MEDIDAS DE Tendência CENTRAL estatística

Apresentação de medidas de tendência central estatística

1. 3 º Ano do Ensino Médi o Turmas : A , B e C Professor es: Adauri e Rodrigo Matemática e Suas Tecnologias ESTATÍSTICA – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

2. Compreender e utilizar os conceitos de média, mediana e moda de um conjunto de dados estatísticos. HABILIDADE

3. Em um estudo estatístico, depois de se fazer a coleta e representação dos dados de uma pesquisa, é comum analisarmos as tendências que a amostra apresenta. Assim, se a pesquisa envolve muitos dados, convém “sintetizar” todas essas informações por meio de parâmetros, sendo que eles podem ser de: centralização  média aritmética, mediana e moda dispersão  intervalo de variação, desvio médio, variância e desvio padrão. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

4. A média aritmética é uma das informações mais importantes da análise estatística e, mesmo sendo uma medida de tendência central, ela pode não se encontrar necessariamente no centro da distribuição, pois na verdade ela corresponde a uma das posições de equilí brio entre os dados coletados. Para o cálculo da média aritmética devemos levar em conta se os dados não estão agrupados ou estão agrupados, em intervalos de classe ou sem intervalo de classe. Indicação de média aritmética : e lemos “ x traço ” ou “ x barra ”.   MÉDIA ARITMÉTICA

5. Esta relação resulta no valor inicial já somado com o valor que aumentou. Sendo assim para saber quanto aumentou devemos: MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES FÓRMULA Onde, → média aritmética simples x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n → valores dos dados n → quantidade de dados     A média aritmética de dados não agrupados corresponde ao cálculo de média aritmética simples. É recomendada a utilização da média de dados não agrupados quando os valores que compõem a série estatística tendem a ser homogêneos, ou seja, quando não existem valores muito grandes ou muito pequenos na série.

6. Maria comprou 6 caixas de bombons sortidos para distribuir entre seus 6 sobrinhos. Antes de entrega-los, ela abriu as embalagens e contou quantas unidades havia em cada uma. Quantos bombons havia nas 6 caixas?   EXEMPLOS

7. Maria quer que cada sobrinho receba a mesma quantidade de bombons. Quantos bombons cada sobrinho irá ganhar? Observe a ilustração da situação: Maria poderia simplesmente dar uma caixa fechada para cada sobrinho? Não , pois tem caixas que tem menos de 14 bombons.   EXEMPLOS

8. A evolução da taxa média mensal de juros ao consumidor está registrada no gráfico abaixo. Com base nesses valores, calcule a média aritmética dos juros nesse período. EXEMPLOS Taxa média mensal dos juros ao consumidor ( em porcentagem ), julho de 2 007 a julho de 2 008 A média aritmética da taxa média mensal dos juros ao consumidor foi de 7,26 % .  

9. Esta relação resulta no valor inicial já somado com o valor que aumentou. Sendo assim para saber quanto aumentou devemos: MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA FÓRMULA Onde, → média aritmética ponderada x 1, x 2 , x 3 , ..., x n → valores dos dados p 1, p 2 , p 3 , ..., p n → peso ou repetição de cada dados   A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada valor do conjunto de dados pelo seu peso. Depois, encontra-se a soma desses valores que será dividida pela soma dos pesos.   Esse tipo de média é utilizada quando um dado se repete várias vezes ou quando os dados possuem peso ( importâncias ) diferentes.

10. Em cada bimestre, uma faculdade exige a realização de quatro tipos de avaliação, calculando a nota bimestral pela média ponderada dessas avaliações. Se a tabela apresenta as notas obtidas por uma aluna nos quatro tipos de avaliações realizadas e os pesos dessas avaliações, sua nota bimestral foi aproximadamente igual a : 8,6 8,0 7,5 7,2 6,8     EXEMPLOS

11. Numa indústria têxtil temos 15 operários com salário de R$ 800,00, 25 com salário de R$ 1 200,00, 12 com salário de R$ 1 600,00 e 4 com salário de R$ 1 800,00. Qual é a média salarial dessa empresa? A média salarial dessa empresa é de R$ 1 221,43. Foi realizada uma pesquisa em 50 residências da cidade de São Paulo com o objetivo de saber qual é o número de computadores em cada casa e, com esses dados, montou-se a tabela abaixo. Calcule a média de computadores para essa pesquisa realizada.   EXEMPLOS Número de computadores Número de residências 4 1 19 2 16 3 9 4 2

12. Torna-se mais prático acrescentar uma coluna na tabela de distribuição de frequência o número de computadores por residência para efetuar os produtos do número de computadores ( x i ) pelo número de residência ( f i ).   EXEMPLOS Número de computadores Número de residências x i . f i 4 0 . 4 = 0 1 19 1 . 19 = 19 2 16 2 . 16 = 32 3 9 3 . 9 = 27 4 2 4 . 2 = 8 TOTAL 50 86

13. A seguradora Leal Forte S.A. verifica em determinado produto quais são os segurados que estão com parcelas atrasadas. O contrato estabelece a cobrança de multa para os pagamentos em atraso. O gráfico abaixo registra o número de clientes versus o número de meses em atraso. EXEMPLOS

14. Calcule : o número total de clientes em atraso. o número médio de meses em atraso dessa distribuição. o percentual de clientes mais de 2 meses de atraso . n = 12 + 16 + 21 + 15 + 13 + 10 = 87 clientes em atraso meses Número de clientes com mais de 2 meses de atraso: 21 + 15 + 13 + 10 = 59 Percentual:   EXEMPLOS

15. Qual é a estatura média dos passageiros? Qual a porcentagem de passageiros com altura maior ou igual a 1,78 m? Qual é a porcentagem de passageiros com altura menor que 1,64 m? Estaturas ( cm ) Número de passageiros ( f i ) 150 I--- 157 7 157 I--- 164 19 164 I--- 171 25 171 I--- 178 26 178 I--- 185 21 185 I--- 192 8 192 I--- 199 3 Com o objetivo de regulamentar a configuração interna de aviões de transporte de passageiros, para especificar a distância entre encosto e assento, e a largura das poltronas das aeronaves, uma empresa realizou um levantamento das estruturas dos passageiros, por meio de uma amostra composta por um grupo de passageiros, sendo os resultados apresentados na tabela seguinte. EXEMPLO

16. Para facilitar o cálculo da média aritmética de dados agrupados com intervalos de classe, reescrevemos a tabela e incluímos duas colunas, uma para o ponto médio de cada intervalo de classe ( x i ), e outra para o produto entre o ponto médio do intervalo de classe e a frequência ( x i . f i ) Estaturas ( cm ) Ponto médio ( x i ) Número de passageiros ( f i ) x i . f i 150 I--- 157 7 7 . 153,5 = 1 074,5 157 I--- 164 19 19 . 160,5 = 3 049,5 164 I--- 171 25 25 . 167,5 = 4 187,5 171 I--- 178 26 26 . 174,5 = 4 537,0 178 I--- 185 21 21 . 181,5 = 3 811,5 185 I--- 192 8 8 . 188,5 = 1 508,0 192 I--- 199 3 3 . 195,5 = 586,5 TOTAL ----- 109 18 754,5 Estaturas ( cm ) Ponto médio ( x i ) Número de passageiros ( f i ) x i . f i 150 I--- 157 7 7 . 153,5 = 1 074,5 157 I--- 164 19 19 . 160,5 = 3 049,5 164 I--- 171 25 25 . 167,5 = 4 187,5 171 I--- 178 26 26 . 174,5 = 4 537,0 178 I--- 185 21 21 . 181,5 = 3 811,5 185 I--- 192 8 8 . 188,5 = 1 508,0 192 I--- 199 3 3 . 195,5 = 586,5 TOTAL ----- 109 18 754,5

17. = 1,72 m A estatura média dos passageiros é 172,06 cm ou 1,72 m. Estaturas maiores ou iguais a 1,78 m estão nas classes de 178 I--- 185 , 185 I--- 192 e 192 I--- 199. Portanto teremos 21 + 8 + 3 = 32 passageiros A porcentagem de passageiros com altura maior ou igual a 1,78 m é dado por Estaturas menores que 1,64 m estão nas classes de 150 I--- 157 e 157 I--- 164. Portanto teremos 7 + 19 = 26 passageiros A porcentagem de passageiros com altura menor a 1,64 m é dado por  

18. A moda é o valor que ocorre com maior frequência nos dados obtidos numa coleta de dados ( esse valor é chamado “valor modal” ) e a indicamos por M o . A série estatística é classificada conforme a quantidade de valores modais que ela possui. s érie amodal  não tem valor modal. série unimodal  um valor modal. série bimodal  dois valores modais. s érie trimodal  três valores modais. série polimodal  quatro ou mais valores modais. MODA

19. Dadas as séries estatísticas abaixo, determine o valor de sua moda. 4 , 7 , 5 , 7, 10, 2 , 12 , 8, 7, 5, 2, 10, 8, 11, 7, 3, 9, 6, 8 9, 3, 17, 6, 12, 5, 7, 2, 11 4, 7, 5, 7, 10, 2, 12, 8, 7, 5, 2, 10, 8, 11, 7, 3, 9, 6, 8, 5, 8, 2, 5 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12  M o = 7 2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 17  M o =  2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12  M o = 5, 7 e 8 EXEMPLOS

20. Realizada um pesquisa para determinar o tipo de eletrodoméstico mais vendido por uma rede de lojas, após a redução do IPI incidente sobre os itens de linha branca, foi montada a tabela abaixo. Qual foi o aparelho mais vendido por essa loja? EXEMPLOS Tipo de eletrodoméstico Número de unidades vendidas Fogão 53 Geladeira duplex 82 Máquina de lavar roupa 33 Tanquinho 26 Secadora 31 A variável em estudo são eletrodomésticos e, analisando a tabela, vemos que a segunda linha é a que possui o maior valor de frequência ( 82 ) se comparados com os demais. Portanto o aparelho mais vendido por esta loja foi a geladeira duplex.

21. Observe o gráfico abaixo e identifique a idade modal dos jovens residentes no Edifício Novo Horizonte. EXEMPLOS Analisando o gráfico de barras, a idade modal desses jovens está representado pela maior barra do gráfico, ou seja, aquele que tem maior frequência ( 8 ) que corresponde à idade de 17 anos.

22. A distribuição de frequências a seguir apresenta as idades dos professores de uma escola de Educação Infantil. Encontre a classe modal e a idade modal bruta desse grupo de professores. EXEMPLOS Idades ( em anos ) Número de professores 20 I--- 23 4 23 I--- 26 12 26 I--- 29 15 29 I--- 31 12 31 I--- 34 7 TOTAL 50 A classe modal das idades dos professores é aquela que apresenta a maior frequência, 15, e que corresponde à terceira classe , 26 I--- 29. Para determinar a idade modal bruta, basta calcularmos o ponto médio da classe modal, ou seja,  

23. A mediana é o valor que separa um grupo de dados ordenados em dois conjuntos com a mesma quantidade de elementos, e, para encontrarmos a mediana de um conjunto de dados ou de uma distribuição de frequências, é preciso organizar os dados de modo crescente ou decrescente e a indicamos por M d . Para calcular a mediana de um conjunto de dados ou distribuição de frequências devemos levar em consideração dois casos: quando há uma quantidade ímpar de elementos numa série estatística – há um termo mediano. quando há uma quantidade par de elementos numa série estatística – há dois termos medianos e o valor mediano deverá ser a média desses dois termos. MEDIANA

24. Quantidade ímpar de elementos numa série estatística. Considere que a escola de música já citada possui nove professores e que suas idades são 32 anos, 33 anos, 24 anos, 31 anos, 44 anos, 65 anos, 32 anos, 21 anos e 32 anos . Determine a mediana destas idades. Quantidade de elementos da sequência: 9 Posição do termo mediano:   5º termo Organizando os dados de modo crescente e identificando o quinto termo, encontramos o valor mediano da sequência. Assim: 21 , 24, 31, 32, 32, 32, 33, 44, 65 5º termo  V alor mediano  M d = 32 anos   EXEMPLOS

25. Quantidade par de elementos numa série estatística. Uma loja registrou o número de televisores com tela de LCD vendidas mensalmente durante o período de 12 meses. Calcule o valor mediano dessas vendas mensais. 15, 23, 19, 14, 25, 21, 16, 13, 22 ,18, 20, 27 Quantidade de elementos da sequência: 12 Posição do termo mediano: e + 1 e + 1 = 6 + 1 = 7  6 º termo e 7 º termo Organizando os dados de modo crescente e identificando o quinto termo, encontramos o valor mediano da sequência. Assim: 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27 6º termo e 7º termo  V alor mediano  M d =   EXEMPLOS

26. Calcule a mediana das distribuições de frequências abaixo. Distribuição dos salários dos operários Fonte: Microempresa pesquisada. EXEMPLOS Salários ( em R$ ) Quantidade de operários 400 3 500 4 800 2 Distribuição dos preços de lanches vendidos por um ambulante, em uma tarde Fonte : Ambulante pesquisado. Preço do lanche ( em R$ ) Número de lanches vendidos 6 3 8 2 10 1

27. Para calcular o valor da mediana de distribuição de frequências, adicionemos à nossa tabela uma linha para contabilizar o total de operários e uma coluna à direita da quantidade de operários com a frequência absoluta acumulada. Distribuição dos salários dos operários Fonte: Microempresa pesquisada. EXEMPLOS Salários ( em R$ ) Quantidade de operários f ac 400 3 3 500 4 3 + 4 = 7 800 2 7 + 2 = 9 TOTAL 9 ----- Com isso, conseguimos identificar a quantidade de elementos desta distribuição que são de 9 elementos e representa uma quantidade ímpar. Para determinar a posição do valor mediano, devemos: Analisando a tabela, na coluna das frequências absolutas acumuladas, temos que o 5º termo está localizado na 2ª linha da tabela, ou seja, o valor mediano da distribuição de frequências é de 500 reais.  

28. Para calcular o valor da mediana de distribuição de frequências, adicionemos à nossa tabela uma linha para contabilizar o total de lanches vendidos e uma coluna à direita da quantidade de operários com a frequência absoluta acumulada. EXEMPLOS Com isso, conseguimos identificar a quantidade de elementos desta distribuição que são de 6 elementos e representa uma quantidade par. Para determinar a posição dos valores medianos, devemos: Analisando a tabela, na coluna das frequências absolutas acumuladas, temos que o 3º termo e o 4º termo estão localizados na 1ª linha e 2ª linha da tabela, ou seja, o valor mediano da distribuição de frequências é de   Distribuição dos preços de lanches vendidos por um ambulante, em uma tarde Fonte : Ambulante pesquisado. Preço do lanche ( em R$ ) Número de lanches vendidos f ac 6 3 3 8 2 3 + 2 = 5 10 1 5 + 1 = 6 TOTAL 6 -----

29. O gráfico abaixo descreve a distribuição, segundo o preço de venda, dos veículos de uma concessionária em um feirão de automóveis. Considerando a amostra dos preços de todos os veículos vendidos por essa concessionária, determine o preço mediano desses automóveis. Precisamos determinar quantos elementos temos na série estatística. Então, 8 + 12 + 16 + 10 + 6 = 42 termos. Para determinar a posição dos valores medianos, devemos: Analisando o gráfico, temos que esses termos correspondem ao valor de R$ 36 000,00.   EXEMPLOS

30. A IDEAL é uma academia que possui modernos equipamentos e uma equipe de profissionais altamente qualificada, para oferecer inovações em aulas e técnicas para prática de atividades físicas. Com o objetivo de identificar características físicas dos seus alunos, foi elaborada a seguinte distribuição de frequências. Distribuição das estaturas dos alunos Fonte: Academia IDEAL A partir dela, identifique a classe mediana das estaturas dos alunos dessa academia. EXEMPLOS Estatura ( em cm ) Número de alunos 150 I--- 154 12 154 I--- 158 14 158 I--- 162 24 162 I--- 166 20 166 I---170 10

31. Para calcular o valor da mediana de distribuição de frequências, adicionemos à nossa tabela uma linha para contabilizar o total de alunos e uma coluna à direita do número de alunos com a frequência absoluta acumulada. Distribuição das estaturas dos alunos Fonte: Academia IDEAL EXEMPLOS Estatura ( em cm ) Número de alunos f ac 150 I--- 154 12 12 154 I--- 158 14 12 + 14 = 26 158 I--- 162 24 26 + 24 = 50 162 I--- 166 20 50 + 20 = 70 166 I---170 10 70 + 10 = 80 TOTAL 80 ----- Com isso, conseguimos identificar a quantidade de elementos desta distribuição que são de 80 elementos e representa uma quantidade par. Para determinar a posição dos valores medianos, devemos: Analisando a tabela, na coluna das frequências absolutas acumuladas, temos que o 40º termo e o 41º termo estão localizados na 3ª linha da tabela, ou seja, a classe mediana da distribuição de frequências é de 158 I--- 162.  

32. Dada as séries, calcule para cada uma delas o valor da média, moda e mediana: 12, 15, 13, 33, 35, 16, 17, 22, 24, 26, 28 58, 58, 59, 59, 59, 51, 55, 59, 54, 56, 59, 59, 59, 53 76, 75, 75, 77, 79, 79, 71, 76, 76, 73, 75, 77 37, 32, 36, 38, 31, 37, 40, 26, 36, 28, 33, 34, 42 O número de acidentes do trabalho ocorridos numa empresa, durante o ano de 2 008, está registrado no gráfico abaixo. EXERCÍCIOS Qual é a média mensal de acidentes ocorridos? Qual é o mês modal? Qual é o número mediano de acidentes ocorridos?

33. A redução do número de filhos por família está obrigando segmentos que atendem a classe média, como as escolas particulares, a readaptarem suas atividades para evitar prejuízos. Sendo assim, uma escola pesquisou o número de filhos por família no bairro de Vila Junqueira, conforme consta da tabela seguinte. Conforme esses dados, calcule: o número médio de filhos por família. o valor modal o valor mediano. o percentual de famílias com 1 ou 2 filhos. EXERCÍCIOS Número de filhos por família Famílias do bairro Vila Junqueira 26 1 85 2 130 3 31 4 8 Distribuição do número de filhos por família

34. Uma indústria elétrica de componentes eletrônicos fabrica certo tipo de fusível. O laboratório da indústria realizou testes de sobrecarga para avaliar a vida média desse tipo de fusível e os valores foram registrados na tabela abaixo. Conforme esses dados, determine: o valor da vida média. o valor modal a classe mediana. o percentual de fusíveis que duraram 170 h ou mais. EXERCÍCIOS Vida ( h ) Número de fusíveis 80 I--- 110 26 110 I---140 22 140 I--- 170 36 170 I---200 31 200 I---230 26 Distribuição da duração da vida do fusível ( h )

35. O gráfico abaixo demonstra a quantidade de clientes pessoas jurídicas ( PJ ) de uma agência bancária e o número de produtos que utilizam Determine a média de clientes por produto utilizado. Determine o valor modal de produtos utilizados. Determine o valor mediano de produtos utilizados. Determine o percentual de clientes que usaram 6 ou mais produtos. EXERCÍCIOS Número de produtos utilizados por clientes