Metodos de Integración Analisis Matematico

si

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE
ANALISIS MATEMATICO I
M

ETODOS DE INTEGRACI

ON
Primer cuatrimestre del 2020
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

2. Tecnicas de integracion: Metodo de sustitucion
Es importante tener capacidad para hallar antiderivadas. Pero nuestras
formulas de antiderivacion no indican como evaluar integrales como
Z
2x
p
1 +x
2
dx
En general, este metodo funciona siempre que tenemos una integral que
puede escribir en la forma
Z
f(g(x))g
0
(x)dx
REGLA DE SUSTITUCI ON: Siu=g(x) es una funcion derivable cuyo
alcance es un intervaloI, yfes continua sobreI, entonces
Z
f(g(x))g
0
(x)dx=
Z
f(u)du
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

3. Metodo de sustitucion
Ejemplo
1. Calcular
Z
x
3
cos(x
4
+ 2)dx. Observando la integral deducimos que la
composicion de funciones esta dada porcos(x
4
+ 2)donde
u=g(x) =x
4
+ 2.
El diferencialduesta dado porg
0
(x)dx, es decir,du= 4x
3
dx. De donde
despejamosx
3
dx,
du
4
=x
3
dx
Ahora reemplazamos en la integral original
Z
x
3
cos(x
4
+ 2)dx=
Z
cos(x
4
+ 2)x
3
dx=
Z
cos(u)
du
4
Z
x
3
cos(x
4
+2)dx=
1
4
Z
cos(u)du=
1
4
[sen(u) +C] =
1
4
sen(x
4
+2)+C
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

4. Ejemplo
2. Calcular
Z
x
p
14x
2
dx
La composicion de funciones esta dada por
p
14x
2
donde
u=g(x) = 14x
2
.
El diferencialduesta dado porg
0
(x)dx, es decir,du=8xdx. De donde
despejamosxdx,
du
8
=xdx
Ahora reemplazamos en la integral original
Z
x
p
14x
2
dx=
Z
xdx
p
14x
2
=
Zdu
8
p
u
=
1
8
Z
du
p
u
=
1
8
Z
u

1
2du
Z
x
p
14x
2
dx=
1
8
u

1
2
+1

1
2
+ 1
+C=
1
8
u
1
2
1
2
+C=
1
8
:2:u
1
2+C
Z
x
p
14x
2
dx=
1
4
(14x
2
)
1
2+C
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

5. Ejemplo
3. Calcular
Z
e
5x
dx
e
5x
es la composicion de funciones dondeu=g(x) = 5x.
El diferencialduesta dado pordu= 5dxy
du
5
=dx
Ahora reemplazamos en la integral original
Z
e
5x
dx=
Z
e
u
du
5
=
1
5
Z
e
u
du=
1
5
e
u
+C
Z
e
5x
dx=
1
5
e
5x
+C
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

6. Ejemplo
4. Calcular
Z
x
5
p
1 +x
2
dx
La composicion de funciones esta dada por
p
1 +x
2
. Luegou= 1 +x
2
,
du= 2xdxy
du
2
=xdx.
Pero nos queda reemplazarx
5
, por ello expresaremosx
5
=x
4
:x. Luego de
u= 1 +x
2
despejamosx
2
=u1yx
4
= (u1)
2
. Estamos en
condiciones de hacer las sustituciones correspondientes en la integral.
Z
x
5
p
1 +x
2
dx=
Z
p
1 +x
2
x
5
dx=
Z
p
1 +x
2
x
4
:xdx=
Z
p
u(u1)
2
du
Z
x
5
p
1 +x
2
dx=
Z
u
1
2(u
2
2u+ 1)du=
Z

u
5
22u
3
2+u
1
2

du
Z
x
5
p
1 +x
2
dx=
2
7
u
7
22
2
5
u
5
2+
2
3
u
3
2+C
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

7. Ejemplo
Z
x
5
p
1 +x
2
dx=
2
7
(1 +x
2
)
7
2
4
5
(1 +x
2
)
5
2+
2
3
(1 +x
2
)
3
2+C
5. Calcular
Z
tg(x)dx
Recordemos quetg(x) =
sen(x)
cos(x)
por lo cual
Z
tg(x)dx=
Z
sen(x)
cos(x)
dx=
Z
sen(x)dx
cos(x)
Si consideramosu=cos(x)tenemos quedu=sen(x)dxy
du=sen(x)dx. Luego
Z
tg(x)dx=
Z
du
u
=
Z
1
u
du=lnjuj+C=ln(cos(x)) +C
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

8. Metodo de integracion por partes
Vamos a ver una formula importante que puede usarse para integrar el
producto de dos funciones.
FORMULA DE INTEGRACI ON POR PARTES
Z
f(x)g
0
(x)dx=f(x)g(x)
Z
g(x)f
0
(x)dx
Siu=f(x) yv=g(x) entoncesdu=f
0
(x)dxydv=g
0
(x)dx. Con estas
sustituciones la formula de integracion por partes nos queda:
Z
udv=uv
Z
vdu
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

9. Metodo de integracion por partes
Ejemplo
1. Calcular
Z
xsen(x)dx
Debemos escribirxsen(x)dxcomoudvpara poder utilizar la formula de
integracion por partes. Elegimosude tal manera que se pueda derivar y
dvintegrar. En este ejemplo es lo mismo como elegimos pues a las dos
funciones sabemos derivar e integrar. Entonces tomaremosu=xpues la
derivada dexes una constante. Siu=xydv=sen(x)dxtenemos
Z
xsen(x)dx=
Z
udv=uv
Z
vdu
u=x;du=dx
dv=sen(x)dx;
Z
dv=
Z
sen(x)dx;v=cos(x)
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

10. Metodo de integracion por partes
Ejemplo
Z
xsen(x)dx=
Z
udv=uv
Z
vdu=x(cos(x))
Z
cos(x)dx
=xcos(x) +
Z
cos(x)dx=xcos(x) +sen(x) +C
Por lo tantoZ
xsen(x)dx=xcos(x) +sen(x) +C
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

11. Metodo de integracion por partes
Ejemplo
2. Calcular
Z
ln(x)dx
En este caso consideramosu=ln(x)ydv=dxpues no sabemos integrar
ln(x).
Z
ln(x)dx=
Z
udv=uv
Z
vdu
Siu=ln(x)tenemos quedu+
1
x
dx. Ademasv=
R
dx=x
Z
ln(x)dx=uv
Z
vdu=ln(x):x
Z
x:
1
x
dx=xln(x)
Z
1dx
Z
ln(x)dx=xln(x)x+C
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

12. Metodo de integracion por partes
Ejemplo
3. Calcular
Z
t
2
e
t
dt
Elegimosu=t
2
ydv=e
t
dtde tal manera quedu= 2tdty
v=
R
e
t
dt=e
t
.
Z
t
2
e
t
dt=uv
Z
vdu=t
2
e
t

Z
e
t
:2tdt=t
2
e
t

Z
2te
t
dt(1)
La integral
R
2te
t
dtno es de calculo directo y su integrando es el producto
de dos funciones. Por ello le aplicaremos nuevamente el metodo por partes.
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

13. Metodo de integracion por partes
Ejemplo
Para
R
2te
t
dtconsideramosu

= 2tydv

=e
t
dt. As tenemos que
R
e
t
:2tdt=u

:v


R
v

du

,du

= 2dtyv

=e
t
Z
e
t
:2tdt=u

:v


Z
v

du

= 2te
t

Z
e
t
:2dt= 2te
t
2e
t
+C
Si llevamos este resultado a (1) resulta:
Z
t
2
e
t
dt=t
2
e
t

Z
2te
t
dt=t
2
e
t
(2te
t
2e
t
+C)
Z
t
2
e
t
dt=t
2
e
t
2te
t
+ 2e
t
C= (t
2
2t+ 2)e
t
C
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

14. Integracion de funciones racionales por fracciones parciales
Observemos que
2
x+ 1
+
3
x3
=
5x3
x
2
2x+ 3
Veamos como integrar cualquier funcion racional (una division de
polinomios) expresandola como una suma de fracciones mas simples,
llamadas fracciones parciales, que ya sabemos como integrar.
Para ver como funciona en general el metodo de fracciones parciales,
consideremos una funcion racionalf(x) =
P(x)
Q(x)
; dondePyQson
polinomios.
Es posible expresar afcomo una suma de fracciones mas simples, siempre
que el grado dePsea menor que el grado deQ.
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

15. Integracion de funciones racionales por fracciones parciales
Sigr(P)gr(Q), entonces se debe realizar el paso preliminar de dividirQ
entrePhasta obtener un restoR(x) tal quegr(R)<gr(Q). De esta
manera,
f(x) =
P(x)
Q(x)
=S(x) +
R(x)
Q(x)
;
dondeSyRson tambien polinomios.
Ejemplo
Z
x
3
+x
x1
dx=
Z
x
2
+x+ 2 +
2
x1

dx
Z
x
3
+x
x1
dx=
x
3
3
+
x
2
2
+ 2x+ 2lnjx1j+C
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

16. Integracion de funciones racionales por fracciones parciales
Hay que factorizarQ(x) tanto como sea posible. Es posible demostrar que
cualquier polinomioQse puede factorizar como un producto de
factores lineales (de la formaax+b) y
factores cuadraticos irreducibles (de la formaax
2
+bx+c, donde
b
2
4ac<0).
El tercer paso es expresar la funcion racionalR(x)=Q(x) como una suma
de fracciones parciales de la forma
A
(ax+b)
i
o
Ax+B
(ax
2
+bx+c)
j
Pueden ocurrir 4 casos:
1
Q(x) es un producto de factores lineales distintos
2
Q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se
repiten.
3
Q(x) contiene factores cuadraticos irreducibles, ninguno de los cuales
se repite.
4
Q(x) contiene un factor cuadratico irreducible repetido
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

17. Caso I:Q(x) es un producto de factores lineales distintos
Q(x) = (a1x+b1)(a2x+b2): : :(akx+bk)
donde ningun factor se repite.
En este caso, el metodo de fracciones parciales establece que existen
constantesA1;A2; : : : ;Aktales que
R(x)
Q(x)
=
A1
a1x+b1
+
A2
a2x+b2
+ +
Ak
akx+bk
Estas constantes se pueden determinar.
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

18. Caso I:Q(x) es un producto de factores lineales distintos
Ejemplo
Z
x
2
+ 2x1
2x
3
+ 3x
2
2x
dx
En este ejemploQ(x) = 2x
3
+ 3x
2
2xy si lo factorizamos obtenemos:
Q(x) = 2x
3
+ 3x
2
2x=x(2x
2
+ 3x2) = 2x(x1)(x+ 4)
Por lo cual
x
2
+ 2x1
2x
3
+ 3x
2
2x
=
x
2
+ 2x1
2x((x1)(x+ 4)
x
2
+ 2x1
2x
3
+ 3x
2
2x
=
A1
2x
+
A2
x1
+
A3
x+ 4
x
2
+ 2x1
2x
3
+ 3x
2
2x
=
A1:(x1)(x+ 4) +A22x(x+ 4) +A32x(x1)
2x(x1)(x+ 4)
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

19. Caso I:Q(x) es un producto de factores lineales distintos
Ejemplo
x
2
+ 2x1
2x
3
+ 3x
2
2x
=
A1:(x1)(x+ 4) +A22x(x+ 4) +A32x(x1)
2x(x1)(x+ 4)
Simplicamos los denominadores y obtenemos:
x
2
+ 2x1 =A1:(x1)(x+ 4) +A22x(x+ 4) +A32x(x1);8x;(2)
Daremos valores convenientes axpara obtener las constantesA1,A2yA3.
Six= 0tenemos
0
2
+ 2:01 =A1:(01)(0 + 4) +A22:0(0 + 4) +A32:0:(01)
1 =A1:(1)(4)
1 =4A1)
1
4
=A1
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

20. Caso I:Q(x) es un producto de factores lineales distintos
Ejemplo
Ahora consideremosx= 1y reeemplacemos en
x
2
+ 2x1 =A1:(x1)(x+ 4) +A22x(x+ 4) +A32x(x1);8x
1
2
+ 2:11 =A1:(11)(1 + 4) +A22:1(1 + 4) +A32:1:(11)
2 =A22:1(1 + 4)
2 = 10A2)
1
5
=A2
Para hallarA3reemplazamosxpor4en (2)
(4)
2
+ 2:(4)1 =A1:(5)(0) +A22:(4)(0) +A32:(4):(41)
7 =A3:40
7
40
=A3
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

21. Caso I:Q(x) es un producto de factores lineales distintos
Ejemplo
Recordemos que
x
2
+ 2x1
2x
3
+ 3x
2
2x
=
A1
2x
+
A2
x1
+
A3
x+ 4
Ahora conocemos los valores de las constantes, que nos permiten escribir
x
2
+ 2x1
2x
3
+ 3x
2
2x
=
1
4
2x
+
1
5
x1
+
7
40
x+ 4
Con esta equivalencia estamos en condiciones de poder calcular la integral
planteada:
Z
x
2
+ 2x1
2x
3
+ 3x
2
2x
dx
Z
x
2
+ 2x1
2x
3
+ 3x
2
2x
dx=
Z
"
1
4
2x
+
1
5
x1
+
7
40
x+ 4
#
dx
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

22. Caso I:Q(x) es un producto de factores lineales distintos
Ejemplo
Z
x
2
+ 2x1
2x
3
+ 3x
2
2x
dx=
Z
1
4
2x
dx+
Z
1
5
x1
dx+
Z
7
40
x+ 4
dx
Z
x
2
+ 2x1
2x
3
+ 3x
2
2x
dx=
1
8
Z
1
x
dx+
1
5
Z
1
x1
dx+
7
40
Z
1
x+ 4
dx
En la segunda y tercer integral realizamos una sustitucion para poder
obtener el resultado de las integrales.
Z
x
2
+ 2x1
2x
3
+ 3x
2
2x
dx=
1
8
lnjxj+
1
5
lnjx1j+
7
40
lnjx+ 4j+C
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

23. CASO II:Q(x) es un producto de factores lineales, algunos
de los cuales se repiten
Si por ejemplo, el primer factor lineal (a1x+b1) se repiterveces; es decir,
(a1x+b1)
r
aparece en la factorizacion deQ(x). Por lo tanto en lugar del
termino simple
A1
a1x+b1
tendramos
A1
a1x+b1
+
A1
(a1x+b1)
2
+ +
A1
(a1x+b1)
r
Ejemplo
Z
4x
x
3
x
2
x+ 1
dx. FactorizamosQ(x) =x
3
x
2
x+ 1
Q(x) =x
3
x
2
x+ 1 = (x+ 1)(x1)
2
Z
4x
(x+ 1)(x1)
2
dx=
Z
A1
x+ 1
+
A2
x1
+
A3
(x1)
2
Para hallar las constantes procedemos como en el ejemplo anterior.
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

24. CASO III:Q(x) contiene factores cuadraticos irreducibles,
ninguno de los cuales se repite.
Por cada factor cuadratico irreducible tendra un termino de la forma
Ax+B
ax
2
+bx+c
dondeAyBson constantes a determinar.
Ejemplo
Z
2x
2
x+ 4
x
3
+ 4x
dx
En este casoQ(x) =x
3
+ 4xqueda factorizado comoQ(x) =x(x
2
+ 4)
dondex
2
+ 4es un factor cuadratico irreducible. As nuestra integral se
puede expresar:
Z
2x
2
x+ 4
x
3
+ 4x
dx=
Z
2x
2
x+ 4
x(x
2
+ 4)
dx=
Z
A1
x
+
A2x+A3
x
2
+ 4

dx
Las constantes se obtienen siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior.
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020

25. CASO IV:Q(x) contiene un factor cuadratico irreducible
repetido
SiQ(x) tiene el factor (ax
2
+bx+c)
r
, dondeb
2
4ac<0, luego en
lugar de una unica fraccion parcial, tendremos la suma
A1x+B1
ax
2
+bx+c
+
A2x+B2
(ax
2
+bx+c)
2
+ +
Arx+Br
(ax
2
+bx+c)
r
Ejemplo
Z
1x+ 2x
2
x
3
x(x
2
+ 1)
2
dx=
Z
A1
x
+
A2x+A3
x
2
+ 1
+
A4x+A5
(x
2
+ 1)
2

dx
G.Liliana Sandoval Integral Indenida June 2, 2020