Matrizes - resumo

´Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes
Notas de Aula
Petronio Pulino




1 3 4
3 1 0
4 0 1




= Q




−4
1
6




Q
t
Q
t
Q =



1
1
1



sq
PULINUS

´Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes
Notas de Aula
Petronio Pulino
Departamento de Matem´atica Aplicada
Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıﬁca
Universidade Estadual de Campinas
E–mail: [email protected]
www.ime.unicamp.br/∼pulino/ALESA/
Janeiro de 2012

Conte´udo
1Estruturas Alg´ebricas 1
1.1 Opera¸c˜ao Bin´aria. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2
1.2 Corpo Comutativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Corpo com Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Corpo Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Valor Absoluto num Corpo Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
1.6 N´umeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 N´umeros Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Caracter´ıstica do Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 25
1.9 M´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2Matrizes e Sistemas Lineares 29
2.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Tipos Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 41
2.3 Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5 Opera¸c˜oes Elementares. Equivalˆencia . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 76
2.6 Forma Escalonada. Forma Escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 81
2.7 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84
2.8 Matrizes Congruentes. Lei da In´ercia . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 101
2.9 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 107
3Espa¸cos Vetoriais 139
3.1 Espa¸co Vetorial. Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 140
3.2 Subespa¸co Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 147
3.3 Combina¸c˜ao Linear. Subespa¸co Gerado . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 154
3.4 Soma e Intersec¸c˜ao. Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 158
3.5 Dependˆencia e Independˆencia Linear . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 167
3.6 Bases e Dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.7 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.8 Mudan¸ca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
i

ii CONTE
´
UDO
4Transforma¸c˜oes Lineares 219
4.1 Transforma¸c˜oes do Plano no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 220
4.2 Transforma¸c˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 221
4.3 N´ucleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4.4 Posto e Nulidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.5 Espa¸cos Vetoriais Isomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 244
4.6
´
Algebra das Transforma¸c˜oes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 249
4.7 Transforma¸c˜ao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 253
4.8 Representa¸c˜ao Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 268
5Produto Interno 283
5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284
5.2 Deﬁni¸c˜ao de Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 284
5.3 Desigualdade de Cauchy–Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 297
5.4 Deﬁni¸c˜ao de Norma. Norma Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 299
5.5 Deﬁni¸c˜ao de
ˆ
Angulo. Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.6 Base Ortogonal. Coeﬁcientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 311
5.7 Processo de Gram–Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .316
5.8 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324
5.9 Decomposi¸c˜ao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 329
5.10 Identidade de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 337
5.11 Desigualdade de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 339
5.12 Operadores Sim´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 341
5.13 Operadores Hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 345
5.14 Operadores Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 347
5.15 Proje¸c˜ao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 353
5.16 Reﬂex˜ao sobre um Subespa¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 361
5.17 Melhor Aproxima¸c˜ao em Subespa¸cos . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 365
6Autovalores e Autovetores 369
6.1 Autovalor e Autovetor de um Operador Linear . . . . . . . . . . . . .. . . 370
6.2 Autovalor e Autovetor de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 379
6.3 Multiplicidade Alg´ebrica e Geom´etrica . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 394
6.4 Matrizes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399
6.5 Aplica¸c˜ao. Classiﬁca¸c˜ao de Pontos Cr´ıticos . . . . . .. . . . . . . . . . . . 411
6.6 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 416
6.7 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Hermitianos . . . . . . . . . .. . . . . . . . 438

CONTE
´
UDO iii
7Funcionais Lineares e Espa¸co Dual 463
7.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .464
7.2 Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 465
7.3 Espa¸co Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
7.4 Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 488
8´Algebra Linear Computacional 493
8.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494
8.2 Decomposi¸c˜ao de Schur. Teorema Espectral . . . . . . . . . .. . . . . . . 495
8.3 Normas Consistentes em Espa¸cos de Matrizes . . . . . . . . . . .. . . . . 501
8.4 An´alise de Sensibilidade de Sistemas Lineares . . . . . . . .. . . . . . . . 514
8.5 Sistema Linear Positivo–Deﬁnido . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 532
8.6 M´etodos dos Gradientes Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 537
8.7 Fatora¸c˜ao de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 555
8.8 M´etodos Iterativos para Sistemas Lineares . . . . . . . . . .. . . . . . . . 566
8.9 Sistema Linear Sobredeterminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 591
8.10 Subespa¸cos Fundamentais de uma Matriz . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 597
8.11 Proje¸c˜oes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 615
8.12 Matriz de Proje¸c˜ao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 621
8.13 Fatora¸c˜aoQR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
8.14 Modelos de Regress˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 647
8.15 Solu¸c˜ao de norma–2 M´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 684
8.16 Problemas de Ponto Sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 695
8.17 Decomposi¸c˜ao em Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 711
Bibliograﬁa 735

iv CONTE
´
UDO

cPetronio Pulino, 2011 DMA – IMECC – UNICAMP
2
Matrizes e Sistemas Lineares
Conte´udo
2.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Tipos Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5 Opera¸c˜oes Elementares. Equivalˆencia . . . . . . . . . . . . . .76
2.6 Forma Escalonada. Forma Escada . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.8 Matrizes Congruentes. Lei da In´ercia . . . . . . . . . . . . . . 101
2.9 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
29

30
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
2.1 Matrizes
Deﬁni¸c˜ao 2.1.1Denominamosmatriza um conjunto de n´umeros reais, ou a um
conjunto de n´umeros complexos, dispostos em linhas e colunas, numa certa ordem, e
colocados entre colchetes. Assim, uma matrizreal, ou uma matrizcomplexa, que vamos
denotar porA, commlinhas encolunas ´e representada da forma:
A=






a11a12∙ ∙ ∙a1n
a21a22∙ ∙ ∙a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1am2∙ ∙ ∙amn






comaij∈IR, ouaij∈C. Os escalaresaijs˜ao denominadoselementosda matriz,
onde o primeiro ´ındice indica a linha e o segundo ´ındice indica a coluna `as quais pertence
o elemento. Neste caso, dizemos que a matrizA´e de ordemm×n. Por simplicidade,
vamos utilizar a indica¸c˜aoA= [aij]para denotar a matrizAe seus elementos.
Deﬁni¸c˜ao 2.1.2Dizemos que uma matrizA= [aij]de ordemm×n´equadradase
m=n, isto ´e, se possui o mesmo n´umero de linhas e de colunas. Neste caso, dizemos
simplesmente queA´e uma matriz de ordemn.
Deﬁni¸c˜ao 2.1.3Dizemos que uma matrizA= [aij]de ordemm×n´e amatriz nula
se seus elementosaijs˜ao todos nulos. Neste caso, denotamosA= 0. Freq¨uentemente,
indicamos0m×npara denotar uma matriz nula de ordemm×n, onde pode causar alguma
d´uvida sobre a ordem da matriz.
Deﬁni¸c˜ao 2.1.4SejamA= [aij]eB= [bij]duas matrizes de ordemm×n.
Dizemos que as matrizesAeBs˜aoiguaisse, e somente se,
aij=bij;i= 1,∙ ∙ ∙, mej= 1,∙ ∙ ∙, n .
Deﬁni¸c˜ao 2.1.5Dizemos que uma matrizA= [aij]de ordemm×1´e umamatriz
coluna, que representamos por:
A=






a11
a21
.
.
.
am1






.

Petronio Pulino 31
Deﬁni¸c˜ao 2.1.6Dizemos que uma matrizA= [aij]de ordem1×n´e umamatriz
linha, que representamos por:
A=
h
a11a12 a1n
i
.
Em geral, uma matriz coluna tamb´em ´e denominadavetor colunae uma matriz linha
tamb´em ´e denominadavetor linha. Em particular, podemos considerar um escalar
a∈IR, oua∈C, como uma matriz de ordem 1×1.
Exemplo 2.1.1A seguir temos o exemplo de uma matriz real
A=
"
1 2 4
4 6 7
#
de ordem2×3.
Exemplo 2.1.2Determine os valores dea, b, cedde modo queA=B, onde
A=
"
3−1
c5
#
eB=
"
2a−b a+ 2b
3c−d c−3d
#
.
Exemplo 2.1.3A seguir temos o exemplo de uma matriz complexa
A=
"
1 +i2i
2 6−3i
#
de ordem2×2.
Exemplo 2.1.4A seguir temos o exemplo de uma matriz coluna realX, de ordem3×1,
e de uma matriz linhaY, de ordem1×4,
X=



1
5
8


 eY=
h
2−1 4 6
i
.
De modo an´alogo, podemos considerar uma matriz coluna complexa e uma matriz linha
complexa. Nos casos em que ﬁca claro qual ´e a ordem da matriz podemos omitir essa
especiﬁca¸c˜ao. Omitimos tamb´em se a matriz ´e real ou complexa nos casos que n˜ao causam
d´uvidas ou que o resultado ´e v´alido tanto para matriz realquanto para matriz complexa.

32
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Deﬁni¸c˜ao 2.1.7Considere os seguintes subconjuntos deIN
Im={1,2, , m} eIn={1,2, , n}.
Umamatriz sobre o corpo IFde ordemm×n´e umafun¸c˜ao
A:Im× In→IF
que para cada para ordenado(i, j)∈ Im× Inest´a associado um ´unico escalar
aij=A(i, j)∈IF ,
denominadoelementoda matrizA.
Rigorosamente falando, a tabela retangular exibida na Deﬁni¸c˜ao 2.1.1, n˜ao ´e uma matriz,
mas sim a representa¸c˜ao de uma matriz.
Exemplo 2.1.5Considere o seguinte conjuntoI3={1,2,3}. Vamos deﬁnir uma
matriz realA:I3× I3→IRda seguinte forma:
aij=A(i, j) =
1
i+j−1
,
que ´e denominadamatriz de Hilbertde ordem3×3.
De acordo com a Deﬁni¸c˜ao 2.1.1, representamos a matrizAda seguinte forma:
A=











1
1
2
1
3
1
2
1
3
1
4
1
3
1
4
1
5











.
De modo an´alogo, deﬁnimos a matriz de Hilbert de ordemn×n.
Exemplo 2.1.6Considere o seguinte conjuntoI4={1,2,3,4}. Vamos deﬁnir uma
matriz realA:I4× I4→IRcuja regra funcional ´e dada por:
aij=A(i, j) =|i−j|.
De acordo com a Deﬁni¸c˜ao 2.1.1, representamos a matrizAda seguinte forma:
A=





0 1 2 3
1 0 1 2
2 1 0 1
3 2 1 0





.

Petronio Pulino 33
Deﬁni¸c˜ao 2.1.8SejamA= [aij]eB= [bij]duas matrizes de ordemm×n.
Deﬁnimos asomadas matrizesAeB, que denotamos porA+B, como sendo a
matrizC= [cij], de ordemm×n, onde cada elemento ´e deﬁnido da seguinte forma:
cij=aij+bij;i= 1, , mej= 1, , n .
Por simplicidade, indicamosA+B= [aij+bij] para denotar a soma das matrizesA
eB. De modo an´alogo, deﬁnimos adiferen¸cadas matrizesAeB, que denotamos
porA−B= [aij−bij].
Deﬁni¸c˜ao 2.1.9SejamA= [aij]uma matriz de ordemm×ne um escalarλ.
Deﬁnimos a multiplica¸c˜ao da matrizApelo escalarλ, e denotamosλA, como sendo a
matrizC= [cij], de ordemm×n, onde cada elemento ´e deﬁnido da seguinte forma:
cij=λ aij;i= 1, , mej= 1, , n .
Por simplicidade, indicamosλA= [λaij]para denotar a multiplica¸c˜ao da matrizA
pelo escalarλ.
Exemplo 2.1.7Considerando as matrizesA= [aij]eB= [bij]de ordem2×3,
A=
"
1 2 1
3 5 1
#
eB=
"
2 3 1
4 1 2
#
,
a matrizC=A+ 2B= [aij+ 2bij]´e dada por:
C=
"
1 2 1
3 5 1
#
+
"
4 6 2
8 2 4
#
=
"
5 8 3
11 7 5
#
.
Teorema 2.1.1SejamA, BeCmatrizes de mesma ordem. Ent˜ao,
(a)A+B=B+A.
(b)A+ (B+C) = (A+B) +C.
(c) Existe uma matriz nula0, da mesma ordem da matrizA, tal queA+ 0 =A.
(d) Existe uma matrizD, da mesma ordem da matrizA, tal queA+D= 0.
Demonstra¸c˜ao –A prova ´e feita utilizando as deﬁni¸c˜oes das opera¸c˜oes de soma de
matrizes e da multiplica¸c˜ao de uma matriz por escalar, juntamente com as propriedades
das opera¸c˜oes com n´umeros reais (complexos).

34
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.1.8Dadas as matrizesA= [aij]eB= [bij]de ordem3×2,
A=



1 2
3 4
5 6


 eB=



2 3
1 5
4 3


,
determine a matrizDtal queA+B−D= 0.
Deﬁni¸c˜ao 2.1.10SejamXuma matriz linha de ordem1×meYuma matriz
coluna de ordemm×1,
X=
h
x11 x1m
i
eY=



y11
.
.
.
ym1


,
oprodutoXY, nesta ordem, ´e a matrizZde ordem1×1dada por:
Z=
h
x11y11+x12y21+ +x1jyj1+ +x1mym1
i
=
"
m
X
j=1
x1jyj1
#
.
Exemplo 2.1.9Dada a matriz linhaXde ordem1×3e a matriz colunaYde
ordem3×1,
X=
h
1 3 2
i
eY=



2
4
1


,
a matrizZ=XYde ordem1×1´e dada por:
Z=
h
1 3 2
i



2
4
1


=
h
2 + 12 + 2
i
=
h
16
i
.
Deﬁni¸c˜ao 2.1.11SejamA= [aij]uma matriz de ordemm×peB= [bij]uma
matriz de ordemp×n. OprodutoAB, nesta ordem, ´e a matrizC= [cij]de ordem
m×ncujos elementos s˜ao deﬁnidos por:
cij=
p
X
k=1
aikbkj ;i= 1, , mej= 1, , n ,
isto ´e, o elementocij´e o produto dai–´esima linha deApelaj–´esima coluna deB.
Assim, podemos deﬁnir o produtoABsomente quando o n´umero de colunas deA´e
igual ao n´umero de linhas deB.

Petronio Pulino 35
Exemplo 2.1.10Dada a matrizAde ordem3×2e a matrizBde ordem2×4,
A=



1 2
3 1
4 2


 eB=
"
2 1 1 3
0 1 2 1
#
,
a matrizC=ABde ordem3×4´e dada por:
C=



1 2
3 1
4 2



"
2 1 1 3
0 1 2 1
#
=



2 3 5 5
6 4 5 10
8 6 8 14


.
Exemplo 2.1.11Dada a matriz colunaX, de ordem3×1,
X=



1
3
2


,
determine a matrizZ=XX
t
de ordem3×3.
Exemplo 2.1.12Dada uma matriz colunaX, de ordemm×1,
X=









x11
.
.
.
xi1
.
.
.
xm1









,
deduza uma regra para a forma¸c˜ao da matrizZ=XX
t
de ordemm×m.
Exemplo 2.1.13Dada a matriz colunaX, de ordem3×1,
X=



3
2
−1


,
determine todas as matrizesY, de ordem3×1, tais queY
t
X= 0.
Exemplo 2.1.14Determine um escalarλtal queAX=λX, onde
A=
"
2 1
1 2
#
eX=
"
1
1
#
.

36
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Teorema 2.1.2Sejam as matrizesA= [aij]de ordemm×n,B= [bij]de ordem
n×peC= [cij]de ordemn×p. Ent˜ao,A(B+C) =AB+AC.
Demonstra¸c˜ao –ChamandoD=A(B+C) = [dij] , sabemos que
dij=
n
X
k=1
aik(bkj+ckj) =
n
X
k=1
aikbkj+
n
X
k=1
aikckj
parai= 1, , mej= 1, , p.
Logo, temos que a primeira parcela ´e o elemento dai–´esima linha e daj–´esima coluna do
produtoABe a segunda parcela ´e o elemento dai–´esima linha e daj–´esima coluna do
produtoAC. Portanto, provamos queA(B+C) =AB+AC.
Teorema 2.1.3Sejam as matrizesA= [aij]de ordemm×n,B= [bij]de ordem
m×neC= [cij]de ordemn×p. Ent˜ao,(A+B)C=AC+BC.
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a cargo do leitor.
Teorema 2.1.4Sejam as matrizesA= [aij]de ordemm×n,B= [bij]de ordem
n×peC= [cij]de ordemp×q. Ent˜ao,A(BC) = (AB)C.
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a cargo do leitor.
´
E importante observar que
(a)AB6=BA, em geral.
(b)AB= 0 n˜ao implica necessariamente queA= 0 ouB= 0.
(c)AB=ACn˜ao implica necessariamente queB=C.
onde a ordem das matrizes,A, BeC, s˜ao tais que as opera¸c˜oes indicadas acima podem
ser efetuadas.
Exemplo 2.1.15Dadas as matrizes
A=



2−3−5
−1 4 5
1−3−4


, B=



−1 3 5
1−3−5
−1 3 5


eC=



2−2−4
−1 3 4
1−2−3


.
Mostre queAB=BA= 0,AC=AeCA=C.

Petronio Pulino 37
Exemplo 2.1.16Dadas as matrizes
A=



1−3 2
2 1−3
4−3−1


, B=



1 4 1 0
2 1 1 1
1−2 1 2


eC=



2 1−1−2
3−2−1−1
2−5−1 0


.
Veriﬁque queAB=AC, entretanto,B6=C.
Exemplo 2.1.17Dadas as matrizes
A=



1−1 1
−3 2−1
−2 1 0


 eB=



1 2 3
2 4 6
1 2 3


.
Veriﬁque queAB= 0e que
BA=



11 6−1
−22 12−2
−11 6−1


.
Portanto, em geral,AB6=BA.
Teorema 2.1.5SejamAeBmatrizes de mesma ordem eαeβescalares. Ent˜ao,
(a)α(βA) = (αβ)A.
(b)(α+β)A=αA+βA.
(c)α(A+B) =αA+αB.
Demonstra¸c˜ao –A prova ´e feita utilizando as deﬁni¸c˜oes das opera¸c˜oes de soma de
matrizes e de multiplica¸c˜ao de uma matriz por escalar, juntamente com as propriedades
das opera¸c˜oes com n´umeros reais (complexos).
Teorema 2.1.6SejamAuma matriz de ordemm×n,Buma matriz de ordem
n×peλum escalar. Ent˜ao,A(λB) =λ(AB) = (λA)B.
Demonstra¸c˜ao –A prova ´e feita utilizando as deﬁni¸c˜oes de produto de matrizes e de
multiplica¸c˜ao de uma matriz por escalar, juntamente com as propriedades das opera¸c˜oes
com n´umeros reais (complexos).

38
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Teorema 2.1.7ConsidereA= [aij]uma matriz de ordemm×neλum escalar.
SeλA= 0m×n, ent˜aoλ= 0ouA= 0m×n.
Demonstra¸c˜ao –Pela Deﬁni¸c˜ao 2.1.9, sabemos que a matrizλA´e dada por:
λA= [λ aij] para i= 1,∙ ∙ ∙m ej= 1,∙ ∙ ∙n .
Desse modo, pela hip´otese, temos que
λ aij= 0 para i= 1,∙ ∙ ∙m ej= 1,∙ ∙ ∙n .
Sendo assim, pelo Teorema 1.2.5, temos que
λ= 0 ou aij= 0 para i= 1,∙ ∙ ∙m ej= 1,∙ ∙ ∙n ,
o que completa a demonstra¸c˜ao.
Teorema 2.1.8SejaAuma matriz de ordemm×n. Ent˜ao,AX= 0m×1para toda
matriz colunaXde ordemn×1se, e somente se,A= 0m×n.
Demonstra¸c˜ao –Considerando queA= 0m×n, o resultado segue trivialmente.
Considerando queAX= 0m×1para toda matriz colunaXde ordemn×1, e tomando
a equa¸c˜aoA=AIn, obtemos
A=AIn= [AE∙1∙ ∙ ∙AE∙j∙ ∙ ∙AE∙n] = [0m×1∙ ∙ ∙0m×1∙ ∙ ∙0m×1],
onde a matriz colunaE∙jde ordemn×1 ´e aj–´esima coluna da matriz identidadeIn,
uma vez queAE∙j= 0m×1paraj= 1,∙ ∙ ∙, n.
Portanto, mostramos queA= 0m×n, o que completa a demonstra¸c˜ao.
Teorema 2.1.9SejamAeBmatrizes de ordemm×n. Ent˜ao,A=Bse, e
somente se,AX=BXpara toda matriz colunaXde ordemn×1.
Demonstra¸c˜ao –A prova segue imediata pelo resultado do Teorema 2.1.8. De fato,
AX=BX() (A−B)X= 0m×1() A−B= 0m×n.
para toda matriz colunaXde ordemn×1.
ComoA−B= 0m×n, tem–seA=B, o que completa a demonstra¸c˜ao.

Petronio Pulino 39
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.1Considere o subconjuntoIn={1,2, , n}deIN. Determine a
matrizA:In× In→IRdeﬁnida pela seguinte regra funcional
aij=A(i, j) =



1se|i−j|>1
−1se|i−j| ≤1
Exerc´ıcio 2.2Considere o subconjuntoIn={1,2, , n}deIN. Determine a
matrizA:In× In→IRdeﬁnida pela seguinte regra funcional
aij=A(i, j) =



1se|i−j|<2
0se|i−j| ≥2
Exerc´ıcio 2.3SejamAuma matriz de ordemm×neXuma matriz coluna de
ordemn×1que s˜ao indicadas da seguinte forma:
A= [Y1 Yj Yn]eX=









x1
.
.
.
xj
.
.
.
xn









,
onde a matriz colunaYjde ordemm×1´e aj–´esima coluna da matrizA. Mostre que
podemos escrever o produtoAXda seguinte forma:
AX=x1Y1+ +xjYj+ +xnYn.
Exerc´ıcio 2.4SejamAuma matriz de ordemm×neBuma matriz de ordem
n×pque vamos indicar da seguinte forma:
B= [Y1 Yj Yp],
onde a matriz colunaYjde ordemn×1´e aj–´esima coluna da matrizB. Mostre que
podemos escrever a matrizC=ABda seguinte forma:
C=AB=A[Y1 Yj Yp] = [AY1 AYj AYp].
onde a matriz colunaZj=AYjde ordemm×1´e aj–´esima coluna da matrizC.

40
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcio 2.5Dadas as matrizes
A=
"
a+ 2b2a−b
2c+d c−2d
#
eB=
"
9−2
4 7
#
.
Determine os parˆametrosa, b, cedde modo queA=B.
Exerc´ıcio 2.6Dadas as matrizes
X=



a
2
1


, Y=
h
−1b2
i
eZ=



3
2
1


.
Determine os parˆametrosaebtais queY X= 0eY Z= 1.
Exerc´ıcio 2.7Determine todas as matrizesXtais queY X= 0, onde
X=



a
b
c


 eY=
h
1 1−1
i
.
Exerc´ıcio 2.8Dadas as matrizes
A=
"
cos(θ) sin(θ)
−sin(θ) cos(θ)
#
, X=
"
1
1
#
eY=
"
−1
1
#
.
Determine os valores do parˆametroθ∈IRde modo queAX=Y.
Exerc´ıcio 2.9Dadas as matrizes
A=
"
−2 3
2−3
#
;B=
"
−1 3
2 0
#
eC=
"
−4−3
0−4
#
.
Veriﬁque queAB=AC.
Exerc´ıcio 2.10Dada a matriz
A=
"
2 1
1 2
#
.
Determine as matrizesBde modo queAB−BA= 02×2, se poss´ıvel.

Petronio Pulino 41
2.2 Tipos Especiais de Matrizes
Deﬁni¸c˜ao 2.2.1SejaU= [uij]uma matriz de ordemn×n. Dizemos queU´e
uma matriztriangular superiorse os elementos abaixo da diagonal principal s˜ao todos
nulos, isto ´e,uij= 0paraj < i.
Exemplo 2.2.1A matrizUdada por:
U=



2 1 5
0 3 3
0 0 6



´e uma matriz triangular superior.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.2SejaL= [lij]uma matriz de ordemn×n. Dizemos queL´e uma
matriztriangular inferiorse os elementos acima da diagonal principal s˜ao todos nulos,
isto ´e,lij= 0paraj > i.
Exemplo 2.2.2A matrizLdada por:
L=



2 0 0
1 3 0
2 7 4



´e uma matriz triangular inferior.
Exemplo 2.2.3Mostre que o produto de duas matrizes triangulares superiores ´e uma
matriz triangular superior.
Exemplo 2.2.4Mostre que o produto de duas matrizes triangulares inferiores ´e uma
matriz triangular inferior.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.3SejaD= [dij]uma matriz de ordemn×n. Dizemos queD´e
uma matrizdiagonalse os elementos fora da diagonal principal s˜ao todos nulos,isto ´e,
dij= 0paraj6=i. Freq¨uentemente, indicamos
D=diag(d1, , dn),
para dizer queD´e uma matriz diagonal de ordemn×n.

42
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.2.5A matrizDdada por:
D=



2 0 0
0 3 0
0 0 4



´e uma matriz diagonal.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.4Otra¸code uma matrizA= [aij], de ordemn, que denotamos por
tr(A), ´e a soma dos elementos da diagonal principal, isto ´e,
tr(A) =
n
X
i=1
aii.
Exemplo 2.2.6Dada a matriz real
A=



1 2 7
3 4 8
0 1 3


,
temos quetr(A) = 1 + 4 + 3 = 8.
Exemplo 2.2.7Dada a matriz complexa
A=



4i2−i7 +i
3 + 2i4 +i8 + 2i
0 1 + 3i3−i


,
temos quetr(A) = 4i+ (4 +i) + (3−i) = 7 + 4i.
Teorema 2.2.1SejamA= [aij]eB= [bij]matrizes de ordemn. Ent˜ao,
(a)tr(A+B) =tr(A) +tr(B).
(b)tr(λA) =λtr(A)para qualquer escalarλ.
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a cargo do leitor.
Teorema 2.2.2SejamA= [aij]eB= [bij]matrizes de ordemn. Ent˜ao,
tr(AB) =tr(BA).
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a cargo do leitor.

Petronio Pulino 43
Deﬁni¸c˜ao 2.2.5Uma matriz diagonalD=diag(d11, , dnn)cujos elementos da
diagonal principal s˜ao todos iguais, isto ´e,dii=αparai= 1, , n, ´e denominada
matriz escalar.
Exemplo 2.2.8A matrizDdada por:
D=



5 0 0
0 5 0
0 0 5



´e uma matriz escalar de ordem3.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.6Uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal s˜ao todos
iguais a1´e denominadaidentidade. Freq¨uentemente, indicamosInpara denotar uma
matriz identidade de ordemn.
Exemplo 2.2.9A matrizIdada por:
I=



1 0 0
0 1 0
0 0 1



´e uma matriz identidade de ordem3.
Exemplo 2.2.10SejaAuma matriz de ordemm×n. Podemos veriﬁcar facilmente
queImA=AeAIn=A.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.7SeA´e uma matriz de ordemm×n, denominamostranspostade
A`a matriz de ordemn×mobtida trocando–se as linhas pelas colunas. Denotamos a
transposta da matrizAporA
t
.
Exemplo 2.2.11Temos o seguinte exemplo de uma matriz realAde ordem4×3e de
sua respectiva transpostaA
t
de ordem3×4.
A=





2 1 3
1 3 5
2 1 4
1 2 7





A
t
=



2 1 2 1
1 3 1 2
3 5 4 7



Exemplo 2.2.12SejaAuma matriz real de ordemn. Podemos veriﬁcar facilmente
quetr(A
t
) =tr(A).

44
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.2.13Temos o seguinte exemplo de uma matriz complexaAde ordem2×3
e de sua respectiva transpostaA
t
de ordem3×2.
A=
"
2 1 +i i
3 +i2i1
#
A
t
=



2 3 +i
1 +i2i
i 1



Deﬁni¸c˜ao 2.2.8SejaA= [aij]uma matriz quadrada. Dizemos queA´esim´etricase
A
t
=A, isto ´e,aij=ajipara todosi, j.
Exemplo 2.2.14As matrizesAeBdadas por:
A=



5 1 2
1 6 3
2 3 8


 eB=
"
1 + 2i2 +i
2 +i3
#
s˜ao matrizes sim´etricas, isto ´e,A
t
=AeB
t
=B.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.9SejaAuma matriz quadrada. Dizemos queA´eanti–sim´etricase
A
t
=−A, isto ´e,aij=−ajipara todosi, j.
Exemplo 2.2.15As matrizesAeBdadas por:
A=



0 1−2
−1 0 3
2−3 0


 eB=



0 2−i−3
−2 +i0 i
3 −i0



s˜ao matrizes anti–sim´etricas, isto ´e,A
t
=−AeB
t
=−B.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.10ConsidereA= [aij]uma matriz complexa de ordemm×n. A
matriz obtida deAsubstituindo cada elemento por seu conjugado ´e denominadamatriz
conjugadada matrizA, que denotamos por A. Assim,A= [aij].
Exemplo 2.2.16Dada a matriz complexa
A=
"
1 + 2i i
3 2−3i
#
.
Amatriz conjugadadeA, que denotamos porA, ´e obtida da seguinte forma:
A=
"
1−2i−i
3 2 + 3i
#
.

Petronio Pulino 45
Deﬁni¸c˜ao 2.2.11SejaA= [aij]uma matriz complexa de ordemm×n. Deﬁnimos
a matriztransposta Hermitianada matrizA, que indicamos porA
∗
, como sendo a
matrizA
∗
= [aji]de ordemn×m, isto ´e,A
∗
= (A)
t
.
Exemplo 2.2.17Dada a matriz complexa
A=
"
1 + 2i i
3 2−3i
#
.
Atransposta HermitianadeA´e dada por:
A
∗
=
"
1−2i3
−i2 + 3i
#
.
Teorema 2.2.3SejamA= [aij]eB= [bij]matrizes complexas, com ordens
compat´ıveis com as opera¸c˜oes. Ent˜ao,
(a)(A+B) =A+B.
(b)(AB) =AB.
(c)(λA) =λApara qualquer escalarλ∈C.
(d)(A)
t
=(A
t
).
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a cargo do leitor. ∗
Exemplo 2.2.18SejaAuma matriz complexa de ordemn. Observamos facilmente
quetr(A
∗
) =tr(A).
Deﬁni¸c˜ao 2.2.12Dizemos que uma matrizA= [aij]complexa de ordemn´e uma
matrizHermitianase(A)
t
=A, isto ´e,aij=ajipara todosi, j. Geralmente
indicamosA
∗
=Apara denotar uma matriz Hermitiana.
Exemplo 2.2.19A matriz complexa
A=



1 1−i2
1 +i3i
2 −i0



´e uma matriz Hermitiana, isto ´e,(A)
t
=A.

46
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Deﬁni¸c˜ao 2.2.13Dizemos que uma matrizA= [aij]complexa de ordemn´e uma
matrizanti–Hermitianase(A)
t
=−A, isto ´e,aij=−ajipara todosi, j.
Geralmente indicamosA
∗
=−Apara denotar uma matriz anti–Hermitiana.
Exemplo 2.2.20A matriz complexa
A=



i1−i2
−1−i3i i
−2 i0



´e uma matriz anti–Hermitiana, isto ´e,(A)
t
=−A.
Teorema 2.2.4SejamA= [aij]eB= [bij]matrizes de mesma ordem eαum
escalar. Ent˜ao,
(a)(A
t
)
t
=A.
(b)(A+B)
t
=A
t
+B
t
.
(c)(αA)
t
=αA
t
.
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a cargo do leitor. ∗
Teorema 2.2.5Sejam as matrizesA= [aij]de ordemm×neB= [bij]de ordem
n×p. Ent˜ao,(AB)
t
=B
t
A
t
.
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a cargo do leitor. ∗
Teorema 2.2.6SejamA= [aij]eB= [bij]matrizes complexas de mesma ordem e
αum escalar. Ent˜ao,
(a)(A
∗
)
∗
=A.
(b)(A+B)
∗
=A
∗
+B
∗
.
(c)(αA)
∗
=αA
∗
.
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a cargo do leitor. ∗
Teorema 2.2.7Sejam as matrizes complexasA= [aij]de ordemm×neB= [bij]
de ordemn×p. Ent˜ao,(AB)
∗
=B
∗
A
∗
.
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a cargo do leitor. ∗

Petronio Pulino 47
Exemplo 2.2.21SejaAuma matriz real de ordemm×n. Podemos veriﬁcar facilmente
que as matrizesAA
t
eA
t
As˜ao sim´etricas.
Exemplo 2.2.22SejaAuma matriz complexa de ordemm×n. Podemos veriﬁcar
facilmente que as matrizesAA
∗
eA
∗
As˜ao Hermitianas.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.14SejaAuma matriz quadrada. Deﬁne–sepotencia¸c˜aopara expoentes
naturais da seguinte forma:
A
0
=I , A
1
=A , A
2
=AA eA
k+1
=AA
k
.
Exemplo 2.2.23O calculo da express˜aoA
2
−2A+ 3I2, onde
A=
"
1 2
3 1
#
,
´e obtido da seguinte forma:
A
2
−2A+ 3I2=
"
7 4
6 7
#
−
"
2 4
6 2
#
+
"
3 0
0 3
#
=
"
8 0
0 8
#
.
Podemos deﬁnir a matrizp(A) =A
2
−2A+ 3I2, de mesma ordem da matrizA, que
´e opolinˆomio matricialemAassociado ao polinˆomiop(x) = 3−2x+x
2
.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.15Dizemos que a matriz quadradaA´eidempotenteseA
2
=A.
Exemplo 2.2.24A matrizA, dada abaixo, ´e idempotente, isto ´e,A
2
=A.
A=
1
2
"
1 1
1 1
#
Exemplo 2.2.25A matrizA, dada abaixo, ´e idempotente, isto ´e,A
2
=A.
A=
1
3



1 1 1
1 1 1
1 1 1



Deﬁni¸c˜ao 2.2.16SejaAuma matriz quadrada. Dizemos queA´eperi´odica, com
per´ıodok, seA
k+1
=A, ondek´e o menor inteiro positivo com tal propriedade.

48
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Deﬁni¸c˜ao 2.2.17SejaAuma matriz quadrada de ordemn×n. Dizemos queA´e
nilpotentese existe umk∈IN
∗
tal queA
k
= 0n. Sek´e o menor inteiro positivo
tal queA
k
= 0n, dizemos queA´e nilpotente de´ındicek.
Exemplo 2.2.26A matriz dada por:
A=



0 1 1
0 0 1
0 0 0



´e uma matriz nilpotente de ´ındicek= 3, isto ´e,A
3
= 03.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.18Dizemos que a matriz quadradaA´eauto–reﬂexivaseA
2
=I.
Exemplo 2.2.27A matrizAdada por:
A=
"
1 0
0−1
#
´e uma matriz auto–reﬂexiva, isto ´e,A
2
=I.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.19SeAeBs˜ao matrizes quadradas tais queAB=BA, dizemos que
as matrizesAeBs˜aocomutativas.
Exemplo 2.2.28Podemos veriﬁcar facilmente que as matrizes
A=
"
1 2
3 4
#
eB=
"
5 4
6 11
#
s˜ao comutativas, isto ´e,AB=BA.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.20SeAeBs˜ao matrizes quadradas tais queAB=−BA, dizemos
que as matrizesAeBs˜aoanti–comutativas.
Exemplo 2.2.29Podemos veriﬁcar facilmente que as matrizes
A=
"
0 1
1 0
#
, B=
"
0−i
i0
#
eC=
"
i0
0−i
#
s˜ao anti–comutativas duas a duas.

Petronio Pulino 49
Teorema 2.2.8SejamAuma matriz de ordemneD=diag(d, , d)uma matriz
escalar de mesma ordem da matrizA. Ent˜ao,DA=AD.
Demonstra¸c˜ao –Podemos veriﬁcar facilmente que uma matriz escalar pode serescrita
comoD=dI, Exerc´ıcio 2.11. Assim, utilizando o Teorema 2.1.6, temos que
DA= (dI)A=d(IA) =dA eAD=A(dI) =d(AI) =dA ,
o que completa a demonstra¸c˜ao.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.21SejaAuma matriz real de ordemn. Dizemos queA´e uma matriz
normalseA
t
A=AA
t
, isto ´e, as matrizesAeA
t
s˜ao comutativas.
Exemplo 2.2.30As matrizes reais
A=



2 1 4
1 3 0
4 0 1


 eB=



3−1 5
1 3 2
−5−2 3



s˜ao matrizes normais, isto ´e,A
t
A=AA
t
eB
t
B=BB
t
.
Exemplo 2.2.31Podemos veriﬁcar facilmente que seA´e uma matriz sim´etrica real,
ent˜aoA´e uma matriz normal real.
Exemplo 2.2.32Podemos veriﬁcar facilmente que seA´e uma matriz anti–sim´etrica
real, ent˜aoA´e uma matriz normal real.
Exemplo 2.2.33Podemos veriﬁcar facilmente que seA´e a soma de uma matriz escalar
real e uma matriz anti–sim´etrica real, ent˜aoA´e uma matriz normal real.
De fato, vamos escreverA=D+B, ondeD´e uma matriz escalar eB´e uma matriz
anti–sim´etrica, isto ´e,B
t
=−B. Assim, pelo Teorema 2.2.8, temos que
(D+B)
t
(D+B) = (D−B)(D+B) =D
2
+DB−BD−B
2
=D
2
−B
2
(D+B)(D+B)
t
= (D+B)(D−B) =D
2
−DB+BD−B
2
=D
2
−B
2
Portanto, mostramos queA
t
A=AA
t
, isto ´e,A´e uma matriz normal real.

50
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.2.34A matriz real
A=





2 1−3 2
−1 2 4 −1
3−4 2 0
−2 1 0 2





´e uma matriz normal, isto ´e,A
t
A=AA
t
. De fato, podemos observar facilmente que a
matrizA´e a soma de uma matriz escalar e uma matriz anti–sim´etrica.
Deﬁni¸c˜ao 2.2.22SejaAuma matriz complexa de ordemn. Dizemos queA´e uma
matriznormalseA
∗
A=AA
∗
, isto ´e, as matrizesAeA
∗
s˜ao comutativas..
Exemplo 2.2.35A matriz complexa
A=
"
2 + 3i1
i1 + 2i
#
´e uma matriz normal, isto ´e,A
∗
A=AA
∗
.
Exemplo 2.2.36Podemos veriﬁcar facilmente que seA´e uma matriz Hermitiana,
ent˜aoA´e uma matriz normal.
Exemplo 2.2.37Podemos veriﬁcar facilmente que seA´e uma matriz anti–Hermitiana,
ent˜aoA´e uma matriz normal.
Exemplo 2.2.38Podemos veriﬁcar facilmente que seA´e a soma de uma matriz escalar
complexa e uma matriz anti–Hermitiana, ent˜aoA´e uma matriz normal.
De fato, vamos escreverA=D+B, ondeD´e uma matriz escalar eB´e uma matriz
anti–Hermitiana, isto ´e,B
∗
=−B. Assim, pelo Teorema 2.2.8, temos que
(D+B)
∗
(D+B) = (D
∗
−B)(D+B) =D
∗
D+D
∗
B−BD−B
2
=D
∗
D+D
∗
B−DB−B
2
(D+B)(D+B)
∗
= (D+B)(D
∗
−B) =DD
∗
−DB+BD
∗
−B
2
=D
∗
D+D
∗
B−DB−B
2
Portanto, mostramos queA
∗
A=AA
∗
, isto ´e,A´e uma matriz normal complexa.

Petronio Pulino 51
Exemplo 2.2.39A matriz complexaC=A+D, onde
A=





i1−i2 3 +i
−1−i3i i 2i
−2 i0−3
−3 +i2i3 2i





eD=





1 +i
1 +i
1 +i
1 +i





,
´e uma matriz normal, isto ´e,C
∗
C=CC
∗
. De fato, podemos observar facilmente que
A´e uma matriz anti–Hermitiana eD´e uma matriz escalar complexa.
Exemplo 2.2.40Podemos observar facilmente que uma matriz sim´etrica complexa n˜ao
necessariamente ´e uma matriz normal. Tome como exemplo as seguintes matrizes sim´etricas
A=
"
1i
i i
#
eB=
"
i i
i1
#
.
De fato, temos que
A
∗
A=AA
∗
=
"
2 0
0 2
#
.
Logo,A´e uma matriz normal. Entretanto,
BB
∗
=
"
2 1 +i
1−i2
#
eB
∗
B=
"
2 1−i
1 +i2
#
.
Logo,Bn˜ao ´e uma matriz normal.
Exemplo 2.2.41Podemos veriﬁcar facilmente que a matriz complexa
A=
"
1 1−2i
1 + 2i1
#
´e uma matriz normal, poisA´e Hermitiana, isto ´e,A
∗
=A. Assim, temos que
A
∗
A=AA
∗
=
"
6 2−4i
2 + 4i6
#
.
Exemplo 2.2.42SejaAuma matriz real de ordemm×n. Podemos veriﬁcar facilmente
que a matrizC=A
t
A, de ordemn, ´e uma matriz normal.
Exemplo 2.2.43SejaAuma matriz real de ordemm×n. Podemos veriﬁcar facilmente
que a matrizC=AA
t
, de ordemm, ´e uma matriz normal.

52
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Teorema 2.2.9SejaAuma matriz normal real de ordem2×2. Ent˜ao,Aou ´e uma
matriz sim´etrica ou ´e a soma de uma matriz escalar e uma matriz anti–sim´etrica.
Demonstra¸c˜ao –Vamos escrever a matrizAda seguinte forma:
A=
"
a b
c d
#
.
Assim, temos que
AA
t
=
"
a b
c d
# "
a c
b d
#
=
"
a
2
+b
2
ac+bd
ac+bd c
2
+d
2
#
A
t
A=
"
a c
b d
# "
a b
c d
#
=
"
a
2
+c
2
ab+cd
ab+cd b
2
+d
2
#
Como, por hip´otese, temos queAA
t
=A
t
A, obtemos trˆes equa¸c˜oes
(1)a
2
+b
2
=a
2
+c
2
.
(2)c
2
+d
2
=b
2
+d
2
.
(3)ac+bd=ab+cd.
Desse modo, da primeira equa¸c˜ao, ou da segunda equa¸c˜ao,obtemosb
2
=c
2
. Logo,
temos duas possibilidadesb=coub=−c.
Primeiramente, considerando o casob=c, o que inclui o casob=−c= 0, obtemos
que a matrizA´e sim´etrica, isto ´e,
A=
"
a b
b d
#
.
Finalmente, considerando a situa¸c˜aob=−c6= 0, da terceira equa¸c˜ao obtemos
c(a−d) =ac+bd=ab+cd=c(d−a).
Assim, temos que
c(a−d) =c(d−a) () 2c(a−d) = 0
comoc6= 0, obtemosa=d. Portanto, a matrizAtem a seguinte forma:
A=
"
a b
−b a
#
=
"
a0
0a
#
+
"
0b
−b0
#
que ´e a soma de uma matriz escalar e uma matriz anti–sim´etrica, o que completa a
demonstra¸c˜ao.

Petronio Pulino 53
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.11Mostre que seA= [aij]´e uma matriz escalar de ordemn, ent˜ao
A=cInpara qualquer escalarc.
Exerc´ıcio 2.12SejamA , BeCmatrizes quadradas de mesma ordem. Mostre que
(ABC)
t
=C
t
B
t
A
t
.
Exerc´ıcio 2.13SejaA= [aij]uma matriz anti–sim´etrica. Mostre que os elementos da
diagonal principal s˜ao todos nulos, isto ´e,aii= 0parai= 1,∙ ∙ ∙, n.
Exerc´ıcio 2.14SejaA= [aij]uma matriz Hermitiana. Mostre que os elementos da
diagonal principal s˜ao n´umeros reais, isto ´e,aii∈IRparai= 1,∙ ∙ ∙, n..
Exerc´ıcio 2.15SejaA= [aij]uma matriz anti–Hermitiana. Mostre que os elementos
da diagonal principal s˜ao ou nulo ou imagin´ario puro.
Exerc´ıcio 2.16SejaAuma matriz de ordemn. Ent˜ao, a matrizB=A+A
t
´e
sim´etrica e a matrizC=A−A
t
´e anti–sim´etrica.
Exerc´ıcio 2.17SejaAuma matriz complexa de ordemn. Ent˜ao,B=A+A
∗
´e
uma matriz Hermitiana eC=A−A
∗
´e uma matriz anti–Hermitiana.
Exerc´ıcio 2.18Mostre que as matrizes
A=
"
a b
b a
#
eB=
"
c d
d c
#
comutam para quaisquer valores dea, b, ced.
Exerc´ıcio 2.19SejamAeBmatrizes sim´etricas de mesma ordem. Ent˜ao,AB´e
uma matriz sim´etrica se, e somente se,AeBcomutam, isto ´e,AB=BA.
Exerc´ıcio 2.20SejaAuma matriz idempotente, de ordemn×n. Ent˜ao,
B=I−A
´e uma matriz idempotente. Al´em disso, temos queAB=BA= 0n.

54
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcio 2.21SejamAeBmatrizes quadradas de mesma ordem tais que
AB=A eBA=B .
Ent˜ao,AeBs˜ao matrizes idempotentes.
Exerc´ıcio 2.22SejaAuma matriz nilpotente comk= 2. Ent˜ao,A(I+A)
3
=A.
Exerc´ıcio 2.23Qual a rela¸c˜ao entre uma matrizAser peri´odica eAser nilpotente?
Exerc´ıcio 2.24SejaAuma matriz de ordemn. Mostre queApode ser decomposta,
de maneira ´unica, comoA=B+C, ondeB´e uma matriz sim´etrica eC´e uma
matriz anti–sim´etrica.
Exerc´ıcio 2.25SejaAuma matriz complexa de ordemn. Mostre queApode ser
decomposta, de maneira ´unica, comoA=B+C, ondeB´e uma matriz Hermitiana e
C´e uma matriz anti–Hermitiana.
Exerc´ıcio 2.26ConsidereAeBmatrizes quadradas de mesma ordem. SejaAuma
matriz sim´etrica. Ent˜ao,B
t
AB´e uma matriz sim´etrica.
Exerc´ıcio 2.27ConsidereAeBmatrizes quadradas de mesma ordem. SejaAuma
matriz Hermitiana. Ent˜ao,B
∗
AB´e uma matriz Hermitiana.
Exerc´ıcio 2.28SejaAuma matriz Hermitiana de ordemn. Mostre queApode ser
escrita comoA=B+iC, ondeB´e uma matriz sim´etrica real eC´e uma matriz
anti–sim´etrica real.
Exerc´ıcio 2.29SejaAuma matriz anti–Hermitiana de ordemn. Mostre queApode
ser escrita comoA=B+iC, ondeB´e uma matriz anti–sim´etrica real eC´e uma
matriz sim´etrica real.
Exerc´ıcio 2.30ConsidereAeBmatrizes quadradas de mesma ordem. SejaAuma
matriz anti–sim´etrica. Ent˜ao,B
t
AB´e uma matriz anti–sim´etrica.
Exerc´ıcio 2.31ConsidereAeBmatrizes quadradas de mesma ordem. SejamAe
Bmatrizes anti–sim´etricas. Ent˜ao,AB´e sim´etrica se, e somente se, as matrizesAe
Bcomutam, isto ´e,AB=BA.

Petronio Pulino 55
Exerc´ıcio 2.32SejaAuma matriz real de ordemm×n. Mostre queC=A
t
A´e
uma matriz sim´etrica.
Exerc´ıcio 2.33SejamAuma matriz quadrada eB=λA+αI, ondeλ, α∈IR.
Ent˜ao, as matrizesAeBcomutam.
Exerc´ıcio 2.34Mostre que n˜ao existem matrizesAeB, de ordemn, tais que
AB−BA=I ,
utilizando as propriedades de tra¸co.
Exerc´ıcio 2.35SeA´e uma matriz sim´etrica (anti–sim´etrica) de ordemmeP´e uma
matriz de ordemm×n, ent˜aoB=P
t
AP´e uma matriz sim´etrica (anti–sim´etrica).
Exerc´ıcio 2.36SejaAuma matriz de ordemntal queAB=BApara toda matriz
Bde ordemn. Mostre queA=cIn, ondec´e um escalar qualquer.
Exerc´ıcio 2.37SejaAuma matriz de ordemn. Mostre que
I−A
k+1
= (I−A)(I+A+. . .+A
k
) = (I+A+. . .+A
k
)(I−A).
Exerc´ıcio 2.38Mostre que a matriz
A=



2−2−4
−1 3 4
1−2−3



´e idempotente, isto ´e,A
2
=A.
Exerc´ıcio 2.39Mostre que a matriz
A=



1 1 3
5 2 6
−2−1−3



´e nilpotente de ordem3, isto ´e,A
3
= 0.
Exerc´ıcio 2.40Mostre que seA´e nilpotente de ordem2, isto ´e,A
2
= 0, ent˜ao
A(I+A)
n
=A ,
para qualquer inteiro positivon.

56
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcio 2.41Mostre que uma matrizA´e auto–reﬂexiva se, e somente se,
(I−A)(I+A) = 0.
Exerc´ıcio 2.42Mostre que seAeBs˜ao matrizes quadradas, ent˜aoAeBcomutam
se, e somente se,A−λIeB−λIcomutam para qualquer escalarλ.
Exerc´ıcio 2.43Mostre que seA´e uma matriz idempotente, de ordemn×n, ent˜ao
B=I−A´e uma matriz idempotente eAB=BA= 0n.
Exerc´ıcio 2.44Dada a matriz
A=



1 2 2
2 1 2
2 2 1


.
Mostre queA
2
−4A−5I= 03, onde03∈IM3(IR)´e a matriz nula..
Exerc´ıcio 2.45Dada a matriz complexa
A=
"
i0
0i
#
.
Mostre que uma f´ormula para as potˆencias inteiras positivas da matrizA´e dada por:
A
n
=I, A,−I,−A
paran= 4m,4m+ 1,4m+ 2,4m+ 3 ;m∈IN, respectivamente.
Exerc´ıcio 2.46Mostre que a matriz
A=



1−2−6
−3 2 9
2 0−3



´e peri´odica com per´ıodo2, isto ´e,A
3
=A.
Exerc´ıcio 2.47Mostre que a matriz
A=



1−3−4
−1 3 4
1−3−4



´e nilpotente, isto ´e, existe umk∈IN
∗
tal queA
k
= 03.

Petronio Pulino 57
Exerc´ıcio 2.48Mostre que as matrizes
A=



1 2 3
3 2 0
−1−1−1


 eB=



−2−1−6
3 2 9
−1−1−4



comutam, isto ´e,AB=BA.
Exerc´ıcio 2.49Mostre que a matriz
A=



4 3 3
−1 0−1
−4−4−3



´e auto–reﬂexiva, isto ´e,A
2
=I.
Exerc´ıcio 2.50Determine todas as matrizes reais de ordem2da forma
A=
"
a b
0c
#
tal queA
2
=I2, isto ´e,A´e auto–reﬂexiva.
Exerc´ıcio 2.51SejamAuma matriz de ordemm×neD=diag(d1, , dm)
uma matriz diagonal. Deduza uma regra para o produtoDA.
Exerc´ıcio 2.52SejamAuma matriz de ordemm×neD=diag(d1, , dn)uma
matriz diagonal. Deduza uma regra para o produtoAD.
Exerc´ıcio 2.53Mostre que seA´e auto–reﬂexiva, ent˜ao as matrizes
1
2
(I+A)e
1
2
(I−A)
s˜ao idempotentes.
Exerc´ıcio 2.54Mostre que seA´e uma matriz auto–reﬂexiva, de ordemn×n, ent˜ao
(I+A)(I−A) = 0n.
Exerc´ıcio 2.55Mostre que as matrizes
A=
"
1−1
2−1
#
eB=
"
1 1
4−1
#
s˜ao anti–comutativas. Assim, temos que(A+B)
2
=A
2
+B
2
.

58
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcio 2.56SejamAeBmatrizes quadradas de mesma ordem. Qual a condi¸c˜ao
que devemos ter para que(A+B)(A−B) =A
2
−B
2
?
Exerc´ıcio 2.57SejamAeBmatrizes quadradas de mesma ordem. Qual a condi¸c˜ao
que devemos ter para que(A+B)
2
=A
2
+ 2AB+B
2
?
Exerc´ıcio 2.58Dada a matriz
A=
"
1 1
0 1
#
.
Deduzir uma f´ormula para as potˆencias inteiras positivasda matrizA.
Exerc´ıcio 2.59Dada a matriz
A=
"
2 0
1 3
#
,
determine as matrizB, de ordem2, tais queAB=BA.
Exerc´ıcio 2.60SejamX= [xi1]eY= [yi1]matrizes coluna de ordemn×1.
Mostre quetr(XY
t
) =X
t
Y.
Exerc´ıcio 2.61SejaA= [aij]uma matriz real de ordemn×n. Mostre que
(a)tr(A
t
A)≥0.
(b)tr(A
t
A) = 0se, e somente se,A= 0n.
Exerc´ıcio 2.62Dada a matriz
A=
"
cos(θ) sin(θ)
−sin(θ) cos(θ)
#
paraθ∈IR .
(a) DetermineA
2
eA
3
.
(b) Fa¸ca a dedu¸c˜ao de uma express˜ao paraA
k
,k∈IN, se poss´ıvel.

Petronio Pulino 59
2.3 Inversa de uma Matriz
Deﬁni¸c˜ao 2.3.1SeAeBs˜ao matrizes quadradas de mesma ordem tais que
AB=BA=I ,
dizemos queB´e ainversadeAe escrevemosB=A
−1
. De modo an´alogo, temos
que a matrizA´e a inversa da matrizBe podemos escreverA=B
−1
. Uma matriz
que possui inversa dizemos que ´einvert´ıvel. Caso contr´ario, dizemos que a matriz ´e
n˜ao–invert´ıvel.
Exemplo 2.3.1As matrizesAeBdadas por:
A=



1 2 3
1 3 3
1 2 4


 eB=



6−2−3
−1 1 0
−1 0 1



satisfazemAB=BA=I. Logo, uma ´e a inversa da outra.
Teorema 2.3.1SejamAeBmatrizes quadradas de mesma ordem com inversasA
−1
eB
−1
, respectivamente. Ent˜ao,(AB)
−1
=B
−1
A
−1
.
Demonstra¸c˜ao –Por deﬁni¸c˜ao, temos que
(AB)
−1
(AB) = (AB) (AB)
−1
=I .
Desse modo, podemos escrever
(B
−1
A
−1
) (AB) =B
−1
(A
−1
A)B=B
−1
IB=B
−1
B=I .
Por outro lado, temos que
(AB) (B
−1
A
−1
) =A(BB
−1
)A
−1
=AIA
−1
=AA
−1
=I .
Portanto, provamos que (AB)
−1
=B
−1
A
−1
.
Teorema 2.3.2SejaAuma matriz quadrada com inversaA
−1
. Ent˜ao,
(A
−1
)
t
= (A
t
)
−1
.
Demonstra¸c˜ao –Sabemos queAA
−1
=IeA
−1
A=I. Assim, calculando suas
transpostas, obtemos
(AA
−1
)
t
= (A
−1
)
t
A
t
=Ie (A
−1
A)
t
=A
t
(A
−1
)
t
=I .
Desse modo, temos que (A
−1
)
t
= (A
t
)
−1
, o que completa a demonstra¸c˜ao.

60
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Teorema 2.3.3SejamA,BeCmatrizes quadradas tais que
AB=I eCA=I .
Ent˜ao,B=C=A
−1
´e a´unicainversa da matrizA.
Demonstra¸c˜ao –ComoCA=IeAB=I, temos que
(CA)B=C(AB) =⇒ B=C .
Portanto, pela Deﬁni¸c˜ao 2.3.1, temos queB=C=A
−1
. Assim, mostramos que a
inversa da matrizA´e´unica.
Exemplo 2.3.2Dada a matriz
A=
"
2 3
3 4
#
.
Determine a matrizA
−1
, se poss´ıvel.
Sabendo que a inversa da matrizA´e ´unica, caso exista, vamos representar a matriz
A
−1
da seguinte forma:
A
−1
=
"
a b
c d
#
para em seguida utilizar o fato queAA
−1
=I2, isto ´e,
"
2 3
3 4
# "
a b
c d
#
=
"
1 0
0 1
#
.
Assim, temos que obter a solu¸c˜ao de dois sistemas lineares



2a+ 3c= 1
3a+ 4c= 0
e



2b+ 3d= 0
3b+ 4d= 1
que s˜ao equivalentes aos seguintes sistemas lineares, respectivamente,



6a+ 9c= 3
c= 3
e



6b+ 9d= 0
d=−2
que possuem solu¸c˜ao ´unica. Portanto, obtemos
A
−1
=
"
−4 3
3−2
#
,
mostrando tamb´em a sua unicidade.

Petronio Pulino 61
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.63Dada a matriz
A=
"
1 3
2 8
#
.
Determine a matrizA
−1
.
Exerc´ıcio 2.64Considere a matriz realAdada por:
A=
"
a b
c d
#
com ad−bc6= 0.
Mostre que
A
−1
=
1
ad−bc
"
d−b
−c a
#
.
Exerc´ıcio 2.65SejamA , BeCmatrizes quadradas de mesma ordem com inversas
A
−1
, B
−1
eC
−1
, respectivamente. Mostre que(ABC)
−1
=C
−1
B
−1
A
−1
.
Exerc´ıcio 2.66SejaAuma matriz quadrada com inversaA
−1
. Mostre que
(λA)
−1
=
1
λ
A
−1
para qualquer escalarλn˜ao–nulo.
Exerc´ıcio 2.67SejaD=diag(a11,∙ ∙ ∙, ann)uma matriz diagonal, de ordemn, com
os elementosaii6= 0parai= 1,∙ ∙ ∙, n. Mostre que
D
−1
=diag
`
1
a11
,∙ ∙ ∙,
1
ann
´
Exerc´ıcio 2.68Determine a inversa da matrizAdeﬁnida por:
A=





1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1





.
Exerc´ıcio 2.69SejamAeBmatrizes quadradas de mesma ordem eBcom inversa
B
−1
. Mostre quetr(B
−1
AB) =tr(A).

62
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcio 2.70SejamAeBmatrizes quadradas de mesma ordem tais queAB´e uma
matriz invert´ıvel. Mostre que as matrizesAeBs˜ao invert´ıveis.
Exerc´ıcio 2.71SejamAeBmatrizes quadradas n˜ao–nulas, de ordemn, tais que
AB= 0n. Mostre que as matrizesAeBs˜ao n˜ao–invert´ıveis.
Exerc´ıcio 2.72SejaAuma matriz quadrada complexa com inversaA
−1
. Mostre que
(A)
−1
=(A
−1
).
Exerc´ıcio 2.73SejaAuma matriz de ordemntal queA
4
= 04. Mostre que
(I4−A)
−1
=I4+A+A
2
+A
3
.
ondeI4∈IM4(IR)´e a matriz identidade e04∈IM4(IR)´e a matriz nula.
Exerc´ıcio 2.74SejaAuma matriz nilpotente de ordemn. Mostre que a matriz
(In−A)´e invert´ıvel, exibindo sua matriz inversa.
Exerc´ıcio 2.75SejamAeBmatrizes de ordemn. Mostre que
(a) SeAB=In, ent˜aoBA=In.
(b) SeBA=In, ent˜aoAB=In.
Exerc´ıcio 2.76Determine a matrizA
−1
, se poss´ıvel, da matrizAdada por:
A=
"
cos(θ) sin(θ)
−sin(θ) cos(θ)
#
paraθ∈IR .
Exerc´ıcio 2.77SejaXuma matriz coluna de ordemn×1tal queX
t
X= 1. A
matrizH, de ordemn, deﬁnida por:
H=In−2XX
t
´e denominadamatriz de Householder. Mostre que
(a)H´e uma matriz sim´etrica.
(b)H
t
H=In.
(c)H
−1
=H
t
.
Dˆe um exemplo de uma matriz de Householder de ordem3.

Petronio Pulino 63
2.4 Matrizes em Blocos
Deﬁni¸c˜ao 2.4.1Dizemos que uma matrizA∈IMm×n(IR)´e umamatriz em blocos
quando podemos particionar linhas e colunas da seguinte forma:
A=



A11∙ ∙ ∙A1r
.
.
.
.
.
.
Aq1∙ ∙ ∙Aqr


,
onde cada matrizAαβ´e de ordemmα×nβ, com
m1+∙ ∙ ∙+mq=m en1+∙ ∙ ∙+nr=n .
Exemplo 2.4.1Considere a matriz em blocosA∈IM3×5(IR)deﬁnida na forma:
A=
"
A11A12A13
A21A22A23
#
,
onde as matrizesAαβs˜ao dadas por:
A11=
"
1 2
0 2
#
, A12=
"
0 3
1 2
#
, A13=
"
1
−3
#
A21=
h
3 1
i
, A22=
h
2 4
i
, A23=
h
−8
i
comm1= 2,m2= 1,n1= 2,n2= 2en3= 1. Assim, temos que
m1+m2= 3 en1+n2+n3= 5.
Portanto, a matrizA∈IM3×5(IR)´e dada por:
A=



1 2 0 3 1
0 2 1 2−3
3 1 2 4−8


.
Finalmente, ´e importante observar que podemos particionar a matrizAem blocos de
diversas maneiras.

64
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.4.2Considere a matriz em blocosA∈IM4(IR)deﬁnida na forma:
A=
"
A11A12
A21A22
#
,
onde as matrizesAαβs˜ao dadas por:
A11=



1 2 0
3 0 1
2 4 0


, A12=



1
2
0


, A21=
h
2 1 4
i
, A22=
h
5
i
comm1= 3,m2= 1,n1= 3en2= 1. Assim, temos que
m1+m2= 4 en1+n2= 4.
Portanto, a matrizA∈IM4(IR)´e dada por:
A=





1 2 0 1
3 0 1 2
2 4 0 0
2 1 4 5





.
Exemplo 2.4.3Considere a matriz em blocosA∈IM4(IR)deﬁnida na forma:
A=
"
A11A12
A21A22
#
,
onde as matrizesAαβs˜ao dadas por:
A11=
"
1 1
1 2
#
, A12=
"
0 0
0 0
#
, A21=
"
0 0
0 0
#
, A22=
"
2 5
1 3
#
comm1= 2,m2= 2,n1= 2en2= 2. Assim, temos que
m1+m2= 4 en1+n2= 4.
Portanto, a matrizA∈IM4(IR)´e dada por:
A=





1 1 0 0
1 2 0 0
0 0 2 5
0 0 1 3





.

Petronio Pulino 65
Deﬁni¸c˜ao 2.4.2Dizemos que uma matrizA´e umamatriz quadrada em blocosse
(a)A´e uma matriz quadrada.
(b) Os blocos formam uma matriz quadrada.
(c) O blocos diagonais s˜ao matrizes quadradas.
Deﬁni¸c˜ao 2.4.3Dizemos que uma matriz quadrada em blocosD∈IMn(IR)´e uma
matriz diagonal em blocosse os blocos n˜ao diagonais s˜ao matrizes nulas. Denotamos
a matriz diagonal em blocos da seguinte forma:
D=






D11
D22
...
Drr






,
onde cada matrizDαα´e de ordemnα×nα, comn1+ +nr=n.
Em geral, representamos a matriz diagonal em blocoDda forma:
D=D11⊕D22⊕ ⊕Drr=⊕
r
X
i=1
Dii,
que tamb´em ´e denominadasoma diretadas matrizesD11, , Drr.
Exemplo 2.4.4A matriz do Exemplo 2.4.3 ´e uma matriz diagonal em blocos.
Deﬁni¸c˜ao 2.4.4Dizemos que uma matriz quadrada em blocosL∈IMn(IR)´e uma
matriz triangular inferior em blocosse os blocos acima da diagonal principal s˜ao
matrizes nulas.
Exemplo 2.4.5A matriz quadrada em blocosL∈IM4(IR)deﬁnida na forma:
L=
"
L1102
L21L22
#
,
onde02∈IM2(IR)´e a matriz nula, e as matrizesLαβs˜ao dadas por:
L11=
"
1 1
1 2
#
, L21=
"
1 0
0 1
#
eL22=
"
2 5
1 3
#
,
´e uma matriz triangular inferior em blocos.

66
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Portanto, a matrizL∈IM4(IR)´e dada por:
L=





1 1 0 0
1 2 0 0
1 0 2 5
0 1 1 3





.
Deﬁni¸c˜ao 2.4.5Dizemos que uma matriz quadrada em blocosU∈IMn(IR)´e uma
matriz triangular superior em blocosse os blocos abaixo da diagonal principal s˜ao
matrizes nulas.
Exemplo 2.4.6A matriz quadrada em blocosU∈IM4(IR)deﬁnida na forma:
U=
"
U11U12
04U22
#
,
onde as matrizesUαβs˜ao dadas por:
U11=
"
1 1
1 2
#
, U12=
"
0 1
1 0
#
eU22=
"
2 5
1 3
#
,
´e uma matriz triangular superior em blocos.
Portanto, a matrizU∈IM4(IR)´e dada por:
U=





1 1 0 1
1 2 1 0
0 0 2 5
0 0 1 3





.
Deﬁni¸c˜ao 2.4.6SejamA , B∈IMm×n(IR)matrizes em blocos dadas por:
A=



A11∙ ∙ ∙A1r
.
.
.
.
.
.
Aq1∙ ∙ ∙Aqr


 eB=



B11∙ ∙ ∙B1r
.
.
.
.
.
.
Bq1∙ ∙ ∙Bqr


,
onde as matrizesAαβ, Bαβs˜ao de ordemmα×nβ, com
m1+∙ ∙ ∙+mq=m en1+∙ ∙ ∙+nr=n .

Petronio Pulino 67
Deﬁnimos asomaC=A+Bda seguinte forma:
C=





C11∙ ∙ ∙C1r
.
.
.
...
.
.
.
Cq1∙ ∙ ∙Cqr





=





A11+B11∙ ∙ ∙A1r+B1r
.
.
.
...
.
.
.
Aq1+Bq1∙ ∙ ∙Aqr+Bqr





,
que ´e uma matriz em blocos, onde cada matrizCαβ´e de ordemmα×nβ.
Lema 2.4.1SejamA∈IMm×p(IR)eB∈IMp×n(IR)matrizes em blocos dadas por:
A=



A1
.
.
.
Aq


 eB=
h
B1∙ ∙ ∙Br
i
,
onde cada matrizAα´e de ordemmα×p, com
m1+∙ ∙ ∙+mq=m ,
e cada matrizBβ´e de ordemp×nβ, com
n1+∙ ∙ ∙+nr=n .
Ent˜ao, oprodutoC=AB, que ´e uma matriz em blocos, ´e deﬁnido na forma:
C=





C11∙ ∙ ∙C1r
.
.
.
...
.
.
.
Cq1∙ ∙ ∙Cqr





,
onde cada matrizCαβ=AαBβ´e de ordemmα×nβ.
Demonstra¸c˜ao –Veja Lema 1.3.1, p´agina 25, da referˆencia [11]. ∗

68
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Lema 2.4.2SejamA∈IMm×p(IR)eB∈IMp×n(IR)matrizes em blocos dadas por:
A=
h
A1∙ ∙ ∙Aq
i
eB=



B1
.
.
.
Bq


,
onde as matrizesAγs˜ao de ordemm×nγe as matrizesBγs˜ao de ordemnγ×n,
comn1+∙ ∙ ∙+nq=p.
Ent˜ao, oprodutoC=AB, que ´e uma matriz em blocos, ´e deﬁnido na forma:
C=
q
X
γ=1
AγBγ,
onde cada matrizAγBγ∈IMm×n(IR)paraγ= 1,∙ ∙ ∙, q.
Demonstra¸c˜ao –Veja Lema 1.3.2, p´agina 26, da referˆencia [11]. ∗

Petronio Pulino 69
Lema 2.4.3SejamA∈IMm×p(IR)eB∈IMp×n(IR)matrizes em blocos dadas por:
A=



A11∙ ∙ ∙A1s
.
.
.
.
.
.
Aq1∙ ∙ ∙Aqs


 eB=



B11∙ ∙ ∙B1r
.
.
.
.
.
.
Bs1∙ ∙ ∙Bsr


,
onde cada matrizAαγ´e de ordemmα×lγ, com
m1+∙ ∙ ∙+mq=m el1+∙ ∙ ∙+ls=p ,
e cada matrizBγβ´e de ordemlγ×nβ, com
n1+∙ ∙ ∙+nr=n .
Ent˜ao, oprodutoC=AB, que ´e uma matriz em blocos, ´e deﬁnido na forma:
C=





C11∙ ∙ ∙C1r
.
.
.
...
.
.
.
Cq1∙ ∙ ∙Cqr





,
que ´e uma matriz em blocos, onde cada matrizCαβ´e dada por:
Cαβ=
s
X
γ=1
AαγBγβ,
que ´e de ordemmα×nβ, para
α= 1,∙ ∙ ∙, qeβ= 1,∙ ∙ ∙, r .
Demonstra¸c˜ao –Veja Teorema 1.3.3, p´agina 26, da referˆencia [11]. ∗

70
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.4.7Sejam a matriz em blocosAe o vetor coluna em blocosXdados por:
A=


A11A12
A21A22

 eX=


X1
X2

,
onde cada matrizAαβ∈IMn(IR)e cada vetor colunaXβ∈IMn×1(IR).
Assim, o produtoY=AX´e escrito da seguinte forma:
Y=


A11A12
A21A22




X1
X2

=


A11X1+A12X2
A21X1+A22X2

,
de acordo com o Lema 2.4.3.
Para exempliﬁcar, considere a matriz em blocosA∈IM4(IR)deﬁnida na forma:
A=


A11A12
A21A22

,
onde as matrizesAαβ∈IM2(IR)s˜ao dadas por:
A11=
"
1 1
1 2
#
, A12=
"
0 0
0 0
#
, A21=
"
0 0
0 0
#
, A22=
"
2 5
1 3
#
,
e o vetor colunaX∈IM4×1(IR)deﬁnido na forma:
X=


X1
X2

 com X1=


1
1

 eX2=


−1
1

.
Assim, o produtoY=AX´e escrito da seguinte forma:
Y=


A11A12
A21A22




X1
X2

=


A11X1
A22X2

.
Assim, o vetor colunaY∈IM4×1(IR)´e dado por:
Y=





2
3
3
2





.

Petronio Pulino 71
Exemplo 2.4.8Considere a matriz diagonal em blocosAdeﬁnida na forma:
A=


A110n
0nA22

,
onde0n∈IMn(IR)´e a matriz nula, e as matrizesAαα∈IMn(IR)s˜ao invert´ıveis.
Desse modo, a matriz em blocosBdeﬁnida na forma:
B=


B11B12
B21B22


tal que
AB=BA=


In0n
0nIn

,
ondeIn∈IMn(IR)´e a matriz identidade, ´e a inversa da matrizA.
De acordo com o Lema 2.4.3, temos que o produtoAB´e dado por:
AB=


A11B11A11B12
A22B21A22B22

=


In0n
0nIn

.
Portanto, temos que
A11B11=In () B11=A
−1
11
A11B12= 0n () B12=A
−1
110n= 0n
A22B21= 0n () B21=A
−1
220n= 0n
A22B22=In () B22=A
−1
22
Assim, obtemos a matriz diagonal em blocos
B=


A
−1
110n
0nA
−1
22


que ´e a inversa da matrizA.

72
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.4.9Considere a matriz diagonal em blocosA∈IM4(IR)deﬁnida na forma:
A=


A1102
02A22

,
onde02∈IM2(IR)´e a matriz nula, e as matrizesAαα∈IM2(IR)s˜ao dadas por:
A11=
"
1 1
1 2
#
eA22=
"
2 5
1 3
#
.
Assim, a matriz diagonal em blocosA
−1
∈IM4(IR)deﬁnida na forma:
A
−1
=


A
−1
1102
02A
−1
22

,
´e a inversa da matrizA, onde as matrizesA
−1
αα∈IM2(IR)s˜ao dadas por:
A
−1
11=
"
2−1
−1 1
#
eA
−1
22=
"
3−5
−1 2
#
.
Portanto, temos que
AA
−1
=A
−1
A=
"
I2
I2
#
,
ondeI2∈IM2(IR)´e a matriz identidade.
Portanto, as matrizesA , A
−1
∈IM4(IR)s˜ao dadas por:
A=





1 1 0 0
1 2 0 0
0 0 2 5
0 0 1 3





eA
−1
=





2−1 0 0
−1 1 0 0
0 0 3 −5
0 0−1 2





.

Petronio Pulino 73
Lema 2.4.4Considere a matriz em blocosA∈IMm×n(IR)dada na seguinte forma:
A=



A11∙ ∙ ∙A1r
.
.
.
.
.
.
Aq1∙ ∙ ∙Aqr


,
onde cada matrizAαβ´e de ordemmα×nβ, com
m1+∙ ∙ ∙+mq=m en1+∙ ∙ ∙+nr=n .
Ent˜ao, a matriz em blocosA
t
∈IMn×m(IR)´e deﬁnida na forma:
A
t
=



A
t
11∙ ∙ ∙A
t
q1
.
.
.
.
.
.
A
t
1r∙ ∙ ∙A
t
qr


.
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a carga do leitor. ∗

74
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.4.10Considere a matriz em blocosA∈IM3×5(IR)deﬁnida na forma:
A=
"
A11A12A13
A21A22A23
#
,
onde as matrizesAαβs˜ao dadas por:
A11=
"
1 2
0 2
#
, A12=
"
0 3
1 2
#
, A13=
"
1
−3
#
A21=
h
3 1
i
, A22=
h
2 4
i
, A23=
h
−8
i
Desse modo, a matrizA
t
∈IM5×3(IR)´e dada por:
A
t
=





A
t
11A
t
21
A
t
12A
t
22
A
t
13A
t
23





onde as matrizesA
t
αβ
s˜ao dadas por:
A
t
11=
"
1 0
2 2
#
, A
t
12=
"
0 1
3 2
#
, A
t
13=
h
1−3
i
A
t
21=
"
3
1
#
, A
t
22=
"
2
4
#
, A
t
23=
h
−8
i
Assim, obtemos
A
t
=








1 0 3
2 2 1
0 1 2
3 2 4
1−3−8









Petronio Pulino 75
Exemplo 2.4.11SejamAuma matriz normal real de ordemn×neBuma matriz
normal real de ordemm×m. Vamos mostrar que a matriz em blocos dada por:
C=


A0n×m
0
t
n×mB


´e uma matriz normal de ordem(n+m), onde0n×m´e a matriz nula de ordemn×m.
Assim, temos que
CC
t
=


A0n×m
0
t
n×mB




A
t
0n×m
0
t
n×mB
t

=


AA
t
0n×m
0
t
n×mBB
t


C
t
C=


A
t
0n×m
0
t
n×mB
t




A0n×m
0
t
n×mB

=


A
t
A0n×m
0
t
n×mB
t
B


Como, por hip´otese,A
t
A=AA
t
eB
t
B=BB
t
, obtemosCC
t
=C
t
C. Logo,
mostramos que a matriz em blocosC´e uma matriz normal.
Exemplo 2.4.12Podemos veriﬁcar facilmente que as matrizes
A=



2 0 0
0 6 4
0 4 5


 eB=
"
2−3
3 2
#
s˜ao matrizes normais.
Portanto, a matriz em blocos dada por:
C=


A03×2
02×3B

=








2 0 0 0 0
0 6 4 0 0
0 4 5 0 0
0 0 0 2−3
0 0 0 3 2








´e tamb´em uma matriz normal.

76
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
2.5 Opera¸c˜oes Elementares. Equivalˆencia
Deﬁni¸c˜ao 2.5.1Asopera¸c˜oes elementarescom matrizes, s˜ao opera¸c˜oes que mant´em
tanto a ordem da matriz quanto a sua caracter´ıstica. Vamos deﬁnir dois tipos de opera¸c˜oes
elementares. As opera¸c˜oes elementares de linhas, que vamos indicar porh, e as opera¸c˜oes
elementares de colunas, que vamos indicar pork.
S˜aoopera¸c˜oes elementares de linhas:
(a) Permuta¸c˜ao dai–´esima linha com aj–´esima linha, que indicaremos por:
h:li !lj.
(b) Multiplica¸c˜ao dai–´esima linha por um escalarrn˜ao–nulo, que indicaremos por:
h:li rli.
(c) Substitui¸c˜ao dai–´esima linha pelai–´esima linha mais aj–´esima linha multiplicada
por um escalarrn˜ao–nulo, que indicaremos por:
h:li li+rlj.
De modo an´alogo, deﬁnimos os mesmos tipos de opera¸c˜oes elementares com as colunas da
matriz, que s˜ao denominadasopera¸c˜oes elementares de colunas.
S˜aoopera¸c˜oes elementares de colunas:
(a) Permuta¸c˜ao dai–´esima coluna com aj–´esima coluna, que indicaremos por:
k:ci !cj.
(b) Multiplica¸c˜ao dai–´esima coluna por um escalarrn˜ao–nulo, que indicaremos por:
k:ci rci.
(c) Substitui¸c˜ao dai–´esima coluna pelai–´esima coluna mais aj–´esima coluna multipli-
cada por um escalarrn˜ao–nulo, que indicaremos por:
k:ci ci+rcj.
Vamos nos dedicar mais `as opera¸c˜oes elementares de linhas, pois temos como objetivo
central suas aplica¸c˜oes na an´alise de solu¸c˜oes de sistemas de equa¸c˜oes lineares.

Petronio Pulino 77
Exemplo 2.5.1Dada a matriz
A=



1 1 2
3 5 5
1 2 3


,
a opera¸c˜ao elementar de linhas
h:l2 l2−3l1
e a opera¸c˜ao elementar de colunas
k:c2 c2+c3.
Portanto, aplicando a seq¨uˆenciak(h(A))obtemos a seguinte matriz resultante
C=k(h(A)) =



1 3 2
0 1−1
1 5 3


.
Podemos veriﬁcar facilmente queC=h(k(A)).
Exemplo 2.5.2Dada a matriz
A=



1−1 2
2 3 4
3 1 1


,
vamos aplicar a seguinte seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas



1−1 2
2 3 4
3 1 1


l2 l2−2l1



1−1 2
0 5 0
3 1 1


l3 l3−3l1



1−1 2
0 5 0
0 4−5



l3 5l3



1−1 2
0 5 0
0 20−25


l3 l3−4l2



1−1 2
0 5 0
0 0−25


.
Assim, encontramos uma matriz triangular superior
U=



1−1 2
0 5 0
0 0−25


,
obtida da matrizAatrav´es de opera¸c˜oes elementares de linhas.

78
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Deﬁni¸c˜ao 2.5.2Aopera¸c˜ao elementar inversa´e uma opera¸c˜ao que desfaz o efeito
da opera¸c˜ao elementar, isto ´e, depois de haver realizadouma opera¸c˜ao elementar sobre
uma matriz, aplicando sobre a matriz resultante a opera¸c˜ao elementar inversa retornamos
`a matriz original.
Exemplo 2.5.3Considere as seguintes opera¸c˜oes elementares de linhas
(a)h:li li+clj (b)h:li rli (c)h:li !lj
onde os escalarescers˜ao n˜ao–nulos.
As respectivas opera¸c˜oes elementares inversas s˜ao dadas por:
(a)h1:li li−clj (b)h1:li
1
r
li (c)h1:li !lj
o que pode ser facilmente veriﬁcada.
Exemplo 2.5.4Considere a seguinte seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas
l2 l2−2l1, l3 l3−3l1 el2
1
5
l2.
Desse modo, a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares inversas ´e dada por:
l2 5l2, l3 l3+ 3l1 el2 l2+ 2l1.
Exemplo 2.5.5Dada a matriz
A=



1−1 2
2 3 4
3 1 1


.
Aplicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas
l2 l2−2l1, l3 l3−3l1, l2
1
5
l2 el3 l3−4l2,
na matrizA, obtemos a seguinte matriz resultante
B=



1−1 2
0 1 0
0 0−5


.
Finalmente, aplicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares inversas
l3 l3+ 4l2, l2 5l2, l3 l3+ 3l1 el2 l2+ 2l1.
na matrizB, obtemos novamente a matrizA.

Petronio Pulino 79
Assim, podemos veriﬁcar facilmente que a opera¸c˜ao inversade uma opera¸c˜ao elementar
de linhas ´e uma opera¸c˜ao elementar de linhas do mesmo tipo. Desse modo, temos que
h1(h(A)) =h(h1(A)) =A .
De modo an´alogo, a opera¸c˜ao inversa de uma opera¸c˜ao elementar de colunas ´e uma
opera¸c˜ao elementar de colunas do mesmo tipo.
Deﬁni¸c˜ao 2.5.3SejamAeBmatrizes de mesma ordem. Dizemos que a matrizB
´elinha equivalentea matrizA, se a matrizBpode ser obtida da matrizAatrav´es
de uma seq¨uˆencia ﬁnita de opera¸c˜oes elementares sobre as linhas deA.
Exemplo 2.5.6Considere a matrizA, de ordem3×4, dada por:
A=



1 4 2 1
2 1−1 1
4−5−7 1


.
Aplicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas
l2 l2−2l1, l3 l3−4l1 el3 l3−3l2
na matrizA, obtemos a matriz
B=



1 4 2 1
0−7−5−1
0 0 0 0



que ´e linha equivalente a matrizA.
Deﬁni¸c˜ao 2.5.4SejamAeBmatrizes de mesma ordem. Dizemos que a matrizB
´eequivalente por colunaa matrizA, se a matrizBpode ser obtida da matrizA
atrav´es de uma seq¨uˆencia ﬁnita de opera¸c˜oes elementares sobre as colunas deA.
Deﬁni¸c˜ao 2.5.5SejamAeBmatrizes de mesma ordem. Dizemos que a matrizB
´eequivalentea matrizA, se a matrizBpode ser obtida da matrizAatrav´es de
uma seq¨uˆencia ﬁnita de opera¸c˜oes elementares sobre as linhas e sobre as colunas deA.
IndicamosB∼Apara denotar que a matrizB´e equivalente a matrizA.

80
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.78Mostre que as matrizes
A=



2 1−1
1 3 2
4 2 1


 eU=



1 3 2
0−5−5
0 0 3



s˜ao equivalentes, indicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oeselementares de linhas utilizada para
reduzir a matrizAa matriz triangular superiorU.
Exerc´ıcio 2.79Mostre que as matrizes
A=



1 2
3 4
−2 0


 eB=



1 2
0−2
0 0



s˜ao equivalentes, indicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oeselementares de linhas utilizada para
reduzir a matrizAa matrizB.
Exerc´ıcio 2.80Mostre que as matrizes
A=



1 2
3 4
−2 0


 eR=



1 0
0 1
0 0



s˜ao equivalentes, indicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oeselementares utilizada.
Exerc´ıcio 2.81Mostre que as matrizes
A=
"
1 2 1
3 8 4
#
eR=
"
1 0 0
0 1 0
#
s˜ao equivalentes, indicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oeselementares utilizada.

Petronio Pulino 81
2.6 Forma Escalonada. Forma Escada
Deﬁni¸c˜ao 2.6.1Uma matrizR, de ordemm×n, est´a naforma escalonada, linha
reduzida, se prevalecem as seguintes condi¸c˜oes:
(a) Todas as linhas nulas, se houver, aparecem nas ´ultimas linhas da matriz.
(b) O primeiro elemento n˜ao–nulo de uma linha, que ´e denominadopivˆo, est´a `a direita
do primeiro elemento n˜ao–nulo da linha anterior.
Exemplo 2.6.1Nos Exemplos 2.5.5 e 2.5.6 efetuamos uma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes
elementares de linhas na matrizAcom o objetivo de obter uma matrizBna forma
escalonada, linha equivalente a matrizA.
Deﬁni¸c˜ao 2.6.2Uma matrizR, de ordemm×n, naforma escalonadaest´a na
forma escada, linha reduzida, se prevalecem mais as seguintes condi¸c˜oes:
(c) O primeiro elemento n˜ao–nulo de uma linha n˜ao–nula deR´e igual a1.
(d) Cada coluna deRque cont´em o primeiro elemento n˜ao–nulo tem todos os seus
outros elementos nulos.
Exemplo 2.6.2Um exemplo de uma matriz de ordemnna forma escada ´e a matriz
identidadeIn. De fato, podemos veriﬁcar facilmente que a matriz identidade satisfaz as
propriedades exigidas. Para ilustrar, tome como exemplo a matriz
I3=



1 0 0
0 1 0
0 0 1


.
A matriz nula0m×n´e um outro exemplo de uma matriz na forma escada.
Exemplo 2.6.3Considerando as matrizesAeBdo Exemplo 2.5.5. Aplicando a
seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas
l3
1
5
l3, l1 −l1+l2 el1 −l1−2l3
na matrizBna forma escalonada, linha equivalente a matrizA, obtemos a matriz
R=I3na forma escada, que ´e linha equivalente a matrizA.

82
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.6.4Considerando novamente as matrizesAeBdo Exemplo 2.5.6.
Podemos realizar uma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas na matrizB, que
est´a na forma escalonada, para obter uma matrizRna forma escada, linha equivalente
a matrizA. De fato,
B=



1 4 2 1
0−7−5−1
0 0 0 0


l2
1
7
l2



1 4 2 1
0 1
5
7
1
7
0 0 0 0



l1 l1−4l2



1 0−
6
7
3
7
0 1
5
7
1
7
0 0 0 0



Assim, obtemos a matriz na forma escada
R=



1 0−
6
7
3
7
0 1
5
7
1
7
0 0 0 0



que ´e linha equivalente a matrizA.
Exemplo 2.6.5Dada a matriz
A=





2 2−1 6 4
4 4 1 10 13
2 2 5 2 14
6 6 0 20 19





.
Encontre uma matrizRna forma escalonada, linha equivalente a matrizA, indicando
a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas utilizada.
Exemplo 2.6.6Dada a matriz
A=



1 2−3 0
2 4−2 2
3 6−4 3


.
Encontre uma matrizRna forma escada, linha equivalente a matrizA, indicando a
seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas utilizada.

Petronio Pulino 83
Deﬁni¸c˜ao 2.6.3SejamAuma matriz de ordemm×neRa matriz na forma
escalonada linha equivalente a matrizA. Deﬁnimos oposto linhada matrizA, ou
posto deA, como sendo o n´umero de linhas n˜ao–nulas da matrizR, e denotamos esse
n´umero inteiro porposto(A).
Exemplo 2.6.7Determine o posto linha da matrizAdada por:
A=



1 2 1
3 8 4
1 4 2


,
e tamb´em o posto linha da matrizA
t
.
Exemplo 2.6.8Determine o posto linha da matrizAdada por:
A=



1 2 1 1
3 8 4 1
1 4 2 1


,
e tamb´em o posto linha da matrizA
t
.
Exemplo 2.6.9Determine o posto linha da matrizAdada por:
A=





1 2 1
3 8 4
1 4 2
1 1 1





,
e tamb´em o posto linha da matrizA
t
.
Na se¸c˜ao 8.10 apresentamos um estudo mais detalhado sobre os resultados envolvendo o
posto de A, onde demonstraremos o fato observado nos exemplos anteriores.

84
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
2.7 Matrizes Elementares
Deﬁni¸c˜ao 2.7.1A matriz resultante da aplica¸c˜ao de uma ´unica opera¸c˜aoelementar de
linhas `a matriz identidade, ´e denominadamatriz elementar de linha.
Deﬁni¸c˜ao 2.7.2A matriz resultante da aplica¸c˜ao de uma ´unica opera¸c˜aoelementar de
colunas `a matriz identidade, ´e denominadamatriz elementar de coluna.
Exemplo 2.7.1Vamos considerar o seguinte exemplo de uma matriz elementarde linha
obtida da matriz identidadeI3, que denotamos porH,
I3=



1 0 0
0 1 0
0 0 1


l2 l2+ 2l1H=



1 0 0
2 1 0
0 0 1



Deﬁni¸c˜ao 2.7.3A matriz resultante da aplica¸c˜ao de uma ´unica opera¸c˜aoelementar de
permuta¸c˜ao de linhas sobre a matriz identidade, ´e denominadamatriz de permuta¸c˜ao
de linhas.
Deﬁni¸c˜ao 2.7.4A matriz resultante da aplica¸c˜ao de uma ´unica opera¸c˜aoelementar de
permuta¸c˜ao de colunas sobre a matriz identidade, ´e denominadamatriz de permuta¸c˜ao
de colunas.
Exemplo 2.7.2Vamos considerar o seguinte exemplo de uma matriz de permuta¸c˜ao de
linhas obtida da matriz identidadeI3, que denotamos porP,
I3=



1 0 0
0 1 0
0 0 1


l1 !l3P=



0 0 1
0 1 0
1 0 0



Observamos facilmente que uma matriz de permuta¸c˜ao tamb´em ´e uma matriz elementar,
pois foi obtida da matriz identidade atrav´es de uma ´unica opera¸c˜ao elementar.
Sejahuma opera¸c˜ao elementar de linhas, denotamos porH=h(In) a matriz
elementar de linha correspondente `a opera¸c˜ao elementarh. De modo an´alogo, sek´e
uma opera¸c˜ao elementar de colunas, vamos denotar porK=k(In) a matriz elementar
de coluna correspondente `a opera¸c˜ao elementark.

Petronio Pulino 85
Lema 2.7.1SejamAuma matriz de ordemm×n,Buma matriz de ordemp×m
ehuma opera¸c˜ao elementar de linhas. Ent˜ao,h(B)A=h(BA).
Demonstra¸c˜ao –SejaEi∙a matriz linha de ordem 1×pdada por:
Ei∙=
h
0∙ ∙ ∙0 1 0∙ ∙ ∙0
i
,
onde o valor 1 aparece nai–´esima coluna, que ´e ai–´esima linha da matriz identidade de
ordemp×p. Podemos veriﬁcar facilmente que
Ei∙B=
h
bi1∙ ∙ ∙bij∙ ∙ ∙bim
i
=Bi∙,
ondeBi∙´e a matriz linha de ordem 1×mque denota ai–´esima linha da matrizB.
Por simplicidade, vamos denotar as matrizesAeB, e a matriz identidadeIp, da
seguinte forma:
A=









A1∙
.
.
.
Ai∙
.
.
.
Am∙









, B=









B1∙
.
.
.
Bi∙
.
.
.
Bp∙









eIp=









E1∙
.
.
.
Ei∙
.
.
.
Ep∙









,
ondeAi∙´e a matriz linha de ordem 1×nque denota ai–´esima linha da matrizA.
De modo an´alogo, podemos veriﬁcar facilmente que
BA=









B1∙A
.
.
.
Bi∙A
.
.
.
Bp∙A









,
utilizando a deﬁni¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matrizes. Note queBi∙Aindica a multiplica¸c˜ao
dai–´esima linha da matrizBpela matrizA, obtendo ai–´esima linha da matrizBA.
A seguir passamos para a demonstra¸c˜ao, considerando cadauma das opera¸c˜oes elementar
de linhas, onde as observa¸c˜oes acima ser˜ao de muita utilidade.

86
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
(1)Considerehcomo sendo a opera¸c˜ao elementar de linhas que multiplica ai–´esima
linha por um escalarrn˜ao–nulo, isto ´e,h:li −rli, cuja matriz elementar
correspondente ´e dada por:
h(Ip) =H=









E1∙
.
.
.
rEi∙
.
.
.
Ep∙









.
Desse modo, temos que
h(B) =









B1∙
.
.
.
rBi∙
.
.
.
Bp∙









=









E1∙B
.
.
.
(rEi∙)B
.
.
.
Ep∙B









=h(Ip)B=HB .
Portanto, temos queh(B)A= (HB)A=H(BA) =h(BA), fazendo uso do fato que
multiplica¸c˜ao de matrizes e associativa.
(2)Considerehcomo sendo a opera¸c˜ao elementar de linhas que substitui ai–´esima
linha pelai–´esima mais ak–´esima linha multiplicada por um escalarrn˜ao–nulo, isto ´e,
h:li −li+rlk, cuja matriz elementar correspondente ´e dada por:
h(Ip) =H=









E1∙
.
.
.
Ei∙+rEk∙
.
.
.
Ep∙









.
Desse modo, temos que
h(B) =









B1∙
.
.
.
Bi∙+rBk∙
.
.
.
Bp∙









=









E1∙B
.
.
.
(Ei∙+rEk∙)B
.
.
.
Ep∙B









=h(Ip)B=HB .
Portanto, temos queh(B)A= (HB)A=H(BA) =h(BA), fazendo uso do fato que
multiplica¸c˜ao de matrizes e associativa.

Petronio Pulino 87
(3)Considerehcomo sendo a opera¸c˜ao elementar de linhas que permuta ai–´esima
linha com ak–´esima linha, isto ´e,h:li !lk, parai < k, cuja matriz elementar
correspondente ´e dada por:
h(Ip) =H=














E1∙
.
.
.
Ek∙
.
.
.
Ei∙
.
.
.
Ep∙














.
Desse modo, temos que
h(B) =














B1∙
.
.
.
Bk∙
.
.
.
Bi∙
.
.
.
Bp∙














=














E1∙B
.
.
.
Ek∙B
.
.
.
Ei∙B
.
.
.
Ep∙B














=h(Ip)B=HB .
Portanto, temos queh(B)A= (HB)A=H(BA) =h(BA), fazendo uso do fato que
multiplica¸c˜ao de matrizes e associativa.
Teorema 2.7.1SejaAuma matriz de ordemm×n. A matrizCresultante da
aplica¸c˜ao de uma ´unica opera¸c˜ao elementar com as linhas da matrizA, ´e a mesma
matrizCresultante da multiplica¸c˜ao pela esquerda da matrizApela matriz elementar
Hde ordemm×m, correspondente `a opera¸c˜ao elementar efetuada com as linhas deA,
isto ´e,C=HA.
Demonstra¸c˜ao –A prova segue do Lema 2.7.1, considerando a matrizB=Im. De
fato, SejaHa matriz elementar de linha correspondente `a opera¸c˜ao elementar de linhas
h. Desse modo, temos que
C=h(A) =h(Im)A=HA ,
o que completa a demonstra¸c˜ao.

88
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Lema 2.7.2SejamAuma matriz de ordemm×n,kuma opera¸c˜ao elementar de
colunas eha opera¸c˜ao elementar de linhas correspondente `a opera¸c˜aok. Ent˜ao,
k(A) = (h(A
t
) )
t
.
Demonstra¸c˜ao –A demonstra¸c˜ao segue diretamente do fato que as colunas damatriz
As˜ao as linhas da matrizA
t
, e vice–versa.
Corol´ario 2.7.1Sejamkuma opera¸c˜ao elementar de colunas, sendoKa matriz
elementar de coluna correspondente, eha opera¸c˜ao elementar de linhas an´aloga `a
opera¸c˜aok, comHa matriz elementar de linha correspondente `a opera¸c˜ao elementar
de linhash. Ent˜ao,K=H
t
.
Exemplo 2.7.3Vamos considerar a seguinte opera¸c˜ao elementar de colunas
k:c2 c2+ 2c1
e a opera¸c˜ao elementar de linhashcorrespondente `a opera¸c˜aok, isto ´e,
h:l2 l2+ 2l1.
Desse modo, temos as matrizes elementares correspondentes`as opera¸c˜oeskeh
K=k(I3) =



1 2 0
0 1 0
0 0 1


 eH=h(I3) =



1 0 0
2 1 0
0 0 1


.
Assim, podemos veriﬁcar queK=H
t
.
Teorema 2.7.2SejaAuma matriz de ordemm×n. A matrizCresultante da
aplica¸c˜ao de uma ´unica opera¸c˜ao elementar com as colunas da matrizA, ´e a mesma
matrizCresultante da multiplica¸c˜ao pela direita da matrizApela matriz elementar
K, de ordemn×n, correspondente `a opera¸c˜ao elementar efetuada com as colunas deA,
isto ´e,C=AK.
Demonstra¸c˜ao –A prova segue do Lema 2.7.2 e do Teorema 2.7.1. De fato, SejamK
a matriz elementar de coluna correspondente `a opera¸c˜ao elementar de colunaskeH
a matriz elementar de linha correspondente `a opera¸c˜ao elementar de linhashan´aloga `a
opera¸c˜aok. Desse modo, obtemos
k(A) = (h(A
t
) )
t
= (HA
t
)
t
=AH
t
=AK ,
o que completa a demonstra¸c˜ao.

Petronio Pulino 89
Exemplo 2.7.4Considere a matriz
A=



1 2 1
4 10 6
3 0 1


.
Aplicando a opera¸c˜ao elementar de linhasl2 l2−4l1na matrizA, obtemos a
matriz resultanteC
A=



1 2 1
4 10 6
3 0 1


l2 l2−4l1C=



1 2 1
0 2 2
3 0 1


.
Equivalentemente, considerando a matriz elementar de linhaEcorrespondente `a opera¸c˜ao
elementar de linhas, deﬁnida acima,
I3=



1 0 0
0 1 0
0 0 1


l2 l2−4l1E=



1 0 0
−4 1 0
0 0 1


,
obtemos a matrizCda seguinte forma:
C=



1 0 0
−4 1 0
0 0 1






1 2 1
4 10 6
3 0 1


=



1 2 1
0 2 2
3 0 1


,
isto ´e,C=EA.
Exemplo 2.7.5Considerando o Exemplo 2.5.1, vamos denotar porHa matriz ele-
mentar de linha correspondente a opera¸c˜ao elementar de linhashe porKa matriz
elementar de coluna correspondente a opera¸c˜ao elementarde colunask. Desse modo,
temos que a matrizCpode ser obtida da seguinte forma:
C=



1 0 0
−3 1 0
0 0 1






1 1 2
3 5 5
1 2 3






1 0 0
0 1 0
0 1 1


=



1 3 2
0 1−1
1 5 3


.
Portanto, temos queC= (HA)K=H(AK), pois o produto de matrizes possui a
propriedade associativa. Logo, provamos quek(h(A)) =h(k(A)).

90
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.7.6Considere a matrizAde ordem3×2e a matrizBde ordem2×3,
A=



1 1
2 3
4 6


 eB=
"
1 1 3
2 4 8
#
,
e a opera¸c˜ao elementar de linhash:l2 l2−2l1. Podemos veriﬁcar facilmente que
h(B)A=
"
1 1 3
0 2 2
#



1 1
2 3
4 6


=
"
15 22
12 18
#
=h(BA)
onde as matrizesBAeh(BA)s˜ao dadas por:
BA=
"
15 22
42 62
#
l2 l2−2l1h(BA) =
"
15 22
12 18
#
.
Assim, vemos queh(B)A=h(BA), que ´e uma ilustra¸c˜ao do Lema 2.7.1.
Exemplo 2.7.7Considere a matrizAde ordem3×2
A=



1 1
2 3
4 6



e a seguinte seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas
l2 l2−2l1, l3 l3−4l1 el3 l3−2l2
com as correspondentes matrizes elementaresE1,E2eE3, todas de ordem3,
E1=



1 0 0
−2 1 0
0 0 1


, E2=



1 0 0
0 1 0
−4 0 1


eE3=



1 0 0
0 1 0
0−2 1


.
Desse modo, obtemos a matrizB=E3E2E1A, que est´a na forma escalonada, que
corresponde a aplica¸c˜ao da seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas, deﬁnida acima,
na matrizA. De fato,
B=E3E2E1A=



1 0 0
0 1 0
0−2 1






1 0 0
0 1 0
−4 0 1






1 0 0
−2 1 0
0 0 1






1 1
2 3
4 6


=



1 1
0 1
0 0


.
Portanto, temos que as matrizesAeBs˜ao equivalentes,A∼B.

Petronio Pulino 91
Teorema 2.7.3SejamAeBmatrizes de ordemm×n. Ent˜ao, a matrizB´e linha
equivalente a matrizAse, e somente se,B=PA, comP=Hr∙ ∙ ∙H2H1, onde
cada matrizHi´e uma matriz elementar de linha de ordemm×m.
Demonstra¸c˜ao
(=⇒) Considerando queB´e linha equivalente a matrizA. Sejamh1,∙ ∙ ∙hruma
seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares com as linhas deAresultando na matrizB. Desse
modo, tomandoHia matriz elementar de linha correspondente `a opera¸c˜ao elementar de
linhashi, temos queB= (Hr∙ ∙ ∙H2H1)A=PA.
(⇐=) Considerando queB=PA, comP=Hr∙ ∙ ∙H2H1, onde cada matrizHi´e
uma matriz elementar de linha de ordemm×m. Temos que a matrizH1A´e linha
equivalente a matrizAeH2H1A´e linha equivalente a matrizH1A. Assim, a matriz
H2H1A´e linha equivalente a matrizA. Continuando o processo, vemos que a matriz
(Hr∙ ∙ ∙H2H1)A=PA´e linha equivalente a matrizA.
Teorema 2.7.4Uma matriz elementar de linhaH´e invert´ıvel e sua inversa ´e uma
matriz elementar de linhaH1que corresponde `a opera¸c˜ao elementar inversa da opera¸c˜ao
elementar de linhas efetuada porH.
Demonstra¸c˜ao –SejaHa matriz elementar de linha correspondente `a opera¸c˜ao
elementar de linhash. Seh1´e a opera¸c˜ao inversa deheH1=h1(I), ent˜ao
HH1=h(H1) =h(h1(I)) =I
H1H=h1(H) =h1(h(I)) =I
Desse modo, temos queH´e uma matriz invert´ıvel eH1=H
−1
. Logo, da deﬁni¸c˜ao de
inversa de uma matriz, temos queH=H
−1
1.
Teorema 2.7.5Uma matriz elementar de colunaK´e invert´ıvel e sua inversa ´e uma
matriz elementar de colunaK1que corresponde `a opera¸c˜ao elementar inversa da opera¸c˜ao
elementar de colunas efetuada porK.
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a cargo do leitor. ∗

92
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.7.8Vamos considerar o seguinte exemplo de uma matriz elementarde linha
obtida da matriz identidadeI3
I3=



1 0 0
0 1 0
0 0 1


l2 −l2+ 2l1E1=



1 0 0
2 1 0
0 0 1


.
Assim, temos que a opera¸c˜ao elementar inversa ´el2 −l2−2l1e a inversa da matriz
elementarE1´e dada por:
I3=



1 0 0
0 1 0
0 0 1


l2 −l2−2l1E2=



1 0 0
−2 1 0
0 0 1


.
Portanto, temos queE1E2=E2E1=I3. Logo,E2=E
−1
1eE1=E
−1
2, decorrente
da deﬁni¸c˜ao de inversa de uma matriz.
Exemplo 2.7.9Vamos considerar o seguinte exemplo de uma matriz de permuta¸c˜ao de
linhas obtida da matriz identidadeI3
I3=



1 0 0
0 1 0
0 0 1


l2 !l3P=



1 0 0
0 0 1
0 1 0



Sabemos que a matriz de permuta¸c˜aoP´e uma matriz elementar e podemos observar que
P
−1
=P, isto ´e,PP=P
2
=I3. Logo, a matriz de permuta¸c˜aoP´e idempotente.
Exemplo 2.7.10No Exemplo 2.7.7 temos queB=E3E2E1A. Logo, como as matrizes
elementares s˜ao invert´ıveis, obtemos queA=E
−1
1E
−1
2E
−1
3B.
Assim, denotandoE=E3E2E1, temos queE
−1
=E
−1
1E
−1
2E
−1
3. Portanto, obtemos
A=E
−1
1E
−1
2E
−1
3B=



1 0 0
2 1 0
0 0 1






1 0 0
0 1 0
4 0 1






1 0 0
0 1 0
0 2 1






1 1
0 1
0 0


=



1 1
2 3
4 6


.
Exemplo 2.7.11Considerando o Exemplo 2.7.10, calcule explicitamente as matrizes
E=E3E2E1 eE
−1
=E
−1
1E
−1
2E
−1
3.

Petronio Pulino 93
Teorema 2.7.6SejamH1, H2,∙ ∙ ∙, Hrmatrizes elementares de linha e
H=Hr∙ ∙ ∙H2H1.
Ent˜ao,H
−1
=H
−1
1H
−1
2∙ ∙ ∙H
−1
r.
Demonstra¸c˜ao –Pelo Teorema 2.7.4, temos que cada matriz elementar de linhaHi´e
invert´ıveis. Assim, a prova segue da aplica¸c˜ao do Teorema2.3.1. ∗
Teorema 2.7.7SejamK1, K2,∙ ∙ ∙, Krmatrizes elementares de coluna e
K=Kr∙ ∙ ∙K2K1.
Ent˜ao,K
−1
=K
−1
1K
−1
2∙ ∙ ∙K
−1
r.
Demonstra¸c˜ao –Pelo Teorema 2.7.5, temos que cada matriz elementar de colunaHi
´e invert´ıveis. Assim, a prova segue da aplica¸c˜ao do Teorema 2.3.1. ∗
Exemplo 2.7.12Dada a matriz
A=



1 2−3
2 4−2
3 6−4



Encontre uma matrizRna forma escalonada, linha equivalente a matrizA, indicando
a seq¨uˆencia de matrizes elementares de linha utilizada.
Exemplo 2.7.13Dada a matriz
A=



1 1 2
2 0 1
1 0 1



Determine uma seq¨uˆencia de matrizes elementaresH1,∙ ∙ ∙, Hr, onde cada matrizHi
´e uma matriz elementar de linha correspondente `a opera¸c˜ao elementar de linhashi, de
modo queHrHr−1∙ ∙ ∙H2H1A=I3. Mostre queHrHr−1∙ ∙ ∙H2H1=A
−1
.
Exemplo 2.7.14Mostre que necessariamente uma matriz elementar de linha deordem
2×2´e uma das seguintes matrizes:
"
0 1
1 0
#
,
"
1c
0 1
#
,
"
1 0
c1
#
,
"
c0
0 1
#
e
"
1 0
0c
#
para o escalarc6= 0.

94
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Teorema 2.7.8SejaAuma matriz de ordemn×n. Ent˜ao, as seguintes aﬁrma¸c˜oes
s˜ao equivalentes:
(a)A´e invert´ıvel.
(b)A´e linha equivalente a matriz identidade.
(c)A´e um produto de matrizes elementares de linha.
Demonstra¸c˜ao
Vamos mostrar que(a)=⇒(b). Considerando queA´e invert´ıvel e linha equivalente a
uma matrizBna forma escada. SejamH1, H2,∙ ∙ ∙, Hrmatrizes elementares de linha,
onde cada matrizHicorresponde a uma opera¸c˜ao elementar de linhashi, tais que
B=Hr∙ ∙ ∙H2H1A .
ComoA´e invert´ıvel e cada matriz elementar de linhaHitamb´em ´e invert´ıvel, temos
queB´e invert´ıvel. Entretanto, seB6=In, ent˜aoBpossui uma linha nula, o que ´e
uma contradi¸c˜ao, poisB´e invert´ıvel. Logo,B=In.
Vamos mostrar que(b)=⇒(c). Considerando queA´e linha equivalente a matrizIn.
Sejamh1,∙ ∙ ∙hruma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares com as linhas deAresultando
na matrizIn. Desse modo, tomando cada matrizHicomo sendo a matriz elementar de
linha correspondente `a opera¸c˜ao elementar de linhashi, temos que
In=Hr∙ ∙ ∙H2H1A .
Pelo Teorema 2.7.6, temos que o produto de matrizes elementares de linha ´e invert´ıvel.
Assim, temos que
A=H
−1
1H
−1
2∙ ∙ ∙H
−1
r.
Sabemos queH
−1
i
tamb´em ´e uma matriz elementar de linha. Portanto, mostramos que
A´e um produto de matrizes elementares de linha.
Finalmente, mostraremos que(c)=⇒(a). SejamH1, H2,∙ ∙ ∙, Hrmatrizes elementares
de linha, onde cada matrizHicorresponde a uma opera¸c˜ao elementar de linhashi,
tais queA=Hr∙ ∙ ∙H2H1. Pelo Teorema 2.7.6, temos que o produto de matrizes
elementares de linha ´e invert´ıvel. Desse modo, obtemos
A
−1
=H
−1
1H
−1
2∙ ∙ ∙H
−1
r,
provando queA´e invert´ıvel, o que completa a demonstra¸c˜ao.

Petronio Pulino 95
Exemplo 2.7.15Dada a matriz
A=



1 1 2
1 1 1
1 0 1


.
Vamos determinar a matrizA
−1
, se poss´ıvel, atrav´es da aplica¸c˜ao de uma seq¨uˆencia de
opera¸c˜oes elementares de linhash1, h2,∙ ∙ ∙, hrna matrizAde modo queA∼I3. Pelo
Teorema 2.7.8, sabemos que aplicando essa mesma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de
linhas na matriz identidadeI3obtemos a matrizA
−1
.
Inicialmente, aplicamos as opera¸c˜oes elementares de linhas
h1:l2 −l2−l1, h2:l3 −l3−l1 eh3:l2 !l3
simultaneamente na matrizA, obtendo uma matrizRna forma escalonada, e na matriz
identidadeI3, obtendo
R=H3H2H1A=



1 1 2
0−1−1
0 0−1


 eH3H2H1I3=



1 0 0
−1 0 1
−1 1 0


.
Agora, aplicamos as opera¸c˜oes elementares de linhas
h4:l2 −l2−l3, h5:l1 −l1−2l3 eh6:l1 !l1+l2
simultaneamente na matrizRe na matrizH3H2H1I3, obtendo
H6H5H4R=



1 0 0
0−1 0
0 0−1


 eH6H5H4H3H2H1I3=



−1 1 1
0−1 1
−1 1 0


.
Finalmente, aplicamos as opera¸c˜oes elementares de linhas
h7:l2 l2 eh8:l3 l3
nas matrizes acima, obtendoI3=H8H7H6H5H4H3H2H1Ae
A
−1
=H8H7H6H5H4H3H2H1I3=



−1 1 1
0 1−1
1−1 0


,
o que completa a resolu¸c˜ao do exemplo.

96
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.7.16Dada a matriz
A=



1 2 1
3 7 5
3 8 7


.
Vamos determinar a matrizA
−1
, se poss´ıvel, atrav´es da aplica¸c˜ao de uma seq¨uˆencia de
opera¸c˜oes elementares de linhash1, h2,∙ ∙ ∙, hrna matrizAde modo queA∼I3. Pelo
Teorema 2.7.8, sabemos que aplicando essa mesma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de
linhas na matriz identidadeI3obtemos a matrizA
−1
.
Para facilitar a aplica¸c˜ao da seq¨uˆencia de opera¸c˜oeselementares de linhas, vamos cria
umamatriz ampliadaMda seguinte forma:
M=



1 2 1|1 0 0
3 7 5|0 1 0
3 8 7|0 0 1


.
Inicialmente, na primeira parte da matrizMtemos a matrizAe na segunda parte da
matrizMtemos a matriz identidadeI3.
Agora, aplicando as opera¸c˜oes elementares de linhas
h1:l2 −l2−3l1, h2:l3 −l3−3l1 eh3:l3 −l3−2l2
na matriz ampliadaM, obtemos
H3H2H1M=



1 2 1|1 0 0
0 1 2| −3 1 0
0 0 0|3−2 1


.
Temos que a matrizR=H3H2H1Ana forma escalonada, linha equivalente a matriz
A, possui uma linha nula. Assim, pelo Teorema 2.7.8, podemos concluir que a matrizA
n˜ao possui inversa, pois n˜ao poder´a ser reduzida linha equivalente `a matriz identidadeI3.

Petronio Pulino 97
Teorema 2.7.9SejamAeBmatrizes de ordemm×n. Mostre que a matrizB´e
equivalente por coluna a matrizAse, e somente se,B=AQ, comQ=K1K2 Kr,
onde cada matrizKi´e uma matriz elementar de coluna de ordemn×n.
Demonstra¸c˜ao –A prova ´e feita de modo an´alogo ao Teorema 2.7.3.
Corol´ario 2.7.2SejamAeBmatrizes de ordemm×n. Ent˜ao, a matrizB´e
equivalente a matrizA, que indicamos porB∼A, se, e somente se, existe uma matriz
invert´ıvelPde ordemm×me uma matriz invert´ıvelQde ordemn×n, tais que
B=PAQ.
Demonstra¸c˜ao –A prova segue imediata da Deﬁni¸c˜ao 2.5.5, do Teorema 2.7.3e do
Teorema 2.7.9.

98
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.7.17Vamos mostrar que a equivalˆencia de matrizes, que indicamos por∼,
´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre o conjunto das matrizes de ordemm×n, isto ´e,
satisfaz as seguintes propriedades:
(a)Propriedade Reﬂexiva:A∼A.
(b)Propriedade Sim´etrica:SeA∼B, ent˜aoB∼A.
(c)Propriedade Transitiva:SeA∼BeB∼C, ent˜aoA∼C.
paraA,BeCmatrizes de ordemm×n.
Podemos veriﬁcar facilmente queA∼A. De fato, poisA=ImAIn, ondeIn´e a
matriz identidade de ordemn×n, eIm´e a matriz identidade de ordemm×m. Assim,
mostramos que a equivalˆencia de matrizes satisfaz a propriedade reﬂexiva.
Considerando que a matrizA´e equivalente a matrizB,A∼B, isto ´e, existe uma
matriz invert´ıvelPde ordemm×me uma matriz invert´ıvelQde ordemn×n, tais
queA=PBQ.
Assim, temos queB=P
−1
AQ
−1
. Logo, tomando as matrizesP1=P
−1
eQ1=Q
−1
,
obtemosB=P1AQ1. Desse modo, mostramos que a matrizB´e equivalente a matriz
A,B∼A. Portanto, mostramos que a equivalˆencia de matrizes satisfaz a propriedade
sim´etrica.
Considerando que a matrizA´e equivalente a matrizB,A∼B, isto ´e, existe uma
matriz invert´ıvelP1de ordemm×me uma matriz invert´ıvelQ1de ordemn×n,
tais queA=P1BQ1, e que a matrizB´e equivalente a matrizC,B∼C, isto ´e,
existe uma matriz invert´ıvelP2de ordemm×me uma matriz invert´ıvelQ2de ordem
n×n, tais queB=P2CQ2. Desse modo, temos que
A=P1BQ1=P1(P2CQ2)Q1= (P1P2)C(Q2Q1)
Sabemos que a matrizP1P2´e invert´ıvel, pois as matrizesP1eP2s˜ao invert´ıveis, e
que a matrizQ2Q1´e invert´ıvel, pois as matrizesQ1eQ2s˜ao invert´ıveis. Desse modo,
mostramos que a matrizA´e equivalente a matrizC,A∼C. Assim, mostramos que a
equivalˆencia de matrizes satisfaz a propriedade transitiva.
Portanto, mostramos que a equivalˆencia de matrizes ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre
o conjunto das matrizes de ordemm×n.

Petronio Pulino 99
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.82Determine as matrizes elementares de linhaH1, H2, H3eH4, de
ordem3×3, que correspondem `as opera¸c˜oes elementares de linhas
h1:l1 !l3, h2:l2 −l2+l1, h3:l3 −l3−2l1eh4:l3 −l3−l2
e encontre a inversa da matrizH=H4H3H2H1.
Exerc´ıcio 2.83Escreva a matriz
A=
"
1 2
3 5
#
como um produto de matrizes elementares de linha, se poss´ıvel.
Exerc´ıcio 2.84Escreva a matriz
A=



1 1 2
1 0 1
0 2 1



como um produto de matrizes elementares de linha e determinesua inversa, se poss´ıvel.
Exerc´ıcio 2.85Dada a matriz
A=



1 0 3
2 2 1
1 4−7


.
Determine a matrizA
−1
, se poss´ıvel, atrav´es da aplica¸c˜ao de uma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes
elementares de linhash1, h2,∙ ∙ ∙, hrna matrizAde modo queA∼I3.
Exerc´ıcio 2.86Dada a matriz
A=



1 0 1
0 1 1
1 0 2


.
Determine a matrizA
−1
, se poss´ıvel, atrav´es da aplica¸c˜ao de uma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes
elementares de linhash1, h2,∙ ∙ ∙, hrna matrizAde modo queA∼I3.

100
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcio 2.87Dada a matriz
A=



1 2 0 3
2 1 3 6
1 4 3 1


.
Determine uma matrizRna forma escalonada que seja linha equivalente a matrizA, e
uma matrizPinvert´ıvel de ordem3×3tal queR=PA.
Exerc´ıcio 2.88Dada a matriz
A=



1 2 3
2 5 7
3 7 6


.
Determine uma matrizRna forma escalonada que seja linha equivalente a matrizAe
uma matrizPinvert´ıvel de ordem3×3tal queR=PA.
Exerc´ıcio 2.89Considere a seguinte matriz sim´etrica
A=



1 2 1
2 2 4
1 3 4


.
Determine uma matrizLtriangular inferior que seja equivalente por coluna a matriz
A, indicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de colunas utilizada e a respectiva
seq¨uˆencia de matrizes elementares de coluna, isto ´e,L=AK1K2 Kr.
Exerc´ıcio 2.90Considere a matrizLtriangular inferior obtida no Exerc´ıcio 2.89.
Determine a matrizDlinha equivalente a matrizLatrav´es da seq¨uˆencia de opera¸c˜oes
elementares de linhas correspondente `a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de colunas
utilizada para obter a matrizL, isto ´e,D=Hr H2H1LondeHi= (Ki)
t
.
Exerc´ıcio 2.91Determine o posto linha da matrizAdada por:
A=



1 2 1 2 0
3 4 4 5 1
1 0 2 1 1


,
e tamb´em o posto linha da matrizA
t
.

Petronio Pulino 101
2.8 Matrizes Congruentes. Lei da In´ercia
Deﬁni¸c˜ao 2.8.1SejamAeBmatrizes reais de ordemn×n. Dizemos que a matriz
B´econgruentecom a matrizAse existe uma matriz real invert´ıvelPde ordem
n×ntal queB=PAP
t
.
Podemos veriﬁcar facilmente que se a matrizB´e congruente a uma matriz sim´etricaA,
ent˜aoB´e sim´etrica. De fato,
B
t
= (PAP
t
)
t
=PA
t
P
t
=PAP
t
=B ,
e assim mostramos queB´e uma matriz sim´etrica.
Como a congruˆencia ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia, Exemplo 2.8.3, temos que somente
as matrizes sim´etricas podem ser mutuamente congruentes e, em particular, somente as
matrizes sim´etricas s˜ao congruentes a matrizes diagonais.
Teorema 2.8.1 (Lei da In´ercia)SejaAuma matriz sim´etrica real. Ent˜ao, existe
uma matriz real invert´ıvelPtal queD=PAP
t
´e uma matriz diagonal. Al´em disso,
o n´umero de elementos na diagonal deDque s˜ao positivos, negativos e nulos ´e sempre
o mesmo, independente da matrizPque realiza a rela¸c˜ao de congruˆencia.
Na se¸c˜ao 6.7 vamos apresentar a demonstra¸c˜ao daLei de In´ercia de Sylvester, que ´e uma
generaliza¸c˜ao do Teorema 2.8.1, utilizando os resultados de diagonaliza¸c˜ao de matrizes
Hermitianas, tornando a prova mais simples e elegante.
A seguir, apresentamos um procedimento para determinar da matrizPque realiza a
diagonaliza¸c˜ao da matriz sim´etricaAatrav´es da rela¸c˜ao de congruˆencia.
Sejamh1, , hra seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas, sendoHia matriz
elementar de linha correspondente `a opera¸c˜ao elementarde linhashi, tais que
R=Hr H2H1A=HA
´e a matriz na forma escalonada linha equivalente a matrizA, que ´e uma matriz triangular
superior, onde estamos indicando a matrizH=Hr H2H1.

102
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Sejamk1,∙ ∙ ∙, kra seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de colunas correspondente `a
seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhash1,∙ ∙ ∙, hr. Indicamos porKia matriz
elementar de coluna correspondente `a opera¸c˜ao elementar de colunaski. Sabemos que
Ki= (Hi)
t
,
pelo Corol´ario 2.7.1.
Aplicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de colunasK1,∙ ∙ ∙, Krna matriz
R=HA, obtemos a matriz diagonal
D=Hr∙ ∙ ∙H2H1A K1∙ ∙ ∙Kr=HAH
t
Desse modo, a matrizP, que ´e triangular inferior, ´e dada por:
P=Hr∙ ∙ ∙H2H1=H
realiza a diagonaliza¸c˜ao da matriz sim´etricaAatrav´es da rela¸c˜ao de congruˆencia, isto ´e,
D=PAP
t
´e uma matriz diagonal.
Portanto, a matrizP´e invert´ıvel, pois ´e o produto de matrizes elementares delinhas.
Assim, a matrizL=P
−1
, que ´e triangular inferior, ´e dada por:
L= (H1)
−1
(H2)
−1
∙ ∙ ∙(Hr)
−1
.
Desse modo, temos a decomposi¸c˜ao da matriz sim´etricaAna forma:
A=LDL
t
,
que ´e bastante utilizada em v´arias aplica¸c˜oes. Essa forma de decomposi¸c˜ao de matrizes
sim´etricas ser´a estudada na se¸c˜ao 8.5, onde apresentamos a Decomposi¸c˜ao de Cholesky.

Petronio Pulino 103
Exemplo 2.8.1Dada a matriz sim´etrica
A=



1 2 1
2 6 6
1 6 3


.
Vamos determinar uma matriz invert´ıvelPde modo que
D=PAP
t
seja uma matriz diagonal.
Para facilitar a aplica¸c˜ao da seq¨uˆencia de opera¸c˜oeselementares, vamos cria umamatriz
ampliadaMda seguinte forma:
M=



1 2 1|1 0 0
2 6 6|0 1 0
1 6 3|0 0 1


.
Inicialmente, na primeira parte da matrizMtemos a matrizAe na segunda parte da
matrizMtemos a matriz identidadeI3.
Agora, aplicando as opera¸c˜oes elementares de linhas
h1:l2 l2−2l1, h2:l3 l3−l1 eh3:l3 l3−2l2
na matriz ampliadaM, obtemos
H3H2H1M=



1 2 1 |1 0 0
0 2 4 | −2 1 0
0 0−6|3−2 1


.
Desse modo, temos que as matrizesP=H3H2H1ePAs˜ao dadas por:
PA=



1 2 1
0 2 4
0 0−6


 eP=



1 0 0
−2 1 0
3−2 1


.
Finalmente, aplicando as correspondentes opera¸c˜oes elementares de colunas na matriz
PA, isto ´e,PA K1K2K3, ondeKi= (Hi)
t
, obtemos a matriz diagonal
D=PAP
t
=



1 0 0
0 2 0
0 0−6


,
que ´e a diagonaliza¸c˜ao da matrizAatrav´es da transforma¸c˜ao de congruˆencia. Sabemos
que a matrizP´e invert´ıvel, pois ´e um produto de matrizes elementares de linhas.

104
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Podemos observar facilmente que
H1=



1 0 0
−2 1 0
0 0 1


, H2=



1 0 0
0 1 0
−1 0 1


eH3=



1 0 0
0 1 0
0−2 1


.
Desse modo, chamando a matriz triangular inferiorL=P
−1
, temos que
L=P
−1
= (H1)
−1
(H2)
−1
(H3)
−1
=



1 0 0
2 1 0
1 2 1


,
onde
(H1)
−1
=



1 0 0
2 1 0
0 0 1


,(H2)
−1
=



1 0 0
0 1 0
1 0 1


e (H3)
−1
=



1 0 0
0 1 0
0 2 1


.
Portanto, temos que a matriz sim´etricaApode ser decomposta da seguinte forma:
A=P
−1
D P
−t
=L D L
t
,
que tamb´em ´e uma forma bastante usual de decomposi¸c˜ao deuma matriz sim´etrica, que
possui v´arias aplica¸c˜oes interessantes.
Exemplo 2.8.2Considere a matriz sim´etricaAdada por:
A=





4 2 12 2
2 28 6 1
12 6 72 6
2 1 6 3





.
Determine uma matriz invert´ıvelPde modo queD=PAP
t
seja uma matriz diagonal,
e a matrizL=P
−1
tal queA=LDL
t
.

Petronio Pulino 105
Exemplo 2.8.3Vamos mostrar que a rela¸c˜ao de congruˆencia, que indicaremos por≈,
´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre o conjunto das matrizes de ordemn×n, isto ´e,
satisfaz as seguintes propriedades:
(a)Reﬂexiva:A≈A.
(b)Sim´etrica:SeB≈A, ent˜aoA≈B.
(c)Transitiva:SeA≈BeB≈C, ent˜aoA≈C.
paraA,BeCmatrizes de ordemn×n.
Podemos veriﬁcar facilmente queA≈A. De fato, poisA=IAI
t
, ondeI´e a matriz
identidade de ordemn×n. Assim, mostramos que a rela¸c˜ao de congruˆencia satisfaz a
propriedade reﬂexiva.
Considerando que a matrizB´e congruente com a matrizA,B≈A, isto ´e, existe
uma matriz invert´ıvelPtal queB=PAP
t
. Sendo assim, temos queA=P
−1
BP
−t
.
Portanto, tomando a matrizQ=P
−1
, obtemosA=QBQ
t
. Desse modo, mostramos
que a matrizA´e congruente com a matrizB,A≈B. Assim, mostramos que a rela¸c˜ao
de congruˆencia satisfaz a propriedade sim´etrica.
Considerando que a matrizA´e congruente com a matrizB,A≈B, isto ´e, existe uma
matriz invert´ıvelPtal queA=PBP
t
, e que a matrizB´e congruente com a matriz
C,B≈C, isto ´e, existe uma matriz invert´ıvelQtal queB=QCQ
t
. Desse modo,
temos que
A=PBP
t
=P(QCQ
t
)P
t
= (PQ)C(PQ)
t
.
Sabemos que a matrizPQ´e invert´ıvel, poisPeQs˜ao invert´ıveis. Desse modo,
mostramos que a matrizA´e congruente com a matrizC,A≈C. Assim, mostramos
que a rela¸c˜ao de congruˆencia satisfaz a propriedade transitiva.
Portanto, mostramos que a rela¸c˜ao de congruˆencia ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre o
conjunto das matrizes de ordemn×n.

106
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.92Considere a matriz sim´etrica
A=



1 2 3
2 6 8
3 8 15


.
Determine uma matriz invert´ıvelPde modo queD=PAP
t
seja uma matriz diagonal,
e a matrizL=P
−1
tal queA=LDL
t
.
Exerc´ıcio 2.93Considere a matriz sim´etrica
A=



3 9 6
9 29 22
6 22 20


.
Determine uma matriz invert´ıvelPde modo queD=PAP
t
seja uma matriz diagonal,
e a matrizL=P
−1
tal queA=LDL
t
.

Petronio Pulino 107
2.9 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares
SejaA= [aij] uma matriz de ordemm×ndeﬁnida sobre o corpoIF, isto ´e, seus
elementosai,j∈IFpara 1≤i≤me 1≤j≤n. Consideremos o problema de
encontrar escalaresx1, , xn∈IFsatisfazendo simultaneamente o seguinte sistema
de equa¸c˜oes lineares

















a11x1+a12x2+ +a1nxn=y1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ai1x1+ai2x2+ +ainxn=yi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1x1+am2x2+ +amnxn=ym
conhecendo os escalaresy1, , yn∈IF. Esse problema ´e denominadosistema linear,
commequa¸c˜oes lineares eninc´ognitas.
Por simplicidade, vamos representar o sistema linear acimana suaforma matricial
AX=Y
onde
A=









a11a12 a1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ai1ai2 ain
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1am2 amn









, X=









x1
.
.
.
xi
.
.
.
xn









eY=









y1
.
.
.
yi
.
.
.
ym









A matrizAde ordemm×n´e denominadamatriz dos coeﬁcientesdo sistema linear,
o vetor colunaXde ordemn×1 ´e denominadovetor de inc´ognitase o vetor coluna
Yde ordemm×1 ´e denominadovetor do lado direitodo sistema linear.
Todan–upla (x1, , xn) de elementos do corpoIFque satisfaz cada uma das
equa¸c˜oes do sistema linear ´e denominada umasolu¸c˜aodo sistema linear. O vetor coluna
X, associado a essan–upla, ´e denominadovetor solu¸c˜aodo sistema linear. O conjunto
de todas as solu¸c˜oes do sistema linear ´e chamadoconjunto solu¸c˜ao.
Quantoy1=y2= =ym= 0 dizemos que o sistema linear ´ehomogˆeneo, isto ´e,
temos que cada equa¸c˜ao do sistema linear ´e umaequa¸c˜ao homogˆenea.

108
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Teorema 2.9.1Considere a equa¸c˜ao linear
ax=b ,
coma, b∈IR.
(a) Sea6= 0, ent˜aox=
b
a
´e a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao linear.
(b) Sea= 0eb6= 0, ent˜ao a equa¸c˜ao linear n˜ao possui solu¸c˜ao.
(c) Sea= 0eb= 0, ent˜ao a equa¸c˜ao linear possui inﬁnitas solu¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a cargo do leitor.
Deﬁni¸c˜ao 2.9.1Dizemos que a equa¸c˜ao linear
a1x1+ +anxn=b ,
nas inc´ognitasx1, , xn, ´edegeneradasea1=a2= =an= 0.
Teorema 2.9.2Considere a equa¸c˜ao linear degenerada
a1x1+ +anxn=b ,
a1=a2= =an= 0.
(a) Seb6= 0, ent˜ao a equa¸c˜ao linear degenerada n˜ao possui solu¸c˜ao.
(b) Seb= 0, ent˜ao a equa¸c˜ao linear degenerada possui inﬁnitas solu¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao –A prova pode ﬁcar a cargo do leitor.
Deﬁni¸c˜ao 2.9.2Dizemos que a equa¸c˜ao linear
a1x1+ +anxn=b
´en˜ao–degeneradase os coeﬁcientesa1, a2, , ann˜ao s˜ao todos nulos. Al´em disso,
a primeira inc´ognita com coeﬁciente n˜ao–nulo ´e denominadavari´avel b´asica. De modo
an´alogo,xk´e a vari´avel b´asica, seaj= 0para todoj < k, masak6= 0.

Petronio Pulino 109
Teorema 2.9.3Considere a equa¸c˜ao linear n˜ao–degenerada
a1x1+ +anxn=b ,
comxka vari´avel b´asica.
(a) Qualquer conjunto de valoresxj, paraj6=k, fornece uma ´unica solu¸c˜ao para a
equa¸c˜ao linear. As inc´ognitasxj, paraj6=k, s˜ao denominadasvari´aveis livres.
(b) Toda solu¸c˜ao da equa¸c˜ao linear n˜ao–degenerada ´e obtida em (a).
Demonstra¸c˜ao –Inicialmente atribu´ımos valores arbitr´arios `as vari´aveis livresxj, para
j6=k. Comoaj= 0, paraj < k, obtemos
akxk=b−(ak+1xk+1+ +anxn),
comak6= 0. Pelo Teorema 2.9.1, a inc´ognitaxk´e determinada de modo ´unico na
forma:
xk=
b−(ak+1xk+1+ +anxn)
ak
,
o que prova o item(a).
Finalmente, vamos supor que an–upla (x1, , xn) seja uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao linear.
Desse modo, temos que
xk=
b−(ak+1xk+1+ +anxn)
ak
,
que ´e exatamente a solu¸c˜ao obtida no item(a), o que completa a demonstra¸c˜ao.
Exemplo 2.9.1O conjunto solu¸c˜ao da equa¸c˜ao linear
2x+ 6y−4z= 10,
nas inc´ognitasx, y,ez, ´e dado por:
S={(x, y, z)∈IR
3
/ x= 5−3y+ 2z , y, z∈IR},
ondex´e a vari´avel b´asica, comyezas vari´aveis livres.

110
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.9.2Considere o sistema de equa¸c˜oes lineares n˜ao–degeneradas dado por:



a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
nas inc´ognitasxey.
Podemos observar facilmente que cada uma das equa¸c˜oes do sistema linear representa a
equa¸c˜ao na forma canˆonica de uma reta contida no plano num´ericoIR
2
. Assim, podemos
dar uma interpreta¸c˜ao geom´etrica ao conjunto solu¸c˜aodo sistema linear.
Podemos descrever trˆes situa¸c˜oes geom´etricas para o conjunto solu¸c˜ao, a saber:
(1) O gr´aﬁco das equa¸c˜oes lineares s˜ao retas que se interceptam em um ´unico ponto,
isto ´e, s˜ao retas concorrentes. Assim, O sistema linear possui somente uma ´unica
solu¸c˜ao.
(2) O gr´aﬁco das equa¸c˜oes lineares s˜ao retas paralelas distintas. Assim, O sistema linear
n˜ao possui solu¸c˜ao.
(3) O gr´aﬁco das equa¸c˜oes lineares s˜ao retas paralelas coincidentes. Assim, O sistema
linear possui inﬁnitas solu¸c˜oes.
A seguir vamos analisar separadamente cada um dos casos acima. As situa¸c˜oes (2) e (3)
ocorrerem quando as retas possuem coeﬁcientes angulares iguais, isto ´e,
−
a1
b1
=−
a2
b2
()
a1
a2
=
b1
b2
() a1b2−a2b1= 0.
Note que a condi¸c˜ao acima pode ser escrita da seguinte forma:
det(A) =

a1b1
a2b2

= 0,
ondeA´e a matriz do sistema linear. Desse modo, os casos (2) e (3) ocorrerem somente
quando a matriz do sistema linear n˜ao possui inversa.
Assim, o caso (1) ocorre quando as retas possuem coeﬁcientes angulares diferentes, isto ´e,
det(A) =

a1b1
a2b2

=a1b2−a2b16= 0.
Portanto, o caso (1) ocorre quando a matriz do sistema linearfor invert´ıvel.

Petronio Pulino 111
O caso (2) ocorre quando as retas s˜ao paralelas e cortam o eixo verticalOYem pontos
distintos, isto ´e,
−
c1
b1
6=−
c2
b2
()
b1
b2
6=
c1
c2
()
a1
a2
=
b1
b2
6=
c1
c2
.
O caso (3) ocorre quando as retas s˜ao paralelas e cortam o eixo verticalOYno mesmo
pontos, isto ´e,
−
c1
b1
=−
c2
b2
()
b1
b2
=
c1
c2
()
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
.
Assim, analisamos o conjunto solu¸c˜ao do sistema linear tanto do ponto de vista geom´etrico
quanto do ponto de vista alg´ebrico.
Exemplo 2.9.3Analisar o conjunto solu¸c˜ao do sistema linear



2x+y= 1
3x+ 2y= 4
apresentando uma interpreta¸c˜ao geom´etrica.
Exemplo 2.9.4Analisar o conjunto solu¸c˜ao do sistema linear



3x+ 2y= 1
3x+ 2y= 4
apresentando uma interpreta¸c˜ao geom´etrica.
Exemplo 2.9.5Analisar o conjunto solu¸c˜ao do sistema linear



10x+ 5y= 15
2x+ 1y= 3
apresentando uma interpreta¸c˜ao geom´etrica.
Exemplo 2.9.6Analisar o conjunto solu¸c˜ao do sistema linear



10x+ 5y= 15
2x+ 1y=−3
apresentando uma interpreta¸c˜ao geom´etrica.

112
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.9.7Uma equa¸c˜ao linear nas inc´ognitasx, y, z´e representada na forma:
ax+by+cz=d
conhecendo os escalaresa, b, c, d∈IR. Por exemplo,
x−4y+ 3z= 6
´e uma equa¸c˜ao linear nas inc´ognitasx, y, z.
Exemplo 2.9.8Uma equa¸c˜ao linear nas inc´ognitasx, y, zrepresentada na forma:
ax+by+cz= 0,
conhecendo os escalaresa, b, c∈IR, ´e denominadaequa¸c˜ao linear homogˆenea.
Por exemplo,
x−4y+ 3z= 0
´e uma equa¸c˜ao linear homogˆenea nas inc´ognitasx, y, z.
Podemos veriﬁcar facilmente que toda solu¸c˜ao da equa¸c˜ao linear homogˆenea, dada acima,
pode ser escrita como:
(x, y, z) =y(4,1,0) +z(−3,0,1) para y, z∈IR .
denominadasolu¸c˜ao geral.
Desse modo, pode representar o conjunto solu¸c˜ao da seguinte forma:
S={(x, y, z)/(x, y, z) =y(4,1,0) +z(−3,0,1) paray, z∈IR}.
Note que as ternas (4,1,0) e (−3,0,1) s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao homogˆenea, utilizadas
na representa¸c˜ao da solu¸c˜ao geral. Essas solu¸c˜oes s˜ao chamadassolu¸c˜oes b´asicas.
Uma t´ecnica bastante simples e muito importante na obten¸c˜ao de solu¸c˜oes de um sistema
de equa¸c˜oes lineares ´e om´etodo de elimina¸c˜aoque utiliza as opera¸c˜oes elementares de
linhas. Vamos exempliﬁcar esse m´etodo atrav´es de um sistema linear homogˆeneo.

Petronio Pulino 113
Exemplo 2.9.9Considere o seguinte sistema linear homogˆeneo
(
x−2y+z= 0
2x−5y+z= 0
Aplicando a opera¸c˜ao elementar de linhasl2 l2−2l1obtemos o seguinte sistema
linear homogˆeneo
(
x−2y+z= 0
−y−z= 0
Assim, da segunda equa¸c˜ao temos quey=−zparaz∈IR. Substituindo na primeira
equa¸c˜ao obtemosx=−3z.
Portanto, temos que toda solu¸c˜ao do sistema linear homogˆeneo ´e escrita da seguinte forma:
(x, y, z) =z(−3,−1,1) para z∈IR .
Note que (−3,−1,1) ´e uma solu¸c˜ao do sistema linear homogˆeneo, que ´e utilizada na
representa¸c˜ao da solu¸c˜ao geral. Assim, essa solu¸c˜ao ´e chamada solu¸c˜ao b´asica. Neste
caso, dizemos que o sistema linear homogˆeneo possui umgrau de liberdade, que ´e a
vari´avel livrez. As var´aveisx, ys˜ao denominadasvari´aveis b´asicas.
Podemos veriﬁcar que o sistema linear homogˆeneo obtido atrav´es da opera¸c˜ao elementar
de linhas, possui o mesmo conjunto solu¸c˜ao do sistema linear homogˆeneo original. Desse
modo, dizemos que os dois sistemas lineares s˜aoequivalentes. Vamos apresentar uma
an´alise detalhada do processo de elimina¸c˜ao mais a frente. Claramente, o processo de
elimina¸c˜ao ´e v´alido para sistema linear n˜ao homogˆeneo, como exempliﬁcamos a seguir.
Exemplo 2.9.10Considere o seguinte sistema linear
(
x−2y+z−t= 1
2x−3y+z+ 2t= 3
Aplicando a opera¸c˜ao elementar de linhasl2 l2−2l1obtemos o sistema linear
(
x−2y+z−t= 1
y−z+ 4t= 1
Assim, da segunda equa¸c˜ao temos quey=z−4t+ 1 paraz, t∈IR. Substituindo
na primeira equa¸c˜ao obtemosx=z−7t+ 3.

114
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Portanto, temos que a solu¸c˜ao geral do sistema linear ´e escrita da seguinte forma:
(x, y, z, t) =z(1,1,1,0) +t(−7,−4,0,1) + (3,1,0,0) para z, t∈IR .
Neste exemplo, temos duas vari´aveis livres, que s˜aozet, e dizemos que o grau de
liberdade do sistema linear ´e igual a dois.
Podemos veriﬁcar facilmente que as ternas (1,1,1,0) e (−7,−4,0,1) s˜ao duas solu¸c˜oes
do sistema linear homogˆeneo associado, isto ´e,
(
x−2y+z−t= 0
2x−3y+z+ 2t= 0
()
(
x−2y+z−t= 0
y−z+ 4t= 0
utilizadas na representa¸c˜ao da solu¸c˜ao geral do sistema linear. Assim, essas solu¸c˜oes s˜ao
as solu¸c˜oes b´asicas do sistema linear homogˆeneo associado. Note que a terna (3,1,0,0)
´e uma solu¸c˜ao do sistema linear original, denominadasolu¸c˜ao particular.
Exemplo 2.9.11Considere o seguinte sistema linear





x−2y+z− t= 1
2x−3y+z+ 2t= 3
3x−9y+ 6z−15t= 5
Aplicando as seguintes opera¸c˜oes elementares de linhas
l2 l2−2l1 el3 l3−3l1
obtemos o sistema linear





x−2y+z− t= 1
y−z+ 4t= 1
−3y+ 3z−12t= 2
Aplicando a opera¸c˜ao elementar de linhasl3 l3+ 3l2obtemos o sistema linear





x−2y+z−t= 1
y−z+ 4t= 1
0 = 5
Desse modo, temos que a terceira equa¸c˜ao ´edegenerada, isto ´e, pode ser escrita como:
0x+ 0y+ 0z+ 0t= 5.
Logo, o sistema linear ´einconsistente, isto ´e, n˜ao possui solu¸c˜ao.

Petronio Pulino 115
Exemplo 2.9.12Considere o seguinte sistema linear





x−2y+z=−1
2x−3y+z=−3
x+ 4y+ 2z= 7
Aplicando as seguintes opera¸c˜oes elementares de linhas
l2 l2−2l1 el3 l3−l1
obtemos o sistema linear




x−2y+z= 1
y−z=−1
6y+z= 8
Aplicando a opera¸c˜ao elementar de linhasl3 l3−6l2obtemos o sistema linear





x−2y+z= 1
y−z= 1
7z= 14
Assim, temos que o sistema linear possui uma ´unica solu¸c˜ao
z= 2, y= 1 e x=−1,
isto ´e, a terna (−1,1,2) ´e a ´unica solu¸c˜ao do sistema linear.
Deﬁni¸c˜ao 2.9.3Dizemos que um sistema de equa¸c˜oes lineares ´econsistentese possui
solu¸c˜ao. Quanto n˜ao possui solu¸c˜ao, dizemos que ´einconsistente.
Sistema de Equa¸c˜oes Lineares













Inconsistente→n˜ao possui solu¸c˜ao
Consistente



→possui uma ´unica solu¸c˜ao
→possui inﬁnitas solu¸c˜oes

116
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Teorema 2.9.4SejamAeBmatrizes de ordemm×nque s˜ao equivalentes por
linha. Ent˜ao, os sistemas lineares homogˆeneosAX= 0eBX= 0possuem as
mesmas solu¸c˜oes.
Demonstra¸c˜ao –Considerando que a matrizB´e linha equivalente a matrizA, pelo
Teorema 2.7.3, existe uma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares com as linhas da matrizA
resultando na matrizB, que vamos denotar porh1,∙ ∙ ∙hr. Desse modo, tomandoHia
matriz elementar de linha correspondente `a opera¸c˜ao elementar de linhashi, temos que
B= (Hr∙ ∙ ∙H2H1)A=PA. Pelo Teorema 2.7.6, sabemos que a matrizP´e invert´ıvel.
Assim, temos queA=P
−1
B. Logo, a matrizA´e linha equivalente a matrizB.
Desse modo, se o vetor colunaX
∗
, de ordemn×1, ´e uma solu¸c˜ao do sistema linear
homogˆeneoAX= 0, isto ´e,AX
∗
= 0, temos que
BX
∗
= (PA)X
∗
=P(AX
∗
) = 0.
Logo,X
∗
´e tamb´em uma solu¸c˜ao do sistema linear homogˆeneoBX= 0.
De modo an´alogo, se o vetor colunaX
∗
, de ordemn×1, ´e uma solu¸c˜ao do sistema linear
homogˆeneoBX= 0, isto ´e,BX
∗
= 0, temos que
AX
∗
= (P
−1
B)X
∗
=P
−1
(BX
∗
) = 0.
Logo,X
∗
´e tamb´em uma solu¸c˜ao do sistema linear homogˆeneoAX= 0.
Portanto, provamos que os sistemas lineares homogˆeneos
AX= 0 e BX= 0
s˜ao equivalentes, isto ´e, possuem o mesmo conjunto solu¸c˜ao.
Deﬁni¸c˜ao 2.9.4SejaAuma matriz de ordemm×n. Dizemos queA´e uma matriz
n˜ao–singularseAX= 0somente paraX= 0. Caso contr´ario, dizemos queA´e
uma matrizsingular.
No resultado que apresentamos a seguir, provamos que seA´e uma matriz de ordem
m×n, comm < n, ent˜ao necessariamenteA´e uma matriz singular, isto ´e, o sistema
linear homogˆeneoAX= 0 possui solu¸c˜ao n˜ao trivial. Para uma matrizAde ordem
n, vamos mostrar queA´e uma matriz invert´ıvel se, e somente se,A´e uma matriz
n˜ao–singular. Esses s˜ao resultados importantes em
´
Algebra Linear, que iremos utilizar
em todo o texto.

Petronio Pulino 117
Teorema 2.9.5SejaAuma matriz de ordemm×n, comm < n. Ent˜ao, o sistema
linear homogˆeneoAX= 0admite pelo menos uma solu¸c˜ao n˜ao trivial.
Demonstra¸c˜ao –SejaR= [rij] uma matriz na forma escalonada linha equivalente
a matrizA. Ent˜ao, pelo Teorema 2.9.4, os sistemas lineares homogˆeneosAX= 0 e
RX= 0 s˜ao equivalentes, isto ´e, possui o mesmo conjunto solu¸c˜ao.
Considerando quep´e o n´umero de linhas n˜ao–nulas na matrizR, certamente temos
quep < m < n. Desse modo, o sistema linear homogˆeneo tem grau de liberdade igual
a (n−p). Vamos considerar que o primeiro elemento n˜ao–nulo dai–´esima linha ocorra
na colunaki, comk1< k2< < ki< < kp.
Assim, o sistema linearRX= 0 possuipequa¸c˜oes n˜ao–triviais, que podem ser escritas
da seguinte forma:
riki
xki
+
n
X
j=ki+1
rijxj= 0 para i= 1,2, p .
Comoriki
6= 0, temos que as inc´ognitasxki
s˜ao obtidas da seguinte forma:
xki
=−
n
X
j=ki+1
rijxj
riki
parai= 1,2, p .
Finalmente, atribuindo valores, n˜ao todos nulos, para as (n−p)vari´aveis livres, que
s˜ao diferentes dasvari´aveis b´asicasxk1, , xkp, obtemos o conjunto solu¸c˜ao do
sistema linear homogˆeneoRX= 0.
Exemplo 2.9.13No sistema linear homogˆeneo associado do Exemplo 2.9.10
(
x−2y+z−t= 0
2x−3y+z+ 2t= 0
()
(
x−2y+z−t= 0
y−z+ 4t= 0
temos as seguintes matrizes de coeﬁcientes
A=
"
1−2 1−1
2−3 1 2
#
eR=
"
1−2 1−1
0 1−1 4
#
que s˜ao equivalentes por linha. Neste exemplo, temosk1= 1ek2= 2, ondex, y
s˜ao as vari´aveis b´asicas ez, ts˜ao as vari´aveis livres. Desse modo, obtemos
y=z−4tex=z−7t
paraz, t∈IRlivres.

118
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Teorema 2.9.6SejaAuma matriz de ordemn. Ent˜ao, o sistema linear homogˆeneo
AX= 0possui somente a solu¸c˜ao trivial se, e somente se, a matrizA´e linha
equivalente a matriz identidadeIn.
Demonstra¸c˜ao –SejaRuma matriz na forma escada linha equivalente a matrizA
epo n´umero de linhas n˜ao–nulas deR. ComoAX= 0 possui somente a solu¸c˜ao
trivial, pelo Teorema 2.9.4, sabemos que o sistema homogˆeneoRX= 0 tamb´em possui
somente a solu¸c˜ao trivial. Assim, temos quep≥n. Entretanto, a matrizRpossui
somentenlinhas. Logo, comop≤n, temos quep=n.
Desse modo, temos que na matrizRo primeiro elemento n˜ao–nulo dai–´esima linha
ocorre nai–´esima coluna, isto ´e, sempre na diagonal principal. Portanto, a matrizR´e
necessariamente a matriz identidadeIn.
Podemos veriﬁcar facilmente que se a matrizA´e linha equivalente a matriz identidade,
ent˜ao o sistema linear homogˆeneoAX= 0 possui somente a solu¸c˜ao trivial.
Teorema 2.9.7SejaAuma matriz de ordemn. Ent˜ao, a matrizA´e invert´ıvel se, e
somente se, o sistema linear homogˆeneoAX= 0possui somente a solu¸c˜ao trivial.
Demonstra¸c˜ao –A prova segue imediatamente do Teorema 2.7.8 e do Teorema 2.9.6,
o que completa a demonstra¸c˜ao.
Exemplo 2.9.14Considere o seguinte sistema linear homogˆeneo



1 2 1
1 3 2
2 4 5






x
y
z


=



0
0
0


 ()



1 2 1
0 1 1
0 0 1






x
y
z


=



0
0
0



que possui somente a solu¸c˜ao trivialx=y=z= 0.
Desse modo, temos que a matriz do sistema linear homogˆeneoAX= 0que ´e dada por:
A=



1 2 1
1 3 2
2 4 5



´e uma matriz n˜ao–singular, isto ´e,AX= 0somente paraX= 0. Portanto, temos
queA´e uma matriz invert´ıvel, de acordo com o Teorema 2.9.7.

Petronio Pulino 119
Corol´ario 2.9.1SejaAuma matriz de ordemn. Ent˜ao, a matrizA´e invert´ıvel se,
e somente se, o sistema linearAX=Ypossui somente uma ´unica solu¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao –Inicialmente, tomando por hip´otese queA´e invert´ıvel, temos que
X
∗
=A
−1
Y´e uma solu¸c˜ao do sistema linearAX=Y.
Vamos mostrar queX
∗
´e a ´unica solu¸c˜ao. Para isso, supomos queX
∗
1eX
∗
2sejam
duas solu¸c˜oes do sistema linearAX=Y, isto ´e,AX
∗
1=YeAX
∗
2=Y.
Desse modo, temos que
AX
∗
1−AX
∗
2=A(X
∗
1−X
∗
2) = 0.
Pelo Teorema 2.9.7, temos que (X
∗
1−X
∗
2) = 0. Logo, obtemos queX
∗
1=X
∗
2.
Finalmente, tomando por hip´otese que o sistema linearAX=Ypossui somente uma
´unica solu¸c˜ao e considerandoY= 0, pelo Teorema 2.9.7, temos que a matrizA´e
invert´ıvel, o que completa a demonstra¸c˜ao.
Vamos fazer algumas considera¸c˜oes. SejamAuma matriz de ordemm×neYum
vetor coluna de ordemm×1. Queremos determinar o conjunto solu¸c˜ao do sistema linear
AX=Y .
SejaRuma matriz na forma escalonada linha equivalente a matrizA, isto ´e, existe
uma matrizPde ordemm×minvert´ıvel tal queR=PA. Sabemos que a matriz
P´e o produto de matrizes elementares de linha, isto ´e,P=Hr∙ ∙ ∙H2H1, onde cada
matrizHi´e uma matriz elementar de linha associada a uma opera¸c˜ao elementar de
linhashi, que foram utilizadas na redu¸c˜ao da matrizAna forma escalonada. Desse
modo, sabemos que o sistema linearAX=Ypossui o mesmo conjunto solu¸c˜ao do
sistema linearRX=Z, ondeZ=PY.
Portanto, um procedimento eﬁciente para a resolu¸c˜ao do sistema linearAX=Y´e
a aplica¸c˜ao de uma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas na matriz ampliada
[A|Y] para obtermos a matriz [R|Z]
[R|Z] =Hr∙ ∙ ∙H2H1[A|Y],
sem a necessidade do c´alculo da matrizP. Esse procedimento, inclusive o c´alculo da
matrizP, foi bastante discutido na se¸c˜ao 2.7. Em particular, seA´e uma matriz
quadrada, esse procedimento tamb´em vai determinar seA´e uma matriz invert´ıvel.

120
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.9.15Considere o sistema linear n˜ao–homogˆeneo





x−2y+z− t= 1
2x−3y+z+ 2t= 4
3x−9y+ 6z−15t=−3
Vamos fazer uma an´alise do seu conjunto solu¸c˜ao.
Para facilitar a aplica¸c˜ao da seq¨uˆencia de opera¸c˜oeselementares de linhas, vamos cria
uma matriz ampliada [A|Y] da seguinte forma:
[A|Y] =



1−2 1−1|1
2−3 1 2 |4
3−9 6−15| −3



ondeA´e a matriz dos coeﬁcientes do sistema linear eY´e o vetor do lado direito.
Aplicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas
l2 l2−2l1, l3 l3−3l1 el3 l3+ 3l2
na matriz ampliada [A|Y], obtemos a matriz [R|Z]
[R|Z] =



1−2 1−1|1
0 1−1 4|2
0 0 0 0 |0



Assim, obtemos o sistema linear equivalenteRX=Z
(
x−2y+z−t= 1
y−z+ 4t= 2
Portanto, a solu¸c˜ao geral do sistema linear n˜ao–homogˆeneoAX=Y´e escrita como:
(x, y, z, t) =z(1,1,1,0) +t(−7,−4,0,1) + (5,2,0,0) para z, t∈IR .
Logo, o sistema linearAX=Y´e consistente e possui inﬁnitas solu¸c˜oes.
Podemos veriﬁcar facilmente que as ternas (1,1,1,0) e (−7,−4,0,1) s˜ao as solu¸c˜oes
b´asicas do sistema linear homogˆeneo associadoAX= 0, que ´e equivalente ao sistema
linear homogˆeneoRX= 0. Portanto, a solu¸c˜ao geral do sistema linear homogˆeneo
associadoAX= 0 ´e escrita como:
(x, y, z, t) =z(1,1,1,0) +t(−7,−4,0,1) para z, t∈IR .
A terna (5,2,0,0) ´e uma solu¸c˜ao particular do sistema linearAX=Y.

Petronio Pulino 121
Exemplo 2.9.16Considere o sistema linear n˜ao–homogˆeneo





x−2y+z− t= 1
2x−3y+z+ 2t= 4
3x−9y+ 6z−15t= 5
Vamos fazer uma an´alise do seu conjunto solu¸c˜ao.
Para facilitar a aplica¸c˜ao da seq¨uˆencia de opera¸c˜oeselementares de linhas, vamos cria
uma matriz ampliada [A|Y] da seguinte forma:
[A|Y] =



1−2 1−1|1
2−3 1 2 |4
3−9 6−15|5



ondeA´e a matriz dos coeﬁcientes do sistema linear eY´e o vetor do lado direito.
Aplicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas
l2 l2−2l1, l3 l3−3l1 el3 l3+ 3l2
na matriz ampliada [A|Y], obtemos a matriz [R|Z]
[R|Z] =



1−2 1−1|1
0 1−1 4|2
0 0 0 0 |8



Assim, obtemos o sistema linear equivalenteRX=Z





x−2y+z−t= 1
y−z+ 4t= 2
0 = 8
Assim, temos que a terceira equa¸c˜ao ´e degenerada, isto ´e,pode ser escrita como:
0x+ 0y+ 0z+ 0t= 8.
Logo, o sistema linearAX=Y´e inconsistente, isto ´e, n˜ao possui solu¸c˜ao.

122
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.9.17Considere o sistema linear n˜ao–homogˆeneo





x−2y+z=−1
2x−3y+z=−3
x+ 4y+ 2z= 7
Vamos fazer uma an´alise do seu conjunto solu¸c˜ao.
Para facilitar a aplica¸c˜ao da seq¨uˆencia de opera¸c˜oeselementares de linhas, vamos cria
uma matriz ampliada [A|Y] da seguinte forma:
[A|Y] =



1−2 1| −1
2−3 1| −3
1 4 2 |7



ondeA´e a matriz dos coeﬁcientes do sistema linear eY´e o vetor do lado direito.
Aplicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas
l2 l2−2l1, l3 l3−l1 el3 l3− −l2
na matriz ampliada [A|Y], obtemos a matriz [R|Z]
[R|Z] =



1−2 1|1
0 1−1|1
0 0 7 |14



Assim, obtemos o sistema linear equivalenteRX=Z





x−2y+z= 1
y−z= 1
7z= 14
Assim, o sistema linear n˜ao–homogˆeneoAX=Ypossui uma ´unica solu¸c˜ao
z= 2, y= 1 e x=−1.
Portanto, o sistema linearAX=Y´e consistente e a terna (−1,1,2) ´e a ´unica solu¸c˜ao.

Petronio Pulino 123
Observando os exemplos apresentados nessa se¸c˜ao, podemos fazer a seguinte aﬁrma¸c˜ao:
Solu¸c˜ao Geral do Sistema Linear AX = Y
=
Solu¸c˜ao Geral do Sistema Linear Homogˆeneo Associado AX = 0
+
Solu¸c˜ao Particular do Sistema Linear AX = Y
De fato, consideramos queXh´e uma solu¸c˜ao do sistema linear homogˆeneo associado,
isto ´e,AXh= 0, e queXp´e uma solu¸c˜ao particular do sistema linear original, isto ´e,
AXp=Y. Desse modo, temos que
A(Xh+Xp) =AXh+AXp= 0 +Y=Y .
Assim, mostramos queXh+Xp´e uma solu¸c˜ao do sistema linearAX=Y.
Por outro lado, considerando queX
∗
´e uma solu¸c˜ao do sistema linearAX=Y, que
pode ser distinta da solu¸c˜ao particularXp, temos que
A(X
∗
−Xp) =AX
∗
−AXp=Y−Y= 0.
Desse modo, temos queX
∗
−Xp´e uma solu¸c˜ao do sistema homogˆeneoAX= 0.
Entretanto, podemos escreverX
∗
da seguinte forma:
X
∗
=Xp+ (X
∗
−Xp).
Portanto, qualquer solu¸c˜ao do sistema linearAX=Ypode ser escrita como a soma
de uma solu¸c˜ao particular do sistema linear original com uma solu¸c˜ao do sistema linear
homogˆeneo associado.
Portanto, a solu¸c˜ao geral do sistema linearAX=Ypode ser escrita da seguinte forma:
Xg=Xh+Xp,
o que prova a nossa aﬁrma¸c˜ao.

124
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Teorema 2.9.8SejamAuma matriz de ordemm×n, eX1,∙ ∙ ∙, Xnsolu¸c˜oes do
sistema linear homogˆeneoAX= 0. Ent˜ao, todacombina¸c˜ao linear
Xc=α1X1+∙ ∙ ∙+α1Xn,
ondeα1,∙ ∙ ∙, αns˜ao escalares, ´e tamb´em solu¸c˜ao do sistema linearAX= 0.
Demonstra¸c˜ao –Sabemos que
AX1= 0,∙ ∙ ∙, AXn= 0.
Logo,
AXc=α1AX1+∙ ∙ ∙+α1AXn= 0,
o que completa a demonstra¸c˜ao.
Teorema 2.9.9SejamAuma matriz de ordemm×neYum vetor coluna de
ordemm×1. Ent˜ao, o sistema linearAX=Yn˜ao possui solu¸c˜ao, possui uma ´unica
solu¸c˜ao, ou possui inﬁnitas solu¸c˜oes.
Demonstra¸c˜ao –Basta mostrar que se o sistema linearAX=Ypossui mais de uma
solu¸c˜ao, ent˜ao possui inﬁnitas solu¸c˜oes.
SejamX1eX2duas solu¸c˜oes distintas deAX=Y, isto ´e,AX1=YeAX2=Y.
Desse modo, para todo escalarαtemos que
X
∗
=X1+α(X1−X2)
´e tamb´em uma solu¸c˜ao do sistema linearAX=Y. De fato,
AX
∗
=AX1+α(AX1−AX2) =Y+α(Y−Y) =Y .
Finalmente, devemos observar que para cada escalarαos vetores colunas
X
∗
=X1+α(X1−X2)
s˜ao distintos, o que completa a demonstra¸c˜ao.

Petronio Pulino 125
Teorema 2.9.10SejamAuma matriz de ordemm×neYum vetor coluna de
ordemm×1. Ent˜ao,
(a) O sistema linearAX=Y´e consistente se, e somente se,
posto( [A|Y] ) =posto(A).
(b) O sistema linearAX=Ypossui uma ´unica solu¸c˜ao se, e somente se,
posto( [A|Y] ) =posto(A) =n .
(c) O sistema linearAX=Ypossui inﬁnitas solu¸c˜ao se, e somente se,
posto( [A|Y] ) =posto(A)< n .
(d) O sistema linearAX=Y´e inconsistente se, e somente se,
posto(A)< posto( [A|Y] ).
Demonstra¸c˜ao –Seja [R|Z] uma matriz na forma escalonada, linha equivalente a
matriz ampliada [A|Y], isto ´e, existe uma matrizPinvert´ıvel de ordemm×mtal que
R=PAeZ=PY. Logo, os sistemas linearesAX=YeRX=Zpossuem o
mesmo conjunto solu¸c˜ao.
(a)Oposto( [A|Y] ) =posto(A), isto ´e,
posto( [R|Z] ) =posto(R)
se, e somente se, o sistema linear reduzidoRX=Zn˜ao possui equa¸c˜oes degeneradas.
Desse modo, n˜ao existem condi¸c˜oes sobre as componentes deZpara que o sistema linear
reduzidoRX=Ztenha solu¸c˜ao. Portanto,AX=Y´e um sistema linear consistente,
isto ´e, possui solu¸c˜ao.
(b)Oposto( [A|Y] ) =posto(A) =n, isto ´e,
posto( [R|Z] ) =posto(R) =n
se, e somente se, o sistema linear reduzidoRX=Zn˜ao possui vari´aveis livres. Desse
modo, cada uma das vari´aveis assume um valor ﬁxo, que s˜ao obtidos resolvendo o sistema
linear reduzidoRX=Zpelo processo de substitui¸c˜ao atrasada. Portanto, o sistema
linearAX=Ypossui uma ´unica solu¸c˜ao.

126
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exempliﬁcando a situa¸c˜ao descrita acima, podemos representar a matriz reduzidaR,
linha equivalente a matrizA, e o vetor colunaZpor:
















r11r12r13 r1n
0r22r23 r2n
0 0 r33 r3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 0rnn
0 0 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0
















eZ=
















z1
z2
z3
.
.
.
zn
0
.
.
.
0
















,
onde os elementos da diagonal principal da matrizRs˜ao todos n˜ao–nulos.
(c)Oposto( [A|Y] ) =posto(A)< n, isto ´e,
posto( [R|Z] ) =posto(R)< n
se, e somente se, o sistema linearRX=Zpossui pelo menos uma vari´avel livre.
Desse modo, para cada conjunto de valores atribu´ıdos `as vari´aveis livres, obtemos uma
solu¸c˜ao. Como cada vari´avel livre pode assumir qualquervalor, o sistema linear reduzido
RX=Zpossui inﬁnitas solu¸c˜oes. Portanto, o sistema linearAX=Ypossui inﬁnitas
solu¸c˜oes.
(d)Oposto(A)< posto( [A|Y] ) , isto ´e,
posto(R)< posto( [R|Z] )
se, e somente se, o sistema linear reduzidoRX=Zpossui pelo menos uma equa¸c˜ao
degenerada, com a correspondente componente deZn˜ao–nula. Desse modo, o sistema
linear reduzidoRX=Zn˜ao possui solu¸c˜ao. Portanto,AX=Y´e um sistema linear
inconsistente.

Petronio Pulino 127
Sistemas Lineares em Forma Triangular
Deﬁni¸c˜ao 2.9.5SejamLuma matriz triangular inferior de ordemn×neYum
vetor coluna de ordemn×1. Dizemos que
LX=Y
´e um sistema lineartriangular inferior.
Exemplo 2.9.18O sistema linear dado por:





4 0 0 0
1 5 0 0
2 1 4 0
1 2 3 6










x1
x2
x3
x4





=





4
11
8
26





´e um sistema triangular inferior.
Teorema 2.9.11SejamLuma matriz triangular inferior de ordemn×n, com todos
os elementos da diagonal principal n˜ao–nulos, eYum vetor coluna de ordemn×1.
Ent˜ao, o sistema lineartriangular inferior
LX=Y
possui uma ´unica solu¸c˜ao, que ´e obtida pelo processo desubstitui¸c˜ao avan¸cada.
Demonstra¸c˜ao –Resolvendo a primeira equa¸c˜ao, obtemos o valor da primeira inc´ognita
l11x1=y1 () x1=
y1
l11
.
Substituindo o valor dex1na segunda equa¸c˜ao, obtemos o valor da segunda inc´ognita
x2=
y2−l21x1
l22
.
Desse modo, sucessivamente determinamos o valor dexk, levando os valores das inc´ognitas
previamente obtidos nak–´esima equa¸c˜ao, da forma:
lkkxk=yk−
k−1
X
j=1
lkjxj () xk=
yk−
k−1
X
j=1
lkjxj
lkk
parak= 2,3,∙ ∙ ∙, n.
Note que a unicidade dexk, parak= 1,∙ ∙ ∙, n, ´e dada pelo Teorema 2.9.1, o que
completa a demonstra¸c˜ao.

128
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Deﬁni¸c˜ao 2.9.6SejamUuma matriz triangular superior de ordemn×neYum
vetor coluna de ordemn×1. Dizemos que
UX=Y
´e um sistema lineartriangular superior.
Exemplo 2.9.19O sistema linear dado por:





6 2 3 1
0 4 1 2
0 0 5 1
0 0 0 4










x1
x2
x3
x4





=





16
15
8
12





´e um sistema triangular superior.
Teorema 2.9.12SejamUuma matriz triangular superior de ordemn×n, com todos
os elementos da diagonal principal n˜ao–nulos, eYum vetor coluna de ordemn×1.
Ent˜ao, o sistema lineartriangular superior
UX=Y
possui uma ´unica solu¸c˜ao, que ´e obtida pelo processo desubstitui¸c˜ao atrasada.
Demonstra¸c˜ao –Resolvendo a ´ultima equa¸c˜ao, obtemos o valor da ´ultima inc´ognita
unnxn=yn () xn=
yn
unn
.
Substituindo o valor dexnna pen´ultima equa¸c˜ao, obtemos o valor da pen´ultima inc´ognita
xn−1=
yn−1−un−1,nxn
un−1,n−1
.
Desse modo, sucessivamente determinamos o valor dexk, levando os valores das inc´ognitas
previamente obtidos nak–´esima equa¸c˜ao, da forma:
ukkxk=yk−
n
X
j=k+1
ukjxj () xk=
yk−
n
X
j=k+1
ukjxj
ukk
parak= (n−1),∙ ∙ ∙,1.
Note que a unicidade dexk, parak=n,∙ ∙ ∙,1, ´e dada pelo Teorema 2.9.1, o que
completa a demonstra¸c˜ao.

Petronio Pulino 129
A seguir apresentamos o algoritmo para o obter a solu¸c˜ao deum sistema linear triangular
inferiorLX=Y, pelo processo de substitui¸c˜ao avan¸cada.
Algoritmo 2.9.1 (Processo de Substitui¸c˜ao Avan¸cada)
for i = 1, ... ,n
soma = 0.0
for j = 1, ... ,(i-1)
soma = soma + L(i,j)*X(j)
end
X(i) = ( Y(i) - soma ) / L(i,i)
end
A seguir apresentamos o algoritmo para o obter a solu¸c˜ao deum sistema linear triangular
superiorUX=Y, pelo processo de substitui¸c˜ao atrasada.
Algoritmo 2.9.2 (Processo de Substitui¸c˜ao Atrasada)
for i = n, ... ,1
soma = 0.0
for j = (i+1), ... ,n
soma = soma + U(i,j)*X(j)
end
X(i) = ( Y(i) - soma ) / U(i,i)
end

130
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.9.20Determine a solu¸c˜ao do sistema linear triangular inferior









4x = 4
x+ 5y = 11
2x+y+ 4z = 8
x+ 2y+ 3z+ 6t= 26
pelo processo de substitui¸c˜ao avan¸cada.
Exemplo 2.9.21Determine a solu¸c˜ao do sistema linear triangular superior









6x+ 2y+ 3z+t= 16
4y+z+ 2t= 15
5z+t= 8
4t= 12
pelo processo de substitui¸c˜ao atrasada.

Petronio Pulino 131
Fatora¸c˜ao LU
SejamAuma matriz de ordemn×ninvert´ıvel eYum vetor coluna de ordemn×1.
Vamos supor que a matrizApossa ser decomposta na forma:
A=LU ,
ondeL´e uma matriz triangular inferior, com todos os elementos dadiagonal principal
iguais a 1, eUuma matriz triangular superior com todos os elementos da diagonal
principal diferentes de zero. Assim, dizemos que a matrizApossui umafatora¸c˜ao LU,
ou umadecomposi¸c˜ao LU.
A fatora¸c˜ao LU da matrizApode ser utilizada para obter, de uma maneira eﬁciente, a
solu¸c˜ao do sistema linear
AX=Y ,
repetidamente para diferentes vetoresY.
Substituindo a fatora¸c˜aoA=LU, obtemos
AX=Y () (LU)X=Y () L(UX) =Y .
ChamandoUX=Z, e substituindo no sistema linear acima, obtemos o seguintesistema
linear triangular inferior
LZ=Y ,
cuja solu¸c˜aoZ
∗
pode ser obtida facilmente pelo processo de substitui¸c˜aoavan¸cada.
Finalmente, obtemos a solu¸c˜ao do sistema linear triangular superior
UX=Z
∗
pelo processo de substitui¸c˜ao atrasada. Assim, determinamos a solu¸c˜aoX
∗
do sistema
linearAX=Y.
Portanto, caso a matrizApossua uma decomposi¸c˜ao LU, podemos obter a solu¸c˜ao do
sistema linearAX=Yatrav´es da resolu¸c˜ao de dois sistemas triangulares, isto ´e,
AX=Y ()



LZ=Y
UX=Z
∗

132
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.9.22Determine a solu¸c˜ao do seguinte sistema linear





4x1+x2+ 2x3= 2
8x1+ 4x2+ 5x3= 6
12x1+ 7x2+ 10x3= 6
atrav´es da fatora¸c˜ao LU da matriz de coeﬁcientes do sistema.
A matriz de coeﬁcientes do sistema linear ´e dada por:
A=



4 1 2
8 4 5
12 7 10



e possui uma fatora¸c˜aoA=LU, onde
L=



1 0 0
2 1 0
3 2 1


 eU=



4 1 2
0 2 1
0 0 2



Primeiramente, resolvemos o sistema linear triangular inferior





z1 = 2
2z1+z2 = 6
3z1+ 2z2+z3= 6
pelo processo de substitui¸c˜ao avan¸cada. Assim, obtemos asolu¸c˜ao
Z=



2
2
−4


.
Finalmente, uma vez determinadoZ, resolvemos o sistema linear triangular superior





4x1+x2+ 2x3= 2
2x2+x3= 2
2x3=−4
pelo processo de substitui¸c˜ao atrasada. Assim, obtemos a solu¸c˜ao
X=



1
2
−2


,
o que completa a resolu¸c˜ao do sistema linearAX=Y.

Petronio Pulino 133
SejaAuma matriz de ordemn×ninvert´ıvel que pode ser reduzida `a forma escalonada,
atrav´es de opera¸c˜oes elementares de linhas, sem qualquer permuta¸c˜ao de linhas, isto ´e, a
cada passo do processo de redu¸c˜ao `a forma escalonada o pivˆo ´e sempre n˜ao–nulo.
Vamos descrever o processo de redu¸c˜ao da matrizA`a forma escalonada, que tamb´em ´e
conhecido como processo deElimina¸c˜ao Gaussiana, atrav´es do seguinte algoritmo.
Algoritmo 2.9.3 (Fatora¸c˜ao LU)
paraj= 1,∙ ∙ ∙,(n−1)
parai= (j+ 1),∙ ∙ ∙, n
mij=
aij
ajj
Ai∙ −Ai∙−mijAj∙
aij=mij
fim
fim
Os escalaresmijs˜ao denominadosmultiplicadores. Por simplicidade, indicamos por
Ai∙para denotar ai–´esima linha da matrizA.
No ﬁnal do procedimento, teremos a matrizUarmazenada na parte triangular superior
da matrizA, e a matrizLarmazenada abaixo da diagonal principal da matrizA,
sabendo que os elementos da diagonal principal da matrizLs˜ao todos iguais `a 1. Desse
modo, a matriz triangular inferiorL´e dada por:
L=
















1
m211
m31m321
m41m42m431
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
mn1mn2mn3∙ ∙ ∙mn,n−11
















.

134
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Teorema 2.9.13SejaAuma matriz de ordemn×ninvert´ıvel que pode ser reduzida `a
forma escalonada, atrav´es de opera¸c˜oes elementares de linhas, sem qualquer permuta¸c˜ao
de linhas. Ent˜ao, existe uma matriz triangular inferiorL, com todos os elementos da
diagonal principal iguais a1, e uma matriz triangular superiorU, com todos os elementos
da diagonal principal n˜ao–nulos, tais queA=LU.
Demonstra¸c˜ao –Sejamh1,∙ ∙ ∙, hra seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas,
sendoHia matriz elementar de linha correspondente `a opera¸c˜ao elementar de linhashi,
tais que
U=Hr∙ ∙ ∙H2H1A
´e a matriz na forma escalonada linha equivalente a matrizA, que ´e uma matriz triangular
superior. Sendo assim, temos que
A= (Hr∙ ∙ ∙H2H1)
−1
U= (H
−1
1H
−1
2∙ ∙ ∙H
−1
r)U=LU ,
onde a matriz triangular inferiorL´e dada por:
L=H
−1
1H
−1
2∙ ∙ ∙H
−1
r,
com os elementos da diagonal principal todos iguais a 1.
Finalmente, os elementos da diagonal principal da matrizUs˜ao todos n˜ao–nulos. De
fato, caso contr´ario existiria um vetor colunaXn˜ao–nulo, de ordemn×1, tal que
UX= 0 () AX=LUX= 0,
o que ´e uma contradi¸c˜ao, poisA´e invert´ıvel, o que completa a demonstra¸c˜ao.

Petronio Pulino 135
De uma maneira geral, podemos resumir os resultados apresentados da seguinte forma.
SejaAuma matriz de ordemn. As seguintes aﬁrma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(a)A´e uma matriz n˜ao–singular.
(b)A´e uma matriz invert´ıvel.
(c) A matriz triangular superiorUna forma escalonada, linha equivalente a matriz
A, possui todos os elementos da diagonal principal n˜ao–nulos.
(d)posto(A) =n.
(e) O sistema linear homogˆeneoAX= 0 possui somente a solu¸c˜ao trivial.
(f) Para todo vetor colunaY, de ordemn×1, o sistema linearAX=Ypossui uma
´unica solu¸c˜ao, que ´e dada porX
∗
=A
−1
Y.
Exemplo 2.9.23Considere a matrizAde ordem4×4dada por:
A=





1 1 0 0
0 4 0 0
0 3 1 0
0 2 0 1





.
Determine a fatora¸c˜aoA=LU, e a matriz inversaA
−1
.

136
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exemplo 2.9.24Considere a matrizAde ordem3×3dada por:
A=



4 1 2
8 4 5
12 7 10


.
Vamos determinar a fatora¸c˜aoA=LUsem permuta¸c˜oes de linhas, se poss´ıvel.
Considere a seguinte seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas
h1:l2 −l2−2l1, h2:l3 −l3−3l1 eh3:l3 −l3−2l2
com as correspondentes matrizes elementaresH1,H2eH3, todas de ordem 3,
H1=



1 0 0
−2 1 0
0 0 1


, H2=



1 0 0
0 1 0
−3 0 1


eH3=



1 0 0
0 1 0
0−2 1


.
Desse modo, obtemos a matrizU=H3H2H1A, que est´a na forma escalonada, que
corresponde a aplica¸c˜ao da seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas, deﬁnida acima,
na matrizA. De fato,
U=



1 0 0
0 1 0
0−2 1






1 0 0
0 1 0
−3 0 1






1 0 0
−2 1 0
0 0 1






4 1 2
8 4 5
12 7 10


=



4 1 2
0 2 1
0 0 2


.
Portanto, a matriz triangular inferiorL=H
−1
1H
−1
2H
−1
3´e dada por:
L=



1 0 0
2 1 0
0 0 1






1 0 0
0 1 0
3 0 1






1 0 0
0 1 0
0 2 1


=



1 0 0
2 1 0
3 2 1



Assim, obtemos a fatora¸c˜aoA=LU, sem qualquer permuta¸c˜ao de linhas.

Petronio Pulino 137
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.94Determine a fatora¸c˜aoA=LU, onde a matrizA´e dada por:
A=



2 2 1
6 9 4
6 9 8


,
e determine a solu¸c˜ao do sistema linearAX=Y, onde
Y=



0
0
24


.
Exerc´ıcio 2.95Determine a solu¸c˜ao do sistema linear





2x1+ x2−x3= 1
6x1+ 7x2−2x3= 3
8x1+ 12x2+ 0x3=−4
atrav´es da fatora¸c˜ao LU da matriz de coeﬁcientes do sistema.
Exerc´ıcio 2.96Descreva o conjunto solu¸c˜ao da equa¸c˜ao linear
2x+ 3y−6z= 8.
Exerc´ıcio 2.97Descreva o conjunto solu¸c˜ao do sistema liner
(
2x+ 3y−6z= 8
x+y+z= 1
Qual ´e o lugar geom´etrico emIR
3
deﬁnido pelo conjunto solu¸c˜ao?
Exerc´ıcio 2.98Considere a matrizAdada por:
A=



1−2 3
3 2−1
1 6−7


.
Determine todos os vetores colunas
X=



a
b
c



tais queAX= 0.

138
´
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcio 2.99Considere a matrizAdada por:
A=
"
1 3
4−3
#
.
Determine todos os vetores colunas
X=
"
a
b
#
tais queAX=−5X.
Exerc´ıcio 2.100SejaAuma matriz sim´etrica decomposta na formaA=LDL
t
, onde
L=



1 0 0
3 1 0
4 2 1


 eD=



5 0 0
0 1 0
0 0 3


.
Determine a solu¸c˜ao do sistema linearAX=Y, onde
Y=



10
29
32


.
Exerc´ıcio 2.101Considere o seguinte sistema linear





2x1+x2−x3= 1
6x1+ 7x2−2x3= 3
4x1+ 6x2−x3=−4
Fa¸ca uma an´alise do conjunto solu¸c˜ao.
Exerc´ıcio 2.102Considere o seguinte sistema linear





2x1+ 5x2+ 2x3=−5
6x1+ 7x2−2x3= 3
8x1+ 12x2+ 0x3=−4
Fa¸ca uma an´alise do conjunto solu¸c˜ao.
Exerc´ıcio 2.103Considere a matrizAdada por:
A=



1 2 3
1 3 3
1 2 4


.
Determine a inversa da matrizAutilizando a fatora¸c˜aoA=LU, de maneira eﬁciente.

Bibliograﬁa
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735

736
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