Modelación de funciones de varias variables

diapositivas de modelación, calculo multivariable, con ejercicios resueltos bibliografía al final y con buena explicación

1. Cálculo en varias variables
Tema: Modelación de funciones reales
de varias variables
•Pasos para modelar
•Ejemplos
Unidad I
Funciones de varias variables

2. Objetivo
•Modelar funciones de varias variables.

3. Modelo Matemático
Es una descripción matemática de un
fenómeno del mundo real por medio de una
función o ecuación.
Tiene por finalidad comprender el fenómeno
para llegar a conclusiones matemáticas.
Sirve para interpretar las conclusiones matemáticas
como información del fenómeno real, de manera
que ofrezcan explicaciones o se hagan predicciones
Si las predicciones no se ajustan a la realidad,
se redefine el modelo o se propone otro.
Problema del
mundo real
Modelo
matemático
Conclusiones
matemáticas
Predicciones
acerca del
mundo real
Formular
ResolverInterpretar
Validar

4. Importancia
•Lamodelaciónmatemáticaeselvínculo
entrelateoríamatemáticayelmundoreal.
•LosModelos matemáticos hansido
construidosentodaslascienciastanto
físicas,comobiológicasysociales.
•Resaltalaimportanciadelamatemática
enlaingeniería.

5. Modelación
Pasos para modelar problemas de aplicación
Pararesolverproblemasdeaplicacióndelas
matemáticasalavidarealpodemosseguirlos
siguientespasos:
1.Traducirelproblemaatérminosmatemáticos.
2.Obtenerlasolucióndelproblemamatemático.
3.Interpretarestarespuestamatemáticaentérminos
delproblemaoriginal.

6. Fórmulas

7. Modelación
Paraproblemasdetipoeconómicocomocosto,ingresoy
utilidad,recordemosque:
•??????=??????−�
??????
•??????=��
•�
??????=�
??????+�
??????
•�
??????=��
Donde
??????: Utilidad
??????: Ingreso
�
??????: Costo total
�
??????: Costo variable
�
??????: Costo fijo
�: Precio de venta
�: Precio de costo
�: Número de unidades producidas y vendidas

8. Ejemplo 1
Sedeseaconstruirunacajarectangularconcapacidad
de80????????????
3
.Paralatapaylasuperficielateralseusaun
materialquecuesta??????/5por????????????
2
yparalabaseseemplea
unmaterial40%máscaro.Obtenga unmodelo
matemáticoqueexpreseelcostototaldedichacajaen
funcióndellargoyanchodelacaja.
Solución:

9. Ejemplo 1
Conocemos el volumen de la caja, por lo tanto:���=80
Despejamos �, entonces: �=
80
��
⋯⋯⋯⋯(1)
Luego la función costo en función de las variables �,�y �, está dada por:
��,�,�=5��+5��+5��+5��+5��+
140
100
5��
��,�,�=
240
100
5��+10��+10��⋯⋯⋯⋯(2)
Remplazando (1) en (2) tenemos que la función costo en función de las
variables �e �es:
��,�=12��+
800
�
+
800
�
,�>0,�>0

10. Ejemplo 2
Seelaborauntanquedealmacenamiento paragas
líquido,enformadeunconodealturaℎ,coronadode
unasemiesferaderadio�.Sielcostodeconstrucciónpor
metrocuadradoesde20solesparalapartedelconoy30
solesparalapartesemiesférica.
a)Determinelafuncióndecostototalenfunciónde�yℎ.
b)Sisesabequeelvolumendeltanqueesde28????????????
3
yel
radiomide2??????.Encuentreelvalordelcostototal.

11. Ejemplo 2
��,ℎ=20??????��
2
+ℎ
2
+30
4??????�
2
2
Solución:
��,ℎ=20??????��
2
+ℎ
2
+60??????�
2

12. Ejemplo 2
b) Como se conoce el valor del volumen del tanque y también se conoce el
valor del radio, entonces
1
3
??????�
2
ℎ+
1
2
4
3
??????�
3
=28??????…………………..(3)
�=2…………………………………………(4)
(4) en (3)4
3
??????ℎ+
16
3
??????=28??????
ℎ+4=21
ℎ=17
�(2,17)=20??????22
2
+17
2
+60??????(2)
2
�(2,17)=40??????293+240??????
Finalmente,
�=2905soles

13. Unacompañíadeteléfonosplaneaintroducirdosnuevos
tiposdesistemadecomunicaciones.Secalculaquesiel
primertipodesistemasevaloraen�cientosdedólarespor
sistemayelsegundotipoen�cientosdedólarespor
sistema,aproximadamente (54−7�+5�)consumidores
compraránelprimertipoy(40+9�−3�)compraránel
segundotipo.Sielcostodefabricacióndelprimertipoes
deS/1000porsistemayelcostodelsegundotipoesS/3000
porsistema.Expreselautilidadcomounafuncióndel
preciodecadatipodesistemadecomunicación.
Ejemplo 3

14. Ejemplo 3
TIPO DEMANDA COSTO PRECIO VENTA
Primero �
1:45−7�+5��
1:1000 ??????
1:�
Segundo �
2:40+9�−3��
2:3000 ??????
2:�
Solución:
La utilidad está dada por∶??????=??????−�
??????
??????=??????
1�
1+??????
2�
2−(�
1�
1+�
2�
2)
??????=??????
1−�
1�
1+??????
2−�
2�
2
??????=�−1000(45−7�+5�)+�−3000(40+9�−3�)
Finalmente,
??????�,�=−7�
2
+14��−19955�−3�
2
+4040�−165000

15. Ejercicio propuesto de modelación
Supongamos quequeremos formarunacaja
rectangularquecontenga20metroscúbicosdeoro
enpolvo.Elmaterialempleado paralascaras
lateralescuesta1dólarpormetrocuadrado,el
materialdelfondocuesta2dólarespormetro
cuadradoyeldelatapa3dólarespormetro
cuadrado.Determineelcostototaldelacaja
rectangularenfuncióndelasdimensionesdelfondo
delacaja.

16. Bibliografía: