Modulo

Módulo, por alumnos de 4to bachiller

1. MODULO Definicion de Modulo | x| = x   si     x >= 0                -x    si    x < 0

2. Analíticamente podemos ver que si  a  es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces  |a| = a  y si está a la izquierda del origen, es decir si  a  es negativo, entonces  |a| = −a . Formalmente, el  valor absoluto  o  módulo  de todo  número real |a|  está definido por:

3. Cualquier número  a  tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.   Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es  |−6| = 6 .

4. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales  |a − b|  es la distancia entre ellos. Ejemplo

5. El valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo.  Si  x > 2  entonces  | x – 2| = x – 2 , pues  x − 2 > 0 . Dicho de otra manera, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo, el valor absoluto la deja igual. Si  x < 2  entonces  |x – 2| = – (x – 2) ,  pues   x − 2 < 0  . Dicho de otro modo, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto la cambia de signo.

6. PROPIEDADES DE MODULOS No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo. | x |= | -x | ≥ 0 Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa. | x | = 0 x = 0 Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado. | x.y | = | x | | y | Propiedad de la Suma : En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números. | x + y| ≤ | x | + | y | Propiedad de la Resta: El modulo de la diferencia de dos números reales es igual o mayor que la diferencia de los módulos de esos números. | x - y| ≥ | x | -| y |

7. deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas: Ecuaciones con Modulo o Valor absoluto Si  x  es una incógnita en la expresión  |x − 3| , entonces no sabemos si  x − 3  es positivo o negativo. Ahora bien, si tenemos la ecuación: |x − 3| = 5 x − 3 = 5 x − 3 = −5   

8. Resolver una ecuación con valor absoluto cuando el valor absoluto se presenta en el lado izquierdo, lo dividimos entre 3 ambos miembros de la ecuación:

9. De esta manera la ecuación dada es equivalente a: |5 − 4x| = 3 Ahora,  esta ecuación en valor absoluto es equivalente a 5 − 4x = 3     o bien    5 − 4x = −3 Despejando  x : Si  5 − 4x = 3 −4x = 3 − 5 −4x = −2    /−1 4x = 2 X=1/2 Si  5 − 4x = −3 −4x = −3 − 5 −4x = −8    /−1 4x = 8 X=2

10. El conjunto solución de nuestra ecuación  3 |5 − 4x| = 9 a  través de la notación de conjunto como: GRAFICO: Se grafica marcando con un punto las dos soluciones en la recta. Ej :

11. INNECUACIONES Hay que encontrar el conjunto de todos los números reales que cumplan con esa condición: |1 - 5x| <= 9 Para eso hay que resolver la inecuación con módulo. Una de las formas de resolver una inecuación con módulo es usando ciertas propiedades: 1)  |x| > a ---> x < - a ó x > a        (siendo "a" un número positivo) 2)  |x| < a ---> -a < x < a

12. Por ejemplo: 1 )   |x - 3| > 1 x - 3 < - 1     ó     x - 3 > 1 x - 3 < - 1     ⇔     x < - 1 + 3     ⇔     x < 2 x - 3 > 1     ⇔     x > 1 + 3     ⇔     x > 4 x ∈ (-∞ , 2) ∪ (4 , ∞ ) 2)   |x - 3| < 1 1 < x - 3 < 1 - 1 + 3 < x < 1 + 3 2 < x < 4 x ∈ (2 ,4)

13. Integrantes: ALBORNOS, María Paula INNAMORATO, Rocío Verónica