material teórico : Introducción a la geometría

Material teórico introducción a la geometria 4to año de bachillerato

1. Introducción a
la geometría

2. Demostraciones algebraicas
Demostraciones en matemáticas
Una demostración se puede entender como un argumento lógico en el cual cada
enunciado es sustentado por otros enunciados que se aceptan como ciertos. Es
utilizada para probar afirmaciones partiendo de hechos ya conocidos.

Importancia: En matemáticas no basta con que
algo "parezca cierto" o funcione en algunos
casos. Necesitamos estar completamente
seguros. Una demostración es una garantía total
de que algo siempre es cierto, sin importar los
valores o ejemplos que se usen.

3. Ejemplo
Afirmación: Si dos números son pares, entonces su suma será
un número par.
Recordatorio: un número es
par si se puede escribir de la
forma 2�, donde � es un
entero. Ejemplo; 6 es par
porque 6=2(3),−10 es par
porque −10=2(−5).
¿0 es par?

4. Demostraciones algebraicas
Propiedades de la igualdad
Importante: las propiedades de la
igualdad son afirmaciones que
aceptaremos como verdad y que
utilizaremos para probar enunciados
como el siguiente:
Si 2�−3+4=10, entonces �=6

5. Ejemplo
Demostraciones en tabla
Demostrar que, si 2�−3+4=10, entonces �=6
Ejercicios

6. Introducción a la geometría
Términos primitivos
¿Qué es un punto?

Las palabras anteriores se denominan “Términos primitivos” porque no se pueden
definir de manera formal. Podemos entender y visualizar de manera conjunta lo que son,
pero no se pueden lograr definir.
¿Qué es una recta? ¿Qué es un plano?
Un punto lo podemos
entender (no definir) como
lo que se ve en la imagen
anterior. Lo vamos a
denotar con una letra
mayúscula.
�
Una recta la podemos entender (no
definir) como lo que se ve en la
imagen anterior. La vamos a
denotar, por ahora, con una letra
minúscula.
�
Un plano lo podemos entender (no definir)
como lo que se ve en la imagen anterior. Pensar
en el plano como un conjunto de infinitos
puntos. Así, una recta se considerará como un
subconjunto del plano.

7. Estructura axiomática de la geometría
El estudio de la geometría lo haremos a partir de leyes y afirmaciones que
aceptaremos como verdad. Estas afirmaciones se conocen como postulados o
axiomas.
Postulados (o axioma): Enunciado que consideraremos cierto sin necesidad de
ser demostrado.
Conjetura: Es una afirmación o proposición que se supone verdadera, pero que
aún no ha sido demostrada ni refutada.
Teorema: Enunciado que ha sido demostrado.
Corolario: Enunciado que se deduce inmediatamente de otro teorema ya
demostrado, sin necesidad de una demostración extensa .
Lema: Enunciado que se ha demostrado y que se utiliza para probar teoremas más
grandes o resultados importantes.

8. Postulado 1 (De la recta)
Por cada par de puntos distintos pasa una única recta.
Importante: Recuerda que
un punto en el plano se
representa por una letra
mayúscula.
Para denotar una recta que está
determinada por dos puntos,
digamos A y B; se escribe:��.
Colinealidad: Diremos que tres o más puntos son colineales si se encuentran sobre
la misma recta.

9. Postulado 2 (De la regla)
a)A los puntos sobre una recta se le pueden asociar exactamente un número real.
b)Cada par de puntos tiene asociado un único número real no negativo al que
llamaremos distancia del uno al otro.
Para denotar la distancia entre un punto A y un punto B, se escribirá: ��
Ejemplo:
��=5 ��
Ejercicio:
1) �,�,� son tres puntos de una recta. ��=
��=10. La coordenada de C es 8 y la coordenada
de A es mayor que la coordenada de B ¿Cuáles son
las coordenadas de A y B?

10. Interposición
Un punto B está entre dos puntos distintos A y C si:
a)B es distinto de A y C
b)B está en��
c)��+��=��
Para expresar que B está entre A y C, se escribe: �−�−�.
Ejemplos y ejercicios: En la recta��,B está entre A y C.
a)Encuentre �� �?????? ��=9 � ��=13
b)Encuentre �� �?????? ��=25 � ��=11
c)Encuentre � �?????? ��=�,��=�+3 � ��=21
d)P, Q, R son tres puntos de una recta. Si ��=12,��=7,��=5, ¿qué punto está
entre los otros dos?

11. Segmento y punto medio
Es una figura geométrica formada por:
a)Dos puntos distintos, denominados extremos.
b)Todos los puntos que están entre los anteriores.
Representamos un segmento con extremos A y B con la simbología:��
Punto medio
Un punto es “punto medio” de un segmento si:
a)Está entre los extremos del segmento.
b)Equidista de los extremos del segmento.

Congruencia e igualdad
•Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Si dos segmentos,
��,�� son congruentes, se escribe:��≅��.
•Dos segmentos son iguales si los puntos extremos coinciden.

12. Ejemplos y ejercicios
1)Sabiendo que ��=4,CD=3�−1−22�+3 y que��≅��, determinar
�.
2)Sabiendo que ��=2x−3,CD=x+1 y que��≅��, demostrar que �=4.
3)Sea M el punto medio de��, tal que ��=2
??????+3
5
y ��=
??????−4
2
+1. Determinar
x.
4)Sea M el punto medio de��, tal que ��=
??????
2
+1 y ��=4+
??????
3
. Determinar x.
5)Sea ��=
3??????−2
2
+3, C�=�+4 y ��=16, además, los puntos A, B y C, están
�−�−�. Demostrar que � es el punto medio de��.

13. Dado: ��=��
Demostrar: �� ≅��

Demostración:
Proposición Razones
��=��
Definición de interposición
��+��=��+��
��=��

14. Dado: � es el punto medio de ��
Demostrar: ��=
1
2
(��)

Demostración:
Proposición Razones
Dado
Definición de punto medio
��+��=��
��+��=��
Propiedad de la sustitución
Propiedad de la división de la igualdad

15. Rayo
Es una figura geométrica formada por:
a)Un punto, que llamaremos origen del rayo.
b)Otro punto distinto, del que diremos que
establece la dirección del rayo.
c)Todos los puntos que están del mismo lado,
respecto al origen, que el que establece la
dirección.
Si el origen es A y el que establece la dirección es B,
el rayo se denotará por la simbología:��

16. Rayo opuesto
Un rayo es opuesto a otro si:
a)Tienen el mismo origen.
b)Los puntos que establecen la dirección de cada
uno de ellos están en lados opuestos del origen
común.

17. Ángulo
Es una figura geométrica formada por dos
rayos no colineales que tienen el mismo
origen.
Los rayos que componen al ángulo se llamarán
lados, el origen común el vértice.
Si A es el vértice, B el que establece la
dirección de uno de los dos rayos, y C el que
establece la dirección del segundo, entonces el
ángulo que determina se denotará por: ∠���

18. Ejemplos y ejercicios
Escribir los ángulos que se determinan en la figura:

19. Interior y exterior de un ángulo
Un punto P está en el interior de un ángulo
∠���, si se cumple:
a)P y B están del mismo lado de��.
b)P y C están del mismo lado de��.

20. Ángulo adyacentes o consecutivos
Un ángulo es adyacente a otro, si:
a)Tiene un lado común.
b)El punto que establece la dirección de ese lado está en
el interior del ángulo formado por los otros dos lados.
En diversos contextos diremos que el ángulo formado por
los lados no comunes es el ángulo abarcante.
Par lineal
Un ángulo es pareja lineal de otro ángulo, si:
a)Tiene un lado común.
b)Los otros dos lados son rayos opuestos.

21. Postulado del transportador
a)Medida del ángulo: Cada ángulo tiene asociado un único real
comprendido estrictamente entre 0 y 180, al que llamaremos la medida
del ángulo.
La medida de un ángulo ∠��� se denotará por �∠���.
b) Adición de ángulos: La suma de las medidas de dos ángulos adyacentes es
la medida del ángulo abarcante.
c) Del par lineal: La suma de las medidas de dos ángulos que son pareja
lineal es 180.

22. Ejemplos y ejercicios
2) En la figura, �∠1=� y �∠2=�. Si �−�=24, encuentre x y �.
1) En el dibujo, �∠1=� y �∠2=�. Si �∠���=67 y �−�=13, encuentre x y �.

23. Ejercicios
1) Si �∠���=38, �∠���=40 y �∠���=61, encuentrey m∠���

24. Tipos de ángulos.
Un ángulo es:
a)Agudo: Si su medida es menor a 90.
b) Obtuso: Si su medida es mayor a 90.
c) Recto: Si su medida es exactamente de 90.
Dos ángulos son:
a)Suplementarios: Si la suma de sus medidas es 180.
b) Complementarios: Si la suma de sus medidas es 90.

25. Ejemplos y ejercicios
1)Si la diferencia de dos ángulos complementarios es 48, calcula la medida del menor
ángulo.
1)Dos ángulos son suplementarios. Un ángulo es 40 unidades mayor que cuatro veces
el otro ángulo. Encuentre las medidas de ambos ángulos.
2)Si la diferencia de dos ángulos suplementarios es 56. Calcula la medida del menor
de ellos.

26. Congruencia de ángulos
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.
Si los ángulos ∠� y ∠�, para denotar su congruencia se usa el
símbolo ≅:
∠�≅∠�
Igualdad de ángulos
Dos ángulos son iguales si, y sólo si, cada lado del uno es igual a un lado del
otro.

27. Bisector de un ángulo
El bisector de un ángulo es un rayo tal que:
a)Su origen es el vértice del ángulo.
b)El punto que establece su dirección está en el
interior del ángulo.
c)Los ángulos adyacentes que determina son
congruentes.

28. Ejemplos y ejercicios
1)En la figura,�� y�� son rayos opuestos, y��
biseca al ángulo ∠���.
a)Si �∠���=7�−5,�∠���=�+1, busca
�∠���.
b)Si �∠���=7�−9,�∠���=4�−3, busca
�∠���.
2) En la figura,�� y�� son rayos opuestos, y�� biseca al
ángulo ∠AXC.
a)Si �∠���=8�−7,�∠���=3�+10, busca
�∠���.
b)Si �∠���=4�+6,�∠���=3�+1,
�∠���=8�−2 , busca �∠���.

29. Ángulos opuestos por el vértice
Un ángulo es opuesto por el vértice a otro ángulo, si
sus lados forman dos pares de rayos opuestos.

30. Usar la figura para resolver los siguientes ejercicios.
1.Si �∠���=8�+12 y �∠���=12�−32, busca m∠���
2. Si �∠���=2�+�, �∠���=�+40 y �∠���=3�−� ℎ����� �

31. Ejercicios (demostraciones en tabla)