Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.)

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.)

1. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.)

No es frecuente que en la vida cotidiana los objetos posean movimientos uniformes (con velocidad constante), como los
estudiados en el M.R.U. Por ejemplo, antes de alcanzar una velocidad constante, un automóvil tiene que aumentar su
velocidad en manera continua hasta alcanzar la velocidad deseada. De igual forma si está viajando a velocidad constante
y quiere detenerse tiene que desacelerar. Estos cambios de velocidad es lo que se conoce como aceleración.
La aceleración se define como el cambio de velocidad por unidad de tiempo que tiene un cuerpo. Si un cuerpo ha
sufrido cambios de velocidad se dice que el cuerpo se mueve con aceleración distinta de cero. Si su velocidad
permanece constante su aceleración es cero. Podemos tener situaciones en las cuales el cuerpo se mueve con
aceleración constante, es decir, los cambios de velocidad que sufre el cuerpo son de forma constante o uniforme. A este
tipo de movimiento se le conoce como movimiento rectilíneo uniformemente variado. Es decir, el movimiento
uniformemente variado es aquel en el que la aceleración se mantiene constante, de forma tal que la velocidad y la
rapidez varían linealmente con el transcurrir del tiempo.
Aceleración Media
La aceleración media de una partícula en un intervalo de tiempo Δt, se define como la variación de la velocidad de la
partícula ΔV por unidad de tiempo. Es decir:
??????
??????,,,,,⃗=
∆??????,,,,,⃗
∆??????
=
??????,,⃗
??????−??????,,⃗
??????
??????
??????−??????
??????

Como puede observar la aceleración es un vector. La pendiente de toda gráfica velocidad en función del tiempo
representa la aceleración. Mientras que el área bajo la curva de toda gráfica velocidad en función del tiempo
representa el desplazamiento del cuerpo.

Aceleración Instantánea
Cuando la gráfica en función del tiempo sea una curva, significa que su aceleración está cambiando a cada momento, ya
que la pendiente del gráfico también está cambiando y esta representa la aceleración. En estos casos podemos
determinar la aceleración instantánea, es decir, en un tiempo específico. La aceleración instantánea se puede calcular
obteniendo la pendiente de la recta tangente a la gráfica.
De lo anterior podemos señalar que la aceleración instantánea de una partícula en instante “t” está dada por la
expresión:
??????
,,,⃗=??????????????????
????????????→????????????
F
??????
??????
,,,,⃗−??????
??????
,,,,⃗
??????
??????−??????
??????
G


Ejemplo:
Un cuerpo parte del reposo se mueve de un punto a otro, de tal forma que su rapidez varía en el tiempo tal como se
muestra en la siguiente tabla:
t(s) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
V(m/s) 0,0 1,0 4,0 9,0 16,0

1. Elabora la gráfica de rapidez en función del tiempo.
2. Determina gráficamente la aceleración media entre t=2,0 s y t= 4,0 s.
3. Calcula la aceleración instantánea para t= 2,5 s.

2. Solución:
1. La gráfica de V vs t.



















2. Para calcular la aceleración media:

??????
??????,,,,,⃗=
∆??????,,,,,⃗
∆??????
=
??????,,⃗
??????−??????,,⃗
??????
??????
??????−??????
??????

??????
?,,,,,⃗=
16,0 ??????/??????− 4,0 ??????/??????
4,0 ??????− 2,0 ??????
=
12,0 ??????/??????
2,0 ??????
= 6,0 ??????/??????
2


3. Para calcular la aceleración instantánea en t= 2,5 s.
Se traza una línea tangente en t= 3,5 s y se calcula la pendiente de la recta.

3. Se calcula la pendiente de la recta y obtenemos:

??????,,⃗
??????=
??????
??????
,,,,⃗−??????
??????
,,,,⃗
??????
??????−??????
??????


??????⃗
?=
12,0 ??????/??????− 2,0 ??????/??????
3,6 ??????− 1,8 ??????
=
10,0 ??????/??????
1,8 ??????
= 5,56 ??????/??????
2


Gráficas del MRUV
Al igual que en el MRU, en el MRUV se da el análisis de gráficas de Posición vs Tiempo (x-vs-t), Velocidad vs Tiempo (V-
vs-t) y Aceleración vs Tiempo (a-vs-t), la cual es producto del nuevo concepto que aparece en este tipo de movimiento.
EN el MRUV tenemos los siguientes enunciados importantes que debemos recordar siempre:

 Si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo su movimiento es acelerado. (aumenta su velocidad con el
transcurrir del tiempo).
 Si la velocidad y la aceleración tienen signos distintos su movimiento es desacelerado. (disminuye su velocidad
con el transcurrir del tiempo).

A continuación, algunos ejemplos de gráficas que se dan el en MRUV:

 El Auto se mueve hacia la derecha ??????,⃗(+) con aceleración positiva ??????⃗ (+), por lo tanto está aumentando su rapidez
con el tiempo (Movimiento acelerado), y la gráfica de posición en función del tiempo es una semiparábola
cóncava hacia arriba:





 El Auto se mueve hacia la derecha ??????,⃗ (+) con aceleración negativa ??????⃗ (-), por lo tanto está disminuyendo su
rapidez con el tiempo (Movimiento retardado), por lo que se puede deducir que va frenando y la gráfica de
posición en función del tiempo es una semiparábola cóncava hacia abajo:






V
t
t
X a
t
V-vs-t a-vs-t X-vs-t
V
t t
X
t
a
V-vs-t
a-vs-t
X-vs-t
Origen
Origen

4.  El Auto se mueve hacia la izquierda ??????,⃗ (-) con aceleración positiva ??????⃗ (+), indicando que está disminuyendo su
rapidez con el tiempo (Movimiento retardado),o lo mismo que deducir que está frenando, por lo tanto la
gráfica de posición en función del tiempo es una semiparábola cóncava hacia arriba:





 El Auto se mueve hacia la izquierda ??????,⃗ (-) con aceleración negativa ??????⃗ (-), por lo tanto está aumentando su rapidez
con el tiempo (Movimiento acelerado), y la gráfica de posición en función del tiempo es una semiparábola
cóncava hacia abajo:





Cabe señalar que a la hora de analizar los gráficos de MRUV por lo general analizaremos los gráficos de Velocidad vs
tiempo (V-vs-t) ya que estos son de tipo lineal, pero a partir de estos podremos construir los gráficos de aceleración vs
tiempo (a-vs-t) y de posición vs tiempo(x-vs-t).
Al analizar los gráficos de velocidad vs tiempo debemos tomar en cuenta que la pendiente que obtenemos de dicha
gráfica corresponderá a la aceleración del móvil y se calcula tal cual vemos a continuación:
??????,,⃗=
∆??????,,,,,⃗
∆??????
=
??????,,⃗
??????−??????,,⃗
??????
??????
??????−??????
??????

La ecuación que relacionará la velocidad en función del tiempo para el MRUV será la mostrada a continuación:
??????,,⃗
??????=??????,,⃗
??????+??????,,⃗∙ ∆??????
Por último, recordaremos que también podemos obtener los desplazamientos (∆??????,,⃗) del móvil o partícula estudiada al
calcular el área bajo el gráfico de velocidad vs tiempo, de modo tal que debemos tener en cuenta cómo calcular las
áreas de las siguientes figuras geométricas más comunes en este tipo de análisis.





??????=??????∙ℎ
b
h
Rectángulo
??????=
?∙?
6

h
b
Triángulo

??????=
??????∙ (ℎ
5+ ℎ
6)
2

h2
h1
b
Trapecio
t
V
t
X
a
t
V-vs-t
a-vs-t
X-vs-t
t
V
t
X
t
a
V-vs-t a-vs-t
X-vs-t
Origen
Origen

5. Ecuaciones Fundamentales del M.R.U.V.
Recuerda que todo cuerpo que presenta variación de velocidad tendrá aceleración distinta de cero. Si la velocidad varía
en cantidades iguales en tiempos iguales el movimiento tiene aceleración constante.

Relación entre la velocidad final y la velocidad inicial, el tiempo y la aceleración.
La ecuación de esta gráfica es la de la línea recta que no parte del origen:




Donde ??????,,⃗
?????? es la velocidad inicial, ??????
??????
,,,,⃗ es la velocidad final, ??????,,⃗ es la pendiente de la recta mejor conocida como
aceleración y ∆?????? es el intervalo le tiempo durante el cual el móvil o partícula está en movimiento recordando que
∆??????=??????
??????−??????
?????? .

Relación entre la posición final, posición inicial, la velocidad inicial, el tiempo y la aceleración.
El desplazamiento del cuerpo después de transcurrido el tiempo es el área bajo la gráfica, es decir, el trapecio, puede ser
calculado como el área del triángulo.





Recordar que:
∆??????,,⃗= ??????,,⃗
??????−??????,,⃗
??????


Relación entre la velocidad final, velocidad inicial, la posición inicial, la posición final y la
aceleración.



Recordando que:
∆??????,,⃗= ??????,,⃗
??????−??????,,⃗
??????

Tenemos la Ec.3 también se puede escribir como:
??????,,⃗
??????
??????
=??????,,⃗
??????
??????
+??????∙??????⃗∙ k??????,⃗
??????−??????,⃗
??????o





??????,,⃗
??????=??????,,⃗
??????+??????,,⃗∙∆?????? Ec. 1

??????,,⃗
??????=??????,,⃗
??????+??????,,⃗
??????∙∆??????+
??????,,⃗∙∆??????
??????
??????
Ec. 2

??????,,⃗
??????
??????
=??????,,⃗
??????
??????
+??????∙??????⃗∙∆??????,,⃗ Ec. 3

6. Ejemplo del análisis gráfico de Movimiento rectilíneo Uniformemente variado por Intervalos:
Como sabemos el movimiento de un cuerpo también puede ser representado mediante la descripción de su
comportamiento por intervalos. Considere un cuerpo que se mueve en la dirección del eje X, cuya gráfica de velocidad
en función del tiempo se muestra en la siguiente imagen, (Recuerda que las velocidades indican que el móvil viaja en un
sentido y que las velocidades negativas que el móvil viaja en sentido contrario).

1) Calcule el desplazamiento en cada intervalo.
2) En que intervalo o intervalos, si los hay, el móvil está en reposo.
3) Diga en que instante o instantes, si los hay, el móvil cambia la dirección de su movimiento.
4) Diga en que intervalo o intervalos, si los hay, el móvil se mueve a velocidad constante.
5) Cuál fue el desplazamiento total del móvil.
6) Cuál fue la distancia total recorrida por el móvil.
7) Calcule la aceleración de cada intervalo.
8) Construya el gráfico de aceleración en función del tiempo.

7. Práctica II trimestre 11° (F y G)
Análisis Gráfico del M.R.U.V. (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado)

Indicaciones: Con respecto a los siguientes gráficos que describen el movimiento de un cuerpo, responda las
siguientes interrogantes dando todas las respuestas con dos decimales:

1)

1. Calcule el desplazamiento en cada intervalo.
2. En que intervalo o intervalos, si los hay, el móvil está
en reposo.
3. Diga en que instante o instantes, si los hay, el móvil
cambia la dirección de su movimiento.
4. Diga en que intervalo o intervalos, si los hay, el móvil
se mueve a velocidad constante.
5. Cuál fue el desplazamiento total del móvil.
6. Cuál fue la distancia total recorrida por el móvil.
7. Calcule la aceleración de cada intervalo.
8. Construya el gráfico de aceleración en función del
tiempo.




2)
1. Calcule el desplazamiento en cada intervalo.
2. En que intervalo o intervalos, si los hay, el móvil está en
reposo.
3. Diga en que instante o instantes, si los hay, el móvil
cambia la dirección de su movimiento.
4. Diga en que intervalo o intervalos, si los hay, el móvil se
mueve a velocidad constante.
5. Cuál fue el desplazamiento total del móvil.
6. Cuál fue la distancia total recorrida por el móvil.
7. Calcule la aceleración de cada intervalo.
8. Construya el gráfico de aceleración en función del
tiempo.

8. 3)

1. Calcule el desplazamiento en cada intervalo.
2. En que intervalo o intervalos, si los hay, el móvil está en
reposo.
3. Diga en que instante o instantes, si los hay, el móvil
cambia la dirección de su movimiento.
4. Diga en que intervalo o intervalos, si los hay, el móvil se
mueve a velocidad constante.
5. Cuál fue el desplazamiento total del móvil.
6. Cuál fue la distancia total recorrida por el móvil.
7. Calcule la aceleración de cada intervalo.
8. Construya el gráfico de aceleración en función del
tiempo.









4)

1. Calcule el desplazamiento en cada intervalo.
2. En que intervalo o intervalos, si los hay, el
móvil está en reposo.
3. Diga en que instante o instantes, si los hay, el
móvil cambia la dirección de su movimiento.
4. Diga en que intervalo o intervalos, si los hay,
el móvil se mueve a velocidad constante.
5. Cuál fue el desplazamiento total del móvil.
6. Cuál fue la distancia total recorrida por el
móvil.
7. Calcule la aceleración de cada intervalo.
8. Construya el gráfico de aceleración en
función del tiempo.

9. 5)
1) Calcule el desplazamiento en cada intervalo.
2) En que intervalo o intervalos, si los hay, el
móvil está en reposo.
3) Diga en que instante o instantes, si los hay, el
móvil cambia la dirección de su movimiento.
4) Diga en que intervalo o intervalos, si los hay, el
móvil se mueve a velocidad constante.
5) Cuál fue el desplazamiento total del móvil.
6) Cuál fue la distancia total recorrida por el
móvil.
7) Calcule la aceleración de cada intervalo.
8) Construya el gráfico de aceleración en función
del tiempo.





6)
1) Calcule el desplazamiento en cada
intervalo.
2) En que intervalo o intervalos, si los
hay, el móvil está en reposo.
3) Diga en que instante o instantes, si
los hay, el móvil cambia la dirección de su
movimiento.
4) Diga en que intervalo o intervalos,
si los hay, el móvil se mueve a velocidad
constante.
5) Cuál fue el desplazamiento total
del móvil.
6) Cuál fue la distancia total recorrida
por el móvil.
7) Calcule la aceleración de cada
intervalo.
8) Construya el gráfico de
aceleración en función del

10. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado Análisis
Matemático (MRUV)
1) ¿Un auto parte del reposo y recorre 50 metros en 3 segundos con aceleración uniforme, en que tiempo
recorrerá 100 metros? Respuesta: t=4,24 s
2) A un auto que viaja a 72 km/h, se le aplica los frenos y se detiene después de recorrer 40 m.
a.) ¿Cuál fue su aceleración? b.) ¿En qué tiempo se detuvo el auto? RESPUESTA: a =5,0 m/s
2
; t= 4,0 s

3) ¿Cuánto tiempo demorará un móvil que parte del reposo y se mueve con M.R.U.V. con una aceleración de
9,8 m/s
2
en alcanzar una velocidad de 100 Km/h? RESPUESTA: t= 2,84 s

4) Un automovilista se dezplaza en su auto por la carretera a una velocidad de 108,0 km/h, cuando a lo lejos ve un
precipicio que se encuentra a 100,0 m de él, decide aplicar los frenos durante 6,67 s a razón de 4,50 m/s
2
para
salvar su vida. ¿Logrará el automovilista salvar su vida?. Sustente su respuesta con cálculos matemáticos.
Respuesta: El automovil recorre exactamente 100,00 m hasta detenerse, logrando salvar su vida justo antes de
caer por el precipicio.



5) Un automóvil que desarrolla un MRUV pasa por los puntos P y Q con velocidades de 105 km/h y 95 km/h
respectivamente. Si la distancia entre P y Q es de 200 metros calcular su aceleración. Respuesta: a=-0,39 m/s
2








6) El Coyote persigue al correcaminos tal cual se ve en la figura. Si el coyote tiene inicialmente una velocidad de
50,0 m/s y una aceleración de 3,0 m/s
2
, mientras que el correcaminos viaja a 35,0 m/s y con una aceleración de
1,5 m/s
2
. Sabiendo que el coyote se encuentra a doscientos metros detrás del correcaminos y este último está a
386 m de su guarida. ¿Logrará el coyote atrapar al correcaminos?, y si lograra atraparlo, ¿a qué distancia de la
guarida del correcaminos lo atrapa?. Sustente su respuesta con cálculos. Respuesta: el tiempo que tarda el
coyote en alcanzar al correcaminos es de 9,15 s, lo cual permite al correcaminos recorrer una distancia de
383,04 m, siendo alcanzado por el coyote a 2,96 m de la guarida.

11. 7) Un conductor maneja un auto con rapidez constante de 70,0 km/h, de repente ve un árbol que se encuentra a
43,0 m frente a él, pero tarda 0,60 s en aplicar los frenos, deteniéndose 3,0 s después de haber aplicado los
frenos. ¿Chocará el conductor con el árbol o logrará salvar su vida? Realice los cálculos necesarios para
demostrarlo. Respuesta: El auto recorre 41,32 m hasta detenerse, por ende, no choca con el árbol y logra salvar
su vida.



8) Calcular el espacio recorrido por un móvil, cuya velocidad inicial es de 4,0 m/s acelerando a razón de 4,0 m/s
2

durante 40 s. RESPUESTA: Δx= 3 360,0 m

9) Un leopardo africano que se mueve con una rapidez de 10,0 m/s y cuya aceleración es de 8,0 m/s
2
, persigue a
una gacela cuya rapidez es de 6,0 m/s y una aceleración de 5,0 m/s
2
. Si la gacela está a 200,0 m delante del
leopardo. Calcular en cuanto tiempo el leopardo atraparía la gacela. Respuesta: t= 10,29 s



10) Un automovilista se desplaza en su auto con una velocidad de 70 km/h, de repente ve un venado cruzando la
calle a
5
94
???????????? de distancia e inmediatamente aplica los frenos desacelerando uniformemente a razón de
10,00 m/s
2
hasta detenerse. ¿Atropellará el automovilista al venado?, y si no lo hace ¿A qué distancia quedará
el auto del animal? (Exprese su respuesta en metros). El automovilista no atropella al venado, pues hasta el
momento de detenerse solo recorre 18,90 m, quedando a 1,10 m del venado.



11) Dos autos están separados en 90 metros estando el auto A delante del auto B. Parten del reposo en el mismo
sentido y en el mismo instante, el auto A con una aceleración de 5,0 m/s
2
y el auto B con una aceleración de 7,0
m/s
2
. ¿Al cabo de cuánto tiempo el segundo alcanza al primero? Respuesta: t=9,49 s



12) Un ratón se dirige a su guarida en línea recta con una velocidad constante de 2,0 m/s, cuando le faltan 5,0 m
para llegar a su guarida, pasa por el lado de un gato que se encuentra en reposo. Si el gato acelera a razón de
2,0 m/s
2
, en la dirección del ratón. ¿logrará el gato alcanzar al ratón, y si lo hace a qué distancia de la guarida lo
logra? Respuesta: el gato logra alcanzar al ratón en 2,00 s, a una distancia de 1,00 m de la guarida.



43,0 m

12. 13) Un patrullero persigue a un automóvil de ladrones. El patrullero tiene inicialmente una velocidad de 150 km /h
y una aceleración de 10,0 m/s
2
, mientras que los ladrones viajan a 132 km/ h y con una aceleración de 5,0 m/s
2
.
si el patrullero se encuentra a 400 metros detrás de los ladrones. En cuanto tiempo los alcanzará.
RESPUESTA: t= 11,69 s


14) Calcular la aceleración de un móvil que tarda 10 segundos en cambiar su velocidad de 12,0 m/s a 32,0 m/s.
RESPUESTA: 2,0 m/s
2


15) Un policía observa a un delincuente que se encuentra a 6,0 m de él, en ese instante el delincuente se da a la
fuga con una velocidad constante de 1,0 m/s. De inmediato el policía parte acelerando a razón de 2,0 m/s
2
en
su persecución. Después de que tiempo será atrapado el delincuente. RESPUESTA: t= 3,0 s




16) Un automóvil viaja tras un ciclista, a la velocidad de 36 km/h. Cuando el ciclista se encuentra a 300 metros
delante, el automóvil acelera a razón de 1,2 m/s
2
determinar en cuanto tiempo lo alcanzara si el ciclista viaja a
velocidad constante de 7,0 m/s. RESPUESTA: t= 20,0 s



17) Calcular la aceleración de un motociclista que ha recorrido 56,0 m siendo la velocidad de inicio de 4,0 m/s y la
velocidad final de 16,0 m/s. RESPUESTA: a = 2,14 m/s
2


18) Un automóvil que se desplaza a 36 km/h comienza a aumentar su rapidez. En el primer segundo de aceleración
avanza 11,0 m. Se desea saber: ¿Cuál es su velocidad después de 10,0 s de aceleración constante?
Su velocidad final, sí durante la aceleración recorrió la distancia de 300 m. RESPUESTA: V=30,0 m/s; Vf = 36,05
m/s

19) Un móvil con M.R.U.V pasa por A con una velocidad “V” y después de 4 segundos pasa por B con una velocidad
“3·V”, y un segundo más tarde recorre 52 metros. Calcular su aceleración. RESPUESTA: 8,0 m/s
2


20) Un automovilista que se desplaza con una velocidad de 72 km/h aplica sus frenos de manera que desacelera
uniformemente durante 12 segundos hasta detenerse ¿Qué distancia recorre en ese tiempo? RESPUESTA: 120
m

21) Calcular el espacio recorrido por una motocicleta que partió del reposo con una aceleración de 0,5 m/s
2
durante
10,0 minutos. RESPUESTA: 90,0 km

22) Calcular la aceleración de un móvil que tarda 20 s en cambiar su velocidad de 24,0 m/s a 54,0 m/s.
RESPUESTA: a=1,5 m/s
2