Matriks ushsgaia iskssbsbwkslsksbs kskss.ppt

Ajkslsnsba aksjsveve eksksbs d sksjsbss

1. September 3, 2025

2. membahas
Terdiri atas
Beguna
untuk
membahas
Perkalian Matriks
Perkalian dengan
Skalar
Pengurangan
Penjumlahan
Transpose
Penyelesaian
SPL
Determinan Invers
Determinan dan
Invers
Operasi
Matriks
Jenis-Jenis
Matriks
Notasi dan Ordo
Matriks
September 3, 2025

3. Cobalah kalian cari data berat badan, tinggi badan, dan
umur orang-orang di sekelilingmu. Isikan data tersebut
ke dalam tabel berikut.
Apa yang dapat kalian jelaskan tentang tabel tersebut?
Apa arti dari elemen atau angka dalam tabel tersebut?
Kriteria Ayah Ibu Adik
Berat badan …. …. …
Tinggi badan …. …. …
Umur …. …. ….
September 3, 2025

4. 1.Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan bilangan yang ditulis menurut
baris dan kolom serta berada (ditandai) di dalam tanda
kurung, ( ) atau [ ].
Elemen matriks adalah masing-masing bilangan yang ada
di dalam tanda kurung tersebut.
Baris ke-1
Kolom ke-4
September 3, 2025

5. 2. Notasi dan Ordo Matriks
Suatu matriks A berukuran m x n adalah susunan bilangan
dalam bentuk persegi panjang dan terdiri atas m x n
elemen yang disusun dalam m baris dan n kolom.
Matriks A yang berordo m x n dapat dituliskan bentuk
umumnya sebagai A = [a
ij
], atau
September 3, 2025




















mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
......
..................
......
..................
......
......
21
21
222221
111211
A =

6. Contoh:
Diketahui matriks berikut.
Tentukan:
a. ordo matriks B;
b. elemen-elemen baris pertama;
c. elemen pada baris ke-3 dan kolom ke-2;
d. elemen pada baris ke-2 dan kolom ke-4.
September 3, 2025

7. Jawab:
a. Ordo matriks B adalah 5 x 4 atau dinotasikan B
5 x 4
.
b. Elemen-elemen baris pertama adalah 7, –5, 1, dan 8.
b
11
= 7, b
12
= –5,
b
13 = 1, dan b
14 = 8.
c. Elemen pada baris ke-3 dan kolom ke-2 adalah 3, ditulis
b
32 = 3.
d. Elemen pada baris ke-2 dan kolom ke-4 adalah 9, ditulis
b
24 = 9.
September 3, 2025

8. 3. Matriks-Matriks Khusus
a.Matriks Baris
Matriks baris adalah suatu matriks yang terdiri atas satu
baris saja. Misalnya:
b.Matriks Kolom
Matriks kolom adalah suatu matriks yang terdiri atas
satu kolom saja. Misalnya:
September 3, 2025

9. c.Matriks Persegi
Matriks persegi adalah suatu matriks dengan banyak baris

dan banyak kolom sama. Misalnya:
A merupakan matriks persegi ordo 2, dapat ditulis A
2 x 2
.
d.Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap
elemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya
bernilai 0 (nol). Misalnya:
September 3, 2025

10. e.Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks persegi dengan semua
elemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen
lainnya semuanya 0 (nol). Misalnya:
f.Matriks Nol
Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya
0 (nol). Misalnya:
September 3, 2025

11. 4.Transpose Suatu Matriks
Transpose matriks A yang berordo m x n adalah sebuah
matriks berordo n x m yang diperoleh dari matriks A dengan
menukar elemen baris menjadi elemen kolom dan
sebaliknya. Notasi transpose matriks A adalah A
T
.
September 3, 2025
Misalnya diketahui .
Transposenya adalah .
Tampak bahwa ordo matriks A adalah 2 x 3, sedangkan ordo
A
T
adalah 3 x 2.

12. Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B.
Jika matriks A dan B mempunyai ordo yang sama dan
semua elemen yang seletak bernilai sama.
September 3, 2025
Contoh:
Tentukan nilai x, y, dan z jika diketahui .
Jawab:
Karena kedua matriks di atas sama dan elemen-elemen
yang seletak bernilai sama maka diperoleh
Baris ke-1 kolom ke-1: x = 2
Baris ke-1 kolom ke-2: 12 = 3y  y = 4
Baris ke-2 kolom ke-2: 2 – y = z  z = –2
Jadi, x = 2, y = 4, dan z = –2.

13. 1.Penjumlahan Matriks
Jumlah matriks A dan B, ditulis matriks A + B,
didefinisikan sebagai sebuah matriks C = [c
ij
] yang
diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang
seletak dari matriks A dan B.
Syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan adalah
mempunyai ordo yang sama.
September 3, 2025

14. Contoh:
Diketahui , , dan .

Tentukan:
a. A + B; b. A + C.
Jawab:
a.
b.A dan C tidak dapat dijumlahkan karena ordonya berbeda.
September 3, 2025

15. 2. Pengurangan Matriks
a.Lawan Suatu Matriks
Lawan suatu matriks A adalah suatu matriks yang
elemen-elemennya merupakan lawan dari elemen-
elemen matriks A.
Matriks A = [a
ij
] dapat dibentuk lawan matriks yang ditulis
, dengan –A sehingga –A = [–a
ij
].
Dengan demikian, lawan matriks A adalah
September 3, 2025

16. b. Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks A oleh B ditulis
A – B = A + (–B)
Syarat agar dua matriks atau lebih dapat dikurangkan
adalah matriks-matriks mempunyai ordo yang sama.
September 3, 2025
Contoh:
Hitunglah X jika .
Jawab:


17. 3. Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks
Jika A, B, dan C matriks-matriks yang berordo sama, yaitu
m x n, pada penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut:
a. A + B = B + A ……… (sifat komutatif)
b. A + B + C = A + (B + C) ……. (sifat asosiatif)
c. Unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga
A + O = O + A = A.
d. Invers penjumlahan A adalah –A sehingga
A + (–A) = (– A) + A = O.
September 3, 2025

18. 1.Pengertian Perkalian Bilangan Real (Skalar) dengan
Matriks
Perkalian matriks A dengan skalar k, ditulis kA maksudnya
mengalikan semua elemen matriks A dengan skalar k.
September 3, 2025

19. Contoh:
Diketahui dan .
a. 6B;
b. –3A + 2B.
Jawab:
a.
b.
September 3, 2025

20. 2. Sifat-Sifat Perkalian Bilangan Real (Skalar) dengan
Matriks
Misalkan A dan B matriks-matriks berordo m x n serta k
1
dan k
2 bilangan real (skalar) maka berlaku sifat-sifat berikut.
1) k
1
(A + B) = k
1
A + k
1
B
2) (k
1
+ k
2
)A = k
1
A + k
2
A
3) k
1(k
2A) = (k
1k
2)A
September 3, 2025

21. 1.Pengertian Perkalian Matriks
Misalkan A matriks m x p dan B matriks berordo p x n
maka A x B adalah suatu matriks C = [c
ij] berordo m x n
yang elemen-elemennya pada baris ke-i kolom ke-j, yaitu
c
ij
diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen-elemen
yang bersesuaian pada baris ke-i matriks A dan kolom ke-
j matriks B, untuk i = 1, 2, 3, ..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n.
September 3, 2025

22. Contoh:
Diketahui matriks , , dan
.
Tentukan
a. A x B;
b. B x C;
c. C x D;
d. A x C.
September 3, 2025

23. Jawab:
Matriks A berordo 2 x 1, matriks B berordo 1 x 2, matriks C
berordo 2 x 2, dan matriks D berordo 2 x 3.
a. Perkalian antara matriks A dan B dapat dilakukan sebab
sehingga
September 3, 2025

24. September 3, 2025
 18
b. Perkalian antara matriks A dan B dapat dilakukan sebab
sehingga

25. c.Perkalian antara matriks C dan D dapat dilakukan sebab
sehingga
September 3, 2025

26. d.Perkalian matriks A x C tidak dapat dikalikan karena
banyak kolom pada matriks A tidak sama dengan banyak
baris matriks C atau
(tidak dapat dikalikan).
September 3, 2025

27. 2. Sifat-Sifat Perkalian Matriks
Misalkan matriks A, B, dan C dapat dikalikan atau
dijumlahkan, jika k bilangan real (skalar), berlaku sifat-sifat
perkalian matriks sebagai berikut.
a. Tidak komutatif, yaitu A x B ≠ B x A.
b. Asosiatif, yaitu (A x B) x C = A x (B x C).
c. Distributif, yaitu
1)distributif kiri: A x (B + C) = (A x B) + (A x C);
2)distributif kanan: (A + B) x C = (A x C) + (B x C).
September 3, 2025

28. d.Perkalian matriks persegi dengan matriks identitas I, yaitu
A x I = I x A = A.
Perkalian matriks identitas dengan matriks A berordo m x n:
1)Jika A berordo m x n dan matriks I
m
berordo m x m
maka I
m x A
m x n = A
m x n dan A
m x n x I
m tidak terdefinisi;
2)Jika A berordo m x n dan matriks I
n
berordo n x n
maka A
m x n
x I
n
= A
m x n
dan I
n
x A
m x n
tidak terdefinisi.
e.Perkalian dengan matriks O, yaitu A x O = O x A = O.
f.Perkalian dengan skalar, yaitu (kA) x B = k(A x B).
September 3, 2025

29. 3. Perpangkatan Matriks Persegi
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu
matriks persegi maka A pangkat n didefinisikan:
Atau, dapat juga dituliskan:
September 3, 2025

30. Contoh:
Diketahui matriks . Tentukan
a. A
2
;
b. A
3
;
c. 2A
4
.
Jawab:
a. A
2
= A × A
b. A
3
= A × A
2
c. 2A
4
= 2A × A
3
September 3, 2025

31. 1.Determinan Suatu Matriks
a.Determinan Matriks Ordo 2 x 2
Determinan dari matriks A = adalah
Contoh:
Tentukan determinan matriks .
Jawab:
September 3, 2025
bcad
dc
ba
AA det||






dc
ba

32. September 3, 2025
b. Determinan Matriks Ordo 3 × 3
1)Aturan Sarrus
Menghitung determinan matriks A
3 x 3
(+)
(+)(+)
(-)(-) (-)
= a
11
a
22
a
33+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
– a
13a
22a
31– a
11a
23a
32– a
12a
21a
33

33. 2)Metode Minor-Kofaktor
Misalkan matriks A dituliskan dengan (a
ij
). Minor elemen a
ij
(dinotasikan dengan M
ij) adalah determinan matriks baru setelah
elemen-elemen baris ke- i dan kolom ke- j dihilangkan.
Misalnya, matriks A
3x3 dihilangkan baris ke-1 kolom ke-1 sehingga
diperoleh M
11 =
M
11
adalah minor dari elemen matriks A baris ke-1 kolom ke-1 atau
M
11 = minor a
11.
September 3, 2025

34. Kofaktor elemen a
ij, dinotasikan K
ij adalah hasil kali (-1)
i+j

dengan minor elemen tersebut adalah
Dari matriks A di atas diperoleh (misalnya) kofaktor a
21 dan
a
13 berturut-turut adalah
Kofaktor dari matriks A
3x3 adalah
Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari
perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan
kofaktornya.
September 3, 2025

35. Jadi, determinan matriks A di atas dapat ditentukan sbb:
a)Menurut baris pertama
det A = a
11 K
11 + a
12 K
12 + a
13 K
13
b) Menurut baris kedua
det A = a
21
K
21
+ a
22
K
22
+ a
23
K
23
c) Menurut baris ketiga
det A = a
31 K
31 + a
32 K
32 + a
33 K
33
d) Menurut kolom kesatu
det A = a
11
K
11
+ a
21
K
21
+ a
31
K
31
e) Menurut kolom kedua
det A = a
12 K
12 + a
22 K
22 + a
32 K
32
f) Menurut kolom ketiga
det A = a
13 K
13 + a
23 K
23 + a
33 K
33
September 3, 2025

36. Contoh:
Tentukan determinan dari matriks dengan
aturan Sarrus dan minor-kofaktor.
Jawab:
Cara 1: (Aturan Sarrus)
= (1 x 1 x 2) + (2 x 4 x 3) + (3 x 2 x 1)
– (3 x 1 x 3) – (1 x 4 x 1) – (2 x 2 x 2)
= 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8
= 11
September 3, 2025

37. Cara 2: (Minor-kofaktor)
Pilih baris pertama sehingga diperoleh
= –2 – 2(–8) + 3(–1)
= –2 + 16 – 3
= 11
September 3, 2025

38. 1. Misalkan A matriks persegi ordo n × n, dengan determinan
|A| dan B matriks persegi ordo n × n dengan determinan |
B|, k suatu konstanta.
a. |AB| = |A||B|
b. |A
T
| = |A|; (A
T
transpose dari A)
c. |kA| = k
n
|A|
d. ; (A
-1
invers dari A)
2. Jika elemen-elemen salah satu baris (kolom) matriks A
semuanya nol maka |A| = 0.
3. Jika dalam matriks A ada dua baris (kolom) atau lebih
yang elemen-elemennya sama (kelipatannya) maka
|A| = 0.
September 3, 2025

39. Contoh:
Diberikan matriks-matriks berikut:
Tentukan:
a. |A|
b. |B|
c. |AB|
d. |8B|
September 3, 2025

40. Jawab:
a.Dengan memanfaatkan sifat 2 maka |A| = 0.
(Perhatikan elemen-elemen baris ke-2).
b.Dengan memanfaatkan sifat 3 maka |B| = 0.
(Perhatikan elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3)
c.Dengan memanfaatkan sifat 1 (a), diperoleh
|AB| = |A| |B| = 0 x 0 = 0.
d.Dengan memanfaatkan sifat 1 (c), diperoleh n = 3 dan
k = 8.
|8B| = 8
3
|B| = 512 x 0 = 0
September 3, 2025

41. 2. Pengertian Invers Matriks
Matriks A dan B adalah matriks berordo n x n dan I
n adalah
matriks identitas berordo n x n.
Jika A x B = B x A = I
n
maka matriks A disebut invers dari
matriks B dan B disebut invers matriks A.
Matriks A mempunyai invers, dikatakan bahwa matriks
A adalah matriks nonsingular.
Jika A tidak mempunyai invers, matriks A disebut matriks
singular.
Invers matriks A ditulis A
-1
.
September 3, 2025

42. Contoh:
Diketahui dan
Selidiki, apakah A dan B saling invers?
Jawab:
Matriks A dan B saling invers jika berlaku A x B = B x A = I.
Karena A x B = B x A maka A dan B saling invers, dengan
A
-1
= B dan B
-1
= A.
September 3, 2025

43. 3. Menentukan Invers Matriks Berordo 2 x 2
Invers dari matriks dengan ad – bc ≠ 0 adalah
September 3, 2025
atau
Contoh:
Tentukan invers matriks .
Jawab:

44. 4. Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3
a.Dengan Adjoin
Adjoin A (ditulis adj (A)), yaitu transpose dari matriks yang
elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari
elemen-elemen matriks A.
Invers matriks persegi berordo 3 x 3 dirumuskan sebagai
berikut.
September 3, 2025

45. Contoh:
Diketahui matriks
Tentukan invers matriks A.
Jawab:
Determinan A dengan metode minor-kofaktor.
= 1(9 – 8) – 2(6 – 4) + 1(4 – 3)
= 1 – 4 + 1 = –2
September 3, 2025

46. Menentukan adj(A) dengan menentukan kofaktor matriks A
September 3, 2025

47. September 3, 2025

48. 5. Persamaan Matriks Bentuk AX = B dan XA = B
Untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk
AX = B dapat dilakukan dengan langkah berikut.
AX = B
 A
-1
(AX) = A
-1
B
 (A
-1
A)X = A
-1
B
 IX = A
-1
B
 X = A
-1
B
Analog untuk persamaan XA = B.
Dapat disimpulkan sebagai berikut.
Penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = A
-1
B.
Penyelesaian persamaan matriks XA = B adalah X = BA
-1
.
September 3, 2025

49. Contoh:
Diketahui dan
Tentukan matriks X yang memenuhi AX = B.
Jawab:
= 16 – 15 = 1 ≠ 0
Karena |A| = 1 ≠ 0, matriks A mempunyai invers.
Dengan mudah diperoleh .

AX = B  X = A
-1
B
September 3, 2025

50. September 3, 2025
1.Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Misalkan diketahui sistem persamaan:
Penyelesaiannya:
2.Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Misal sistem persamaan tiga variabel dinyatakan dalam AX = B.

51. Contoh 1:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut.
2x + y = 4
x + 3y = 7
Jawab:
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1 dan y = 2.
September 3, 2025

52. September 3, 2025
Contoh 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
berikut.
2x + y – z = 1
x + y + z = 6
x – 2y + z = 0
Jawab:
, ,
= 2(3) – 1(0) + (–1)(–3) = 9

53. September 3, 2025
Diperoleh x = 1, y = 2, dan z = 3. Himpunan penyelesaian
sistem persamaan di atas adalah {(1, 2, 3)}.

54. September 3, 2025
3. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dengan
Metode Determinan
Perhatikan sistem persamaan berikut.
Penyelesaiannya adalah

55. September 3, 2025
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear
berikut dengan metode determinan.
2x + y = 4
x – 2y = –3
Jawab:
Kita tentukan nilai D, D
x
, dan D
y
.

56. September 3, 2025
= – 4 – 1 = –5
= – 8 – (–3) = –5
= – 6 – 4 = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2)}.
21
12

D
23
14


xD
3
42


1
y
D

57. Misal diberikan sistem persamaan dalam matriks berikut.
Kita tentukan D, D
x, D
y, dan D
z dengan cara berikut.
Nilai x, y, dan z dapat ditentukan dengan cara berikut.
September 3, 2025

58. Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier
berikut dengan metode determinan.
x + y + z = 0
x + y – z = –2
x – y + z = 4
Jawab:
Sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat disusun
dalam bentuk matriks berikut.
September 3, 2025

59. Kita tentukan nilai D, D
x
, D
y
, dan D
z
.
September 3, 2025

60. Oleh karena itu,
Dengan demikian, diperoleh x = 1, y = –2, dan z = 1.
Jadi, himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah
{(1, –2, 1)}.
September 3, 2025