matematika modul 8 final presentasu.pptx

hssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt44444444444444444444444444444444444444444444

1. SISTEM KOORDINAT

2. PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI
MODUL 7

SISTEM KOORDINAT

O senso
© Adeitya Prabu Bagaskara (857714774)

Siti Romlah (857709733)
Indarti (857713457)
e

3. KB 1. Sistem Bilangan Real dan Koordinat

A. Sistem Bilangan Real

B. Sistem Koordinat Kartesius

C. Rumus Jarak (Distance)

D. Persamaan Lingkaran

E. Sistem Koordinat Kutub (Polar coordinate Sistem)

F. Hubungan Koordinat Kutub Dengan Koordinat Kartesius

4. A. Sistem BILANGAN REAL

Sistem

Bilangan real

5. SISTEM BILANGAN REAL

4 Semua bilangan real dapat diwakili oleh titik pada garis bilangan. Bilangan real
memiliki sifat terurut.

= Himpunan bilangan real dapat dinyatakan sebagai garis bilangan

= Berikut ibi contoh perbedaan jarak titik koordinat pada garis bilangan vertical dan
horizontal berdasarkan jarak dan arahannya terhadap O (Pusat koordinat garis)

Titik koordinat pada
garis

Letak titik pada garis bilangan

Horizontal

vertikal

3 3 satuan disebelah 3 satuan disebelah
kanan 0 atas 0
-10 10 satuan disebah kiri 10 satuan disebelah B

0 bawah 0

6. Bentuk decimal suatu bilangan real, himpunan bilangan real adalah gabungan himpunan bilangan
rasional dan irrasional. Semua bilangan real dapat dinyatakan dalam bentuk decimal

Bentuk decimal dari bilangan rasional, bilangan rasional adalah bilangan real yang terbentuk 5 dengan
a,b € himpunan bilangan bulat dan b#0. bentuk decimal dari bilangan rasional sebagai hasil pembagian
terhadap pembilang dan penyebut menghasilkan bilangan dibelakang koma yang terbatas sera
berakhir dengan pengulangan bilangan nol dan berulang tidak terbatas.

Bentuk decimal bilangan irrasional, bilangan irrasional adalah baingan yang real yang tidak dapat
dibentuk menjadi gi bentuk decimal dari bilangan irrasional menghasilkan bilangan dibelekang koma
yang tidak terulang dan tidak terbatas dan tidak berakhir dengan pengulangan bilangan nol

Kelengkapam dam kerapatan bilangan real, bilangan real selain memiliki sifat kelengkapan juga
memillki sifat kerapatan, Beberapa kerapatan letak antara dua bilanganreal tersebut selalu ada
bilangan rasional atau bilangan irrasional lain

7. B. SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

Sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap
titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang
biasa disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut.
Untuk mendeskripisikan suatu titik tertentu dalam system
koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu nilai y
(ordinat). Dengan demikian format yang dipakai selalu (xy)
dan urutannya tidak dibalik-balik

Pada system koordinat kartesius terdapat dua aris
berpotongan tegak lurus. Garis mendatar disebut sumbu x.
garis tegak disebut y. titik potong kedua sumbu disebut titik
asal. X merupakan jarak titik dengan sumbu y dan y
merupakan jarak titik dengan sumbu x

8. GAMBAR BIDANG KOORDINAT 4 KUADRAN

koordinat-x

koordinat-y

9. C. Rumus JARAK

- Ketika dua titik dihubungkan dengan garis lurus, bagian garis antara
dua titik disebut ruas garis. Panjang ruas garis tersebut menunjukkan

jarak antara dua titik dikedua ujung ruang garis tersebut

- Teorema phytagoras dapat digunakan untuk menentukan Panjang ruas

garis yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat

10. D. PERSAMAAN LINGKARAN

o Lingkaran adalah tempat kedudukan titik (x,y) pada
bidang yang berjarak sama terhadap satu titik tetap
yang disebut lingkaran, jarak titik (x,y) terhadap titik
pusat disebut jari-jari (radius) dan dikembangkan r.

11. ILUSTRASI

Otxy) Jika titik pusat lingkaran P
(a,b) dan jarak titik-titik Q
(x,y) terhadap titik pusat P
berjarak r

r= y(x- a) + (y - by

12. SISTEM KOORDINAT KUTUB (POLAR
COORDINATE SYSTEM)

o Dalam system koordinat kartesius, tempat
kedudukan titik pada bidang ditunjukkan oleh
pasangan terurut bilangan real (x,y)

o Berlaku sebaliknya yaitu pasangan terurut bilangan
rasional (x,y) menunjukkan posisi suatu titik pada
bidang koordinat

© Selain koordinat kartesius untuk dapat
menunjukkan posisi suatu titik pada bidang dalam
system koordinat dapat juga digunakan koordinat
kutub dan koordinat polar yang ditandai dengan
jarak dan sudut

13. 8 bernilai positif jika arah pengukuran sudut

” Berlawanan dengan arah jarum jam dan

8 bernilai negatif jika pengukuran sudut searah
jarum jam

270"

Arah pengukuran sudut

14. HUBUNGAN KOORDINAT KUTUB DENGAN
KOORDINAT KARTESIUS

o Jika sumbu pada system koordinat kutub dan
system koordinat kartesius dihimpatkan sehingga
saling menutupi maka letak suatu titik pada system
koordinat kutub ditandai dengan pasangan terurut
(r,@)dan titik koordinat kartesius ditandai dengan
pasangan terurut (x,y)

15. o Sin 8 = *=y=rsin@

o Cos 6 = <=x=rcos 0

or? =x? + y? dan tan @ = >

16. KUADRAN TI A KUADRAN 1

N
Sms + El a U 2 +
CosiBO'-AJ=-CosA (ws +
Tenli80'AJ==TanA = Tara à
KUADRAN IM KUADRAN IV
Sn(lQsAl=Sn A © Sni60-AJ=-nA =
Cosf180*+A)=-CosA 7 Cos[160'-AJ=sCosA +
Tanl1B0'+A)]=sTanA * Tan[360'=AJ=-lanA ~

17. Kegiatan Belajar 2

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Menentukan
Menentukan daerah
persamaan penyelesaian
garis. dari suatu
pertidaksamaan
linier.
Menentukan
kemiringan
suatu garis yang
diketahui

persamaannya

18. A. Persamaan Linier

Pengertian
Persamaan Persamaan merupakan suatu kalimat terbuka
yang dihubungkan dengan simbol sama dengan
(=) pada kedua ruasnya.
Kalimat Sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung
Terbuka satu atau lebih variabel yang nilai kebenarannya
belum diketahui.
Persamaan Sebuah persamaan yang setiap suku nya
Linear mengandung konstanta dengan variabel nya

yang berderajat satu atau tunggal dan
persamaan ini, bisa digambarkan dengan
sebuah gambar grafik dalam sistem koordinat
kartesius.

19. Contoh :

1. x+2=15

2. x+2y=7

3. x+2y+3z=6

Ketiga persamaan di atas sama-sama disebut persamaan linier, namun karena
ada persamaan yang memiliki satu variabel, dua variabel, dan tiga variabel,
maka ada yang disebut persamaan linear satu variabel, persamaan linear dua
variabel, dan persamaan linier tiga variabel.

“Komponen atau unsur yang berhubungan dengan persamaan linear”

20. Persamaan Linier Dua Variabel

a. Bentuk Umum Persamaan Linier Dua Variabel

y=ax+b atau ax + b

Dengan x dan y € (bilangan real}

Catatan : Persamaan linier dua variabel sering dimaknai sebagai
sebagai dua hal yang sama dengan fungsi linier jika ingin menekankan

konsep fungsi dari relasi pasangan x dan y. Sehingga dapat ditulis :

f(x) = ax +b

21. b. Penyelesaian Persamaan Linier Dua Variabel

Adalah pasangan terurut dari bilangan (x, y) yang menyebabkan persamaan
menjadi pernyataan yang bernilai benar.

Contoh :
Tunjukkan bahwa (4,4) adalah penyelesaian dari persamaan y =x +2

Jawab :
Untuk mengetahui apakah (4,4) adalah penyelesaian dari y =r + 2, gantilah

1. x pada persamaan dengan 4
2. y pada persamaan dengan 4

= Jika hasilnya tidak sama, berarti bahwa (4,4) bukan penyelesaian dari
persamaan y =x +2.

= Jika hasilnya sama, berarti bahwa (4,4) adalah penyelesaian dari
persamaan y =5x + 2.

22. 1
y=zı+2

2
ul
2
4=2+2

4 = 4 (ternyata hasilnya sama)

“Jadi benar bahwa (4,4) adalah penyelesaian dari persamaan y = $x +2"

Catatan :

Secara umum, persamaan linear dua variabel mempunyai penyelesaian yang
tidak terbatas banyaknya. Dengan memilih berapapun nilai untuk (x) dan
mendistribusikan nilai (x) tersebut ke dalam persamaan tersebut menjadi
pernyataan yang bernilai benar. a

23. c. Menggambar Persamaan Linier Dua Variabel
Q Setiap penyelesaian suatu persamaan linier dapat
ditunjukkan/direpresentasikan secara visual pada sistem koordinat
kartesius.
Q Representasi dari penyelesaian suatu persamaan linier adalah garis.

Q Garis tersebut dapat ditentukan melalui dua titik.

Langkah menggambar :

1. Membuat sistem koordinat kartesius.

2. Menentukan sedikitnya dua titik sebagai penyelesaian dari persamaan
linier dan meletakkannya pada sistem koordinat kartesius.

3. Sebaiknya tambahkan lagi satu atau lebih titik penyelesaian lainnya,

jika semua titik tersebut segaris maka pekerjaan kita benar.

24. Contoh :
Gambarlah persamaan 4x-2y = 8

Penyelesaian :

Q Menentukan titik potong garis terhadap sumbu-x (x-intercept).

Q Menentukan titik potong garis terhadap sumbu-y (y-intercept).

O Kedua langkah di atas dapat kita sederhanakan dengan tabel berikut :

Lo | 41]
> y= 0 disubstitusikan ke persamaan 4x-2y = 8, maka:
4x-2y = 8
4x-2.0=8
4x=8
x = 8/4
x=2
+ x = 0 disubstitusikan ke persamaan 4x-2y = 8, maka :
4x-2y = 8
4.0-2y =8
-2y =8
y = 8/-2
x=-4

25. O Meletakkan kedua titik tersebut pada bidang koordinat.
Q Menghubungkan kedua titik menjadi sebuah garis, maka diperoleh gambar
garis 4x-2y = 8

Untuk lebih jelasnya, perhatikan modul him. 7.44 !

26. d. Kemiringan atau Gradien Garis
Gradien menunjukkan kemiringan dari suatu persamaan terhadap garis x.
Gradien dinotasikan dengan huruf m.

Y

Kemiringan/gradien adalah perbandingan antara jarak garis yang
diproyeksikan ke sumbu y terhadap proyeksi garis terhadap sumbu x.

Contoh :
Gambarlah persamaan garis y = 2x.

28. Macam- Macam Gradien :

1. Gradien garis lurus positif, jika arah garis dari kiri ke kanan atas.

2. Gradien garis lurus yang sejajar sumbu-x adalah nol, karena arah garis
vertikal tidak ada.

3. Gradien garis lurus negatif, jika arah garis dari kiri ke kanan bawah.

4. Gradien garis lurus yang sejajar sumbu-y tidak terdefinisi, karena arah garis
horizontal tidak ada ( menyebabkan pembaginya nol dan hasilnya tidak
didefinisikan). Hal ini berarti garis yang sejajar sumbu-y tidak mempunyai
gradien.

5. Misalnya garis lurus k gradiennya m, dan garis j gradiennya m, . Jika garis k
dan j saling tegak lurus, maka gradien-gradiennya menunjukkan hubungan
M =- —dengan m; #0 atau m,-m,=-1.

6. Garis-garis yang sejajar (paralel) mempunyai gradien yang sama.

1

t Ny ri | Grocer man

ip RER roe
— +, ES! I El x
a a

Gambar 7.31. Macam-macam Gradien Garts,

—

29. e. Menentukan Persamaan Garis

O Melalui sebuah titik dengan gradien tertentu.

Jika (x,,y,) adalah titik pada garis dan (x,y) adalah titik lain pada garis yang
sama, maka gradien dari (x,, y,) dan (x,y) adalah :

Persamaan di atas dapat diubah menjadi y — y, = m(x — x,)

Contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,1) dan gradien 3.

Jawaban :

y-yı= m(x-x)

y-1=3(x-2)

y-1=3x-6

y=3x-6+1 $

y=3x-5

30. O Melalui dua buah titik.
(x, 41) dan (x2, y2) adalah titi-titik pada satu garis dan (x,y) adalah titik lain
pada garis yang sama.
> Gradien garis dari (x, y.) ke (x,y) adalah m,.
> Gradien garis dari (x,,y,) ke (x2, y2) adalah m2.

Sehingga :

m, = a dan m; = ern

> Karena (x,y), (x1,y1), dan (x2, y2) terletak pada garis yang sama maka
gradien garis dari (x,, y.) ke (x,y) sama dengan gradien garis dari (x,, y,)

ke (xz, ¥2).

Sehingga :

m, = M2

et rn A Bo
ee he x
ASE a EM)

2

A _ EN y-yı =m(x-x,) dengan

Y2—Y1 Ark
weich ®
X27X1

31. Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3) dan (5,1).

Jawaban :
O Menentukan gradien

m= YY
ca Nae |

_1={3)
~ 5-2

m==
3

Q Menentukan persamaan garis yang melalui (2,-3) dengan gradien L
Ph = MH)
y—(-3) =$ (x-2)

32. B. Pertidaksamaan Linier

Jika diartikan per kata, pertidaksamaan linear tersusun
dari dua kata yaitu “pertidaksamaan” dan “linear”.

Pertidaksamaan merupakan suatu bentuk/kalimat
matematis yang memuat tanda lebih dari“ >“, kurang dari
* <*, lebih dari atau sama dengan “ = “, dan kurang dari
atau sama dengan “ <*.

Sementara itu, linear dapat diartikan sebagai suatu
bentuk aljabar dengan variabel pangkat tertingginya
adalah satu.

33. Pertidaksamaan linier dalam x dan y dapat ditulis dalam salah satu bentuk-
bentuk berikut :

1. ax + by <c

2. ax + by <c

3. ax + by >c

4. ax + by 2c

dimana a, b, dan c adalah bilangan real, dan a dan b tidak sama dengan nol.

a. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier
Adalah penyelesaian dari pertidaksamaan linier yang merupakan pasangan
terurut dari bilangan real yang menyebabkan pertidaksamaan menjadi
pernyataan yang bernilai benar.

Contoh :
Apakah titik (3,2) dan (5,1) merupakan penyelesaian dari 3x-2y <6 ?

Jawaban :
O Titik (3,2) disubstitusikan ke pertidaksamaan 3x-2y <6,
3x-2y <6

3.3-2.2 <6
9-4 <6

5 <6 (benar)
O Titik (5,1), Silahkan kalian coba !

34. b. Gambar Himpunan Penyelesaian dari Pertidaksamaan Linier
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 2x + 3y = 12

Jawaban :

O Langkah pertama adalah lukis garis 2x + 3y = 12 dengan cara menghubungkan titik
potong garis dengan sumbu x dan sumbu y.

O Cari dua titik untuk menggambar garisnya.

[| x | y
| o | 4
| 6 | o
Q Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian, maka
dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah.

O Sebagai contoh di sini kita ambil titik (0,0). Lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan
sehingga akan kita peroleh:

2x + 3y2 12

2.0+3.0212

0212

Sehingga, 0 > 12 salah, yang berarti tidak dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.
Jadi, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang tidak masuk dalam titik “0

35. Gambar garis 2x + 3y = 12

Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian 2x + 3y 2 12

36. TERIMARASTE

a SYUKROp

MA 5 '
TUR Nuwun GRACE

THANK? ou PR

Kansgp, Map, CI

NOS
ARIGATO