Medidas de Tendência Central - Resumo de Aulas

As medidas de tendência central indicam os valores que representam o centro de um conjunto de dados, resumindo suas características principais.

As mais comuns são média, mediana e moda.

1. Wadiley Sousa do Nascimento
Mestre em Estatística, Matemática e Computação – Ramo Estatística
Computacional
MEDIDASDE
TENDÊNCIACENTRAL

2. ESTATÍSTICA I
Estatística Descritiva Univariada
MEDIDAS-RESUMO
– ESTATÍSTICA UNIVARIADA
Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
As informações contidas em um conjunto de dados podem ser
resumidas por meio de medidas numéricas adequadas, chamadas
medidas-resumo.
As medidas-resumo mais utilizadas em estatística descritiva
univariada têm como objetivo principal a representação do
comportamento da variável em estudo por meio de seus valores
centrais e não centrais, suas dispersões ou formas de distribuição dos
seus valores em torno da média.
Essas medidas são calculadas para variáveis métricas, ou
quantitativas.

3. ESTATÍSTICA I
Estatística Descritiva Univariada
MEDIDAS-RESUMO
– ESTATÍSTICA UNIVARIADA
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A única excepção é em relação à moda, que é uma medida de
tendência central que fornece o valor mais frequente de determinada
variável, podendo assim também ser calculada para variáveis não
métricas ou qualitativas.
➢Medidas de posição ou localização
Essas medidas fornecem valores que caracterizam o comportamento
de uma série de dados, indicando a posição ou localização dos dados
em relação ao eixo dos valores assumidos pela variável ou
característica em estudo.

4. ESTATÍSTICA I
Estatística Descritiva Univariada
Medidas de posição ou
localização
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As medidas de posição ou localização são subdivididas em medidas
de tendência central (média, mediana e moda) e medidas separatrizes
(quartis, decis e percentis).
✓Medidas de tendência central
As medidas de tendência central mais utilizadas referem-se à média
aritmética, à mediana e à moda.
♠Média aritmética
A média aritmética pode ser a medida representativa de uma
população com � elementos, representada pela letra grega ??????, ou de
uma amostra com � elementos, representada por ҧ�.

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Estatística Descritiva Univariada
Medidas de tendência
central
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✓Média aritmética - Simples para dados discretos e contínuos não
agrupados
A média aritmética simples, ou simplesmente média, é a soma do
total de valores de determinada variável (discreta ou contínua)
dividida pelo número total de observações.
ҧ�=
1
�
∙෍
??????=1
�
�
??????
em que � é o número total de observações no conjunto de dados e �
??????,
para ??????=1,2,…,�, representa cada um dos valores da variável �.

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Medidas de tendência
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✓Média aritmética - Ponderada para dados discretos e contínuos
não agrupados
No cálculo da média aritmética simples, todas as ocorrências têm a
mesma importância ou peso.
Quando se deseja atribuir diferentes pesos (??????
??????) para cada valor ?????? da
variável �, utiliza-se a média aritmética ponderada:

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Medidas de tendência
central
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✓Média aritmética - Ponderada para dados discretos e contínuos
não agrupados
ҧ�=
σ
??????=1
�
�
??????∙??????
??????
σ
??????=1
�
??????
??????
Se os pesos estiverem expressos em termos percentuais (peso relativo
- ??????
�), a expressão resume-se a:
ҧ�=෍
??????=1
�
�
??????∙??????
�
??????

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central
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Medidas de tendência
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Medidas de tendência
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✓Média aritmética – para dados Discretos agrupados
Quando os valores discretos de �
?????? se repetem, os dados são agrupados
em uma tabela de frequência.
Para o cálculo da média aritmética, utilizaremos o mesmo critério da
média ponderada, porém, os pesos para cada �
?????? passam a ser
representados por frequências absolutas (??????
??????) e, ao invés de �
observações com � diferentes valores, teremos � observações com �
diferentes valores (dados agrupados):
ҧ�=
σ
??????=1
�
�
??????∙??????
??????
σ
??????=1
�
??????
??????
=
1
�
∙෍
??????=1
�
�
??????∙??????
??????

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Medidas de tendência
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Se a frequência dos dados estiver expressa em termos de percentagem
relativa à frequência absoluta (frequência relativa - ??????
�??????
), a expressão
resume-se a:
ҧ�=෍
??????=1
�
�
??????∙??????
�
??????
✓Média aritmética – para dados Contínuos agrupados
1. �
??????→ Representa o ponto médio ou central da classe ?????? (
)
??????=
1,2,…,�
2. �→ Representa o número de classes.

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Medidas de tendência
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Medidas de tendência
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♠Mediana
A mediana (�
�) é uma medida de localização do centro da
distribuição de um conjunto de dados ordenados de forma crescente.
Seu valor separa a série em duas partes iguais, de modo que 50% dos
elementos são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são
maiores ou iguais à mediana.
�
�=
��
2
+��
2
+1
2
, se � for par
��+1
2
, se � for impar

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Medidas de tendência
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em que � é o número total de observações e �
�, �
2, …, �
�, tal que �
??????
é a menor observação ou o valor do primeiro elemento e �
� é a maior
observação ou o valor do último elemento.

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✓Mediana – para dados Discretos agrupados
Analogamente, se � for ímpar, a posição do elemento central será
�+1
2
.
Podemos verificar na coluna de frequência acumulada o grupo que
contém essa posição e, consequentemente, seu valor correspondente
na primeira coluna (mediana).
Se � for par, verifica(m)-se o(s) grupo(s) que contém as posições
centrais
�
2
e
�
2
+1 na coluna de frequência acumulada.
Se ambas as posições corresponderem ao mesmo grupo, obtém-se
diretamente seu valor correspondente na primeira coluna (mediana).

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Medidas de tendência
central
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Se cada posição corresponder a um grupo distinto, a mediana será a
média entre os valores correspondentes definidos na primeira coluna.

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✓Mediana – para dados Contínuos agrupados
Passo 1: Calcular a posição da mediana, independente se n é par ou
impar, por meio da seguinte expressão:
Pos�
�=
�
2
Passo 2: Identificar a classe que contém a mediana (classe mediana) a
partir da coluna de frequência acumulada.
Passo 3: Calcular a mediana pela seguinte expressão:
�
�=�
??????�??????
????????????
+
�
2
−??????
??????��
??????−1
??????
��
∙??????
��

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em que:
�
??????�??????
????????????
→ limite inferior da classe mediana;
??????
�� → frequência absoluta da classe mediana;
??????
??????��
??????−1→frequência acumulada da classe anterior à classe
mediana;
??????
�� → amplitude da classe mediana;
�→ número total de observações.

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♠Moda
A moda (�
�) de uma série de dados corresponde à observação que
ocorre com maior frequência. A moda é a única medida de posição
que também pode ser utilizada para variáveis qualitativas.

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✓Moda – para dados Discretos agrupados
Para dados qualitativos ou quantitativos discretos agrupados em uma
tabela de distribuição de frequências, o cálculo da moda pode ser
obtido directamente da tabela; é o elemento com maior frequência
absoluta.

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✓Moda – para dados Contínuos agrupados
Para dados contínuos agrupados em classes, existem diversos
procedimentos para o cálculo da moda, como o método de Czuber e o
método de King.
O método de Czuber consiste nas seguintes etapas:
Passo 1: Identificar a classe que contém a moda (classe modal), que é
aquela com maior frequência absoluta.
Passo 2: Calcular a moda (�
�):

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�
�=�
??????�??????????????????
+
??????
�??????
−??????
�??????−1
2∙??????
�??????
−??????
�??????−1+??????
�??????+1
∙??????
�??????
em que:
�
??????�??????????????????
→ limite inferior da classe Modal;
??????
�??????
→ frequência absoluta da classe Modal;
??????
�??????−1→ frequência absoluta da classe anterior à classe Moda;
??????
�??????+1→ frequência absoluta da classe posterior à classe Modal;
??????
�� → amplitude da classe Modal;

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Medidas de tendência
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O método de King consiste nas seguintes etapas:
Passo 1: Identificar a classe modal (com maior frequência absoluta).
Passo 2: Calcular a moda (�
�) pela seguinte expressão:
�
�=�
??????�??????????????????
+
??????
�??????+1
??????
�??????−1+??????
�??????+1
∙??????
�??????

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