Morettin estatistica básica, probabilidade

1. LUIZ GONZAGA MORETTIN

ESTATISTICA
BASICA

PROBABILIDADE = INFERENCIA

2. PAGINA EM BRANCO

3. BÁSICA ‘35

PROBABILIDADE INFERÉNCIA

Pearson Education

EMPRESA CIDADA

4. PAGINA EM BRANCO

5. LUIZ GONZAGA MORETTIN

VOLUME
UNICO

PROBABILIDADE INFERÉNCIA

N
PEARSON \
TI E

Süo Paulo m

Brasil Argentina Colömbia Costa Rica Chile Espanha.
Guatemala México Pera Porto Rico Venezuela

6. © 2010 by Luiz Gonzaga Morettin
“Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicagdo poder ser reproduzida
ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrönico ou mecánico,
incluindo fotocópia, gravagdo ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e

transmissdo de informaçäo, sem prövia autoizagdo, por escrito, da Pearson Education do Brat

Diretor editorial: Roger Timer
Gerente editorial: Sabrina Cairo
‘Supervisor de produgdo editorial: Marcelo Frangoz0
Editora: Thelma Babaoka
Prsparagáo: Arlete Sousa Zebber
Revisdo: Erica Alvim
Capa: Alexandre Mieda
Projeto gráfico e diagramagdo: ER) Composigto Editorial

Dados Internacionais de Catalogaçäo na Publicaçao (CIP)
(Cámara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Estatística básica: probabilidade e inferénia,
volume único / Luiz Gonzaga Moretin. Säo Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2010.

Bibliografia
ISBN 978-85-7605-370-5

1. Estatítica— Estudo e ensino 1. Título.

09-0945 CDD-519.507

Índice para catálogo sistemático:
1. Estatistica : Estudo eensino 519.307

1° reimpressto — jlho 2010
Direits exclusivos para a lingua portuguesa cedidos à
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uma empresa do grupo Pearson Education
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e-mail: vendas(@pearson.com

7. À minba esposa Dinalva
os meus fihos Eduardo, Adriana e Alexandre

8. PAGINA EM BRANCO

9. Sumario

Parte 1 — Probabilidade .............
1. Espago amostral
LA Introd gon
12. Espaço amostal ese
1.3 Classe dos eventos aleat6ri0s
A Operagdes com eventos alcatóios
LS. Propridades das operaçoes ….…
16 Pariçäo de um espago amostral
Exerceios propostos

2. Probabilidad
21 Fugue probable.
22 Teoremas 2
23 Eventos equiprovä
24 Probubilidade condicional.
25. Eventos independentes.
Exercelo resolvido

26 Teorema de Bayes.
Exercieios resol
Exercíclos proposto
3. Variäveis aleatérias discretas.
3.1. Definigöes =
32. Esperanga matemática. a:
33 Varidnca..

34. Distibuigáo conjunta de duasvardves lets.
3.5. Funçäo de.distribuigdo. ae

Exercicios resolvidos
Exereicios propostos
4. Distribuigdes teóricas de proba idades de varidveis aleatórias discretas.
41
42
43 Distribuido de Pascal

10. 4.7. Distribuigdo de Poisson.
Exercicios resolvidos
Exereicios propostos =
5. Veriévei aleatéras continues.
5.1 Definiçtes …
52. Principais distibuigdes teóricas de probabilidades de variveissleatrias continus 131
Exerefcos resolvidos .

Exercicis propostos
6. Aplicagäes da dstribuigdo normal.
6.1 Disribui es de fungdes de variávis aleatrias normas.

62 Aprokimaçäo da distribuigáo binomial pela distribuigdo normal
Exercicios esolvidos

Exereicios propostos

Parte 2 — Inferéncia
7. Amostragem..
7.1. Concetos Ñ
72. Tipos de amostragem
8. Análise exploratöria dos dados de uma amostra
8.1 Conceitos.
Exercicio resolvido
Exercicios propostos.
9. Distribuiçäo amostral dos estimadores
9.1. Distibuiçäo amostral da média

92. Distibuiçäo amostral das proporgdss
Exercicios esolvidos

10. estatica.
102. Estimagto.de parámetros
103. Tipos de estimagä.….
11, Intervals de conlang para médias e proporstes
11.1. Intervalos de confiamça (IC) para a mödia de uma populagdo normal com
varidcia 9 conhecida… 25
11.2. Intervalos de confanga para grandes amostras.
Exereeiosresolvidos
Exerecios propostes.
12, estes de hipótess para médias e proporgäe
12.1. Introdusio, 240
122. Testes de hipéeses para a média de populagdes norma com varáncias (0) conhocidas. 241
123 Teste de hipoteses para POPOS mm 24s

237

11. Exercicios resolvidos
Exerciios propostes..
13. Erros de decisäo...
13.1 Probie decometr os eos dosti Le 255

122, Fano oder de um ete pcia de um ne a mme
Exorefcls propostos …. 265

14. Distribuigáo det de student IC e TH para a média de populagäo normal com
variáncia desconhecid

14.1. Distibuigdo de r de Student

142 IC e TH para a média de uma populagäo normal com 0° descon

Exereiios propostos I

143. Resumo: IC e TH para.

Exerciios propostos 2.

15, Comparaçäo de duas médias: TH para a diferenga de duas médias

15.1. Dados emparelhados...

15:2. Dados náo emparelhados.

Exerefelos propostos

16, Distribuigäo dex? (tga IC e TH para a variancia de Popa
OURS Sateen se rer eee 290

16.1 Disribuig dex" Qui quadnde). 290

162 IC TH para a varidncia o” de uma populagdo normal com média eonhecida....297

163, Co TH pana.” de popula monaco debe "300
Exerceios resolvidos = 302
Exercilos PFOPOSOS a ae 306

164. Resumo
17. Testes de aderéncia e tabelas de contingtncia.
17.1. Testes de aderéncia,
172. Tabelas de contingéncia
Exereieos resolvidos .
Exerefelos propostos.
18, Distibuiglo de F de Fisher Snedecor, IC € TH para quociente de variáncias..
18.1. Distibuigdo F de Fisher Snedecor…

18.2. Intervalos de confiança para um quociente de variáncis
183, Tenes dpe pura quon de vais

Exercicios propostos a

184. Resumo
D on BOD.
Tabelas de distribuigöes 337
Respostas.

Referéncias bibliográficas.

Sobre 0 AMO wns

12. PAGINA EM BRANCO

13. Prefacio

Este livro é resultado de experiéncias vividas a partir de 1967, primeiro no Colé-
gio de Aplicagáo Fidelino de Figueiredo da Faculdade de Filosofia, Ciéncias e Letras
(FFCL-USP), depois no Departamento de Estatistica do Instituto de Matemática e Esta
tistica (IME-USP), na Faculdade de Economia Säo Luis, na Escola de Administragdo de
Empresas de Sao Paulo da Fundaçäo Getulio Vargas (FGV), na Faculdade de Engenha-
ria Industrial (FEI) e, por fim, na Pontificia Universidade Católica de Sao Paulo (PUC-
SP). Além disso, seu conteúdo foi testado em cursos de especializaçäo para professores
de matemática, sendo apresentado como um modo diditico de ensinar estatistica.

ssa soma de cursos e experiéncias mostrou que a melhor forma de apresentar a
matéra consiste em expor 05 assuntos para o caso disereto, em que 0s conceitos sio
mais facilmente assimiláveis pelos alunos, passando a seguir para aso continuo, em
que esses mesmos conccitosficam sedimentados.

[Nesta edigdo, esa formula pode ser vista e comprovada, bem como é reforgada
pelo fato de o livro agora reunir os dois volumes anteriores. De fato, com essa mudanga,
a obra ganha näo apenas em aspectos gráficos, mas principalmente em di

0 sistema de ensinolaprendizagem

Em grande parte do livro, os conceitos sto apresentados por meio de problemas e
somente depois sio definidos. Sio apresentados também exemplos de aplicagäo, bem
como exercicios resolvidos e propostos para cada assunto abordado. No final do livro,
podem ser encontradas astabelas das distribuigóes normal, de Poisson, binomial, # de
‘Student, 4° de qui-quadrado e F de Fisher-Snedecor.

14. Um ponto importante: por todo o livro, so usados os mais diversos recursos para
apoiar o processo de ensino/aprendizagem, ajudando o professor em sala de aula e 0
estudante em sua busca por conheeimento. Esses recursos podem ser vistos nas segdes
a seguir,

Destaques

As pricipais definigdes (D da área da estatica e os exemplos-chave @ para
ilustrar a teoria estäo destacados ao longo do texto para aumentar o entendimento do
estudante e contribuir par a didi do Ivo

25. Eventos indopendentes
Seam Ac neve.
Fenton AUR Pde AB) =F

o——
Mel es Digne RANA 1

As fórmulas (3) mais importantes estäo em destaque para auxiliar na aprendizagem
do estudante.

Diag de Poison
‘oma re den eins
‘rte ota dun ce mt rr a at

st Nae Semmes mess eee Feo

Dress
Send cee art au

o Ss

15. Exercicios resolvidos

‘ao apresentados diversos exervicios resolvidos dos mais variados niveis de dificuldade,
om sua resolugo passo a passo, para auxiliar no desenvolvimento lógico do estudante.

Exercvis resolvidas
1. Deum cond rt um om ende ner
OS Demas rad cipal apo

os

Marne ann
O

Exercicios propostos

Virios exereicios propostos, também de diferentes niveis de dificuldade, sio apre-
sentados para que o estudante aplique a teoria na prática, aprofundando seu conheci-
mento e desenvolvendo seu raciocinio.

GIRAR.

Execiios propostos
tem (TS

16. F

Material adicional

No site de apoio do livro (wwwprenhall.com/moreitin_br), professores e es-

argon tudantes podem acessar materais adicionais em qualquer día, durante 24 horas

Para professores
+ Apresentaçäes em PowerPoint para utilizaçäo em sala de aula

+ Manual de solugöes com a resolugäo de todos os exercicios do livro

Esse material & de uso exclusivo para professores e está protegido por senha. Para ter
acesso eles, os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu representante
Pearson ou enviar e-mail para [email protected] br.

Para estudantes

+ Exercicios adicionais com respostas

“Todos esses recursos e ferramentas de aprendizagem tomam a nova edigdo de Es-
Jatistica básica ainda mais completo e eficaz, contribuindo diretamente para o bom en-
tendimento do estudante nesta disciplina muito importante para as mais diversas áreas
de ensino e pesquisa.

Luiz Gonzaga Morestin

17. PARTE

Probabilidade

Espago amostal
Probabilidade
Variveis aleatórias discretas

Distribuigdes teóricas de probabilidades de vardvels aleatórias
discretas

Variáveis aleatórias contínuas
Aplicagóes da distribuigäo normal

18. PAGINA EM BRANCO

19. capiruLo

Espaco amostral

1.1 Introdugäo

Encontramos na natureza dois tipos de fenómenos: determinísticos e aleatérios.

Os fenómenos determinísticos so aqueles em que os resultados sño sempre os
mesmos, qualquer que seja o número de ocorréncias verificadas,

Se tomarnos um determinado sólido, sabemos que a uma certa temperatura haverá a
passagem para o estado líquido. Este exemplo caracteriza um fenómeno determinístico.

Nos fenómenos aleatérios, os resultados näo seräo previsíveis, mesmo que haja um
grande número de repetigdes do mesmo fenómeno.

Por exemplo: se considerarmos um pomar com centenas de laranjeiras, as produ
des de cada planta sero diferentes e ndo previsiveis, mesmo que as condigóes de tem-
peratura, pressio, umidade, solo tc. sejam as mesmas para todas as érvores.

Podemos considerar os experimentos aleatérias como fenómenos produzidos pelo
homem.

"Nos experimentos akatörios, mesmo que as condigdes nicas sam sempre as mesmas,
os resultado finas de ada tentativa do experimento serio diferentes eno previsíves.

Exemplos
4) langamento de uma moeda honesta;

b) lançamento de um dado;

©) langamento de duas moedas;

4) retirada de uma carta de um baratho completo de 52 catas;
e) determinagdo da vida itil de um componente eletrónico.

A cada experimento aleatörio está associado o resultado obtido, que ndo é previsí
vel, chamado evento aleatório.

No exemplo a os eventos associados so cara (c) e coroa (+); no exemplo b poderá
correr uma das faces 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

20. 1.2 Espago amostral

Espago amostral de um experimento aleatório é o conjunto dos resultados do experi
mento. Os elementos do espago amostral seräo chamados também de pontos amostrais.

Representaremos o espago amostral por £2.
Nos exemplos dados na segdo anterior, os espagos amostrais so:
a) (ar)

» 2=(1,2,3,4,5,6)

9 2=[(,(c.0,(0, (0)

D 2=(4y.K, AK Ap ko AK}

9 A={eR|r20}

© evento aleatério pode ser um único ponto amostral ou uma reuniño deles, como
veremos no exemplo a seguir:
Lançam-se dois dados. Enumerar os seguintes eventos
2 saída de faces igual

A
B: saída de faces cuja soma seja igual a 10;

CC: saída de faces cuja soma seja menor que 2;

D: saída de faces cuja soma seja menor que 15;
saida de faces onde uma face 6 o dobro da outra.

Determinagdo do espago amostral: podemos determiná-lo por uma tabela de dupla
entrada (produto cartesiano).

v2
= 1 2 3 4 5 6

| ane ay a» | a» 4) (15 (1,6
> Ten fe» Te» > eo
a 6) 6,23 6.3 G4) 6,9 6,0
[4 4D 4,2) a» 4) 4,5) 4,6)

E 6) 6.2) (5,3), 6.4 69 60
Ce Len Te» Les Léo Les Les

Os eventos pedidos sto:
A={(1, 1), (2, 2). (8,3). (4.4), (5, 5), (6, 6))

B={(4,6), (5,5). (6.4)}
© = (evento impossive)

21. D=2 (evento certo)

E={(1,2), (2, 1), (2,4), 6,6) (4,2). (6,3)}

Uma outra maneira de determinar o espago amostral desse experimento € usar o
diagrama em ärvore, que será útil para a resoluçäo de problemas futuramente.
Eis o processo:

IL an
25 (id)
e 0),
II 00)
¡| (1,5)
¿000

ILá> (1)
2—— 62
o 65
4 — 29
¡| 05
2

IL 6,
2 — 62
I 63)
I—— 69
—69
— 6.
> (41)
2 4)
$ 43)
4 — da
s— «5
E a6),

IL 6,
2 5.)
3 — 65
I — 5.4)
s— 69)
6.0

1 6)
+ 62
3——> 63)
¿> 6.
$] 69
— 66,
t it i)

1 dado 2 dado Pontos amostrais

22. 1.3 Classe dos eventos aleatörios

‘© conjunto formado de todos os eventos (subconjuntos) do espago amostral
Para efeito de exemplo, consideremos um espago amostral finito:

={e.0,0,0}

A classe dos eventos aleatörios €:

(9
TO]

F(Q)={ fey e), tee), (ey €, (es es}, fe, e,}, (ep ed)
{nes} le eo Cab Les es hs len ee)
fenenened

Para determinarmos o número de elementos (eventos) de F(N), observamos que:

ee 3)
faite fea corespontea(;)

;
oe aed armen)

‘
det

4,

Portanto, ASA

Genericamente, se o número de pontos amostrais de um espago amostral finito €
,entáo o número de eventos de F & 2, pois

ES

Consideremos um espago amostral finito = fe), €, €, … €,)

4
Lei en 2 €4} corresponde a

23. Sejam Ae B dois eventos de FO).
As seguintes operagöes so definidas
3) Reunido

E

AUB= {ve Qlee Aouee B) i=
pelos pontos amostrais que pertencem a pelo menos um dos eventos.
+) Inersecgio

: =

2, unm. O evento reunido 6 formado

ANB={e € | e, € Ace, €B),1=1,...n. O evento intersecçao € formado pelos
pontos amostrais que pertencem simultaneamente aos eventos A e B.
Obs. Se AM B= 6, Ae B sto eventos mutuamente exclusivos,

[2]

e) Complementaçao

en le A)

24. ¡mese duas moedas. Sejam A: saída de faces iguais; e B: saída de cara na
primeira moe

eventos:
AUB,ANB,A,B, (AUB), (ANB), ANB, AUB, B-A,A-B,ANBeBNA.

Resolucao:
2= (0, c)(cr) (nen

Az (oh)

Beil Harn)
AuBst(o.c)lar)(en)
ANB=((c, c))
Astor.)
ECC)
(AUB)=(r.0))

(AB) = (cr (rr)
ANB=4(r.c)

RUB=((c. rte, e) (rr)
B-A=((c,r)}

A=B=((7, 7)

ANB= ((c, r)}

BDA=((5 1)

1.5 Propriedades das operaçôes

Sejam A, B e C eventos associados a um espago amostral 2. As seguintes proprie-
dades sao válidas:

25. a) Idempotentes
ANA=A

AUA=A

b) Comutativas
AUB=BUA
ANB=BNA

9 Assoviativas
AN(BNC)=(ANB)NC
AU(BUC)=(AUB)UC
4) Distributivas
AU(BNC)=(AUB)N(AUC)
AN(BUC)=(ANB)U(ANC)

€) Absorgöes
AU(ANB)=A
AN(AUB)=A
D Identidades
ANQ=A
Aun=Q
Ano=e
AUG=A

4) Complementares
EST

3-0

ANR 4
AUA=2
(A)=A

1), “Leis das dulidades” ou “Lei de Morgan"
(AnB)-AuB

(un)

Essas propriedades so facilmente verificadas.

26. izemos que os eventos Ay, As, … A. formam uma particao do espago amostral

a) Art
b) AMA,/=0,para1%J

9 UA,

Exercícios propostos

1. Langamese trés moedas. Enumerar o espago amostra € os eventos:
2) faces iguais:
b) cara na l' mocda;
©) coroa na 2*e 3* mocdas

Considere a experiéncia que consiste em pesquisar familias com trés eriangas, em
relagio a sexo delas, segundo a ordem do nascimento, Enumerar os eventos

4) ocorréncia de dois filhos do sexo masculino

b) ocorréncia de pelo menos um filho do sexo masculino;

e) ocorréncia de no máximo duas criangas do sexo feminino.

3. Um lote contém pegas de 5, 10, 15,... 30 mm de diämetro. Suponha que 2 pegas
sejam selecionadas no lote. Se x y indicam respectivamente os diämetros da Ye
2 pegas selecionadas, o par x, y) representa um ponto amostral. Usando o plano
cartesiano, indicar os seguintes eventos

a) A=
b) B={y<x

27. Sejam A, B e C trs eventos de um espago amostral. Exprimir os eventos abaixo
usando as operagdes reunido, interseecao e complementagdo:
3) somente A ocorre;

b) Ae Cocorrem, mas B ndo;

©) A,BeC ocorrem;

4) pelo menos um ocorre;

©) exatamente um ocorre;

4) nenhum ocorre;

8) exatamente dois ocorrem;

h), pelo menos dois ocorrem;

1), no máximo dois ocorrem.

28. CAPÍTULO

Probabilidade

2.1 Fungo de probabilidade

É a funcio P que associa a cada evento de F um número real pertencente ao inter-
valo [0, 1), satisfazendo os axiomas:

DP(Q)=1
I) P(AUB)= P(4)+ P(B),se 4 B forem mutuamente exclusives.

m) o(Ga)-Se ),8e du ds de rem, dois a dos, eventos mutuamente

exclusivos.

Observamos pela defnigdo que 0<P(4)<1 | para todo evento 4,40.

2.2 Teoremas

Teorema 1 “Seos eventos 4. 4
ento:

A formam uma partigäo do espago amostral,

Braye

Demonstraçäo: Pela dfiniglo de partio, os eventos Ai, As, un An SiO mutuamente
exclusivos e

Ú

29. Lou (4 =) Undo oom da tii, toe $ 714)

Teorema 2 “Se é 0 evento impossivel, entäo (6) = 0.”
Demonstraçäo: Como $ N A = $ e &U 2=9, temos
P@UD =M0)
PG) + PQ) = PQ)
Po)

Obs: A recíproca ndo € verdadeira, pois o fato de P(A) = 0 nao implica que A seja im-
possivel,

Teorema 3 Teorema do evento complementa
PAPAS
Demonstraçäo: Como

“Para todo evento ACQ ,

emos:

P(4)+ PA)
PAPA

Teorema 4 Teorema da soma: “Sejam ACN e Bc. Entäo, P(A U B)=
P(A) + PCB) PAN BJ,

El

Demonstragdo: Escreveremos os eventos (A U B) e A como reunides de eventos mutua-
mente exclusivos, como segue:

AUB =(A~B)UB

A= (4-B)U(ANB)

30. Usando o axioma, temos:
P(AUB)=P(4-B)+P(B) 1

P(A)= P(A~B)+ (ANB) 2
De 2 tiramos: P(A-5) = P(4) -P(AN B).

Substituindo-se esse resultado em 1, chegamos a:
P(AUB)= P(A) + P(B)— (ANB).

Se A N B=6,entdo P(A N B)= 0 = vale o axioma Il

Teorema 5 “Parad C Le BC Q,temos: P(AUB)S P(A)+ P(B).”
(A demonstragao fica a cargo do leitor.)

Teorema 6 “Dado o espago amostral (2 e os eventos A1, An... Am ento:
oa) Eri- Eran $ manan ao

HIT PUA, NAS

Demonsiracao: Por induçao finita.

Teorema 7 “Dados os eventos A, Ay... À, ent: SOS

Exemplos de aplicagáo

1. Sendo P(4)= x, P(B) e P(ANB) salcular:
5 PUB); Y) PNB);
9 PNB); ® PUB).
Resolucdo:

a) PAVB)=PANB)=1-PANB)

b) PANB)=PAUB)=1-PAUB)=
1- (P(4)+P(8)-PANB)=

31. ©) PANB)=P(B-A)=P(B)-PANB)=y=2
d) P(AUB)=P(A)+ P(B)-P(ANB) =(1=x) + y (>

2, Demonstrar que P(A UB UC)= P(4)+ P(B)+P(C)-P(ANB)-
-P(ANC)-P(BNC)+P(ANBNC}.

Demonstraçäo:
P(AUB UC)=P[(AUB)UC]= P(AUB)+ P(C)-
—P[(4UB)OC]=P(4)+P(8)-P(ANB)+
+P(C)-P(ANC)U(BNC)]=P(4)+P(8)+
+P(C)-P(408)-[P(anc)+r(8nc)-e[(anc)n(snc)))
PÍAUBUC)=P(4)+P(8)+P(C)-P(ANB)-P(ANC)-
-P(BAC)+P(ANBNC)

3. Sejam A, B e C eventos tas que

PlA)=P(8)=P(C)=3, ANB=9, ANC=O eP(BNC)=3.

Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorra.

Resoluçäo: Pelo diagrama vemos que A NB NC=9, logo P(A NB NC)= 0. Aplican-

do o resultado do problema anterior temos:
152 16

paunuc)=44144-0-0-1+0-18
2.3 Eventos equiprováveis

Consideremos o espago amostral = {e, €, €,
aleatério.

+, associado a um experimento.

32. Os eventos e, ¿=1,...n sio equiproviveis quando P(e,)= P(e,
isto 6, quando todos tém a mesma probabilidade de ocorrer.

Logo, se os » pontos amostrais (eventos) so equiproväveis, a probabilidade de

cada um dos pontos amostrais € 1

Vamos calcular a probabilidade de um evento AC 2. Suponhamos que 4 tenha K
pontos amostrais:

ETS

P(4) =ŸP(e)

Exemplos de aplicagáo
1. Retrws uma carta de um baralho completo de 52 caras. Qual a probabl
sairum refou una cara ce espadas?
Saja ada de um ri; Bs aia de oma carta de espada.
Eni:

A={R,.R.R.R,)> P(A)= 4

Baden po P=!
Otras que ANB =U)

PAN8)=3

33. Loge:
P(AUB)=P(4)+P(B)-P(AND)

AS

2 p(auB)= 6

2

2. O seguinte grupo de pessoas está numa sala: $ rapazes com mais de 21 anos, 4 rapazes

com menos de 21 anos, 6 mogas com mais de

A: a pessoa tem mais de 21 anos;
B: a pessoa tem menos de 21 anos;
(Cea pessoa é um rapaz;

Di a pessoa é uma moga,

Calcular:

a) P(BUD);
5 PANG).
Resolugdo:

Q={SR, Ar, 6M, 3m) «,

A={5R, 6M} > PCA)

B= (4r, 3m} > PCB)

C=(5R, 4r} PO

D=(6M, 3m} > PLD) = >

8) P(BUD)=P(8)+P(D)-P(BND)

Como BND = {3m}, temos que P(END)= a

Logo:

P(BUD)=

anos 3 mogas com menos de 21 anos.
‘Uma pessoa é escolhida ao acaso entre as 18. Os seguintes eventos so definidos:

34. D pländ)=r(ave -{rta+Plo)-rlanc)}

Como ANC =

EE
is’ 18
eC =D, temos:
AD = (3m) +

[Nem sempre € possivel enumerar o espago amostral. Nesses casos, deveremos usar
a análise combinatória como processo de contagem. Veremos isso nos próximos
exemplos.

3. Em um congresso científico existem 15 matemáticos e 12 estatíticos. Qual a proba-
bilidade de se formar uma comissdo com $ membros, na qual figurem 3 matemáticos
© 2 estatisticos?

Resolucdo: A: comissio de 3 matemáticos e 2 estatisticos.
27
ig | somissoes

5
ke ‘comissdes com temáticos e 2 es
(HE Jomisos com muentics 02 ex

818)
9)
pee
acaso, sem reposigáo, se obter uma quadra?

Resoluedo: A: saida de uma quadra.

52
n=| „ | < número de quádruplas

[3 nümero de quadras.. P(4)

35. 5. Calcular a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas em 5 lances de
uma moed:

Resoluçäo: A: saida de 3 caras e 2 coroas.
32

tuplas

6. Uma uma contém as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra por letra. Qual a probabi-
lidade de saira palavra araras?

Resolugáo: A:

da de palavra aruras.
a

n= (PRY) =o =

ORs = 5577 = 6

k

Sl
PA

Obs.

(ER),

à CO sat My

2.4 Probabilidade condicional
Introduziremos a nogdo de probabilldade condicional através do seguinte exemplo:
Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes
alunos, 100 sio homens (1) e 150 sño mulheres (IM); 110 cursam fisica (7) € 140 cursam
química (0). A distribuigäo dos alunos é a seguinte

Seal 9 Q Toa
a ” ‘0 io

Um aluno € sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando quimi-
ca, dado que & mulher?

36. 80

Pelo quadro vemos que esta probabilidade & de 50. ¢ representamos:
q que esta pr =

POM) ica, condicionado ao fato

a (probabilidade de que aluno curse q

de ser mulher).

Observamos, porém, que PCM NO) a Pa Para obtermos o resul-
tado do problema, basta considerar que:
El
so
oros Bo 150
250
Logo:
PALO)
rom) = PMO)
clare}

Sejam 4€ Qe BQ. Definimos a probabilidade condicional de A, dado que B
corre (A/B) como segue:
PCAN)

PA y >

seP(B)20

‘Também:

PBA)
PA)

PCBIA) = se P(A) #0

Sendo P(A)=4, P(B)= 3 e PCAUB) = 49 caler PCB).
Resolugáo:
P(408)
Come Pa) = “Fey devo calcular PA 2)

Como P(4UB)=P(4)+P(8)-P(AN B),temos:
nu

(ans) + Pla08)= =>

37. V6 _2
Logo, PIB) ===>

‘Tiramos da definigao da probabilidade condicional o chamado TEOREMA DO
PRODUTO: Sejam AC Qe BC. Endo, PUA NB) = PB) * PA/B) ou PAN B)=
P(A) * PIN). .

Duas bolas vo serretiradas de uma una que contém 2 bolas brancas, 3 pretas € 4
verdes. Qual a probabilidade de que ambas

2) sejam verdes?

) sejam da mesma cor?

Resolugdo:

28
3P
av

2) PUY) =P) PUI}

557
D P(MC)= PBN B)+ PAP) PAY)

A generalizaçäo do teorema do produto é:

P À4)= PCA) PAA) PGA DA))...PA,IA NA N NA)

Resolvendo o Problema 6 da Seçäo 2.3, usando essa gencralizaçäo, temos:
PCANRMANRNANSI= P(A): P(R/A)-PAIA OR)

P(RIAN RO A) PAA RO ANR) PISIANRNAN

38. 2.5 Eventos independentes

Sejam A CMeBCA.
‚amente, se A e B säo independentes, P(A/B)= P(A) e P(B/A) = P(B)

Ac B sio eventos independentes se P(A NB) =P(4)-P(B).

Lançam-se 3 moedas. Verificar se slo independentes os eventos:
A: saída de cara na 1* moeda;
B: saída de coroa na 2° e 3* moedas.

Logo:
P(A) PCB)

Como
ANB =((erh} PLANE) =},
temos que A € B sto eventos independentes, pois P(AN B) = PCA): PCB).

Obs. 1: Para verificarmos se 3 eventos A, B e C, sio independentes, devemos verificar
se as 4 proposigdes so satisfeitas:

39. PAN BNC)=P(4)-P(B) PC)
PANB)=P(4)-P(B)

3: ANC) =P(A)- PC)

4: BNC) = PCB): PC)

Se apenas uma nao for satisfeita, os eventos ndo sdo independentes.
Obs. 2: Se À e B so mutuamente exclusivos, entäo A e B sio dependentes, pois se A
corre, B näo ocorre, isto é, a ocorréncia de um evento condiciona a näo ocorréncia
do outro.

Resolveremos um problema que mostrará bem a distingo entre eventos mutua-
mente exclusivos e independentes. .

Exercicio resolvido
Sejam À e B eventos tais que P(4)
considerando À e B:
3) mutuamente exclusivos;
+) independentes.
Resolugdo:
2) Ae B mutuamente exclusivos = P(AN B)
P(AUB)=P(4)+P(B)-P(ANB) vem 0,
b) 4e B independentes = P(A NB) = P(A): PCB)
P(AUB)= P(4)+ P(B)-P(ANB) vem 0,6 =02+ P-0,2P +.
204-087 [P=0S

2, P(B)= P, P(AUB)=0,6. Calcular P

Obs, 3: Se os eventos Ai,

o(A4)- Ara.

Au sto independentes, enti:

onde RL P(4)= P(A): PCA)... PCA).

A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos & 2/5; a de sua
mulher é de 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:

40. 2) ambos estejam vivos;
b) somente o homem esteja vivo;
©) somente a mulher esteja viva;
4) nenhum esteja vivo;
©) pelo menos um esteja

Resolugdo: Chamaremos de — H: 0 homem estará vivo daqui a 30 anos;
LM: a mulher estará viva daqui a 30 anos.

3

a) PULOM)=P(1)-P(M)=

D) PAM) = PU): PU) =
9 PANM)= PE). PO)

4) PA NM) = PUA): PCM)

©) P(H UM) = PU) + P(M)-P(H OM

ou X: pelo menos um vivo,

POP

2.6 Teorema de Bayes

Teorema da probabilidade total
‘Sejam A, A, eventos que formam uma par
Seja B um evento desse espago. Entäo

äo do espago amostral.

PB) = PUA): PBA)”

41. Demonstraçäo: Os eventos (B 1 4,) 0 (B MA), para i#j,i= 1,2,..mej= 1,2, mM
‘io mutuamente exclusivos, pois:

(B04) 184) =80(4,4)=BNO=6

O evento B ocorre como segue:
B=(BNA)UBNA)U(BNA)U... BNA)

2 P(B)= BNA) + PBN A.) + PNA) ++ PBA)
E usando o teorema do produto, vem

P(B)= P(A): P(B/A)+ PCA). P(BLA,)+ + PCA.) PCBIA,)

où P(B)= P(A) PCBIA),

‘Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda uma contém 4 bo-
las brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao

acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca?
Resolucdo:
38 4B
24 24
1 u
1 3
Des rum=2
Pw=5 an)

Pay=

3
4
Bil) = À
PEN =

42. Logo, a bola branca pode ocorrer:
B=(BODU(B NI)

P(B)= P(BAN)+ P(B QI)

P(B)= P()-P(BM) + PUM): P(BM) +

LOL m
re |
|
mn,
tn
una l
m,

Teorema de Bayes

“Sejam 4, Ay... As eventos que formam uma partgio do (2. Seja BC 0. Sejam
conhecidas P(A) e PBA), 1 = 1,2, yn. Ent:

Pay PRIA)
IPA): PIA)

PUA IB iy ign:

Demonstracao:

P4,08)

PAID == gy

AS

PA» PCB,
(46)= LAD PIA)
EPA) PA)

© teorema de Bayes € também chamado de reorema da probabilidade a posteriori
Ele relaciona uma das parcelas da probabilidade total com a própria probabilidade total.

43. A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a uma B contém 2 vermelhas e
8 azuis. Joga-se uma moeda “honesta”. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da
urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é ext

Qual a probabilidade de ter saído cara no langamento?

Resolugdo:
ar av

24 sa

4 B

Queremos: PIC)

PU)=PCAV)+ PONY),

PW) = P(C)-PWIC)+ PCr): PU)

1
ES

Caleulamos agora P(C/V):

PUNO
PU)

P(CIV)=

© problema também pode ser resolvido pelo diagrama em árvore, como segue:

con ,3
ys re -3+2-4
ca Ario
12 an
un»

44. Exercicios resolvidos
1. Uma uma contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 a
mente 3 bolas, Achar a probabilidade de que:
a) nenhuma seja vermelha;
b) exatamente uma seja vermelha;
©) todas sejam da mesma cor.

Extraem-se simultanea»

Resolugdo:

a) PINSY)=PU NP NP)

ES

9 PTS. PBNBNB)+PE NN F)+ (AN AN A)=
een:
1072 111012 1110 44

2. As probabilidades de 3 jogadores, A, B e C, marcarem um gol quando cobram um

024,7

penalı s respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a

3
probabilidade de que pelo menos um marque um gol?
Resoluçao:

a 4 7
PA 6) =temcj=2
(A)=5PB)= 5 ePO)=75
PAUBUC)=1-PAUBUC)=1-PANFNT)=

a
10

LE)
50

= PA): PB) PO),

3. Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários mínimos (s.m.),
20 que ganham entre 10 € 20 s.m., e 70 que ganham menos de 10 s.m. Trés pessoas,
desta indústria so selecionadas. Determinar a probabilidade de que pelo menos
‘uma ganhe menos de 10 sum.

45. Resoluçäo:
Ara pessoa ganha mais de20sm.— P(A)= 010
B: a pessoa ganha entre 100 205.m.> P(B)= 0,20
C: a pessoa ganha menos de lOsm.— P(C)=0,70

PCUCUC)=1-MCUCUC)=

=1-0,027= 0,973

A Bjogam 120 partidas de xadrez, das quais À ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam
‘empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de:

a) A ganhar todas as tés;

+b). duas partidas terminarem empatadas;
©) 4e B ganharem alternadamente.

Resofugdo:
Pa= at
1m”2
20.1
Pop 0-1
Mens
201
ml

Säo retiradas uma a uma, aleatoriamente, bolas de uma uma até obter-se a primeira
bola branca. Mas a cada tentativa dobra-se a quantidade de bolas azuis colocadas na
urna, Sabendo que inicialmente a uma contém 4 bolas azuis e 6 brancas, calcular a
probabilidade de obter-se a primeira bola branca no máximo na 3 tentativa.

46. Resoluga:
I tentati ee
emai e

mle
tentativa |

164

P(Primeira Branca no máximo na 3*tentativ
= PBs) + Pw 0 Bs) + Ply ds By) =

6 Es
1010141014227 08888

Um lote de 120 pesas é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável
pelo setor seleciona 5 pegas. O lote será aceito se forem observadas 0 ou | defeituosas.
Há20 defeituosas no lote. a) Qual a probabilidade de o lote ser accito? b) Admitindo-
se que o lote seja accito, qual a probabilidade de ter sido observado só um defeito?

Resolugáo:

P(A) = 0,8038.
) Pad) UA _ 0.4019
P(A) 080

Acaixa d tem 9 cartas numeradas de 1 a9. caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a
5. Uma caixa € escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se o número é par, qual a
probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de 42

Resolugdo:

47. P(P)= P(ANP)+P(BNP)
P(P) = P(4)- P(PIA) + P(B)- P(P/B)

pune) _ 29 _W0

PAR ADP) a
AP pe) "1988 19

mais de 1,75 de altura.
0% dos estudantes so mulheres. Um estudante & escolhido ao acaso tem mais de
1,75 m. Qual probabilidade de que seja homem?

Resolugdo:
A: o estudante tem mais de 1,75 m

09
H-
04
095

4 00016

P(A) = 0.016 + 0,006
PUA) =0,022

ES

Logo:
PUNA)
PA)

P(HIA)

Uma caixa tem 3 moedas: uma nao viciado, outra com 2 caras e uma terocira vicia-
da, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda € de 1/5. Uma moeda
€ selceionada ao acaso na caixa. Saiu cara. Qual a probabilidade de que a 3* moeda
tenha sido a selecionada?

Resoluçäo:
A: primeira moeda
B: segunda moeda
C:terceira moeda

48. Logo:

us _ (2)

PQ 1730 17

10, Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas vermelhas; outra uma contém 3 bolas
brancas e 6 vermelhas. Passa-se uma bola, escolhida ao acaso, da primeira para a
segunda uma, e, em seguida, retiram-se 5 bolas desta última, com reposiçäo. Qual a
probabilidade de que ocorram 2 vermelhas e 3 brancas nessa ordem?

Resoluzdo:

0904) LA
[1227] 000216
04
PY e38)= 0011862

(07) 03), %
N, LOA, avers PERV 3B) 000266

11. A probabilidade de um individuo da classe À comprar um caro € de 3/4, da B € de
1/5 e da C € de 1/20. As probabilidades de os individuos comprarem um carro da
marca x sio 1/10, 3/5 e 3/10, dado que sejam de A, B e C, respectivamente, Certa
loja vendeu um carro da marca x. Qual a probabilidad de que o individuo que o
comprou seja da classe 8?

Resolucao:
many, 3
u x 3
4.
34 z
ABI a

49. pony 325 4

Poy 21710 7

POBIx) =

12. Um certo programa pode ser usado com uma entre duas sub-rotinas 4 e B, depen-
dendo do problema. A experióncia tem mostrado que a sub-rotina 4 é usada 40%
das vezes e B é usada 60% das vezes. Se A € usada, existe 75% de chance de que o
programa chegue a um resultado dentro do limite de tempo. Se B € usada, a chance é de
50%. Se o programa foi realizado dentro do limite de tempo, qual a probabilidade
de que a sub-rotina 4 tenha sido a escolhi

Resoluçao:
P(A)= 04 > P(R/A) =0,75-> ANR)

P(B)= 06 > PARIB) = 0,50 P(BNR)
Logo: P(R)= 0,300 + 0,300 = 0,600

PANR)
PR) 0,6

PAIR)

0,5 ou 50%

13. A una X contém 2 bolas azuis, 2 brancas e | cinza, € a urna ¥contém 2 bolas azuis,
1 branca e 1 cinza. Retira-se uma bola de cada uma. Calcule a probabilidade de
sairem 2 bolas brancas sabendo que slo bolas de mesma cor.

Resolugdo:
(mesma cor) = P(AN A) + P(BN B)+ P(CNC)

22 21 147

sas ss 20

1
Pemesnacor)= 7
D 20

PBB)

PORN Bimesma con) = mesma con) =

2120 2

77207.
2
PUB Byimesma cor) ==

14. Num período de um més, 100 pacientes sofrendo de determinada doenga foram
internados em um hospital. Informagdes sobre o método de tratamento aplicado em
cada paciente eo resultado final obtido estäo no quadro a seguir.

50. A B Soma
a 16 0
a 16 0
12 $ 20
o 4 100

a) Sorteando aleatoriamente um desses pacientes, determinar a probabilidade de o
paciente escolh
a) ter sido submetido ao tratamento A;
as) ter sido totalmente curado;
as) ter sido submetido ao tratamento 4 e ter sido parcialmente curado;
4) ter sido submetido ao tratamento À ou ter sido parcialmente curado.
b) Os eventos “morte” e “tratamento A” so independentes? Justificar.
©) Sorteando dois dos pacientes, qual a probabilidade de que:
i) tenham recebido tratamentos diferentes?
cs) pelo menos um deles tenha sido curado totalmente?

Resolucao:

a) a) PA) a 06

,2x0,6= 0,12
P(A)=0,6

Como:

temos:
POM A) = PO) PCA),

Logo, os eventos “morte” e “tratamento A” sio independentes.

51. ©) &)x=tratamentos diferentes
P(x) = P(ANB)+ PBN A)=2x0,6x0,4= 0,48

eurado totalmente

PG, Uz)

Je
PG Uz

=

6-0, 0,64

15. A probabilidade de que um atleta À ultrapasse 17,30 m num único salto triplo é de
0,7. atleta dá 4 saltos. Qual a probabilidade de que em pelo menos num dos saltos
ultrapasse 17,30 m?

Resolugád
PG9=0,7
© P@)=03

Pu Vu, Un, Um)

= PN.) =

PQ): PU) PG) Pi

=1-0,3-0,3-0,3-0,3=1-0,0081= 0,9919

16, Um dado A tem 3 faces brancas e 3 pretas; um dado B possui 2 faces brancas, 2
pretas e 2 vermelhas; um dado C possui 2 faces brancas e 4 pretas, e um dado D, 3
brancas e 3 pretas. Langam-se os quatro dados. Qual a probabilidade de que:

a) pelo menos uma face seja branca?
b) très sejam pretas?
Resolugáo:

ap LE
af sap
BE av

pe „pe
el ob

Cuidado: as probabilidades das cores ndo sto as mesmas nos quatro dados.

a) P(B, UB, UB, UB,)=1-P(B,)- P(B;)- P(B,)- PCB.) =

2.
6

52. b) PG Pretas) = PR RB OP) +P(RAR OB OP) +

+PROBOR AP)+ PROP AR O

++
36°97 18

17. A uma Item 3 bolas brancas e 2 pretas, a uma II tem 4 bolas brancas e 5 pretas, a
‘urna II tem 3 bolas brancas e 4 pretas. Passa-se uma bola, escolhida aleatoriamente,
de I para Il, Feito ist, retira-se uma bola de Ile retiram-se 2 bolas de II. Qual a
probabilidade de saírem 3 bolas da mesma cor?

Resoluzdo:

an 15
sno 5 20, à

18. Uma uma x tem 8 bolas pretas e2 verdes. À uma y tem 4 pretas e $ verdes, ea urna =
{em 2 verdes e 7 prets. Passa-se uma bola de x para y. Feit ist, pasa-se uma bola
de y para z.A seguir, retiram-se 2 bolas de z, com reposigo, Qual a probabilidade
de que ocorram duas bolas verdes?

53. Resolugáo:

e yy — 0016

al
os mr, y + ons
0202, + 0,0032

ru,
“ dl
e
y A, yy > onu

PU AV) =0,016 + 0,036 +0,0032 + 0,0108= 0,066

19. Um aluno responde a um teste de mültipla escolha com 4 alternativas com uma só
correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta certa de uma questäo é de 30%.
Se ele nio sabe a resposta, existe a possibilidade de acertar “no chute”. Näo existe a
possibilidade de ele obter a resposta certa por “cola”. Se ele acertou a questo, qual
a probabilidade de ele realmente saber a resposta?

Resolugáo:

0 2

5579 -237

ESA Cs 0,6316
PGA) 0,475

P(SA)=

20. Um analista de uma empresa fotográfica estima que a probabilidade de que uma fir-
ma concorrente planeje fabricar equipamentos para fotografias instantáneas dentro.
dos próximos 3 anos € 0,30. Se a firma concorrente tem tais planos, será certamente

uma nova fábrica, Se nao tem tais planos, há ainda uma probabilidade

de 0,60 de que, por outras razdes, construa uma nova fábrica. Se iniciou os traba-
thos de construgäo de uma nova fábrica, qual a probabilidade de que tenha decidido.
entrar para o campo da fotografia instantánea?

54. Resolugáo:

Fi END, 03,
03

> PIN = 0,72
up PION, 042

DL 8
Fi.
Ar

PERLONF) 0,3 _ 5

un P(NF) 0,7:

0,4167

21. Uma uma Xtem 6 bolas brancas e 4 azuis. A uma Ytem 3 bolas brancas e 5 azuis.
Passam-se duas bolas de X para Y e a seguir retiram-se duas bolas de Y, com repo-
sigto. Sabendo-se que ocorreram duas bolas azuis, qual a probabilidade que duas
azuis tenham sido transferidas de X para Y?

Resolucao:

750

@Ae2A) _ 5889000 _ 588 _ re

PARO A) 73.066.900 3.055"

Exercicios propostos

1 A seguinte afırmagdo trata da probabilidade de que exatamente um dos eventos, À ou
B, ocorra. Prove que:

PLAN B) U(A NB)}= P(A)+ P(B)-2P(ANB)

55. Em uma prova cairam dois problemas, Sabe-se que 132 alunos acertaram o primei-
ro, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um proble-
ma. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido 20 ace
a), nio tenha acertado nenhum problema?

b)_ tenha acertado apenas o segundo problema?

Em uma cidade onde se publicam trés jomais, A, B e C, constatou-se que, entre 1.000
familias, assinam: A: 470; B: 420; C: 315; Ae B: 110; Ae C:220; B eC: 140; 6 75 assi-
nam os très. Escolhendo-se ao acaso uma família, qual a probabilidade de que ela:
a) ndo assine nenhum dos trés jornais?

b) assine apenas um dos trés jomais?

©) assine pelo menos dois jomais?

A tabela abaixo dá a distribuido das probabilidades dos quatro tipos san
‘numa certa comunidade,

Tipo sanguineo A B AB o

Probabilidade deter

tipo especificado | 0?

Probabilidade
de nio ter 0 tipo 09 095
especificado

Calcular a probabilidade de que
9) um individuo, sorteado ao acaso nessa comunidade, tenha o tipo O;
b)

9

tenha o tipo AB.

Quinze pessoas em uma sala estáo usando insignias numeradas de Ia 15. Trés pessoas
sto escolhidas ao acaso e sio retiradas da sala, Os números de suas insignias sio
anotados. Qual a probabilidade de que:

4) 0 menor número seja 7?

b)_ 0 maior número seja 7?

Uma urna contém bolas numeradas: 1, 2, 3, 4, … n. Duas bolas sio escolhidas ao
acaso. Encontre a probabilidade de que os números das bolas sejam inteiros conse-
eutivos se a extrago é fit:

a) sem reposigäo;

b) com reposiçäo.

Colocam-se 4 números positivos e 6 negativos em 10 memérias de uma máquina de
calcular (um em cada meméria). Efetua-se o produto dos conteúdos de 4 memórias
selecionadas ao acaso. Qual a probabilidade de que seja positivo?

56. . De uma caía:

Uma.

Nun

cartas váo ser retiradas de um baralho de 52 cartas. Calcular a probabilidad
de que:

2) todas as très sejam espadas;

b) as très cartas sejam do mesmo naipe;

©) as très cartas sejam de naipes diferentes.

Uma uma contém 10 bolas verdes e 6 azuis. Tiram-se 2 bolas ao acaso. Qual a pro-
babilidade de que as duas bolas:

3) sejam verdes?

b) sejam da mesma cor?

e) sejam de cores diferentes?

com 10 lämpadas, das quais 6 estio boas, retiram-se 3 lampadas ao
acaso € que säo testadas a seguir. Qual a probabilidade de que:

8) todas acendam?

b) pelo menos uma lämpada acenda?

|. Uma uma contém $ bolas pretas, 3 vermelhas, 3 azuis e 2 amarelas. Extraem-se

simultaneamente 5 bolas. Qual a probabilidade de que saiam 2 bolas pretas, 2 azu
e uma amarela?

. Uma uma contém 4 bolas brancas, 4 vermelhas e 2 pretas. Outra urna contém 5

bolas brancas, 3 vermelhas e 3 pretas. Extrai-se uma bola de cada urna. Qual a pro-
babilidade de que sejam da mesma cor?

ccontém 6 lämpadas de 40 W, 3 de 60 We I de 100 W. Retiram-se $ lám-
padas com reposigio. Qual a probabilidade de que:

a) saiam 3 de 40 W, 1 de 60 We 1 de 100 W?

b) saiam 4 de 40 We 1 de 60 W?

e) nao saia nenhuma de 60 W?

sala há 4 casais. De cada casal um dos componentes é escolhido. Qual a pro
babilidade de serem escolhidos 3 homens ou 4 mulheres?

As probabilidades de um estudante do curso básico de uma faculdade escolher entre

matemática, fisica e estatistica sdo 0,
0 acaso 3 estudantes do ciclo bás
pelo menos um escolha estatistica?

03 e 02, respectivamente. Selecionam-se
desta faculdade. Qual a probabilidade de que

. Duas pessoas langam, cada uma, 3 moedas. Qual a probabilidade de que tirem o

‘mesmo número de caras?

De um grupo de 12 homens e 8 mulheres, retiram-se 4 pessoas para formar uma

comissäo. Qual a probabilidade de:
8) polo menos uma mulher fazer parte da comissdo?
b) uma mulher fazer parte da comissto?

©) haver pessoas dos dois sexos na comissto?

57. 24.

Ae Baltemadamente e nessa ordem, langam independentemente 3 moedas. G

© primeiro que tirar faces iguais. O jogo termina com a vitöria de um deles. Qui

probabilidade de À ganhar? Qual a probabilidade de B ganhar?

Um tabuleiro quadrado contém 9 orificios dispostos em 3 linhas e 3 colunas. Em

cada buraco cabe uma única bola. Jogam-se 3 bolas sobre o tabuleiro. Qual a proba-
ilidade de que os orificios ocupados näo estejam alinhados?

). Uma uma contém 1 bola azul e 9 brancas. Uma segunda uma contém x bolas azuis

as restantes brancas, num total de 10 bolas. Realizam-se 2 experimentos, separa-
damente e independentes entre si:

a) retirar ao acaso uma bola de cada urna;

b) reuniras bolas das 2 umas e em seguida retirar 2 bolas ao acaso,

Calcular o valor mínimo de x, a fim de que a probabilidade de sairem 2 bolas azuis
seja maior no 2° que no 1° experimento.

+ Duas länpadas ruins so misturadas com 2 lämpadas boas. As lämpadas sio testa-

das uma a uma, até que as 2 ruins sejam encontradas. Qual a probabilidade de que a

ima ruim seja encontrada no:

a) segundo teste;

b) terceiro teste;

©) quarto teste.

Da produgäo diária de pegas de uma determinada máquina, 10% sio defeituosas.

Retiram-se 5 pegas da produgäo dessa máquina num determinado dia. Qual a proba-
ilidade de que:

a) no máximo duas sejam boas?

b) pelo menos quatro sejam boas?

©) exatamentetrés sejam boas?

4), pelo menos uma seja defeituosa?

Quatro bolsas de estudo serdo sorteadas entre 30 estudantes: 12 do primeiro ciclo. 18

do segundo ciclo. Qual a probabilidade de que haja entre os sorteados:

a) um do primeiro ci

b) no máximo um do segundo cielo;

©) pelo menos um de cada ciclo.

A probabilidade de que a porta de uma casa esteja trancada à chave & de 3/5. Há 10

chaves em um chaveiro. Qual a probabilidade de que um individuo entre na casa po-

dendo utilizar, se necessário, apenas uma das chaves, tomada ao acaso do chaveiro?

Em uma uma estäo colocadas $ bolas azuis e 10 bolas brancas.

3) Retirando-se 5 bolas, sem reposigäo, calcular a probabilidade;
ai) de as très primeiras serem azuis e as duas últimas brancas;
1) de ocorrer 3 bolas azuis e duas brancas.

58. b) Retirando-se 2 bolas, sem reposigäo, calcular a probabilidade:
by) de a segunda ser azul;
5) detersido retirada a primeira branca,sabendo-se que a segunda € azul
26. Num supermercado há 2000 lampadas, provenientes de 3 fábricas distintas, X, Ye
ZX produziu 500, das quais 400 sio boas. ¥ produziu 700, das quais 600 so boas,
+ Z as restantes, das quais 500 so boas. Se sortearmos ao acaso uma das lámpadas
esse supermercado, qual a probabilidade de que:
3) ja bou?
b) sendo defeiuosa, tenha sido fabricada por A?
27. Uma em cada dez moedas apresenta o defito de ser visiad
de obtermos cara nessa moeda € 0,8. Sorteamos a0 aca
$ vezes, obtendo-se 3 caras e2 coroas. Qual a probabil
‘moeda vieiada?

10, probabilidade
uma moeda € a langamos
lade de termos escolhido a

28. Uma uma contém 3 bolas brancas e 4 azuis. Uma outra contém 4 brancas e 5 azui
Passa-se uma bola da primeira para a segunda uma e, em seguida, extrai-se uma
bola da segunda urna. Qual a probabilidade de ser branca?

29. Uma pessoa joga um dado. Se sair 6, ganha a partida. Se air 3, 4 ou 5, perde. Se sar
1 ou 2, tem o direito de jogar novamente. Desta vez, se sai 4, ganha, e se sair outro
número, perde. Qual a probabilidade de ganhar?

30. A uma A tem 3 bolas pretas e 4 brancas. A urna B tem 4 bolas brancas e 5 pretas.
Uma bola € retirada ao acaso da urna A e colocada na urna B. Retiram-se ao acaso 2
bolas da uma B. Qual a probabilidade de que:

a) ambas sejam da mesma cor?
b) ambas sejam de cores diferentes?

31. A fábrica A produziu 4000 lampadas, e a fábrica B, 6000 lämpadas. 80% das läm-
ppadas de A ño boas, e 60% das de B sño boas também. Escolhe-se uma lämpada ao
caso das 10000 lämpadas. Qual a probabilidade que:

a) seja boa, sabendo-se que é da marca 4?

b) seja boa?

e) seja defeituosa e da marea B?

4), sendo defeituosa, tenha sido fabricada por B?

32. A porcentagem de carros com defeito entregue no mercado por certa montadora

oricamente estimada em 6%. A produçäo da montadora vem de trás fábricas

distintas, da matriz, À, e das filiais, B e C, nas seguintes proporgdes: 60%, 30% e

10%, respectivamente. Sabe-se que a proporçäo de defeitos na matriz € o dobro

da filial B e, a da filial B € o quádruplo da filial C. Determinar a porcentagem de

defeito de cada fábrica.

59. 33. Uma uma contém 4 bolas brancas e 5 pretas. Duas bolas so retiradas ao acaso dessa
‘uma e substituidas por 2 bolas verdes. Depois dito, retiram-se 2 bolas. Qual a pro-
babilidade de sairem bolas brancas?

34. A uma Item 3 bolas brancas e2 pretas. A uma II tem 4 bolas brancas e 5 pretas, € a
urna Il tem 3 bolas brancas € 4pretas. Passa-se uma bola, escolhida aleatoriamente,
del para I. Depois disso, passa-se uma bola da urna Il para a una II e, em segs
retiram-se 2 bolas de II. Qual a probabilidade de sairem 2 bolas brancas?

35. Uma uma tem 5 bolas verdes, 4 azuis e 5 brancas. Retiram-se 3 bolas com reposi-
$40. Qual a probabilidade de que no máximo duas sejam brancas?

36. Num congresso cientifico, a composigäo de 4 comissdes, A, B, Ce D, € a seguinte:
5 homens (1) e 5 mulheres (m); 3 he 7 m; 4 he 6 m; e 6 he 4 m, respectivamente,
Uma pessoa é escolhida ao acaso de cada comissäo e é formada uma nova comissio,
E. Qual a probabilidade de que E seja composta por:

2) 2 mulheres;
b), pessoas do mesmo sexo;
©) somente por homens.

37. A experiéncia mostra que determinado aluno, 4, tem probabilidade 0,9 de resolver
€ acertar um exercicio novo que Ihe € proposto. Seis novos exercicios säo apresen-
tados ao aluno À para serem resolvidos. Qual a probabilidade de que ele resolva e
acerte:

4) no máximo 2 exercícios;
+). pelo menos um exerci
©) os seis exercicios

38. A uma | tem 3 bolas brancas e 4 pretas. A urna I tem 4 bolas brancas e 5 pretas. A
‘urna III tem 3 bolas brancas e 2 pretas, e a uma IV tem 4 bolas brancas e 3 pretas.
Passa-se uma bola, escolhida ao acaso, de I para Il, c também passa-se uma bola,
scolhida ao acaso, de Ill para IV. Feito isto, retira-se uma bola da urna Ile uma bola
da urna IV. Qual a probabilidade de sairem bolas da mesma cor?

39. Uma uma tem 3 bolas brancas, 3 pretas e 4 azuis. Duas bolas sio retiradas ao acaso
dessa urna e substituídas por 5 vermelhas. Depois disso, retra-se 1 bola. Qual a
probabilidade de sair bola azul?

40, Uma caixa, A, contém 6 bolas azuis e 4 vermelhas, e outra, B, contém 4 bolas azuis e 6
vemmelhas. Uma pessoa extra ao acaso uma bola de uma das caixas. A probabilidade
de que seja azul € 0,44, Qual a preferéncia (probabilidade) da pessoa pela caixa A?

41. Sto dadas as urnas A, B e C. Da uma 4 é retirada uma bola e colocada na urna B.
Da uma B retira-se uma bola, que é colocada na uma C. Retira-se entäo uma bola
da uma C. A probabilidade de ocorrer bola de cor vermelha é de 0,537. Determinar
‘© valor de x sabendo que as urnas tém as seguintes composigdes:

60. 7 vermelhas 3 vemelhas _[0= x) vermelhas

3 brancas 6 brancas x brancas.

42. Uma empresa produz o produto X em 3 fábricas distintas, A, B e C, como segue: a
produçao de 1 é 2 vezes a de B, ea de C 62 vezes a de B. O produto X 6 armazenado
‘em um depósito central. As proporgdes de produçäo defeituosa so: 5% de À, 3% de
Be 4% de C. Retira-se uma unidade de X do depósito e verifica-se que é defeituoso.
Qual a probabilidade de que tenha sido Fabricado por B?

43. Trés máquinas, A, Be C, produzem, respectivamente, 40%, 50% e 10% da produçäo
da empresa X. Historicamente as porcentagens de pegas defeituosas produzidas em
cada máquina So: 5%, 3% e 3%, respectivamente. A empresa X contratou um enge-
heiro para fazer uma reviso nas máquinas e no processo de produgäo. Tal engenhei-
o conseguiu reduzir pela metade a probabilidade de pegas defeituosas da empresa
+, ainda, igualou as porcentagens de defeitos das máquinas À e B, e a porcentagem
de defeitos em C ficou na metade da conseguida para B. Quais sto as novas porcen-
tagens de defeitos de cada méqui

61. CAPITULO

Variáveis aleatórias discretas

3.1 Definiçôes

Na prática 6, muitas vezes mais interessante associarmos um número a um evento
alcatório e calcularmos a probabilidade da ocorréncia desse número do que a probabi-
lidade do evento.

Introduziremos o conceito de variäveis alentöras discretas com o seguinte problema:

Lançam-se trés moedas. Seja X 0 número de ocorréncias da face cara, Determinar a
distribuigao de probabilidade de X.

O espago amostral do experimento &

QG EDOM HD COME MOD}

Se Xéo número de caras, X assume os valores 0, 1, 23. Podemos associar a esses
números eventos que correspondam à ocorréncia de nenhuma, uma, dus ou trés caras.
respectivamente, como segue:

Evento correspondente
o oy

1 DEN Cr ON \
2 Den dr 6 0H

3 late ot

Podemos também associar, ás probabilidades de X'assumir um dos valores, as proba-
bilidades dos eventos correspondentes:

PUL =0)= PA

62. P(X =2)= P(A,
PUK =3)=P(A)=5
Esquematicament: Grafcamente:
x [rw
o | 1 3.
1 38 B 4
2 EL a
5 Lu
1 a
3

CE queen as ol a e cia
(ee \
A >
à
N

Entio podemos dar a seguinte definicdo: variável alearória é a funçao que associa a
todo evento pertencente a uma partigdo do espago amostral um único número real
Notamos que a variável aleatôria para ser discreta deve assumir valores em um con-
nto finito ou em um conjunto infinito, porém enumerável.
Indicaremos, no caso finito:

Kim
Por 2 podemos definir fungdo de probabilidade,

Fungao de probabilidade é a fançao que associa a cada valor assumido pela variá-
vel aleatória a probabilidade do evento correspondent, isto é

PX=x)= PA),

63. Ao conjunto {(x, pr), #= 1, … a} damos o nome de distribuicdo de probabili-
dades da variável aleatória X como no quadro 3 e gráfico 4.

É importante verifcar que, para que haja uma distribuigao de probabilidades de
uma variável aleatéria X, € necessário que:

Ero)=1

Exemplos de aplicaçäo

1. Langam-se 2 dados. Seja X a soma das faces, determ
lidades de X,

ribuigäo de probabi-

PX) PO)

2 | 16 6 .

a] +

4 336 36

El 456 4

m] %

Im] à

O 5/36 2

ous) &

10 1 336 4: i +

| 236 H i i,

12 136 2 7 mx
1

‘Suponhamos que a variável alcatória X tenha funçäo de probabilidade dada por:

PU =D = 21,23, 00M,
Calcular
à) PO se pany
D Pures:
©) P(X ser múltiplo de 3).
Resale
EN Io IS To TG

PO | 1 va ve | m6 | 1m 1

64. Dew

+t

à) POX ser par) = PK 2) + P=) PARÓ
Al, E

ia 3/473

b) PiX23)= P(X= 3) + PiX=4)+ PX=5)+ .
1

©) P(X ser múltiplo de 3) = PLX=3) + PX=6)+...=
1
E

1
+e
@

3.2 Esperanga matemática

Existe características numérica que so muito importantes em uma distribigdo de
probabilidades de uma varivelaleatra discreta. io os parámetros das distribundes.

in ramet parie 6a peer maleic (ou élec nda) de uma
varidvel alar

Intoduzimos o conceito com osegunte problema

Uma segurador paga RS 30.000,00 em cao de aident de caro cobra uma taxa
de RS 1.0000. Sabe-se que a probubilidade de que um caro Soft acident & de 3%.
Quant espera aseguradora ganar por carro segarado?

Resolucdo: Suponhamos que entre 100 carros segurados, 97 ddo lucro de RS 1.000,00
e 3 dao prejuizo de RS 29.000,00 (RS 30.000,00 — RS 1.000,00)

Lucro total = 97 - RS 1.000,00 — 3 : RS 29.000,00 = RS 10.000,00

Luero médio por carro = RS 10.000,00 : 100 = RS 100,00

Se chamarmos de X'o lucro por carro, e o lucro médio por carro de E(X),teremos:
7:1.000,00-3:29.000,00 _

EX)

27..1.000,00- 2. 29.000,00
(00 100

=0,97-1.000,00 - 0,03: 29.000,00