Medidas de tendencia central

1. Medidas de Tendencia centralMedidas de Tendencia central
Se les llama medidas de tendencia central porque general Se les llama medidas de tendencia central porque general
mente la acumulación más alta de datos se encuentra en los mente la acumulación más alta de datos se encuentra en los
valores intermedios.valores intermedios.
Las medidas de tendencia central comúnmente empleadas Las medidas de tendencia central comúnmente empleadas
son :son :

Media aritmética Media aritmética

Mediana Mediana

Moda Moda

Media geométrica Media geométrica

Media armónica Media armónica

Los cuantilos Los cuantilos

2. ModaModa

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en la La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en la
serie de datos. Así por ejemplo, de la serie {14, 15, 17, 17, 21, serie de datos. Así por ejemplo, de la serie {14, 15, 17, 17, 21,
21, 21, 33, 36, 40}, la moda es 21.21, 21, 33, 36, 40}, la moda es 21.

La moda es una medida muy natural para describir un La moda es una medida muy natural para describir un
conjunto de datos; su concepto se adquiere fácilmente : es la conjunto de datos; su concepto se adquiere fácilmente : es la
altura más corriente, es la velocidad más común, etc. Además altura más corriente, es la velocidad más común, etc. Además
tiene la ventaja de que no se ve afectada por la presencia de tiene la ventaja de que no se ve afectada por la presencia de
valores altos o bajos.valores altos o bajos.

La principal limitación esta en el hecho de que requiere un La principal limitación esta en el hecho de que requiere un
número suficiente de observaciones para que se manifieste o número suficiente de observaciones para que se manifieste o
se defina claramente.se defina claramente.

Otros inconvenientes son que puede darse el caso de que una Otros inconvenientes son que puede darse el caso de que una
determinada serie no tenga moda o que tenga varias modas.determinada serie no tenga moda o que tenga varias modas.

3. MedianaMediana

La mediana toma en cuenta la posición de los datos y La mediana toma en cuenta la posición de los datos y
se define como el valor central de una serie de datos se define como el valor central de una serie de datos
o, más específicamente, como un valor tal que no más o, más específicamente, como un valor tal que no más
de la mitad de las observaciones son menores que el y de la mitad de las observaciones son menores que el y
no más de la mitad mayores.no más de la mitad mayores.

El primer paso es ordenar los datos de acuerdo a su El primer paso es ordenar los datos de acuerdo a su
magnitud, luego se determina el valor central de la magnitud, luego se determina el valor central de la
serie y esa es la mediana. Si el número de datos es serie y esa es la mediana. Si el número de datos es
par, existirán dos valores centrales y entonces la par, existirán dos valores centrales y entonces la
mediana se obtiene sacando el promedio de ellos. mediana se obtiene sacando el promedio de ellos.

4. Los CuantilosLos Cuantilos

En algunas ocasiones es importante obtener En algunas ocasiones es importante obtener
valores que dividan el conjunto de datos en valores que dividan el conjunto de datos en
fracciones especificas. Así como la fracciones especificas. Así como la
mediana divide el conjunto de datos en dos mediana divide el conjunto de datos en dos
partes iguales, es decir, la mitad de los partes iguales, es decir, la mitad de los
valores son inferiores a la mediana y la otra valores son inferiores a la mediana y la otra
mitad son superiores. Si cada una de estas mitad son superiores. Si cada una de estas
mitades se volviera a dividir por la mitad, mitades se volviera a dividir por la mitad,
el conjunto quedaría dividido en cuatro el conjunto quedaría dividido en cuatro
partes y cada parte se llamara cuartilo.partes y cada parte se llamara cuartilo.

Pero el conjunto puede dividirse también Pero el conjunto puede dividirse también
por 10 (deciles) o por 100 (percentiles) y por 10 (deciles) o por 100 (percentiles) y
todos se llaman cuantilos.todos se llaman cuantilos.

Tanto la mediana, como los cuartilos y los Tanto la mediana, como los cuartilos y los
deciles pueden expresarse como deciles pueden expresarse como
percentiles.percentiles.

5. 
Así que conociendo los percentiles se puede Así que conociendo los percentiles se puede
averiguar cualquier cuantilo.averiguar cualquier cuantilo.

Para el calculo de los percentiles, el conjunto de datos Para el calculo de los percentiles, el conjunto de datos
debe estar ordenado, luego se aplica la siguiente debe estar ordenado, luego se aplica la siguiente
formula :formula :

Pm = Pm = m m (n+1) termino (n+1) termino
100 100

Donde : Pm = Percentil m. Valor tal que un m/100 de Donde : Pm = Percentil m. Valor tal que un m/100 de
las observaciones son menores que el y un 1 - m/100 las observaciones son menores que el y un 1 - m/100
son mayores.son mayores.

m = Número que indica el percentil que se quiere. Por m = Número que indica el percentil que se quiere. Por
ejemplo, si m = 43, esto quiere decir que se quiere el ejemplo, si m = 43, esto quiere decir que se quiere el
percentil 43 (P43).percentil 43 (P43).

n = Número total de observaciones.n = Número total de observaciones.

6. Media AritméticaMedia Aritmética

La media aritmética es el promedio más comúnmente usado, La media aritmética es el promedio más comúnmente usado,
este puede ser simple o ponderado.este puede ser simple o ponderado.

La media aritmética simple esta dada por la formula SX/n y La media aritmética simple esta dada por la formula SX/n y
que significa: la suma de todos los valores dividida por el que significa: la suma de todos los valores dividida por el
número de datos.número de datos.

Media Aritmética PonderadaMedia Aritmética Ponderada

Si los valores que toma x en una serie de datos, no todos Si los valores que toma x en una serie de datos, no todos
tienen la misma importancia, es valido asignar "pesos" o tienen la misma importancia, es valido asignar "pesos" o
"ponderaciones" de acuerdo a la importancia de cada dato."ponderaciones" de acuerdo a la importancia de cada dato.

En la serie del ejemplo anterior aparecen los números; pero En la serie del ejemplo anterior aparecen los números; pero
cada uno con diferente frecuencia. Si cada uno de estos datos cada uno con diferente frecuencia. Si cada uno de estos datos
se multiplica por su respectiva frecuencia o ponderación y se se multiplica por su respectiva frecuencia o ponderación y se
suman estos productos, se obtendrá la misma suma que si se suman estos productos, se obtendrá la misma suma que si se
hubieran sumado uno por uno.hubieran sumado uno por uno.

7. 
Media GeométricaMedia Geométrica

La media geométrica es la La media geométrica es la
raíz enésima del producto de raíz enésima del producto de
todos los valores de la serie.todos los valores de la serie.

Media ArmónicaMedia Armónica

La media armónica se define La media armónica se define
como el recíproco de la como el recíproco de la
media aritmética de los media aritmética de los
recíprocos de los valores.recíprocos de los valores.

y reacomodando la fórmula y reacomodando la fórmula
se tiene:se tiene:

8. Tablas estadísticasTablas estadísticas

Consideremos una Consideremos una
población estadística de población estadística de nn
individuos, descrita según individuos, descrita según
un carácter o variable un carácter o variable CC
cuyas modalidades han cuyas modalidades han
sido agrupadas en un sido agrupadas en un
número número kk de clases, que de clases, que
denotamos mediante . denotamos mediante .

Para cada una de las clases Para cada una de las clases
cici, ,

, introducimos las , introducimos las
siguientes magnitudes: siguientes magnitudes:

9. 
Frecuencia absolutaFrecuencia absoluta

de la clase de la clase cici es el número es el número nini, de observaciones , de observaciones
que presentan una modalidad perteneciente a esa que presentan una modalidad perteneciente a esa
clase. clase.

Frecuencia relativaFrecuencia relativa

de la clase de la clase cici es el cociente es el cociente fifi, entre las , entre las
frecuencias absolutas de dicha clase y el número frecuencias absolutas de dicha clase y el número
total de observaciones, es decir total de observaciones, es decir


Obsérvese que Obsérvese que fifi es el es el tanto por unotanto por uno de de
observaciones que están en la clase observaciones que están en la clase cici. .
Multiplicado por representa el porcentaje de la Multiplicado por representa el porcentaje de la
población que comprende esa clase. población que comprende esa clase.

Frecuencia absoluta acumuladaFrecuencia absoluta acumulada

NiNi, se calcula sobre variables cuantitativas o , se calcula sobre variables cuantitativas o
cuasicuantitativas, y es el número de elementos cuasicuantitativas, y es el número de elementos
de la población cuya modalidad es inferior o de la población cuya modalidad es inferior o
equivalente a la modalidad equivalente a la modalidad cici: :


10. 
Frecuencia relativa acumuladaFrecuencia relativa acumulada

, , FiFi, se calcula sobre variables , se calcula sobre variables
cuantitativas o cuasicuantitativas, cuantitativas o cuasicuantitativas,
siendo el tanto por uno de los siendo el tanto por uno de los
elementos de la población que están en elementos de la población que están en
alguna de las clases y que presentan alguna de las clases y que presentan
una modalidad inferior o igual a la una modalidad inferior o igual a la cici, ,
es decir, es decir,


Como todas las modalidades son Como todas las modalidades son
exhaustivas e incompatibles ha de exhaustivas e incompatibles ha de
ocurrir que ocurrir que


o lo que es lo mismo, o lo que es lo mismo,


Frecuencia absoluta (Frecuencia absoluta (nini):): Número de Número de
elementos que presentan la clase elementos que presentan la clase xixi. .

11. 
Frecuencia absoluta acumulada:Frecuencia absoluta acumulada: . .


Frecuencia relativa acumulada:Frecuencia relativa acumulada:

12. 
Llamaremos Llamaremos distribución de frecuenciasdistribución de frecuencias al al
conjunto de clases junto a las frecuencias conjunto de clases junto a las frecuencias
correspondientes a cada una de ellas. Una correspondientes a cada una de ellas. Una
tabla estadísticatabla estadística sirve para presentar de forma sirve para presentar de forma
ordenada las distribuciones de frecuencias. Su ordenada las distribuciones de frecuencias. Su
forma general es la siguiente: forma general es la siguiente:

13. Modali. Frec. Abs.Frec. Rel.Frec. Abs. Acumu. Frec. Rel. Acumu.
C n
i
f
i
N
i
F
i
c
1
n
1
N
1
= n
1
... ... ... ... ...
c
j
n
j
... ... ... ... ...
c
k
n
k
N
k
= n F
k
= 1
n 1

14. Medidas de posiciónMedidas de posición
Son Son indicadoresindicadores usados para señalar que porcentaje de datos usados para señalar que porcentaje de datos
dentro de una distribución de frecuencias superan estas dentro de una distribución de frecuencias superan estas
expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se
encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por
lo que también se les llama " Medidas de Tendencia Central lo que también se les llama " Medidas de Tendencia Central
".".
Pero estas medidas de posición de una distribución de Pero estas medidas de posición de una distribución de
frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para
que lean verdaderamente representativas de la variable a la que lean verdaderamente representativas de la variable a la
que resumen. Toda que resumen. Toda síntesissíntesis de una distribución se de una distribución se
considerara como operativa si intervienen en su considerara como operativa si intervienen en su
determinación todos y cada uno de determinación todos y cada uno de los valoreslos valores de la de la
distribución, siendo única para cada distribución de distribución, siendo única para cada distribución de
frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención.
A continuación se describen las medidas de posición más A continuación se describen las medidas de posición más
comunes utilizadas en comunes utilizadas en estadísticaestadística, como lo , como lo
son:deciles,percentiles,cuartiles.son:deciles,percentiles,cuartiles.

15. MEDIDAS DE DISPERSIÓN:MEDIDAS DE DISPERSIÓN:

Rango: Rango:

Es la primera medida que vamos a estudiar, se Es la primera medida que vamos a estudiar, se
define como la diferencia existente entre el define como la diferencia existente entre el
valor mayor y el menor de la distribución,. Lo valor mayor y el menor de la distribución,. Lo
notaremos como notaremos como R. R. Realmente no es una Realmente no es una
medida muy significativa e la mayoría de los medida muy significativa e la mayoría de los
casos, pero indudablemente es muy fácil de casos, pero indudablemente es muy fácil de
calcular.calcular.

16. 
Desviación: Es la diferencia que se observa Desviación: Es la diferencia que se observa
entre el valor de la variable y la media entre el valor de la variable y la media
aritmética. La denotaremos por di . aritmética. La denotaremos por di .
Desviaciòn media.Desviaciòn media.

Es la media de los valores absolutos de las Es la media de los valores absolutos de las
desviaciones, y la denotaremos por dm.desviaciones, y la denotaremos por dm.

17. Varianza:Varianza:

Es la media de los cuadrados de las Es la media de los cuadrados de las
desviaciones, y la denotaremos por o desviaciones, y la denotaremos por o
también por también por

Aunque también es posible calcularlo como:Aunque también es posible calcularlo como:

r

18. Desviación típica:Desviación típica:

Es la raíz cuadrada de la varianza, se denota Es la raíz cuadrada de la varianza, se denota
por por Sx Sx ..

19. Cuasivarianza:Cuasivarianza:

Es una medida de dispersión, cuya única Es una medida de dispersión, cuya única
diferencia con la varianza es que dividimos diferencia con la varianza es que dividimos
por N-1, la representaremos por por N-1, la representaremos por

20. Cuasidesviación típica:Cuasidesviación típica:

La raíz cuadrada de la cuasivarianza y la La raíz cuadrada de la cuasivarianza y la
denotaremos por denotaremos por

21. Coeficiente de Variación:Coeficiente de Variación:

Es un estadístico de dispersión que tiene la Es un estadístico de dispersión que tiene la
ventaja de que no lleva asociada ninguna ventaja de que no lleva asociada ninguna
unidad, por lo que nos permitirá decir entre unidad, por lo que nos permitirá decir entre
dos muestras, cual es la que presenta mayor dos muestras, cual es la que presenta mayor
dispersión. La denotaremos por dispersión. La denotaremos por C.V.C.V.

22. Datos agrupadosDatos agrupados

Son datos que están organizados (formando Son datos que están organizados (formando
grupos). Podemos formar más o menos grupos,grupos). Podemos formar más o menos grupos,
dependiendo de que tan exacto queramos dependiendo de que tan exacto queramos
trabajar, a cada grupo le llamamos clase. Rara trabajar, a cada grupo le llamamos clase. Rara
vez se emplean menos de seis clases o màs de vez se emplean menos de seis clases o màs de
quince.quince.

23. VentajasVentajas

Facilidad y rapidez al manejo de datos.Facilidad y rapidez al manejo de datos.

Se notan rápidamente el valor mayor y el valor Se notan rápidamente el valor mayor y el valor
menor de los datosmenor de los datos

Se puede dividir fácilmente los datos en Se puede dividir fácilmente los datos en
secciones.secciones.

Se puede observar si algún valor aparece mas Se puede observar si algún valor aparece mas
de una vez en el ordenamiento.de una vez en el ordenamiento.

Se observa la distancia entre los valores Se observa la distancia entre los valores
sucesivos de los datos.sucesivos de los datos.

24. Datos no agrupadosDatos no agrupados

Son datos no agrupados cuando se consideran y Son datos no agrupados cuando se consideran y
analizan todos los valores observados tal como seanalizan todos los valores observados tal como se
obtuvieron. Es conveniente y mas sencillo trabajar a obtuvieron. Es conveniente y mas sencillo trabajar a
estos datos como no agrupados cuando la muestra no estos datos como no agrupados cuando la muestra no
es muy grande. De preferencia que sea una cantidad es muy grande. De preferencia que sea una cantidad
menor de 30 datos.menor de 30 datos.
También resulta conveniente trabajarlos así cuando se También resulta conveniente trabajarlos así cuando se
quiere que el peso de cada observación sequiere que el peso de cada observación se
vea reflejado en el resumen de los datos.vea reflejado en el resumen de los datos.

25. ventajasventajas

Resulta más fácil y rápido trabajar con los datos no Resulta más fácil y rápido trabajar con los datos no
agrupados.agrupados.
DESVENTAJASDESVENTAJAS

Solo se puede aplicar en pequeñas cantidades de Solo se puede aplicar en pequeñas cantidades de
datos, ya que en grandes cantidades resultaría undatos, ya que en grandes cantidades resultaría un
tanto tedioso y por lo mismo existiría más probabilidad tanto tedioso y por lo mismo existiría más probabilidad
de equivocarse.de equivocarse.