Matematicas iv maria cornivel

Transformada Laplace

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO BARCELONA _ ESTADO ANZOÁTEGUI TRANSFORMADA DE LAPLACE Elaborado Por: MARIA CORNIVEL C.I:23.734.548

2. CONTENIDO DE LA PRESENTACION INTRODUCCIÒN TRANSFORMADA DE LAPLACE PERPESCTIVA HISTORICA PROPIEDADES DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CONCLUSION REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

3. La transformada de LAPLACE es un operador LINEAL muy útil para la resolución de ecuaciones diferenciales. Laplace demostró como transformar las ecuaciones lineales NO HOMOGENEAS en ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos. INTRODUCCION

4. La transformada de Laplace de una función f(t), 0 ≤ t ≤ ∞ es una función L[f] de una variable real s dada por: Denotamos al operador de Laplace por L, y como operador, actúa sobre una función f y devuelve otra función L[f]. Esta definida para todo s ∈ R donde la integral tenga sentido TRANSFORMADA DE LAPLACE

5. PERSPECTIVA HISTÓRICA La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre- Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma : TRANSFORMADA DE LAPLACE como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange , admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

6. PERSPECTIVA HISTÓRICA Q ue algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace. Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma: análoga a la transformada de Mellin , con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas .

7. TRANSFORMADA DE LAPLACE linealidad Integración Derivación Dualidad Desplazamiento de la frecuencia Desplazamiento temporal

8. TRANSFORMADA DE LAPLACE Potencia n- esima función con periodo p Convulacion Valor inicial Valor final

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE linealidad Derivación Propiedad de desplazamiento en el eje S Propiedad de desplazamiento en el eje t DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES

10. TRANSFORMADA DE LAPLACE DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES Integración Transformada del Delta de Dirac Conociendo previamente la función del Delta de Dirac , saliendo de la propia definición

11. TRANSFORMADA DE LAPLACE DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES Transformada de Funciones Periódicas Usando la definición de transformada, y teniendo conocimiento previo de la función periódica es necesario hacer la sustitución

12. TRANSFORMADA DE LAPLACE DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES Derivada de una Transformada Usando la definición de transformada

13. TRANSFORMADA DE LAPLACE DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES Integral de una Transformada Integrando la función en el espacio de las transformadas Se integra primero en S y después en T

14. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales. FORMA INTEGRAL Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich , integral de Fourier- Mellin o fórmula inversa de Mellin , es dada por la integral lineal: donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical  Re(s) = γ  en el  plano complejo  tal que γ es mayor que la parte real de todas las  singularidades  de  F(s )

15. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES linealidad Si C1 y C2 son constantes arbitrarias y F1 (s) y F2 (s) son las transformada de Laplace de F1 (t) y F2(t) También se aplica para mas de dos funciones. Traslación entonces

16. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE linealidad entonces Donde K es una constante Derivadas entonces Integrales entonces

17. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE multiplicación entonces convolución entonces Por lo que multiplicar por s produce el efecto derivar F(T) La expresión F*G se llama convolucion de F y G y este teorema se llama el teorema de convolucion o propiedad de convolucion

18. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la ecuación diferencial que relaciona una función desconocida de una variable independiente con sus derivadas. Es decir, una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y una o más de sus derivadas respecto de tal variable. Isaac Newton se daba cuenta de la importancia que tenían las ecuaciones diferenciales para el análisis de los fenómenos de la naturaleza.

19. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ecuación diferencial ordinaria la n- ésima derivada de Y , entonces una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n tiene la siguiente forma Cuando una ecuación diferencial de orden  n  tiene la forma La ecuación (2) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m Es llamada una ecuación diferencial implícita Es llamada una ecuación diferencial explicita

20. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDO DE PRIMER ORDEN

21. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

22. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDO EXACTAS

23. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDO DE SEGUNDO ORDEN

24. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDO DE SEGUNDO ORDEN

25. Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito . Muchos problemas básicos de las ciencias experimentales pueden ser modelados usando ecuaciones donde aparecen involucradas una funcion junto con sus derivadas. CONCLUSIÒN

26. https :// es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace https:// previa.uclm.es/profesorado/raulmmartin/AmpliacionMatematicas/laplace.pdf https://temasdecalculo.com/2018/06/29/2-2-propiedades-de-la-transformada-inversa-de-laplace-laplace / REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS