MOMENTO DE INERCIA DE MASA.pptx

MOMENTO DE INERCIA DE MASA.pptx

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA PROGRAMA DE ESTUDIOS: INGENIERÍA AGRÍCOLA CURSO DE ESTATICA DOCENTE: ANGEL DARIO CANLLAHUI AQUISE INGENIERO AGRÍCOLA MOMENTO DE INERCIA DE MASA

2. Momento de inercia de masa El momento de inercia de masa de un cuerpo es una medida de la resistencia del cuerpo a la aceleración angular a continuación se analizarán los métodos para realizar su cálculo. Considere el cuerpo rígido que se muestra en la figura, Definimos el momento de inercia de masa del cuerpo con respecto al eje z Como r es la distancia perpendicular desde el eje hasta el elemento arbitrario o diferencial dm . Como la formulación implica a r , el valor de I es único para cada eje con respecto al cual se calcula. Sin embargo, el eje que generalmente se elige pasa por el centro de masa G del cuerpo. Las unidades que se utilizan para esta medida son kg * m 2 o slug * pie 2 .

3. Si el cuerpo consiste en material con densidad ρ (rho) , entonces dm = ρ dV , figura.(a) Al sustituir esto en la ecuación el momento de inercia del cuerpo se calcula entonces con elementos de volumen para la integración; es decir, Para la mayoría de las aplicaciones, ρ será una constante , por lo que este término puede factorizarse fuera de la integral, y la integración es entonces meramente una función de la geometría. densidad ρ

4. Si un cuerpo es simétrico con respecto a un eje, como en la figura a,b,c , entonces su momento de inercia de masa con respecto al eje puede determinarse con una integración simple. Los elementos de cascarón o de disco se usan para este propósito. Elemento de cascarón. • Si un elemento de cascarón con altura z , radio y y espesor dy se elige para la integración, figura b , entonces su volumen es dV = (2 πy )( z ) dy . • Este elemento se puede usar en las ecuaciones para determinar el momento de inercia I z del cuerpo con respecto al eje z ya que todo el elemento , debido a su “ delgadez”,se encuentra a la misma distancia perpendicular r = y del eje z Procedimiento para el análisis densidad ρ

5. Elemento de disco. • Si un elemento de disco, con radio y y espesor dz se elige para la integración, figura c , entonces el volumen es dV ( π y 2 ) dz . • En este caso el elemento es finito en la dirección radial, y en consecuencia no todas sus partes se encuentran a la misma distancia radial r del eje z . Como resultado, las ecuaciones anteriores no se pueden usar para determinar I z . En vez de realizar la integración con este elemento, primero es necesario determinar el momento de inercia del elemento con respecto al eje z y luego integrar este resultado densidad ρ

6. Ejercicio 01: Determine el momento de inercia de masa del cilindro que se muestra en la figura (a) mostrada con respecto al eje z . La densidad del material es constante. SOLUCIÓN Este problema se puede resolver con el elemento de cascarón que se muestra la figura b y sólo se requiere una integración simple. El volumen del elemento es dV = (2 π r )( h ) dr , de modo que su masa es dm = ρ dV = ρ (2 π hr dr ). Como todo el elemento se encuentra a la misma distancia r del eje z , el momento de inercia del elemento es: densidad ρ

7. Ejercicio 02: Un sólido se genera al girar el área sombreada en azul mostrada en la figura ( a) con respecto al eje y . Si la densidad del material es de 5 slug / pie 3 , determine el momento de inercia de masa con respecto al eje y . SOLUCIÓN Elemento de disco. El momento de inercia se determinará con este elemento de disco , como se muestra en la figura b . Aquí, el elemento interseca la curva en el punto arbitrario ( x , y ) y tiene una masa densidad ρ

8. ( b)

9. Teorema de los ejes paralelos. Si se conoce el momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pase por el centro de masa del cuerpo, entonces el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo puede determinarse con el teorema de los ejes paralelos . Para derivar este teorema, considere el cuerpo que se muestra en la figura. El eje z ¿ pasa por el centro de masa G , mientras que el correspondiente eje z paralelo se encuentra a una distancia constante d . Al seleccionar el elemento diferencial de masa dm que se localiza en el punto ( x ’ , y ’ ) y con el teorema de Pitágoras, r 2 ( d x ¿ ) 2 y ¿ 2 , el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje z es

10. Radio de giro. En ocasiones, el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje específico se reporta en los manuales mediante el radio de giro k . Este valor tiene unidades de longitud, y cuando se conoce junto con la masa m del cuerpo, el momento de inercia se puede determinar a partir de la ecuación Observe la similitud entre la definición de k en esta fórmula y r en la ecuación dI = r ² dm , la cual define el momento de inercia de un elemento diferencial de masa dm del cuerpo con respecto a un eje. Cuerpos compuestos. Si un cuerpo está construido a partir de un número de formas simples como discos, esferas y barras, el momento de inercia del cuerpo con respecto a cualquier eje z puede determinarse al sumar algebraicamente los momentos de inercia de todas las formas componentes calculados con respecto al mismo eje. La suma algebraica es necesaria ya que una parte componente se debe considerar como una cantidad negativa si ya ha sido incluida dentro de otra parte —como en el caso de un “agujero” sustraído de una placa sólida.

11. Además, el teorema de los ejes paralelos es necesario para los cálculos si el centro de masa de cada parte componente no se encuentra sobre el eje z . A este respecto, en la tabla que se encuentra en la cubierta interna de este libro se proporcionan fórmulas para el momento de inercia de masa de algunas formas comunes, como discos, esferas y barras. Este volante, que opera un cortador de metal, tiene un momento grande de inercia con respecto a su centro. Una vez que comienza a girar es difícil detenerlo y, por consiguiente, es posible transferir de manera efectiva un movimiento uniforme a la hoja cortadora.

12. Ejercicio; El péndulo que se muestra en la figura, consiste en dos barras delgadas cada una con un peso de 10 lb. Determine el momento de inercia de masa del péndulo con respecto a un eje que pase por; (a) el pasador en O , y (b) el centro de masa G del péndulo. SOLUCIÓN Parte (a). Con la tabla proporcionada (de Momentos de inercia de masa de formas geométricas comunes ) el momento de inercia de la barra OA con respecto a un eje perpendicular a la página y que pasa por el punto extremo O de la barra, es I O = 1 / 3 ml ² .

13. Por consiguiente,

14. Parte (b). El centro de masa G se localizará con respecto al pasador situado en O . Si suponemos que esta distancia es , observamos la figura, y usamos la fórmula para determinar el centro de masa, tenemos

15. Ejercicio: Si la placa que se muestra en la figura 10-26 a tiene densidad de 8000 kg > m 3 y un espesor de 10 mm, determine su momento de inercia de masa con respecto a un eje perpendicular a la página y que pase por el punto O .

16. SOLUCIÓN La placa consta de dos partes compuestas, el disco de 250 mm de radio menos un disco de 125 mm de radio, figura b . El momento de inercia con respecto a O puede determinarse por el cálculo del momento de inercia de cada una de esas partes con respecto a O , y sumar luego algebraicamente los resultados. Los cálculos se realizan con el teorema de los ejes paralelos junto con los datos dados en la tabla ( de Momentos de inercia de masa de formas geométricas comunes) Disco. El momento de inercia de un disco con respecto a un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por G es

17. El centro de masa del disco está a una distancia de 0.25 m del punto O . Entonces,