Modul Ajar Matematika UMUM K-XI SEM 1.docx

Modul Ajar Matematika UMUM KELAS XI FASE F

1. MODUL AJAR
BAB 1 : KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
INFORMASI UMUM
A.IDENTITAS MODUL
Nama Penyusun :.....................................................................................
Satuan Pendidikan :SMA
Kelas / Fase :XI (Sebelas) - F
Mata Pelajaran : Matematika
Domain :Fungsi
Prediksi Alokasi Waktu:8 JP
Tahun Penyusunan : 20 ..... / 20 .....
B.KOMPETENSI AWAL
Diskusikan contoh biaya sebagai fungsi dari jumlah bahan bakar dan jarak tempuh sebagai
fungsi dari bahan bakar. Tanyakan, “Apakah keduanya merupakan fungsi?” untuk mengecek
pemahaman siswa tentang fungsi.
C.PROFIL PELAJAR PANCASILA
1. (Semakin) beriman, bertakwa kepada Tuhan YME, dan berakhlak mulia, mandiri, bernalar,
kreatif, bergotong royong, dan berkebinekaan global;
2. Berpikir kritis untuk memecahkan masalah (kecakapan abad 21);
3. Menganalisis, mengevaluasi, dan menyusun teks lisan dan tulis dengan lancar dan spontan
secara teratur tanpa ada hambatan dalam berinteraksi dan berkomunikasi dalam jenis teks
naratif;
4. Mentransfer informasi verbal menjadi informasi visual (keterampilan literasi).
D.SARANA DAN PRASARANA
1. Aplikasi Geogebra
2. Aplikasi Microsoft Excel
3. Penggaris
4. Kertas berpetak
5. Alat tulis
E.TARGET PESERTA DIDIK
Peserta didik reguler/tipikal: umum, tidak ada kesulitan dalam mencerna dan memahami materi
ajar.
F.MODEL PEMBELAJARAN
Blended learning melalui model pembelajaran dengan menggunakan Project Based Learning
(PBL) terintegrasi pembelajaran berdiferensiasi berbasis Social Emotional Learning (SEL).

2. KOMPONEN INTI
A.TUJUAN PEMBELAJARAN
Menjelaskan pengertian fungsi.
Menentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi.
B.PEMAHAMAN BERMAKNA
Untuk relasi fungsi yang berbentuk aljabar minta siswa memberikan contoh fungsi kuadrat
seperti . Minta siswa memberikan contoh fungsi linear dan
aplikasinya dalam hidup sehari-hari.
C.PERTANYAAN PEMANTIK
Apakah relasi antara alamat email dan seorang siswa merupakan fungsi?
Apakah setiap siswa hanya mempunyai satu alamat email?
Apakah mungkin dua siswa mempunyai alamat email yang sama?
Apakah mungkin seorang siswa mempunyai lebih dari satu alamat email?”
D.KEGIATAN PEMBELAJARAN
PERTEMUAN KE-1
Kegiatan Pendahuluan (10 Menit)
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti (90 Menit)
Guru meminta siswa memperhatikan titik-titik dalam grafik 1.9 dengan saksama. Guru
memulai dengan bertanya, “Apakah yang ingin dijelaskan oleh grafik ini?” dan meminta
siswa berdiskusi dalam kelompok. (Grafik menggambarkan hubungan antara kecepatan
pelari dengan waktu. Kecepatan pelari pada suatu waktu tertentu dinyatakan oleh suatu titik.
Ada waktuwaktu tertentu yang menunjukkan dengan kecepatan yang sama).
Setelah eksplorasi maka beberapa kelompok memberikan hasil eksplorasinya.
a. Tabel Kecepatan Terhadap Waktu
Waktu (s) Kecepatan (m/s)
0 0
1 2
2 4
3 8
4 10

3. 5 12
6 12
7 12
8 12
9 11
10 9
b. "0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
c. "0,2,4,8,9,10,11,12,
Setelah diskusi kelompok dan kelas, guru dapat menyimpulkan hasil temuan, yaitu
grafik memberikan informasi suatu keadaan
informasi dalam bentuk masukan dan keluaran yang diberikan oleh grafik menunjukkan
relasi
Guru mengulang penulisan himpunan jika ada yang belum paham.
Kegiatan Penutup (10 Menit)
Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
PERTEMUAN KE-2
Kegiatan Pendahuluan (10 Menit)
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti (90 Menit)
Guru meminta seorang siswa membacakan masalah kedua ini. Guru memastikan semua
siswa sudah memahami konteks permasalahannya dengan cara meminta beberapa siswa
menjelaskan kembali konteks atau menggunakan strategi Think-Pair-Share, yaitu setiap
siswa diminta untuk membaca dan memahami masalah, kemudian berpasangan dan secara
bergiliran menjelaskan masalahnya, kemudian guru meminta beberapa pasang untuk
menjelaskan masalah kepada seluruh kelas.
Tahap ini penting dilakukan untuk membiasakan siswa membaca masalah secara teliti, dan
memahami apa yang menjadi inti permasalahan, dan memilah informasi apa yang penting
dan relevan. Strategi ini juga melatih kemampuan literasi membaca dari siswa.

4. Setelah eksplorasi beberapa siswa menyampaikan hasil dan alsannya.
Perhatian: Bagian yang kosong dalam tabel memang dilengkapi oleh siswa.
1. Melengkapi tabel.
Jumlah potong tempe (input)Jumlah Keripik yang dihasilkan
200 1200
200, 25 1200
500, 75 3000
...
600 3600
601 0 (karena mesin berhenti)
2. "x200#x#600,x!R}
3. "y|1200#y#3600,y!R,
4. y|1200#y#3600,y!Z+ " , dimana Z+ merupakan bilangan bulat positif
5. Range selalu menjadi subhimpunan dari kodomain.
Setelah diskusi kelompok dan kelas, guru dapat menyimpulkan hasil temuan, yaitu
-pengertian domain, kodomain dan range terlihat jelas dalam konteks nyata
-penulisan range yang tepat
Guru menggunakan penjelasan gambar 1.11 dan 1.12 untuk memantapkan pengertian
domain dan range dan penulisannya dalam notasi himpunan.
Berikan lagi satu contoh jika ada yang belum paham untuk menentukan domain, kodomain
dan range serta penulisannya dalam notasi himpunan.
Ayo Berkomunikasi
Siswa menjelaskan pengertian domain dan range dengan kata-kata sendiri.
Guru meminta siswa memperhatikan gambar 1.13 untuk menjelaskan pengertiannya.
Ayo Berpikir Kritis
Kalian sudah memahami penggunaan domain, kodomain dan range dalam kehidupan sehari-
hari. Berikan contoh lain dalam kehidupan nyata yang membedakan pengertian kodomain
dan range.
Contoh adalah relasi antara harga barang dengan jumlah barang dalam satuan.
Kegiatan Penutup (10 Menit)
Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.

5. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
PERTEMUAN KE-3
Kegiatan Pendahuluan (10 Menit)
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti (90 Menit)
Pada eksplorasi bagian ketiga ini siswa perlu paham bagaimana fungsi terdefinisi. Grafik
sanagt menolong untuk menentuakn fungsi terdefinisi.
Perhatikan dua grafik dalama mg bar 1.14.
a. Grafik fungsi akar.
1) Kita tahu bahwa karena adanya akar kuadrat, kedua fungsi masingmasing hanya
mengambil input dan . Jadi domain dari masing-masing fungsi ialah
semua bilangan riil non negatif (untuk fungsi pertama) dan semua bilangan riil lebih dari
sama dengan 1 (untuk fungsi kedua).
2).
b. Fungsi memiliki domain yang ditentukan oleh pembaginya. Dalam hal
ini pembaginya ialah semua nilai x riil dan bukan 0. Range adalah semua bilangan riil. Hal
ini bisa dilihat dari grafik di bawah ini:

6. Setelah diskusi kelompok dan kelas, guru dapat menyimpulkan hasil temuan, yaitu
-pentingnya memahami fungsi terdefinisi
-penulisan domain dan range yang tepat.
Guru menekankan bahwa penentuan domain dan range suatu fungsi berkaitan dengan
konteksnya. Contoh, biaya pembuatan kue diberikan oleh B^xh=40000+10x dengan x adalah
jumlah kue. Jika digambarkan maka fungsi ini berupa garis lurus dan domainnya adalah x >
0 dengan x merupakan bilangan bulat. Rangenya juga merupakan bilangan bulat. Minta
siswa menemukan contoh-contoh lain yang menunjukkan konteks untuk menentukan
domain, kodomain dan range.
Guru dapat memberikan contoh-contoh lain untuk menentukan domain dan range dari
fungsi eksponensial dan fungsi kuadrat. Gunakan grafik terlebih dahulu dilanjutkan dengan
bentuk aljabar fungsi.
Kegiatan Penutup (10 Menit)
Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
E.ASESMEN / PENILAIAN
1. ASESMEN DIAGNOSTIK:
Mengetahui kondisi awal mental para peserta didik
No Pertanyaan
Pilihan Jawaban
Ya Tidak
1Apa kabar hari ini?
2Apakah ada yang sakit hari ini?
3Apakah kalian dalam keadaan sehat?
4Apakah anak-anak merasa bersemangat hari ini?
5Apakah tadi malam sudah belajar?
2.ASESMEN FORMATIF:
Diskusi : melatih kemampuan peserta didik dalam berkolaborasi dengan kelompoknya,
melatih berbicara dan berani mengungkapakan pendapat, memunculkan ide-idenya, bekerja
sama dalam tim
Presentasi: melatih kemampuan peserta didik dalam melatih berbicara di depan umum,
berani mengajukan pertanyaan terhadap pemaparan hasil praktikum milik kelompok lain,
memaksimalkan kerja kelompok
Unjuk kerja : menilai keterampilan proses yang dimiliki setiap anak, dan perkembangannya
FORMAT PENILAIAN FORMATIF
NoNama Peserta DidikMateri 1Materi 2Materi 3TotalNilai

7. Skor
Skor NilaiSkor NilaiSkor Nilai
123412341234
1
2
3
4
5
dst
3.ASESMEN SUMATIF
Dilaksanakan diakhir pembelajaran untuk mengukur tingkat capaian pemahaman sains
peserta didk untuk menentukan langkah selajutnya.
Guru melakukan pengamatan selama diskusi berlangsung. Hasil pengamatan berupa
jawaban siswa dan partisipasi siswa dalam diskusi dapat dicatat dalam jurnal untuk
ditinjau kembali
Guru memeriksa kelengkapan lembar pengamatan siswa
Asesmen ini dibuat Individu, kelompok, peforma dan tertulis- formatif dan sumatif
a.Instrumen Penilaian Sikap
1)Sikap Spiritual
Teknik Penilaian: Penilaian diri
Instrumen Penilaian: Rubrik
Nama Peserta didik: ....................................................
No. Indikator SLSRKDTP
1
2
3
4
5
2)Sikap Sosial
Teknik Penilaian: Penilaian Antar Teman
Instrumen Penilaian: Rubrik
Nama Peserta didik: ....................................................
No. Indikator SLSRKDTP
1
2
3

8. 4
5
Keterangan
SL=Selalu :sangat baik
SR=Sering :baik
KD=Kadang-kadang:cukup
TP=Tidak Pernah:perlu bimbingan
b.Instrumen Penilaian Pengetahuan
Penilaian Kelompok
No Nama Kelompok
Aspek Penilaian
Jumlah
Nilai
KetertibanKekompakanPerformanc
e
1
2
3
4
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 4 Sangat baik
2 3 Baik
3 2 Cukup
4 1 Kurang
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
12
c.Penilaian Keterampilan
No Nama
Aspek yang Dinilai
Jumlah
Skor
Nilai
Baik SedangKurang
1
2
3
Keterangan:
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 4 Sangat baik
2 3 Baik

9. 3 2 Cukup
4 1 Kurang
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
12
Penilaian Hasil Kerja Kelompok
No Nama Kelompok
Aspek Penilaian
Jumlah
Nilai
Ketepatan
jawaban
Estetika (nilai seni)
paparan
1
2
3
4
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 8 Sangat baikSemua jawaban benar/tepat, menarik
2 6 Baik Sebagian besar jawaban benar, menarik
3 4 Cukup Separuh jawaban benar, menarik
4 2 Kurang Sebagian kecil jawaban benar, menarik
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
16
3.PENILAIAN SUMATIF
ASSESMEN SIKAP
Penilaian sikap ini dilakukan melalui pengamatan (observasi) Guru selama kegiatan
pembelajaran Penilaian ini dilakukan agar Guru melihat sikap perilaku peserta didik dalam
menjaga hidup bersama di masyarakat pada kehidupan sehari-hari (civic disposition),
seperti sopan santun, percaya diri, dan bertoleransi. Bentukpedoman penilaian yang dapat
digunakan oleh Guru adalah sebagai berikut:
Kriteria
Sangat baik Baik Cukup
Perlu
dikembangkan
4 3 2 1
Sopan
santun
Peserta didik
berlaku sopan, baik
selama proses
pembelajaran
maupun di luar
kelas.
Peserta didik
berlaku sopan hanya
selama
proses pembelajaran
Peserta didik
hanya berlaku
sopan hanya
kepada Guruatau
peserta didik yang
lain.
Peserta didik
belum
menampakkan
perilaku
sopan
Percaya
diri
Peserta didik
berani
berpendapat,
Peserta didik berani
berpendapat,
ertanya, atau
Peserta didik
hanya berani
menjawab ha-
Guru bertanya
Peserta didik
kesulitan dalam

10. ertanya, atau
menjawab
ertanyaan, serta
mengambil
keputusan
menjawab
pertanyaan
nya saat berpendapat,
bertanya,
maupun menjawab
pertanyaan
ToleransiPeserta didik dapat
menghargai
pendapat peserta
didik lain
dan menerima
kesepakatan
meskipun berbeda
dengan
pendapatnya
Peserta didik dapat
menghargai
pendapat peserta
didik lain
dan kurang bisa
menerima
kesepakatan
Peserta didik dapat
menghargai
pendapat
peserta didik lain
dan tidak bisa
menerima
kesepakatan
Peserta didik
tidak dapat
menghargai
pendapat
peserta didik
lain dan tidak
bisa menerima
kesepakatan
ASESSMEN PENGETAHUAN
Penilaian pengetahuan dilaksanakan melalui tes setelah kegiatan pembelajaran
berlangsung. Penilaian pengetahuan diberikan dalam bentuk pilihan ganda, benar salah,
maupun esai. Penilaian pengetahuan ini bertujuan agar Guru mampu melihat pengetahuan
yang telah dikuasai peserta didik dalam kegiatan.
Kriteria
Sangat baikBaik Cukup
Perlu dikem
bangkan
4 3 2 1
ASSESMEN HASIL BELAJAR
Penilaian ini dilakukan melalui pengamatan (observasi) Guru selama kegiatan
pembelajaran berlangsung. Penilaian ini bertujuan agar guru dapat melihat
kemampuan peserta didik dalam soft skill-nya. Adapun pedoman penilaian yang
dapat digunakan oleh Guru adalah sebagai berikut
Kriteria
Sangat baikBaik Cukup
Perlu dikem
bangkan
4 3 2 1
F.PENGAYAAN DAN REMEDIAL
Pengayaan

11. Bagi siswa dengan kecepatan belajar tinggi (advanced), minta mereka membuat pertanyaan-
pertanyaan tambahan untuk dijawab baik sendiri maupun dari teman dengan kecepatan belajar
tinggi. Mereka dapat ditantang untuk membuat grafik dengan menggunakan geogebra dan
sekalian menentukan domain dan range. Minta mereka juga mencatat jika ada pertanyaan yang
tidak dapat mereka jawab dengan informasi yang ada.
Remedial
Bagi siswa yang mengalami kesulitan memahami domain, kodomain dan range berikan lagi
contoh dalam bentuk aljabar maupun grafik. Pastikan mereka memahami fungsi yang
terdefinisi sehingga mereka dapat menentukan domain, kodomain dan range. Grafik sangat
menolong dalam menentukan kodomain, domain dan range. Buatlah latihan untuk menentukan
domain, kodomain dan range dari pembagian fungsi linear dengan fungsi linear atau fungsi
linear dengan fungsi kuadrat atau sebaliknya.
G.REFLEKSI GURU DAN PESERTA DIDIK
Refleksi Guru:
No Aspek Refleksi Guru Jawaban
1Penguasaan
Materi
Apakah saya sudah memahami cukup
baik materi dan aktifitas pembelajaran
ini?
2Penyampaian
Materi
Apakah materi ini sudah tersampaikan
dengan cukup baik kepada peserta
didik?
3Umpan balikApakah 100% peserta didik telah
mencapai penguasaan tujuan
pembelajaran yang ingin dicapai?
Refleksi Peserta Didik:
Ajak siswa untuk refleksi diri dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut. Siswa dapat
menuliskannya dalam buku jurnal refleksi dan minta mereka memberikan bukti atau contoh
pemahaman mereka.
1. Apakah saya sudah dapat membedakan fungsi dengan bukan fungsi dalam beberapa cara
representasi?
2. Apakah saya dapat menentukan domain, kodomain dan range dari suatu fungsi?

12. LAMPIRAN- LAMPIRAN
Lampiran 1
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)
Nama Kelompok :............................................................................
Anggota Kelompok:1......................................................................
2......................................................................
3......................................................................
4......................................................................
5......................................................................
Rangkuman Hasil Diskusi
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
No Pertanyaan Jawaban Hasil Diskusi
1
2
3
4
5
1.Hubungan antara keuntungan yang diperoleh dengan harga barang yang dijual diberikan
sebagai U (x) = −75x2 + 300x − 140, di mana x adalah harga barang dalam kelipatan
Rp10.000,00.
a. Apakah U(x) merupakan suatu fungsi? Jelaskan.
b. Jika U(x) merupakan suatu fungsi, tentukan domain dan range-nya.
c. Jika diinginkan keuntungan tertentu dapatkah diketahui harga barang?
d. Jika U(x) merupakan suatu fungsi, apakah fungsi ini mempunyai invers? Jelaskan.
2. Berikan satu contoh situasi nyata yang bisa diberikan dalam fungsi di mana fungsi tersebut
mempunyai invers.
3. Berikan satu contoh situasi nyata yang mana suatu fungsi tersebut tidak mempunyai invers.
4. Berikan satu contoh situasi nyata yang bisa diberikan dalam komposisi fungsi.
5. Perhatikan diagram panah di bawah ini. Apakah fungsi g(x) mempunyai fungsi invers?
Jelaskan.

13. 6. Perhatikan percakapan di bawah ini .
Anton : Suatu fungsi dapat dipastikan mempunyai fungsi invers atau tidak dengan
menggunakan diagram panah.
Toni : Saya tidak setuju karena diagram panah tidak memberikan informasi lengkap.
Setujukah kamu dengan pendapat keduanya? Adakah pendapatmu yang diperlukan untuk
melengkapi kedua pendapat tersebut?
7. Perhatikan kedua grafik di bawah ini.
a. Tentukan nilai (f ◦ g)(2)
b. Tentukan nilai yang menyebabkan (f ◦ g) (x) = 4
c. Apakah (f ◦ g)(x) berupa fungsi linear atau kuadrat? Jelaskan.
d. Apakah (g ◦ f)(x) berupa fungsi linear atau kuadrat? Jelaskan.
e. Apa yang harus dilakukan dengan domain f(x) jika diinginkan f(x) mempunyai invers?

14. 8. Perhatikan f (x) = 3x + 1 dan g(x) = (x−1)3 .
a. Gambarkan kedua fungsi tersebut pada satu sistem koordinat.
b. Lakukan fungsi komposisi (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f)(x). Jelaskan hasil yang diperoleh.
c. Berdasarkan hasil a dan b apakah yang dapat disimpulkan?
9. Hang time menunjukkan lamanya seseorang berada di udara setelah melompat hingga
ketinggian tertentu. Makin tinggi lompatan makin lama seseorang berada di udara. Atlet-atlet
olahraga tertentu, seperti bola basket, memerlukan hang time agar dapat memasukkan bola.
a. Tentukan hubungan antara ketinggian lompatan dengan hang time dalam bentuk fungsi.
b. Mengapa fungsi invers diperlukan dalam masalah ini? Jelaskan.
c. Carilah hang time dari seorang pemain basket dunia.
Lampiran 2
BAHAN BACAAN GURU DAN PESERTA DIDIK
FUNGSI
Fungsi merupakan suatu relasi yang menghubungkan satu anggota dari suatu himpunan tepat
ke satu anggota di himpunan yang lain. Fungsi adalah relasi yang lebih spesifik. Fungsi biasa
dinyatakan dalam bentuk f(x) = y , di mana f merupakan fungsi, x merupakan variabel masukan
(input) dan y adalah variabel keluaran (output). Kalian dapat memahami konsep ini dengan
membayangkan fungsi sebagai mesin seperti pada gambar berikut:
Gambar 1.4 Analogi Fungsi Mesin
1. Fungsi dan Bukan Fungsi
Secara ilustratif, hubungan antara fungsi dan relasi dapat
dipahami melalui Gambar 1.5 dan Gambar 1.6.
Pada bagian ini, kalian akan belajar menentukan relasi-relasi
yang merupakan fungsi dan bukan merupakan fungsi. Relasi-
relasi ini akan disajikan dalam bentuk diagram panah dan
diagram Kartesius.
Perhatikan contoh ketiga diagram panah berikut. Ada yang
menunjukkan relasi yang berupa fungsi dan ada yang
menunjukkan bukan fungsi.

15. Gambar 1.6 Relasi Merupakan Fungsi dan Bukan Fungsi
Relasi yang terdapat pada Gambar 1.6 (a) dan (b) merupakan fungsi karena relasi tersebut
menghubungkan satu anggota himpunan input dengan tepat satu anggota himpunan output.
Gambar 1.6 (c) merupakan contoh relasi yang bukan fungsi karena relasi tersebut
menghubungkan satu anggota; “q” ke dua anggota berbeda “y” dan “z” .
2. Domain, Kodomain, dan Range
Data kecepatan seorang pelari jarak pendek (sprinter) setiap detik dicatat dan ditampilkan
dalam grafik berikut:
Gambar 1.9 Grafik Kecepatan Pelari terhadap Waktu
Pertanyaan
1. Buatlah tabel untuk grafik tersebut.
2. Nyatakan waktu (masukan) yang dicatat dalam notasi himpunan.
3. Nyatakan kecepatan (keluaran) yang dicatat dalam notasi himpunan.

16. Lampiran 3
GLOSARIUM
Relasi, merupakan hubungan antara satu himpunan dengan himpunan lainnya. Misalnya, ada dua
buah himpunan, yaitu himpunan A sebagai domain dan himpunan B sebagai kodomain. Relasi
menyatakan hubungan A dengan B. Sedangkan, fungsi adalah aturan yang menghubungkan setiap
elemen dalam sebuah himpunan.
Domain, (Daerah asal) adalah himpunan semua bilangan real x yang membuat fungsi f terdefinisi (f
anggota himpunan bilangan real).
Range, (Daerah hasil) adalah himpunan semua bilangan real y yang terdefinisi dengan anggota
himpunan bilangan real x.
Kodomain, Daerah kawan atau kodomain suatu fungsi merupakan suatu himpunan yang memuat
semua keluaran yang mungkin dari fungsi tersebut. Kodomain bisa saja memuat anggota yang
bukan merupakan keluaran dari fungsi, tetapi semua keluaran yang mungkin dari fungsi harus
termuat dalam kodomain.
LAMPIRAN 4
DAFTAR PUSTAKA
Dicky Susanto, dkk., Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Pusat Perbukuan Badan
Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset,
dan Teknologi Komplek Kemdikbudristek, Jakarta 2021
Dicky Susanto, dkk., Buku Panduan Guru Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Pusat
Perbukuan Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan Kementerian Pendidikan,
Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Komplek Kemdikbudristek, Jakarta 2021

17. MODUL AJAR
BAB 1 : KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
INFORMASI UMUM
A.IDENTITAS MODUL
Nama Penyusun :.....................................................................................
Satuan Pendidikan :SMA
Kelas / Fase :XI (Sebelas) - F
Mata Pelajaran : Matematika
Domain :Komposisi Fungsi
Prediksi Alokasi Waktu:14 JP
Tahun Penyusunan : 20 ..... / 20 .....
B.KOMPETENSI AWAL
Perkenalkan subbab ini dengan mendiskusikan sebagaimana bilangan bulat dapat dijumlahkan,
dikurangkan, dikalikan dan dibagi, maka fungsi dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan
dibagi. Contoh, operasi pada 5 dan 9, yaitu 5+9, 5−9, 5×9, 5÷9.
Komposisi fungsi, berbeda dengan operasi penjumlahan atau pengurangan atau operasi
perkalian atau operasi pembagian, merupakan bentuk operasi hasil suatu fungsi pada fungsi
lainnya. Eksplorasi 1.3, 1.4 dan 1.5 berkaitan dengan syarat dan sifat komposisi fungsi.
C.PROFIL PELAJAR PANCASILA
1. (Semakin) beriman, bertakwa kepada Tuhan YME, dan berakhlak mulia, mandiri, bernalar,
kreatif, bergotong royong, dan berkebinekaan global;
2. Berpikir kritis untuk memecahkan masalah (kecakapan abad 21);
3. Menganalisis, mengevaluasi, dan menyusun teks lisan dan tulis dengan lancar dan spontan
secara teratur tanpa ada hambatan dalam berinteraksi dan berkomunikasi dalam jenis teks
naratif;
4. Mentransfer informasi verbal menjadi informasi visual (keterampilan literasi).
D.SARANA DAN PRASARANA
Aplikasi Geogebra
Aplikasi Microsoft Excel
Penggaris
Kertas berpetak
Alat tulis
E.TARGET PESERTA DIDIK
Peserta didik reguler/tipikal: umum, tidak ada kesulitan dalam mencerna dan memahami materi
ajar.
F.MODEL PEMBELAJARAN
Blended learning melalui model pembelajaran dengan menggunakan Project Based Learning
(PBL) terintegrasi pembelajaran berdiferensiasi berbasis Social Emotional Learning (SEL).

18. KOMPONEN INTI
A.TUJUAN PEMBELAJARAN
Menjelaskan syarat dan aturan komposisi fungsi.
Membuat komposisi fungsi yang terdiri atas dua atau lebih fungsi.
Menyelidiki sifat komutatif dan asosiatif pada komposisi fungsi.
Menggunakan komposisi fungsi untuk menyelesaikan masalah.
B.PEMAHAMAN BERMAKNA
Komposisi fungsi, berbeda dengan operasi penjumlahan atau pengurangan atau operasi
perkalian atau operasi pembagian, merupakan bentuk operasi hasil suatu fungsi pada fungsi
lainnya. Eksplorasi 1.3, 1.4 dan 1.5 berkaitan dengan syarat dan sifat komposisi fungsi.
Komposisi fungsi ditemukan dalam kehidupan sehari-hari.
C.PERTANYAAN PEMANTIK
Apakah mungkin dua fungsi dijumlahkan, dikurangkan, dikali dan dibagi seperti operasi
matematika pada bilangan?
D.KEGIATAN PEMBELAJARAN
PERTEMUAN KE-1
Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi
Kegiatan Pendahuluan (10 Menit)
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti (90 Menit)
Perhatikan gambar di bawah ini.
Seorang sopir sedang mengendarai mobil melewati sebuah desa kecil. Ketika melihat halangan di
depan, sopir menginjak rem agar mobil berhenti. Jarak henti disebabkan oleh dua hal. Pertama, jarak
akibat waktu yang diperlukan antara melihat halangan dan mengerem mobil (waktu reaksi). Kedua,
jarak tempuh akibat pengereman. Tabel 1.2 menunjukkan jarak henti mobil sesuai dengan kecepatan
mobil.

19. Tabel 1.2 Jarak Henti Mobil
Tanyakan siswa bagaimana menentukan domain dan range dari penjumlahan kedua fungsi.
Kegiatan Penutup (10 Menit)
Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
PERTEMUAN KE-2
Perkalian dan Pembagian Fungsi
Kegiatan Pendahuluan (10 Menit)
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti (90 Menit)
Ayo Mencoba
Perhatikan fungsi pendapatan dan biaya produksi yang diberikan dalam grafik di bawah ini.
Keduanya merupakan fungsi dari jumlah barang yang diproduksi.

20. a. Kalian ingin mengetahui keuntungan yang diperoleh dari penjualan setiap barang. Bagaimana cara
menemukan fungsi keuntungan jika diketahui fungsi pendapatan dan biaya produksi? (Petunjuk:
penjumlahan atau pengurangan?)
b. Buatlah tabel yang menunjukkan keuntungan sebagai fungsi dari jumlah barang. Tentukan juga
domain dan range-nya!
c. Buatlah grafik yang mewakili keuntungan sebagai fungsi dari jumlah barang!
Guru meminta siswa memperhatikan penjumlahan dua simpangan gelombang yang dapat
menghasilkan simpangan gelombang lebih besar atau lebih kecil.
Kegiatan Penutup (10 Menit)
Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
PERTEMUAN KE-3
Komposisi Fungsi
Kegiatan Pendahuluan (10 Menit)
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.

21. Kegiatan Inti (90 Menit)
Pastikan siswa memahami komposisi fungsi. Gunakan mesin fungsi dan diagram panah
untuk memperjelas pemahaman komposisi fungsi. Guru memberikan lagi soal-soal latihan
komposisi fungsi untuk memastikan pemahaman siswa. Soal-soal berupa konteks dunia
nyata yang melibatkan variabel. Berikan contoh lain. Misalkan, dalam kelistrikan. Hambatan
listrik R berbanding lurus dengan panjang l, R = ρl/A, di mana ρ adalah hambat jenis, l
adalah panjang dan A adalah luas penampang penghantar. Arus listrik I diberikan sebagai
tegangan V/hambatan R. Jika keduanya dikomposisikan maka arus I adalah fungsi dari
panjang kawat l.
Guru juga mengarahkan siswa untuk memahami domain, kodomain, dan range dari
komposisi fungsi. Domain dan range menjadi penentuan apakah dua fungsi dapat
dikomposisikan. Eksplorasi 1.4 mengarahkan siswa untuk memahami apa yang menjadi
syarat komposisi dua fungsi.
Mendiskusikan perkalian dan pembagian dua fungsi sebagaimana yang ada di dalam buku
siswa. Berikan contoh-contoh yang nyata dari perkalian dan pembagian dua fungsi. Dalam
situasi nyata apa dua fungsi dikalikan dan dibagikan?
Diskusikan dengan siswa bentuk fungsi yang dihasilkan dari dua fungsi yang dikalikan dan
dibagi. Misalnya fungsi linear dengan fungsi linear, fungsi linear dengan fungsi kuadrat,
fungsi kuadrat dengan fungsi kuadrat, fungsi eksponensial dengan fungsi eksponensial.
Misalnya, perkalian dua fungsi linier akan menghasilkan fungsi kuadrat. Perkalian dua
fungsi eksponensial akan menghasilkan fungsi eksponensial juga.
Diskusikan juga domain dan range dari hasil perkalian dan pembagian fungsi.
Setelah diskusi, minta siswa melakukan Eksplorasi 1.4. Siswa menyelesaikan dua masalah
yang berkaitan dengan domain dan range dari dua fungsi yang akan dikomposisikan untuk
mendapatkan syarat komposisi dua fungsi.
Siswa dapat melakukan kedua eksplorasi secara individu terlebih dahulu kemudian diskusi
secara berpasangan atau dalam kelompok, atau langsung bekerja sama berpasangan atau
dalam kelompok.
Pada bagian eksplorasi, biarkan siswa mencoba dan tidak dituntut pasti mendapatkan
jawabannya. Tujuannya adalah supaya mereka memahami syarat komposisi fungsi dan
penerapannya dalam menyelesaikan masalah.
Kegiatan Penutup (10 Menit)
Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
PERTEMUAN KE-4
Kegiatan Pendahuluan (10 Menit)
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)

22. berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti (90 Menit)
Pastikan siswa memahami syarat komposisi fungsi. Gunakan diagram panah dan grafik
terlebih dahulu untuk memperjelas pemahaman syarat komposisi fungsi. Pastikan siswa
dapat menentukan domain dan range dari setiap fungsi. Latih dengan diagram panah terlebih
dahulu, lalu dengan grafik.
Kemudian, berikan fungsi dengan variabel. Perhatikan hal-hal mendasar seperti bentuk akar
dan penyebut dalam fungsi ketika menentukan domain dan range. Perhatikan juga cara
siswa menuliskan domain dan range.
Mulai aktivitas pembelajaran dengan mendiskusikan sifat komutatif dan asosiatif yang
berlaku pada operasi bilangan. Operasi apa saja yang memenuhi sifat komutatif dan sifat
asosiatif pada bilangan. Tanyakan, “Apakah proses pembuatan kedelai menjadi tempe dan
tempe menjadi keripik tempe memenuhi sifat komutatif?” Sifat komutatif adalah sifat
pertukaran. Diskusikan hal ini.
Untuk sifat asosiatif diskusikan contoh-contoh nyata yang dapat berkaitan dengannya. Sifat
asosiatif memerlukan tiga proses. Contoh, pembuatan keripik tempe. Ketiga proses adalah
pembuatan tempe dari biji kedelai, pembuatan potongan tempe dan pembuatan keripik
tempe. Tanyakan, “Apakah contoh pembuatan keripik tempe dapat dikaitkan dengan sifat
asosiatif ?” Minta mer eka memikirkan contoh-contoh nyata lainnya.
Ingatkan siswa syarat komposisi fungsi sehingga siswa memikirkan hal ini ketika
menyelidiki operasi yang berkaitan dengan sifat komutatif dan sifat asosiatif.
Setelah diskusi, minta siswa melakukan Eksplorasi 1.8 dan 1.9. Siswa menyelesaikan dua
masalah yang berkaitan dengan penyelidikan sifat komutatif dan sifat asosiatif.
Siswa dapat melakukan kedua eksplorasi secara individu terlebih dahulu kemudian diskusi
secara berpasangan atau dalam kelompok, atau langsung bekerja sama berpasangan atau
dalam kelompok.
Pada bagian eksplorasi, biarkan siswa mencoba dan tidak dituntut pasti mendapatkan
jawabannya. Tujuannya adalah supaya mereka dapat menyelidiki sifat komutatif dan sifat
asosiatif pada komposisi fungsi.
Kegiatan Penutup (10 Menit)
Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
E.ASESMEN / PENILAIAN
1. ASESMEN DIAGNOSTIK:
Mengetahui kondisi awal mental para peserta didik
No Pertanyaan
Pilihan Jawaban
Ya Tidak

23. 1Apa kabar hari ini?
2Apakah ada yang sakit hari ini?
3Apakah kalian dalam keadaan sehat?
4Apakah anak-anak merasa bersemangat hari ini?
5Apakah tadi malam sudah belajar?
2.ASESMEN FORMATIF:
Diskusi : melatih kemampuan peserta didik dalam berkolaborasi dengan kelompoknya,
melatih berbicara dan berani mengungkapakan pendapat, memunculkan ide-idenya, bekerja
sama dalam tim
Presentasi: melatih kemampuan peserta didik dalam melatih berbicara di depan umum,
berani mengajukan pertanyaan terhadap pemaparan hasil praktikum milik kelompok lain,
memaksimalkan kerja kelompok
Unjuk kerja : menilai keterampilan proses yang dimiliki setiap anak, dan perkembangannya
FORMAT PENILAIAN FORMATIF
NoNama Peserta Didik
Materi 1Materi 2Materi 3
Total
Skor
NilaiSkor NilaiSkor NilaiSkor Nilai
123412341234
1
2
3
4
5
dst
3.ASESMEN SUMATIF
Dilaksanakan diakhir pembelajaran untuk mengukur tingkat capaian pemahaman sains
peserta didk untuk menentukan langkah selajutnya.
Guru melakukan pengamatan selama diskusi berlangsung. Hasil pengamatan berupa
jawaban siswa dan partisipasi siswa dalam diskusi dapat dicatat dalam jurnal untuk
ditinjau kembali
Guru memeriksa kelengkapan lembar pengamatan siswa
Asesmen ini dibuat Individu, kelompok, peforma dan tertulis- formatif dan sumatif
a.Instrumen Penilaian Sikap
1)Sikap Spiritual
Teknik Penilaian: Penilaian diri
Instrumen Penilaian: Rubrik
Nama Peserta didik: ....................................................

24. No. Indikator SLSRKDTP
1
2
3
4
5
2)Sikap Sosial
Teknik Penilaian: Penilaian Antar Teman
Instrumen Penilaian: Rubrik
Nama Peserta didik: ....................................................
No. Indikator SLSRKDTP
1
2
3
4
5
Keterangan
SL=Selalu :sangat baik
SR=Sering :baik
KD=Kadang-kadang:cukup
TP=Tidak Pernah:perlu bimbingan
b.Instrumen Penilaian Pengetahuan
Penilaian Kelompok
No Nama Kelompok
Aspek Penilaian
Jumlah
Nilai
KetertibanKekompakanPerformanc
e
1
2
3
4
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 4 Sangat baik
2 3 Baik

25. 3 2 Cukup
4 1 Kurang
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
12
c.Penilaian Keterampilan
No Nama
Aspek yang Dinilai
Jumlah
Skor
Nilai
Baik SedangKurang
1
2
3
Keterangan:
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 4 Sangat baik
2 3 Baik
3 2 Cukup
4 1 Kurang
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
12
Penilaian Hasil Kerja Kelompok
No Nama Kelompok
Aspek Penilaian
Jumlah
Nilai
Ketepatan
jawaban
Estetika (nilai seni)
paparan
1
2
3
4
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 8 Sangat baikSemua jawaban benar/tepat, menarik
2 6 Baik Sebagian besar jawaban benar, menarik
3 4 Cukup Separuh jawaban benar, menarik
4 2 Kurang Sebagian kecil jawaban benar, menarik
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
16
3.PENILAIAN SUMATIF

26. ASSESMEN SIKAP
Penilaian sikap ini dilakukan melalui pengamatan (observasi) Guru selama kegiatan
pembelajaran Penilaian ini dilakukan agar Guru melihat sikap perilaku peserta didik dalam
menjaga hidup bersama di masyarakat pada kehidupan sehari-hari (civic disposition),
seperti sopan santun, percaya diri, dan bertoleransi. Bentukpedoman penilaian yang dapat
digunakan oleh Guru adalah sebagai berikut:
Kriteria
Sangat baik Baik Cukup
Perlu
dikembangkan
4 3 2 1
Sopan
santun
Peserta didik
berlaku sopan, baik
selama proses
pembelajaran
maupun di luar
kelas.
Peserta didik
berlaku sopan hanya
selama
proses pembelajaran
Peserta didik
hanya berlaku
sopan hanya
kepada Guruatau
peserta didik yang
lain.
Peserta didik
belum
menampakkan
perilaku
sopan
Percaya
diri
Peserta didik
berani
berpendapat,
ertanya, atau
menjawab
ertanyaan, serta
mengambil
keputusan
Peserta didik berani
berpendapat,
ertanya, atau
menjawab
pertanyaan
Peserta didik
hanya berani
menjawab ha-
nya saat
Guru bertanya
Peserta didik
kesulitan dalam
berpendapat,
bertanya,
maupun menjawab
pertanyaan
ToleransiPeserta didik dapat
menghargai
pendapat peserta
didik lain
dan menerima
kesepakatan
meskipun berbeda
dengan
pendapatnya
Peserta didik dapat
menghargai
pendapat peserta
didik lain
dan kurang bisa
menerima
kesepakatan
Peserta didik dapat
menghargai
pendapat
peserta didik lain
dan tidak bisa
menerima
kesepakatan
Peserta didik
tidak dapat
menghargai
pendapat
peserta didik
lain dan tidak
bisa menerima
kesepakatan
ASESSMEN PENGETAHUAN
Penilaian pengetahuan dilaksanakan melalui tes setelah kegiatan pembelajaran
berlangsung. Penilaian pengetahuan diberikan dalam bentuk pilihan ganda, benar salah,
maupun esai. Penilaian pengetahuan ini bertujuan agar Guru mampu melihat pengetahuan
yang telah dikuasai peserta didik dalam kegiatan.
Kriteria
Sangat baikBaik Cukup
Perlu dikem
bangkan
4 3 2 1

27. ASSESMEN HASIL BELAJAR
Penilaian ini dilakukan melalui pengamatan (observasi) Guru selama kegiatan
pembelajaran berlangsung. Penilaian ini bertujuan agar guru dapat melihat
kemampuan peserta didik dalam soft skill-nya. Adapun pedoman penilaian yang
dapat digunakan oleh Guru adalah sebagai berikut
Kriteria
Sangat baikBaik Cukup
Perlu dikem
bangkan
4 3 2 1
F.PENGAYAAN DAN REMEDIAL
Pengayaan
Bagi siswa yang mengalami kesulitan memahami komposisi fungsi tekankan penggunaan
diagram panah dan mesin fungsi untuk membahas soal-soal menggunakan variabel. Jelaskan
kembali contoh-contoh nyata sederhana yang berkaitan dengannya untuk memudahkan
pemahaman.
Remedial
Bagi siswa dengan kecepatan belajar tinggi (advanced), minta mereka membuat pertanyaan-
pertanyaan tambahan untuk dijawab baik sendiri maupun dari teman dengan kecepatan belajar
tinggi. Minta mereka juga mencatat jika ada pertanyaan yang tidak dapat mereka jawab dengan
informasi yang ada.
G.REFLEKSI GURU DAN PESERTA DIDIK
Refleksi Guru:
No Aspek Refleksi Guru Jawaban
1Penguasaan
Materi
Apakah saya sudah memahami cukup
baik materi dan aktifitas pembelajaran
ini?
2Penyampaian
Materi
Apakah materi ini sudah tersampaikan
dengan cukup baik kepada peserta
didik?
3Umpan balikApakah 100% peserta didik telah
mencapai penguasaan tujuan
pembelajaran yang ingin dicapai?
Refleksi Peserta Didik:
Tutup pembelajaran dengan meminta siswa melakukan refleksi terhadap apa yang sudah
mereka pelajari dengan menjawab pertanyaan refleksi.

28. 1. Apakah saya dapat menjelaskan syarat dan aturan pembuatan komposisi fungsi yang terdiri
atas dua atau lebih fungsi?
2. Apakah saya dapat membuat komposisi fungsi yang terdiri atas dua atau lebih fungsi?
3. Bagaimana saya menggunakan komposisi fungsi untuk membuat permodelan masalah
sehari-hari dan menyelesaikannya?

29. LAMPIRAN- LAMPIRAN
LAMPIRAN 1
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)
Nama Kelompok :............................................................................
Anggota Kelompok:1......................................................................
2......................................................................
3......................................................................
4......................................................................
5......................................................................
Rangkuman Hasil Diskusi
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
No Pertanyaan Jawaban Hasil Diskusi
1
2
3
4
5

30. 7. Jumlah kertas yang diperlukan untuk mencetak x eksemplar modul matematika
dinyatakan dalam fungsi k(x) = 250(x + 1) lembar. Biaya pencetakan yang diperlukan
untuk k lembar adalah b(k) = 400k + 20.000 (dalam rupiah). Jika pengeluaran hari ini
untuk mencetak x eksemplar modul adalah Rp10.120.000,00 tentukan banyak
eksemplar modul yang dicetak.
8. Suatu pabrik memberikan ketentuan mengenai jumlah produksi dan jenisnya. Produksi
telepon genggam berbasis android adalah dua kali produksi telepon genggam berbasis
bukan android sedangkan produksi laptop adalah tiga kali produksi telepon genggam
berbasis android.
a. Gunakan mesin fungsi untuk menyatakan fungsinya.
b. Jika diproduksi 2.000 telepon genggam tidak berbasis android, berapa banyak
laptop yang dihasilkan? Selesaikan dengan mesin fungsi.
9. Anton membeli sebuah meja belajar dari sebuah toko. Ada banyak pilihan meja
dengan harga-harga yang bervariasi. Meja-meja tersebut berukuran besar. Karena
ukuran mobil Anton kecil, maka Anton memutuskan untuk menyewa jasa antar dari
toko tersebut. Setelah berdiskusi dengan pihak toko, maka total biaya yang harus
dibayar adalah harga meja belajar, pajak pembelian, dan biaya angkut.
Pajak pembelian sebesar 7,5% harga meja. Biaya angkut sebesar Rp20.000,00.
a. Tuliskan fungsi t(x) sebagai total harga meja yang mencakup harga meja dan pajak,
dengan x adalah harga satu meja.
b. Tuliskan juga fungsi f(x) sebagai total biaya yang mencakup harga meja dan biaya
angkut.
c. Tuliskan kedua komposisi fungsi berikut (f ◦ t)(x) dan (t ◦ f)(x). Manakah dari
kedua fungsi yang memberikan biaya yang lebih kecil untuk setiap harga meja?
d. Peraturan daerah di tempat Anton tinggal tidak melegalkan pengenaan pajak pada
biaya angkut. Komposisi fungsi yang mana dari bagian c yang sejalan dengan perda
ini?

31. LAMPIRAN 2
BAHAN BACAAN GURU DAN PESERTA DIDIK
KOMPOSISI FUNGSI
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 1.15 Jarak Henti Mobil
Seorang sopir sedang mengendarai mobil melewati sebuah desa kecil. Ketika melihat halangan
di depan, sopir menginjak rem agar mobil berhenti. Jarak henti disebabkan oleh dua hal.
Pertama, jarak akibat waktu yang diperlukan antara melihat halangan dan mengerem mobil
(waktu reaksi). Kedua, jarak tempuh akibat pengereman. Tabel 1.2 menunjukkan jarak henti
mobil sesuai dengan kecepatan mobil.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi

32. Penjumlahan dua atau lebih fungsi dapat menghasilkan fungsi yang baru. Perhatikan kedua
grafik di bawah ini. Fungsi f(x) (berwarna hijau) dijumlahkan dengan fungsi g(x)
(berwarna merah). Bagaimana dengan domain dan range dari fungsi yang baru?
Gambar 1.16 Penjumlahan Dua Fungsi
Apakah dua atau lebih fungsi hanya dapat dijumlahkan saja? Apakah fungsi juga
menyerupai bilangan yang jika ada lebih dari satu maka dapat dijumlahkan, dikurangkan,
dikalikan, dan dibagi? Apakah operasi fungsi akan memengaruhi domain dari fungsi baru
yang dihasilkan?
Jika f(x) dan g(x) merupakan dua fungsi dengan domain masing-masing Df dan Dg. Maka
penjumlahan (f + g) (x) = f (x) + g(x) menghasilkan fungsi yang baru dengan domain Df _
Dg.
Jika f(x) dan g(x) merupakan dua fungsi dengan domain masing-masing Df dan Dg. Maka
pengurangan (f − g)(x) = f(x) − g(x) menghasilkan fungsi yang baru dengan domain Df _ Dg.
2. Perkalian dan Pembagian Fungsi
Kalian telah melihat bahwa operasi penjumlahan dan pengurangan bisa diterapkan
terhadap dua fungsi. Operasi ini bisa diperluas penerapannya untuk lebih dari dua fungsi.
Sekarang, bagaimana dengan operasi perkalian dan pembagian dua atau lebih fungsi?
Jika f(x) dan g(x) merupakan dua fungsi dengan domain masing-masing Df dan Dg. Maka
perkalian (f · g)(x) = f(x) · g(x) menghasilkan fungsi yang baru dengan domain Df _ Dg.
Pembagian dua fungsi ⇣f g
⌘
(x) = f(x) g(x) secara umum belum tentu menghasilkan fungsi.
Supaya f g menjadi sebuah fungsi, pembagi g tidak boleh memiliki nilai 0. Dengan kata
lain, fg adalah fungsi dengan domain (Df _ Dg) − {x|g (x) = 0}.
3. Komposisi Fungsi
Potongan harga dan diskon merupakan hal yang biasa ditemui dalam kehidupan sehari-
hari. Misalkan, sebuah toko memberikan penawaran khusus akhir pekan dengan dua

33. pilihan. Pilihan pertama ialah “diskon 20%” terhadap semua barang dengan tambahan
potongan harga sebesar Rp25.000,00 setelah diskon 20%. Sedangkan pilihan kedua adalah
potongan harga sebesar Rp25.000,00 dilanjutkan diskon 20% setelah potongan harga.
Apakah kedua pilihan penawaran tersebut sama? Jika tidak, pilihan mana yang lebih
menguntungkan untuk pembeli?
Pertanyaan tersebut dapat kalian jawab dengan memahami konsep komposisi fungsi.
LAMPIRAN 3
GLOSARIUM
Operasi fungsi, Operasi aljabar pada suatu fungsi terdiri dari penjumlahan , pengurangan, perkalian
dan pembagian.
Komposisi fungsi, adalah susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan berkaitan. Dengan kata
lain, fungsi komposisi menggabungkan dua jenis fungsi seperti fungsi f(x) dan g(x) yang
disimbolkan "o". Contoh: Terdapat dua fungsi f(x) dan g(x) yang digabungkan.
LAMPIRAN 4
DAFTAR PUSTAKA
Dicky Susanto, dkk., Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Pusat Perbukuan Badan
Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset,
dan Teknologi Komplek Kemdikbudristek, Jakarta 2021
Dicky Susanto, dkk., Buku Panduan Guru Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Pusat
Perbukuan Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan Kementerian Pendidikan,
Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Komplek Kemdikbudristek, Jakarta 2021

34. MODUL AJAR
BAB 1 : KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
INFORMASI UMUM
A.IDENTITAS MODUL
Nama Penyusun :.....................................................................................
Satuan Pendidikan :SMA
Kelas / Fase :XI (Sebelas) - F
Mata Pelajaran : Matematika
Domain :Fungsi Invers
Prediksi Alokasi Waktu:12 JP
Tahun Penyusunan : 20 ..... / 20 .....
B.KOMPETENSI AWAL
Diskusikan contoh biaya sebagai fungsi dari jumlah bahan bakar dan jarak tempuh sebagai
fungsi dari bahan bakar. Tanyakan, “Apakah keduanya merupakan fungsi?” untuk mengecek
pemahaman siswa tentang fungsi. (Ya, keduanya merupakan fungsi). Guru bertanya lanjut,
“Apa perbedaan fungsi linear, fungsi kuadrat dan fungsi eksponensial? Berikan contoh.”
(Untuk fungsi linear, jika x naik 3 kali maka nilai fungsi juga naik 3 kali. Untuk fungsi
eksponensial, jika x naik 3 kali maka kenaikan nilai fungsi bergantung pada bentuk
eksponensial.)
C.PROFIL PELAJAR PANCASILA
1. (Semakin) beriman, bertakwa kepada Tuhan YME, dan berakhlak mulia, mandiri, bernalar,
kreatif, bergotong royong, dan berkebinekaan global;
2. Berpikir kritis untuk memecahkan masalah (kecakapan abad 21);
3. Menganalisis, mengevaluasi, dan menyusun teks lisan dan tulis dengan lancar dan spontan
secara teratur tanpa ada hambatan dalam berinteraksi dan berkomunikasi dalam jenis teks
naratif;
4. Mentransfer informasi verbal menjadi informasi visual (keterampilan literasi).
D.SARANA DAN PRASARANA
1. Aplikasi Geogebra 2. Aplikasi Microsoft Excel
3. Penggaris 4. Kertas berpetak
5. Alat tulis
E.TARGET PESERTA DIDIK
Peserta didik reguler/tipikal: umum, tidak ada kesulitan dalam mencerna dan memahami materi
ajar.
F.MODEL PEMBELAJARAN
Blended learning melalui model pembelajaran dengan menggunakan Project Based Learning
(PBL) terintegrasi pembelajaran berdiferensiasi berbasis Social Emotional Learning (SEL).

35. KOMPONEN INTI
A.TUJUAN PEMBELAJARAN
Menjelaskan syarat dan aturan pembuatan fungsi invers
Menggunakan fungsi invers untuk menyelesaikan masalah
B.PEMAHAMAN BERMAKNA
Untuk relasi fungsi yang berbentuk aljabar minta siswa memberikan contoh fungsi kuadrat
seperti f x x 2x 1. 2 ^ h= - + Minta siswa memberikan contoh fungsi linear dan aplikasinya
dalam hidup sehari-hari.
Latih siswa dengan berbagai bentuk relasi dalam himpunan pasangan berurutan, diagram
panah, dan diagram Kartesius untuk menentukan apakah relasi tersebut sebagai fungsi dan
bukan fungsi.
C.PERTANYAAN PEMANTIK
Apakah relasi antara alamat email dan seorang siswa merupakan fungsi?
Apakah setiap siswa hanya mempunyai satu alamat email?
Apakah mungkin dua siswa mempunyai alamat email yang sama?
Apakah mungkin seorang siswa mempunyai lebih dari satu alamat email?”
D.KEGIATAN PEMBELAJARAN
PERTEMUAN KE-1
Kegiatan Pendahuluan (10 Menit)
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti (90 Menit)
Guru meminta siswa memperhatikan titik-titik dalam grafik 1.9 dengan saksama. Guru
memulai dengan bertanya, “Apakah yang ingin dijelaskan oleh grafik ini?” dan meminta
siswa berdiskusi dalam kelompok. (Grafik menggambarkan hubungan antara kecepatan
pelari dengan waktu. Kecepatan pelari pada suatu waktu tertentu dinyatakan oleh suatu titik.
Ada waktuwaktu tertentu yang menunjukkan dengan kecepatan yang sama).
Setelah eksplorasi maka beberapa kelompok memberikan hasil eksplorasinya.
Setelah diskusi kelompok dan kelas, guru dapat menyimpulkan hasil temuan, yaitu
-grafik memberikan informasi suatu keadaan
-informasi dalam bentuk masukan dan keluaran yang diberikan oleh grafik menunjukkan
relasi
Guru mengulang penulisan himpunan jika ada yang belum paham.
Kegiatan Penutup (10 Menit)
Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.

36. Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
PERTEMUAN KE-2
Kegiatan Pendahuluan (10 Menit)
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti (90 Menit)
Guru meminta seorang siswa membacakan masalah kedua ini. Guru memastikan semua
siswa sudah memahami konteks permasalahannya dengan cara meminta beberapa siswa
menjelaskan kembali konteks atau menggunakan strategi Think-Pair-Share, yaitu setiap
siswa diminta untuk membaca dan memahami masalah, kemudian berpasangan dan secara
bergiliran menjelaskan masalahnya, kemudian guru meminta beberapa pasang untuk
menjelaskan masalah kepada seluruh kelas.
Tahap ini penting dilakukan untuk membiasakan siswa membaca masalah secara teliti, dan
memahami apa yang menjadi inti permasalahan, dan memilah informasi apa yang penting
dan relevan. Strategi ini juga melatih kemampuan literasi membaca dari siswa.
Setelah eksplorasi beberapa siswa menyampaikan hasil dan alsannya.
Setelah diskusi kelompok dan kelas, guru dapat menyimpulkan hasil temuan, yaitu
-pengertian domain, kodomain dan range terlihat jelas dalam konteks nyata
-penulisan range yang tepat
Guru menggunakan penjelasan gambar 1.11 dan 1.12 untuk memantapkan pengertian
domain dan range dan penulisannya dalam notasi himpunan.
Berikan lagi satu contoh jika ada yang belum paham untuk menentukan domain, kodomain
dan range serta penulisannya dalam notasi himpunan.
Ayo Berkomunikasi
Siswa menjelaskan pengertian domain dan range dengan kata-kata sendiri.
Guru meminta siswa memperhatikan gambar 1.13 untuk menjelaskan pengertiannya.
Ayo Berpikir Kritis
Kalian sudah memahami penggunaan domain, kodomain dan range dalam kehidupan sehari-
hari. Berikan contoh lain dalam kehidupan nyata yang membedakan pengertian kodomain
dan range.
Contoh adalah relasi antara harga barang dengan jumlah barang dalam satuan.
Kegiatan Penutup (10 Menit)

37. Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
PERTEMUAN KE-3
Kegiatan Pendahuluan (10 Menit)
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti (90 Menit)
Pada eksplorasi bagian ketiga ini siswa perlu paham bagaimana fungsi terdefinisi. Grafik
sanagt menolong untuk menentuakn fungsi terdefinisi.
Setelah diskusi kelompok dan kelas, guru dapat menyimpulkan hasil temuan, yaitu
-pentingnya memahami fungsi terdefinisi
-penulisan domain dan range yang tepat.
Guru menekankan bahwa penentuan domain dan range suatu fungsi berkaitan dengan
konteksnya. Contoh, biaya pembuatan kue diberikan oleh B^xh=40000+10x dengan x adalah
jumlah kue. Jika digambarkan maka fungsi ini berupa garis lurus dan domainnya adalah x >
0 dengan x merupakan bilangan bulat. Rangenya juga merupakan bilangan bulat. Minta
siswa menemukan contoh-contoh lain yang menunjukkan konteks untuk menentukan
domain, kodomain dan range.
Guru dapat memberikan contoh-contoh lain untuk menentukan domain dan range dari
fungsi eksponensial dan fungsi kuadrat. Gunakan grafik terlebih dahulu dilanjutkan dengan
bentuk aljabar fungsi.
Kegiatan Penutup (10 Menit)
Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
E.ASESMEN / PENILAIAN
1. ASESMEN DIAGNOSTIK:
Mengetahui kondisi awal mental para peserta didik

38. No Pertanyaan
Pilihan Jawaban
Ya Tidak
1Apa kabar hari ini?
2Apakah ada yang sakit hari ini?
3Apakah kalian dalam keadaan sehat?
4Apakah anak-anak merasa bersemangat hari ini?
5Apakah tadi malam sudah belajar?
2.ASESMEN FORMATIF:
Diskusi : melatih kemampuan peserta didik dalam berkolaborasi dengan kelompoknya,
melatih berbicara dan berani mengungkapakan pendapat, memunculkan ide-idenya, bekerja
sama dalam tim
Presentasi: melatih kemampuan peserta didik dalam melatih berbicara di depan umum,
berani mengajukan pertanyaan terhadap pemaparan hasil praktikum milik kelompok lain,
memaksimalkan kerja kelompok
Unjuk kerja : menilai keterampilan proses yang dimiliki setiap anak, dan perkembangannya
FORMAT PENILAIAN FORMATIF
NoNama Peserta Didik
Materi 1Materi 2Materi 3
Total
Skor
NilaiSkor NilaiSkor NilaiSkor Nilai
123412341234
1
2
3
4
5
dst
3.ASESMEN SUMATIF
Dilaksanakan diakhir pembelajaran untuk mengukur tingkat capaian pemahaman sains
peserta didk untuk menentukan langkah selajutnya.
Guru melakukan pengamatan selama diskusi berlangsung. Hasil pengamatan berupa
jawaban siswa dan partisipasi siswa dalam diskusi dapat dicatat dalam jurnal untuk
ditinjau kembali
Guru memeriksa kelengkapan lembar pengamatan siswa
Asesmen ini dibuat Individu, kelompok, peforma dan tertulis- formatif dan sumatif
a.Instrumen Penilaian Sikap
1)Sikap Spiritual
Teknik Penilaian: Penilaian diri

39. Instrumen Penilaian: Rubrik
Nama Peserta didik: ....................................................
No. Indikator SLSRKDTP
1
2
3
4
5
2)Sikap Sosial
Teknik Penilaian: Penilaian Antar Teman
Instrumen Penilaian: Rubrik
Nama Peserta didik: ....................................................
No. Indikator SLSRKDTP
1
2
3
4
5
Keterangan
SL=Selalu :sangat baik
SR=Sering :baik
KD=Kadang-kadang:cukup
TP=Tidak Pernah:perlu bimbingan
b.Instrumen Penilaian Pengetahuan
Penilaian Kelompok
No Nama Kelompok
Aspek Penilaian
Jumlah
Nilai
KetertibanKekompakanPerformanc
e
1
2
3
4
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria

40. 1 4 Sangat baik
2 3 Baik
3 2 Cukup
4 1 Kurang
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
12
c.Penilaian Keterampilan
No Nama
Aspek yang Dinilai
Jumlah
Skor
Nilai
Baik SedangKurang
1
2
3
Keterangan:
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 4 Sangat baik
2 3 Baik
3 2 Cukup
4 1 Kurang
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
12
Penilaian Hasil Kerja Kelompok
No Nama Kelompok
Aspek Penilaian
Jumlah
Nilai
Ketepatan
jawaban
Estetika (nilai seni)
paparan
1
2
3
4
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 8 Sangat baikSemua jawaban benar/tepat, menarik
2 6 Baik Sebagian besar jawaban benar, menarik
3 4 Cukup Separuh jawaban benar, menarik
4 2 Kurang Sebagian kecil jawaban benar, menarik
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100

41. 16
3.PENILAIAN SUMATIF
ASSESMEN SIKAP
Penilaian sikap ini dilakukan melalui pengamatan (observasi) Guru selama kegiatan
pembelajaran Penilaian ini dilakukan agar Guru melihat sikap perilaku peserta didik dalam
menjaga hidup bersama di masyarakat pada kehidupan sehari-hari (civic disposition),
seperti sopan santun, percaya diri, dan bertoleransi. Bentukpedoman penilaian yang dapat
digunakan oleh Guru adalah sebagai berikut:
Kriteria
Sangat baik Baik Cukup
Perlu
dikembangkan
4 3 2 1
Sopan
santun
Peserta didik
berlaku sopan, baik
selama proses
pembelajaran
maupun di luar
kelas.
Peserta didik
berlaku sopan hanya
selama
proses pembelajaran
Peserta didik
hanya berlaku
sopan hanya
kepada Guruatau
peserta didik yang
lain.
Peserta didik
belum
menampakkan
perilaku
sopan
Percaya
diri
Peserta didik
berani
berpendapat,
ertanya, atau
menjawab
ertanyaan, serta
mengambil
keputusan
Peserta didik berani
berpendapat,
ertanya, atau
menjawab
pertanyaan
Peserta didik
hanya berani
menjawab ha-
nya saat
Guru bertanya
Peserta didik
kesulitan dalam
berpendapat,
bertanya,
maupun menjawab
pertanyaan
ToleransiPeserta didik dapat
menghargai
pendapat peserta
didik lain
dan menerima
kesepakatan
meskipun berbeda
dengan
pendapatnya
Peserta didik dapat
menghargai
pendapat peserta
didik lain
dan kurang bisa
menerima
kesepakatan
Peserta didik dapat
menghargai
pendapat
peserta didik lain
dan tidak bisa
menerima
kesepakatan
Peserta didik
tidak dapat
menghargai
pendapat
peserta didik
lain dan tidak
bisa menerima
kesepakatan
ASESSMEN PENGETAHUAN
Penilaian pengetahuan dilaksanakan melalui tes setelah kegiatan pembelajaran
berlangsung. Penilaian pengetahuan diberikan dalam bentuk pilihan ganda, benar salah,
maupun esai. Penilaian pengetahuan ini bertujuan agar Guru mampu melihat pengetahuan
yang telah dikuasai peserta didik dalam kegiatan.
Kriteria
Sangat baikBaik Cukup
Perlu dikem
bangkan
4 3 2 1

42. ASSESMEN HASIL BELAJAR
Penilaian ini dilakukan melalui pengamatan (observasi) Guru selama kegiatan
pembelajaran berlangsung. Penilaian ini bertujuan agar guru dapat melihat
kemampuan peserta didik dalam soft skill-nya. Adapun pedoman penilaian yang
dapat digunakan oleh Guru adalah sebagai berikut
Kriteria
Sangat baikBaik Cukup
Perlu dikem
bangkan
4 3 2 1
F.PENGAYAAN DAN REMEDIAL
Pengayaan
Bagi siswa dengan kecepatan belajar tinggi (advanced), minta mereka membuat pertanyaan-
pertanyaan tambahan untuk dijawab baik sendiri maupun dari teman dengan kecepatan belajar
tinggi. Mereka dapat ditantang untuk membuat grafik yang menunjukkan fungsi dan bukan
fungsi dengan menggunakan Geogebra. Minta mereka juga mencatat jika ada pertanyaan yang
tidak dapat mereka jawab dengan informasi yang ada.
Remedial
Pastikan siswa dapat memahami fungsi sebagai relasi yang menghubungkan masukan dan
keluaran, khususnya dalam kehidupan sehari-hari. Fungsi berperan sangat penting dalam
kehidupan seharihari. Bagi siswa yang mengalami kesulitan mengidentifikasi relasi yang bukan
fungsi dan fungsi, perlu diberikan lebih banyak contoh lagi. Minta siswa mengerjakan soal-soal
yang menggunakan tes garis vertikal untuk menyelesaikannya.
G.REFLEKSI GURU DAN PESERTA DIDIK
Refleksi Guru:
No Aspek Refleksi Guru Jawaban
1Penguasaan
Materi
Apakah saya sudah memahami cukup
baik materi dan aktifitas pembelajaran
ini?
2Penyampaian
Materi
Apakah materi ini sudah tersampaikan
dengan cukup baik kepada peserta
didik?
3Umpan balikApakah 100% peserta didik telah
mencapai penguasaan tujuan

43. pembelajaran yang ingin dicapai?
Refleksi Peserta Didik:
Ajak siswa untuk refleksi diri dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut. Siswa dapat
menuliskannya dalam buku jurnal refleksi dan minta mereka memberikan bukti atau contoh
pemahaman mereka.
1. Apakah saya sudah dapat membedakan fungsi dengan bukan fungsi dalam beberapa cara
representasi?
2. Apakah saya dapat menentukan domain, kodomain dan range dari suatu fungsi?

44. LAMPIRAN- LAMPIRAN
LAMPIRAN 1
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)
Nama Kelompok :............................................................................
Anggota Kelompok:1......................................................................
2......................................................................
3......................................................................
4......................................................................
5......................................................................
Rangkuman Hasil Diskusi
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
No Pertanyaan Jawaban Hasil Diskusi
1
2
3
4
5
1. Gambarkan fungsi-fungsi di bawah ini dan tentukan apakah fungsi-fungsi tersebut mempunyai
fungsi invers. Jelaskan alasanmu.
2. Tentukan fungsi invers (jika ada) dari fungsi-fungsi di bawah ini, juga domain dan range-nya.
3. Berikut ini adalah grafik dari fungsi

45. a. Gambarkan grafik dari invers fungsi g(x) dengan pencerminan terhadap y = x
b. Temukan persamaan matematis untuk fungsi invers
c. Plotlah dengan menggunakan beberapa titik fungsi invers
4. Diketahui
5. Populasi badak Jawa terhadap waktu diberikan pada grafik di bawah ini.
Apakah grafik ini menunjukkan fungsi bijektif atau surjektif? Jelaskan.

46. LAMPIRAN 2
BAHAN BACAAN GURU DAN PESERTA DIDIK
FUNGSI INVERS
Kalian pasti sering menemukan bahasa Inggris dalam kehidupan sehari-hari, baik lewat film,
berita, cerita ataupun lagu. Kalian memahami artinya dengan menerjemahkan ke dalam bahasa
Indonesia.
Gambar 1.24 Mesin Penerjemahan Bahasa
• Dapatkah kalian menerjemahkan nama mata pelajaran (sebaliknya) dari bahasa Indonesia ke
dalam dalam bahasa Inggris?
• Apakah proses kebalikan dapat kalian terapkan juga untuk semua relasi?
Berdasarkan Gambar 1.24, dapat diamati bahwa dengan membalikkan arah panah, untuk setiap
mata pelajaran dalam bahasa Indonesia (keluaran), kalian bisa mencari kata yang mempunyai
arti yang sama dalam bahasa Inggris (masukan).
Prosedur ini membentuk suatu relasi kebalikan (invers) antara anggota-anggota keluaran dan
masukan. Apakah relasi kebalikan ini berlaku juga pada fungsi? Apakah relasi kebalikan
membentuk sebuah fungsi yang dikenal dengan fungsi invers?
Pertanyaan ini akan bisa kalian jawab dengan memahami terlebih dahulu fungsi injektif,
surjektif, dan bijektif.
Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif
Perhatikan kembali Gambar 1.9 dan 1.11. Pada grafik 1.9 ketika waktu = 6 detik dan 7 detik
pelari memiliki kecepatan yang sama, yaitu 12 m/det. Pada grafik 1.11 terlihat bahwa jumlah
bahan bakar berbeda menghasilkan jarak tempuh berbeda. Gambar 1.25 di bawah ini
menunjukkan jenis relasi yang berbeda. Menurut kalian, relasi mana dalam Gambar 1.25 yang
menunjukkan grafik 1.9 dan grafik 1.11? Berdasarkan jenis relasinya, fungsi dibagi menjadi
tiga jenis:
Gambar 1.25 Fungsi Injektif, Fungsi Surjektif, dan Fungsi Bijektif

47. LAMPIRAN 3
GLOSARIUM
Fungsi invers, invers memiliki arti suatu fungsi yang mempunyai kebalikan dengan fungsi asal.
Secara umum, yang mempunyai lambang (f) hanya bisa memiliki invers (f
-1
) kalau fungsi tersebut
menjadi satu-satun dan juga fungsi bijektif.
LAMPIRAN 4
DAFTAR PUSTAKA
Dicky Susanto, dkk., Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Pusat Perbukuan Badan
Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset,
dan Teknologi Komplek Kemdikbudristek, Jakarta 2021
Dicky Susanto, dkk., Buku Panduan Guru Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Pusat
Perbukuan Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan Kementerian Pendidikan,
Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Komplek Kemdikbudristek, Jakarta 2021

48. MODUL AJAR
BAB II : LINGKARAN
INFORMASI UMUM
A.IDENTITAS MODUL
Nama Penyusun :.....................................................................................
Satuan Pendidikan :SMA
Kelas / Fase :XI (Sebelas) - F
Mata Pelajaran : Matematika
Elemen :Lingkaran dan Busur Lingkaran
Prediksi Alokasi Waktu:4 x 45 Menit JP/Minggu
Tahun Penyusunan : 20 ..... / 20 .....
B.KOMPETENSI AWAL
Gambar 2.1 Sepeda dengan Berbagai Bentuk Roda
Meminta peserta didik membayangkan bagaimana rasanya mengendarai masing-masing sepeda
yang terlihat pada gambar. Setiap titik pada lingkaran jaraknya sama dari pusat lingkaran. Roda
sepeda berbentuk lingkaran. Setiap titik pada ban sepeda jaraknya sama dari poros roda. Jika
rangka sepeda terhubung pada poros roda, maka saat roda berputar, rangka (dan juga sadel
sepeda) selalu berada pada jarak yang sama dari permukaan jalan. Sehingga pengendara (yang
duduk pada sadel) selalu berada pada jarak yang sama dari permukaan jalan. Roda sepeda yang
bentuknya lingkaran adalah yang paling nyaman digunakan untuk berkendara di jalanan yang
rata.
C.PROFIL PELAJAR PANCASILA
1. (Semakin) beriman, bertakwa kepada Tuhan YME, dan berakhlak mulia, mandiri, bernalar,
kreatif, bergotong royong, dan berkebinekaan global;
2. Berpikir kritis untuk memecahkan masalah (kecakapan abad 21);

49. 3. Menganalisis, mengevaluasi, dan menyusun teks lisan dan tulis dengan lancar dan spontan
secara teratur tanpa ada hambatan dalam berinteraksi dan berkomunikasi dalam jenis teks
naratif;
4. Mentransfer informasi verbal menjadi informasi visual (keterampilan literasi).
D.SARANA DAN PRASARANA
Kertas
Jangka
Busur derajat
Penggaris
E.TARGET PESERTA DIDIK
Peserta didik reguler/tipikal: umum, tidak ada kesulitan dalam mencerna dan memahami materi
ajar.
F.MODEL PEMBELAJARAN
Blended learning melalui model pembelajaran dengan menggunakan Project Based Learning
(PBL) terintegrasi pembelajaran berdiferensiasi berbasis Social Emotional Learning (SEL).

50. KOMPONEN INTI
A.TUJUAN PEMBELAJARAN
Memahami hubungan sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama
Memahami hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap pada busur
yang sama
Menerapkan teorema lingkaran dalam menyelesaikan permasalahan yang terkait
B.PEMAHAMAN BERMAKNA
Memahami hubungan sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama;
Memahami hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap pada busur
yang sama; dan
Menerapkan teorema lingkaran dalam menyelesaikan permasalahan yang terkait.
C.PERTANYAAN PEMANTIK
Mengapa roda sepeda berbentuk lingkaran?
Apa saja sifat-sifat lingkaran?
Apakah semua lingkaran sebangun?
Bangun datar yang seperti apa yang semua titik sudutnya terletak pada lingkaran?
D.KEGIATAN PEMBELAJARAN
Kegiatan Pendahuluan
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti
Ayo Bereksplorasi
Sebelum memulai Eksplorasi 2.1, guru menjelaskan terlebih dahulu istilah busur lingkaran
dan pengertiannya, sebagaimana terdapat pada Buku Siswa berikut. Guru memastikan siswa
dapat mengidentifikasi busur minor dan busur mayor secara formatif sebelum melakukan
eksplorasi. Guru juga memperkenalkan sudut pusat dan sudut keliling.

51. Bagian dari lingkaran disebut busur lingkaran. Busur yang lebih kecil disebut busur minor
(pada gambar berwarna biru) dan bagian yang lebih besar disebut busur mayor (berwarna
merah).
Jika hanya disebutkan kata busur, maka yang dimaksud adalah busur minor.
Busur BC dituliskan BC % . Besarnya busur BC % ditentukan oleh besarnya +BAC = a
(Titik A adalah pusat lingkaran).
Dalam matematika,
Sudut α disebut sudut pusat yang menghadap pada BC %. Sudut pusat adalah sudut yang
titik sudutnya terletak pada pusat lingkaran dan kaki-kaki sudutnya adalah jari-jari
lingkaran.
Sudut θ disebut sudut keliling yang menghadap pada BC %.
Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan kaki-kaki
sudutnya berupa tali busur.
Apakah kalian ingat apa yang dimaksud tali busur? Tali busur adalah ruas garis yang
menghubungkan dua titik pada lingkaran.
Guru memulai Eksplorasi 2.1 yang ada di Buku Siswa dengan membacakan atau meminta
salah satu siswa membacakan permasalahannya. Sebuah kolam berbentuk lingkaran. Pada
salah satu bagian kolam ada perosotan. Pengelola ingin meletakkan lampu sehingga daerah
perosotan selalu terang. Jika daerah yang ingin diterangi ditampilkan sebagai busur
lingkaran berwarna biru. Busur lingkaran tersebut besarnya α.
Setiap lampu yang diproduksi oleh pabrik Q dapat menyinari daerah dengan jarak tertentu
dan sudut penyinaran tertentu (β).
Jika semua lampu yang ada dalam gudang pengelola kolam dapat menyinari jarak yang
dibutuhkan, bantulah pengelola taman memilih sudut penyinaran yang tepat.

52. 1. Lampu taman dengan sudut penyinaran 30° diletakkan pada titik M dan dapat menerangi
perosotan pada BC%. Di mana saja pengelola dapat memasang lampu yang sama dan tetap
menyinari perosotan pada BC%?
2. Jika lampu diletakkan di pusat kolam dan ingin menyorot BC %, apakah lampu dengan
sudut penyinaran 30° dapat digunakan? Jika tidak, berapa sudutnya?
3. Jika ukuran perosotan berubah ( BC %) bagaimana pengaruhnya terhadap perubahan
sudut penyinaran yang dibutuhkan?
Guru memastikan semua siswa sudah memahami konteks permasalahannya dengan cara
meminta beberapa siswa menjelaskan kembali konteks atau menggunakan strategi Think-
Pair-Share, yaitu setiap siswa diminta untuk membaca dan memahami masalah, kemudian
berpasangan dan secara bergiliran menjelaskan masalahnya, kemudian guru meminta
beberapa pasang untuk menjelaskan masalah kepada seluruh kelas.
Ayo Bereksplorasi
Setelah diskusi kelompok dan diskusi kelas, guru dapat menyimpulkan hasil temuan.
Sudut pusat besarnya dua kali sudut keliling yang menghadap ke busur lingkaran yang sama.
Sudut keliling yang menghadap ke busur yang sama besarnya sama.
Sudut keliling yang menghadap ke diameter besarnya siku-siku.
Ayo Berkomunikasi
Bagian Pembuktian menjadi penting untuk memastikan siswa menghindari miskonsepsi di
atas. Guru membacakan skenario Rani dan Nyoman dan mendorong siswa untuk melakukan
diskusi di dalam kelompok untuk keempat kasus yang dibicarakan oleh Rani dan Nyoman.
Guru dapat menggunakan pendekatan pembelajaran kooperatif dengan menggunakan
metode Within Team Jigsaw, yaitu setiap kelompok terdiri dari 4 siswa dan masing-masing
siswa bertanggung jawab untuk mempelajari satu dari empat kasus yang ada dan
menjelaskan kepada anggota kelompok lainnya. Karena kasus ketiga diberikan sebagai soal
latihan, guru dapat memberikan jawaban terlebih dahulu kepada anggota kelompok yang

53. bertanggung jawab untuk kasus ketiga, atau jika siswa memiliki kemampuan yang baik
(dapat jug dipilih siswa yang memiliki kemampuan baik), dapat mengerjakan terlebih
dahulu sebelum diskusi. Berikan waktu siswa mempelajari kasus-kasus sebelum kemudian
mereka saling menjelaskan.
Kegiatan Penutup
Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
E.ASESMEN / PENILAIAN
1. ASESMEN DIAGNOSTIK:
Mengetahui kondisi awal mental para peserta didik
No Pertanyaan
Pilihan Jawaban
Ya Tidak
1Apa kabar hari ini?
2Apakah ada yang sakit hari ini?
3Apakah kalian dalam keadaan sehat?
4Apakah anak-anak merasa bersemangat hari ini?
5Apakah tadi malam sudah belajar?
2.ASESMEN FORMATIF:
Diskusi : melatih kemampuan peserta didik dalam berkolaborasi dengan kelompoknya,
melatih berbicara dan berani mengungkapakan pendapat, memunculkan ide-idenya, bekerja
sama dalam tim
Presentasi: melatih kemampuan peserta didik dalam melatih berbicara di depan umum,
berani mengajukan pertanyaan terhadap pemaparan hasil praktikum milik kelompok lain,
memaksimalkan kerja kelompok
Unjuk kerja : menilai keterampilan proses yang dimiliki setiap anak, dan perkembangannya
FORMAT PENILAIAN FORMATIF
NoNama Peserta Didik
Materi 1Materi 2Materi 3
Total
Skor
NilaiSkor NilaiSkor NilaiSkor Nilai
123412341234
1
2
3
4

54. 5
dst
3.ASESMEN SUMATIF
Dilaksanakan diakhir pembelajaran untuk mengukur tingkat capaian pemahaman sains
peserta didk untuk menentukan langkah selajutnya.
Guru melakukan pengamatan selama diskusi berlangsung. Hasil pengamatan berupa
jawaban siswa dan partisipasi siswa dalam diskusi dapat dicatat dalam jurnal untuk
ditinjau kembali
Guru memeriksa kelengkapan lembar pengamatan siswa
Asesmen ini dibuat Individu, kelompok, peforma dan tertulis- formatif dan sumatif
a.Instrumen Penilaian Sikap
1)Sikap Spiritual
Teknik Penilaian: Penilaian diri
Instrumen Penilaian: Rubrik
Nama Peserta didik: ....................................................
No. Indikator SLSRKDTP
1
2
3
4
5
2)Sikap Sosial
Teknik Penilaian: Penilaian Antar Teman
Instrumen Penilaian: Rubrik
Nama Peserta didik: ....................................................
No. Indikator SLSRKDTP
1
2
3
4
5
Keterangan
SL=Selalu :sangat baik
SR=Sering :baik
KD=Kadang-kadang:cukup
TP=Tidak Pernah:perlu bimbingan

55. b.Instrumen Penilaian Pengetahuan
Penilaian Kelompok
No Nama Kelompok
Aspek Penilaian
Jumlah
Nilai
KetertibanKekompakanPerformanc
e
1
2
3
4
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 4 Sangat baik
2 3 Baik
3 2 Cukup
4 1 Kurang
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
12
c.Penilaian Keterampilan
No Nama
Aspek yang Dinilai
Jumlah
Skor
Nilai
Baik SedangKurang
1
2
3
Keterangan:
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 4 Sangat baik
2 3 Baik
3 2 Cukup
4 1 Kurang
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
12
Penilaian Hasil Kerja Kelompok
No Nama Kelompok Aspek Penilaian Jumlah

56. Nilai
Ketepatan
jawaban
Estetika (nilai seni)
paparan
1
2
3
4
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 8 Sangat baikSemua jawaban benar/tepat, menarik
2 6 Baik Sebagian besar jawaban benar, menarik
3 4 Cukup Separuh jawaban benar, menarik
4 2 Kurang Sebagian kecil jawaban benar, menarik
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
16
3.PENILAIAN SUMATIF
ASSESMEN SIKAP
Penilaian sikap ini dilakukan melalui pengamatan (observasi) Guru selama kegiatan
pembelajaran Penilaian ini dilakukan agar Guru melihat sikap perilaku peserta didik dalam
menjaga hidup bersama di masyarakat pada kehidupan sehari-hari (civic disposition),
seperti sopan santun, percaya diri, dan bertoleransi. Bentukpedoman penilaian yang dapat
digunakan oleh Guru adalah sebagai berikut:
Kriteria
Sangat baik Baik Cukup
Perlu
dikembangkan
4 3 2 1
Sopan
santun
Peserta didik
berlaku sopan, baik
selama proses
pembelajaran
maupun di luar
kelas.
Peserta didik
berlaku sopan hanya
selama
proses pembelajaran
Peserta didik
hanya berlaku
sopan hanya
kepada Guruatau
peserta didik yang
lain.
Peserta didik
belum
menampakkan
perilaku
sopan
Percaya
diri
Peserta didik
berani
berpendapat,
ertanya, atau
menjawab
ertanyaan, serta
mengambil
keputusan
Peserta didik berani
berpendapat,
ertanya, atau
menjawab
pertanyaan
Peserta didik
hanya berani
menjawab ha-
nya saat
Guru bertanya
Peserta didik
kesulitan dalam
berpendapat,
bertanya,
maupun menjawab
pertanyaan
ToleransiPeserta didik dapat
menghargai
pendapat peserta
Peserta didik dapat
menghargai
pendapat peserta
Peserta didik dapat
menghargai
pendapat
Peserta didik
tidak dapat
menghargai

57. didik lain
dan menerima
kesepakatan
meskipun berbeda
dengan
pendapatnya
didik lain
dan kurang bisa
menerima
kesepakatan
peserta didik lain
dan tidak bisa
menerima
kesepakatan
pendapat
peserta didik
lain dan tidak
bisa menerima
kesepakatan
ASESSMEN PENGETAHUAN
Penilaian pengetahuan dilaksanakan melalui tes setelah kegiatan pembelajaran
berlangsung. Penilaian pengetahuan diberikan dalam bentuk pilihan ganda, benar salah,
maupun esai. Penilaian pengetahuan ini bertujuan agar Guru mampu melihat pengetahuan
yang telah dikuasai peserta didik dalam kegiatan.
Kriteria
Sangat baikBaik Cukup
Perlu dikem
bangkan
4 3 2 1
ASSESMEN HASIL BELAJAR
Penilaian ini dilakukan melalui pengamatan (observasi) Guru selama kegiatan
pembelajaran berlangsung. Penilaian ini bertujuan agar guru dapat melihat
kemampuan peserta didik dalam soft skill-nya. Adapun pedoman penilaian yang
dapat digunakan oleh Guru adalah sebagai berikut
Kriteria
Sangat baikBaik Cukup
Perlu dikem
bangkan
4 3 2 1
F.PENGAYAAN DAN REMEDIAL
Pengayaan
Peserta didik yang daya tangkap dan daya kerjanya lebih dari peserta didik lain, guru
memberikan kegiatan pengayaan yang lebih menantang dan memperkuat daya serapnya
terhadap materi yang telah diajarkan guru.
Gambar 2.8 menunjukkan segitiga sama sisi. Titik P terletak pada lingkaran luar segitiga ABC.
Titik P dihubungkan dengan setiap titik sudut segitiga ABC. Jika AP lebih panjang daripada BP
dan CP, buktikan bahwa:
AP = BP + CP

58. Gambar 2.8 Segitiga Sama Sisi ABC
Sifat ini pertama kali ditemukan oleh matematikawan Belanda bernama Frans van Schooten,
karena itu disebut sebagai Teorema van Schooten.
Remedial
Peserta didik yang hasil belajarnya belum mencapai target, guru melakukan pengulangan
materi dengan pendekatan yang lebih individual dengan memberikan tugas individu tambahan
untuk memperbaiki hasil belajar peserta didik yang bersangkutan
PROGRAM REMEDIAL DAN PENGAYAAN
Sekolah :..............................................……………….
Mata Pelajaran:..............................................……………….
Kelas / Semester:……… / ………
No
Nama
Peserta
Didik
No
Kode
ATP
Rencana Program
Tanggal
Pelaksanaan
Hasil
Kesimpulan
RemedialPengayaan SebelumSesudah
1
2
3
4
5
dst
G.REFLEKSI GURU DAN PESERTA DIDIK
Refleksi Guru:
Ajak siswa untuk refleksi diri dengan menjawab pertanyaan berikut. Siswa dapat
menuliskannya dalam buku jurnal refleksi dan minta mereka memberikan bukti atau contoh
pemahaman mereka.
Apakah saya memahami hubungan sudut keliling dan busur lingkaran?
Apakah saya memahami hubungan sudut keliling dan sudut pusat?
Apakah saya bisa mengerjakan soal-soal yang terkait dengan sudut keliling dan sudut pusat
lingkaran?
Refleksi Peserta Didik:
Pertanyaan yang dapat diajukan kepada peserta didik pada saat kegiatan refleksi:

59. Apakah kalian memahami intruksi yang dilakukan dalam pembelajaran? 
Apakah materi yang disampaikan, didiskusikan, dan dipresentasikan dalam pembelajaran
dapat kalian pahami? 
Manfaat apa yang kalian peroleh dari materi pembelajaran? 
Sikap positif apa yang kalian peroleh selama mengikuti kegiatan pembelajaran? 
Kesulitan apa yang kalian alami dalam pembelajaran? 
Apa saja yang kalian lakukan untuk belajar yang lebih baik?

60. LAMPIRAN- LAMPIRAN
LAMPIRAN 1
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)
LATIHAN 2.1
1. Ini adalah Kasus 3 dari bukti Eksplorasi 2.1.
a. Gambarkan sudut pusat yang menghadap ke busur yang sama dengan sudut keliling _BAC.
b. Apakah pada lingkaran berikut juga berlaku bahwa sudut pusat besarnya dua kali lipat
sudut keliling? Buktikan.
2. Jika _BOC = 90◦, berapakah besar _BEC ?
3. Lingkaran A berjari-jari 2 satuan. Jika panjang BC = 2, tentukan besar _BDC
4. AB adalah diameter pada lingkaran berikut. Jari-jari lingkaran 8,5 cm dan panjang AC= 8 cm.
Tentukan:

61. a. besar _ACB
b. panjang AB
c. panjang BC
5. Apa yang salah pada gambar berikut?
6. Lingkaran A berjari-jari 2 cm. Tentukan:
a. besar _BDC
b. jika _CAD = 90◦, tentukan besar _ACD.
c. panjang CD
LAMPIRAN 2
BAHAN BACAAN GURU DAN PESERTA DIDIK
LINGKARAN DAN BUSUR LINGKARAN
Gambar 2.3 Mercusuar
Pada masa sebelum adanya GPS (Global Positioning System), mercusuar dibangun untuk menolong
kapal bernavigasi sehingga tidak menabrak karang. Daerah yang diterangi oleh lampu mercusuar

62. berbentuk daerah lingkaran. Kapal bernavigasi dengan memanfaatkan perhitungan sudut yang
akurat sehingga dapat berlayar dengan aman.
Bagian dari lingkaran disebut busur lingkaran. Busur yang lebih kecil disebut busur minor (pada
gambar berwarna biru) dan bagian yang lebih besar disebut busur mayor (berwarna merah). Jika
hanya disebutkan kata busur, maka yang dimaksud adalah busur minor.
Dalam matematika,
Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan kaki-kaki sudutnya
berupa tali busur.
Apakah kalian ingat apa yang dimaksud tali busur? Tali busur adalah ruas garis yang
menghubungkan dua titik pada lingkaran.
LAMPIRAN 3
GLOSARIUM
domain (daerah asal) Himpunan yang memuat nilai-nilai masukan (input) di mana fungsi tersebut
terdefinisi.
ekstrapolasi Penggunaan hubungan antar variabel untuk memprediksi nilai yang berada di luar
jangkauan data.
fungsi bijektif Fungsi di mana setiap anggota himpunan dari daerah asal (Domain) tepat
mempunyai satu pasangan dari himpunan daerah kawan (Kodomain) dan sebaliknya.
fungsi injektif Fungsi di mana anggota berbeda dari himpunan daerah asal (Domain) mempunyai
pasangan yang berbeda dari himpunan daerah kawan (Kodomain).

63. fungsi surjektif Fungsi di mana anggota himpunan daerah hasil (Range) sama dengan anggota
himpunan daerah kawan (Kodomain).
garis best-fit Garis yang paling mewakili data pada diagram pencar.
garis singgung Garis yang menyinggung lingkaran pada tepat satu titik.
interpolasi Penggunaan hubungan antarvariabel untuk memprediksi nilai yang berada di dalam
jangkauan data.
invers fungsi Fungsi di mana pemetaan anggotanya merupakan kebalikan dari pemetaan fungsi
aslinya.
jari-jari Jarak setiap titik pada lingkaran dengan pusat lingkaran.
kodomain (daerah kawan) Himpunan yang memuat nilai-nilai keluaran dari fungsi.
koefisien determinasi Proporsi (persentase) dari variabel dependen yang diterangkan oleh variabel
independen.
koefisien korelasi Ukuran deskriptif numerik dari suatu korelasi.
kolaborasi Kemampuan bekerja dengan orang lain di dalam kelompok untuk mencapai tujuan
bersama.
komposisi fungsi Penggabungan dua atau lebih operasi fungsi yang dapat dilakukan dengan syarat
tertentu.
lingkaran Tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama dari pusat lingkaran).
regresi linear Model regresi yang memberikan hubungan garis lurus antara dua variabel.
relasi Hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota dari himpunan lainnya.
residu Selisih antara nilai variabel dependen yang diamati dan nilai variabel dependen yang
diprediksi.
segiempat tali busur Segiempat yang keempat sudutnya terletak pada lingkaran.
sudut pusat Sudut yang terletak pada pusat lingkaran dan menghadap pada busur tertentu.
sudut keliling Sudut yang terletak pada keliling lingkaran dan menghadap pada busur tertentu.
tali busur Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
tes garis vertikal Salah satu cara menentukan apakah sebuah relasi merupakan fungsi melalui
grafiknya; cukup dengan menggeser garis vertikal dari kanan ke kiri (atau sebaliknya) dan
melihat jumlah titik potong yang dihasilkan.
variabel independen Variabel yang akan digunakan untuk membuat prediksi terhadap nilai variabel
dependen.
variabel dependen Variabel yang nilainya dipengaruhi oleh variabel independen.
LAMPIRAN 4
DAFTAR PUSTAKA
1.Dicky Susanto, dkk., Buku Panduan Guru Matematika, Kemdikbudristek, Jakarta, 2021
2.Dicky Susanto, dkk., Buku Panduan Siswa Matematika, Kemdikbudristek, Jakarta, 2021

64. MODUL AJAR
BAB II : LINGKARAN
INFORMASI UMUM
A.IDENTITAS MODUL
Nama Penyusun :.....................................................................................
Satuan Pendidikan :SMA
Kelas / Fase :XI (Sebelas) - F
Mata Pelajaran : Matematika
Elemen :Lingkaran dan Garis Singgung
Prediksi Alokasi Waktu:4 x 45 Menit JP/Minggu
Tahun Penyusunan : 20 ..... / 20 .....
B.KOMPETENSI AWAL
Perkenalkan subbab ini dengan mengajak siswa memperhatikan gambar roda kereta api dan rel
kereta api sebagai contoh konkret dari garis singgung dan titik singgung.
Gambar 2.6 Roda Kereta Api
C.PROFIL PELAJAR PANCASILA
1. (Semakin) beriman, bertakwa kepada Tuhan YME, dan berakhlak mulia, mandiri, bernalar,
kreatif, bergotong royong, dan berkebinekaan global;
2. Berpikir kritis untuk memecahkan masalah (kecakapan abad 21);
3. Menganalisis, mengevaluasi, dan menyusun teks lisan dan tulis dengan lancar dan spontan
secara teratur tanpa ada hambatan dalam berinteraksi dan berkomunikasi dalam jenis teks
naratif;
4. Mentransfer informasi verbal menjadi informasi visual (keterampilan literasi).
D.SARANA DAN PRASARANA
Kertas
Jangka
Busur derajat
Penggaris

65. E.TARGET PESERTA DIDIK
Peserta didik reguler/tipikal: umum, tidak ada kesulitan dalam mencerna dan memahami materi
ajar.
F.MODEL PEMBELAJARAN
Blended learning melalui model pembelajaran dengan menggunakan Project Based Learning
(PBL) terintegrasi pembelajaran berdiferensiasi berbasis Social Emotional Learning (SEL).

66. KOMPONEN INTI
A.TUJUAN PEMBELAJARAN
Membuktikan teorema yang berhubungan dengan lingkaran
Menemukan sifat-sifat garis singgung pada lingkaran
B.PEMAHAMAN BERMAKNA
Garis singgung berpotongan dengan lingkaran di satu titik.
Titik potong lingkaran dengan garis singgung disebut titik singgung.
Garis singgung dan jari-jari lingkaran di titik singgung berpotongan tegak lurus.
Dari satu titik di luar lingkaran, dapat dibentuk dua garis singgung yang sama panjang.
C.PERTANYAAN PEMANTIK
Apakah saya dapat menggambar garis singgung?
Apakah saya dapat menentukan panjang garis singgung?
Apakah saya paham sifat-sifat garis singgung?
D.KEGIATAN PEMBELAJARAN
Kegiatan Pendahuluan
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti
Ayo Bereksplorasi
Gambar 2.7 Cakrawala
Guru memulai eksplorasi dengan membacakan atau meminta siswa membaca permasalahan
navigator kapal laut dalam menentukan jarak pelabuhan yang berada pada cakrawala.
Guru memastikan semua siswa sudah memahami konteks permasalahannya dengan cara
meminta beberapa siswa menjelaskan kembali konteks atau menggunakan strategi Think-
Pair-Share, yaitu setiap siswa diminta untuk membaca dan memahami masalah, kemudian
berpasangan dan secara bergiliran menjelaskan masalahnya, kemudian guru meminta
beberapa pasang untuk menjelaskan masalah kepada seluruh kelas.

67. Tahap ini penting dilakukan untuk membiasakan siswa membaca masalah secara teliti, dan
memahami apa yang menjadi inti permasalahan, dan memilah informasi apa yang penting
dan relevan. Strategi ini juga melatih kemampuan literasi membaca dari siswa.
Berikan kesempatan siswa untuk bertanya untuk mengklarifikasi permasalahan.
Diskusikan pertanyaan pertama bersama dengan siswa. Kemudian minta siswa mengukur
sudut yang terbentuk antara garis singgung dan jari-jari lingkaran. Seharusnya siswa tidak
akan menemukan masalah dan mendapatkan bahwa sudutnya siku-siku. Minta siswa untuk
konfirmasi apakah ini kebetulan saja atau memang berlaku untuk semua garis singgung.
Siswa dapat melakukan dengan bantuan teknologi atau melakukan secara manual dengan
menggambar berbagai garis singgung dan mengukur sudut yang terbentuk dengan jari-jari.
Ayo Menggunakan Teknologi
Minta siswa untuk mencoba apakah mungkin garis singgung tidak siku-siku dengan jari-jari
dengan mencoba soal nomor 2. Siswa akan menemukan bahwa jika tidak siku-siku maka
pasti akan memotong lingkaran di dua titik, dan ini disebut garis sekan.
Siswa diharapkan dapat melihat bahwa dapat dibuat dua garis singgung dari sebuah titik di
luar lingkaran, yaitu PB dan PC , dan keduanya memiliki panjang yang sama.
Kegiatan Penutup
Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
E.ASESMEN / PENILAIAN
1. ASESMEN DIAGNOSTIK:
Mengetahui kondisi awal mental para peserta didik
No Pertanyaan
Pilihan Jawaban
Ya Tidak
1Apa kabar hari ini?
2Apakah ada yang sakit hari ini?
3Apakah kalian dalam keadaan sehat?
4Apakah anak-anak merasa bersemangat hari ini?
5Apakah tadi malam sudah belajar?
2.ASESMEN FORMATIF:
Diskusi : melatih kemampuan peserta didik dalam berkolaborasi dengan kelompoknya,
melatih berbicara dan berani mengungkapakan pendapat, memunculkan ide-idenya, bekerja
sama dalam tim
Presentasi: melatih kemampuan peserta didik dalam melatih berbicara di depan umum,
berani mengajukan pertanyaan terhadap pemaparan hasil praktikum milik kelompok lain,
memaksimalkan kerja kelompok

68. Unjuk kerja : menilai keterampilan proses yang dimiliki setiap anak, dan perkembangannya
FORMAT PENILAIAN FORMATIF
NoNama Peserta Didik
Materi 1Materi 2Materi 3
Total
Skor
NilaiSkor NilaiSkor NilaiSkor Nilai
123412341234
1
2
3
4
5
dst
3.ASESMEN SUMATIF
Dilaksanakan diakhir pembelajaran untuk mengukur tingkat capaian pemahaman sains
peserta didk untuk menentukan langkah selajutnya.
Guru melakukan pengamatan selama diskusi berlangsung. Hasil pengamatan berupa
jawaban siswa dan partisipasi siswa dalam diskusi dapat dicatat dalam jurnal untuk
ditinjau kembali
Guru memeriksa kelengkapan lembar pengamatan siswa
Asesmen ini dibuat Individu, kelompok, peforma dan tertulis- formatif dan sumatif
a.Instrumen Penilaian Sikap
1)Sikap Spiritual
Teknik Penilaian: Penilaian diri
Instrumen Penilaian: Rubrik
Nama Peserta didik: ....................................................
No. Indikator SLSRKDTP
1
2
3
4
5
2)Sikap Sosial
Teknik Penilaian: Penilaian Antar Teman
Instrumen Penilaian: Rubrik
Nama Peserta didik: ....................................................
No. Indikator SLSRKDTP

69. 1
2
3
4
5
Keterangan
SL=Selalu :sangat baik
SR=Sering :baik
KD=Kadang-kadang:cukup
TP=Tidak Pernah:perlu bimbingan
b.Instrumen Penilaian Pengetahuan
Penilaian Kelompok
No Nama Kelompok
Aspek Penilaian
Jumlah
Nilai
KetertibanKekompakanPerformanc
e
1
2
3
4
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 4 Sangat baik
2 3 Baik
3 2 Cukup
4 1 Kurang
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
12
c.Penilaian Keterampilan
No Nama
Aspek yang Dinilai
Jumlah
Skor
Nilai
Baik SedangKurang
1
2
3
Keterangan:
Pedoman Skor

70. NoSkor Predikat Kriteria
1 4 Sangat baik
2 3 Baik
3 2 Cukup
4 1 Kurang
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
12
Penilaian Hasil Kerja Kelompok
No Nama Kelompok
Aspek Penilaian
Jumlah
Nilai
Ketepatan
jawaban
Estetika (nilai seni)
paparan
1
2
3
4
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 8 Sangat baikSemua jawaban benar/tepat, menarik
2 6 Baik Sebagian besar jawaban benar, menarik
3 4 Cukup Separuh jawaban benar, menarik
4 2 Kurang Sebagian kecil jawaban benar, menarik
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
16
3.PENILAIAN SUMATIF
ASSESMEN SIKAP
Penilaian sikap ini dilakukan melalui pengamatan (observasi) Guru selama kegiatan
pembelajaran Penilaian ini dilakukan agar Guru melihat sikap perilaku peserta didik dalam
menjaga hidup bersama di masyarakat pada kehidupan sehari-hari (civic disposition),
seperti sopan santun, percaya diri, dan bertoleransi. Bentukpedoman penilaian yang dapat
digunakan oleh Guru adalah sebagai berikut:
Kriteria
Sangat baik Baik Cukup
Perlu
dikembangkan
4 3 2 1
Sopan
santun
Peserta didik
berlaku sopan, baik
selama proses
pembelajaran
maupun di luar
Peserta didik
berlaku sopan hanya
selama
proses pembelajaran
Peserta didik
hanya berlaku
sopan hanya
kepada Guruatau
peserta didik yang
Peserta didik
belum
menampakkan
perilaku

71. kelas. lain. sopan
Percaya
diri
Peserta didik
berani
berpendapat,
ertanya, atau
menjawab
ertanyaan, serta
mengambil
keputusan
Peserta didik berani
berpendapat,
ertanya, atau
menjawab
pertanyaan
Peserta didik
hanya berani
menjawab ha-
nya saat
Guru bertanya
Peserta didik
kesulitan dalam
berpendapat,
bertanya,
maupun menjawab
pertanyaan
ToleransiPeserta didik dapat
menghargai
pendapat peserta
didik lain
dan menerima
kesepakatan
meskipun berbeda
dengan
pendapatnya
Peserta didik dapat
menghargai
pendapat peserta
didik lain
dan kurang bisa
menerima
kesepakatan
Peserta didik dapat
menghargai
pendapat
peserta didik lain
dan tidak bisa
menerima
kesepakatan
Peserta didik
tidak dapat
menghargai
pendapat
peserta didik
lain dan tidak
bisa menerima
kesepakatan
ASESSMEN PENGETAHUAN
Penilaian pengetahuan dilaksanakan melalui tes setelah kegiatan pembelajaran
berlangsung. Penilaian pengetahuan diberikan dalam bentuk pilihan ganda, benar salah,
maupun esai. Penilaian pengetahuan ini bertujuan agar Guru mampu melihat pengetahuan
yang telah dikuasai peserta didik dalam kegiatan.
Kriteria
Sangat baikBaik Cukup
Perlu dikem
bangkan
4 3 2 1
ASSESMEN HASIL BELAJAR
Penilaian ini dilakukan melalui pengamatan (observasi) Guru selama kegiatan
pembelajaran berlangsung. Penilaian ini bertujuan agar guru dapat melihat
kemampuan peserta didik dalam soft skill-nya. Adapun pedoman penilaian yang
dapat digunakan oleh Guru adalah sebagai berikut
Kriteria
Sangat baikBaik Cukup
Perlu dikem
bangkan
4 3 2 1

72. F.PENGAYAAN DAN REMEDIAL
Pengayaan
Peserta didik yang daya tangkap dan daya kerjanya lebih dari peserta didik lain, guru
memberikan kegiatan pengayaan yang lebih menantang dan memperkuat daya serapnya
terhadap materi yang telah diajarkan guru.
Gambar 2.8 menunjukkan segitiga sama sisi. Titik P terletak pada lingkaran luar segitiga ABC.
Titik P dihubungkan dengan setiap titik sudut segitiga ABC. Jika AP lebih panjang daripada BP
dan CP, buktikan bahwa:
AP = BP + CP
Gambar 2.8 Segitiga Sama Sisi ABC
Sifat ini pertama kali ditemukan oleh matematikawan Belanda bernama Frans van Schooten,
karena itu disebut sebagai Teorema van Schooten.
Remedial
Peserta didik yang hasil belajarnya belum mencapai target, guru melakukan pengulangan
materi dengan pendekatan yang lebih individual dengan memberikan tugas individu tambahan
untuk memperbaiki hasil belajar peserta didik yang bersangkutan
PROGRAM REMEDIAL DAN PENGAYAAN
Sekolah :..............................................……………….
Mata Pelajaran:..............................................……………….
Kelas / Semester:……… / ………
No
Nama
Peserta
Didik
No
Kode
ATP
Rencana Program
Tanggal
Pelaksanaan
Hasil
Kesimpulan
RemedialPengayaan SebelumSesudah
1
2
3
4
5
dst
G.REFLEKSI GURU DAN PESERTA DIDIK

73. Refleksi Guru:
Ajak siswa untuk refleksi diri dengan menjawab pertanyaan berikut. Siswa dapat
menuliskannya dalam buku jurnal refleksi dan minta mereka memberikan bukti atau contoh
pemahaman mereka.
Apakah saya dapat menggambar garis singgung?
Apakah saya dapat menentukan panjang garis singgung?
Apakah saya paham sifat-sifat garis singgung?
Refleksi Peserta Didik:
Pertanyaan yang dapat diajukan kepada peserta didik pada saat kegiatan refleksi:
Apakah kalian memahami intruksi yang dilakukan dalam pembelajaran? 
Apakah materi yang disampaikan, didiskusikan, dan dipresentasikan dalam pembelajaran
dapat kalian pahami? 
Manfaat apa yang kalian peroleh dari materi pembelajaran? 
Sikap positif apa yang kalian peroleh selama mengikuti kegiatan pembelajaran? 
Kesulitan apa yang kalian alami dalam pembelajaran? 
Apa saja yang kalian lakukan untuk belajar yang lebih baik?

74. LAMPIRAN- LAMPIRAN
LAMPIRAN 1
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)
LATIHAN 2.2
1. Jika jari-jari lingkaran A adalah 7 cm dan titik P berjarak 25 cm dari titik A, berapakah
panjang garis singgung PB ?
2. Pada gambar berikut, BD dan CD adalah garis singgung lingkaran A. Jika _BAC = 147◦,
tentukan besar _BDC.
LAMPIRAN 2
BAHAN BACAAN GURU DAN PESERTA DIDIK
LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG
Gambar 2.4 Roda Kereta Api
Roda kereta api menyentuh rel kereta di satu titik. Secara matematis dikatakan bahwa rel adalah
garis singgung roda dan titik sentuhnya disebut sebagai titik singgung.

75. Dalam tugasnya, seorang navigator pada kapal laut perlu menghitung jarak pelabuhan yang berada
pada cakrawala.
Gambar 2.5 Cakrawala
Titik biru mewakili posisi navigator pada kapal, titik oranye adalah pelabuhan yang tampak di
cakrawala. Garis merah adalah jarak navigator ke permukaan air.
Garis biru mewakili pandangan navigator ke pelabuhan, secara matematis merupakan garis
singgung. Mari bereksplorasi menyelidiki sifat-sifat garis singgung.
1. Pelabuhan pertama kali terlihat sebagai sebuah titik di kejauhan. Garis singgung menyentuh
lingkaran pada tepat satu titik (disebut titik singgung). Gunakan busur derajat untuk mengukur besar
sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan jari-jari lingkaran (pada titik singgung).
Sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan jari-jari lingkaran pada titik singgung B besarnya
______________ .
Bagaimana dengan garis singgung yang menyinggung di titik berbeda? Jika ada titik singgung lain,
berapa besar sudut antara garis singgung dan jari-jari di titik singgung itu?
LAMPIRAN 3
GLOSARIUM
domain (daerah asal) Himpunan yang memuat nilai-nilai masukan (input) di mana fungsi tersebut
terdefinisi.
ekstrapolasi Penggunaan hubungan antar variabel untuk memprediksi nilai yang berada di luar
jangkauan data.
fungsi bijektif Fungsi di mana setiap anggota himpunan dari daerah asal (Domain) tepat
mempunyai satu pasangan dari himpunan daerah kawan (Kodomain) dan sebaliknya.
fungsi injektif Fungsi di mana anggota berbeda dari himpunan daerah asal (Domain) mempunyai
pasangan yang berbeda dari himpunan daerah kawan (Kodomain).
fungsi surjektif Fungsi di mana anggota himpunan daerah hasil (Range) sama dengan anggota
himpunan daerah kawan (Kodomain).

76. garis best-fit Garis yang paling mewakili data pada diagram pencar.
garis singgung Garis yang menyinggung lingkaran pada tepat satu titik.
interpolasi Penggunaan hubungan antarvariabel untuk memprediksi nilai yang berada di dalam
jangkauan data.
invers fungsi Fungsi di mana pemetaan anggotanya merupakan kebalikan dari pemetaan fungsi
aslinya.
jari-jari Jarak setiap titik pada lingkaran dengan pusat lingkaran.
kodomain (daerah kawan) Himpunan yang memuat nilai-nilai keluaran dari fungsi.
koefisien determinasi Proporsi (persentase) dari variabel dependen yang diterangkan oleh variabel
independen.
koefisien korelasi Ukuran deskriptif numerik dari suatu korelasi.
kolaborasi Kemampuan bekerja dengan orang lain di dalam kelompok untuk mencapai tujuan
bersama.
komposisi fungsi Penggabungan dua atau lebih operasi fungsi yang dapat dilakukan dengan syarat
tertentu.
lingkaran Tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama dari pusat lingkaran).
regresi linear Model regresi yang memberikan hubungan garis lurus antara dua variabel.
relasi Hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota dari himpunan lainnya.
residu Selisih antara nilai variabel dependen yang diamati dan nilai variabel dependen yang
diprediksi.
segiempat tali busur Segiempat yang keempat sudutnya terletak pada lingkaran.
sudut pusat Sudut yang terletak pada pusat lingkaran dan menghadap pada busur tertentu.
sudut keliling Sudut yang terletak pada keliling lingkaran dan menghadap pada busur tertentu.
tali busur Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
tes garis vertikal Salah satu cara menentukan apakah sebuah relasi merupakan fungsi melalui
grafiknya; cukup dengan menggeser garis vertikal dari kanan ke kiri (atau sebaliknya) dan
melihat jumlah titik potong yang dihasilkan.
variabel independen Variabel yang akan digunakan untuk membuat prediksi terhadap nilai variabel
dependen.
variabel dependen Variabel yang nilainya dipengaruhi oleh variabel independen.
LAMPIRAN 4
DAFTAR PUSTAKA
1.Dicky Susanto, dkk., Buku Panduan Guru Matematika, Kemdikbudristek, Jakarta, 2021
2.Dicky Susanto, dkk., Buku Panduan Siswa Matematika, Kemdikbudristek, Jakarta, 2021

77. MODUL AJAR
BAB II : LINGKARAN
INFORMASI UMUM
A.IDENTITAS MODUL
Nama Penyusun :.....................................................................................
Satuan Pendidikan :SMA
Kelas / Fase :XI (Sebelas) - F
Mata Pelajaran : Matematika
Elemen :Lingkaran dan Tali Busur
Prediksi Alokasi Waktu:4 x 45 Menit JP/Minggu
Tahun Penyusunan : 20 ..... / 20 .....
B.KOMPETENSI AWAL
Perkenalkan bab ini dengan menanyakan siswa apakah ada yang pernah memiliki pengalaman
menggunakan panah dan busur. Jika ada, minta siswa menjelaskan seperti apa bentuk busur
panah, terbuat dari bahan apa, dan bagaimana menggunakannya.
Gambar 2.9 Busur Panah
C.PROFIL PELAJAR PANCASILA
1. (Semakin) beriman, bertakwa kepada Tuhan YME, dan berakhlak mulia, mandiri, bernalar,
kreatif, bergotong royong, dan berkebinekaan global;
2. Berpikir kritis untuk memecahkan masalah (kecakapan abad 21);
3. Menganalisis, mengevaluasi, dan menyusun teks lisan dan tulis dengan lancar dan spontan
secara teratur tanpa ada hambatan dalam berinteraksi dan berkomunikasi dalam jenis teks
naratif;
4. Mentransfer informasi verbal menjadi informasi visual (keterampilan literasi).
D.SARANA DAN PRASARANA
Kertas
Jangka
Penggaris
E.TARGET PESERTA DIDIK
Peserta didik reguler/tipikal: umum, tidak ada kesulitan dalam mencerna dan memahami materi
ajar.
F.MODEL PEMBELAJARAN
Blended learning melalui model pembelajaran dengan menggunakan Project Based Learning
(PBL) terintegrasi pembelajaran berdiferensiasi berbasis Social Emotional Learning (SEL).

78. KOMPONEN INTI
A.TUJUAN PEMBELAJARAN
Memahami hubungan antara tali busur dan ukuran busur
Membuktikan teorema yang berhubungan dengan lingkaran dan tali busur
B.PEMAHAMAN BERMAKNA
Memahami hubungan antara tali busur dan ukuran busur; dan
Membuktikan teorema yang berhubungan dengan lingkaran dan tali busur.
C.PERTANYAAN PEMANTIK
Guru menanyakan kepada peserta didik tentang hubungan antara tali busur
Guru menanyakan kepada peserta didik tentang ukuran busur
D.KEGIATAN PEMBELAJARAN
Kegiatan Pendahuluan
Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti
Ayo Bereksplorasi
Pada eksplorasi ini guru membimbing siswa untuk menemukan bahwa tali busur yang sama
panjang memiliki ukuran busur yang sama, serta membuktikannya. Kemudian, minta siswa
membaca percakapan antara Nyoman dan Rani, dan mencoba untuk membuktikan dengan
membuat gambar lingkaran dengan tali busur yang sama panjangnya serta mengukur sudut
pusat yang terbentuk. Bantu siswa untuk menjelaskan hasil temuan mereka.
Guru mengarahkan siswa untuk menemukan bahwa pada segiempat tali busur sudut yang
berhadapan merupakan sudut pelurus (jumlahnya 180o).
Guru minta siswa membaca hasil temuan Sondang dan percakapan dengan Nyoman dan
Rani. Kemudian minta siswa untuk menunjukkan apakah hasil temuan Sondang benar dan
berlaku hanya untuk kasus itu saja atau berlaku secara umum.
Siswa melakukan eksplorasi dalam kelompok dengan membuat berbagai bentuk segiempat
tali busur mengikuti petunjuk dan pertanyaan 1 sampai 4. Mereka akan menemukan bahwa
hasilnya berlaku untuk semua segiempat tali busur.
Kegiatan Penutup
Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.

79. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
E.ASESMEN / PENILAIAN
1. ASESMEN DIAGNOSTIK:
Mengetahui kondisi awal mental para peserta didik
No Pertanyaan
Pilihan Jawaban
Ya Tidak
1Apa kabar hari ini?
2Apakah ada yang sakit hari ini?
3Apakah kalian dalam keadaan sehat?
4Apakah anak-anak merasa bersemangat hari ini?
5Apakah tadi malam sudah belajar?
2.ASESMEN FORMATIF:
Diskusi : melatih kemampuan peserta didik dalam berkolaborasi dengan kelompoknya,
melatih berbicara dan berani mengungkapakan pendapat, memunculkan ide-idenya, bekerja
sama dalam tim
Presentasi: melatih kemampuan peserta didik dalam melatih berbicara di depan umum,
berani mengajukan pertanyaan terhadap pemaparan hasil praktikum milik kelompok lain,
memaksimalkan kerja kelompok
Unjuk kerja : menilai keterampilan proses yang dimiliki setiap anak, dan perkembangannya
FORMAT PENILAIAN FORMATIF
NoNama Peserta Didik
Materi 1Materi 2Materi 3
Total
Skor
NilaiSkor NilaiSkor NilaiSkor Nilai
123412341234
1
2
3
4
5
dst
3.ASESMEN SUMATIF
Dilaksanakan diakhir pembelajaran untuk mengukur tingkat capaian pemahaman sains
peserta didk untuk menentukan langkah selajutnya.
Guru melakukan pengamatan selama diskusi berlangsung. Hasil pengamatan berupa
jawaban siswa dan partisipasi siswa dalam diskusi dapat dicatat dalam jurnal untuk
ditinjau kembali

80. Guru memeriksa kelengkapan lembar pengamatan siswa
Asesmen ini dibuat Individu, kelompok, peforma dan tertulis- formatif dan sumatif
a.Instrumen Penilaian Sikap
1)Sikap Spiritual
Teknik Penilaian: Penilaian diri
Instrumen Penilaian: Rubrik
Nama Peserta didik: ....................................................
No. Indikator SLSRKDTP
1
2
3
4
5
2)Sikap Sosial
Teknik Penilaian: Penilaian Antar Teman
Instrumen Penilaian: Rubrik
Nama Peserta didik: ....................................................
No. Indikator SLSRKDTP
1
2
3
4
5
Keterangan
SL=Selalu :sangat baik
SR=Sering :baik
KD=Kadang-kadang:cukup
TP=Tidak Pernah:perlu bimbingan
b.Instrumen Penilaian Pengetahuan
Penilaian Kelompok
No Nama Kelompok
Aspek Penilaian
Jumlah
Nilai
KetertibanKekompakanPerformanc
e
1
2

81. 3
4
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 4 Sangat baik
2 3 Baik
3 2 Cukup
4 1 Kurang
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
12
c.Penilaian Keterampilan
No Nama
Aspek yang Dinilai
Jumlah
Skor
Nilai
Baik SedangKurang
1
2
3
Keterangan:
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria
1 4 Sangat baik
2 3 Baik
3 2 Cukup
4 1 Kurang
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
12
Penilaian Hasil Kerja Kelompok
No Nama Kelompok
Aspek Penilaian
Jumlah
Nilai
Ketepatan
jawaban
Estetika (nilai seni)
paparan
1
2
3
4
Pedoman Skor
NoSkor Predikat Kriteria

82. 1 8 Sangat baikSemua jawaban benar/tepat, menarik
2 6 Baik Sebagian besar jawaban benar, menarik
3 4 Cukup Separuh jawaban benar, menarik
4 2 Kurang Sebagian kecil jawaban benar, menarik
Nilai Akhir : Jumlah skor yang diperoleh x100
16
3.PENILAIAN SUMATIF
ASSESMEN SIKAP
Penilaian sikap ini dilakukan melalui pengamatan (observasi) Guru selama kegiatan
pembelajaran Penilaian ini dilakukan agar Guru melihat sikap perilaku peserta didik dalam
menjaga hidup bersama di masyarakat pada kehidupan sehari-hari (civic disposition),
seperti sopan santun, percaya diri, dan bertoleransi. Bentukpedoman penilaian yang dapat
digunakan oleh Guru adalah sebagai berikut:
Kriteria
Sangat baik Baik Cukup
Perlu
dikembangkan
4 3 2 1
Sopan
santun
Peserta didik
berlaku sopan, baik
selama proses
pembelajaran
maupun di luar
kelas.
Peserta didik
berlaku sopan hanya
selama
proses pembelajaran
Peserta didik
hanya berlaku
sopan hanya
kepada Guruatau
peserta didik yang
lain.
Peserta didik
belum
menampakkan
perilaku
sopan
Percaya
diri
Peserta didik
berani
berpendapat,
ertanya, atau
menjawab
ertanyaan, serta
mengambil
keputusan
Peserta didik berani
berpendapat,
ertanya, atau
menjawab
pertanyaan
Peserta didik
hanya berani
menjawab ha-
nya saat
Guru bertanya
Peserta didik
kesulitan dalam
berpendapat,
bertanya,
maupun menjawab
pertanyaan
ToleransiPeserta didik dapat
menghargai
pendapat peserta
didik lain
dan menerima
kesepakatan
meskipun berbeda
dengan
pendapatnya
Peserta didik dapat
menghargai
pendapat peserta
didik lain
dan kurang bisa
menerima
kesepakatan
Peserta didik dapat
menghargai
pendapat
peserta didik lain
dan tidak bisa
menerima
kesepakatan
Peserta didik
tidak dapat
menghargai
pendapat
peserta didik
lain dan tidak
bisa menerima
kesepakatan
ASESSMEN PENGETAHUAN
Penilaian pengetahuan dilaksanakan melalui tes setelah kegiatan pembelajaran
berlangsung. Penilaian pengetahuan diberikan dalam bentuk pilihan ganda, benar salah,

83. maupun esai. Penilaian pengetahuan ini bertujuan agar Guru mampu melihat pengetahuan
yang telah dikuasai peserta didik dalam kegiatan.
Kriteria
Sangat baikBaik Cukup
Perlu dikem
bangkan
4 3 2 1
ASSESMEN HASIL BELAJAR
Penilaian ini dilakukan melalui pengamatan (observasi) Guru selama kegiatan
pembelajaran berlangsung. Penilaian ini bertujuan agar guru dapat melihat
kemampuan peserta didik dalam soft skill-nya. Adapun pedoman penilaian yang
dapat digunakan oleh Guru adalah sebagai berikut
Kriteria
Sangat baikBaik Cukup
Perlu dikem
bangkan
4 3 2 1
F.PENGAYAAN DAN REMEDIAL
Pengayaan
Peserta didik yang daya tangkap dan daya kerjanya lebih dari peserta didik lain, guru
memberikan kegiatan pengayaan yang lebih menantang dan memperkuat daya serapnya
terhadap materi yang telah diajarkan guru.
Gambar 2.8 menunjukkan segitiga sama sisi. Titik P terletak pada lingkaran luar segitiga ABC.
Titik P dihubungkan dengan setiap titik sudut segitiga ABC. Jika AP lebih panjang daripada BP
dan CP, buktikan bahwa:
AP = BP + CP
Gambar 2.8 Segitiga Sama Sisi ABC

84. Sifat ini pertama kali ditemukan oleh matematikawan Belanda bernama Frans van Schooten,
karena itu disebut sebagai Teorema van Schooten.
Remedial
Peserta didik yang hasil belajarnya belum mencapai target, guru melakukan pengulangan
materi dengan pendekatan yang lebih individual dengan memberikan tugas individu tambahan
untuk memperbaiki hasil belajar peserta didik yang bersangkutan
PROGRAM REMEDIAL DAN PENGAYAAN
Sekolah :..............................................……………….
Mata Pelajaran:..............................................……………….
Kelas / Semester:……… / ………
No
Nama
Peserta
Didik
No
Kode
ATP
Rencana Program
Tanggal
Pelaksanaan
Hasil
Kesimpulan
RemedialPengayaan SebelumSesudah
1
2
3
4
5
dst
G.REFLEKSI GURU DAN PESERTA DIDIK
Tutup pembelajaran dengan meminta siswa melakukan refleksi terhadap apa yang sudah
mereka pelajari dengan menjawab pertanyaan refleksi. Ajak siswa untuk menuliskannya dalam
buku jurnal refleksi dan minta mereka memberikan bukti atau contoh pemahaman mereka.
Apakah saya dapat menerapkan teorema-teorema tentang lingkaran?
Apakah saya dapat membuktikan teorema-teorema terkait lingkaran?
Apakah saya mengerti sifat-sifat garis singgung?
Apakah saya mengerti sifat-sifat segiempat tali busur?
Refleksi Peserta Didik:
Pertanyaan yang dapat diajukan kepada peserta didik pada saat kegiatan refleksi:
Apakah kalian memahami intruksi yang dilakukan dalam pembelajaran? 
Apakah materi yang disampaikan, didiskusikan, dan dipresentasikan dalam pembelajaran
dapat kalian pahami? 
Manfaat apa yang kalian peroleh dari materi pembelajaran? 
Sikap positif apa yang kalian peroleh selama mengikuti kegiatan pembelajaran? 
Kesulitan apa yang kalian alami dalam pembelajaran? 
Apa saja yang kalian lakukan untuk belajar yang lebih baik?

85. LAMPIRAN- LAMPIRAN
LAMPIRAN 1
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)
LATIHAN 2.3
1. Lingkaran yang berpusat di titik O dan jari-jarinya 5 cm. Berapa panjang tali busurnya yang
paling panjang?
2. Jika AD = 3 cm dan BE = AD, tentukan:
a. besar _BAE
b. besar _BDE
3. Apotema, Apotema adalah ruas garis dari pusat lingkaran dan tegak lurus tali busur.
Buktikan bahwa BD = DC.
4. Tentukan nilai w sehingga KL dan MN sama panjang.

86. LAMPIRAN 2
BAHAN BACAAN GURU DAN PESERTA DIDIK
LINGKARAN DAN TALI BUSUR
Gambar 2.7 Busur Panah
Busur panah merupakan bagian dari lingkaran dan talinya menghubungkan dua titik pada lingkaran.
Dalam matematika, ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut tali busur.
LAMPIRAN 3
GLOSARIUM
Fungsi, pemetaan setiap anggota suatu himpunan (dinamakan sbg domain) kepada anggota
himpunan lainnya (dinamakan sbg kodomain).
Domain, suatu himpunan nilai-nilai "masukan" tempat fungsi tersebut terdefinisi (ada). Sebagai
contoh, domain fungsi sinus adalah bilangan riil, sedangkan domain fungsi akar kuadrat adalah
bilangan riil yang lebih besar dari nol (dengan mengabaikan bilangan kompleks).
Kodomain, daerah himpunan kawan, atau himpunan yang memuat elemen kedua himpunan
pasangan berurut relasi R.
Range, daerah hasil, atau himpunan semua anggota himpunan B yang memiliki pasangan anggota
himpunan A.
Relasi, merupakan hubungan antara dua himpunan dengan himpunan yang lainnya. Sedangkan
fungsi adalah suatu relasi khusus yang memasangkan setiap anggota daerah asal A (domain) tepat
satu anggota kawan B (kodomain).
Komposisi fungsi, penggabungan dua fungsi f(x) dan g (x) yang disimbolkan dengan 'o'. Rumus
fungsi komposisi biasa dilambangkan dengan 'o' yang kemudian bisa dibaca sebagai komposisi
maupun bundaran.
Fungsi invers, suatu fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya. Pada umumnya, invers fungsi
dinyatakan dengan lambang f^(-1).
LAMPIRAN 4
DAFTAR PUSTAKA
1.Dicky Susanto, dkk., Buku Panduan Guru Matematika, Kemdikbudristek, Jakarta, 2021
2.Dicky Susanto, dkk., Buku Panduan Siswa Matematika, Kemdikbudristek, Jakarta, 2021