Matriz escalonada

algebra

1. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 1/77
ÁlgebraLineal
Ma1010
Eliminacióngaussianayotrosalgoritmos
Departamento de Matemáticas
ITESM

2. Introducci´on Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 2/77
Introducción
Enestalecturaveremosprocedimientos
sistemáticospararesolverunsistemade
ecuacioneslineales.Estosalgoritmostrabajan
directamentesobrelamatrizaumentadadel
sistemallevándolaalamatrizdeunsistema
triangularqueesequivalentealsistemainicial.La
equivalenciadelsistematriangularnalconel
inicialseargumentadebidoaqueelalgoritmosólo
utilizalostrestiposdeoperacionesvistosenla
lecturaanteriorycuyaaplicaciónindividual
siemprepreservalaequivalencia.Los
procedimientosquerevisaremosson:elalgoritmo
deEliminaciónGaussiana,elalgoritmode
Gauss-JordanyelmétodoMontante.Finalmente,
serealizaráunarevisiónsobreeltrabajo
computacionalrealizadoporestasestrategias.

3. Introducci´on Objetivos Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 3/77
Objetivos
SeráimportantequeUsted
nEntiendalosconceptos:matrizescalonaday
escalonadareducida.
nEntiendaymecanicelosprocedimientosde
uEliminacióngaussiana,
uEliminacióndeGauss-Jordan,y
uElmétododeMontante.
nConozcalasdiferenciasenelprocederentrelos
algoritmosvistos.
nComprendalasreglasparaanalizarlas
solucionesaunsistemadeecuaciones.
nComprendaelconceptodecomplejidaddeun
algoritmo.
nConozcalasdiferenciasenloscostosde
cómputodelosalgoritmosvistos.

4. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 4/77
Formaescalonadaporrenglones
Unamatrizsedice
matrizescalonada
sicumple:

5. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 4/77
Formaescalonadaporrenglones
Unamatrizsedice
matrizescalonada
sicumple:
1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la
parte inferior de la matriz.

6. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 4/77
Formaescalonadaporrenglones
Unamatrizsedice
matrizescalonada
sicumple:
1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la
parte inferior de la matriz.
2. El elemento delantero de cada renglón no cero (después del
primer renglón) se encuentra a la derecha del elemento
delantero del renglón anterior.

7. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 4/77
Formaescalonadaporrenglones
Unamatrizsedice
matrizescalonada
sicumple:
1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la
parte inferior de la matriz.
2. El elemento delantero de cada renglón no cero (después del
primer renglón) se encuentra a la derecha del elemento
delantero del renglón anterior.
Ysellama
matrizescalonadareducida
sies
escalonadayademáscumple:
3. El elemento delantero de cualquier renglón no cero es 1.

8. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 4/77
Formaescalonadaporrenglones
Unamatrizsedice
matrizescalonada
sicumple:
1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la
parte inferior de la matriz.
2. El elemento delantero de cada renglón no cero (después del
primer renglón) se encuentra a la derecha del elemento
delantero del renglón anterior.
Ysellama
matrizescalonadareducida
sies
escalonadayademáscumple:
3. El elemento delantero de cualquier renglón no cero es 1.
4. Todos los elementos arriba y abajo de un 1 delantero son cer o.

9. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 5/77
Ejemplo
Indiqueporquélassiguientesmatricesnoson
escalonadas: 



2 3−1
0 0 0
0 0 1




,




2 3−1
0 5 2
0 2 1




,







2 3−1
0 0 2
0 3 2
0 0 0







,




0 0 0
0 1−3
0 0−3




,




0 0 3
0 1−3
5 1−3





10. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 5/77
Ejemplo
Indiqueporquélassiguientesmatricesnoson
escalonadas: 



2 3−1
0 0 0
0 0 1




,




2 3−1
0 5 2
0 2 1




,







2 3−1
0 0 2
0 3 2
0 0 0







,




0 0 0
0 1−3
0 0−3




,




0 0 3
0 1−3
5 1−3




Soluci´on
Enelprimerejemplo,tieneunrenglóndecerosy
noaparecehastael×nal;nosecumplela
condición1.

11. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 5/77
Ejemplo
Indiqueporquélassiguientesmatricesnoson
escalonadas: 



2 3−1
0 0 0
0 0 1




,




2 3−1
0 5 2
0 2 1




,







2 3−1
0 0 2
0 3 2
0 0 0







,




0 0 0
0 1−3
0 0−3




,




0 0 3
0 1−3
5 1−3




Soluci´on
Enelsegundoejemplo,cuandocomparamosla
posicióndelprimerelementonocerodelsegundo
renglón(5)conlaposicióndelprimerelementono
cerodeltercerrenglón(2)vemosqueel2noestá
aladerechadel5;nosecumplelacondición2.

12. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 5/77
Ejemplo
Indiqueporquélassiguientesmatricesnoson
escalonadas: 



2 3−1
0 0 0
0 0 1




,




2 3−1
0 5 2
0 2 1




,







2 3−1
0 0 2
0 3 2
0 0 0







,




0 0 0
0 1−3
0 0−3




,




0 0 3
0 1−3
5 1−3




Soluci´on
Eneltercerejemplo,elrenglóndeceroaparece
hastaabajo,perocuandosecomparanlos
elementosdelanterosdelosrenglones2y3el
inferiornoestáaladerechadelelemento
delanterosuperior:secumplelacondición1pero
nola2.

13. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 5/77
Ejemplo
Indiqueporquélassiguientesmatricesnoson
escalonadas: 



2 3−1
0 0 0
0 0 1




,




2 3−1
0 5 2
0 2 1




,







2 3−1
0 0 2
0 3 2
0 0 0







,




0 0 0
0 1−3
0 0−3




,




0 0 3
0 1−3
5 1−3




Soluci´on
Enelcuartoejemplo,falladenuevolacondición1.

14. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 5/77
Ejemplo
Indiqueporquélassiguientesmatricesnoson
escalonadas: 



2 3−1
0 0 0
0 0 1




,




2 3−1
0 5 2
0 2 1




,







2 3−1
0 0 2
0 3 2
0 0 0







,




0 0 0
0 1−3
0 0−3




,




0 0 3
0 1−3
5 1−3




Soluci´on
Enelúltimoejemplo,recuerdesólohay
escalonadadederechaaizquierda;elelemento
delanterodelrenglón2noestáaladerechade
delanterodelrenglón1

15. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 6/77
Ejemplo
Indiqueporquélassiguientesmatricess´son
escalonadas: 



2
3−1
0
5
2
0 0
1




,







2
3−1
0
1
2
0 0 0
0 0 0







,




0
2
3
0 0
−3
0 0 0




,




1
2 0
0 0 0
0 0 0




,




0 0 0
0 0 0
0 0 0





16. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 6/77
Ejemplo
Indiqueporquélassiguientesmatricess´son
escalonadas: 



2
3−1
0
5
2
0 0
1




,







2
3−1
0
1
2
0 0 0
0 0 0







,




0
2
3
0 0
−3
0 0 0




,




1
2 0
0 0 0
0 0 0




,




0 0 0
0 0 0
0 0 0




Soluci´on
Observequelasmatriceslistadascumplenlas
condiciones1y2

17. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 7/77
Ejemplo
Indiqueporquélassiguientesmatricesson
escalonadasperonoreducidas: 



1 3−1
0 1 0
0 0
−2




,




1
2−1
0 1
2
0 0 1




,







1 0
1
0 1 0
0 0 1
0 0 0







,




1 1
3
0 0 1
0 0 0




,




0 1
−3
0 0 1
0 0 0





18. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 7/77
Ejemplo
Indiqueporquélassiguientesmatricesson
escalonadasperonoreducidas: 



1 3−1
0 1 0
0 0
−2




,




1
2−1
0 1
2
0 0 1




,







1 0
1
0 1 0
0 0 1
0 0 0







,




1 1
3
0 0 1
0 0 0




,




0 1
−3
0 0 1
0 0 0




Soluci´on Enelprimerejemplo,estáfallandolacondición3:
elelementodelanterodelrenglón3debeser1.

19. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 7/77
Ejemplo
Indiqueporquélassiguientesmatricesson
escalonadasperonoreducidas: 



1 3−1
0 1 0
0 0
−2




,




1
2−1
0 1
2
0 0 1




,







1 0
1
0 1 0
0 0 1
0 0 0







,




1 1
3
0 0 1
0 0 0




,




0 1
−3
0 0 1
0 0 0




Soluci´on Enelsegundoejemplo,lacondición3secumple
perolacondición4falla:arribadelos1delanteros
debehabersóloceros.

20. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 7/77
Ejemplo
Indiqueporquélassiguientesmatricesson
escalonadasperonoreducidas: 



1 3−1
0 1 0
0 0
−2




,




1
2−1
0 1
2
0 0 1




,







1 0
1
0 1 0
0 0 1
0 0 0







,




1 1
3
0 0 1
0 0 0




,




0 1
−3
0 0 1
0 0 0




Soluci´on Enlosejemplos3,4y5,notequelacondición4
dicequetodosloselementossuperioresalos
elementosdelanterosdebensercero.Enestos
ejemplosnosecumpletancondición

21. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 8/77
Ejemplo
Veri×quequelassiguientesmatricess´son
escalonadasreducidas: 



1 0 0
0 1 0
0 0 1




,







1 0
−3
0 1
1
0 0 0
0 0 0







,




0 1 0
0 0 1
0 0 0




,




1 3−4
0 0 0
0 0 0




,




0 0 0
0 0 0
0 0 0





22. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 8/77
Ejemplo
Veri×quequelassiguientesmatricess´son
escalonadasreducidas: 



1 0 0
0 1 0
0 0 1




,







1 0
−3
0 1
1
0 0 0
0 0 0







,




0 1 0
0 0 1
0 0 0




,




1 3−4
0 0 0
0 0 0




,




0 0 0
0 0 0
0 0 0




Soluci´on
Observequeenelejemplo2,elelemento(2,3)no
esdelanteroporellonoseimponelacondición
queelelementosuperiorseacero.Lamatrizes
efectivamenteescalonadareducida

23. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 9/77
Pivotesdeunamatriz
Cuando una matriz está en su forma escalonada, los primeros
elementos diferentes de cero de cada renglón reciben el nomb re de
elementos pivote
o simplemente
pivotes
. Note que por ser el pivote
el primer elemento no cero del renglón, no hay forma que un
renglón tenga más de un pivote: puede no tener pivote en caso d e
que sea un renglón de ceros, pero no puede tener dos o más. Note
también que por estar escalonada la matriz, no hay forma que d os
pivotes queden en la misma columna: puede una columna no tener
pivote, pero si tiene pivote no puede tener dos o más. De este
hecho, concluimos que una matrizm×nno puede tener mas dem
pivotes porque tiene a los más uno por cada renglón. Y por otro
lado, no puede tener más denpivotes pues a lo más tiene un
pivote por cada columna. Es decir, el número de pivotes debe s er
menor o igual que el mínimo número entremyn.

24. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 10/77
Algoritmodeeliminacióngaussiana
El
AlgoritmodeGauss
ode
Eliminacióngaussiana
constadelossiguientespasos:

25. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 10/77
Algoritmodeeliminacióngaussiana
El
AlgoritmodeGauss
ode
Eliminacióngaussiana
constadelossiguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.

26. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 10/77
Algoritmodeeliminacióngaussiana
El
AlgoritmodeGauss
ode
Eliminacióngaussiana
constadelossiguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.
2. Sielprimerelementodelacolumnaescero,
intercámbieloporunrenglónquenotengacero.

27. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 10/77
Algoritmodeeliminacióngaussiana
El
AlgoritmodeGauss
ode
Eliminacióngaussiana
constadelossiguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.
2. Sielprimerelementodelacolumnaescero,
intercámbieloporunrenglónquenotengacero.
3. Obtengacerosabajodelelementodelantero
sumandomúltiplosadecuadosalosrenglones
debajodeél.

28. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 10/77
Algoritmodeeliminacióngaussiana
El
AlgoritmodeGauss
ode
Eliminacióngaussiana
constadelossiguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.
2. Sielprimerelementodelacolumnaescero,
intercámbieloporunrenglónquenotengacero.
3. Obtengacerosabajodelelementodelantero
sumandomúltiplosadecuadosalosrenglones
debajodeél.
4. Cubraelrenglónylacolumnadetrabajoy
repitaelprocesocomenzandoenelpaso1.

29. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 10/77
Algoritmodeeliminacióngaussiana
El
AlgoritmodeGauss
ode
Eliminacióngaussiana
constadelossiguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.
2. Sielprimerelementodelacolumnaescero,
intercámbieloporunrenglónquenotengacero.
3. Obtengacerosabajodelelementodelantero
sumandomúltiplosadecuadosalosrenglones
debajodeél.
4. Cubraelrenglónylacolumnadetrabajoy
repitaelprocesocomenzandoenelpaso1.
5. Comenzandoconelúltimorenglónnocero
avancehaciaarribaparaqueencadarenglón
tengaun1delanteroyarribadeélquedensólo
ceros.

30. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 11/77
Esimportanteobservarqueenelmétodode
eliminaciónGaussiana:
nLospasosdel1a4aplicadosrepetidamente
escalonanlamatriz;elpaso5aplicado
repetidamentereducelamatriz.
nEnelpaso2,sielelementonoesceronose
realizaintercambio.
nEnelpaso3,loselementosquesehacencero
sonsólolosinferioresalpivote.

31. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 12/77
EliminaciónGaussiana:ejemplo
Ejemplo
ApliqueelalgoritmodeGaussalamatriz:



3 6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



Soluci´on
Elelemento(1,1)seráusadocomopivotepara
hacercerosdebajodeél;paraellodebemos
sumarmúltiplosadecuadosdelrenglónpivotea
losrenglonesinferiores:

32. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 12/77
EliminaciónGaussiana:ejemplo
Ejemplo
ApliqueelalgoritmodeGaussalamatriz:



3 6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



Soluci´on
Elelemento(1,1)seráusadocomopivotepara
hacercerosdebajodeél;paraellodebemos
sumarmúltiplosadecuadosdelrenglónpivotea
losrenglonesinferiores:



3
6−9
3
2
4−8
0
−2
−3 4
−1




33. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 12/77
EliminaciónGaussiana:ejemplo
Ejemplo
ApliqueelalgoritmodeGaussalamatriz:



3 6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



Soluci´on
Elelemento(1,1)seráusadocomopivotepara
hacercerosdebajodeél;paraellodebemos
sumarmúltiplosadecuadosdelrenglónpivotea
losrenglonesinferiores:



3
6−9
3
2
4−8
0
−2
−3 4
−1



R2←R2−(
2
/
3
)R1
−−−−−−−−−−−→
R3←R3−(−2
/
3
)R1

34. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 12/77
EliminaciónGaussiana:ejemplo
Ejemplo
ApliqueelalgoritmodeGaussalamatriz:



3 6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



Soluci´on
Elelemento(1,1)seráusadocomopivotepara
hacercerosdebajodeél;paraellodebemos
sumarmúltiplosadecuadosdelrenglónpivotea
losrenglonesinferiores:



3
6−9
3
2
4−8
0
−2
−3 4
−1



R2←R2−(
2
/
3
)R1
−−−−−−−−−−−→
R3←R3−(−2
/
3
)R1



3 6−9
3
0 0−2
−2
0 1−2
1



(0.1)

35. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 13/77
Envistaqueelemento(2,2)escerodebemosbuscarenla
parteinferiordelacolumna2unelementodiferentedeceroy
realizarunintercambioderenglones:



3 6−9
3
0
0−2
−2
0
1−2
1




36. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 13/77
Envistaqueelemento(2,2)escerodebemosbuscarenla
parteinferiordelacolumna2unelementodiferentedeceroy
realizarunintercambioderenglones:



3 6−9
3
0
0−2
−2
0
1−2
1



R
2
↔R
3
−−−−→

37. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 13/77
Envistaqueelemento(2,2)escerodebemosbuscarenla
parteinferiordelacolumna2unelementodiferentedeceroy
realizarunintercambioderenglones:



3 6−9
3
0
0−2
−2
0
1−2
1



R
2
↔R
3
−−−−→



3 6−9
3
0
1−2
1
0
0−2
−2


(0.2)

38. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 13/77
Envistaqueelemento(2,2)escerodebemosbuscarenla
parteinferiordelacolumna2unelementodiferentedeceroy
realizarunintercambioderenglones:



3 6−9
3
0
0−2
−2
0
1−2
1



R
2
↔R
3
−−−−→



3 6−9
3
0
1−2
1
0
0−2
−2


(0.2)
Elalgortimoterminaensuspasos1al4.Procedealpaso5.

39. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 14/77
Hagamos1elelemento(3,3):



3 6−9
3
0 1−2
1
0 0
−2
−2




40. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 14/77
Hagamos1elelemento(3,3):



3 6−9
3
0 1−2
1
0 0
−2
−2



R3←1/(
−2
)R3
−−−−−−−−→

41. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 14/77
Hagamos1elelemento(3,3):



3 6−9
3
0 1−2
1
0 0
−2
−2



R3←1/(
−2
)R3
−−−−−−−−→



3 6−9
3
0 1−2
1
0 0 1
1


(0.3)

42. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 15/77
Debemoshacerceroporarribadelelementopivote(3,3):



3 6
−9
3
0 1
−2
1
0 01
1




43. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 15/77
Debemoshacerceroporarribadelelementopivote(3,3):



3 6
−9
3
0 1
−2
1
0 01
1



R1←R1−(
−9
)R3
−−−−−−−−−−→
R2←R2−(
−2
)R3

44. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 15/77
Debemoshacerceroporarribadelelementopivote(3,3):



3 6
−9
3
0 1
−2
1
0 01
1



R1←R1−(
−9
)R3
−−−−−−−−−−→
R2←R2−(
−2
)R3



3 6 0
12
0 1 0
3
0 0 1
1


(0.4)

45. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 16/77
Procedamosconelsiguienteelementopivote(2,2);el
elementoyaes1yahoradebemosprocederahacerceropor
arribadeél:



3
6
0
12
0
1
0
3
0 0 1
1




46. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 16/77
Procedamosconelsiguienteelementopivote(2,2);el
elementoyaes1yahoradebemosprocederahacerceropor
arribadeél:



3
6
0
12
0
1
0
3
0 0 1
1



R1←R1−
6
R2
−−−−−−−−→

47. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 16/77
Procedamosconelsiguienteelementopivote(2,2);el
elementoyaes1yahoradebemosprocederahacerceropor
arribadeél:



3
6
0
12
0
1
0
3
0 0 1
1



R1←R1−
6
R2
−−−−−−−−→



3 0 0
−6
0 1 0
3
0 0 1
1


(0.5)

48. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 17/77
Elalgoritmoconcluyehaciendo1elpivotedelprimerrenglón:



3
0 0
−6
0 1 0
3
0 0 1
1




49. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 17/77
Elalgoritmoconcluyehaciendo1elpivotedelprimerrenglón:



3
0 0
−6
0 1 0
3
0 0 1
1



R1←1/
3
R1
−−−−−−→

50. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 17/77
Elalgoritmoconcluyehaciendo1elpivotedelprimerrenglón:



3
0 0
−6
0 1 0
3
0 0 1
1



R1←1/
3
R1
−−−−−−→



1 0 0
−2
0 1 0
3
0 0 1
1


(0.6)

51. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis - Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 18/77
Análisisdelosconjuntossolución
Unavezescalonandooreduciendolamatriz
aumentadadeunsistema,hayquesabercon
precisiónquésepuededecirsobreelconjuntode
soluciones.Sólohaytresposiblesresultadosenel
análisis:
nElsistemanotienesolución:sistema
inconsistente.
nElsistematieneunaúnicasolución.
nElsistematieneinnitassoluciones.

52. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia - Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 19/77
Regla de Inconsistencia
Elsistemaesinconsistentesiapareceun
pivoteenlacolumnadetérminosconstantes.

53. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia - Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 19/77
Regla de Inconsistencia
Elsistemaesinconsistentesiapareceun
pivoteenlacolumnadetérminosconstantes.
Ejemplo
Soninconsistenteslossistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:

54. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia - Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 19/77
Regla de Inconsistencia
Elsistemaesinconsistentesiapareceun
pivoteenlacolumnadetérminosconstantes.
Ejemplo
Soninconsistenteslossistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:





1 0 0
0
0 1 2
0
0 0 0
1
0 0 0
0






55. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia - Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 19/77
Regla de Inconsistencia
Elsistemaesinconsistentesiapareceun
pivoteenlacolumnadetérminosconstantes.
Ejemplo
Soninconsistenteslossistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:





1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0
1






56. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia - Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 19/77
Regla de Inconsistencia
Elsistemaesinconsistentesiapareceun
pivoteenlacolumnadetérminosconstantes.
Ejemplo
Soninconsistenteslossistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:
"
1 1 1
2
0 0 0
3
#

57. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia -´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 20/77
Regla de Consistencia
Esconsistentecualquiersistemaencuya
matrizescalonadanoapareceningúnpivote
enlacolumnadetérminosconstantes.

58. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia -´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 20/77
Regla de Consistencia
Esconsistentecualquiersistemaencuya
matrizescalonadanoapareceningúnpivote
enlacolumnadetérminosconstantes.
Ejemplo
Sonconsistenteslossistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:

59. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia -´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 20/77
Regla de Consistencia
Esconsistentecualquiersistemaencuya
matrizescalonadanoapareceningúnpivote
enlacolumnadetérminosconstantes.
Ejemplo
Sonconsistenteslossistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:



1 1 1
3
0 2 2
2
0 0 3
1




60. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia -´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 20/77
Regla de Consistencia
Esconsistentecualquiersistemaencuya
matrizescalonadanoapareceningúnpivote
enlacolumnadetérminosconstantes.
Ejemplo
Sonconsistenteslossistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:





1 0 3
1
0 1 2
1
0 0 1
1
0 0 0
0






61. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia -´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 20/77
Regla de Consistencia
Esconsistentecualquiersistemaencuya
matrizescalonadanoapareceningúnpivote
enlacolumnadetérminosconstantes.
Ejemplo
Sonconsistenteslossistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:
"
1 1 1
2
0 1 1
1
#

62. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica - Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 21/77
Regla de la Soluci´on´Unica
Siendounsistemaconsistente,elsistema
tienesoluciónúnicasienlamatriz
escalonadalacolumnadecadavariablehay
unpivote.

63. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica - Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 21/77
Regla de la Soluci´on´Unica
Siendounsistemaconsistente,elsistema
tienesoluciónúnicasienlamatriz
escalonadalacolumnadecadavariablehay
unpivote.
Ejemplo
Tienensoluciónúnicalosistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:

64. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica - Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 21/77
Regla de la Soluci´on´Unica
Siendounsistemaconsistente,elsistema
tienesoluciónúnicasienlamatriz
escalonadalacolumnadecadavariablehay
unpivote.
Ejemplo
Tienensoluciónúnicalosistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:



1 1 1
3
0 2 2
2
0 0 3
1




65. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica - Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 21/77
Regla de la Soluci´on´Unica
Siendounsistemaconsistente,elsistema
tienesoluciónúnicasienlamatriz
escalonadalacolumnadecadavariablehay
unpivote.
Ejemplo
Tienensoluciónúnicalosistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:





1 0 3
1
0 1 2
1
0 0 1
1
0 0 0
0






66. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 22/77
Regla para Soluciones Innitas
Siunsistemaesconsistente,elsistema
tienesolucionesinnitassienlamatriz
escalonadahayunacolumnadeunavariable
sinpivote.

67. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 22/77
Regla para Soluciones Innitas
Siunsistemaesconsistente,elsistema
tienesolucionesinnitassienlamatriz
escalonadahayunacolumnadeunavariable
sinpivote.
Ejemplo
Tienensolucionesinnitaslosistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:

68. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 22/77
Regla para Soluciones Innitas
Siunsistemaesconsistente,elsistema
tienesolucionesinnitassienlamatriz
escalonadahayunacolumnadeunavariable
sinpivote.
Ejemplo
Tienensolucionesinnitaslosistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:
"
1 1 1
3
0 2 2
2
#

69. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 22/77
Regla para Soluciones Innitas
Siunsistemaesconsistente,elsistema
tienesolucionesinnitassienlamatriz
escalonadahayunacolumnadeunavariable
sinpivote.
Ejemplo
Tienensolucionesinnitaslosistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:



1 1 1
3
0 2 2
2
0 0 0
0




70. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 22/77
Regla para Soluciones Innitas
Siunsistemaesconsistente,elsistema
tienesolucionesinnitassienlamatriz
escalonadahayunacolumnadeunavariable
sinpivote.
Ejemplo
Tienensolucionesinnitaslosistemascuyamatriz
aumentadaseconviertemedianteoperaciones
elementalesen:





1 0 3
1
0 1 2
1
0 0 0
0
0 0 0
0






71. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 23/77
Nota Importante
Observe que
los renglones de ceros no dan en general
información sobre cómo es el conjunto solución
.







1 1 2
0
0 1 3
0
0 0 0
1
0 0 0
0







,




1 6 2
0
0 1 1
0
0 0 0
1











1 0 1
4
0 1 2
−1
0 0 1
1
0 0 0
0







,




1 0 1
4
0 1 2
−1
0 0 1
1








1 0 1
4
0 1 2
−1
0 0 0
0




,


1 0 1
4
0 1 2
−1



72. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 24/77
Ejemplo Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aument ada
8×5y al reducirla tiene un total de 5 pivotes, entonces ..
A
es inconsistente.
B
hay soluciones in×nitas.
C
tiene solución única.
D
si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única .
E
si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, in×ni tas.

73. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 24/77
Ejemplo Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aument ada
8×5y al reducirla tiene un total de 5 pivotes, entonces ..
A
es inconsistente.
B
hay soluciones in×nitas.
C
tiene solución única.
D
si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única .
E
si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, in×ni tas.
Soluci´on Puesto que la matriz escalonada de tiene 5 pivotes y la matriz tie ne 5 columnas, entonces toda columna tiene pivote. En
particular, la última columna tendrá pivote. Como la matriz es aumentada, entonces la columna correspondiente a las
constantes tendrá pivote. Por lo tanto, el sistema original será i nconsistente. La opción que describe la situación es A

74. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 25/77
Ejemplo Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aument ada
5×5y al reducirla tiene un total de 4 pivotes, entonces ..
A
es inconsistente.
B
tiene solución única.
C
hay soluciones in×nitas.
D
si en la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, úni ca.
E
si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, in×ni tas.

75. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 25/77
Ejemplo Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aument ada
5×5y al reducirla tiene un total de 4 pivotes, entonces ..
A
es inconsistente.
B
tiene solución única.
C
hay soluciones in×nitas.
D
si en la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, úni ca.
E
si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, in×ni tas.
Soluci´on Puesto que la matriz reducida es5×5y tiene 4 pivotes, la última columna tiene la posibilidad de ten er pivote. En cuyo
caso, el sistema será inconsistente. También se tiene la posibilidad de que la última columna no tenga pivote. En cuyo
caso, el sistema será consistente y los cuatro pivotes estarán en las pri meras columnas. Y por tanto, en este caso la
columna de cada variable tendrá pivote y por consiguiente cada var iable será ×ja. Y por lo tanto, en este caso habrá
solución única. La respuesta que describe mejor la situación es la D

76. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 26/77
Ejemplo Se tiene un sistema homogéneo de ecuaciones que tiene una
matriz aumentada5×6y al reducirla tiene un total de 5 pivotes,
entonces ..
A
tiene solución única.
B
si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no única.
C
es inconsistente.
D
hay soluciones in×nitas.
E
si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no in×nit as.

77. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 26/77
Ejemplo Se tiene un sistema homogéneo de ecuaciones que tiene una
matriz aumentada5×6y al reducirla tiene un total de 5 pivotes,
entonces ..
A
tiene solución única.
B
si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no única.
C
es inconsistente.
D
hay soluciones in×nitas.
E
si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no in×nit as.
Soluci´on Puesto que el sistema es homogéneo, en la columna de las constantes h abrá sólo ceros. Por la naturaleza de las
operaciones elementales, en la matriz reducida sólo habrá ceros en tal columna. Por tanto, no habrá pivotes en la
columna de las constantes. Por tanto, el sistema será consistente y los 5 pivotes estarán en las primeras columnas y por
tanto, en la columna de cada variable habrá pivote. Por tanto, e l sistema será consistente con solución única

78. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 27/77
Fórmulaparatodaslassoluciones
Veamosahoraunaestrategiaparaobtenerla
fórmuladedondeseobtienentodaslassoluciones
aunsistemasdeecuacioneslinealescuandoel
sistematieneinnitassoluciones.Ilustraremos
estomedianteunpardeejemplos.

79. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 28/77
Ejemplo Manejandoelordenx, y, z, wescribaenforma
vectoriallasolucióngeneralalsistema:
4w+2x+6y+2z= 2
w+3x+9y+4z=−14
4w+3x+9y+3z=−3
3w+4x+12y+4z=−11
Reportelascoordenadasdelvectorquemultiplica
alavariablelibreenlasoluciónresultante.

80. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 29/77
Soluci´on (Y m´etodo general) Paso 1
: Apliquemos Gauss a la matriz aumentada
Formamos la matriz aumentada con el orden que sugiere el
problema (x, y, z, w):







2 6 2 4
2
3 9 4 1
−14
3 9 3 4
−3
4 12 4 3
−11







→







1
3 0 0
−3
0 010
−2
0 0 01
3
0 0 0 0
0







Al aplicar las reglas de análisis, observamos que el sistema es
consistente(al no haber pivote en la columna de las constantes) y
con soluciones in×nitas (al seryuna variable libre, recuerde que las
variables ×jas son aquellas en cuya columna hay pivote)

81. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 30/77
Paso 2
: Convierta cada rengl´on no cero en ecuaci´on
El renglón 1 de la reducida que:
x+3y=−3
El renglón 2 queda:
z=−2
y el renglón 3 queda:
w= 3
Paso 3:
De cada ecuaci´on, despeje la variable delantera.
x+3y=−3→x=−3−3y
z=−2→z=−2
w= 3→w= 3

82. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 31/77
Paso 4:
Se complementan las ecuaciones introduciendo ecuaciones donde
cada variable libre es igual a s´ misma.
x=−3−3y
y
=
y
z=−2
w= 3

83. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 32/77
Paso 5:
Se reescribe en forma vectorial las soluciones







x
y
z
w







=







−3−3y
y
−2
3








84. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 33/77
Paso 6:
Se separa el segundo miembro de acuerdo a las constantes y a las
variables libres







x
y
z
w







=







−3
0
−2
3







+y







−3
1
0
0







Lo anterior es la fórmula general para todas las soluciones d el
sistema original; el concepto de variable libre indica que s e puede
tomar cualquier valor y que con él se produce una solución.
También, aunque esto no es tan evidente, que cualquier otra
solución puede obtenerse de esta fórmula para valores adecu ados
de las variables libres

85. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 34/77
Ejemplo Determinelasolucióngeneralenformavectorial
paraelsistema:
6w−2x+3y+3z= 3
5w+2x+y−2z= 2
w−4x+2y+5z= 1
13w−8x+8y+11z= 7
Soluci´on
Sigamoslametodologíadescritaenelejemplo
anterior:

86. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 35/77
Aplicamos Gauss a la matriz aumentada (orden:x, y, z, w):







−2 3 3 6
3
2 1−2 5
2
−4 2 5 1
1
−8 8 11 13
7







→







1
0−9/8 9/8
3/8
01
1/4 11/4
5/4
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0







Convertimos cada renglón diferentes de cero de la matriz red ucida
a una ecuación:
x−9/8z+9/8w= 3/8
y+1/4z+11/4w= 5/4

87. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 36/77
Ahora, despejamos las variables ×jas (xyy):
x= 3/8+9/8z−9/8w
y= 5/4−1/4z−11/4w
Complementamos las ecuaciones con ecuaciones donde cada
variable libre está igualada a sí misma:
x= 3/8+9/8z−9/8w
y= 5/4−1/4z−11/4w
z=z
w=w

88. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 37/77
Ahora, le damos a lo anterior la forma de una igualdad entre
vectores:







x
y
z
w







=







3/8+9/8z−9/8w
5/4−1/4z−11/4w
z
w







Finalmente,separamosel lado izquierdo de acuerdo a las variables
libres:







x
y
z
w







=







3/8
5/4
0
0







+z







9/8
−1/4
1
0







+w







−9/8
−11/4
0
1








89. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 38/77
AlgoritmodeGauss-Jordan
El
AlgoritmodeGauss-Jordan
constadelos
siguientespasos:

90. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 38/77
AlgoritmodeGauss-Jordan
El
AlgoritmodeGauss-Jordan
constadelos
siguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.

91. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 38/77
AlgoritmodeGauss-Jordan
El
AlgoritmodeGauss-Jordan
constadelos
siguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.
2. Sielprimerelementodelacolumnaescero,
intercámbieloporunrenglónquenotengacero.
Multiplicandoapropiadamenteelrenglón,
hágalo1.Esteprimer1serállamado1pivote.

92. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 38/77
AlgoritmodeGauss-Jordan
El
AlgoritmodeGauss-Jordan
constadelos
siguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.
2. Sielprimerelementodelacolumnaescero,
intercámbieloporunrenglónquenotengacero.
Multiplicandoapropiadamenteelrenglón,
hágalo1.Esteprimer1serállamado1pivote.
3. Obtengacerosarribayabajodel1pivote
sumandomúltiplosadecuadosalosrenglones
debajoderenglónpivoteenlamatrizcompleta.

93. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 38/77
AlgoritmodeGauss-Jordan
El
AlgoritmodeGauss-Jordan
constadelos
siguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.
2. Sielprimerelementodelacolumnaescero,
intercámbieloporunrenglónquenotengacero.
Multiplicandoapropiadamenteelrenglón,
hágalo1.Esteprimer1serállamado1pivote.
3. Obtengacerosarribayabajodel1pivote
sumandomúltiplosadecuadosalosrenglones
debajoderenglónpivoteenlamatrizcompleta.
4. Cubralacolumnayelrenglóndetrabajoy
repitaelprocesocomenzandoenelpaso1con
lacolumnasiguiente.

94. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 39/77
Esimportanteobservarqueenelmétodode
Gauss-Jordan:
nEnlaideageneral,lamatrizsevaescalonandoy
reduciendoalavez.
nEnelpaso2,sielelementonoesceronose
realizaintercambio.
nEnelpaso3,loselementosquesehacencero
nosolosonlosinferioresalpivote(Eliminación
Gaussiana)sinotambiénlossuperiores.

95. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 40/77
AlgoritmodeGauss-Jordan:ejemplo
Ejemplo
ApliqueelalgoritmodeGauss-Jordanalamatriz:



3 6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



Soluci´on

96. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 40/77
AlgoritmodeGauss-Jordan:ejemplo
Ejemplo
ApliqueelalgoritmodeGauss-Jordanalamatriz:



3 6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



Soluci´on
ContrarioalalgoritmodeGauss,elalgoritmode
Gauss-Jordanprimerocrealos1'spivote:



3
6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1




97. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 40/77
AlgoritmodeGauss-Jordan:ejemplo
Ejemplo
ApliqueelalgoritmodeGauss-Jordanalamatriz:



3 6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



Soluci´on
ContrarioalalgoritmodeGauss,elalgoritmode
Gauss-Jordanprimerocrealos1'spivote:



3
6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



R1←1/
3
R1
−−−−−−→

98. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 40/77
AlgoritmodeGauss-Jordan:ejemplo
Ejemplo
ApliqueelalgoritmodeGauss-Jordanalamatriz:



3 6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



Soluci´on
ContrarioalalgoritmodeGauss,elalgoritmode
Gauss-Jordanprimerocrealos1'spivote:



3
6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



R1←1/
3
R1
−−−−−−→



1 2−3
1
2 4−8
0
−2−3 4
−1



(0.7)

99. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 41/77
Posteriormentehacecerodebajodeél:



1
2−3 1
2
4−8 0
−2
−3 4−1




100. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 41/77
Posteriormentehacecerodebajodeél:



1
2−3 1
2
4−8 0
−2
−3 4−1



R2←R2−
2
R1
−−−−−−−−−−→
R3←R3−(
−2
)R1

101. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 41/77
Posteriormentehacecerodebajodeél:



1
2−3 1
2
4−8 0
−2
−3 4−1



R2←R2−
2
R1
−−−−−−−−−−→
R3←R3−(
−2
)R1



1 2−3
1
0 0−2
−2
0 1−2
1


(0.8)

102. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 42/77
Enestecasoelelemento(2,2)esceroysedeberábuscarun
elementoinferiorqueseadiferentedecero:



1 2−3
1
0
0−2
−2
0
1−2
1




103. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 42/77
Enestecasoelelemento(2,2)esceroysedeberábuscarun
elementoinferiorqueseadiferentedecero:



1 2−3
1
0
0−2
−2
0
1−2
1



R
2
↔R
3
−−−−→

104. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 42/77
Enestecasoelelemento(2,2)esceroysedeberábuscarun
elementoinferiorqueseadiferentedecero:



1 2−3
1
0
0−2
−2
0
1−2
1



R
2
↔R
3
−−−−→



1 2−3
1
0
1−2
1
0
0−2
−2


(0.9)

105. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 43/77
Elelementopivote(2,2)yaes1;elalgoritmoprocedeahoraa
hacercerosarribaydebajodeél:



1
2
−3
1
0
1
−2
1
0 0−2
−2




106. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 43/77
Elelementopivote(2,2)yaes1;elalgoritmoprocedeahoraa
hacercerosarribaydebajodeél:



1
2
−3
1
0
1
−2
1
0 0−2
−2



R1←R1−
2
R2
−−−−−−−−→

107. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 43/77
Elelementopivote(2,2)yaes1;elalgoritmoprocedeahoraa
hacercerosarribaydebajodeél:



1
2
−3
1
0
1
−2
1
0 0−2
−2



R1←R1−
2
R2
−−−−−−−−→



1 0 1
−1
0 1−2
1
0 0−2
−2


(0.10)

108. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 44/77
Elpivoteesahoraelelemento(3,3);primerosecreael1
pivote:



1 0 1
−1
0 1−2
1
0 0
−2
−2




109. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 44/77
Elpivoteesahoraelelemento(3,3);primerosecreael1
pivote:



1 0 1
−1
0 1−2
1
0 0
−2
−2



R3←1/(
−2
)R3
−−−−−−−−→

110. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 44/77
Elpivoteesahoraelelemento(3,3);primerosecreael1
pivote:



1 0 1
−1
0 1−2
1
0 0
−2
−2



R3←1/(
−2
)R3
−−−−−−−−→



1 0 1
−1
0 1−2
1
0 0 1
1


(0.11)

111. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 45/77
Posteriormente,sehacencerosarribaydebajodeél:



1 0
1
−1
0 1
−2
1
0 0
1
1




112. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 45/77
Posteriormente,sehacencerosarribaydebajodeél:



1 0
1
−1
0 1
−2
1
0 0
1
1



R1←R1−
1
R3
−−−−−−−−−−→
R2←R2−(
−2
)R3

113. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 45/77
Posteriormente,sehacencerosarribaydebajodeél:



1 0
1
−1
0 1
−2
1
0 0
1
1



R1←R1−
1
R3
−−−−−−−−−−→
R2←R2−(
−2
)R3



1 0 0
−2
0 1 0
3
0 0 1
1


(0.12)

114. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 46/77
MétodoMontante
El
AlgoritmoMontante
esunaestrategia
desarrolladaenlos70sporelprofesorMarioRené
MontanteenaquelentoncesprofesordeFIMEde
laUANL,México.Elmétodotrabajabajoel
supuestoprincipalquelamatrizessólode
númerosenterosyquenoserealizaríaninguna
divisiónentreenterossalvoalnal.Estominimiza
eltotaldeerroresporredondeo.Elmétodo
procededeunaformasemejantealde
Gauss-Jordansinhacerunolospivotesyforzando
aqueloselementosqueseharáncerosean
múltiplosdelpivote.

115. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 47/77
Elmétodoconstadelossiguientespasos:

116. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 47/77
Elmétodoconstadelossiguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.

117. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 47/77
Elmétodoconstadelossiguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.
2. Sielprimerelementodelacolumnaescero,
intercámbieloporunrenglónquenotengacero.
Estesellamaráelementopivotex.

118. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 47/77
Elmétodoconstadelossiguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.
2. Sielprimerelementodelacolumnaescero,
intercámbieloporunrenglónquenotengacero.
Estesellamaráelementopivotex.
3. ObtengacerosarribayabajodelpivotexEn
términosdeoperacioneselementalesloquese
realizaesqueparacadarenglónidiferentedel
renglónpivotehacer
Ri←xRi
Ri←Ri−ai,mRm

119. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 47/77
Elmétodoconstadelossiguientespasos:
1. Determinelaprimercolumna(alaizquierda)no
cero.
2. Sielprimerelementodelacolumnaescero,
intercámbieloporunrenglónquenotengacero.
Estesellamaráelementopivotex.
3. ObtengacerosarribayabajodelpivotexEn
términosdeoperacioneselementalesloquese
realizaesqueparacadarenglónidiferentedel
renglónpivotehacer
Ri←xRi
Ri←Ri−ai,mRm
4. Repitaelprocesocomenzandoenelpaso1
paraelrenglónsiguiente.

120. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 48/77
Elprincipalcomentarioesqueenelpaso3la
instrucciónRi←xRitienelaintencióndehacer
queelelementoahacer0sehagaunmúltiplodel
elementopivotedeformatalquenoserequiere
ningunadivisiónenlainstruccióndeeliminación.

121. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 49/77
MétododeMontante:ejemplo
Ejemplo
ApliqueelalgoritmodeMontantealamatriz:



3 6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



Soluci´on

122. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 49/77
MétododeMontante:ejemplo
Ejemplo
ApliqueelalgoritmodeMontantealamatriz:



3 6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



Soluci´on
Debemosmultiplicarelrenglón2y3porel
elemento(1,1):



3
6−9
3
2
4−8
0
−2
−3 4
−1




123. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 49/77
MétododeMontante:ejemplo
Ejemplo
ApliqueelalgoritmodeMontantealamatriz:



3 6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



Soluci´on
Debemosmultiplicarelrenglón2y3porel
elemento(1,1):



3
6−9
3
2
4−8
0
−2
−3 4
−1



R2←
3
R2
−−−−−→
R3←
3
R3

124. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 49/77
MétododeMontante:ejemplo
Ejemplo
ApliqueelalgoritmodeMontantealamatriz:



3 6−9
3
2 4−8
0
−2−3 4
−1



Soluci´on
Debemosmultiplicarelrenglón2y3porel
elemento(1,1):



3
6−9
3
2
4−8
0
−2
−3 4
−1



R2←
3
R2
−−−−−→
R3←
3
R3



3 6−9
3
6 12−24
0
−6−9 12
−3



(0.13)

125. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 50/77
Ahoralacancelaciónprocedeutilizandoelrenglón1conlos
elementos(2,1)y(3,1)anterioresalamultiplicación:



3
6−9
3
6
12−24
0
−6
−9 12
−3




126. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 50/77
Ahoralacancelaciónprocedeutilizandoelrenglón1conlos
elementos(2,1)y(3,1)anterioresalamultiplicación:



3
6−9
3
6
12−24
0
−6
−9 12
−3



R2←R2−(
2
)R1
−−−−−−−−−−→
R3←R3−(
−2
)R1

127. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 50/77
Ahoralacancelaciónprocedeutilizandoelrenglón1conlos
elementos(2,1)y(3,1)anterioresalamultiplicación:



3
6−9
3
6
12−24
0
−6
−9 12
−3



R2←R2−(
2
)R1
−−−−−−−−−−→
R3←R3−(
−2
)R1



3 6−9
3
0 0−6
−6
0 3−6
3



(0.14)

128. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 51/77
Ahoradeberemosintercambiarlosrenglones2y3paratener
unpivoteen(2,2):



3 6−9
3
0
0−6
−6
0
3−6
3




129. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 51/77
Ahoradeberemosintercambiarlosrenglones2y3paratener
unpivoteen(2,2):



3 6−9
3
0
0−6
−6
0
3−6
3



R
2
↔R
3
−−−−→

130. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 51/77
Ahoradeberemosintercambiarlosrenglones2y3paratener
unpivoteen(2,2):



3 6−9
3
0
0−6
−6
0
3−6
3



R
2
↔R
3
−−−−→



3 6−9
3
0
3−6
3
0
0−6
−6


(0.15)

131. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 52/77
Paraeliminarelelementoarribadelpivote(2,2)elalgoritmo
procedemultiplicandoelrenglón1porelpivote(2,2):



3
6
−9
3
0
3
−6
3
0 0−6
−6




132. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 52/77
Paraeliminarelelementoarribadelpivote(2,2)elalgoritmo
procedemultiplicandoelrenglón1porelpivote(2,2):



3
6
−9
3
0
3
−6
3
0 0−6
−6



R1←
3
R1
−−−−−→

133. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 52/77
Paraeliminarelelementoarribadelpivote(2,2)elalgoritmo
procedemultiplicandoelrenglón1porelpivote(2,2):



3
6
−9
3
0
3
−6
3
0 0−6
−6



R1←
3
R1
−−−−−→



9 18−27
9
0 3−6
3
0 0−6
−6


(0.16)

134. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 53/77
Lacancelaciónarribadelpivote(2,2)procederestandoal
renglón1elrenglónpivoteporelcontenidopreviodel
elemento(1,2):



9
18
−27
9
0
3
−6
3
0 0−6
−6




135. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 53/77
Lacancelaciónarribadelpivote(2,2)procederestandoal
renglón1elrenglónpivoteporelcontenidopreviodel
elemento(1,2):



9
18
−27
9
0
3
−6
3
0 0−6
−6



R1←R1−(
6
)R2
−−−−−−−−−→

136. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 53/77
Lacancelaciónarribadelpivote(2,2)procederestandoal
renglón1elrenglónpivoteporelcontenidopreviodel
elemento(1,2):



9
18
−27
9
0
3
−6
3
0 0−6
−6



R1←R1−(
6
)R2
−−−−−−−−−→



9 0 9
−9
0 3−6
3
0 0−6
−6


(0.17)

137. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 54/77
Ahoraelpivoteeselelemento(3,3)ydebemoshacercero
arribadeél.Paraelloelalgoritmoprocedemultiplicandolos
renglónesdondeseharálacancelaciónporelelemento
pivote:



9 0
9
−9
0 3
−6
3
0 0
−6
−6




138. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 54/77
Ahoraelpivoteeselelemento(3,3)ydebemoshacercero
arribadeél.Paraelloelalgoritmoprocedemultiplicandolos
renglónesdondeseharálacancelaciónporelelemento
pivote:



9 0
9
−9
0 3
−6
3
0 0
−6
−6



R1←
−6
R1
−−−−−−→
R2←
−6
R2

139. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 54/77
Ahoraelpivoteeselelemento(3,3)ydebemoshacercero
arribadeél.Paraelloelalgoritmoprocedemultiplicandolos
renglónesdondeseharálacancelaciónporelelemento
pivote:



9 0
9
−9
0 3
−6
3
0 0
−6
−6



R1←
−6
R1
−−−−−−→
R2←
−6
R2



−54 0−54
54
0−18 36
−18
0 0−6
−6


(0.18)

140. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 55/77
Lacancelaciónprocederestandolosmúltiplosdelrenglón3
usandoloselementosanterioresalamultiplicación:



−54 0
−54
54
0−18
36
−18
0 0
−6
−6




141. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 55/77
Lacancelaciónprocederestandolosmúltiplosdelrenglón3
usandoloselementosanterioresalamultiplicación:



−54 0
−54
54
0−18
36
−18
0 0
−6
−6



R1←R1−(
9
)R3
−−−−−−−−−−→
R2←R2−(
−6
)R3

142. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 55/77
Lacancelaciónprocederestandolosmúltiplosdelrenglón3
usandoloselementosanterioresalamultiplicación:



−54 0
−54
54
0−18
36
−18
0 0
−6
−6



R1←R1−(
9
)R3
−−−−−−−−−−→
R2←R2−(
−6
)R3



−54 0 0
108
0−18 0
−54
0 0−6
−6



(0.19)

143. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 56/77
Las?nicasdivisionesprocedenalnal:



−54
0 0
108
0
−18
0
−54
0 0
−6
−6




144. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 56/77
Las?nicasdivisionesprocedenalnal:



−54
0 0
108
0
−18
0
−54
0 0
−6
−6



R1←1/(
−54
)R1
R2←1/(
−18
)R2
−−−−−−−−−−−−−−−→
R3←1/(
−6
)R3

145. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 56/77
Las?nicasdivisionesprocedenalnal:



−54
0 0
108
0
−18
0
−54
0 0
−6
−6



R1←1/(
−54
)R1
R2←1/(
−18
)R2
−−−−−−−−−−−−−−−→
R3←1/(
−6
)R3



1 0 0
−2
0 1 0
3
0 0 1
1



(0.20)

146. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 57/77
Diferenciasoperativasdelosmétodos
Ejemplo
Para la matriz:


23 13 1
0 11−3


indique cuál sería el siguiente paso de acuerdo a:
a) Eliminación Gaussiana
b) Método de Gauss-Jordan
c) Método de Montante
entre las opciones:
1)R1←11R1
2)R1←
1
23
R1
3)R1←R1−
13
11
R2
4)R2←
1
11
R2

147. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 57/77
Diferenciasoperativasdelosmétodos
Ejemplo
Para la matriz:


23 13 1
0 11−3


indique cuál sería el siguiente paso de acuerdo a:
a) Eliminación Gaussiana
b) Método de Gauss-Jordan
c) Método de Montante
entre las opciones:
1)R1←11R1
2)R1←
1
23
R1
3)R1←R1−
13
11
R2
4)R2←
1
11
R2
Respuesta
:
Eliminación Gaussiana→4, Gauss-Jordan→2, Montante→1

148. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad - Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 58/77
Complejidaddeunalgoritmo
Lapalabra
FLOP
(FLoatingpointOPeration)reere
aunaoperaciónentrenúmerosrealesyabarca
suma,resta,multiplicación,odivisión.
Actualmente,encomputaciónlapalabraFLOPSes
utilizadacomoacrónimodeFLoatingpoint
OperationsPerSecond,peroeneláreadeanálisis
dealgoritmosyparanosotrostieneelsignicado
queyaexplicamosyFLOPsseráelpluralde
FLOP.
Elanálisisquerealizaremosdelacomplejidadde
losalgoritmosvistosserácontandoelnúmerototal
deFLOPsqueseinviertecuandoseaplicaaun
sistemalinealdenecuacionesconnincógnitas
general.

149. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss - Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 59/77
ComplejidaddelalgoritmodeGauss
EsimportantenotarqueelprocesodeGauss
avanzadejandolamatrizescalonadahastala
columnadetrabajo:













a1,1a1,2∙∙∙a1,m−1a1,m∙∙∙
0a2,2∙∙∙a2,m−1a2,m∙∙∙
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0∙∙∙am−1,m−1am−1,m∙∙∙
0 0∙∙∙0am,m
∙∙∙
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0∙∙∙0an,m∙∙∙














150. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss - Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 60/77
1 Ciclodelpaso1al4
Enelpaso3hayquehacercerodebajodel
elemento(m,m),paracadaunodelosm−n
renglonesinferioresRi;paraellohabráque
ncalcularelfactorf=ai,m/am,m
nrealizarlaoperación:
Ri←Ri−fRm.
2(n−m+1)+1=2n−2m+3.
entoncespararealizarunciclodesdeelpaso1
hastaelpaso4debenhacerse
(n−m)(2n−2m+3)FLOPS.
n−1
X
m=1
(n−m)(2n−2m+3)=
2
3
n
3
+
1
2
n
2
−
7
6
n.

151. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss - Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 61/77













a1,1a1,2∙∙∙a1,m0∙∙∙0
a1,n+1
0a2,2∙∙∙a2,m0∙∙∙0
a2,n+1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0∙∙∙am,m
0∙∙∙0
am,n+1
0 0∙∙∙0 1∙∙∙0
am+1,n+1
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
0 0∙∙∙0 0∙∙∙1
an,n+1














152. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss - Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 62/77
2 Ciclodelpaso5.
Lasoperacionesimplicadasenelpaso5serán
nRm←
1
am,m
Rm
nRj←Rj−aj,mRm
2(m−1)+1=2m−1

153. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss - Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 62/77
2 Ciclodelpaso5.
Lasoperacionesimplicadasenelpaso5serán
nRm←
1
am,m
Rm
nRj←Rj−aj,mRm
2(m−1)+1=2m−1
PorconsiguienteeltotaldeFLOPsenelpaso5
será:
1
X
m=n
(2m−1)=n
2

154. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss - Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 62/77
2 Ciclodelpaso5.
Lasoperacionesimplicadasenelpaso5serán
nRm←
1
am,m
Rm
nRj←Rj−aj,mRm
2(m−1)+1=2m−1
PorconsiguienteeltotaldeFLOPsenelpaso5
será:
1
X
m=n
(2m−1)=n
2
23
n
3
+
3
2
n
2
−
7
6
n

155. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan - Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 63/77
ComplejidaddelalgoritmodeGauss-Jordan













1 0∙∙∙0a1,m∙∙∙
0 1∙∙∙0a2,m∙∙∙
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0∙∙∙1am−1,m∙∙∙
0 0∙∙∙0am,m
∙∙∙
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0∙∙∙0an,m∙∙∙














156. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan - Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 64/77
1. Paso2.
(n+1)−(m+1)+1=n−m+1
divisiones.

157. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan - Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 65/77
2. Paso3.
Ri←Ri−ai,mRm.

158. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan - Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 65/77
2. Paso3.
Ri←Ri−ai,mRm.
parahacerunceroenunrenglónarribaoabajo
de(m,m)serequieren2(n−m+1)

159. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan - Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 65/77
2. Paso3.
Ri←Ri−ai,mRm.
parahacerunceroenunrenglónarribaoabajo
de(m,m)serequieren2(n−m+1)Comohay
entotalnrenglones(n−1)2(n−m+1)

160. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan - Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 65/77
2. Paso3.
Ri←Ri−ai,mRm.
parahacerunceroenunrenglónarribaoabajo
de(m,m)serequieren2(n−m+1)Comohay
entotalnrenglones(n−1)2(n−m+1)en
unaiteracióndelpaso2seguidodelpaso3se
haránn−m+1+(n−1)2(n−m+1)

161. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan - Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 65/77
2. Paso3.
Ri←Ri−ai,mRm.
parahacerunceroenunrenglónarribaoabajo
de(m,m)serequieren2(n−m+1)Comohay
entotalnrenglones(n−1)2(n−m+1)en
unaiteracióndelpaso2seguidodelpaso3se
haránn−m+1+(n−1)2(n−m+1)
n
X
m=1
(n−m+1+(n−1)2(n−m+1))=n
3
+
1
2
n
2
−
1
2
n

162. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan - Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 66/77
Así,lacomplejidaddelalgoritmodeGauss-Jordan
es:
n
3
+
1
2
n
2
−
1
2
n

163. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 67/77
ComplejidaddelalgoritmodeMontante













a1,10∙∙∙0a1,m∙∙∙
0a2,2∙∙∙0a2,m∙∙∙
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0∙∙∙am−1,m−1am−1,m∙∙∙
0 0∙∙∙0am,m
∙∙∙
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0∙∙∙0an,m∙∙∙














164. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 68/77
nMultiplicacióndelosrenglonessuperiorespor
am,m.
(m−1)(n−m+1)+m−1
nMultiplicacióndelosrenglonesinferiorespor
am,m.

165. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 68/77
nMultiplicacióndelosrenglonessuperiorespor
am,m.
(m−1)(n−m+1)+m−1
nMultiplicacióndelosrenglonesinferiorespor
am,m.
(n−m)(n−m+1)
nAcadarenglóndiferentedemaplicarle
Ri←Ri−ai,mRm

166. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 68/77
nMultiplicacióndelosrenglonessuperiorespor
am,m.
(m−1)(n−m+1)+m−1
nMultiplicacióndelosrenglonesinferiorespor
am,m.
(n−m)(n−m+1)
nAcadarenglóndiferentedemaplicarle
Ri←Ri−ai,mRm
(n−1)2(n−m+1)

167. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 68/77
nMultiplicacióndelosrenglonessuperiorespor
am,m.
(m−1)(n−m+1)+m−1
nMultiplicacióndelosrenglonesinferiorespor
am,m.
(n−m)(n−m+1)
nAcadarenglóndiferentedemaplicarle
Ri←Ri−ai,mRm
(n−1)2(n−m+1)
eltotaldeFLOPsparaeltrabajoconelrenglónm
es:
3n
2
−3mn+4m−4

168. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 69/77
Porconsiguiente,alrepetirestospasosdesdeel
primerrenglónhastaelúltimodaránuntotalde
FLOPs:
n
X
m=1
−
3n
2
−3mn+4m−4
∙
=
3
2
n
3
+
1
2
n
2
−2n

169. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 69/77
Porconsiguiente,alrepetirestospasosdesdeel
primerrenglónhastaelúltimodaránuntotalde
FLOPs:
n
X
m=1
−
3n
2
−3mn+4m−4
∙
=
3
2
n
3
+
1
2
n
2
−2n
Posteriormentehabráquehacer1cadaelemento
pivoterealizandondivisionesadicionales.

170. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 69/77
Porconsiguiente,alrepetirestospasosdesdeel
primerrenglónhastaelúltimodaránuntotalde
FLOPs:
n
X
m=1
−
3n
2
−3mn+4m−4
∙
=
3
2
n
3
+
1
2
n
2
−2n
Posteriormentehabráquehacer1cadaelemento
pivoterealizandondivisionesadicionales.Así,la
complejidaddelalgoritmodeMontantees:
32
n
3
+
1
2
n
2
−n

171. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor? Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 70/77
Comparativadelosalgoritmos
Apesarquelacomplejidaddelosalgoritmos
indicaqueelalgoritmodeeliminacióngaussiana
esmejorportenerlamenorcomplejidad,

172. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor? Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 70/77
Comparativadelosalgoritmos
Apesarquelacomplejidaddelosalgoritmos
indicaqueelalgoritmodeeliminacióngaussiana
esmejorportenerlamenorcomplejidad,la
versiónencomputadoraparalela(muchos
procesadores)delalgoritmodeGauss-Jordan
tieneunamenorcomplejidadquelaversión
paraleladelalgoritmodeEliminaciónGaussiana.

173. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor? Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 70/77
Comparativadelosalgoritmos
Apesarquelacomplejidaddelosalgoritmos
indicaqueelalgoritmodeeliminacióngaussiana
esmejorportenerlamenorcomplejidad,la
versiónencomputadoraparalela(muchos
procesadores)delalgoritmodeGauss-Jordan
tieneunamenorcomplejidadquelaversión
paraleladelalgoritmodeEliminaciónGaussiana.
ElalgoritmodeMontantetienelaventajaquesise
utilizaparamatricesconcoecientesenteroslas
únicasdivisionesrealizadasseránlasúltimas,lo
cualreducesustancialmenteelerrornumérico.

174. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor? Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 70/77
Comparativadelosalgoritmos
Apesarquelacomplejidaddelosalgoritmos
indicaqueelalgoritmodeeliminacióngaussiana
esmejorportenerlamenorcomplejidad,la
versiónencomputadoraparalela(muchos
procesadores)delalgoritmodeGauss-Jordan
tieneunamenorcomplejidadquelaversión
paraleladelalgoritmodeEliminaciónGaussiana.
ElalgoritmodeMontantetienelaventajaquesise
utilizaparamatricesconcoecientesenteroslas
únicasdivisionesrealizadasseránlasúltimas,lo
cualreducesustancialmenteelerrornumérico.
Unadesventajaimportantedelalgoritmode
Montanteesqueloscoecientesenlamatriz
puedencrecerconsiderablemente.

175. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 71/77
Algoritmosycomputadoras
Lascomputadorasoperanrealizando
instruccionesbásicaspasoapaso.

176. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 71/77
Algoritmosycomputadoras
Lascomputadorasoperanrealizando
instruccionesbásicaspasoapaso.Dichas
instruccionessonejecutadasenformasíncrona
conunrelojinterno.

177. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 71/77
Algoritmosycomputadoras
Lascomputadorasoperanrealizando
instruccionesbásicaspasoapaso.Dichas
instruccionessonejecutadasenformasíncrona
conunrelojinterno.Ennuestrosdías(añode
2005),escomúnescucharquelavelocidaddeuna
computadorasemidaenalgunospocosgigahertz,
digamosporejemplo1.3Gigahertz.

178. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 71/77
Algoritmosycomputadoras
Lascomputadorasoperanrealizando
instruccionesbásicaspasoapaso.Dichas
instruccionessonejecutadasenformasíncrona
conunrelojinterno.Ennuestrosdías(añode
2005),escomúnescucharquelavelocidaddeuna
computadorasemidaenalgunospocosgigahertz,
digamosporejemplo1.3Gigahertz.Elloquiere
decirqueelrelojinternodeunacomputadora
ejecutará1.3×10
9
ciclosenunsegundo.

179. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 71/77
Algoritmosycomputadoras
Lascomputadorasoperanrealizando
instruccionesbásicaspasoapaso.Dichas
instruccionessonejecutadasenformasíncrona
conunrelojinterno.Ennuestrosdías(añode
2005),escomúnescucharquelavelocidaddeuna
computadorasemidaenalgunospocosgigahertz,
digamosporejemplo1.3Gigahertz.Elloquiere
decirqueelrelojinternodeunacomputadora
ejecutará1.3×10
9
ciclosenunsegundo.Locual
equivaleadecirqueaproximadamentedicha
computadoraejecutará1.3×10
9
instrucciones
básicasenunsegundo.

180. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 72/77
EltiempodeejecucióndeunFLOPenlas
computadoraspuedevariar;

181. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 72/77
EltiempodeejecucióndeunFLOPenlas
computadoraspuedevariar;enalgunas
computadorastomaeltiempode1,2oenalgunos
casos3,instruccionesbásicasparacompletarun
FLOP.

182. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 72/77
EltiempodeejecucióndeunFLOPenlas
computadoraspuedevariar;enalgunas
computadorastomaeltiempode1,2oenalgunos
casos3,instruccionesbásicasparacompletarun
FLOP.Siseguimoselejemplodelacomputadora
de1.3Ghzysuponemosquenuestrahipotética
computadoratome2instruccionesbásicaspara
completarunFLOP,

183. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 72/77
EltiempodeejecucióndeunFLOPenlas
computadoraspuedevariar;enalgunas
computadorastomaeltiempode1,2oenalgunos
casos3,instruccionesbásicasparacompletarun
FLOP.Siseguimoselejemplodelacomputadora
de1.3Ghzysuponemosquenuestrahipotética
computadoratome2instruccionesbásicaspara
completarunFLOP, podríamosdecirquecada
FLOPtomaría1/(1.3×10
9
)/2segundos.

184. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 73/77
Paratenerunaideadelusodelacomplejidaddel
algoritmoparadeterminartiemposdecomputo,
digamosquesedeseautilizarunprogramaque
realizaelalgoritmodeGaussendicha
computadorapararesolverunsistemade
100×100.

185. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 73/77
Paratenerunaideadelusodelacomplejidaddel
algoritmoparadeterminartiemposdecomputo,
digamosquesedeseautilizarunprogramaque
realizaelalgoritmodeGaussendicha
computadorapararesolverunsistemade
100×100.Entonces,dichoprogramarealizará
681550FLOPs,

186. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 73/77
Paratenerunaideadelusodelacomplejidaddel
algoritmoparadeterminartiemposdecomputo,
digamosquesedeseautilizarunprogramaque
realizaelalgoritmodeGaussendicha
computadorapararesolverunsistemade
100×100.Entonces,dichoprogramarealizará
681550FLOPs, porconsiguienteeltiempoque
tomarás´olo en operaciones de punto otanteserá
681550/(1.3×10
9
)/2≈0.000262segundos.

187. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 73/77
Paratenerunaideadelusodelacomplejidaddel
algoritmoparadeterminartiemposdecomputo,
digamosquesedeseautilizarunprogramaque
realizaelalgoritmodeGaussendicha
computadorapararesolverunsistemade
100×100.Entonces,dichoprogramarealizará
681550FLOPs, porconsiguienteeltiempoque
tomarás´olo en operaciones de punto otanteserá
681550/(1.3×10
9
)/2≈0.000262segundos.
Mientrasqueparaunsistema1000×1000seráde
.256986segundosyparaunode10000×10000
seráde256.467segundos.

188. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- In×nitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 74/77
Enambientesdemanufacturadondeseutilizael
métododelelemento×nitoparahacer
simulaciones,escomúntrabajarconmatricesde
másde10
6
×10
6
.Resolverunsistema10
6
×10
6
entalcomputadoraserequeriría,contandosólo
tiempoporoperacionesdepuntootante,unpoco
másde8añosenserresuelto.Además,requeriría
másde900terabytesparaseralmacenado.Por
ello,esqueexistenalgoritmosespecializadosque
aprovechanelhechodequelamatriztieneuna
formaparticularparaeconomizaroperacionesy
espacio.

189. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 75/77
YlosdeterminantesdelMétododeMontante?
EnladeniciónoriginaldelmétododeMontante
comofuepropuestoporsucreador,sehacía
referenciaadeterminantesde2por2.Enla
presentacióndadaenestalecturahemosomitido
talreferenciayhemospreferidoreducirelmétodo
aoperacioneselementalesderenglónlascuales
creemosquehacenelmétodomásclaroyqueno
requierenningúnotroconcepto.Paracorroborarla
equivalencia,vealossiguientescálculosalaplicar
elmétodoMontanteenlamatrizdadaycompare
loscontenidosdelamatrizintermediaenla
posición(2,2)o(3,2)conlamatrizinicial.

190. Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 76/77
Primeramente obligamos a que sean múltiplos de(1,1)los contenidos de(2,1)y
(3,1):




a11
a12
∙∙∙
a21
a22
∙∙∙
a31
a32
∙∙∙




R
2
←
a
11
R
2
−−−−−−−→
R
3
←
a
11
R
3




a11
a12
∙∙∙
a11
a21
a11
a22
∙∙∙
a11
a31
a11
a32
∙∙∙




(0.21)
Posteriormente, se procede a hacerlos cero utilizando el el emento pivote(1,1):




a11
a12
∙∙∙
a11
a21
a11
a22
∙∙∙
a11
a31
a11
a32
∙∙∙




R
2
←R
2
−
a
21
R
1
−−−−−−−−−−→
R
3
←R
3
−
a
31
R
3




a11
a12
∙∙∙
0
a11
a22
−
a21
a12
∙∙∙
0
a11
a32
−
a31
a12
∙∙∙




(0.22)
Viendo los contenidos ×nales de(2,2)o de(3,2)la referencia a los determinantes 2
por 2 en la matriz inicial es obvia, aunque consideramos que t ambién innecesaria.

191. Introducci´on
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
An´alisis
- Inconsistencia
- Consistencia
-´Unica
- Innitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cu´al es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmosÁlgebra Lineal - p. 77/77
Pero,quémétodomeconvieneseguir?
Comoseverámásadelanteenelcurso,debidoal
signicadodecadanúmeroenlareducida,la
matrizreducidaobtenidadeunamatrizdadaes
única.Estosignicaquecualquierprocedimiento
basadoenoperacioneselementalesderenglón
debellevaralmismoresultado.Portanto,estonos
dalaposibilidaddeseguircualquierestrategia
basadaenoperacioneselementalesderenglón
parareducirunamatriz.Loquenormalmentese
haceesrevisarasimplevistaencadamomento
aquélelementoqueconvienequeseapivotede
maneraqueinvolucreomenornúmerode
operacionesobienoperacionesmenoscomplejas.
Sinduda,elhacerunnúmerorazonablede
ejemplosleiráconstruyendolaintuicióndel
caminopersonaldereduccióndeunamatriz.