Metodo de gauss jordan

EJERCICIOS QUE EXPLICAN EL METODO DE REDUCCION DE GAUSS Y GAUSS - JORDAN

1. METODO DE GAUSS Y GAUSS JORDAN INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” SEDE BARCELONA – PUERTO LA CRUZ ELECTRICIDAD Realizado por: T.S.U. Alejandro Machado C.I: 15.740.847

2. MÉTODO GAUSS : El método de Gauss es un método que se basa en transformar un sistema de ecuaciones en otro correspondiente de una manera en que este sea escalonado; este método es utilizado para resolver problemas matemáticos fundamentados en problemas de ecuaciones lineales. Dado que este procedimiento de Gauss puede emplearse en todo tipo de sistemas de ecuaciones lineales que ocasionen una matriz, que sea cuadrada con el objeto de que haya una solución única, y el sistema debe poseer tantas ecuaciones como incógnitas, se habla de una matriz de coeficientes con los componentes de su diagonal no-nulos; cabe destacar que la convergencia del método solo se avala si dicha matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y a la misma vez es positiva. En álgebra lineal, el método de Gauss es un algoritmo para sistemas de ecuaciones lineales . Generalmente se entiende como una secuencia de operaciones realizadas en la matriz asociada de coeficientes. Este método también, como se mencionó anteriormente, se puede utilizar para encontrar el rango de una matriz, para calcular el determinante de una matriz, y para calcular la inversa de una matriz cuadrada invertible. Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes Si: Todos los coeficientes son ceros. Dos filas son iguales. Una fila es proporcional a otra. Una fila es combinación lineal de otras. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

3. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones: Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente. Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado. Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente. EJEMPLO: El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. Dada las siguientes ecuaciones

4. 1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas. 2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: E' 2 = E 2 − 3E 1 3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x. E' 3 = E 3 − 5E 1

5. 4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª , trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y . E '' 3 = E' 3 − 2E' 2 5º Obtenemos el sistema equivalente ESCALONADO. 6º Encontrar las soluciones. z = 1 − y + 4 · 1 = −2   y = 6 x + 6 −1 = 1     x = −4

6. MÉTODO GAUSS – JORDAN: Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm Jordan . Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta lleva el nombre que se conoce como forma escalonada. Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo que lo diferencia del método Gaussiano es que cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación principal así como de las que la siguen a continuación. De esta manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitución hacia atrás para conseguir la solución. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método Gauss Jordan , debemos en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notación matricial, por ejemplo:   a 1 b 1 c 1 d 1 a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 2 b 2 c 2 d 2 También se le llama matriz aumentada. a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 a 3 b 3 c 3 d 3

7. Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial, de la forma: Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones. Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se aplicarán en todos los elementos de la fila . En dicha matriz identidad no vemos los términos independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los términos serán la solución del sistema y verificarán la igualdad para cada variable que se corresponderán de la forma siguiente: d1= x d2= y d3 = z Ahora teniendo clara esta base, analicemos detalladamente este método con un ejemplo concreto. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

8. Aplicaremos luego el primer paso, o sea que lo anotaremos en forma matricial: Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas columnas y filas de la matriz para así convertirla en la matriz identidad, sin olvidar la forma del sistema: Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la matriz original en el 1 de la primera fila de matriz identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la fila 1 por el inverso de 2, o sea ½. Veamos como nos queda:

9. A continuación debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad. Para lograrlo buscaremos el opuesto de los números que se encuentren por debajo del 1 de la primera columna. El opuesto de 3 será -3 y el de 5 -5. Hecho esto multiplicaremos los opuestos de estos números por cada uno de los elementos de la fila primera y estos se adicionarán a los números de sus respectivas columnas Por ejemplo en el caso de la segunda fila, se multiplicará a -3 que es el opuesto de 3, por cada uno de los elementos de la primera fila y se añadirá el resultado con el número correspondiente de la columna de la segunda fila. Veamos el ejemplo: A medida que realicemos este procedimiento operando con las distintas filas y columnas de la matriz, observaremos como esta se transforma en el modelo de la matriz identidad. Finalizado el proceso, encontraremos finalmente en la cuarta columna los valores de las variables. Veamos entonces como nos quedaría: x= 1 y= -1 z= 2

10. Resuelto el sistema de ecuaciones, podemos verificar como último paso: EJEMPLO DE UN EJERCICIO POR LOS DOS MÉTODOS: Vamos a resolver un sistema sencillo: 2x + 3y = 5 4x - 5y = 12 donde la matriz extendida es: │ 2 3 5 │ │ 4 -5 12 │ resolvemos primero por gauss: │ 2 3 : 5 │ L1 → L1/2 1 3/2 5/2 1 3/2 : 5/2 │4 -5 : 12 │ L2 → L2-4L1 0 -11 : 2 L2 → L2/-11 0 1 :-2/11 ← Hasta aquí gauss, ahora

11. obtenemos los valores de "x" y "y“. Como lo indica la matriz, la línea 2 (L2) es: 0x + 1y = -2/11 , por lo que y = -2/11 Ahora con "x" , como lo indica la línea 1 (L1) es: 1x + 3/2y = 5/2 y sustituimos "y" en esta ecuación para obtener "x": 1x + 3/2y = 5/2 ; x + 3/2 (-2/11) = 5/2 x - 6/22 = 5/2 HASTA AQUÍ ESTA RESUELTO NUESTRO x - 3/11 = 5/2 ; SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE GAUSS. x = 5/2 + 3/11 x = 61/22 Para hacerlo por GAUSS-JORDAN , tenemos que continuar el gauss desde este punto: 1 3/2 : 5/2 Y ahora debemos de poner en "0" los valores que están a la derecha de 0 1 :-2/11 la diagonal de "1", en este caso el 3/2 lo debemos convertir en 0

12. 1 3/2 : 5/2 L1→L1-L2*3/2 ; (1 3/2 5/2) - 3/2 (0 1 -2/11) = │1 3/2 5/2│ - │0 3/2 -3/11│ = │1 0 61/22│ 0 1 :-2/11 1 0 : 61/22 0 1 : -2/11 Ya terminamos GAUSS-JORDAN, ahora solo obtenemos los valores para "x" y "y" como los indica la matriz y aquí es donde se diferencian ambos métodos, GAUSS-JORDAN te da los valores de las incógnitas directamente, sin tener que resolver ecuaciones: Como lo indica la línea 2 (L2) 0x + 1y = -2/11 por lo que y = -2/11 Y como lo indica la línea 1 (L1) 1x + 0y = 61/22 por lo que x = 61/22

13. webgrafia • http : // descartes .cnice.mec.es/materiales_didacticos/determinantes_api/propiedades_de_los_dterminantes.htm •http:// www.virtual.unal.edu.co/cursos/ ciencias /2001004/lecciones_html/cap4/cap4s2.html • http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm