Matematicas Longitud de arco

UTS - SAIA: Neri Alberto Martinez Chacon

1. Longitud de arco Neri Martínez C.I 25.474.413

2. Longitud de arco En  matemática es conocida también como   rectificación de una curva . Esta es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal . Históricamente esta ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

3. Cálculo mediante integrales Al considerar una curva definida por una   función   y su respectiva  derivada    que son continuas en un intervalo   [a, b] , la longitud  s  del arco delimitado por   a  y  b   es dada por la ecuación: En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de  t   como e   la longitud del arco desde el punto   hasta el punto   se calcula mediante: 2 1

4. Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante  la longitud del arco comprendido en el intervalo toma la forma: 3

5. En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo: Aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie . Entre las curvas con soluciones cerradas están la  catenaria , el  círculo , la  cicloide , la  espiral logarítmica , la parábola , la  parábola semicúbica  y la línea  recta .

6. Un caso un poco más general que el último, es el caso de  coordenadas curvilíneas  generales (e incluso el de espacios no euclídeos ) caracterizadas por un  tensor métrico donde la longitud de una curva  viene dada por: Por ejemplo el caso de coordenadas polares se obtiene de este haciendo  4

7. Deducción de la fórmula para funciones de una variable Aproximación por múltiples segmentos lineales. Para un pequeño segmento de curva, Δs se puede aproximar con el teorema de Pitágoras.

8. Suponiendo que se tiene una curva  rectificable  cualquiera, determinada por una función  , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva   que va desde un punto a uno .  Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a , de manera que para cada uno existirá un cateto  asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa al aplicarse el teorema de Pitágoras .

9. Así, una aproximación de , estaría dada por la sumatoria de todas aquellas   hipotenusas desplegadas. Por eso se tiene que: Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se calcula cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;

10. Luego, el resultado previo toma la siguiente forma: Ahora bien, mientras más pequeños sean estos segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como se desee, de modo que   tienda a cero. Así,    se convierte en , y cada cociente incremental se transforma en un     general, que es por definición 

11. Dados estos cambios, la aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;