Momento de inercia con respecto a ejes paralelos

ingeniería mecánica estatica

1. MOMENTOS DE INERCIA DE UN AREA CON RESPECTO A EJES INCLINADOS El diseño de un elemento estructural y mecánico , como una viga o una columna, requiere el cálculo del momento de inercia de su sección transversal , a veces es necesario calcular los momentos y el producto de inercia para un área con respecto a un conjunto de ejes inclinados FUTURO ING. MARTIN FRANCISCO ANDRADE PAHECO

2. Para hallar los momentos de inercia con respecto a los ejes inclinados , , es necesario conocer o calcular los momentos de inercia con respecto a los ejes x e y ( , ) y conocer el ángulo del eje inclinado .   Para comenzar debemos usar ecuaciones que relacionen las coordenadas y . A partir de la figura de la izquierda ,estas ecuaciones son:  

3. Usando la definición de momento de inercia y reemplazando las ecuaciones anteriores , los momentos y el producto de inercia de con respecto a los ejes se convierten : Al desarrollar cada expresión tenemos:  

4. Integrando , Reemplazando , e , obtenemos:  

5. Las ecuaciones pueden reducirse usando identidades trigonométricas, , y . i)    

6. ii)    

7. iii) Por lo tanto las ecuaciones de los momentos y el producto de inercia quedan:       ….(1)

8. Si se suman las dos primeras ecuaciones, se observa que el momento polar con respecto al eje z que pasa a través del punto O es independiente de la orientación de los ejes y ; es decir: También sabemos que el momento polar se define como :    

9. Momentos de inercia principales Las ecuaciones (1) muestran que dependen del ángulo de inclinación de los ejes , . Ahora determinaremos la orientación de esos ejes con respecto a los cuales son máximo y mínimo. Este sistema particular de ejes se llama ejes principales del área , y los momentos de inercia correspondientes con respecto a esos ejes se llaman momentos de inercia principales . En general, hay un conjunto de ejes principales para cada origen O elegido. Sin embargo, para el diseño estructural y mecánico, el origen O se ubica en el centroide del área .  

10. Por lo tanto, si   El ángulo para el que o es máximo o mínimo puede de terminarse anulando la primera derivada de o , respecto a , es decir:     …..(2)

11.   Las dos raíces, y de esta ecuación están separadas 90° y especifican la inclinación de los ejes principal . Esto puede hacerse mediante los triángulos de la figura inferior, que se basan en la ecuación (2). Si sustituimos cada una de las relaciones de seno y coseno en la primera o segunda de las ecuaciones (1), y simplificamos obtenemos:  

12. Si sustituimos los valores de la otra raíz , obtenemos:       …..(3) …..(4)

13. Según el signo que se elija, este resultado proporciona el momento de inercia máximo o mínimo para el área. Además, si las relaciones trigonométricas anteriores para y se sustituyen en la tercera de las ecuaciones (1), se puede ver que ; es decir, el producto de inercia con respecto a los ejes principales es cero . Como se indico en la sección de productos de inercia , es cero con respecto a cualquier eje simétrico , se infiere que cualquier eje simétrico representa un eje principal de inercia para el área .    

14. Ejemplo 1 .- Determine los momentos de inercia y el producto de inercia del área de la sección transversal con respecto a los ejes u y v .

15. Desarrollo.- La figura mostrada es un área compuesta , por lo que la sección transversal puede subdividirse en 2 áreas rectangulares A y B se muestran en la figura. Teorema de los ejes paralelos .- Sabemos que el momento de inercia de un rectángulo con respecto a su eje centroidal es , por lo tanto: Rectángulo A: Rectángulo B: +(4)(1)(0) +(4)(1 )  

16. Suma.- Entonces los momentos de inercia para toda la sección transversal son: Producto de inercia .– Debido a la simetría, el producto de cada rectángulo es cero respecto a cada conjunto de ejes x´ , y ´ que pasan a través del centroide de cada rectángulo. Si usamos el teorema de los ejes paralelos, tenemos. Rectángulo A : Rectángulo B : Por lo tanto , el producto de inercia de toda la sección transversal es cero:  

17. Ahora que ya se han determinado los momentos y el producto de inercia de la sección transversal respecto a los ejes x e y : , , Procederemos a calcular los momentos y el producto de inercia con respecto a los ejes inclinados u , v:  

18. Como se puede observar el producto de inercia puede ser negativo o positivo.  

19. Ejemplo 2 .- Determinar la dirección de los ejes principales con origen en el punto O. y los momentos de inercia principales. Resolución .- Hallamos el momento polar con respecto al punto o : Por simetría y son iguales, si :  

20. Integrando;       Hallamos el producto de inercia, para ello usaremos un elemento diferencial que tiene un espesor , como se muestra, y tiene un . El centroide se localiza en el punto y  

21. Reemplazando el valor del radio obtenemos los valores de los momentos y el producto de inercia con respecto al eje x , y :  

22. Con la ecuación (2), se hallan los ángulos de inclinación de los ejes principales :   Pero como : Entonces: o Por lo tanto las raíces , son:    

23. Los momentos de inercia principales con respecto a estos ejes se determinan por la siguiente ecuación : Pero como :         Por lo tanto :  

24. Pero reemplazando las raíces de los ángulos en las formulas (1). Obtenemos que los momentos de inercia principales máximo y mínimo son iguales :     =