Momento_de_Inercia_Esfera_ Macica.pptx

O momento de inércia é uma grandeza física que mede a resistência de um corpo à variação do seu movimento rotacional. De forma análoga à massa em um movimento linear, o momento de inércia atua como a “inércia rotacional” de um objeto, descrevendo como a distribuição de massa em relação ao eixo de rotação influencia sua dinâmica. Em termos gerais, o momento de inércia é definido pela integral
𝐼
=
∫
𝑟
2
 
𝑑
𝑚
I=∫r
2
dm, onde
𝑟
r é a distância de cada elemento de massa
𝑑
𝑚
dm ao eixo de rotação.

1. Momento de Inércia de uma Esfera Maciça Apresentação criada por ChatGPT

2. Introdução O momento de inércia mede a resistência de um corpo à variação do seu movimento rotacional. Na rotação, a Segunda Lei de Newton é escrita como τ = I·α, onde τ é o torque, I é o momento de inércia e α é a aceleração angular.

3. Conceito de Momento de Inércia O momento de inércia depende da distribuição da massa em relação ao eixo de rotação. Para um corpo contínuo: I = ∫ r² dm onde r é a distância de cada elemento de massa dm ao eixo.

4. Esfera Maciça Considere uma esfera maciça de raio R e massa total M. A densidade é uniforme e dada por ρ = M / (4/3·π·R³). Vamos calcular o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro.

5. Dedução do Momento de Inércia Dividimos a esfera em camadas esféricas finas de raio r e espessura dr. Cada camada tem massa dm = ρ·4πr²dr. Assim: I = ∫ r² dm = ∫ r²·ρ·4πr²dr = 4πρ ∫ r⁴dr Integrando de 0 até R: I = 4πρ·(R⁵/5) = (2/5)·M·R².

6. Resultado Final O momento de inércia de uma esfera maciça em torno de um eixo que passa pelo centro é: I = (2/5)·M·R² Esse resultado mostra que a massa distribuída no interior reduz o valor do momento de inércia em comparação com uma casca esférica.

7. Aplicações • Rotação de planetas e estrelas (aproximação de esferas maciças) • Esferas girando em mecânica clássica e engenharia • Experimentos de rotação e conservação de momento angular

8. Conclusão O momento de inércia é uma medida fundamental do comportamento rotacional. Para uma esfera maciça, ele é dado por I = (2/5)MR². Esse valor é menor do que o da casca esférica, pois parte da massa está mais próxima do eixo.