamente.

CEPLE xt 5y= 10 Bet oy = 18

er s=y act 153 (+ 159 = 30

Incompatible Compatible Compatible Der
determinado. indeterminado.

El primer sistema es incompatible porque ls rectas tenen la misma pencine,
«es deci recas son paralela. El segundo sstema es compatible determinado, L >
{porque is recrasse inersecanen (02)

El tercer sistema es compatible indeterminado porque las ecuaciones que
«conforman el sstema son equivalences.

156. (7) Resolución de sistemas por el método gráfico

sistemas de ecuacionescon Ger Gebra
A lominuación se present el procedimiento para gafcr el sstema de ecua- Aoatencas
cidnes con este software,

Sin Aroa y caos
{ += Br comer
yes FP no de so

«| Primero en el menú Apañencs seleccionala D can 50

¡opción Algebra y Gráficos 2 roots

Luego, en la pare inferior de la ventana en
¡contarás una barra llamada Entrada. En este
lugar se diia la ecuación de la función que
vasa graficar

margen izquierdo.

Repite el procedimiento para la segunda ecua-
ión.

E:

+ Al presionar la tela Enter, aparece la gráfica enel pla-
no y la ecuación correspondiente en la ventana al

Para determinar ls coordenadas del punto de inersec
ción, pon una cuadrcua la ventana delas gráficas Para
ll selecciona en la parte superior derecha el menú Pre
{ferencias. Al elige Vista gráfica, y luego acıva la Cuadri.
(ul dando dic en la opción Mostar cuadrícula

157. Eier
© Grafica souion cada stem
© fie

22e 2ymr

esas
© ceca a slic de cada sema de caco
Ibe Verka reempazinolaen secciones

ase aso /

Tesolin de problemas

© Pres un sera de ecuaciones qu eng a sok

$ én dada Ubca cco punto en pan y paca
ls res que rman elena que propuse

ax=2 yen BD) <(-2-05)

ión del aprendizaje

(@ Pepin una ecuación que fome un sema de
Y ecos nales Conde = = = det oe
quese
à Deeminade
b ndeermiado

© Incompatible
Luego representa la solución gráfica de cada uno
de ls sistemas que planteaste. Finalmente, exp
‘alas éferencias tanto en as gráficas como en las
ecuaciones de los tes sistemas.

(O Deceit cu de as ets de sema
1 dad Luego los valores amas pra ao:

158. Pensamiento variacional

a grana hay patos y cedos.
ontar las cabezas hay 50 y al
Kar las paras hay 134

En
A

Saberes previos

Debpejala variable y dea ecuación

3y fh dx — 12 = 0 y describe el
dimiento que realizas.

‘uéncos animales hay de cada
specie?

(8) Resolución de sistemas por el método de sustitución

El sitema de ecuaciones que representa la situación puede resolverse con el
método de sustitución, ise tene en cuenta que los cerdos tienen cuatro pa
tas y los patos dos las condiciones pueden representarse ast

rm cantidad de patos n:cantidad de cerdos

Tolar cease 41250

Tel epson ceva = 1
ae
u

‘Otra manera de solucionar un sitema de ecuaciones se basa en el princi
Pio lógico dela sustitución, en e cual se propone escribir una incógnita
en términos de la otra para una delas ecuaciones y. después, susi sta
expresión enla otra ecuación.

Para esta iuación el principio de sustuciôn se aplica como sigue:
m=50-n Sedepsamnbpimen caución tea
AO = m) + 4n = 134 Sesa m = = nena spin cación.
100 — 2n + án = 134 + —sespha arpas dba de proc
100 + 2n = 134 sedes
7

=-14-meon- on
2n= 134- 100: 2

Por anto, la cantidad de cerdos es 17. Ahora, para averiguar la cantided de
paros se reemplaza ese valor en la expresión m = 50 — at

m=50-17= 33
De esta manera, en la granja hay 17 cerdosy 33 paros.

Para resolver el seva de ecuaciones se realiza el procedimiento descrca,

Se lige la primera ecuación y se despeia x
2=-3-2
Este valor se sustituye en la segunda ecuación.
UI + 6) = II + y= 929
Como esta igualdad siempre es cierta, se deduce que el sistema tiene infin
tas soluciones así que es compatible indeterminado. Crficamente se inte-

preta que as dos ecuaciones generan la misma recta, como se observa en la
Figura 540.

159. Cu

Actividades de aprendizaje

Sern
(O rech os ueno seas de ecuaciones con
Y emo desición

(sy =8
oras

fo

© testeado sea de ecuconesconelmécodo
à desist
Lego reemplaza ale conespondiente asstema
y comple fase Pata lo tiza soo valo de
Ilm en a edgntay

a Vera N
b teva |
€ Vera ı
a lea A

lea 5

Para solucionar problemas de matemáticas es nece-
Sari desarolrla capacidad de

Resolución de problemas
© Arai et sscema y determina el valor que debe to-
9 mara para que el sistema cumpla cada condición
dada,
fet yen
Es

Compatible deserminado
Incompatible

Evaluación de prend MON

(O ica as ecuaciones de arca par cada
1 ssema y determina, con modo de susi
ió, Js aloes exactos de asun.

160. (9) Resolución de sistemas por el método de reducción

Saberes previos

cf cuál número entero debes
úplicar todos los términos de
ación 3x + 2y = 5, para que

Como se ha estudiado en temas anteriores algunas situaciones en las que se
‘observa una relación entre dos datos pueden resolverse al planter y resolver
un sistema de ecuaciones.

En estecaso las incales de cada producto serán ls incógnitas al momento de
Planear el sistema correspondiente al situación

Sean Gun klogramo de café y A: un kilogramo de azúcar
Según los datos del problema, se tienen as ecuaciones. 6€ + 3A = 15300 y
(C+ 104 = 8250 Asi puede plantearse el siguiente sistema de ecuaciones:

(ec +34 =15300
ic +100 = 2250

"solucionar un sistema de ecuaciones por el método de reducción, eel
mina una de las incógnitas en el sistema de ecuaciones para resolver inicial
mente una ecuación de primer grado, Con esta solución, se despeja el valor
faltante en una de ls dos ecuaciones.

=
Para solucionar elsa deta sin ni po el dro de eucion,
pueden segs ls pasos quese sien a on,
1 e determina incógnita que va a eiminane en ese caso sá
27 Se map come ent por un número ga una
las dos coches pan pode reductos Fr cs, emula a
Segura cación por 6 an oil diese arto e
(ran
Loan 19500

3: Sereducen as ecuaciones sumando entre los términos semejante los
valores numéricos de esta manera:

ra 15200
—6C GA =-49500
SIA = = 34200

En este caso la incógnita C se eliminó de la expresión y el resultado de la
reducción es una ecuación con una sola incógnita que es A.

4 Sesoluciona la ecuación ast —57A = —34200 y se obtiene que À = 600,
57 Sereemplaza el valor A = 600 en una de las ecuaciones:
CA 1A = 8250 = C = 8250 — 6000 = C = 2250.

Por lo tanto, un klogramo de azúcar cuesta $ 600 yun klogramo de café
cuesta $ 2250.

161. © isi, en e pio canesano as ecincones de
da sema, Luego determina su solución

CEE fax + 8y= 34

sx — 6y=3 >lsr+ o

+= (sx 7y = 50
Shey ox + ty = 97

nn
© ese ado tea po reducin y busca sso:
lución gráfica abajo (si no esta entre las opciones,
dibújala en tu cuaderno).

act sy Bernie
ka
iS En

Felación de problemas
© Obrera since sema de ecuaciones y luego
à respondelapreguna
axtby=0
ax+by=0
¿Para qué ae dea, yb, ene linea ninas
soluciones

(O Escrbeasegunéncuacónenls lease bye
yr cndy eel sa qué cta
‘aera sede po quese nda

eye
‘Compatible determinado

set 6y= 27
b ‘Compatible indeterminado.

Incompatible

pen

a

runs

Compatible indeterminado

162. curpple a igualéad

ones obrenidas es 1

=

fas condiciones?

(10) Resolución de sistemas por el método de igualación

ez valores a las variables m y
InyWerca sien todos los casos se

P= n= (m+ nm =n).

ima de dos números es 5. Si
vide el primero entre y else-
entr 6 la diferencia delas

18 par de números verifican

Para planear e sistema de ecuaciones de a stuaciôn propuesta se consideran
las siguiente incógnita
x primer número y segundo número

i
3

Fl método de igualación para solucionar sistemas de ecuaciones consisten
despejar a misma incógnita en as dos ecuaciones y luego, aplicar la trans
tividad delas igualdades, con el in de igualarlas y despejar a ota incógnita.

EN

El sistema presentado enla stuaciön incl se soluciona como se muestra.
continuación

1. Se despejay en ls dos ecuaciones.

i y ==x +51

: Ta

EN

H see

À 3.°Se despejax.

H Ada

i 7

a
Waco iy

iio

{LAs los dos números que solucionan el eto son 19 32.

D]
Para resolver el: 7 207 puede el las
rarer sema (7 27 se puede lg m pra dsp
dos ecuaciones
A E

Seite expresos e depen BEN = B= à
Seremplaa ar denen un de ads ecos dep par a

harvard mm 1543 mean = 5232)
La son gráfica se muesca en a Figura 54

2

Comon

163. Reset os gene sisas de ecuaciones con

© plante dos sizemas de ecuscones incompatible,
à dméodo de gun.

à dos compatibles indeterminados y dos compa:

hems few tiles deeminados Ten en cuenta as spuemes
[Sx — 6y =38 Ra+b=s ee
PE earns years
lamas stems ———
Be 6 FI ES
3 mn ¡[irte =
“x tS oes
bees [ax y 7 is E
2377 — =
Razonamiento e+ Wy = 40
© Desire error ene proceso y justa porqué
9 losvalresdadosnoson/asolucóndecadasisema Sens) ayas
pantesda |
fm 403 y +20 00
Mom 2019
da mem © reúne con ao compañeros y ene todos so-
nose À lucionen el siguiente sstema de ecuaciones
== (a+ Sy = 20
eye Bey
Bu Cada uno elegirá uno de los métodos estudiados, Al
7 termina comparen ssolonesy alien cules
Reemplarando para se ee que méd más echo para reser este sea.
2-2) fcrolucin de problemas
NT. © Hata dos números tales que sise divide el primero
4 ae 9 ente 3 segundo ene 4 suma es 1; mino
Deesemadam = - À y tras ques se mulilica el primer por2 y el segun-
ke co prs asuma sea 174
ts Evaluación del prendzaj
==
y (O Un númeo esi formado por dos cas aya
A ee ere suma es 15 Sia la cuarta parte del número se le
2 5 "suma 45, el resultado es el número con las cifras
3 ayas yo inverudas Cui es el número?
À | Rempazandoparax se ene que: © Un número const de dos ias cay uma 6.
¿ pa a à Sie invert el orden de cits número ob:
i ae tea gua So más ue sas la
i 2 2 dchonimen.

164. (11) Resolución de sistemas por la regla de Cramer

jel sitema de ecuaciones — Siseconsidera que:

I wi
a La información inicial se representa asi:
oe pre,

El mécodo para solucionar este sistema se basa en el concepto de matrz.
alza

Ina inca se envasan 200 de e-
cía Para lo, se usan boues
Ly botellas des Len totalse

Una matriz es la deposición de números que se asocia con un sistema de
ecuaciones Los números de dicha matt son los coeficientes numéricos de
las incógnitas. Se lama matriz ampliada a la disposición que, además de
incluirlos coeficiente numéricos incluye las constante del sistema,

120 botellas
Es posible asignar a una marriz un número real lamado determinante dela
mari Para un sistema de ecuaciones2 «2, en el cual os coeficientes son a, y
= b,enla primera ecuación o, yb, enla segunda ecuación y as constantes son
€, y e, respectivamente se tiene que:
Sistema Macia Mari ampliada
Ban E 2) iR b .
ntas borelas de cada capa- laxtby=c, a b, a boo
ad se usan?

El determinante dela maiz es el número que resulta deb, — a, b,

La regla de Cramer es una fórmula basada en los determinantes que pueden
plantarse en un sistema de ecuaciones así

ab
ab
a à

ab

Aplicando la regla de Cramer aa stuacioninicial se iene que:

œil =
300 5| _ 600 _ Le o] _ 200-200
DE M Yea] se 0
25 25

Lego se usan 100 botella de 2 los y 20 botelas de 5 rs.

165. eran
(O caca ains dceminanes.

a
alt? m Tao
she lta
fle x 7 4 5.

© Rene cada uno delos siguientes temas pore
À método de Cramer y espia la representación 8.
fea decadasolucn

by +

po
bent

ay
pe ~ sy =m

(say =0
pe - 2y = 4

“ltr

ne

© tea resoher os guientes temas de eunco-
9 nes por la regla de Cramer y explica lo que ocurre.

Rs fe
Escbe una conclusión acerca delo que acabas de
bien

Resolución de problemas

© Una evaluación consta de 16 preguntas. El maesro

“2 suma diz puntos por cada respuesta correcta yes:
ta ses puntos por cada pregunta no contestada 0
mal contestada. Si Mario obtuvo 64 puntos en la
“evaluación, ¿cuántas preguntas contestó corecta-

© aciisrado de una fábrica de compuradors

“2 establece un plan de producción para dos modelos,
Ay By cuenta con dos divisiones.
Una división e caller de máquinas donde se fabr-
can las partes del producto yla ota esa division de
ensamble donde se unen las pares para obtener el
producto final El modelo A require cuatro horas
para elaborar las pieas y cinco horas para ensam-
bars y el modelo 8 require res horas para elabo-
raras piezas y una para ensamblarlas.
Sila ábrica dispone de 95 horas mensuales para la-
borarlas piezas y 105 horas mensuales para ensam-
bars, ¿cuántos computadores tipo A y tipo 8 se
Pueden constr mensualmente en esa fábrica?

© Dosjaras peques y unajara rane pueden on

% eer ocho vasos de aga. Un ara gande menos

tna Ara pequeña conse dos aos de aa.
users ass de gu caben ada ra?

Evalvación del aprendizaje!

(O Ur puta ne vee preguntas por alo de

Ye 100 puros La puta cone en preguntas de
verdadero y bo po lr de es puros cada
dra, y Degas de sac pe pr valor
de once puntos cada un ¿Cunas pegas de
Selección maple se ncunan ena pucbat

ODA Lo cel ato 2015 se produjeron 11600 acc

1 ences de ca delos cuales 5600 e dbieron a
exceso e velocidad Avergua el nmero de autos,
y de morosacdentados sel 40% dos acciden
{esd oe y els de morse odie
ron por noir ala wc reglamenta

166. Resolución de problemas mediante sistemas
de ecuaciones

E Analiza y conoce
By Prada oasis jac. Sepin ls ducs del proben. aed ncn de Cita yy ee cia
E cepkesencarconelsixemadeecua- actual de uana se ene que
2 E S000x +10000y = 12000 x= 4edad de Cristina hace 4 ños
A "Tees 7 y ~ «dad de una hace aos,
A ho an
D | Además:
+ :edad de Cristina dentro de Baños
Hack cuatro años a edad de Ci y + 8 edad de uan dentro de Baños
ina era el doble de la de juliana s
Dee deso te aed de 0ro=0+0

Las condiciones planteadas en el problema forman el siguiente sistema de
ecuaciones lineales
x-4=2(u-4)

Set
hor

y +8)
Por el mérodo de susiución se tiene que:

K=2Y-O+4 x=2-8+4

Ahora se reemplazax en La segunda ecuación y se tiene que
5 AA
E r9=y+e

. 4 10y + 20 = 8y +64
¿Qué edad tienen actualmente

China y juliana? Wy ¥y= 64-20 = Y

7

Deesta manera y = 22 y

2y~ à Por lo tanto, x= 40,

En conclusión, Cristina tiene 40 años y Juana tiene 22 años.

Al inalzar la solución es importante verificar que la respuesta hallada cumple

| las condiciones y el contexto del problema Para ll, se reemplazan los valores
en el sistema de ecuaciones asi

Lo

(2-4)

Borgenıı

Plantear y solucionar un problema en el que se involucran sistemas de

| ecuaciones se basa en escribir en forma algebraica, con incógnitas Las die-
rentes condiciones del problema. Luego, el sistema generado se resuelve con

| alguno delos métodos estudiados anteriormente y se deermina la respues-
taal problema

E

167. Comunicación

© Un ascomóvi que avanza a7 anh eva una ven

ca de 90 km a ovo ato que aanza por una va
paralela a 10 km/h ¿Alcanza el segundo auto al
primer? Esla asazones.

O perimevo de un wänguo cales mide 20 m

# El lado desigual mide 4 cm menos que los lados
iquales Calla rea de ese ngulo.

Aazonainto

© tn ura gana hay conejos y gansos que hacen un

Oral de 9 aber 90 ars Hoy ms ganso que
Conejos Explica urazonamienta

© va a see problema tene solución. La
suma de dos mers es 14,5 se añade al mayor
Se chere el oblea meno

Os etes acres de una mujer y su hijo son
$ os 25 aos nain mamento produto
desis dade ea 6402

Modelación

(Maa Banca forman par para raza abajo

à engupoqueencagolprotora de Bols sobre
eus des drogas en el game.
Si hier lb cojunamens, cain dos
horas Maía sd, empleaa tes veces más
depo que Banca tambien en solia, ¿Cubo
tempo tardar cada un de elas por separado en
hace el abo?

A
(O la de as es as de un número ica es
© asuma elcid as uidades ya des con

tease ala els decenas Cale dnimen,

(O asuma des indes de un padre y su hi 556

à os Hace 10 años la edad del pare ea equ.
tuple dea edad que tna la hi Cues edad
actual de cada not

© Sia uno delos dos de un curd se aumenta

© silongi en Som yasuadocondianen sem a
dra dela figura aumenta en 71 cv. Cala lado

À deicuadrado.

En un cajón de una papelería guardan dos tipos de

"© bolígrafos hay cajas con doce boligrafos azules y ca.
Jas con 16 boligrafos rojos En total hay diez cajas
y 144 bolígrafos. ¿Cuáncas cajas hay de cada clase?
Plantea las ecuaciones del sstema y resuéelo por
tablas y por ovo método.

Una empresa de reciclado de papel mezcla pasta
"© de papel de baj calidad, que compra por $ 500 el
Klogramo, con pasta de mayor calidad, de $ 800,
para conseguir SO kg de pasta de $620 kilogram,
¿Cuántos logramos utiliza de cada tipo de pasta?

Evaluación del aprendizaje

(O Por una sudadera y unos tes pagronen toi
1 5 12600 Sil rei de a udade aumentara
en un M entonces ef gal 79% del precio
de ose. ¿Cro cous cada ao?
© on la ana de tos estudiantes de vais cle
à 90 se sn chabltndo casas dun pueblo
abandonado
Ahora se ocupan dea remodelación de un de
ps de 1000 m' que absec de a potable
pub Tene foma de pra uadarguar al
ue la altura es el cuado de ado dela base
menos 15m
Cala a logs del do dela bae ya ur
de dep,

168. (13) Sistemas de inecuaciones de primer grado

¿Qe diferencias encuentras entre
una igualdad y una desigualdad?
QUE signos matemáticos se uni
‘angen cada una?

Analiza
[doble dea edad de Camilo se
le rca 17 años resulta ser menos
le 5: peros ala mirad de la edad
lefamiloselesuman 3ahos ele
sudo es mayor que 15.

(o)

“

T
¿Cuántos años tiene Camilo?

Tanta eet ia ai ana rT

Para averiguar la edad de Camilo puede hacerse el siguiente razonamiento:
Sea x a edad de Camilo y 2x el doble de su edad

De esta manera, la expresión ‘al doble de a edad de Camilo se le restan 17
años resulta ser menos de 35” puede representarse ast

D 17€ 35 = 24 € 35 + 17 2H < 52294 < 26

Porsupare la expresin "sala mitad de la edad de Camil se le suman 3 años,

el resultado es mayor que 15” puede representarse así
443>504>15-34 > 2350 :221>%

Sila edad de Camilo es mayor que 24 y menor que 26, entonces puede dedu:
irse que Camilo tiene 25 años.

Una inecuación es una expresión en la cual hay elementos desconocidos
que están relacionados con ls signos <, >, = 0 >.

Para resolver una inecuación se tienen en cuenta as siguientes propiedades:

+ Se <byceunnimeoral once e <6
: bye 0 nemesoe bey À < 8.
«Sa <oye<o mese > key > À

Defra smi se verifican as propiedades cuando a > b.
“a> byee ninel menedate> bc

-5ia>tye> mann key 2> 4

6

+ Sia>byc<Oemoncesac< bey E < À.

13.1 Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Expresiones como

atb<e atb>c mtbsce axtb>c
son inecuaciones de primer grado con una incógnita, y par resoverlas se
za las propiedades mencionadas El problema de determinar la edad de
Camilo se solucionó a partir de planteamiento ya solución de dos inecuacio
nes de este estilo,

Es importante tener cuidado al aplicar las propiedades sobre todo cuando se
multiplica ose divide entre un número negativo

169. La representación rica dela solución einen dr 5 > Tem
Gonden< 5,5 mues enla gra 50.

PEN]
Fans

13.2 Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ura inecución de primer gado con dos incógnitas es una epresón age.
trae que puede expresarse de alguna de as siguientes formas

artiy<c mrly>e mtiySc mtiy>c
Es important ene en cuenta que esas expresones son ies alas quese
(esrien en una linea rect y que, de hecho, tenen una estrecha relación con
las. Exo se explica a continuación

Ames se dedujo que y = mx + b describe una linea recta y en el mécodo grá-
fico se pudo observar que expresiones de la forma:

axtby=c
pueden llevarse a a forma.

y=m+b
De manera similar, expresiones dela forma ax + by < € (o cualquier de as
planteadas como inecuación de primer grado con dos incógnitas) pueden le.
‘arse a una forma en la cual la recta ax + by = c define dos semiplanos uno.
‘que describe a región ax + by <c y otro que describe la region ax + by > €.

Era
Observa cómo representar gráficamente a inecuación —9x + 3y <= 6
1.Se escribe la inecuación detal manera que lay quede despejada.

3) <%~ Oy <=?

2.Se gaficalarectay = 3x —

À a. Sedecermina apart de a ree
Ea. largión para la cual ose
{lores dyson menores que los
À valoresde3e=2

À 4 5e colorea dicha región. En la
{Figura 551 se puede obsenar
{la solución de la ineeuacién
À y< 3x — 2 La recia de color
1 amlesy=3e~2

De forma similar puede representarse la solución dey > 3e — 2.

170. (3) Sistemas de inecuaciones de primer grado

13.3 sistemas de inecuaciones de primer grado con
dos incógnitas

faut by <e,
cages tame [IS
Elsgno < puede cambiar y ser >, > 05.
La solución de un sistema de inecuacione ser una región del plano cartes
0 en a cua se vesfiquen, smultineamene, ada una de Las inecuaciones de
dichosistema.
La mejor manera de solucionar estos sistemas esapcando el método gráfico
para cada una de ls inecuciones.

pt y> a
ares

Para necucn 2 + y > eine que > 2x + 4 que gaa
bimecay = “2 +4
Paralanecncbns - 2y < 8e ee quey > À ~ aique se gala
rectay = + — 4 (Figura 552)

saute dicen

rent
Como puede verse en plano dela gua 553 se generan ua regiones
que sá demas recut, por secas AS a sola dese
rasé para lily > —2e + 4yy> & = 4 smukdneamene

171. idades de aprendizaje

Ejeriación
© Reeves sigues necios y representa
«2 solución gráficamente.
a -2-3>5
bnset <3
eurer
“es?
3

pen

4

>

fixonaminto
© Recon I necuacion con la grfea conespon-
© dene su scien

ax-y>ı
em 4y<-2

b-x+y<-4
dx+3>2

CRE
À pla por qu y escrbefemeacada paso de pro-
coloque seo y cule leo

Ber
3<x

3 <x
x

Resolución de problemas.
Plamea una inecuación que describa la situación

"9 Luego resuélvela y verifica la respuesta
Una furgoneca pesa 875 kg, La diferencia entre su
peso cuando está vacía y el peso de la carga que
leve no debe ser inferior a 415 kg Sideben cargarse
‘cuatro cajones iguales, ¿unto puede pesar, como
máximo cada uno de elos para podersertranspor-
ad enla furgoneta?

ET

(O reuche tos sienes seras ce nenacne

pere erre
6 y>0
pos u
ler y>2 see

(O Define un sema deinecuciones cuyasolución
# limitada por el eje X, sea la región resaltada en la
Sie a

a gua 98

Escribe los pasos que seguste para determinar
dicho sistema y explica ses el único que puede
cumplirlas condiciones pedidas.

172. col
Cor

Fur
Go

>

Practica más

¡cepto de función
[Observa la gráfica de la función representada en la
Figura 559, Luego realiza lo que se propone en cada
aso,

a. Elabora una tabla de valores
E. dential dominio y el ango de la función.

€ enfic los valores para los cuales fl) =
RO = 2y fo) = 25.

Ls tara de un proyec en meros ex deermina-

da por la función h(t) = 10e — €, para un dempo

¡dererminado det segundos.

2: Idencfica las variables dependiente e indepen-
diem.

b. Completa una tabla de valores y taza la gráfica
delafunción

€ Identifica dominio y el rango de la función.

Cul esta altura que alcanza el propecia los
siete segundos?

ciones crecientes y funciones decrecientes.

© cerca os inenals donde crecen y decrecen as

funciones representadas en as guras 560 y 61,
a b

© Encuenva una función que cumpla con las condi-
$ ciones dadas para cada ao,
a. Fuciónall con conse de proporonaldad
nega.
bs Función nel con constant de proporinaldad
palas
«Fanci incon conan de proporconaiad
Sue ps por el puro (A2)
A Funcin afr con ons de proporcionalidad
Lau crade era

Resoluciôn de sistemas de ecuaciones

Ejercitación

© Hala lasolución de los sistemas de ecuaciones.

as of
= arty
(ose yes aoe?

6
as MN

Resolución de problemas
(O Determina los seas de ecuaciones pra cada s+
fe ain y hallas soución.

a. Aun cocino asen 10 persoas entre hom
beesy mujeres Ls hombres pagan $ 5600 y e
res mt La aquel 588000,
{Contos hombres y ains mur aero a
concer?

Bi Dos números suman 9.is ide e mayor
enel menor elresiduoes6 y Gt 3
‘eile son or dos números?

© Enuna nda se paarn 5310 por camisas
y pantalones Se sabe que os cameras y e
panne usa 535000 ¿Calles pro de
(ads camera y de cada pana

173. Resolución de problemas

‘suoleeia: Seguir un método

El contador de una fábrica estima que la función que
determina el costo de producción de xariculos en d6-
lares es:

2y ~ 600 = 240
A cuáruo equivalen los costos fis de producción?

Comprende el problema
+ ¿Quéinformación te da el enunciado?
La

ees at

Crea un plan

© Ua función ala forma y = me + by calcule cos.
Ko cuando no se ha producido ningún rulo.

Ejecuta el plan
+ De la ecuación correspondiente, deduce cul valor
oma my cuál valor coma b.

2y ~ 600" = 240

600% + 240
7

y=3000+ 120

|
2... |
m= 300yb= 120 |
+ Cuando no se han producido artículos x vale cero,
| y= 00
Los costs fos de producción equivalen a 120 dólares. |

| 4 Comprueba la respuesta

+ Verifica que el costo de producir 25 ariculos equivalea
7620 dares.

Aplica la estrategia

© La expresión 3y — 500 = 660 comesponde a
la orción que determina el número de metros
bes de gua en un tanque en época de ll
via. Six serena nimero de dis qué ca
tidad de gua Pará enel tanque luego de diez
das de aa?

a. Comprende el problema
. Ceaun pan
ejecuta el pan

44. Comprueba la respuesta

Resuelve otros problemas

© La función) = 200% + 150 con x como das,
sefalalacantidad de pecesen un cultivo de tu
chas Cuando se observa el cultivo en un hpso
de tempo de 8 à 15 días ¿cómo cambia el nú
mero de peces?

Formula problemas

© vena un problema queincalainfomación
dela Figura 562.

Enrquece tu vocabulario
+ ¿Cuál de esas palabras no dene relación con
las demás? Explica por qué

Igualación - Cráfico - Reducción
Sistema de ecuaciones

174. {D) Observa las gráficas de las funciones g yf de las fr
guras 563 y 564 y describe los intervalos en las que
recen y decrecen, AS

bes

cn |
Glover snmentss eran ced
nani cin
Space eine anes ed |
Een |
Etes
À cop 24s mc,
= CARE
AE
=
» behind anna san
area onde ah

ción lineal y función afin
luciôn de problemas
La función fe) = 4x + 9 representa la variación del |
‘apical incl (en millones de pesos) de una empresa
con años de funcionamiento ¿Esas afirmaciones
son verdaderas o falsa? Es
à. La funciôn no es lineal sa pendieme.
bl capital inicial fue de nueve millones
© 1a pendiente de la ecraesnegatva,

aluación del aprendizaje

On von npes a un gmat. La ins.
Y ón ne un como de $ 5000 la mensualidad de
57500
ena la funció cl a mesón ele
ad primer ata
> Siunspersonsseinscibeypaa ste meses de
mean po adel, cunt pagan
war

Pendiente y ecuación de a recta
Eerctación
© cac pendience decadecta Luego encuenta

ve su ecuación considerando los puntos que
cenacla [AS

Razonamiento
© Dxserina el conunto de os valores que debe 0-
# mar a para que la reta que pase por os puntos
(72 3)7 (0-8) sempre era pende epa,
Comunicación o
@ retina cada representación gráfica con la des
e cipcién desu pendiente.
a >

edit)

175. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Razonamiento.

© oer ne de orcas ena qe ana |

e estoses y cuando seinvierten sus cas, el número

Se incrementa en 27. e
as ba cH da
Ejercitación

O tiza ls rca del sema
decide sve coran

Comunicación

© Connie esquema que resume acces desi-
1 temas 2 X 2 deacuerdo con ss soon.

cuece ,
De
Inompsche
Razonamieno
@ Selena a opin conectacon espectoalasoh-
* Besen
én dl sea
cc an

a Esel punto de coordenadas (2.2).

b. Tiene infnits soluciones, pues ls ecuaciones co-
responden a rectas paralelas

© Tiene infinitas soluciones, pues as ecuaciones co-
responden ala misma recta

«4. No tene solución, pues las ecuaciones corespon-
dem rectas paralelas.

Resolució de problemas
© Patio compró un ln de tl y dos pels de
À tes y pagó en ttl § 5000 Andre compró en a
misma ends es balon de tbl y napa de
tei por loque pagó en cal $ 9000S Lina va a
lama ala e comas ccs Bons do
fo y cto pea de ent eno debe paga

Rssonasiento
| © catia como verdadero cada aman
© je
2 Todoslos era de unes ene ana so
| cnn
» ten sede en? X ua solución
son todos ls pnts qu sea sobre una er.
Un stems de ecuaciones pued ener dos sls
| cones.

«7 | Geran

| @ completa los determinances que permiten solucio-
sry

nar el sistema de ecuaciones

Ll
FA
Resolución de problemas
© ou viene 120000 en 3 bites de 5 5000 y de
* $2000.¿Cuántos billetes son de $ 5000 y cuántos de
52000
| © Deteminalamediade dos inglssisonsulemen-

e tarios además a diferencia entre ellos esiguaa siete
veces ngulo menor

a

D deermina mont de capil ro por un

1 diene de un banco, se sabe que parte dl captal
dal de nets mena y boa parte esa
renal y de xa mane ee 110000 dente
ses cada es Ten en uta qe dub hecho a
mesón lconrato, cb 50000 mis

| Sistemas de inecuaciones de primer grado
Modelación

© Desermina sema de ecuaciones que eaciona a
‘te región sombreada.

176. Funciones

177. Pensamiento variacional

178. E

(1) Función cuadrática.

ribe como ese salto de un co-
6 el lanzamiento de un balón
laloncesodigido hacia la ces-

ué oros movimientos cono-
ue sean similares a estos?

code ciertarana se puede mo-
mediante la función:

LOC EE
ide ts el tiempo medido en
Indos y ha altura en metros.

into tardará el salto de la
12 ¿Cuál esla altura máxima.
“alcanza la rana en ese alo?

= 0
EE
o 2
2]

Representación gráfica

En la Tabla 61 se muestra la aura del salto de la rana en cinco momentos

sims
ous lus]
o lo 1 las. 0
Según los datos la rana está enel piso cuando t = Oy = 2,pues su altura es 0
en ambos instances. Es deci, h(0) = 0 y 2) = 0.Elinsantet = O corresponde
al momento de iniciar el sac y el instante t = 2 corresponderá alinsante en
que la ana vuelve al piso después de haber saltado. Esto significa que el salto
tarda dos segundos.
Por otra parte la máxima altura que alcanza la rana corresponde al mayor valor
de hit) rgiado en la tabla: 1. Por esto se deduce que a mayor altura que
alcanza la rana en ete salt es de Im.

Muchas situaciones son modeladas mediante funciones que involucran el
cuadrado de una variable Este ipo de funciones se denominan funciones
cuadriticas

Una función cuadrática es dea forma fx) = ax + bx + ¢ donde a,b yc
son números ealesya # 0.

1.1 Representación gráfica de una función cuadrática
La representación gráica de la función cuadrática) = ax + be + ces una
parábola que se caracteriza por tener los siguientes elementos.

+ Vértice (V) punto donde la parábola alcanza su punto máximo, sia < 0,0
Su punto mínimo, sia > 0.

+ Cortes de a parábola con ls ejes coordenados (ceros de a función): pun:
tos donde el valor dela función es 0, Las coordenadas delos puntos de corte
con el eje Xson de la forma (x0). En estos casos, el valor de x e hall resol
viendo la ecuación ax? + bx + € = 0.

+ Eje de simetría: recta paralela al eje Y que pasa por la coordenada x del ver
‘ice dela parábola.

+ Concavidad: una parábola es cóncava hacia ariba, Si a > 0,0 es cóncava
hacia abajo sia <0.

Í rr ra game ann (9 = = = 2 puede

‘completar una tabla de valores como la Tabla 62, asignando valores arbi-
trariosla variable x Luego se representan en el plano cartesiano, Como la
función est definida para cualquier valor real al trazar a curva se obtiene
la Figura 6.

179. 1.2 Funciones de la forma f(x) = ax?

{Una función definida por la expresion y = a, con a # 0, se conoce como
función cuadrática con vértice en el origen.

El vice de la parábola que describe la función fx) = a es (0,0) el eje de
simetría de esta parábola ese eje.

Se puede determinar la variación de las gráficas delas funciones cuadráticas
‘dela forma fx) = ax, analizando el resultado para ls distintos valores dea.
+ Sia> 1lagräficadelafunciönesuna contracción dela ráficadela función
160 = ¥.Si0-< a < 1.agráfica dela función es una datación dela gráfica
dela función fx) = x.
EnlaTabla63 las parábolas representadas son fe) = x = 2 y
paa ty fo) = x.) = Sey paad<a<1.

+ Cuando < 0 ls gráficas delas funciones se obtienen reflando ls grái
cas deloscasosameriores con respecto al ejeX como se ve enla Tabla64.

1.3 Funciones de la forma f(x)

atte

La parábola que describe la función fle) = ax? + «es una tasación vert
¿al de unidades de la parábola fb) = a’. Esta tadación es hacia ariba si
<> Oyhaciaabsjosic <0.

El vrtce de la parábola fle) = ax? + c está ubicado en el punto (0,<) yl je
de smeua sel eje.

180. Funcion cuadratica. Representacion grafica

1.4 Funciones de la forma f(x) = ax? + bx + c

La función della forma fix) = ax! + bx + € es una función cuadrática en
la cual a, by son diferentes de 0.

La función 00 = ax + bx + puede llevarse a una de as formas
Jo) = x= bof) = of m) +k
+ Sila función es del forma A) = alt ~ ie vice dela parábola es el
punto (h.0)yeleedesimeriaes ee Y.
«Sila función es dea forma fe) = ale = h) + kel rice dela parábola es
punto (hk) eee de sme eta ect x = ha

| Lafuma ge) = x ~ 66 + 9 se puede expresar como 6) = (39, por
| tanto savére es (3,0) Además su gia se bee craladande hor
À zontaiment a parbola/0)= res unidades la derecha

= + An + 45e puede expresar como ga) = (x + 2) por
3 Io tan suvérice es (~2 0) Su gráficas biene taiacando horizontal
dos unidades ala auierca (Figura 62).

1, ment a parábola)

‘Actividades de aprendizaje

Comenicacón
(O erica cues de ls sientes expresones pue E) Escrbel ecuación deje deme decada paró
Y [denreresenta una función cui. "E boa y ascooreradas dere
Lg =—168 + 160410 ur es
bho) = 19° + 4p +12 A
le fn) = 0250" - 050 +1 A
= 841
fl) = 4-5 + 328 EE
rabramiento aña
@ scie cata una dea guien funciones enla,
© fre = a+ x + «Luego idem los va:
es components dea, bye e Goeeaene

= 010-160
¡A /

Omer 10-6 \
PESTE" fons

181. Comunicación

(O fora ls gas de ls funciones cuadras de
À cada gupo en un mimo plano cren Explica

sus diferencias y semejanzas.
fa) = 20

bf

JOB gh) = BE) =
so = HO) =a?

© Deseminalaecución dela función cuadrática que
$ ceine ads ba de valores,

o 12
a
o 12

(O der cada lancé a forma fo) = ale = + k
à Luego escrbe as coordenadas del vérie de apa
rés quel represen
E
es
AO = 30 + 644
Roll de problemas
O Emormien de una pelts puede expresarse me-
iante la función fx) SX + 20x + 10, donde.

represent el tiempo en segundos y fa altura
enmeros

2 Representa gráficamente a función).

Que significa que a gráfica tenga un punco
máximo o mínimo?

€ ¿Qué altura alcanza lapeloa al tanscurrir dos
‘segundos desde el inicio del movimiento?

© momie de ira parc exádeseminado
«8 porla función f(x) = x — 4, Su trayectoria se mues-
taenlaquass

a. ¿Qué coordenadas tiene el punto más bajo
‘que alcanza la parucula?
o ¿En qué puntos la rayecrora corta alos ej?

Evaluación del aprendizaje

© obser a Figura 66. ¿Qué po de vansorma
À cin su arbol para obren a parábola
br Demmin as funciones que a desen.
E

Ouvre nostalgia

dela func) = 6e = 12 donde representa
tempos dls fel econo en breton
Amos mers habe record late
{abode de das desde a anzamieno?

mal
ane
¿e

“© Etnia de contaminación de un ro sá dado
pora función y = —8x' — 16, donde x represen-
ta el tiempo medido en horas. ¿A qué hora del
in lr e encuentra más contaminado?

+ ¿Quéacciones puedestomar paa evar quese

etes
a

182. cuadrática

fesenta gráficamente la fun-
y = 3e = 3. ¿Cuáles son los
fos de corte dela gráfica con
le

“compañía de alimentos di
una Caja para empacar sus
Juctos con un volumen igual
dm’. Sus dimensiones están
adas enla Figura 67.
x
Sr

7

om
i

entra las dimensiones de La

en decimeros.

Obtención de los ceros de una función

El volumen V(x) de una caja se halla mukiplicando sus res dimensiones en-
tonces para la stuaciön V(x) = 4 + 12x ~ 72.

Para halla as dimensiones de la caja es necesario determina los ceros dela
función cuadrática V(x) que corresponden a los valores de x para los cuales
4% + 12x = 72 = 0.Como en ete caso no es practico recurra lafacoriza-
ción se ia la fórmula general para resolver ecuaciones cuadräticas ast
Enla ecuación de + 12x— 72 = 0,0 = 4.b= 12yc= ~72,porlo tanto:

Alconsiderarls condiciones de problema, se deduce que la respuesta álidaes
de modo que ls dimensiones de la caja son: 3 dm, 6 dm y 4m

La fórmula general para encontrar los ceros de una función cuadritica de
la forma ax’ + bx + € = 0, con a, bye números reales es

Fag Gio}
‘Observa como se aplica a fórmula general para halar los ceros dela función
asociada a la ecuación Y = 2x = 960 = 0.

Comoa = 1,b = —2yc = -960,entonces
q CD CYAN) _ 2 aan _
EO}

mx = Re 32yx,
y= ee ny

2.1 Discriminante de una ecuación de segundo grado

La expresión b? — 4ac recibe el nombre de discriminante. Es el valor que
determina el tipo de ceros de la ecuación de segundo grado.

Dada a ecuación de segundo grado ax + br + € = 0 con a, b yc números
reals se consideran los siguientes casos:

+ Sib ~ dec = 0 a ecuación tiene una única solución real
+ Sib — 4ac > 0 a ecuación tiene dos soluciones reales.
+ Sib? ~ 4ac < 0,1 ecuación no tiene soluciones reales.

183. m

Observa cómo se determina el ipo de soluciones de as ecuaciones cuadrá-
as + 6x+9=0,30 + 50 + 6 = Oy 2x’ + Sx 3 = 0 analzando su
discriminar

+ Eldiseriminante dela ecuación + 6x + 9= 005
Dd =6~ 401-920

Porlo tanto, la ecuación tene una única solución rel.

+ El discriminante de la ecuación 2 + 5x — 3 = Des:
D doc = 8 4-2-(-3)= 40

Como 49 > 0.1 ecuación tiene dos soluciones reales,
+ Eliscriminante de la ecuación 3 + 5x + 6 = Des:
0 — dae = 54.326 = 47

‘Como ~47 <Q, la ecuación no tiene soluciones eles.

idades de aprendi 5

tjerdcación Resolución de problemas
© esueivetas sienes ecuaciones usandolafórmu- (€) & tr de ura sala rectangulares 3 m mayor que el
1 la general para resoher ecucionescuarátias 9 ancho Sel ancho aumenta 3m y rg aumenta
art 10=0 2 ml te se dopa {Cul es el rea ga de a
DR 420 =
Em -&-2=0 © Un número entero es tal que el cuadrado de an
pect à tecesor de s ble es equnalent al cuadrado de

número aumentado en $. ¿Cuál es el número?

carp
LO 4mo Evaluación del aprendizaje

ose ++ 15=

Basar (O Eamina a Fgura 68 y desemia I ecuación

e cuactitica asociada ala parábola. ¿Cuáles son los
LANA 6 ceros dela función?

¿bc MAS) =16
Razonamiento

© Deceit o deracesqueenecadaccación
$ exuddando su decane Luego ruche aque
las que tengan solución o soluciones ees

AROSA MO bo MA)
CPEXA2=O dx-me=s
CENTRO CB

184. onal

Pensamiento vari

(3) Funciones polinómicas.

Sabores previos

ES

la gráfica de las siguientes

)= a+ 56 302
+ ¿Qué se defunción es fo?
lesson sus crctrsica?

Representación gráfica

E
3.1 Funciones polinómicas de tercer grado
La expresión algebraica de a función fx) es equivalente a:

JO = HSH
Esta expresién es un polinomio de tercer grade porque 3 es el mayor exponente
de avaiable xy comesponde a una función polinömica de tercer grado.
Se observa que fa) st definida par cualquier valor ea poro que D) = RL
Además todo x tine una imagen a ravés de fen el conjunto de ls números

reals, esto significa, que es una función continua tal que R() = R, como se
muestra en a Figura 69.

{Una función polinómica de tercer grado o cúbica es del forma:
10) = ae + be + où + d con a,b, ed ealesya # 0

+ El dominio de la función es el conjunto de los números reals.

«La función es continua en todo su dominio,

‚Eu
3 En la Figura 610, se puede veri-

far cue la funcón polnómica
fx) = —x' — 4 es continua. Su do-
| minio y su rango coinciden con el

| onunoR.

3.2 Funciones polinómicas de cuarto grado “

{Ua función polinömica de cuarto grado ocuártic sd a forma:
fo) = ar + be + 02 + de + con abc derelsya #0

El dominio dela función es el conjunto de os números reales.

La función es continua en todo su domini.

Para representar la funciôn fa) = x — x es necesario determina los puntos.
de corte dela gráfica dela función con el eX Eso es:

AO ET ET =0 x= Ty x=

H 1
| También resulta Gi calcular algunos pares adicionales de valores de función,
{conto cual se completa una abla como la siguiente

185. vidades de aprendizaje

Ejercitación
O compa una ada e valores ar rprsenar
Me cada unc ibn

ofar-e

rr

© +iazuntosquejo dela gráfica de cda función pl
(© nom presenada de oma fair

260 = Ge = N+ 2)
mid) = = =)
© 1G) = es

al) = Kr + 293 — 2)
©) = (2e N+ Te + 3)

Razonamiento
Ten en cuenta la siguentes funciones polínómicas.
fi) =~ ray hr
2. Consruye una tabla de valores y realza la gr

cas conespondientes.
5. Describe domini.
€ Determina el record
Encuentra los corts de La rica con ls ejes.
© Estudia aimer

Y Estudia lacontinuidad.

1 Analza los inenalos decrecimiento y decreci-
miento de la gráfica

lr Encuentra los máximos y los mínimos.

© bora gies de as funcones en un mimo
plano crean Luego responde las preguntas

yo kya Y YY para TEE 1

2 ¿A qué seasemejara la gráfica de y
este mismo inervao?

Qué se podría decir acerca de y

Resolución de problemas
(O Relaciona cada función polnémi con su gráfica
© correspondiente
2 Pls) = a0 4)
D QG) = re)

© RQ) = #26
4 TO) = 25

Erauacon del aprendizaje
( se conne una cj aber de una pia dear
1 tGneZ0<mpor 0m corando cao: delon
{ud ltrs de cda esquina y doblando hacia
ariba osados como te obsenaen air

¡— am
L
a

3: Espresa el volumen V de a caja como una fun»
«ión en rérminos de la longiud x

bo ¿Cuálesel dominio de v2

(© Realiza una gráfica dela función V yempléala
para estimar el volumen máximo dela caja,

186. Lapbblación de una bacteria sere-
duct ala mitad cada di. Sialic
esludio habían 1000 individuos,
ul será la población al cabo del
sépuimo día?

aa 65:17 se observa la gráf-

al = 2

studi el comportamiento de la
furliôn fx) cuando x toma valo-
resfeada vez más grandes y cuan:
o coma valores cada vez más.

Le ost

(4) Funciones de proporcionalidad inversa

Enla gráfica dela función)

Ladies

+ Cuando xaumenta enel intervalo (0, la función fx) decrece acercándose

al ee X pero sinintesecaro.

+ Cuando x disminuye en el intervalo (==, 0. fx) crece acercándose al eje x

pero sin intersecalo.

Este ipo de funciones son llamadas funcione de proporcionalidad inversa.

rr Eire roces done
Bienen Sisson Arm ara peto

Algunas propiedades de las funciones de proporcionalidad inversa, son las
guienes.

+ Su dominio y surecorido coinciden con R — (0),

+ A medida que x se aleja del origen, por la iuierda por la derecha, los

valores correspondientes de y se aproximan a 0, sx se acerca al origen los
valores correspondientes de y e alejan de 0.

+ Sik > 0. la unción es sempre decrecenc. y ik < , s siempre creciente.

} Lasgráficas delas funciones) = À yg
A À seobeuieonaprir elos valores regados en a Tab 68

delasfiguras618y619,

dominio de esta funciones es R — (0).

pt
aa presó pere aa que pense
chine primer aandoy = 4, os
tender ac dere para cose
y= 5 (Figura 621) y luego, desplazando.
esa hima veriament ura riad hac
arriba, como se puede observar en la Figura 622. q...

1+

187. ‘Actividades de aprendizaje

Ejercitación

(O terca eres sienes funciones ls que son
(m de proporonadad wena,

== bya
2 byes
«e

dr

1y=2

so

we

Comunicación

© serena en un mio pan ls funciones que
À exin encata pupa

cy=

yee
© tacon ca uri con sparen.
°

N

(O Representa cada función. Considérala como el re
> sultado de aplica transformaciones aura función

de proporcionalidad direct.
2

aye bye

eye E dy

ce ©

Resolución de problemas.

© Unecinguo ene un spare de mm.
#2. Da las dimensiones de dos posibles rectángulos
que cumplan esta condición,
b Sie lama. u baseyyasualun. pus a
alar en ación dela Bs

Evalvación del aprendizaje

( Una empresa cal que necesa una wpe
Y fe de 00m paa almacena sus een
deco onary tra te carga an
fie aman xy os lados de ch ect
gal encuen
à Los abres neos que vran y
à La unión que acon xeon

© Lafunción que relacion el perimetro dela.
rave con ellado x.

188. eaten pesos
la gráfica de la función
À. acibecompora
Bene

Tee ds Ye
ee

+ Ha un andlss del comporta-
mitnto def) cuando x ende a
2 por la derecha y por la zquier-

y

a
1.25

Tendencia y asíntotas de una función

5.1 Tendencia de una función

Del ani de a gráfica de se pueden obtener estas conclusiones

+ Cuando se acerca 2 por la derecha, lo valores dea) son menores Cuan-
do x se acerca a 2 por a izquierda, los valores de fx) son mayores.

+ La gráfica dela función fx) no inerseca ala rectax =2, nial ejeX.

Se dice entonces que) ende a -=, cuando x se acerca a 2 por la derecha y
‘que fix) ende a + (o solo), cuando x se acerca a 2 por la izquierda.

{Una función y = ffx) tiende a un valor sila variable y se aproxima a ese
valor cuando la variable x aumenta mucho, disminuye mucho o se acerca a
un valor concreto.

En a Fgura 628s representa 40) = 27. Con ela se estudiará a qué
valor se acre) cuando se proxima 1,3, Hy =.

a. En primer gas e comple Tbl 69.

rende part Verxtendea pola der

099 0999 | 09999 . 1. 10001 | 1001 |
5-00 -099 1 100, 1001
fo) rende a —1 Ton ós

pili
BoA compler la Taba 610 se bseva que
¡casta psg | Betihem spares
[259 | 2999 129989 3 soo soon |
sm so sos Moss
a a ino
+ Cuando x se acerca a 3 por la izquierda, f(x) tiende a —02,
+ Cuando x se acerca a 3 por la derecha, f(x) tiende a +0,
[en
ie ‘cilia

“i, 60000 60002

+ Cuando xtiende a —, se observa que fe) se acerca a2
+ Cuando x se aproxima a +2, se observa que fx) ende a2.

189. 5.2 Asintotas horizontales
{Una funció fd) iene una asintota horizontal y = h ise cumple alguna de
sas condicones.
a) = heuando x-» = bien fx) h cuando x» +
Silas tendencias son diferentes la función posee dos asntoras horizontale.

ES

Se esima que el número de pizarras electrónicas en os ceros educativos
de una ciudad crecerá según la función (x)
ro de años. Para determinar cuál ese "techo" que se alcanzar, se divide

38 donde xs rime

x
300 À

ee prône DCE par eahar MO uno x came
ste ree

3000
2 0enconces 2990 0= 3000.

Sise observa laráficade la función p(x) en la Figura 629.se comprueba que,
en pocosaños se aproximardalarectay = 3000 es dec, que la cantidad de
pizarras electrónicas se acercará a 3000.

Se dice que la recta y = 3000 es una asintota horizontal dea función pi)

5.3 Asintotas verticales

Una función fx) presenta una asíntota vertical
100 2 cuando x k por la izquierda o bien

fox) > 2% cuando x + k por la derecha.

{Una función puede rene cualquier número de aínotas verticales.

Las asíntoas verucle de las funciones racionales se obtienen para los valores
de x que anulan el denominador pero no el numerador

En a Figura 630 se representó la función fi) = 2
En esa se observa que s el valor de x e aproxima a —2 por la izquierda, la
variable tiendea +2 y ise acerca a —2 por la derecha la arabe y inde a
De manera anloga, cuando xse aproxima a por la iquierda, a varable
y ende 2 y sise acerca 2 por la derecha la varbley tiende a +
Por oa part, os valores x = —2 y x = 2 hacen que el denominador de la
función (e) sea igual à 0, pero no el numerador Con eso e verifica que di
cas recas son asintoras vetcaes de fi).

pastas