Matrizes resumo

1. Matrizes
Uma matriz de ordem m x n é qualquer conjunto de m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Representação
Cada elemento de uma matriz é localizado por dois índices: aij. O primeiro indica a linha, e o segundo, a
coluna.
A matriz A pode ser representada abreviadamente por uma sentença matemática que indica a lei de formação
para seus elementos.
A = (aij)mxn | lei de formação.
Ex.: (aij)2×3 | aij = i . j
Classificação das Matrizes
Em função dos valores de m e n, classifica-se a matriz A = (aij)mxn em:
Ex.: é uma matriz quadrada de ordem 3.
Numa matriz A = (aij)mxn quadrada de ordem n, os elementos aij com i = j constituem a diagonal principal. Os
elementos aij com i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.

2. Tipos de Matrizes
Matriz Nula
É a matriz onde todos os elementos são nulos.
Matriz Oposta
Matriz oposta de uma matriz A = (aij)mxn é a matriz B
= (bij)mxn tal que bij = -aij.
Matriz Identidade ou Matriz Unidade
Matriz Transposta (At)
É a matriz que se obtém trocando ordenadamente as
linhas pelas colunas da matriz dada.
Se B = (bij)mxn é transposta de A = (aij)mxn, então bij =
aij.
Matriz Diagonal
É uma matriz quadrada onde aij = 0, para i j, isto
é, os elementos que não estão na diagonal principal
são nulos.
Matriz Simétrica
É uma matriz quadrada A tal que A
t
= A, isto é, a
ij
=
a
ij
para i j.
Matriz Anti-simétrica
É uma matriz quadrada A tal que A
t
= -A , isto é, aij
= -aij para i e j quaisquer.

3. Operações com Matrizes
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem, são iguais se, e somente se, aij = bij.
Exemplos:
Propriedades da Igualdade
- Se A = B, então A
t
= B
t

- (A
t
)
t
= A
Adição e subtração de Matrizes
A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de
mesma ordem é uma matriz C = (aij)mxn tal que
C = aij + bij.
A subtração de matrizes é dada pela sentença:
A – B = A + (– B )
Propriedades da adição de Matrizes
a) A + B = B + A (COMUTATIVA)
b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA)
c) A + 0 = 0 + A = A (ELEMENTO NEUTRO)
d) A + (-A) = (-A) + A = 0 (ELEMENTO OPOSTO)
e) (A + B)
T
= A
T
+ B
T
(TRANSPOSTA DA SOMA)