Matlab integración numérica, método del trapecio

Matlab integración numérica, método del trapecio

1. Matlab Integración Numérica, Método del Trapecio Clase 12 16-Julio-2014

2. Integración Numérica en Matlab En ciertas ocasiones nos encontramos con funciones para las que no podemos hallar una primitiva, esto puede deberse por supuesto a falta de habilidad de nuestra parte, aunque también ocurre que alguna funciones elementales simplemente no tienen primitivas que al igual sean funciones elementales que podamos calcular, por ejemplo, no hay funciones elementales que tengan alguna de las siguientes como su derivada:

3. Integración Numérica en Matlab Funciones que no tienen primitivas, en estos casos se recurre a los métodos numéricos para integrarlas.

4. Integración Numérica en Matlab Recordemos que : Función primitiva o antiderivada de una función dada , es otra función cuya derivada es la función dada . Si una función tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante .  

5. Integración Numérica en Matlab Cuando se desea calcular una integral definida que contiene una función cuya primitiva no podemos hallar, entonces no se puede aplicar el teorema fundamental del cálculo y es aquí cuando se debe recurrir a una técnica de aproximación.

6. Regla de los Trapecios. Una forma de aproximar una integral definida, consiste en usas N trapecios, como se muestra en la figura 1. En el desarrollo de este método, se supone que f es continua y positiva en el intervalo y que la integral definida representa el área de la región limitada por la gráfica de y el eje , desde .  

7. Regla de los Trapecios. Figura 1: Función , el área bajo la curva, se puede aproximar mediante n trapecios, en este caso  4 trapecios.  

8. Regla de los Trapecios. En el caso de las aproximaciones de las integrales por el método de los trapecios, es tan simple tanto en descripción como a nivel de código, como es sabido, es por esto, que nos limitaremos únicamente a la utilización de la “formula” y los pasos que se deben seguir para implementar nuestro método; el algoritmo es el siguiente:

9. Regla de los Trapecios. En primer lugar se parte el intervalo comprendido entre en subintervalos más pequeños, definidos por la variable , nombrando el ancho de esos subintervalos como (que en nuestro caso representa a ).  

10. Regla de los Trapecios. Se realiza la siguiente serie Como se puede observar, es una sumatoria, donde todos los términos están multiplicados por 2 excepto el primero y el ultimo termino y posteriormente están multiplicados todos por lo que podríamos llamar entonces .  

11. Código en Matlab. En esto punto crearemos una función en Matlab, que nos permita aproximar aquellas funciones de las que se habló con anterioridad, manteniendo los criterios ya mencionados en primer lugar, crearemos en nuestro directorio una función llamada intrap (integrales por trapecios), que recibirá como parámetros, el la función, el limite inferior y el limite superior; también pudiéramos recibir como parámetro el numero de subintervalos deseados , nosotros lo definimos como 400 ya que por lo regular las regiones a integrar no son muy grandes, pero la modificación del código es libre y si quieres, puedes modificar también el parámetro (también se puede hacer, para aumentar la precisión).  

12. Código en Matlab.

13. Código en Matlab. Posteriormente, como dijimos le daremos el valor de aunque esto depende de su elección a la hora de montar el programa como recibiendo el parámetro, en este punto se calcula el valor de con la formula que se vio en el punto 1 del algoritmo, también se evalúa el primer termino de la serie, ya que este no esta multiplicado por 2 y es el resultado de evaluar la expresión en el limite inferior.  

14. Código en Matlab.

15. Código en Matlab. Ahora se usará un ciclo FOR para contar el número de iteraciones, las cuales dependerán del número de subintervalos , la variable i se inicia con un valor de 2 , para descontar la evaluación del primer termino que se hizo al inicio del programa, y para descontar la ultima iteración, que se hará luego de termino el FOR, ya que esta ultima tampoco esta multiplicada por 2.

16. Código en Matlab.

17. Código en Matlab. Luego de terminado el ciclo FOR , se procede a hacer la evaluación del n- ésimo termino, es decir, el ultimo termino, después de esto, como se comentó al final de algoritmo, se multiplican todos los términos sumados , así:  

18. Código en Matlab. Finalmente después de ejecutado todo el código, el programa nos retornará una buena aproximación de la integral que queremos hallar por más difícil que esta sea.

19. Código en Matlab. La forma correcta de utilizar esta función, en nuestro caso es, declarando inicialmente una variable simbólica por ejemplo posteriormente podemos nombrar una función y llamar a la función donde será el limite inferior de nuestro intervalo de integración y el superior, el funcionamiento se ilustra a continuación donde los limites de la función serán de .  

20. Código en Matlab.

21. Código en Matlab. El valor exacto, como resultado de llevar a cabo la integración de entre ; en el ejemplo anterior podemos notar la aproximación llevada a cabo mediante el método del trapecio .  

22. Código alternativo en Matlab. La función integral recibe la función , los limites y el número de trapecios para el cálculo. Hay que definir previamente la función .  

23. Código alternativo en Matlab.

24. Código alternativo en Matlab. Ejemplo Evalué la siguiente integral Analíticamente Con el uso de la herramienta Matlab  

25. Código alternativo en Matlab. Primero declaramos la función  

26. Código alternativo en Matlab. Segundo ejecución y resultado