Monomis i polinomis per 2n d'ESO

Primer tema d'Àlgebra per a 2n d'ESO. Versió INS Lluís Companys.

1. Unitat 4: Àlgebra. Monomis i Polinomis
1. Introducció a l'àlgebra. Llenguatge algèbric. x
2. La unitat més senzilla en àlgebra: els monomis x
3. Operacions amb monomis x
3.1 Suma i resta x
3.2 Producte x
3.3 Quocient x
4. Polinomis x
4.1 Suma x
4.2 Resta x
4.3 Producte x
4.3.1 La propietat distributiva x
4.3.2 Producte entre polinomis x
4.4 El valor numèric d'una expressió algèbrica x
4.5 Extracció de factor comú x
4.6 Productes notables x

2. 1. Introducció a l'Àlgebra. Llenguatge algèbric
Parts de les matemàtiques que coneixeu:
-Treball amb nombres, operacions,
jerarquia, etc.
-Treball amb figures planes i cossos,
al pla o a l'espai.
-Treball amb relacions de dependència
entre nombres: funcions.
-Treball amb dades: recopilació,
representació i interpretació.
-Treball amb nombres desconeguts,
que substituïm per lletres: x, y, z, a, b,...
Àlgebra
Estadística i probabilitat
Anàlisi
Geometria
Aritmètica
Exercicis 126-132

3. 2. La unitat més senzilla en àlgebra: els monomis
El grau és la suma de tots els exponents de la part literal.
a) Nomenclatura Monomi de grau 4
(3+1=4)1
2
b
3
·h
Coeficient
(el número)
Part literal
(les lletres)
b) Grau d'un monomi
Si dos o més monomis tenen la mateixa part literal, direm que són
monomis semblants.
c) Monomis semblants
3x
2
−4x
2
x
2
3
−5
3
x
2
Un monomi és el producte indicat entre un valor conegut (el coeficient)
i un o més valors desconeguts, representats per lletres (la part literal).
Exercicis 133 i 134
Exercicis 135 i 136

4. 3. Operacions amb monomis
El producte d'un o més monomis és un monomi que té com a
coeficient el producte dels coeficients, i com a part literal el producte
de les parts literals.
3.1 Suma i resta:
3.2 Producte:
3x
2
+4x
2
−9x
2
=−2x
2
3a·5b=(3·5)·(a·b)=15ab
Dos monomis només es poden sumar si són semblants. En aquest
cas, sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part
literal.
2a+b−4a+2b=−2a+3b
Exercici 137-8 i p80 4.3 i 4.36 i 37
5x
2
·2x
3
=(5·2)·(x
2
·x
3
)=10x
5
Exercici 139, 140 i 4.9 i 4.38

5. 3. Operacions amb monomis
3.3 Quocient:
2x
2
:5x
2
=
2x
2
5x
2
=
2
5
Del quocient entre dos monomis se'n pot obtenir un nombre, un altre
monomi o una fracció algebraica. Posarem l'operació en forma de
fracció i simplificarem factors idèntics ("flas-flas").
Exercicis 141-146
6a
3
b
2
:2ab
2
=
6a
3
b
2
2ab
2
=
2·3·a·a·a·b·b
2·a·b·b
=
3a
2
1
=3a
2
8x
2
y:6y
3
=
8x
2
y
6y
3
=
2·2·2·x·x·y
2·3·y·y·y
=
4x
2
3y
2
(Nombre)
(Monomi)
(Fracció algebraica)

6. 4. Polinomis
El grau d'un polinomi és el grau més alt dels termes que el formen.
a) Nomenclatura Polinomi de grau 4
11x
3
y−7xy
2
+5x−13
Terme
b) Grau d'un polinomi
Exercici 4.12 +extra
Un polinomi és la suma indicada de diversos monomis no
semblants. ("poli"="molts", "mono"="un de sol")
Terme TermeTerme
Grau 4 Grau 3Grau 1Grau 0

7. 4. Polinomis
4.1 Suma:
A=5x
3
−1
Per sumar o restar polinomis, només ens caldrà sumar o restar els
termes semblants. Els disposarem en columnes, de grau major a menor.
Exemple:
B=7x
3
−5x
2
+3
A+B
5x
3
7x
3
−5x
2
+3+
−1
12x
3
−5x
2
+2

8. 4. Polinomis
4.2 Resta:
A=5x
3
−1
Restar és el mateix que sumar l'oposat. Així, procedirem de la mateixa
manera però sumant l'oposat del polinomi que actua de subtrahend.
Exercicis 148 i 149
4.42 i 4.43
Exemple:
B=7x
3
−5x
2
+3
A−B=A+(−B)
5x
3
−7x
3
+5x
2
−3+
−1
−2x
3
+5x
2
−4

9. 4. Polinomis
4.3 Producte:
3x·(5x
3
−2x)
Si tenim un factor multiplicant un parèntesi, podem aplicar la
propietat distributiva "distribuint" aquest factor a cada un dels termes
de l'interior del parèntesi.
Exercici 150
4.17 i 4.18
3x·(5x
3
−2x)=3x·5x
3
−3x·2x
3x·5x
3
−3x·2x=15x
4
−6x
2
4.3.1 La propietat distributiva
Exercicis requadre pàg.77

10. P(x)=3x
2
−2x+7
Per multiplicar polinomis els disposarem també en columnes
ordenades, multiplicant cada terme del primer polinomi per cada terme del
segon polinomi, i reduint finalment els termes semblants.
Exercicis 150 i)
4.18 e) 4.44
Exemple: Q(x)=3x−5
P(x)·Q(x)
x
−15x
2
+10x−35
3x
2
−2x+7
3x−5
9x
3
−6x
2
+21x
9x
3
−21x
2
+31x−35
4.3.2 Producte entre polinomis

11. 4.13 + el de l'examen
El valor numèric d'una expressió algebraica és el nombre o
resultat que s'obté en substituir les lletres per nombres determinats i
realitzar les operacions indicades.
Exemple: Trobar el valor numèric de la següent expressió
algebraica per a x = 5.
3x
2
+x+10
3·5
2
+5+10=3·25+5+10=75+5+10=90
3·5
2
+5+10
si x = 5
4. Polinomis
4.4 El valor numèric d'una expressió algèbrica

12. 15x
4
−6x
2
Extreure factor comú d'una expressió algebraica és aplicar la
propietat distributiva a la inversa: mirarem quins factors comuns
ténen cada un dels termes, i els "extraurem" a fora d'un parèntesi.
151 i 152 + exercici prova
3·5·x·x·x·x−3·2·x·x
3·x·x·(5·x·x−2)
3x
2
·(5x
2
−2)
4. Polinomis
4.5 Extracció de factors comuns:

13. ab
2
=a
2
2abb
2
Demostració:
a) Quadrat de la suma
(a+b)
2
=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b
a·a1a·b1a·bb·b=a
2
2abb
2
Exemple:
2x3y
2
=2x
2
2·2x·3y3y
2
=4x
2
12xy9y
2
4. Polinomis
4.6 Productes notables

14. a−b
2
=a
2
−2abb
2
Demostració:
b) Quadrat de la diferència
(a−b)
2
=(a−b)·(a−b)=a·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)
a·a−a·b−a·bb·b=a
2
−2abb
2
Exemple:
2x
3
−6x
2
=2x
3

2
−2·2x
3
·6x6x
2
=4x
6
−24x
4
36x
2
4. Polinomis
4.6 Productes notables:

15. (a+b)·(a−b)=a
2
−b
2
Exercicis 153, 154, 155, 156, 157
Demostració:
c) Suma per diferència
(a+b)·(a−b)=a·a+a·(−b)+b·a+b·(−b)
a·a−1a·b+1a·b−b·b=a
2
−b
2
Exemple:
(x+2y)·(x−2y)=(x)
2
−(2y)
2
=x
2
−4y
2
4. Polinomis
4.6 Productes notables: