Matriz jacobiana

Universidad de Ciencias y Humanidades

1. DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E
INFORMÁTICA
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA PARA LA INGENIERÍA CICLO: III

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected] – [email protected]
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ [email protected] 999685938
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TEMA: Derivadas parciales de una función de varias variables SEMANA: 12
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 803B SEMESTETRE: 2017 - II

MATRIZ JACOBIANA


La matriz jacobiana: Es una matriz formada por
las derivadas parciales de primer orden de una función.
Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz
es la posibilidad de aproximar linealmente a la función
en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la
derivada de una función multivariable.

Propiamente deberíamos hablar más que de matriz
jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal
jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la
base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases
diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá
componentes diferentes aun tratándose del mismo
objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz"
jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera :
nm
F 
continua, es decir (k)
( , )
nm
FC
se dirá que es diferenciable si existe una aplicación
lineal ( , )
nm
 tal que: 0
(F(x) F(y)) (x y)
lim 0
xy xy


  


…. (1)

Función escalar: Empecemos con el caso más sencillo
de una función escalar :.
n
F En este caso la
matriz jacobiana será una matriz formada por un vector
fila que coincide con el gradiente. Si la función admite
derivadas parciales para cada variable puede verse que
basta definir la "matriz" jacobiana como: 1
(x) (x)
(x): F(x)
n
FF
xx


   




Ya que entonces se cumplirá la relación (1)
automáticamente, por lo que en este caso la "matriz
jacobiana" es precisamente el gradiente.
Función vectorial: Supongamos :
n
F es una
función que va del espacio euclídeo n-dimensional a
otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función está
determinada por m funciones escalares reales: (x ,...,x ),
i i i n
yF
1
(x) (F (x),...,F (x))
m
yF
Cuando la función anterior es diferenciable, entonces
las derivadas parciales de estas m funciones pueden ser
organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana
de F: 11
1
1
n
mm
n
yy
xx
yy
xx











Esta matriz es notada de diversas maneras: 1
1
1
(y , , y )
(x , ,x ), o
(x , ,x )
m
Fn
m
J


o 11
(x , x ), o F(x , x )
nn
DF 

Nótese que la fila, i-ésima fila coincidirá dada con
el gradiente de la función ,
i
y para ?????? = 1,...,�.
Si p es un punto de n y F es diferenciable en p,
entonces su derivada está dada por (p).
p
J En este
caso, la aplicación lineal descrita por (p)
p
J es la
mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, de
esta manera: (x) F(p) (p)(x p)
F
FJ  

para x cerca de p. O con mayor precisión:

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(F(x) F(p)) (p)(x )
lim 0
F
xp
Jp
xp

  




En ciertos espacios vectoriales de dimensión no finita,
formados por funciones, puede generalizarse el
concepto de matriz jacobiana definiendo una aplicación
lineal jacobiana.

Ejemplos
01. La matriz jacobiana de la función 33
:F
definida como: 2
1 2 3 1 3 2 3
(x ,x ,x ) (x ,5x ,4x 2x )F 

Es 1 2 3
2
1 0 0
(x ,x ,x ) 0 0 5
0 8 2
F
J
x




 


No siempre la matriz jacobiana es cuadrada.

02. Supóngase la función 34
:,F cuyas
componentes son: 1
1
1
y
x

23
5yx
2
3 2 3
42y x x
4 3 1
(x )y x sen


Aplicando la definición de matriz jacobiana:
111
1 2 3
222
1 2 3
1 2 3
333
1 2 3
444
1 2 3
(x ,x ,x )
F
yyy
x x x
yyy
x x x
J
yyy
x x x
yyy
x x x


  



  




  



  



2
1
2
3 1 1
1
00
0 0 5
.
0 8 2
cos(x ) 0 (x )
x
x
x sen














DETERMINANTE JACOBIANO

Si � = �, entonces F es una función que va de un
espacio n-dimensional a otro. En este caso la matriz
jacobiana es cuadrada y podemos calcular su
determinante, conocido como el determinante jacobiano
o simplemente jacobiano.

El determinante jacobiano en un punto dado nos da
información importante sobre el comportamiento
de F cerca de ese punto. Para empezar, una función F es
invertible cerca de p si el determinante jacobiano
en p es no nulo. Más aún, el valor absoluto del
determinante en p nos da el factor con el cual F expande
o contrae su volumen cerca de p.
Ejemplos
01. El determinante jacobiano de la
función 33
:F definida como: 2
1 2 3 2 1 2 3 2 3
(x ,x ,x ) (5x ,4x 2sen(x x ), x x )F 

es:

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0 5 0
(x ,x ,x ) 8 2 cos(x x ) 2 cos(x x )
0
J x x x
xx
  
1 2 2 3
12
2
8 2 cos(x x )
5 40
0
xx
xx
x

   


Teorema de la función inversa garantiza que la
función es localmente invertible en todo el dominio
excepto quizá donde 1
0x ó 2
0x (es decir, los
valores para los que el determinante se hace cero). Si
imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto
(1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto
aproximadamente 40 veces más voluminoso que el
original.

02. Cambiando un poco la función anterior por ésta: 2
1 2 3 2 1 2 3 1
(x , x , x ) (5x , 4x 2 (x x ), x )F sen 

El determinante jacobiano quedará: 1 2 3 1 3 2 3 2 2 3
0 5 0
(x ,x ,x ) 8 2 cos(x x ) 2 cos(x x )
1 0 0
J x x x  
1 2 2 3
2 2 3
8 2 cos(x x )
5 10 cos(x x ).
10
xx
x

    

En este caso existen más valores que anulan al
determinante. Por un lado 2
0,x y por otro: 2 3 2 3
cos(x x ) 0 x x (2k 1)
2

     
con ??????=
0,1,2,3,…
Invertibilidad y jacobiano Una propiedad interesante del
jacobiano es que cuando éste es diferente de cero en el
entorno de un punto dado, entonces el teorema de la
función inversa garantiza que la función admite una
función inversa alrededor de dicho punto.
El teorema anterior expresa una condición suficiente
aunque no necesaria, ya que por ejemplo la
función 3
(x) xf tiene por jacobiano 2
(x) 3xJ
que se anula en el punto 0,x aunque alrededor de ese
punto la función sigue teniendo
inversa 1
1 3
(x) (x) x ,gf

 aun cuando el jacobiano
es nulo en el origen.

Bibliografías
Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica
Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III
G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica
Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la
matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill, 1967.
Leithold, Louis. “Cálculo con Geometría Analítica”,
Harla, sexta edición, 1992.
Referencias
https://www.luna.ovh/planeta/es/Jacobiano