Monomios y Polinomios.pdf

..

1. SesiónNro. 04 –Monomios y Polinomios
Ing. WILMAR ORLANDO TABOADA PRINCIPE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS II

2. MONOMIOS Y POLINOMIOS
Estasfórmulasformanpartedelasexpresionesalgebraicasmássencillas
llamadasmonomiosenlascualeselvalorparticularseobtienecuando
sustituimoslaletraxporunvalorconcreto.Asíporejemplosix=4cm,
tendremosqueV=4
3
=64�??????
3
yS=6·4
2
=96�??????
2
.
VolumenV(x)=??????
�
SuperfícietotalS(x)=??????
�
Del cubo de la figura podemos expresar su volumen y su superficie total en función de la medida de sus aristas (x):
Apartirdeestasexpresiones,sepuedenconstruirotrastambiénsencillas
llamadaspolinomiosyapartirdeellosasuvezotrasmáscomplejas.

3. Unmonomioesunaexpresiónalgebraicaformadaporunapartenumérica(coeficiente)yunaparte
literal.
El coeficientedel monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
I. MONOMIO

4. El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.
❑Tipos de grados del monomio
Gradorelativo:eseltipodegradoqueseoriginadeunavisiónparcialdelmonomio,yquetomaencuenta
únicamenteelexponentedelavariablequeseescogecomoguía.
Gradoabsoluto:porsuparte,elGradoabsolutoplanteaunavisiónglobaldelmonomio,siendoelresultadodela
sumadecadaunodelosexponentesalosqueseencuentranelevadoslosliteralesdelmonomio.
??????(�,�,�)=4�
2
�
4
�
5
GR(x) = 2 GR(y) = 4 GR(z) = 5
??????(�,�,�)=4�
2
�
4
�
5
GA(x) = 2 + 4 + 5= 11

5. 2.-MONOMIOS OPUESTOS: Dos monomios son opuestos si sus literales son semejantes y el coeficiente de uno
es el opuesto del coeficiente del otro.
5�
2
�−5�
2
�Son monomios opuestos
II. TIPOS DE MONOMIOS
Ejemplo:
1.-MONOMIOS SEMEJANTES: Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Por tanto, dos
monomios semejantes sólo se diferencian en el coeficiente.
2��
4
�
4
;−3��
4
�
4
;4��
4
�
4
Son monomios Semejantes
2��
3
�;2��
4
�
4
No son monomios Semejantes
Ejemplo:

6. 2.-MONOMIOS HETEROGÉNEOS: son los monomios que no tienen el mismo grado absoluto. Es decir, los
monomios heterogéneos son el contrario de los monomios homogéneos.
�
8
;3�
2
�;7�
2
�
4
Ejemplo:
3.-MONOMIOS HOMOGENEOS: Dosmonomiossonhomogéneoscuando su grado absoluto es equivalente.
2�
6
;−3�
3
�
3
Ejemplo:

7. III. OPERACIONES CON MONOMIOS
1.-SUMAYRESTADEMONOMIOS:Lasumaolarestademonomiossemejantesesotromonomiosemejante
aellosquetieneporcoeficientelasumaorestadeloscoeficientes.
2.-MULTIPLICACIÓNDEMONOMIOS:lamultiplicacióndedosmonomiosesotromonomiocuyocoeficiente
eselproductodeloscoeficientesdelosmonomiosycuyaparteliteralseobtienedemultiplicarlasvariables
quetienenlamismabase,esdecir,sumandosusexponentes.
5�
3
+ 2�
3
=(5+2)�
3
=7 �
3
5�
3
-2�
3
=(5−2)�
3
=3 �
3
5�
2
. 2�
3
=(5.2)�
2+3
=10 �
5
Suma:
Resta:

8. ➢Propiedadconmutativa:elordendelosmonomiosmultiplicandosnoalteraelresultadodela
multiplicación.
➢Propiedadasociativa:cuandosemultiplicantresomásmonomios,elresultadodelproductoesel
mismoindependientementedecomoseagrupenlosfactores:
➢Propiedaddistributiva:lasumadedosmonomiosmultiplicadaporunterceroesigualalasumade
cadasumandoporeltercermonomio.
3�
5
.2�
4
=(3.2)�
5+4
=6 �
9
2�
5
.3�
4
=(2.3)�
4+5
=6 �
9
( 2x.4�
2
).3�
5
=(2.4.3)�
1+2+5
=24 �
8
2x. (4�
2
.3�
5
)=(2.4.3)�
1+2+5
=24 �
8
4�
6
. (3�
4
+5�
4
)=4�
6
. 3�
4
+4�
6
.5�
4
= (4.3)�
6+4
+(4.5)�
6+4
= 12�
10
+20�
10
= 32 �
10

9. 4.-POTENCIADEMONOMIOS:Paracalcularlapotenciadeunmonomiosedebeelevarcadaelemento
delmonomioalexponentedelapotencia.Esdecir,lapotenciadeunmonomioconsisteenelevarsu
coeficienteysusvariables(letras)alexponentedelapotencia
(2�
4
)
3
=(2)
3
(�
4
)
3
=8 �
4.3
=8 �
12
3.-DIVISIÓNDEMONOMIOS:Elresultadodeladivisióndemonomiosesotromonomiocuyocoeficiente
equivalealcocientedeloscoeficientesdelosmonomiosycuyaparteliteralseobtienededividirlasvariables
quetienenlamismabase,estoes,restandosusexponentes.
6�
7
/2�
3
=(6/2)�
7−3
=3 �
4

10. Un polinomio es una expresión algebraica de sumas, restas y multiplicaciones ordenadas hecha
de variables, constantes y exponentes.
Partes de un Polinomio
oTérminos:
oCoeficientes: 5, 7, 3, y 9
oGrado: 3
oVariable o indeterminada: x
oTérmino independiente: 9
V. POLINOMIO

11. •Grado Relativo de un Polinomio: Estado dado por el mayor exponente de la variable referida.
•Grado Absoluto de un Polinomio: Esta dado por el monomio de mayor grado.
El primer término tiene como grado 5, el segundo tiene como grado 7 y el tercero tiene como grado 10, por
lo tanto:
GA(P) = 10

12. ➢Monomio: Es unpolinomioque consta deunsólomonomio.
➢Binomio: Es unpolinomioque consta dedos monomios.
➢Trinomio: Es un polinomioque constade tres monomios.
Los polinomios tienen su propia clasificación según sus características:
P(�)=2�
3
P(�)=2�
3
+ 3x
P(�)=2�
3
+ 3x + 5
Ojo: Más de tres términos: seguirán denominándose polinomios.

13. EJEMPLOS DE POLINOMIOS:
Para acabar de entender el concepto de polinomio, a continuación vamos a ver variosejemplos de polinomios:
✓POLINOMIO DE GRADO CERO:
✓POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO:
✓POLINOMIO DE PRIMER GRADO:
✓POLINOMIO DE TERCER GRADO:
P�=7
P�=4�+1
P�=2�
2
+5�+3
P�=2�
3
−8�+9

14. VI. TIPOS DE POLINOMIOS
1.POLINOMIOORDENADO:Esaqueldondelosexponentesdelavariablevanaumentandoodisminuyendo.
2.POLINOMIOCOMPLETO:Esaqueldondeaparecentodoslosexponentesdelavariable,desdeelmayor,hastael
términoindependiente.
3.POLINOMIOINCOMPLETO:Esaquelpolinomioquelefaltacomomínimountérminodealgúngrado.
P�=�
4
+5�
2
+4�−9
P�=�
3
+2�
2
+6�+4
P�=�
5
+5�
3
+2�

15. 4. POLINOMIOS HOMOGÉNEO: Es aquel donde todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.
5. POLINOMIO HETEROGÉNEO: Es aquel polinomio en el que no todos sus términos tienen el mismo grado.
6.POLINOMIOOPUESTO:Unpolinomioesopuestoaotrosiloscoeficientesdelostérminosdeigualgradoson
delmismovalorperodesignocontrario.
P�=5�
3
+5�
2
�+�
3
P�=−3�
4
+�
2
−4�
P�=�
5
+7�
3
−2�+4
-P�=−�
5
−7�
3
+2�−4

16. 1.-SUMADEPOLINOMIOS:Pararesolverlasumadedosomáspolinomiossedebensumarlos
términosdelospolinomiosquesonsemejantes.Esdecir,lasumadepolinomiosconsisteen
sumarlostérminosquetienenlamismaparteliteral(mismasvariablesymismosexponentes).
SUMA VERTICAL
SUMA HORIZONTAL
VII. OPERACIÓN CON POLINOMIOS
P�=6�
4
+4�
3
+2�–3
Q�=3�
4
−7�
3
+6�
2
−4�+1
P�+Q�=6�
4
+4�
3
+2�–3 + (3�
4
−7�
3
+6�
2
−4�+1)
P�+Q�=6�
4
+4�
3
+2�−3 +3�
4
−7�
3
+6�
2
−4�+1

17. 2.-RESTA DE POLINOMIOS: Para hacer laresta de dos polinomiosse deben restar los términos de
los polinomios que son semejantes. Es decir, la resta de polinomios se basa en restar los términos
que tienen la misma parte literal (mismas variables y mismos exponentes).
P??????−Q??????=7�
�
+2�
3
+5�–4 -(4�
4
−3�
3
+8�
2
−2�+1)
P??????−Q??????=7�
�
+2�
3
+5�–4 -4�
4
+3�
3
−8�
2
+2�−1)
RESTA HORIZONTAL

18. 3.-MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Q�.P�=4�
2
.�
3
+4�
2
.−�??????
�
+4�
2
.2�+3�.�
3
+3�.−�??????
�
+3�.2�
P�=4�
2
+3�
Q�=�
3
−5�
2
+2�
Q�.P�=(4�
2
+3�)(�
3
−5�
2
+2�)

19. 4.-DivisióndePolinomios:Paradividirdospolinomiossedebedeseguirunprocedimiento
complicado,asíquevamosavercómosedividendospolinomiosresolviendounejemplopasoa
paso:

20. DESARROLLO