Mruv

1. 1
EM_V_FIS_003
Tópicos de
cinemática
escalar: MRUV
(movimento retilíneo
uniformemente variado)
Nesta aula será estudado um tipo particular de
movimento: aquele em que a velocidade do móvel
varia de quantidades iguais e em iguais intervalos
de tempo. A ele dá-se o nome de movimento unifor-
memente variado. Se em especial a trajetória é uma
linha reta, tem-se o movimento retilíneo uniforme-
mente variado (MRUV).
Aceleração
escalar instantânea
Já foi visto o conceito de aceleração escalar
média como sendo
a =
V
t
. Quando consideramos
um intervalo t de tempo muito pequeno, tendendo
a zero, a aceleração escalar média aproxima-se da
aceleração escalar instantânea (a), que representa a
tendência de a velocidade variar com o tempo. Mate-
maticamente, escreve-se:
a = t 0
lim
a =
t 0
lim

V
t
; ou
seja, a aceleração escalar instantânea é o limite da
aceleração escalar média quando t tende a zero.
Como a aceleração instantânea é uma acelera-
ção média, embora num intervalo de tempo que tende
a zero, sua unidade no SI é também m/s
2
.
Movimentos acelerados
Um movimento variado é dito acelerado quan-
do a velocidade escalar aumenta com o tempo. Isso
impõe a existência de uma ação sobre a unidade de
massa do corpo, tendendo a empurrá-lo no sentido
de seu deslocamento.
Progressivo acelerado
V > 0 e a > 0
Retrógrado acelerado
V < 0 e a < 0
Como se observa nas figuras, velocidade e ace-
leração têm os mesmos sinais.
Movimentos retardados
Um movimento variado é dito retardado quan-
do a velocidade escalar diminui com o tempo. Isso impõe a existência de uma ação sobre a unidade de massa do corpo, em sentido contrário ao de seu deslocamento, tendendo a freá-lo.
Retrógrado retardado
V < 0 e a > 0
Progressivo retardado
V > 0 e a < 0Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

2. 2
EM_V_FIS_003
Como se observa na figura, velocidade e acele-
ração têm sinais contrários.
MRUV
Pelo exposto, os movimentos uniformemente
variados (MRUV) podem ser ou movimentos unifor-
memente acelerados (MRUA) ou movimentos unifor-
memente retardados (MRUR).
Equações do MRUV
(Equação da velocidade)
No MRUV, a velocidade varia de quantidades
iguais em iguais intervalos de tempo. Daí, o mesmo
t corresponde sempre ao mesmo v, o que implica
em a aceleração média ser constante. Considerando
que a=
t 0
lim a , segue a=a , pois o limite de uma cons-
tante é ela própria. Assim, conclui-se que a=
V
t
=
V – V
0
t – t
0
Fazendo t
0
= 0, vem v=v
0
+at, que é a
conhecida equação da velocidade no MRUV.
Adiantando um pouco o assunto do próximo
tópico, e considerando que essa equação representa
v como função do 1.º grau em t, seu gráfico é uma
reta, como a seguir mostrado:
a > 0 a < 0
Como já se sabe do estudo de MRU, a área sob
um gráfico v X t representa a variação s de posição,
como mostrado na figura a seguir:
A área sob o gráfico v x t = s.
t
i
V
i
V
A área do retângulo escurecido é v
i
. t
i
= s
i
.
Fazendo t 0, s torna-se infinitamente pequeno
e podemos considerar infinitos outros retângulos,
cuja soma das áreas vale s
total
e tende para a área
sob o gráfico v X t.
Equação da posição
(Equação dos espaços)
Considerando a figura anterior, a área
s sob o
gráfico é aquela de um trapézio retângulo de bases v e
v
0
e altura
t=t – t
0
=t – 0 = t. Daí, podemos escrever:
s= s – s
0
=
(v+v
0
)
2
. t =
(v
0
+at+v
0
)
2
. t = v
0
.t +
1
2
at
2
ou
s = s
0
+v
0
t +
1
2
at
2
,
que é a conhecida equação da posição no MRU
ou, como preferem alguns autores, “equação dos espaços”.
Equação de Torricelli
De v = v
0
+at, temos t =
v – v
0

a
que, substituído
na equação da posição, nos dá
s = s
0
+ v
0
.
v – v
0

a
+
1 2
a
v – v
0

a
2
s =
2v
0
v – 2v
0
2
+ v
2
– 2vv
0
+v
0
2
2a
=
v
2
– v
0
2


2a
Ou
v
2
= v
0
2
+2a.
s,
que é a conhecida equação de Torricelli.
Gráficos do MRUV
A análise gráfica é de extrema importância no
estudo de variados fenômenos. Veremos neste tópi-
co os gráficos do MRUV e as informações que deles
podem ser obtidas.
Gráfico s X t
Comparemos a equação da posição, vista no
tópico anterior, com a do trinômio do 2.º grau:
s = s
0
+ v
0
t +

1 2
at
2
(equação da posição)
y = c + bx + ax
2
(trinômio do 2.º grau)
Dessa comparação, vê-se com bastante clareza
que a equação da posição representa s como um trinômio do 2.º grau em t.
Do estudo do trinômio sabe-se que, sendo positi-
vo o coeficiente do termo de 2.
o
grau, o gráfico corres-
pondente é uma parábola com concavidade para cima (apresenta mínimo); sendo negativo esse coeficiente, a representação gráfica é uma parábola com concavi-
dade para baixo (apresenta máximo). O gráfico s X t, portanto, apresenta o mesmo comportamento:Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

3. 3
EM_V_FIS_003
a>0
t
sF
a<0
s
t t
s
tg = lim
t
s
= v
pt 0
Conclusões:
Aceleração é positiva: concavidade para ••
cima.
Aceleração é negativa: concavidade para ••
baixo.
A declividade da reta tangente à curva ••
num ponto P é igual à velocidade do móvel
nesse ponto.
Gráfico v X t
A equação da velocidade no MRUV é uma fun-
ção do 1.º grau em t, conforme já se viu no módulo anterior, e seu gráfico é uma reta:
tg = v / t = a
a > 0 a < 0
Conclusões:
A área sob um gráfico v X t representa ∆s.••
A declividade da reta da velocidade repre-••
senta a aceleração do MRUV.
Gráfico a X t
Como já se viu, a aceleração no MRUV é cons-
tante. O gráfico a X t, portanto, representando uma
função que não varia com o tempo, só pode ser para-
lelo ao eixo t, conforme se mostra a seguir:
a > 0
a < 0
A área S sob o gráfico representa um retângulo
de altura a e base t. Ademais, a aceleração a é
igual à aceleração média a–. A área S pode ser então
escrita:
S = a . t = a
–
. t=
v
t
. t = v
Correspondência entre os gráficos
Na figura acima, nota-se:
De t=0 a t=t••
1
, o movimento é retrógrado (v<0
e s diminuindo) e retardado (v<0 e a>0) nos
gráficos à esquerda; no conjunto de gráficos
à direita, é progressivo (v>0 e s aumentando)
e retardado (v>0 e a<0).
Para t>t
••
1
, o movimento é progressivo (v>0 e
s aumentando) e acelerado (v>0 e a>0) nos
gráficos à esquerda; nos gráficos à direita, o
movimento é retrógrado (v<0 e s diminuindo)
e acelerado (v<0 e a<0).
(Unesp) Um veículo está rodando à velocidade de 1.
36km/h numa estrada reta e horizontal, quando o
motorista aciona o freio. Supondo que a velocidade do
veículo se reduz uniformemente à razão de 4m/s em
cada segundo a partir do momento em que o freio foi
acionado, determine:
o tempo decorrido entre o instante do acionamento
a)
do freio e o instante em que o veículo para.
a distância percorrida pelo veículo nesse intervalo b)
de tempo. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

4. 4
EM_V_FIS_003
Solução: ``
Em primeiro lugar, há que expressar a velocidade a)
em unidades SI: v
0
= 36/3,6 =10m/s.
Agora, basta aplicar a equação da velocidade, le-
vando em conta que a velocidade final v é zero (o
veículo é freado até parar) e que a aceleração de
freagem é a = –4m/s
2
. Daí:
v = v
o
+ at ou 0 = 10 – 4t, donde t = 10/4 = 2,5s.
Basta aplicar a equação de Torricelli:b)
v
2
= v
2
0
+2a
s ou 0
2
=10
2
+2(–4).∆s, donde
8∆s = 100 e, portanto, ∆s = 12,5m. Sendo retilínea
a trajetória, a distância percorrida é igual ao deslo-
camento (variação de posição) ∆s.
(UFPE) Um veículo em movimento sofre uma desacele-2.
ração uniforme em uma pista reta, até parar. Sabendo-se
que, durante os últimos 9,0m de seu deslocamento,
a sua velocidade diminui 12m/s, calcule o módulo da
desaceleração imposta ao veículo, em m/s
2
.
Solução:
``
Basta ter atenção ao enunciado da questão. Se nos úl-
timos 9,0m de seu deslocamento a velocidade diminui de 12m/s até parar, então v
0
= 12m/s e v = 0. Aplicando
Torricelli com ∆s = 9,0m, tem-se:
0
2
= 122 – 2a.9
18a = 144, donde a = 8,0m/s
2
.
(Unesp) Um rato, em sua ronda à procura de alimento,
3.
está parado em um ponto P, quando vê uma coruja
espreitando-o. Instintivamente, ele corre em direção à
sua toca T, localizada a 42m dali, em movimento retilíneo
uniforme e com velocidade v = 7m/s. Ao ver o rato, a
coruja dá início à sua caçada, em um mergulho típico,
como o mostrado na figura.
Ela passa pelo ponto P, 4s após a partida do rato e a
uma velocidade de 20m/s.
Considerando a hipótese de sucesso do rato, em a)
quanto tempo ele atinge a sua toca?
Qual deve ser a aceleração média da coruja, a partir b)
do ponto P, para que ela consiga capturar o rato no
momento em que ele atinge a entrada de sua toca?
Solução: ``
Considerando ser constante a velocidade do rato, a)
trata-se de MRU: s = v.t
t = s/v = 42/7,0 = 6,0s
Nesse caso, a coruja deverá voar em MRUA com b)
v
0
= 20m/s. Ela terá de percorrer uma distância
s = 42m num tempo de 6,0 – 4 = 2s (o rato con-
seguirá chegar à toca em 6,0s e a coruja chegou ao
ponto P 4s após a partida deste). Tem-se:
s = v
0
t + at
2
/2
42 = 20(2)+4a/2 ou a = 1m/s
2
(UERJ) 4.
Uma das atrações típicas do circo é o equilibrista sobre
monociclo.
O raio da roda do monociclo utilizado é igual a 20cm, e
o movimento do equilibrista é retilíneo.
O monociclo começa a se mover a partir do repouso
com aceleração constante de 0,50m/s
2
.
Calcule a velocidade média do equilibrista no trajeto
percorrido nos primeiros 6,0s.
Solução:
``
Usando a equação da posição com v
0
= 0, a = 0,50m/s
2

e t = 6,0s, tem-se:s = 0(6,0)+(0,50) (6,0)
2
/2 = 9,0m.
A velocidade média vale v
m
=
s/t = 9,0m/6,0s = 1,5m/s
De acordo com o Código de Trânsito Brasileiro, avançar 5.
sinal vermelho de semáforo ou de parada obrigatória é
infração considerada gravíssima, com perda de 7 pontos
na carteira e multa de R$173,00.
O Sr. A. P. Sado conduzia seu automóvel a 144km/h
quando, subitamente, um semáforo, 450m à sua frente,
mudou de verde para amarelo.
Pela especificação do veículo, a velocidade máxima é de
216km/h, a potencialidade de aceleração é de 3,0m/s
2
e a de frenagem vale 4,0m/s
2
. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

5. 5
EM_V_FIS_003
Considerando que o Sr. A. P. Sado leve 7s para reagir
à inopinada situação, e que o semáforo permaneça 10s
em alerta antes de exibir a luz vermelha, analise se esse
motorista teve chance de evitar o avanço do sinal.
Solução:
``
O primeiro aspecto a considerar é o tempo dispo-a)
nível. Como o semáforo permanece 10s exibindo
alerta amarelo e o motorista leva 7s para reagir, res-
taram apenas 3s para tentar evitar a infração.
Durante o tempo de reação do motorista (7s), b)
o veículo percorreu em MRU uma distância
s
0
= v.t = (144/3,6).7 = (40).7 = 280m; assim,
findo esse tempo, a distância do automóvel à faixa
em que se situa o semáforo era de s = 450 – 280
= 170m.
Uma das opções do motorista seria a de tentar c)
ultrapassar o sinal antes da luz vermelha, para o
quê deveria percorrer os 170m em MRUA com
v
0
= 144km/h = 40m/s e aceleração a = 3,0m/s
2
.
Daí: s = v
0
t + at
2
/2
170 = 40t + 1,5t
2
ou 1,5t
2
+ 40t – 170 = 0
t =
– 40 40
2
– (4)(1,5)(–170)
(2)(1,5)
t
– 40 51, 186
3
– 30,40; 3,729
Como se vê, se o motorista optou por essa linha de ação,
avançou o sinal vermelho, pois seriam necessários 3,72s
para chegar à faixa correspondente.
Outra opção seria a de frear o veículo, para o que se
d)
deslocaria em MRUR com v
0
=144km/h = 40m/s,
v = 0 e ∆s =170m. Daí, aplicando Torricelli:
v
2
= (v
0
)
2
+2a. s
0
2
=40
2
+2a(170)
340a = –1 600
a = – 4,71m/s
2
Vê-se, portanto, que o motorista somente conseguiria não
avançar o sinal se imprimisse ao veículo uma desacele-
ração de 4,71m/s
2
, o que ultrapassa a potencialidade de
frenagem do automóvel.
Pelo exposto, o Sr. A. P. Sado não teve chance de evitar
o avanço do sinal.
(Unifesp) Em um teste, um automóvel é colocado em
6.
MRUV acelerado a partir do repouso até atingir a ve-
locidade máxima. Um técnico constrói o gráfico onde
se registra a posição x do veículo em função de sua
velocidade v. Através desse gráfico, pode-se afirmar que
a aceleração do veículo é, em m/s
2
, igual a:
v(m/s)
1,5a)
2,0 b)
2,5c)
3,0d)
3,5 e)
Solução: `` B
Pelo gráfico, vê-se que a velocidade inicial v
0
vale zero,
a velocidade final v vale 6m/s e
s = x vale 9m. Em
virtude de não aparecer o tempo necessário à variação
de posição s, isto é um indicativo da conveniência de
empregarmos a equação de Torricelli. Daí:
v
2
= v
0
2
+ 2a .
s
6
2
= 0
2
+ 2a . 9 ou 36 = 18a ou a = 2,0m/s
2
(PUC) O gráfico representa a variação da velocidade, 7.
com o tempo, de um móvel em movimento retilíneo uni-
formemente variado.
A velocidade inicial do móvel e o seu deslocamento
escalar de 0 a 5,0s valem, respectivamente;
–4,0m/s e – 5,0m a)
–6,0m/s e – 5,0mb)
4,0m/s e 25m c)
–4,0m/s e 5,0md)
–6,0m/s e 25me)
Solução: `` B
Os dois triângulos determinados pela reta de velocidade
e o eixo dos tempos são semelhantes. Daí:
5,0 — 3,0
4,0 – 0,0
=
3,0 — 0,0
0,0 – v
0
ou -2v
0
= 12 ou v
0
=-6,0m/s.Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

6. 6
EM_V_FIS_003
Daí: s = ((40 +20)/2).20 = 600m.
Sendo t = 40s, vem v
m
= 600/40 = 15m/s
(Uerj-adap.) 9.
Tempo (t) em
segundos
Posição em metros
A B
0 -5 15
1 0 0
2 5 -5
3 10 0
4 15 15
Ao realizar um experimento, um físico anotou as posições
de dois móveis A e B, elaborando a tabela acima. O móvel
A estava em MRU; B deslocava-se em MRUV.
Pede-se:
a distância, em metros, entre os móveis A e B, no
a)
instante t = 6s;
a aceleração do móvel B;b)
o valor da velocidade inicial de B.c)
Solução:``
Distância d entre A e B em t = 6 s:
Pela tabela, vê-se que A se movimentava em MRU ••
progressivo com velocidade v
A
= 5,0m/s e que sua
posição em t = 0 era S
0
= –5m. Daí, aplicando a
equação das posições no MRU, obtém-se a posição
S
A
dele no instante t = 6s:
S
A
= S
0
+ v
A
t ou S
A
= –5 + 5 . 6 = 25m
Sabe-se que o gráfico das posições do móvel B cor-
••
responde a uma parábola. Da tabela, vê-se que nos instantes t = 1s e t = 3s a posição de B valia zero; ou seja, os zeros da parábola são 1 e 3. Ainda, ela apre-
senta mínimo em (2,–5) e passa pelo ponto (0,15). A figura abaixo mostra o gráfico dessa parábola:
A equação dessa parábola é:••
y = at
2
+ bt + c = a(t
2

+ (b/a) t + c/a).
Como -b/a é a soma S e c/a é o produto P dos zeros da
parábola, tem-se:
Sabemos que as áreas dos triângulos entre a reta de velo-
cidade e o eixo dos tempos representam o deslocamento
entre os instantes considerados. Daí:
De t = 0,0 a t = 3,0:
s
1
= (-6,0).(3,0–0,0)/2 = -9,0m
De t = 3,0 a t = 5,0: s
2
= (4,0).(5,0–3,0)/2 = 4,0m
Assim, o deslocamento s de t=0,0 a t=5,0 é tal que
s = s
1
s
2
= -9,0+4,0= –5,0m
(Unesp) Um veículo se desloca em trajetória retilínea 8.
e sua velocidade em função do tempo é apresentada
na figura.
Identifique o tipo de movimento do veículo nos in-a)
tervalos de tempo de 0 a 10s, de 10 a 30s e de 30
a 40s, respectivamente.
Calcule a velocidade média do veículo no intervalo b)
de tempo entre 0 e 40s.
Solução:``
De t = 0 a t = 10s, considerando que o gráfico v x t é
um segmento de reta não-horizontal, trata-se de MRUV;
ainda, por serem positivos os valores de v para valores
de t diferentes de zero, tem-se movimento progressivo
e, porque a intensidade da velocidade aumenta com o
aumento do tempo, o movimento é acelerado. Assim,
tem-se um MRUA progressivo.
De t = 10s a t = 30s, por ser horizontal o gráfico v x t,
trata-se de MRU; ainda, porque a velocidade é positiva,
o movimento é progressivo. Tem-se, então, um MRU
progressivo.
De t = 30s a t = 40s, o gráfico v x t é um segmento de
reta descendente e, portanto, tem-se um MRUV. Ainda,
porque os valores de v são positivos para t ≠ 40s, o mo-
vimento é progressivo e, finalmente, considerando que
a intensidade da velocidade diminui com o aumento do
tempo, o movimento é retardado. No intervalo conside-
rado tem-se, pois, um MRUR e progressivo.
Como já visto, velocidade escalar média é o deslocamen-
to do corpo móvel dividido pelo tempo para isso gasto;
ou seja, V
m
=
s
t
, onde v
m
é velocidade média, s o
­ deslocamento e t o tempo despendido para realizar
esse deslocamento.
O deslocamento é a área sob o gráfico v x t (área do
trapézio: semissoma das bases x altura). Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

7. 7
EM_V_FIS_003
y = a (t
2
– St + P) = a (t
2
– 4t + 3) = at
2
– 4at + 3a.
Pela equação das posições no MRUV, no entanto, sabe-
se que:
s = (a’/2)t
2
+ v
0
t + s
0
= (a’/2)t
2
+ v
0
t +15, onde a’ é a
aceleração do corpo móvel.
Comparando as duas equações, tira-se que
3a = 15 e a = 5, donde a equação da parábola fica
y = at
2
– 4at + 3a = 5t
2
— 20t + 15 e a das posições do
móvel B fica s
B
= 5t
2
– 20t + 15. Daí, em t = 6 s, a posição
de B era s
B
= 5 (6
2
) – 20 . 6 + 15 = 75m.
A distância entre A e B em t = 0 era, pois,
••
d = s
B
-s
A
=75 – 25 = 50m.
Aceleração a’ do móvel B:
a)
Comparando ainda as duas equações acima, tem-se
a’/2 = 5, donde a’ = 10m/s
2
.
Velocidade inicial vb)
0
de B:
Ainda levando em conta as duas equações do item
a, tira-se por comparação que v
0
= –20m/s.
(Unificado) Um automóvel partindo do repouso leva 1.
5,0s para percorrer 25m em MUV. A velocidade final
do automóvel é de:
5,0m/sa)
10m/sb)
15m/sc)
20m/sd)
25m/se)
(Fuvest) Um veículo parte do repouso em movimento 2.
retilíneo e acelera a 2m/s
2
. Pode-se dizer que sua velo-
cidade e a distância percorrida, após 3 segundos, valem, respectivamente:
6m/s e 9m
a)
6m/s e 18mb)
3m/s e 12mc)
12m/s e 36md)
2m/s e 12me)
(UEL) Um móvel efetua um movimento retilíneo uni-3.
formemente variado obedecendo à equação horária s =10 + 10t – 5,0t
2
, onde o espaço é medido em metros
e o instante t em segundos. A velocidade do móvel no instante t = 4,0s, em m/s, vale:
50
a)
20b)
0c)
– 20d)
– 30e)
(Mackenzie) Um trem de 120m de comprimento se deslo-4.
ca com velocidade escalar de 20m/s. Esse trem, ao iniciar a travessia de uma ponte, freia uniformemente, saindo com-
pletamente da mesma 10s após, com velocidade escalar de
10m/s. O comprimento da ponte é de:
150m
a)
120m b)
90mc)
60md)
30me)
(UFSC) Um carro parte do repouso com uma aceleração 5.
constante de 4m/s
2
. Sua velocidade média durante os
três primeiros segundos será de:
12km/ha)
21,6km/hb)
17,6km/hc)
15,2km/hd)
16km/he)
(FOA-RJ) Se a velocidade de um móvel passa uni-6.
formemente de 10m/s para 30m/s em 8,0 segundos, determine o deslocamento que o móvel realizou.
50,0m
a)
120mb)
140mc)
160md)
280me)
(Uerj) Utilize os dados abaixo para responder às questões 7.
a seguir.
Durante um experimento, um pesquisador anotou as
posições de dois móveis A e B, elaborando a tabela
abaixo.


O movimento de A é uniforme e o de B é uniformemente
variado. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

8. 8
EM_V_FIS_003
A aceleração do móvel B é, em m/sa)
2
, igual a:
2,5a)
5,0b)
10,0c)
12,5d)
b) A distância, em metros, entre os móveis A e B, no
instante t = 6s, é de:
45a)
50b)
55c)
60d)
(UFRJ) Numa competição automobilística, um carro se 8.
aproxima de uma curva em grande velocidade. O piloto,
então, pisa no freio durante 4s e consegue reduzir a
velocidade do carro para 30m/s. Durante a freada o
carro percorre 160m.
Supondo que os freios imprimam ao carro uma aceleração
retardadora constante, calcule a velocidade do carro no
instante em que o piloto pisou no freio.
(PUC–Minas) Um foguete partindo do repouso atinge a
9.
velocidade de 6 000m/s em 2 minutos. Determinar:
a aceleração média.a)
a velocidade após 0,5 minutos.b)
a distância percorrida nesse tempo.c)
(Unesp) O tempo de reação (intervalo de tempo entre 10.
o instante em que uma pessoa recebe uma informação
e o instante em que reage) de certo motorista é 0,70s;
e os freios podem reduzir a velocidade de seu veículo à
razão máxima de 5m/s em cada segundo.
Supondo que esteja dirigindo à velocidade constante
de 10m/s, determine:
o tempo mínimo decorrido entre o instante em que
a)
avista algo inesperado, que o leva a acionar os freios, até o instante em que o veículo para.
a distância percorrida nesse tempo.
b)
(UEL) Nos gráficos abaixo, v representa a velocidade e 11.
t o tempo para um movimento.
t
v(I)
t
v(II) tv(III) tv (IV)
A aceleração é positiva apenas nos gráficos:
I e III a)
II e IIIb)
III e IVc)
I, II e IIId)
I, II e IVe)
(UFRJ) Um carro acelerado uniformemente a partir do 12.
repouso, atinge uma determinada velocidade, mantida
constante até ser freado uniformemente e parar num
sinal. Considerando os gráficos abaixo, identifique
aquele que melhor representa a posição do carro em
função do tempo.
a)
t
x
b)
t
x
c)
t
x
d)
t
x
e)
t
x
(Unesp) O gráfico mostra como varia a velocidade de 13.
um móvel em função do tempo, durante parte do seu movimento.
t
v
0
O movimento representado pelo gráfico pode ser o de uma:
esfera que desce por um plano inclinado e continua
a)
rolando por um plano horizontal.
criança deslizando num escorregador de um par-b)
que infantil. fruta que cai de uma árvore.
c)
composição de metrô, que se aproxima de uma es-d)
tação e para. bala no interior do cano de uma arma logo após o
e)
disparo.
(PUC-Rio) As posições sucessivas de duas bolas, em 14.
intervalos de tempo iguais, estão representadas e nu-
meradas no diagrama abaixo. As bolas se movimentam
para a direita.Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

9. 9
EM_V_FIS_003
1
bola A
2 3 4 5 6
1 65432
bola B
Indique a afirmativa correta.
Aceleração da bola A = aceleração da bola B = 0.a)
Aceleração da bola B > aceleração da bola A = 0.b)
Aceleração da bola A > aceleração da bola B > 0.c)
Aceleração da bola A = aceleração da bola B > 0.d)
Aceleração da bola B > aceleração da bola A > 0.e)
(Unificado) A figura abaixo representa o gráfico da 15.
velocidade em função do tempo do movimento de uma
partícula. Qual das equações abaixo pode representar
como varia a posição x, em metros, em função do tempo
t em segundos?
t (s)
v (m/s)
2,0
4,0
6,0
8,0
1,0 2,0 3,0
x = 2ta)
2
+ t
x = tb)
2
+ 2t
x = tc)
2
+ t
x = 2t + 2d)
x = t + 2e)
(UFRJ) As ciclistas Paula e Sandra treinavam para uma 16.
competição em uma pista plana e retilínea. No instante em
que Paula começou a se mover, Sandra passou por ela.
O gráfico descreve o movimento das ciclistas.

5
10
15
5 10 15 20 25 30
tempo (s)
velocidade (m/s)
Sandra
Paula
0
Considerando as informações fornecidas, assinale a
opção que indica a distância percorrida por Paula até
alcançar Sandra e em quanto tempo isso ocorreu.
25m; 10s
a)
50m; 10sb)
50m; 20sc)
1,0 . 10d)
2
m; 10s
1,0 . 10e)
2
m; 20s
(UFJF-MG) Na figura abaixo, representamos a velocidade, 17.
em cada instante de tempo t , de um carro de Fórmula 1. Assinale o item que melhor representa o gráfico da aceleração em função do tempo.
t
v
a)
t
a
b)
t
a
c)
t
a
d)
t
a
e)
t
a
(Cefet–RJ) No túnel Rebouças, primeira galeria, sentido 18.
Sul-Norte, a velocidade limite é de 90km/h. Um veículo entra nessa galeria com velocidade escalar de 36km/h e, durante 10s, mantém uma aceleração escalar constante, atingindo a velocidade escalar de 90km/h, que perma-
nece a mesma por mais 75s, até a saída da galeria.
Qual das opções a seguir representa o gráfico v x t para o
veículo e o comprimento da galeria, calculado pelo
motorista?
a)
t (s)
v (km/h)
10 85
36
90
0
b)
t (s)
v (km/h)
10 85
36 90
0
c)
t (s)
v (km/h)
10 85
36 90
0 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

10. 10
EM_V_FIS_003
d)
t (s)
v (km/h)
10 85
36
90
0
e)
t (s)
v (km/h)
10 85
36 90
0
(Unesp) A figura representa o gráfico velocidade x 19.
tempo do movimento retilíneo de um móvel.
t (s)
v (m/s)
90
0
10 20 3040 50
Qual o deslocamento total desse móvel?a)
Esboce o gráfico posição x tempo correspondente, b)
supondo que o móvel partiu da origem.
(Unicamp) O gráfico (v X t) de um atleta inexperiente 20.
numa corrida de São Silvestre é mostrado na figura:
t (h)
v (km/h)
24,0
0
0,3 0,8
I II
Calcule a aceleração do atleta nos trechos I e II.a)
Calcule o espaço percorrido pelo atleta desde que b)
começou a correr até parar.
(AFA) Um corpo movimenta-se sobre uma reta, e sua 1.
posição, em metros, é dada em função do tempo, em
segundos, pela equação s = 7 + 6 t – 2t
2
. O instante
em que o corpo inverte o sentido do movimento e a sua
velocidade no instante t = 4s são, respectivamente:
0 e 7.
a)
– 4 e 1.b)
1,5 e – 10.c)
0,6 e – 20.d)
(UFF) A tabela abaixo registra as posições X, em diferen-2.
tes instantes de tempo t de uma partícula que descreve um movimento retilíneo uniformemente acelerado:

t(s)
X(m)
0,0
10,0
3,0
-11,0
6,0
-14,0
9,0
1,0
A aceleração da partícula, em m/s
2
, é:
1,0a)
1,5b)
2,0c)
3,5d)
7,0e)
(USS) Observe a foto estroboscópica do movimento de 3.
uma esfera de aço num plano horizontal.
0 5,0cm 20cm 45cm x
movimento
Considerando que o movimento é uniformemente acelerado, o valor correto da posição x é:
60cm
a)
70cmb)
80cmc)
90cmd)
95cme)
(Unificado) A figura representa a trajetória circular 4.
percorrida por uma partícula em movimento uniforme-
mente acelerado no sentido da seta. A partícula sai do ponto 1, no instante zero, com velocidade inicial nula. No instante t ela passa pelo ponto 2, pela primeira vez desde o início do movimento. No instante 3t, a partícula estará no ponto:
4 3
25
1
1a)
2b)
3c)
4d)
5e)
(Uerj) O movimento uniformemente acelerado de 5.
um objeto pode ser representado pela seguinte pro-
gressão aritmética:
7, 11, 15, 19, 23, 27...
Esses números representam os deslocamentos, em metros, realizados pelo objeto, a cada segundo. Portanto, a função que descreve a posição desse objeto é:
3t + 4t
a)
2Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

11. 11
EM_V_FIS_003
5t + 2tb)
2
1 + 2t + 4tc)
2

2 + 3t + 2td)
2

(ITA) Um passageiro atrasado está correndo a 8,0m/s, 6.
30m atrás do último vagão de um trem no instante em
que este começa a se movimentar com uma aceleração
escalar de 1,0m/s
2
. Pode-se afirmar que:
a velocidade do passageiro é insuficiente para alcan-a)
çar o trem.
o passageiro alcança o trem após 4,3s.b)
o passageiro alcança o trem após 6,0s.c)
o passageiro alcança o trem após 4,0s.d)
o passageiro alcança o trem após 5,0s.e)
(Fuvest) Um ciclista A inicia uma corrida a partir do 7.
repouso, acelerado a 0,50m/s
2
. Nesse instante passa
por ele outro ciclista B, com velocidade constante de
5,0m/s e no mesmo sentido que o ciclista A.
Depois de quanto tempo após a largada o ciclista a)
A alcança o B?
Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ci-b)
clista B?
(Unicamp) Um automóvel trafega com velocidade 8.
constante de 12m/s por uma avenida e se aproxima de
um cruzamento onde há um semáforo com fiscalização
eletrônica. Quando o automóvel se encontra a uma
distância de 30m do cruzamento, o sinal muda de ver-
de para amarelo. O motorista deve decidir entre parar
o carro antes de chegar ao cruzamento ou acelerar o
carro e passar pelo cruzamento antes do sinal mudar
para vermelho. Esse sinal permanece amarelo por 2,2s.
O tempo de reação do motorista (tempo decorrido entre
o momento em que o motorista vê a mudança de sinal e
o momento em que realiza alguma ação) é 0,5s.
Determine a mínima aceleração constante que o
a)
carro deve ter para parar antes de atingir o cruza- mento e não ser multado.
Calcule a menor aceleração constante que o carro
b)
deve ter para passar pelo cruzamento sem ser mul-
tado. Aproxime 1,7 3,0.
(Unicamp) Um automóvel e um caminhão, admitidos 9.
como pontos materiais, partem do repouso no mesmo
instante e no mesmo sentido. Inicialmente, o automóvel
está a uma certa distância atrás do caminhão. As acelera-
ções escalares são, em módulo, 1,0m/s
2
para o caminhão
e 1,8m/s
2
para o automóvel. O automóvel alcança o cami-
nhão após este haver percorrido 50m. Pedem-se:
O tempo que o automóvel leva para alcançar o ca-
a)
minhão.
A distância a que estava o automóvel atrás do ca-b)
minhão, no instante da partida.
As velocidades do automóvel e do caminhão quan-c)
do emparelhados.
(UFRJ-Biotec) Um carro está se movendo a 72km/h 10.
(20m/s). No instante em que ele se encontra a 38m de
um cruzamento, acende o sinal amarelo, cuja duração
é 2,0s. Nessa velocidade, o carro tem uma capacidade
máxima de aceleração de 2,0m/s
2
e pode frear, no
máximo, à razão de 3,0m/s
2
. O cruzamento tem 10m de
largura, como mostra a figura.
10m38m
20m/s
Considere o carro como uma partícula e a reação do
motorista instantânea.
Verifique se, acelerando ou freando, o motorista consegue
evitar que o carro se encontre no cruzamento com o sinal
fechado. Justifique sua resposta.
(FEI) Um móvel parte de um certo ponto com um movi-
11.
mento que obedece à seguinte lei horária: s = 4t
2
, válida
no SI; s é a abscissa do móvel e t o tempo. Um segundo
depois, parte um outro móvel do mesmo ponto do pri-
meiro, com movimento uniforme e seguindo a mesma
trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter esse
segundo móvel a fim de encontrar o primeiro?
(PUC-Rio) Uma pessoa inicialmente no ponto P, no
12.
desenho abaixo, fica parada por algum tempo e então
se move ao longo do eixo para o ponto Q, onde fica
por um momento. Ela, então, corre rapidamente para R,
onde fica por um momento e depois volta lentamente
para o ponto P.
0 1 2 3 4
RQ P
(m)
Qual dos gráficos abaixo melhor representa a posição da pessoa em função do tempo?
a)
b) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

12. 12
EM_V_FIS_003
c)
d)
e)
(UFRJ) O gráfico posição 13. versus tempo do movimento
de uma partícula é representado por arcos de parábola
consecutivos, conforme a figura:
0
S
t
A opção que melhor representa o correspondente gráfico velocidade-tempo é:
a)
t
v
0
b)
t
v
0
c)
t
v
0
d)
t
v
0
e)
t
v
0
(UFJF) A figura abaixo é o gráfico da posição x, em 14.
função do tempo, para um corpo de massa m cons-
tante, movendo-se sobre uma linha reta e partindo do
repouso.
0
x (m)
t
1
t
2
segmento de
parábola
t (s)
O par de gráficos que pode representar, respectivamente,
a velocidade e a aceleração atuante no corpo, entre 0 e
t
2
, de maneira inquestionável é:
a)
t (s)
v (m/s)
t
1
t
2
0

t (s)
a (m/s
2
)
t
1
t
2
0
b)
t (s)
v (m/s)
t
1
t
2
0

t (s)
a (m/s
2
)
t
1
t
2
0
c)
t (s)
v (m/s)
t
1
t
2
0

t (s)
a (m/s
2
)
t
1
t
2
0
d)
t (s)
v (m/s)
t
1
t
2
0

t (s)
a (m/s
2
)
t
1
t
2
0
e)
t (s)
v (m/s)
t
1
t
2
0

t (s)
a (m/s
2
)
t
1
t
2
0
(UFRS) No gráfico está representada a posição de um 15.
móvel que se desloca ao longo de uma reta, em função
do tempo. A velocidade inicial e a aceleração do móvel
valem, respectivamente:
0
s (m)
4 8
t (s)
10
5m/s e –1,25m/sa)
2
2,5m/s e 1,25m/sb)
2
5m/s e 0,75m/sc)
2
5m/s e –1,5m/sd)
2
2,5m/s e 2m/se)
2
(UFRJ) O gráfico abaixo mostra como variam as velocida-16.
des de dois carrinhos que se movem sobre trilhos paralelos.
No instante de tempo t = 0s, os dois estavam empare-
lhados. A alternativa que indica o instante em que os
carrinhos voltam a ficar lado a lado é:
0
v (m/s)
2 4
t (s)
1
1 3
3Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

13. 13
EM_V_FIS_003
1sa)
2sb)
3sc)
4sd)
5se)
(Fuvest) O gráfico indica a velocidade escalar de um 17.
animal de corrida desde o instante de partida (t = 0)
até a chegada final (t = 100s). As acelerações escalares
nos trechos I e III são iguais. A velocidade escalar no
trecho II é constante (6,0m/s).
0
v (m/s)
20
t (s)
60 80 100
6,0
40
I
II
III
Qual é a velocidade escalar no instante de chegada?a)
Qual é a distância total percorrida?b)
(Unesp) No diagrama está representada a posição 18.
em função do tempo (parábola), de um móvel que se
desloca ao longo do eixo x.
0
x (m)
2,0
t (s)
10
4,0 8,06,0
Determine:
A velocidade escalar inicial e a aceleração escalar.a)
A velocidade escalar no instante t = 6,0s.b)
A função x = f(t).c)
A distância percorrida entre os instantes 0 e 8,0s.d)
(Fuvest) Um metrô parte de uma estação com acele-19.
ração uniforme, até atingir, após 10s, a velocidade de
90km/h, que é mantida durante 30s. Então, desacelera
uniformemente durante 10s, até parar na estação se-
guinte.
Represente graficamente a velocidade em função
a)
do tempo.
Calcule a distância entre as duas estações.b)
(Uerj) A distância entre duas estações de metrô é igual a 20.
2,52km. Partindo do repouso na primeira estação, um
trem deve chegar à segunda estação em um intervalo
de tempo de três minutos. O trem acelera com uma taxa
constante até atingir sua velocidade máxima no trajeto,
igual a 16m/s. Permanece com essa velocidade por um
certo tempo. Em seguida, desacelera com a mesma taxa
anterior até parar na segunda estação.
Calcule a velocidade média do trem, em m/s.
a)
Esboce o gráfico da velocidade X tempo e calcule b)
o tempo gasto para alcançar a velocidade máxima, em segundos.
(UFRJ-Biotec) Duas partículas se deslocam ao longo
21.
de uma mesma trajetória. A figura abaixo representa, em gráfico cartesiano, como suas velocidades variam em função do tempo.
0
v (m/s)
2
t (s)
4
Suponha que no instante em que se iniciaram as
observações (t = 0) elas se encontravam na mesma
posição.
Determine o instante em que elas voltam a se en-a)
contrar.
Calcule a maior distância entre elas, desde o instan-b)
te em que se iniciaram as observações até o instan-
te em que voltam a se encontrar.
(Enem) Um sistema de radar é programado para registrar 22.
automaticamente a velocidade de todos os veículos tra-
fegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada.
1020304050 607080 90100
Velocidade (km/h)
5
15
40
30
6
3
1
Veículos (%)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
A média das velocidades dos veículos que trafegam
nessa avenida é de:
35km/ha)
44km/hb)
55km/hc)
76km/hd)
85km/he)
Um veículo parte do repouso e acelera uniformemente 23.
até percorrer 120m, levando o tempo de 2t nesse trecho.
A seguir segue durante 4t com velocidade constante e
finalmente freia com aceleração escalar constante du-
rante 3t, até parar. Determine a distância total percorrida
pelo veículo.Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

14. 14
EM_V_FIS_003
B1.
A2.
E3.
E4.
B5.
D6.
7.
Ca)
Bb)
v8.
0
=50m/s
9.
50m/sa)
2
1 500m/s b)
∆c) s = 22 500m
10.
2,7sa)
17mb)
A11.
C12.
D13.
B14.
B15.
E16.
C17.
2 050m18.
19.
2 250m a)
b)

2 250
1 350
sEsse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

15. 15
EM_V_FIS_003
20.
aa)
I
= 80km/h
2
;

a
II
= –48km/h
2
9,6kmb)
C1.
C2.
C3.
B4.
B5.
C6.
7.
t = 20sa)
10m/sb)
8.
– 3,0m/sa)
2
2,4m/sb)
2
9.
t = 10sa)
db)
A
= 40m
Vc)
A
= 18m/s; V
B
= m/s
O motorista não consegue evitar passar com o sinal 10.
fechado; nem acelerando, nem freando.
v = 16m/s11.
B12.
A13.
B14.
A15.
D16.
17.
12m/sa)
600mb)
18.
Va)
0
= 5m/s a = –1,25m/s
2
–2,5m/sb)
x = 5t –c)
2
t25,1
2
20md)
19.
a)

b) 1 000m ou 1km
20.
14m/sa)
b) t
1
= 22,5s
21.
t = 4sa)
4mb)
B22.
780m23. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

16. 16
EM_V_FIS_003Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br