Maximos y minimos funcion de varias variables

ALGEBRA LINEAL

1. UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO INGENIERÍA DE COMPUTACIÓN Y SISTEMAS MATEMATICA III APLICACIONES DE LA DERIVADA DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS

2. EXTREMOS RELATIVOS, CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA Los máximos o mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores mas grandes (máximos) o mas pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS

3. EXTREMOS RELATIVOS, CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA Sea una función Se dice que tiene un máximo absoluto en A si existe por lo menos un punto en A tal que: Sea se dice que tiene un máximo relativo en si existe un intervalo abierto que contiene a tal que MÁXIMOS DE UNA FUNCIÓN DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS

4. EXTREMOS RELATIVOS, CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA Diremos que tiene un mínimo absoluto en A si existe tal que MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN Una función tiene un mínimo o un máximo relativo en un punto c cuando c es un valor crítico de f. DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS

5. NINGUNO - - NINGUNO + + MÍNIMO + - MÁXIMO - + c, f(c) Signo de f ‘ en (c,b) GRÁFICO a c b Signo de f ‘ en (a,c) DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS

6. 1) Se deriva la función y = f( x ) y se iguala a cero la derivada. 2) Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior. Las raíces encontradas se llaman valores críticos y son los que por tener tangente con pendiente cero (tangentes horizontales), pueden ser máximos o mínimos. 3) Para investigar cada valor crítico si es máximo o mínimo: a) Se toma un valor un poco menor a ese valor crítico y se sustituye en la derivada. Luego se toma un valor un poco mayor y se sustituye en la derivada. b) Si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo, el valor crítico en análisis es un máximo; si cambia de negativo a positivo, es un mínimo. REGLA PARA ENCONTRAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS

7. EJEMPLOS Hallar los valores máximos y/o mínimos de la función y=x2 −4x+7 Graficando la función anterior se obtiene la parábola de la figura . Lo que deberá confirmarse aplicando el procedimiento. DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS

8. Paso 1: Derivando la función e igualando a cero: dy /dx = 2x – 4=0 Paso 2: Resolviendo 2 x - 4 = 0, se llega a que x = 2. -  Este es el valor crítico. Paso 3a: Dando primero un valor un poco más pequeño que x = 2, por ejemplo, con x = 1 y sustituyendo en la derivada: dy / dx = 2(1) -4 = 2 luego con un valor un poco mayor que x = 2, por ejemplo con x = 3 y sustituyendo en la derivada : dy /dx = 2(3)- 4 =2 Paso 3b: Como la derivada cambió de signo de negativo a positivo significa que existe un mínimo en el valor crítico que se analiza, es decir, hay un mínimo en x = 2 . RESPUESTA: Tiene solamente un mínimo. SOLUCIÓN DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS

9. EJEMPLOS Halla los extremos de la función SOLUCIÓN Calculamos las derivadas parciales de primer orden . Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales. DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS

10. R esolviendo el sistema obtenemos  x=0 ,  y=3. Luego P(0,3) es el único punto crítico de la función. Hallamos la matriz hessiana de  f  en  P(0,3 ). Con lo cual tenemos  H(0,3)=+3  luego hay extremo y como  se trata de un mínimo . El valor de la función en el mínimo es  f(0,3)=-8.   DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS

11. INTEGRANTES CABALLERO CRUZ, IVONNE CÁRDENAS GONZÁLEZ RAQUEL CORNEJO URBINA, ESTRELLA GALLARDO GABRIEL, FLAVIO LÓPEZ DOMINGUEZ, DONATILA SEVILLANO TALAVERA, RENATO TIRADO CUENCA, HENRY QUILICHE ZELADA, LUIS DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS

12. GRACIAS