Matematika Materi ELIPS KELAS 12 SMA.pptx

Elips Kelas 12 SMA

1. ELIPS

2. Elips Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap ( konstan ). Dua titik tertentu itu disebut fokus atau titik api (F 1 dan F 2 ), jarak (F 1 dan F 2 ) adalah 2c, dan jumlah jarak tetap 2a (a > 0)

3. Elips Perhatikan gambar A 1 (-a, 0) P A 2 (a, 0) (- c, 0) (c, 0) (0, b) (0, - b) F 2 F 1 E L K T D B 2 B 1

4. Elips Keterangan (F 1 dan F 2 ) disebut fokus . Jika T adalah sembarang titik pada elips maka T F 1 + TF 2 = 2a. F 1 F 2 = 2c, dengan 2a > 2c A 1 A 2 merupakan sumbu panjang ( sumbu mayor) yang panjangnya sama dengan jarak tetap yaitu 2a. B 1 B 2 merupakan sumbu pendek ( sumbu minor) yang panjangnya sama dengan 2b. Karena itu a > b. Lactus rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips , tegak lurus sumbu mayor, dan melalui fokus (DE dan KL) Panjang lactus rectum DE = KL =  

5. Elips Keterangan 4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor 5. Titik puncak elips yaitu A 1 ,A 2 ,B 1 , dan B 2

6. Elips Persamaan Elips Berpuncak di O(0, 0) Pusat P(0, 0) Persamaan elips Fokus (-c, 0), (c, 0) (0, -c), (0, c) Puncak (-a, 0), (a, 0) (0, -a), (0, a) LR Sumbu mayor Sumbu X Sumbu Y Sumbu minor Sumbu Y Sumbu X Pusat P(0, 0) Persamaan elips Fokus (-c, 0), (c, 0) (0, -c), (0, c) Puncak (-a, 0), (a, 0) (0, -a), (0, a) LR Sumbu mayor Sumbu X Sumbu Y Sumbu minor Sumbu Y Sumbu X

7. Contoh soal 1 Tentukan persamaan elips dengan titik puncaknya (13, 0) dan fokus F 1 (-12, 0) dan F 2 (12, 0).

8. Penyelesaian Diketahui pusat elips (0, 0) Titik puncak (13, 0) ⇔ a = 13 Titik fokus (-12, 0) dan (12, 0) ⇔ c = 12 Ditanya : persamaan elips = ….? = = 169 – 144 = 25 ⇔ b = = 5 Sumbu utama adalah sumbu x, sehingga persamaan elipsnya adalah : atau  

9. Contoh soal 2 Tentukan persamaan elips dengan fokus F 1 (0, -4) dan F 2 (0, 4) dengan titik puncak (0, 5) dan (0, -5) !

10. Penyelesaian Diketahui pusat elips (0, 0) Titik puncak (0, 5) ⇔ a = 5 Titik fokus (0, -4) dan (0, 4) ⇔ c = 4 Ditanya : persamaan elips = ….? = = 25 – 16 = 9 ⇔ b = = 3 Sumbu utama adalah sumbu y, sehingga persamaan elipsnya adalah : atau  

11. Contoh soal 3 Diketahui elips dengan persamaan . Tentukan fokus , titik puncak , Panjang sumbu mayor, Panjang sumbu minor dan Panjang lactus rectumnya !  

12. Penyelesaian Diketahui persamaan elips = 81 ⇔ a = 9 = 25 ⇔ b = 5 = = ⇔ c = Fokus (0, - ) dan (0, ) Titik puncak (0, -9) dan (0, 9) Panjang sumbu mayor ⇔ 2a = 18 Panjang sumbu minor ⇔ 2b = 10 Panjang lactus rectum (LR) ⇔  

13. Elips Persamaan Elips Berpuncak di P(m, n) Pusat P(m, n) Persamaan elips Fokus (m - c, n), (m + c, n) (m, n - c), (m, n + c) Puncak (m - a, n), (m + a, n) (m, n - a), (m, n + a) LR Sumbu mayor Y = n X = m Sumbu minor X = m Y = n Pusat P(m, n) Persamaan elips Fokus (m - c, n), (m + c, n) (m, n - c), (m, n + c) Puncak (m - a, n), (m + a, n) (m, n - a), (m, n + a) LR Sumbu mayor Y = n X = m Sumbu minor X = m Y = n

14. Contoh soal 1 Tentukan persamaan elips fokus F 1 (1, 3) dan F 2 (7, 3), dan puncaknya (10, 3) !

15. Penyelesaian Fokus (1, 3) dan (7, 3) ⇔ m – c = 1; m + c = 7, dengan eliminasi diperoleh m = 4 dan c = 3 Pusat P(m, n) ⇔ P(4, 3) ⇔ m = 3 Pusat P(10, 3) ⇔ m + a = 10 ⇔ a = 6 = = 36 – 9 = 27 ⇔ b =  

16. Penyelesaian Sumbu utama y = 3, sehingga persamaan elipsnya menjadi : atau  

17. Contoh soal 2 Tentukan titik pusat , fokus , titik puncak dan Panjang lactus rectum dari elips yang mempunyai persamaan !  

18. Penyelesaian Diketahui ! Pusat elips P(-1, 5) = 36 ⇔ a = 6 = 9 ⇔ b = 3 = = 36 – 9 = 27 ⇔ b =  

19. Penyelesaian Fokus F 1 ( -1, 5 - 3) ⇔ F 1 ( -1, 2) Fokus F 2 ( -1, 5 + 3) ⇔ F 1 (-1, 8) Puncak P ( -1, 5 - 6) ⇔ P (-1, 1) Puncak P ( -1, 5 + 6) ⇔ P (-1, 11) Panjang lactus rectum = = = 3  

20. Bentuk Umum Persamaan Elips Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 Hubungan antara persamaan Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 dengan persamaan , adalah sebagai berikut : Jika A > B, maka A = a 2 , B = b 2 , C = -2 a 2 m, D = -2b 2 n, E = a 2 m 2 +b 2 n 2 - a 2 b 2 Jika A <B, maka A = b 2 , B = a 2 , C = -2 b 2 m, D = -2a 2 n, E = b 2 m 2 +a 2 n 2 - a 2 b 2  

21. Contoh soal Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki persamaan 4 x 2 + 9y 2 - 16x + 18y - 11 = 0 !

22. Penyelesaian Diketahui 4 x 2 + 9y 2 - 16x + 18y - 11 = 0 A = 4, B = 9, C = -16, D = 18, E = -11 = A = 4 ⇔ b = 2 A < B = B = 9 ⇔ a = 3 C = -2b 2 m D = -2b 2 m C 2 =a 2 - b 2 -16 = -2.4.m 18 = -2.9.n = 9 - 4 -16 = -8m 18 = -18n = 5 2 = m -1 = n C = Pusat P(m, n) ⇔ P(2, -1) Fokus F 1 (m - c, n) ⇔ F 1 (2 - , -1) Fokus F 2 (m + c, n) ⇔ F 2 (2 + , -1)  

23. Persamaan garis singgung elips di titik P(   Persamaan elips Persamaan garis singgung Melalui titik ( Dengan gradien p Persamaan elips Persamaan garis singgung Dengan gradien p

24. Persamaan garis singgung elips di titik P(m, n) Persamaan elips Persamaan garis singgung Melalui titik ( Dengan gradien p Persamaan elips Persamaan garis singgung Dengan gradien p

25. Contoh soal 1 Tentukan persamaan garis singgung elips berikut , , pada titik (4, 3) , pada titik (5, -3) , pada titik  

26. Solusi Diketahui : (4, 3) ⇔ = 4 dan = 3 Persamaan garis singgung : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x + y = 7  

27. Solusi Diketahui : Pusat (m, n) ⇔ (1, -2) (5, -3) ⇔ =5 dan = -3 Persamaan garis singgung : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2(x – 1) - (y + 2) = 9 ⇔ 2x – y = 13  

28. Solusi Diketahui : = 3 dan = 16 (2, ) ⇔ = 2 dan = Persamaan garis singgung : ⇔ ⇔ ⇔ 6x + 24y = 48 ⇔ x + 4y = 8  

29. Contoh soal 2 Tentukan persamaan garis singgung elips berikut , , dengan gradien 1 , dengan gradien 2  

30. Solusi Diketahui : ⇔ = 22, = 3, dan p = 3 Persamaan garis singgung : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ y = x + 5 dan y = x - 5  

31. Solusi Diketahui : ⇔ m = -3, n = 4, = 15, = 4, dan p = 2 Persamaan garis singgung : ⇔ ⇔ ⇔ y =2x + 6 8 +4 ⇔ y = 2x + 18 dan y = 2x + 2  

32. Thank you [email protected]