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matrizes - propriedades, tipos e operações

1. MATRIZES PROFº MARCOS

2. MATRIZES QUALQUER TABELA DE NÚMEROS DISPOSTOS RETANGULARMENTE EM LINHA E COLUNAS PROFº MARCOS

3. A ideia de matriz se associa com a de uma tabela de números O uso das matrizes no dia a dia é relativamente frequente em: imagens da internet (gif, jpeg), planilhas eletrônicas, tabelas de dados. As matrizes terão importância essencial no desenvolvimento de sistemas lineares.

4. REPRESENTAÇÃO DE MATRIZES 1 2 3 4 𝑜𝑢 1 2 3 4 𝑜𝑢 1 2 3 4

5. PARTES DE UMA MATRIZ 𝐴 = 1 4 2 5 3 6 7 8 9 LINHAS ELEMENTO COLUNAS OBS: FILEIRA: pode ser tanto uma linha ou uma coluna

6. A m x n – matriz A ( m linhas e n colunas) 𝑎 𝑖𝑗 – Elemento qualquer que está na linha i e na coluna j. NOMENCLATURA A = 𝑎13 𝑎23 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎33 Elem e nto da 3 ª li n ha e 2 ª colu n a

7. Exemplo: 𝑎 𝑖𝑗 Escrever a matriz A = 2x3, onde 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗 LEI DE FORMAÇÃO A = 𝑎11 𝑎21 𝑎12 𝑎22 𝑎23 𝑎13 = 2 3 4 3 4 5 𝑖 + 𝑗

8. QUANTO ÀS FILEIRAS TEMOS: TIPOS DE MATRIZ 𝐴 = ( 1 2 3) MATRIZ LINHA 𝐴 = 1 2 3 MATRIZ COLUNA A = 1 2 3 4 MATRIZ QUADRADA

9. Ainda na matriz quadrada temos: A = 1 2 3 2 1 2 3 1 4 DIAGONAL SECUNDÁRIA DIAGONAL PRINCIPAL

10. A = 1 0 0 1 0 0 1 MATRIZ IDENTIDADE Todos os elementos da diagonal principal valerem 1 e os demais zero.

11. A = MATRIZ NULA

12. Duas matrizes são iguais se (e somente se) são de mesma ordem. Ou seja, igual o número de linhas e colunas e seus elementos correspondentes são iguais IGUALDADE DE MATRIZES 𝐴 = 1 2 3 4 𝐵 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Se A = B , então: a = 1 b = 2 c = 3 d = 4

13. Se duas matrizes possuem a mesma ordem , basta somarmos os elementos correspondentes. ADIÇÃO DE MATRIZES 𝐴 = 1 2 3 4 5 6 + B= 2 5 4 1 2 9 = C = 3 7 7 5 7 15

14. A + B = B + A comutativa A + (B + C) = (A + B) + C associativa A + O = A A + (-A) = O elemento neutro elemento oposto ou simétrico PROPRIEDADES DA ADIÇÃO matriz oposta

15. Se A e B são matrizes de mesma ordem. Para se fazer A – B basta subtrair os elementos correspondentes de A e B, mantendo-se os seus índices. SUBTRAÇÃO DE MATRIZES A= 5 6 7 8 - B 1 2 3 − 4 = 4 4 4 12

16. Basta multiplicar o nº por todos os elementos da matriz. PRODUTO DE UM Nº REAL POR UMA MATRIZ 2 . 1 3 4 2 = 2 4 6 8

17. Ao multiplicarmos ( - 1) por A vamos obter o oposto de A. OPOSTO DE UMA MATRIZ Se A = 1 2 , 𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑢 𝑙𝑒 𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑 𝑒 𝐴 3 4 - A = (-1). 1 2 3 4 = − 1 − 2 − 3 − 4

18. Dada uma matriz A de tipo mxn, chama-se transposta de A e indica-se 𝐴 𝑡 . Basta trocar ordenadamente as linhas pelas colunas de A. MATRIZ TRANSPOSTA 𝐴 = 2 1 − 3 5 4 3 𝐴 𝑡 = 2 − 3 4 1 5 3

19. DETALHES: O produto AB é diferente de BA.(a ordem importa). O número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. O resultado terá o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda. PRODUTO DE MATRIZES

20. 𝑆𝑒 𝐴 = 𝑎 𝑖𝑗 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛 𝑥 𝑞 LI N H AS COLUNAS m x n e = PARA QUE HAJA O PRODUTO DAS MATRIZES É NECESSÁRIO QUE: número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. RESULTADO NESSA ORDEM Então: A . B = (𝐶 𝑖𝑗 ) 𝑚 𝑥 𝑞

21. Seja: 𝐴 = 1 2 3 3 1 2 𝑒 𝐵 = 2 1 3 2 4 5 Exemplo: Existe produto de AB? Justifique. Calcule o produto se existir.

22. 1. Existe produto de AB? Justifique 1. Sim. A ordem de A é (2 x 3) e a ordem de B é (3 x 2). Como o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. O produto existe e terá ordem 2 x 2. 𝐴 = 1 2 3 3 1 2 2 1 𝐵 = 3 2 4 5 2 x 3 3 x 2

23. 2. Calcule o produto se existir. 𝐴 = 1 2 3 3 1 2 𝐵 = 2 1 3 2 4 5 𝐴 = 1.2 + 2.3 + 3.4 3.2 + 1.3 + 2.4 1.1 + 2.2 + 3.5 3.1 + 1.2 + 2.5 = 𝐴 = 20 20 1 7 15 PROFº MARCOS

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