Matematicas VI

LIBRO DE MATEMATICAS SEIS PREPA ABIERTA PLAN 33 MATERIAS

1. .MatemáticasVI
,.'. . .
,.
PREPARATORIAABIERTA

2. ,
ElcontenidoacadémicodeestetextoesexclusivaresponsabilidaddelInstitutoTecnoló-
gicoydeEstudiosSuperioresdeMonterreyysuIndicepertenecealprogramacorrespondiente
alplandeEstudiosdelnivelmediosuperior,Paralamateriade:
MATEMATICA
UNIDADESXXI-XXIV
AUTOR:
HéctorpazEstrada
REVISO: JaimeNavarroCuevas
COMITE.
ACADEMICO: GustavoMendozaGonzález,HumbertoCantúSalinas,Roberto
GarciaMartlnez,MoisésGaliciaArrambide,HéctorpazEstrada.
ADAPTARON: AndrésRamlrezyVilla
LuisFelipeRoblesG.
Laeducaciónesunaresponsabilidadcompartidayenconsecuen-
.ciainvitamosatentamenteatodapersonainteresadaencolabo-
rarpararesolverlaproblemáticaeducativa,aqueremitasus
comentarios,críticasysugerenciasconrespectoaestaobraa
laDirecciónGeneraldeEvaluaciónEducativadelaSEP,
Av.RíoMixcoac25,80.piso,Col.CréditoConstructor,Defe-
gaciónBenitoJuárez,C.P.03940México,D.F.
.
Susaportacionesseránapreciadasentodoloquevalenyper-
mitiránperfeccionaryadecuarpermanentementeestosmate-
rialesalascambiantesco.ndicionesdelaépocaactual.
@SEP,1983
DERECHOS RESERVADOS
MediosyProce~imientosAvanzadosdelaEducación1976.
Guías y exámenes para
Evaluarse correo
[email protected]
WhatsApp [phone]

3. INDICE'
Prólogo
Intruccionesparaelalumno
Notación
11
1"3
15
UNIDADXXI
FUNCIONES,UMITES,CONTINUIDAD
Introducción .
Objetivosgenerales
Diagramatemáticoestructural
Glosario
19
20
21
22
Módulo1
Objetivosespecificos
Esquemaresumen
Contenido
1.1Funcionesdecomportamientoespecial.
1.2Elálgebradefunciones .
Reactivosdeautoevaluación
23
24
25
35
39
M~ulo2
Objetivosespeclficos
Esquemaresumen
Contenido
2.1Umites
2.2De.terminacióndelimites
Reactivosdeautoevaluación
43
43
44
53
55
Módulo3
Objetivosespeclficos
,Esquemaresumen
Contenido
3.1Umitesinfinitos
3.2Teoremassobrelimites
Reactivosdeautoevaluación
59
59
60
67
71
Módulo
4.
Objetivosespecificos
Esquemaresumen
73
73
- -

4. ,-
~
Contenido
4.1Continuidad
Reactivosdeautoevaluación
Panelesdeverificación
74
77
79
UNIDADXXII
DERIVADA
Introducción
Objetivosgenerales
Diagramatemáticoestructural
Glosario
101
102
103
104
Módulo5.
Objetivosespecificos
Esquemaresumen
Contenido
5.1Pendientedelatangenteaunacurva
5.2Derivadas
Reactivosdeautoevaluación
105
105
106
113
122
Módulo6.
Objetivosespecfficos
Esquemaresumen
Contenido
6.1Teoremassobrederivadas
Reactivosdeautoevaluación
125
125
126
133
Módulo7.
Objetivosespecfficos
Esquemaresumen
Contenido
7.1Derivadasdefuncionescompuestas
.Reactivosdeautoevaluación
137
137
138
142
Módulo8.
Objetivosespecfficos
Esquemaresum~n
Contenido
8.1Derivadasdelafunciónlogarftmica
8.2Derivadadelafunciónexponencial
Reactivosdeautoevaluación
Panelesdeverificación
145
145
146
150
151
153
"'

5. f
UNIDADXXII.I
APLICACIONES DELADERIVADA
Introducción
Objetivosgenerales
Diagramatemáticoestructural
Glosario
163
164
165
166
Módulo9.
Objetivosespecificos
Esquemaresumen
Contenido
9.1Derivadassucesivas
9.2Derivaciónimplfcita
Reactivosdeautoevaluación
167
167
168
171
175
Módulo10.
Objetivosespecificos
Esquemaresumen
Contenido
1O.1Ecuacionesdetangentenormalaunacurva
10.2Angulodeintersecciónentredoscurva$
10.3Funcióncrecienteyfuncióndecreciente
Reactivosdeautoevaluación
177
178
179
184
188
190
Módulo11.
Objetivosespecificos
Esquemaresumen
Contenido I
11.1Valoresextremos
11.2Criteriodelasegundaderivada
11.3Aplicaciones
Reactivosdeautoevaluación
193
194
195
201
206
210
Módulo12.
Objetivosespecificos
Esquemaresumen
Contenido
12.1Razonesdecambio
Reactivosdeautoevaluación
Panelesdeverificación
213
213
214
219
221
-.-----------.-- ,

6. ,.
UNIDADXXIV'
INTEGRAL
Introducción
Objetivosgenerales
Diagramatemáticoestructural
Glosario
229
230
231
232
Módulo
13.
Objetivosespecificos
Esquemaresumen
Contenido
13.1Integración
Reactivosdeautoevaluación
233
233
234
238
Módulo14.
Objetivosespecificos
Esquemaresumen
Contenido
14.1Integralesdefuncionescompuestas
Reactivosdeautoevaluación
241
241
242
246
Módulo15.
Objetivosespecificos
Esquemaresumen
Contenido
15.1Aplicacionessimplesdelaintegral
15.2Movimientorectilineo
Reactivosdeautoevaluación
249
249
250
252
254
Módulo16.
Objetivosespecificos
Esquemaresumen
Contenido
16.1Eláreabajounacurva
16.1Areaentredoscurvas
Reactivosdeautoevaluación
Panelesdeverificación
Bibliograffa
257
257
258
264
267
269
275

7. w --------
\
PROLOGO
ConelcontenidoqeestelibrosecompletalainfonnaciónqueelComitéAcadémico
deMatemáticaconsiderónecesarioysuficienteparaquepuedaproseguirsuses-
tudios.Sepresentantemasquecasiconseguridadhabrádeverafondoensus
primerossemestresdefacultad,esporelloquesutratamientotiendemásalaspecto
informativo;sinembargo,sehaprocurado'aligualqueenlibrosanteriore.smostrar
einducirenelalumnoelpensamientomatemáticoylosprocesosquesoncomunes
atodoslosnivelesdelaMaten:-ática.
HéctorpazEstrada
L

8. "
INSTRUCCIONES PA.RAELALUMNO
Elpresentetextohasidoelaboradotomandoencuentalosdiferentesaspectos
quecaracterizanalosalumnosdeSistemasAbiertosdeEnseñanza.
Eltextohasidoestructuradodetalformaquelefacilitealmáximosuestudio..
Cuentaconcuatrounidades,cadaunadelascuales.contiene:
1).Objetivosgenerales:queleinformanacercadeloquesepretende
lograrconelestudiodedichaunidad.
2).Unaintroducción:independientementedelaqueaparecededicada
artexto.
3).Undiagramatemáticoestructural:dondeselepresentaelcontenido
decadaunidad,enformasinóptica.
4).Unglosario:queleindicaelsignificadodelostérminostécnicos
empleadoseneldesarrollodelaunidad.
5).Notación:enlostextosreferentesalascienciasnaturalesyformales,
talescomolaMatemática,seencontraráneXPlicacionesrelacionadas
conlasimbologiaempleada(fórmulas,tablas,simbolos,etc.).
Para~Iestudiodelcursolaunidadsehadivididoenpartesllamadas
móduloS.CadatextoconstasiemPrede16módulos..Deestamanera,estima-
mosqueesposibleaprobarlasasignaturasdelplandeestudiosdeun
semestre,enlas18semanas.Elmódulodecadaasignaturaestáprogramado
paraqueloestudieenuntiempopromediode3a4:30.horasporsemana.
Sinembargo,selerecomiendaquededique acadamódulo,eltiempoque
ustedconsiderenecesario,deacuerdoconsusposibilidades.
Cadamódulocuentacon:
1).Objetivosespecificos:quedesglosanelobjetivogeneraldelaunidad.
2).Esquema-resumen:dondeselepresentaelcontenidodecadamódu-
lo,enformasinóptica.
3).Contenido:serefierealdesarrollodeltemaodelostemas.
4).Reactivosparaautoevaiuaci6n:alfinaldecadamódulo,seledanuna
seriedepreguntasdeautocomprobación,paraquepuedaverificar
porsimismo,enquégradohalogradolosobjetivos(propuestosal
principiodelmódulo).Lasrespuestas
correctaslasencontraráalfinal
decadaunidadoenotroscasos,alfinaldellibro.
13
'"

9. Enlapartefinaldellibro,podráencontrar,cuandoseestimenecesario,
apéndicesqueleayudaránalaampliaciónyprofundizaciÓndealgúntema.
Ademásseledaenlasunidadesoalfinaldeltexto,unabibliograffacon
laquep~edecomplementarsusestudiosoampliarsuhorizontecultural,de
acuerdoconsus.inquietudes.
ADVERTENCIA:
Lerecomendamoslalecturacuidadosaylacomprensiónc1elosobjetivos
.éspecfficosalempezarcadamódulo,
paraquetengapresenteloqueseespera
deusted,coneltrabajoquerealiceconcadaunodeellos.
14

10. 51mbolo
E
ft
Df
Um
-+
E.
Ó
.
o
00
f(x).
Df(x)l
f'(x)~
J
J~
R
1
--
"
Notación
Significado
pertenecea...
.; nopertenecea...
dominiodelafunciónf.
.lImite
tiendea...
...........proximidadentrelafunciónfysulimite
.......... proximidadentrelavariablexysulimite
. pertenecealagráfica
..........nopertenece alagráfica
.infinito .
.designacióndefunción
. derivadadef(x)
..........integral
..........integraldefinidadesdeellimiteinferiorahastaelli-
mitesuperiorb
implicaque
do.bleimplicación
.......... conjuntodelosnúmerosreales
conjuntodelosnúmerosenteros
15
,

11. UNIDADXXI.
.,
FUNCIONES.LIMITES.
CONTINUIDAD
.
--..--

12. ---
Introducción
Enlapresenteunidad,iniciamoselestudiodelcálculoexaminandonuevamente
elconceptodefunciónvistoenunidadesanteriores. "
.Seenfatizaenalgunasfuncionesparticularesimportantesysepresentanejemplos
defuncionesquesedefinenmediantediferentesecuacionesparadistintosinter-
valosdesudominio. .
Apartirdelanálisisdelcomportar1)ientodeunafunciónenparticularseestablece
elconceptodelimite,conelfindesimplificarsucomprensión.Conelpropósitode
anunciarelcriteriodecontinuidaddeunafunciónseanalizaelcomportamientode
la"mismaalrededordeunpuntodesudominioyparaellonosbasamosenelconcepto
delimite.
\
19
L

13. Objetivosgenerales
Alterminardeestudiarestaunidad,elalumno:
1.Justificarásilacorrespondenciaentreloselementosdedosconjuntos(dominio
ycontradominio)defineunafunción.
2.Daráunacorrespondenciadeloselementosdedosconjuntos,quedefinauna
funciónyotraqueno.
3.Interpretarálagráficadeunafunción.
4.Definiráelconceptodelimite ~
5.Daráejemplosdefuncionesquetenganporlimiteunnúmerorealyfunciones
quetenganporlimitealinfinito.
6.Determinaráellimitedeunafuncióndadaaplicandolostéoremasdelálgebrade .
limitesy/osimplificacionesalgebraicasytrigonométricassegúnelcaso.
7.Definirálacontinuidaddeunafunciónenunpuntodesudominio..
/
20

14. Diagramatemáticoestructural
FUNCION
,
CLASESDE
FUNCIONES
ALGEBRADE
FUNCIONES
LIMITEDE
UNA
FUNCION
CONTINUIDAD
DEUNA
FUNCION
'.21

15. Glosario
Función:SiacadaelementodeunconjuntoXseleasociaexactamenteunelemento
deunconjuntoY,entoncesestaasociaciónconstituyeunafuncióndeXenY.
DominioyContradomlnlo:Conjuntosdeelementosqueseasocianpormediode
unaecuacióny
=((x)ounagráfica.,AJconjuntoXselellamadominiodelafunción
(yalconjuntoYsellamacontradominiodelafunciónf.Lafunciónhace
corresponderunoysólounelementodeYconcadaelementodeX.
Gráficadeunafunción:Representaciónenunsistemarectangulardecoordenadas
delaasociaciónentrexey(odosvariablescualesquiera)deunafunciónparticular.
Parordenado:ConjuntodedosvaloresxeyquedeterminanunpuntoPenel
.planocartesiano;siendoxeylascoordenadasdelpunto.AJvalordexselellama
abscisaYalvalordeyselellamaorde~da. .
Limitedeunafunción:Ellfmitede((x)cuandoxtiendeaaesigualaL,estoes.
Ilm((x)
=L
x-a
Siparatodonúmeropositivo~existeunnúmeropositivoddependientedeE.
talquesixestáeneldominiodelafuncióny
o<Ix-al<d entonces:
I((x)-LI< E.
Continuidad:Unafunción(escontinuaparael.valorx =asiaestáeneldominio
de((x)ysi
1)((a)estádefinida
2)11m((x) ,existe
x-a
3)L/m((X~=((a)
x-a
22

16. .Módul.o1
OBJETIVOSESPECIFICaS
Alterminardeestudiarestemódulo,elalumno:
1.Construirálagráficadelafuncióndada.
2.Determinaráeldominioyelcontradominiodeunarelacióndada.
3.Determinarálasfuncionessuma,productoycociente,dadasdosfuncionesy
susrespectivosdominios.
4.Obtendrálafuncióncompuestadedosfuncionesdadas.
5.Determinaráeldominiodeunafuncióncompuesta.
23
I
L---

17. FUNCION
ALGEBRAICA
FUNCION
TRASCENDENTE
ALGEBRADE
FUNCIONES
24
ESQUEMA RESUMEN
FUNCION
RACIONAL
FUNCIONES
CIRCULARES
FUNCION
lOGARITMICA
FUNCION
EXPONENCIAL
FUNCION
SUMA
FUNCION
PRODUCTO
FUNCION
COCIENTE
FUNCION
POLlNOMIAL
FUNCION
COMPUESTA
,.
FUNCION
LINEAL
FUNCION
CONSTANTE
FUNCION
CUADRATICA

18. 1.1Funcionesdecomportamie.ntoespecial
Encursosanterioreshaaprendidoqueunafunción,casoparti-
culardeunarelación,esuntipodecorrespondenciaentrelos
elementosdedosconjuntos(dominioycontradominio);esta
correspondenciaexigequecadaelementodeldominioestéaso-
ciado(corresponda)conunoysólounelementodelcontrado-
minio,yestacorrespondenciageneralmentepuededescribirse
pormediodeunaecuación.
Enlasecuacionesdeestetipoquehaestudiado,casisiempre
"x"hasidolavariablecuyoconjuntodereemplazamientoesel.
dominiodelarelación,mientrasque"y"of(x)hatenidocomouni-
verso(conjuntodereemplazamiento)alcontradominio;~eneral-
menteunafuncióntambiénpuededescribirsemedianteuncon-
juntodeparesordenadosenelcualnoexistendoselementos
(paresordenados)conelmismoprimercomponente.Haquedado
convenidoqueen
casodenoespecificareldominio,consideremos
comoelementosdeésteatodoslosnúmerosrealesquealsus-
tituiraxgenerenvaloresrealesparayof(x),cuandoloscom-
ponentesdelosparesordenadossonnúmerosrealeslasrela-
cionespuedenrepresentarsegráficamenteyconfirmamosque
esunafuncióncuandocualquierrectaperpendicularalejedel
dominiointersecacuandomuchoenunpuntoalagráfica.
Haestudiadoconciertodetallefuncionescomolafunciónge-
neraldeprimergrado(funciónlineal)definidaporlaexpresión
L={(x,y)
Iy=mx+6,x,eR },
ycomocasoparticulardeellalafunción
K={(x,y)Iy=k,xeR }
Uamadalafunciónconstanteenlaqueelcontradominio
constade.unsoloelemento(contradominiodeK={k})ycuya
grfdicaesunarectaparalelaalejeXakunidadesdedichoeje.
(Figura1.)
-
-x
Figura1
Gráfica"de{(x,y)Iy=k,xER}
¿Quéesuna
función?
xesunavariable
Representación
gráficadelos
paresordenados
Funciónlineal
I
l--1-.
Función
constante
25

19. Función
cuadrt lca
Tambiénhaestudiadoalgunascaracterlsticasde.lafunción
cuadrática,lacualenténninosdeunconjuntodeparesordenados
seexpresacomo:
f={(x,y) Iy=aXl+bx+e,a:f:O ,xER}
ycomocasoparticulardeésta,fafunción{(x,y)Iy=xl}
quetieneporgráficaunaparábolaconvérticeenelorigende
coordenadas.(Figura2.).
y
!
4
1
'(2,4)
3 '
2
1(1,1)
/.1?~4
(O,O)
-1
.-2
x
-4-3-2-1
FIgur82
Gráficad${(x,y)Iy=x1,xER}
E~interesantenotarladiferenciaentrelagráficaanterioryla
correspondientealafunciónconecuaciónf(x)
=x3cuyagráfi-
caobtenemosapartirdelasiguientetabulación.
26
x
-4- -2 -1 O 1 2 3 4
,
f(x)-64-27-8
-1 O 1 8 2764

20. y
-8-7-6-5-4-3-2-1
I.IIIII
(-"1,-1)
-8+(2,8)
7
6
5
4
3
2
1;(1,1)
I I I I
12345678
(O,O)
x
Figura3
Gráficade{(x,y)Iy=x3,xER)}
Laimportanciadeladiferenciaentrelasdosgráficasanteriores
radicaenquepodemostenerlaideadelagráficadef(x)=X",
-dondenesunenteropositivomayorque1yaquesinespar
entonceslagráficaessimilaraladey=X2,mientrasquesin
esimparlagráficaresultasimilaraladey=X3.
Haestudiadotambiénuna"funciónqueincluyecomocasos
particularesalosanteriores;ellaeslafunciónpoIinomialylaecua-
ciónqueladefineesf(x)
=aoX"+81X"-1+8:zX"-2+...+ 8"
donde.nEoo'*
Existenenmatemáticasmuchasotrasfunciones.Acontinuación
sepresentanalgunasdelasconsideradasdemayorimportancia.
Seanh,YgdosfuncionespoIinomiales,lafunciónfdefinidapor
f(x)=h(x),g(x)~O,esllamadafunciónracional.
g(x)
..Cú-{O}UN
L
f(x)=X"
n>1
nEN
Funcl6n
poIlnomlal
Funcl6n
-racional
27

21. ----
.Todafunción
pollnomlales
racional
Definiciónde
función
28
-- ------
Esobvioquetodafunción-polinomialesracional,yaque
puedeexpresarsecomounafraccióncuyodenQminadores1
yasuvez1eselvalordelafunciónconstanteconecuación
g(x)
=Q{&,
f(x)
dondef(x)
=1.
Ejemplo:
f(x)=x5ex+2)
x2:9
esunafunciónracionalyaquepodemoshacerh(x)
=x5(x+2)
yg(x)
=x2-9.Eldominiodeestafuncióncontieneatodoslos
númerosrealesaexcepcióndeaquellosquehacenceroelde-
nominador,~sdecir,eldominiodefes
of={xERIx +-3yx;1:3}
'Definición:
UnafunciónfesunafunciónalgebraicasIsuregladecorres-
pondenciapermiteexpresarlaéntérminosdesumas,produc-
tos,cocientesorafcesdepolinomios.
Ejemplosdefuncionesalgebraicas
a).f(x)=3x5-2~+1
ej.f(x)=jx"-4x'-3x-2
).f(x)=5x-v'2 .6x+11 d)..f(X)=/ x+1 .'?/x4
Vx-1
Lasfuncionesquenosonalgebraicassonconocidascomofun-
cionestrascendentes;deellasconocelasfuncionescirculares,
lafunciónlogaritmicaylafunciónexponencialqueestudióenlas
UnidadesXIII-XVI

22. Conocetambiénlafunciónvalorabsolutodefinidaporlaecuación
f(x)=IxlcuyagráficasedaenlaFigura4.
y
Figura4
(4,4)
.
.(3,3)
(2,-2)-
,r
,(1,1)
~123.45
-1
-2
x
~ráficade{(x,y)Iy=Ixl.xER}
Observequelafunciónanteriorpueqedefinirsemediantela
expresión
-
{
Xsix~O
f(x)=
-xsix<O
endondeseindicaquesix~O,f(x)=xyquesix<O,
f(x)=-xporloquef(x)~OparatodoxER.Esteejemplo
pretendehacerlecomprenderqueexistenfunciones(algebrai-
casotrascendeJltes)quesondefinidasmediantediferentes
ecuacionesparadistintosintervalosdeldominio. .
Ejemplo1 .
Graficarlafuncióndefinidapor
f(x)=
[
X,six<O
x2,siO~x<2
4,six~2
Funciónvalc¡,r
absoluto
Conviene
analizarel
comportamiento
delafunción
29

23. ------
Siga
cuidadosamente
elprocedimiento
I
30
Solución:
Entérminosdeconjuntosdeparesordenados1afunciónse
expresaasl{(x,y)Iy=:x,X<O}U ,
{(x,y)Iy=X1,~X<2}U{.(x,y)Iy=4,x~2}
Ylagráficaladeterminamosrepresentandoenunmismosis-
temacoordenadolostresconjuntosdados.(Figura5.)
y
(2,4)
123
(O,O)
x
Figura5
{
X,six<O
Gráficade
'(x)=xl,siO--x<2
4,six~2
Ejemplo2.
Graficarlafunción
~
-X,si-2<~O
t{x)=
2,siO<x<2
Solución:
.Procediendoenformasimilaralcasoan'teriorresulta

24. y
4
3
2
123456
I I I I I I
-1L 0(0,O.)
-2
-3
x
Figura6
Gráficadef(x)=
{
-x,~i-2<x~O
-2,SIO<X<2
,
Recuerdequealgraficarsegmentosderectloarcosdecurvas,¿Enquéforma
elsimbolo"o"indicaqueelpuntoextremonopertenecealaseIndicaqueun
gráficamientrasque"e"indicaqueelpuntoextremosipertenecepuntopertenece
alagráfica. onoalagráfica?
Ejemplo3.
Graficarlafuncióndefinidapor:
I
rx1-4,six+--2
x+2
1.O,six=-2
f(x)=
Solución:
Yaque
)(1-4-("-2)(x+2) ==x-2,six+-2
x+2= x+2
lagráficadef(x)=x1-4esla rectlf(x)=x-2,conlaexcepción
x+2
delpunto
(-2,-4).Dadoquesix=-2,f(x)=Otenemosque
,\
31

25. Funciónmayor
entero
32
y
6
5
-8-7-6-5-4-3-2'-1
x
-5
-6
-7
-8
Figura7
tx1';""4
Gráficadef(x)=)
~+2',six:;: -~
~0,six= -2
lagráficacons1adeunarec1aqÚ9seinterrumpeenunpuntoyel
puntoaisladoconcoordenadas(-2,O).
SixERelsimbolo[x]repr~sentaunnúmeroentero,elmayor
enteromenoroigualquex.Asi
[-5]=-5,[-3,2]=-3,
yaque-3eselmayordelosenterosmenoresque-3.2,
[0.2]=OporqueOeselmayordelosenterosmenoresque
0.2,[:]=1porquedetodoslosenterosmenoresque1.5,1
eselmayor;delamismamanera
[3.9]=3'l~J-2,ete.
Lafunciónf(x)=[x]llamadafunciónmayorentero,lacualse
puededescribirtambiénporlaexpresiónf(x)=[x]=apara
~x<a+1,aE1tieneunagráficaqueresultasimplecuando
.tabulamosparavariosintervalosdelongitudigualaunoambos
ladosdelorigen '

26. f(x)=[x]=
-3si-3~x.c;:: -2
-2si-2~x<-1
-1si-1~x<O
OsiO~x<1
1si1~x<2
2si2~x<3
y
gráficadef(x)=[x)
Estafunciónesconocidatambiéncomofunciónescalón;su
gráficasesimplificamuchosideterminamoslalongitudypro-
fundidaddecada"escalón",enelcasoanteriorambassonigual
auno.
Ejemplo4
Graficarf(x)= [~xJ
3
Solución:
Comoprimerpasoenlatabulaciónconsideramoslaexpresión
dentrode[]entredosenterosconsecutivos,pongamospor
caso-2y-1,asf-2 ~~x<-1' .
3 '
Paralosvaloresdexquesatisfacenladesigualdadobtenida,
f(x)=-2porqueeselmayordelosenterosmenores
aIpsva-
k.-.-
Funciónescalón
.~
Comportamiento
del.función[x)
33
41- ---..o
3t- --.o
2-
1-
-5-4-3-2-1
6
I I I I .x
J234 5
-1
---.o
r-2--.o-3
1-4
Figura8

27. loresadoptadosporlaexpresióndentrodelslmbolo[],pero,
¿cuálessonesosvaloresqueadoptax?Estapreguntasecon-
testacuandoladesigualdadsemultiplicaporelreclprocodel
coeficientedex,asl
~(-2)~~.~x<~(-1),
2 23 2
3
deloqueresulta-3~x<--;
2
siguiendoesteprocesotabulamosdemodoqueenlaprimera
columnatengamoslosenterosentrelosquevarialaexpresión
queestádentrodelslmbolo[],enlasegundacolumnalos
valoresqueresultanpara"x"yenunaterceracolumnalos
correspondientesvaloresde'(x)
Deestosdatosdeterminamosquelalongituddelescalónes
~mientrasqueI~profundidadoalturaes1ysugráficaestá
,enlaFigura9.
y
-3-2-1
3
2 ~~
1.--o
123456
x
Figura9
-1
-2
-3
Gráficade f(x)=ítx]
34
2
,(x)
'
I
-x
I X t
.2 3
I-2
-2-x<-1 -3x<--
3 . 2
-1 x<O - x<O I -1
.3 2
Ox< 1 Ox< I O
3 2

28. 1.2Elálgebradefunciones
Conlaintencióndelograrunamejordescripciónyconsecuen-
tementemejorcomprensióndelcomportamientodelasfunciones,
sepresentanacontinuaciónlasmásimportantescombinaciones
defunciones.
Sean'ygdosfuncionescuyosrespectivosvaloresfuncionales
son'(x)yg(x),ysusrespectivosdominiosrepresentadospor
DfyDgsedefine:
Funciónsuma:
s=f+g={(x,s(x) IS(x)=f(x)+g(x),xEDfnDg.}
Funciónproducto:
p=,.g={(x,p(x))Ip(x)=.f(x) .g(x),xEDfnDg}
Funcióncociente,:
f f(x)
Q='-={(x,q(x))
Iq(x)=-, xEDfnDg,g(x):1=O}
g
. g(x)
Ejemplo1 .
Si'(x)=Vx -1Yg(x)=Vx+2,determinelasfuncio-
nessuma,productoycocienteconsusrespectivosdominios.
Solución:
Funciónsuma:
S(x)
:::;;'(x)+g(x),sustituyendotenemos
S(x)=Vx
-1+v'X+""2;
comoDf={xERIx~1},Dg={xERIx~ -2}y
Ds=D,nDgtenemosque
Ds={xERIx~1}n{xERI~~-2}={xERIx~1}
-..~---
Lasfunciones
pueden
combinarse'
35

29. 36
Ds={xERIx;>1}
Funciónproducto:
p(x)=((x).g(x)=Vx-1Vx+2=V(x-1)(x+2), .
Dp=D,nDg
p(x)=V,xl+x -2Dp={xERIx~1}
Funcióncociente:
q(x)=~= Vx-1=Vx-1.¡x:F2.
g(x). Vx+2 V.x+2vx+2
Dq
=D(nDg
.¡xl+x-2,D={xERIX~1}q(x)=
2
q
x+
pudieraparecerlequefaltaindicareneldominiodelafunción
cocientequeX"1-2,unaobservaciónmásdetenidadex~1
harácomprenderque -2esunnúmeroqueyahasidoexcluido
deldominio.
Ejemplo2.
si(={(O,'-1).(1,3),(2,8),(3,2)}
g={(2,-5),(3,O),(O,4).(5,7)}.
a).Determinelafunción(+g =8
Ds=D,nDg={O,1,2,3}.n{O,2,'3,5}={O,2,3}
Ahorabien,como8(x)=((x)+
g(x)entonces
8(0)=((O)+g(O)
StO)=-1+4
8(0)=3Y(O,3)ES
,S(2)=((2)+g(2) =8+(-5)=3;(2,3)ES
S(3)
='(3)+g(3)=2+0=2;(3,2)ES
portantoS={(O,3),(2,3),(;3,2)}
(

30. b).Determinelafunciónproductop=f .g
Dp=DfnDg=(O,2,3)
comop(x)=f(x) .g(x)
p(O)=(-1).4=-4entor:-ces'(O,-4)EP
p(2)=8.(-5)=-40entonces(2,-40)EP
p(3)=2.O=Oentonces(3,O)EPporloque
p={(O,-4),(2,-40),(3,O)}
c).Determinelafuncióncocienteq(x)=~;~);
Dq=DfnDg,g(x):I=O
f(O)-1 1 1
q(O)=-=-=--, (O--)Eq
g(O) 4 4 '4
.f(2) 8 8 8
q(2)= -=-=--,(2,--)Eq
g(2)-5 5 5
2,¡. el:. 1 8
f(3)=-"~R-3~Dqporloqueq={(O,--),(2,--)}
O 4 5
Sif(x)=.x3+2x-3,f(4)=(4)3+2.4-3,estoes
f(2)representalasuma(x3+2x -8)cuandox=2,asimismo
sif(a)=a3+2a
-3,f(t)=r+2t-3,pero¿quédebemos
entenderporf(g(x))?obviamenteque"g(x)"sustituyeaxen
laexpresiónf(x)=x3+2x
-3quedando
f(g(x))=(g(x))3+2(g(x))-3.Esteprocesosesiguepara
lograrunacombinacióndedosfuncionescuyoresultadoes
unafunciónconocidacomofuncióncompuesta.
Seanlasfuncionesfyg,lafuncióncompuestadefconges
e={(x,y)Iy=f(g(x))}
Ejem'plo3.
Seanf(x)=X2-1Yg(x)=x+2,encuenfte:
.Obtencióndela
función
compuesta
37

31. Determinación
deldominiode
lafunción
compuesta
38
a).Lafuncióncompuestadefcong;b).lafuncióncompuesta
de9conf.
Solución:
a).Lafuncióncómpuestadefcon9es:
f(g(x))=(x+2)2-1
b).Lafuncióncompuestade9confesg(f(x))=(x2-1)+2;
esclaroqueenambosejemplosfaltaefectuaroperacionesindicadas.
ysimPlificar.
Eldominiodeestafunciónpodemosinducir10delaexpresión
f(g(x).
Observequeg(x)expresaquexEDgYf(g(x))indicaque
g(x)ED"entoncesDe={xEDg,g(x)ED,}estoenpalabras
es:eldominiodelafunciÓncompuestadefcon9esuncon-
juntoquecontieneaquelloselementosdelqominiode9cuyas
imágenes(g(x))estáneneldominio'def.
Ejemplo4.
Seanh= {(0,5),(8,1),(2,9)},
9={(2,O).(3,8).(4,7),(6,2)',(5,O)}
determinef=h(g)
Solución:
ComoDI={xIxEDgYg(x)EDh},debemosdeterminar
todopar'ordenadode9cuyosegundocomponenteaparece
comoprimercomponenteenh.Conexcepciónde (4,7),elresto
cumpleconlacondicióndescrita,luegoeldominiodefes
DI={2,3,6,5}.Ahorabien,paradeterminarelelemento
asociadoenelcontradominio,procedemosasipara
x=2,'(2)=h(g(x))=h(O)=5.

32. Procediendo.asíencadacasotenemosquef={(2,5),(3,1),
(6,9),(5,5)}
Ejemplo5.
Seanh=
{(x,y)Iy=x-1},g= {(x,y)Iy=4x1+2x+1}
.2.
Determinelafuncióncompuestadegconh.
Solución:
I
Comoelproblemaesencontrarlaexpresiónparag(h(x))
x-1 .2
entonces,dadoqueh(x)= ~ yg(x)=4x+2x+1
REACTIVOS DEAUTOEVALUACION
I
Grafiquecadaunadelassiguientesrelaciones.
1.f(x)=-Ixl
2.h(x)=Ix-1I+1
3.h(x)=I2x-41-2
.4.Y=X5
5.Y=x4
6.Y=X3-1,¿enquédifieredelagráficadey=x3?'
7.y=x2+2,¿enquédifieredelagráficadey=x1?
8.a(x)=YX;
Ixl
9.f(x)=-y
39

33. Graficarcadaunadelassiguientesfunciones:
{
X-4,si-2<x~2
1O.f(x)=
xl-6,si2<x~4
{
3x-2,si-3<x<1
11.f(x)=
Xl-2x+2,si1<x~3
{
2x+6,Si-5<x~-2
12.f(x)=
xl-4,Si-2<x<2
13.f(x)=
14.f(x)=
15.g(x)=
16.h(x)=
17.h(x)=
18.f(x)=
{
X2,six<O
VX;six> O
{
Xl-6,SiX<-1
-5, si-1~x~"4
x-9,six>4
2[3x]-1
{
-1si-1~x<.2
3si2~x<5
7SI5~x<8
Encuentreencadacasolasfuncionessuma,productoycociente.
19.f(x)=x,
20.f(x)=2x~1
40
g(x)=3-x
g(x)=X2

34. 31.(={(-1,1),(O,6),(1,3),(2,4)};
g
={(-1,2),(O,3),(1,2),(2,O) }
32.(={(-4;-5),(-3,-3),(-2,-1),(-1,1)};
g={(-1,2),(2,1),(3,3),(4,5)
}
33.(={(0,,1),(2,10),(3,7),(6,11)};
g={(-1,4),(2,4),(3,3),(7,12)}
34.f={(-3,4),(O,5),(6,O),(8,8)};
g={(5,-2),(4,3),(7,O),(2,3)}
Enlosproblemas35a38determinelafuncióncompuestade(cong
35.f={(4,7),(7,10),(2,5)};
g={(1,4),(3,7),(6,2),(5,4)
}
36.f={(O,3),(3,6),(-2,1),(2,4)};
g={(-3,O),(-1,3),(2,-2),(1,O),(4,-1)}
41
21.((x)=3X2-5x g(x)=2x-1
22.((x)
=2-6x+5
x-2
g(x)=-
, 2
23.((x)=IX g(x)=X2+4
24.
((x)=x-1 g(x)=vX2+8
25.((x)=X3 g(x)=2x2+3
26.((x)=VX3 g(x)=Vx+2
27.((x)=Vx+2 g(x)=
"x-3
28.((x)=Vx- g(x)=X3
29.((x)=logaX g(x)=ax
30.((x)=X2 g(X)=senx

35. ~
37.f=.{(2,7),(-1,-3),(0,3),(1,5)};
g={(3,2),(-1,-1),(-2,O),(-3,1) }
38.f= {(2,4),(-2,7),(1,-3),(O,1)};
g=={(3,-3),(0,O),(-1,2),(-4,1)}
Losproblemas39a42consistiránendeterminarlafuncióncompuestadegcon
f,dichasfu1cionessonlasdadasenlosproblemas35a38.Decir
siresul1aenalgún
casof(g)=g(f).
Enlosproblemas43a49determinef(g(x))yeldominioencadacaso
\
42
43.f(x)=4 g(x)=4x
+4
44.f(x)=X2 g(x)=2x+1
9-x
45.f(x)=9-3x
g(x)=-
2
46..f(x)=X2 g(x)=cosx
47.f(xl'=senx g(x)=cosx
48.f(x)=logaX g(x)=é
49.f(x)=senx g(x)=escx

36. Módulo2
OBJETIVOSESPECIFICOS
Alt~rminardeestudiarestemódulo,elalumno:
.
1.Probaráqueellimitedeunafunciónf(X')esLcuandoxtiendeaa.
2.ObtendrálosvaloresdeÓdado~enlacomprobacióndelimitedeunafu1ci6ndada.
3.Eliminarápormétodosalgebraicos,elfactorqueproduceunaindeterminación
enelcálculodellimitedelcocientedefunciones.
4.DeterQ1inaráellfmitedeunafuncióndada,aplicandoprocedimientosaIgebraicos.
ESQUEMA RESUMEN
LIMITEDE
UNAFUNCION
CONCEPTO
DELIMITE
..PROCEDIMIENTOS
ALGEBRAICOS PARA
LADETERMINACION
DELLIMITE
43

37. Veamosquées
el
limite
deunafunción
Xseaproximaa
unvalorfiJo'
Aproxlméndose
porlaIzquierda
Aproxlmándóse
.porla.derecha
44
2.1Limites
Lasiguientepresentaciónleharáadquirirunaideadelcon-
ceptodelImitedeunafunción;dichaideadebesimplificarlela
,
comprensión"precisa"deesteconcepto.Seconsideraráuna
función"f"delacualestudiaráelcomportamientodef(x)
cuandoxadoptevaloresnuméricosquese"aproximan"aun
valorfijoelcualgeneralmenteserepresentapora.El.significa-
dodexseaproximaaunvalo"fijo,seaclaraconelsiguiente
~em~o.
..
Enelintervaloenelque-2<x<4,sea1elvalorfijo,es
decira=1;quexse"aproxime"a1;significaquexadop~va-
lorescadavezmás"cercanos"a1,sinembargoenelinterva-
lodado,estaaproximaciónpuedehacersededosmaneras
distintas;unadeellasselograporvaloresmenoresque1
haciendoprimerox=-1.9,despuésx=-1,luegox=O,
x=.L,x=0.9,x=0.99yaSi,cadanuevov~lorasignadoax.
.2- '.-
estámás"cercano"a1.Enestecasotambiénsedicequex
-seaproximaa1porlaizquierda(VerFigura10.)
-2
¿x,='-J.~, -1 o
4
x=O
J
It I
O.9
,.&
'J
x=2,
x=-1
.xseaproximaaunoporlaizquierda
Agu~10
Laotramaneraselograporvaloresmayoresque1(encuyo
.casosediceque~seaproximaa1porladerecha)haciendopri-
3
.
merox= 3,x="2'x=1.1,x=1.01,asf,cadanuevovalorde
xestá"máspróximo"a1.(VerFigura11.)
o
2
..
x=2 3 4
le .
. ./
x=l./'x=T
xseaproximaa1porladerecha4
...
x=,J
x=3.9'
FIgurl11

38. Entonces,Yamenosqueseespecifique otracosa,cuandose .
digaquex(ocualquierotravariable)seaproximaaunvalor
fijoyexistanlasdosposibilidadesaqufmencionadas,considera-
remosambasalmismotiempomedianteintervalosqueconteng8n
alvalorfijo.
Regresemosalaexpresión-2<x<4;seguramentere-
.cordaráqueeslaconjunción-2<xyx<4.Sugráficaestá
enlaFigura12. .I
-2-1O1234
e
LQ
Figura12 Gráficade-2<)C"y")C<4
Siacadamiembrodelasdesigualdades -2<xyX<4se
resta
elvaloraquese "aproxima"x,osea1,tenemos:
-2-1<x-1yx-1<4-1
obien-3<x-1Yx-1<3
Silaprimeradeestasdosdesigualdadessemultiplicapor
-1resulta:
3>-x+1 yx-1<3
obien1-x<3yx-1<3
Lamedidadela"proximidad"o"cercanfa"entrexy1,
nosladaladiferenciaentreestasdos'cantidades;laexpresión
-3<x-1o1-x<3 paracuandoxseaproximapor.
laizquierda(valoresmenoresque1),ylaexpresiónx
-1<3
cuandoxseaproximaporladerecha(valores'mayoresque1);
enamboscasosladiferenciaentrexy1esmenorque3por
loque,cuando -2< x<4,x quedasituadaamenosde3
unidadesde1
.
Volvamosalaexpresión-2<x<4,restemosotraveza
cadaunodesusmiembroselvaloraqueseaproxima xy
nosqueda-3<x-1<3.DelcursodeMatemáticaUnida-
desV-VIIIaprendióquesic>O,entonces
.IEI<c<=>-c<E<
e
Exl..euna
diferencia
cuandox..
aproximaporla
Izquierdaopor
laderecha
45

39. Sihacemosquex -1sustituyaaEyque3sustituyaae
tenemosqueIX-11<3
~-3<x-1<3
Ellonospermiteque Ix-11<3sustituyaa-3<x-1<3
dedondeconcluimos;si-2<X<4entoncesIx-11<3,esde-
cirenelintervalo
dado,xestáamenosde3unidadesde1.
Obtencl6ndela(VerFigura13.)
medidade
"proximidad".
-2-1O1234
n IIIIIo
-2<X<4 ~-3<x-1<3 ~Ix-11<3
Sealafuncióndefinidaporlaecuación'(x)=2x+1
cuyagráficaestáenlaFigura14.Observaráelcomportamiento
de,(x)cuandoxse"aproxime"a1;este"acercamiento"lo
iniciamosconsiderandoelintervalo-2<X<4.(VerFigura15.)
Esimportantenotarquesólosehanmencionadovalorespróxi-
mosa1ynohemos
dadoimportanciaaloquesucedacuando
x=.1. y
y r---9---~f(X) =9
1 8 /1
I
X
=-2 I 7
"--1 6
I
I
5
.I 4
I
I
~
I .2
1
Figura13
SIx.8aproxima
aunvalorfiJo,la
función,(x).8
aproximaaotro
valor .
Figura14
46
GráficadeIx-11<3
I
1
I x=4
1-/
I
I
I
I
x
Gráficade'(x)=2x+1;-2<x<4
siIx-11<3=>I'(x)-3\<6
Figura15

40. Lagráficaquedarestringidaalinteriordelrectángulocuyos
ladostienenporecuacionesx=-2,x=4,f(x)=-3,f(x)=
9,Yesfácilnotarquemientraslosvaloresdexestánentre
-2y4los'correspondientesaf(x)estánentre-3'y9osea
-3<.f(x)<9.Sienestadesigualdadrestamos3acadauno
desusmiembrosobtenemos: .
-3-3<f(x)-3<9-3
-6<f(x)-3<6
omejorIf(x)-31<6
Locualnosdicequela"proximidad"odiferenciaentref(x)y3
esmenora6unidades.
Concretandoloanterior,podemosdecirque"situar"xamenos
de3unidadesde1,obligaquef(x)e~téamenosde6unidades
de3.
Enlasiguienteetapa,serestringeelintervaloentomoa
x=1y'hacemosO<x<2obienrestando1acadamiem-
brodeladesigualdad,-1<x-1<1omejorIx-11<1,estoes
obligamosaxaestaramenosdeunaunidadde1(Figura16).
Comoconsecuenciaf(x)adoptavaloresentre1y5osea
1<f(x)<5.Sirestamos3acadamiembrodeestadesigualdad
tenemos1-3<f(x)-3<5-3,deahlque:
-2<f(3)-3<2,locualtraducido.atérminosdevalorabsoluto
esIf(x)-31<2locualnosdicequela"proximidad"entref(x)y
3esmenoradosunidades.Estoescuandoxpermanecea
menosdeunaunidadde1,la"cercanla"entref(x)y3resulta
menora2unidades(Ver.Figura16).
. .y
:t;
i
/
1
3'- 1
. I
~V~:::1
...11
1234
~x
Gráficade f(x)=2x+1;0<x<2
siIx-11<1~If(x)-31<2 Flgur.18
R8pr...nucl6n
gr"lcadel
compor18mlonto
de,(x)
Oetermlnacl6n
delvaloralcual
.eaproximaf(x)
SI.erestringe
ellnlenalode
varlacl6ndex
47

41. Hagamosmj.
peque"oaún
..eIntervalo
Heaqulel
conceptode
limite
48
Sirestringimosaúnmáselintervaloentomoax=1hacien-
doqueO.9<X<1.1,ladiferenciaentre
xv1:,edetermina
por-o.1<x-1<0.1obienporIx-11<0.1yresultaserme-
nora0.1unidades,estoes,xestáamenosde0.1unidades
C!e1;esta"proximidad"obligaaque2.8<f(x)<3.2locual
implicaque-0.2<f(x)-3<0.2Yestoasuvezsignificaque
If(x)-31<0.2.Estosignificaquef(x)quedaamenosde0.2
unidadesde3(VerFigura17}.
y
3
y=3.2
'»
X=
~
.9x=1.1
- /
-- .....
Y=J.8
I
,
I
I
I
I
I
I
I
I
.I
I
I
I
I
J
1
x
2
1
Figura
17
0.9<x<1.1=>Ix-11<0.1=>I'(x)-31<0.2
Deloanterior,debehabernotadoquealaproximarxa1,sea
porlaizquierdaoporladerecha,seobtieneun"acercamiento"
def(x)a3.Esteprocesopuedecontinuarindefinidamente,sin
embargolomostradohast~aqulessuficienteparaqueinduzca
quela"cercanla"oupro~midad"entre
t(x)y3,puedehacerse
tanpequenacomodeseecons610uaproximar"suficientemente
xa1.Estehechoseexpresadiciendoquef(x)tieneporlimitea
3cuandox tiende(seaproxima)a1ysesimboliza:
Umf(x)=3
x1

42. Esconvenientevolverainsistirenquelaexistenciadeeste
limite,nodependeenabsolutodeloquesucedacuando
x=1;
sólonosinteresaquela"diferencia"o"cercanla"entref(x) y
3
puedahacersetanpequei\acomosequieraal"aproximar"io
suficientexa1
.
Ellimitede,f(x)cuandoxseapróximaaaesigualaL;el
comportamientodeambasvariablesquedadescritoporlaexpresión
Umt(x)=L.
x-+a
Laproximidadentref(x)ysulimiteLestádadapor
If(x)-LI;
esta"proximidad",indicadaobviamenteporn(merosnonegativos,
serárepresentadaporlaletragriegat(epsilon),deahlquela
expresiónIf(x)-LI< (significaquef(x)"está"amenosde (
,
unidadesdeL(verFigura18)Ylagráficadelafu~cióndebe
estarlimitadaporlasrectasconecuacionesy=L-E,Y=L+l
y
L+E
L
L-E
a
,
siIf(x)-LI<E.entonceslagráficade
y=f(x)estálimitadaporlasrectasy=L+t.Y=L
-t
Figura18
~L+E
I.
I
I
I
I
J
I
I
I
Pero,no olvidemosqueelcomportamientode'(x)dependedel
dex.ParaqueIf(x)-LI<t,xdebe"estar"suficientementecerca
dea,lacercanlaentr;exysulimiteasetieneenlaexpresión
x
Ellimitedef(x)
depende
únicamente
cuandoxse
acercaalvalor
fijo
trépresenta
laproximidad.
¿Dequl6n
dependeel
comportamiento
def(x)?
.49

43. .e.-elllmlte
de.
de.la
diferenciaentre
.Y.
50.
lx-al,ylamedidadeesaproximidadseharápormediodenúmeros
positivosrepresentadosporó(delta),entoncesIx
-al<ó
significaquex"esta"amenosdeóunidadesdea.
y
x=8.d
x=8+d
-.----1.; .
- ~1'ct))
I
I ---1---
- I
I
x
x=8.d 8 x=8+d
Figura18
Seaunafunción"f"ydosnúmerosayL,decimosqueellimite.
def(x)esLcuandoxtiendaaasi paratodonúmeropositivot:
existeotronúmeropositivoótalesque
If(x)--LI<t:sio<lx-al<ó
Esto'traducidoallenguajesimbólicoes
L/mf(x)=LsiIf(x)-LI<t:cuandoo<lx-al<ó
x-a"
y
L+t:
L
L.t:
x
8-Ó 8+Ó 8
Figura20

44. ElceroenlaexpresiónO<lx-al<~ tnosindicaquex:l=a
Ejemplo1
.
sif(x)=3x+5,pruebequeL/mf(x)~11
X""2
Solución:
L=11,a=2,sedebeprobarqueparatodoi>Oexisteun
d>OtalqueIf(x)-111<E:.cuandoIX-21<ó
Dadoquef(x)=3x+5,sustituimosenIf(x)-111<E:quedando
I(3x+5)-111<E:proximidadentref(x)y11
13x-6l<E:
1.3(x-2)1<E: reduciendotérminossemejantes
.prop.dist.ofactorizando
labl=V(ab)2=\[a2b2=V82Vb21311x-21< E:
3IX-21< E:
E:
IX-21<-
3
=lallbl...labl=lallbl
131=3
proximidadentrexy2
sid<!..
3
~/X-2/<d
d=;garantilalaproximidadprefijada(E:)entref(x)y11;ó<~
acentúamásdichaproximidad.
Ejemplo2.
seaf(x)=2x+3; L/m(2x+3) =1,
x-1
d=?si.E:=0.0002
I
......-
.
51

45. ---------- ----- --- -------
52
Solución:
I(2x+3)-11<0.0002.Cercanfaprefijadaenttef(x)y1
I2x+3-1I<0.0002 Seeliminanparéntesis'
.
.I2x+21<0.0002
12(x+1)1<0.0002 Reduciendotérminossemejantes
Propiedaddistributiva
1211x+11<0.0002
IX+11<0.0002
2 labl=lal.~Ibl
Propiedad'multiplicativadelas
desigualdades.
IX-(---1)I<0.0001 Proximidadnecesariaentrexy-1
porI~qued-$0.0001YIx-(:"'1)1<0.<;>001.
Ejemplo3.
Pruebeque Umx1-4
x-+2x2=4
x2-4
enestecasof{x)=-, L=4,a=2.
x-2
Unasimplesustituciónmostraráquef(2)=testoquierede-
x2-4
.cirquef(x) =x2noestádefinidaenx=2,sinembargosólo
nosinteresaqueestédefinidaparatodoslosvaloresdex
"próximos"a2,hechoquecomprobamosasl
x2-4
f(x)
= 2'x:;:2x-
f(x)=(x-2)(x+?)
x-2 'x:#;2
f(x)=x+2.,x:;:2

46. Estosignificaquef(x)existe paratodoxERexceptuandox=2.
Paramostrarqueellfmiteexiste,prefijamoslacercaniaentref(x)
y4medianteEas(:
If(x)-41<E
ybuscamoslaproximidadsuficienteparaqueesosuceda,
entrexy2,determinandoelvalordeó
If(x)-41< E
,(x+2)-4'< E,proximidadentref(x)y4
Ix-21<E,proximidadresultanteentrexy2porloc~aI,
bastaconconsideraraó=E;esfácilnotarquecualquier
d<
E,obligaaf(x)aestaramenosde Eunidadesde4porloque
d~E
{
.2~2.Determinacióndelimites
Esmuyprobablequeenmásdeunaocasiónsehayapregun-
tadoporquéunadiscusión~grandeparadeterminarque
Um(2x+1)=3cuandoporsustitucióndirectadex=1se
x~1
.
encuentraelmismoresultadoenformapordemássimple.La
respuestaesqueestáconfundiendoelconceptodelimitede
unafunciónconelprocesoenocasionespuramentemecánico
paraevaluarodeterminarunlínite.Graciasallengua;esimbólico,
hemospodidoconcretaryprecisarpormediodelaexpresión
L/mf(x)=Lunanocióncuyadescripciónnecesitódevariospá-
x~a
rrafos.
xl-4
DebehaberobservadoqueencasoscomoUm -
. x-2x +
lasustitucióninmediatadexDOr2noesposiblepuestoquenos
llevaalaindeterminaciónO;determinarellimitedelcociente
140
x
-requieredeunartificioquenospermitaeliminarelfactor
x-2
queproducelaindetemJinacJón;'enestecaso
bas1aconfactorizar
elnumerador,as((x-2)(x+2)=x+2,siX:F2
x-2
I
L.
,I
Noconfundirel
conceptode
limiteconla
determinación
deunlimite
Cuandoaparece
un.
Indeterminación
eUmin.m08...
53

47. Observemos
algunos
procedimientos
algebralcosque
permiten
eliminarla
Indeterminación
54
e..-
L/mx'"-4
- ==L/m(x+2)=2+2=4
.r+2x+2
Enlossiguientesejemplossedanlosartificiosmásusadosen
esteprocesoparaencontrarellimitedealgunafunción.
Ejemplo1.
DetermineLlm
3
x-'
Solución:
Lasustitucióndirectadex=3llevaalaindeterminacióngla
funciónnoestádefinidaenx=3,peroelUmiteexisteylo
podemosdetenninarsiracionalizamoseldenominadordelafracción
Llm x-3 L/mx-3 ..v'XTI+2
x-+3v'X+1-2-x-+3y'X+l-2 VXTT+2
=
Lim(x-3) (VXTT+2)
x-+3(vX-:¡:.1V -2'"
=Llm(x-3) (v'X+1+2)
x-+3 x+1 -4
=L/m(x-3) (y'X+1"+2)
x-+3 x-3
Aquiesfácilnotarquex
-3eselfactorqueproducela
indeterminaciónlacualseeliminacancélandodichofactor,asi:
L/mx-3
. =LbV .
x-+3v'X+T-'2x-+3x +1+2=V3+1+2=4
Notequealcancelarx-3enlosdosmiembrosdelafracción
seconsideraquex:f.:3.
Ejemplo2.
DetermineUm(x+2)2-4
x-.O x

48. Solución:
Nuevamentesisustituimosx=OobtenemosO,perosidesa-
rrollamos(x+2)2tenemos O.
L/m(x+2)1 -4=L/mx1+4x+4 -4
~O x ~O x
=UmX2+4x,x:#O
~o x
=Umx(x+4)
~O x 'x:#O
=Umx+4x:#O
x-+O
.=4
Sustituirx=Ononosllevaadeterminarf(O)sinoel
valpra
queseaproximaf(x)cuandox-O.
AEACTIVOS DEAUTOEVALUACION
A.PruebequeL/m(1-2x)=-1
~1
B.Enelproblemaanteriorsi E=0.01,¿quévalorespuede
adQptar61
.
x1-9
C.PruEtbequeL/m- =--2
" x_1x+3
D.EnelproblemaánteriorsiE=O.005,¿quévalorespuede
tomar61
Determine,siexisten,cadaunodelossiguientesUmites:
1.L/m(2x-3)
~O
2.L/m(3x1-5x+2)1
~O
\
55

49. --- --
56
I.
i
3.
L/m.2h+3
"""1h-2
4.L/m"X2+9
x....416
5.Llm5+
-x2
x-+-1
6.Llm
Vx:F1
x-+-2
7.Llm x
x-+1 x
8.L/m
2X2+3x
9.L/m X2+5x+6
x-+-3 x+3
1O.L/m x-5
x-+5x2-7x+10
11.L/m(x+2)-2-2-2
x-+O x
12.L/mx2-4
(
JI-+2x2-5x+6
13.'L/my'K+2-2
x-+2 x-2
/ 14.L/m .2!::i
x-+4vx-2
15.L/mV2+x-{2
x-+O 2x
16.L/m 2x-4
x-21-V4X=f

50. determinar:
a).L/mf(x)
x-3
b).L/m
f(x)
x-2
e).Llmf(x).
x-.5
d).L/m.f(x)
x-.-2
57