Matriz e Determinantes

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Matrizes e Determinantes

1. Matrizes
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 Definição: Uma matriz mxn (leia: m por n) é uma tabela de
números reais dispostos em m linhas e n colunas.

Exemplo:



 Observações:
 a
11, a
12, ..., a
1n são as elementos da 1ª linha da matriz;
 a
21, a
22, ..., a
2n são as elementos da 2ª linha da matriz;
a
11, a
21, a
31,..., a
m1 são as elementos da 1ª coluna da matriz;
a
12, a
22, a
32,..., a
m2 são as elementos da 2ª coluna da matriz;
FILA de uma matriz qualquer linha ou qualquer coluna
22
43
21
x
A








 222221
1211
x
aa
aa
A








 22
43
21
x
A








2. Matrizes
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 Classificação de matrizes:

 RETANGULAR se m n

 QUADRADA se m=n

MATRIZ LINHA se m=1

MATRIZ COLUNA se n=1

MATRIZ NULA mxn


 MATRIZ IDENTIDADE 







43
21 21 







3
1 







00
00 







10
01 









100
010
001 







069
213

3. Matrizes
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 Igualdade de matrizes:




 Propriedades da adição de matrizes:

 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

 Comutativa: A + B = B + A

 Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A

 Elemento oposto: A + (-A) = 0 (-A é a matriz oposta de A)

















tz
yx
41
32 










4
1
3
2
t
z
y
x

4. Matrizes
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 Multiplicação de um número real por uma matrizes:




 Multiplicação de Matriz por Matriz (A . B)

 A
3x3 . B
3x1 = C
3x1

 Somente está definido o produto A . B, se o número de
colunas da primeira matriz A e o número de linhas da segunda
matriz B são iguais. Nesta situação, as matrizes A e B serão
ditas conformes para a multiplicação.



























82
64
4.21.2
3.22.2
41
32
.2

5. Matrizes
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Multiplicação de Matriz por Matriz (A . B) 






31
12
A 






34
21
B 





















3.32.14.31.1
3.12.24.11.2
34
21
.
31
12
.BA 






1113
76
.BA
(A.B).C = A.(B.C) C.(A+B) = C.A + C.B

(A+B).C = A.C + B.C

A . B  B . A

6. Matrizes
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Transposta de uma Matriz A : A
t








 Inverte-se as linhas pelas colunas








31
52
A 






35
12
t
A 






3
2
B 32
t
B 






10
1
t
C 101C
(A
t
)
t
= A (k.B)
t
= k.B
t
(A + B)
t
= A
t
+ B
t
(A.B)
t
= A
t
.B
t

7. Matrizes
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 Exercício:

Multiplicando obtemos:

Qual o produto dos elementos a e b da primeira matriz ?

 Solução: Realizando a multiplicação da matriz obtemos:



 Por simples inspeção, verificamos que:
 2 + a = 4  a = 2
 3b = 0 b = 0  a.b = 0
















01
32
.
2
1
b
a 







02
34 



































02
34
322
32
01
32
.
2
1
bb
a
b
a

8. Matrizes
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 Exercício: Qual a representação matricial do seguinte sistema
linear:



 Solução:





















 2
1
.
11
32
y
x 




2
132
yx
yx

9. Matrizes
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Matriz Identidade:

 Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, e In a matriz
identidade de ordem n, teremos:
 A.I
n = I
n.A = A

 Inversão de matrizes: A.A
-1
= A
-1
.A = I
n 






31
52
A 









21
53
1
A 






















10
01
21
53
.
31
52
.
1
AA

10. Matrizes
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 Exercício: Obter a inversa da matriz A.

 Solução:

 A.A
-1
= I
2

















57
23
A 







tz
yx
A
1 




















10
01
.
57
23
.
1
tz
yx
AA 














10
01
5757
2323
tyzx
tyzx 




























3
2
157
023
7
5
057
123
t
y
ty
ty
z
x
zx
zx 









37
25
1
A

11. Determinantes
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 Determinante associado a uma matriz quadrada é um número
obtido a partir dos elementos dessa matriz (Não existe
determinante de uma matriz que não seja quadrada). 64104.15.2
54
12
)det( A
+ -

12. Determinantes
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054
123
001
)det( A
+
-
+
+
-
-

13. Determinantes
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Determinantes calculados por cofatores: 5)5(0.2
54
23
.0
04
13
.0
05
12
.1
054
123
001
)det(






A 













14. Determinantes
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Determinantes calculados por cofatores:    
   
20))5.(2.(2
49.266.5.2
)4(9.2)6(6.5.2
64
23
.0
34
13
2
36
12
.5.2
025
364
123
.2
364
201
123
.0
025
201
123
.0
025
364
123
.2
025
364
201
.0
0205
3604
2021
1203
)det(

































A 
















 













15. Determinantes
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 Propriedades:

 Se todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada A
são multiplicados por um número real k, então det(A) fica
multiplicado por k;



 Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um
número real k, então seu determinante fica multiplicado por k
n
; 335)67.(5
252
423
312
.5
2252
4103
352






D 100)1.(100)det(.10).10det(
73
52
2










AA
A

16. Determinantes
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 Propriedades:

 O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao
determinante de sua transposta;



 Se uma matriz quadrada forem nulos todos os elementos
situados de um mesmo lado da diagonal principal, o seu
determinante será igual ao produto do principal; )det()det( AA
t
 155.3.1
500
630
791
)det( A

17. Determinantes
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 Propriedades:

 Se todos elementos de uma fila de matriz quadrada A, forem
nulos, então detA = 0;




 Se uma matriz quadrada A possui duas filas paralelas iguais,
então detA = 0;

0
931
000
321
D 0
931
010
931
D 0
933
011
322
D

18. Determinantes
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 Propriedades:

 Se uma matriz quadrada A possui duas filas paralelas
proporcionais, então det A = 0;




 Se uma fila é uma combinação linear das demais filas
paralelas, então, det A = 0 0
936
012
324
D 0
931
1252
321
D

19. Determinantes
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 Exercício: Resolver a equação

 Solução:








 Por Soma e Produto as raízes da equação são -2 e 3. 532
321
0
3
22
2
xx
x
x


 xx
xx
x
x
x




2
2
2
532
321
0
62
3
22 xxx 
22
62 06
2
xx

20. Determinantes
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 Exercício: Para que valor de a equação

Terá duas raízes iguais ?

 Solução:





(duas raízes iguais =0)

 a = 0 0
110
0
00
xa
x 0).(
11
.
110
0
00
2
 xaxxax
xa
xxa
x 00).1.(4
0
22
2


aa
xax