MTK Kelas VII SMP - Bab Aljabar Himpunan

Himpunan. Matematika. Kelas 7 SMP

1. Himpunan

2. 2.1.1 Pengertian Himpunan
Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam matematika dikenal
dengan istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan
oleh seorang matematikawan
berkebangsaanJerman, yaitu Georg Cantor yang hidup antara tahun 1845−1918
Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang didefinisikan
(diberi batasan) dengan jelas.
•Dalam hal ini, yang dimaksud didefinisikan dengan jelas adalah dapat
ditentukan dengan tegas, benda apa saja yang termasuk dan yang tidak
termasuk dalam suatu himpunan yang diketahui.
•Benda-benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota, elemen,
atau unsur dari suatu himpunan. Untuk selanjutnya dipergunakan istilah
anggota atau elemen.
2.1 PENGERTIAN DAN KEANGGOTAAN SUATU
HIMPUNAN

3. Contoh:
1. Kumpulan hewan berkaki empat.
Yang merupakan anggota, misalnya: kerbau, kuda, sapi.
Yang bukan anggota, misalnya: ayam, itik.
Jadi, kumpulan di atas adalah himpunan, karena jelas
batasannya.
2. Kelompok bilangan yang merupakan faktor dari 12.
Yang merupakan anggota adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.
Yang bukan anggota, misalnya: 5, 7, 8, 9, 10, 11.
Jadi, kelompok di atas adalah himpunan, karena jelas
batasannya.
3. Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.
Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.
Karena tidak jelas batasannya, maka kumpulan tersebut bukan
himpunan.

4. •Contoh 1 dan 2 merupakan himpunan, sebab dapat
disebutkan dengan tegas benda yang merupakan
anggota dan yang bukan anggota kelompok
tersebut.
•Pada contoh 3, batasannya tidak jelas. Oleh karena
itu, contoh tersebut bukan merupakan himpunan.
Jadi, kumpulan atau kelompok tidak dapat disebut
himpunan jika batasannya tidak jelas.

5. Himpunan dapat dinyatakan
dengan menggunakan tanda
kurung kurawal dan biasanya
diberi nama dengan
menggunakan huruf kapital,
misalnya A, B, C, D, dan
seterusnya sampai Z.
Misalkan himpunan buah-
buahan di atas piring pada
Gambar di samping diberi
nama B, maka: B = {pisang,
apel, mangga, belimbing}.Sumber : RitaE, pixabay.com
2.1.2 ANGGOTA HIMPUNAN DAN LAMBANGNYA

6. 2.1.2 ANGGOTA HIMPUNAN DAN
LAMBANGNYA
•Banyak anggota suatu himpunan, misalnya anggota
himpunan A dapat dinyatakan dengannotasi n(A).
•Jadi, notasi n(B) artinya banyak anggota pada
himpunan B dan n(C) artinya banyak anggota pada
himpunan C.

7. Contoh :
1. Diketahui himpunan bilangan asli genap yang kurang dari 9.
Misalkan himpunan tersebut diberi nama A, maka dapat ditulis:
A = {bilangan asli genap yang kurang dari 9}.
2. Diketahui P = {huruf-huruf pembentuk kata “siswa”}.
•Pada himpunan tersebut, kata siswa terdiri atas 5 huruf, yaitu s, i,
s, w, dan a.
Karena terdapat anggota yang sama, yaitu s dan hanya boleh
ditulis satu kali, : P = {s, i, w, a}.
•s anggota P, ditulis s
∈
P.
i anggota P, ditulis i
∈
P.
w anggota P, ditulis w
∈
P.
u bukan anggota P, ditulis u
∉
P.
•Banyak anggota himpunan P adalah 4 buah, ditulis: n(P) = 4.

8. 3. R = {huruf-huruf yang membentuk kata “konsonan”},
maka:
• R = {k, o, n, s, a}.
k anggota R, ditulis k
∈
R.
l bukan anggota R, ditulis l
∉
R.
n anggota R, ditulis n
∈
R.
•Banyak anggota himpunan R adalah 5 buah, ditulis: n(R)
= 5.
LANJUTAN CONTOH :

9. 1. Himpunan bilangan bulat, biasanya diberi nama B;
B = {. . . , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}.
2. Himpunan bilangan asli, biasanya diberi nama A;
A = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}.
3. Himpunan bilangan cacah, biasanya diberi nama C;
C = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}.
4. Himpunan bilangan cacah ganjil, yaitu {1, 3, 5, 7, 9, . . .}.
5. Himpunan bilangan cacah genap, yaitu {2, 4, 6, 8, 10, . . .}.
6. Himpunan bilangan prima, yaitu {2, 3, 5, 7, 11, . . .}. Bilangan prima adalah
bilangan yang mempunyai tepat dua faktor yang berbeda, atau bilangan yang hanya
habis dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri (kecuali 1).
7. Himpunan bilangan cacah kuadrat, yaitu {0, 1, 4, 9, 16, . . .}.
8. Himpunan bilangan cacah pangkat 3, yaitu {0, 1, 8, 27, 64, . . .}.
9. Himpunan bilangan komposit, yaitu {4, 6, 8, 9, 10, . . .}. Bilangan komposit
(tersusun) adalah bilangan cacah yang mempunyai lebih dari dua faktor.
2.1.3 MENGENAL BEBERAPA HIMPUNAN BILANGAN

10. 2.2.1 Menyatakan Himpunan dengan Kata-kata atau Sifat
Keanggotaan
Contoh :
1. A = {Senin, Selasa, Sabtu}.
Penulisan dengan kata-kata atau sifat keanggotaan himpunan
adalah:
A = {nama hari dalam seminggu yang dimulai dengan huruf S}.
2. C = {23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
Penulisan dengan kata-kata atau sifat keanggotaan himpunan
adalah:
C = {bilangan prima antara 20 dan 50}.
2.2 MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN

11. 2.2.2 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN NOTASI
PEMBENTUK HIMPUNAN
1. Nyatakan himpunan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dengan notasi
pembentuk himpunan!
Jawab: A = {x | x bilangan cacah kurang dari 6} atau A = {x | x <
6, x bilangan cacah}.
A = {x | x < 6, x bilangan cacah} dibaca:
“A adalah himpunan x, dengan x kurang dari 6 dan x adalah
bilangan cacah.”
3. Nyatakan himpunan C = {a, b, c, d} dengan notasi pembentuk
himpunan!
Jawab:
C = { p | p empat huruf pertama dalam abjad}.

12. penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya,
jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan penulisan boleh
diabaikan.
1. P = {nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf J}.
Penulisan dengan mendaftar anggota-anggotanya adalah
sebagai berikut.
P = {Januari, Juni, Juli} atau P = {Juni, Januari, Juli}.
2. Q = {x | x < 5, x A}, dengan A adalah himpunan bilangan asli.
∈
Dengan mendaftar anggota-anggotanya, himpunan itu ditulis
sebagai berikut.
Q = {1, 2, 3, 4} atau Q = {3, 1, 4, 2}.
2.2.3 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN
MENDAFTAR ANGGOTA-ANGGOTANYA

13. 2.2.3 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN
MENDAFTAR ANGGOTA-ANGGOTANYA
Jika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak, dan
memiliki pola tertentu, maka penulisannya dapat dilakukan
dengan menggunakan tiga buah titik, dibaca “dan seterusnya”.
1. A = {bilangan asli}, dapat kita tuliskan sebagai:
A = {1, 2, 3, 4, . . .}.himpunan tak berhingga.
2. J = {bilangan cacah ganjil kurang dari 100}, maka:
J = {1, 3, 5, 7, 9, . . . , 99}.himpunan berhingga.

14. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak
mempunyai anggota, dapat ditulis dengan notasi atau
simbol { } atau
∅
Perhatikan!
{ } adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan
{0} adalah himpunan yang mempunyai anggota. Banyak
anggotanya adalah 1, yaitu 0.
Jadi, { } berbeda dengan {0}, atau { } ≠ {0}.
2.3 HIMPUNAN KOSONG

15. 2.3 HIMPUNAN KOSONG
Contoh:
1.Himpunan bilangan kuadrat antara 50 dan 60 adalah
himpunan kosong, karena antara 50 dan 60 tidak
terdapat bilangan kuadrat.
2.Himpunan nama hari dalam seminggu yang dimulai
dengan huruf J bukan himpunan kosong karena ada
nama hari yang dimulai dengan huruf J, yaitu Jumat.

16. •Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat
semua anggota himpunan yang dibicarakan.
•Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan
atau himpunan universum. Lambang himpunan
semesta adalah S.
Contoh: 1.
S = {murid-murid di sekolahmu},
A = {murid-murid di kelasmu}.
Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A
sehingga
himpunan S merupakan himpunan semesta dari himpunan A.
2.4 HIMPUNAN SEMESTA

17. 2.4 HIMPUNAN SEMESTA
3. C = {3, 5, 7}.
Himpunan-himpunan yang dapat memuat semua
anggota himpunan C di antaranya
adalah {bilangan ganjil}, {bilangan prima}, atau {bilangan
asli}.
Dengan demikian:
{bilangan ganjil}, {bilangan prima}, dan {bilangan asli}
merupakan himpunan semesta dari himpunan C.

18. 2.5.1 Membuat Diagram Venn
•Cara lain untuk menyatakansuatu
himpunan, yaitu dengan gambar atau
diagram yang disebut diagram Venn.
•Diagram ini diperkenalkan pertama kali
oleh John Venn, ahli matematika
berkebangsaan Inggris yang hidup pada
tahun 1834−1923.
Sumber : upload.wikimedia.org
2.5 DIAGRAM VENN

19. Ketentuan dalam membuat diagram Venn adalah sebagai
berikut.
a. Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi
panjang dan di pojok kiri atas diberi simbol S.
b. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah
noktah di dalam persegi panjang itu dan nama anggotanya
ditulis berdekatan dengan noktahnya. Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8}.
c. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta
ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana. Misal: S = {1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6, 8}. Karena semua anggota himpunan A
termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A berada di
dalam himpunanS
d. Untuk himpunan-himpunan yang mempunyai anggota sangat
banyak, pada diagram Venn anggota-anggota tersebut tidak
digambarkan dengan noktah karena tidak praktis pengerjaannya.
Misal: S = {siswa di sekolahmu}, D = {siswa di kelasmu}.

20. Contoh:
1.Buatlah diagram Venn dari himpunan-
himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
P = {1, 3, 5, 7},
Q = {6, 7, 8}.
2. Buatlah diagram Venn himpunan-himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
A = {bilangan asli genap kurang dari 10},
K = {bilangan asli genap antara 1 dan 5}.
Jawab:Untuk membuat diagram Venn,
daftarlah terlebih dahulu anggota A dan K.
A = {2, 4, 6, 8}, K = {2, 4}.
Ternyata semua anggota K termuat dalam A,

21. LANJUTAN CONTOH :
3. Buatlah diagram Venn dari
himpunan-himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
E = {1, 3, 5}, F = {6, 8}.
Jawab: Perhatikan anggota-anggota E
dan F!
Ternyata anggota-anggota E dan F
tidak ada yang sama,
sehingga diagramnya seperti pada
gambar di samping.

22. 2.6.1 Pengertian Himpunan Bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian
dari B, bila setiap anggota A menjadi
anggota B, ditulis dengan notasi A B
⊂
Pada diagram Venn di samping, ternyata
himpunan A termuat di dalam B. setiap
anggota A, yaitu a, b, dan c menjadianggota
B. Dalam hal ini, dikatakan bahwa A adalah
himpunan bagian dari B
Dari diagram Venn pada Gambar di samping,
dapat juga dikatakan bahwa himpunan B
memuat A, ditulis dengan notasi B A.
⊃
A B dibaca “A himpunan bagian dari B”.
⊂
B A dibaca “himpunan B memuat A”.
⊃
2.6 HIMPUNAN BAGIAN

23. Contoh:
1. Diketahui himpunan-himpunan berikut.
A = {1, 2, 3, 4, 5}.
B = {anggota A yang genap}.
C = {anggota A yang lebih dari 3}.
Tentukan hubungan himpunan B dan C terhadap A!
Jawab:
• B = {2, 4}, maka {2, 4} {1, 2, 3, 4, 5}
⊂
atau B
⊂
A.
• C = {4, 5}, maka {4, 5} {1, 2, 3, 4, 5}
⊂
atau C
⊂
A.
2. Untuk himpunan H = {a, b, c, d}, tulislah himpunan-himpunan bagian dari himpunan H
a. Mempunyai 2 anggota. b. Mempunyai 3 anggota.
Jawab:
a. Himpunan bagian dari H yang mempunyai 2 anggota adalah:
{a, b}, {a, c}, {a, d},
{b, c}, {b, d},
{c, d}.
b. Himpunan bagian dari H yang mempunyai 3 anggota adalah:
{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}.

24. Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan itu
sendiri.
Jadi, untuk sembarang himpunan A, selalu berlaku A A.
⊂
Untuk setiap himpunan, misalnya himpunan A dan B berlaku:
Jika himpunan A B dan B A, maka himpunan A = B.
⊂ ⊂
A. HIMPUNAN A SEBAGAI HIMPUNAN BAGIAN DARI A

25. A. HIMPUNAN A SEBAGAI HIMPUNAN BAGIAN DARI A
Contoh :Diketahui himpunan P = {m, a, r, g, i, n} dan Q = {m, i, g, r, a, n}.
a. Apakah P
⊂
Q?
b. Apakah Q
⊂
P?
c. Kesimpulan apa yang dapat ditemukan dari kedua himpunan
tersebut?
Jawab:
a. Semua anggota himpunan P, yaitu m, a, r, g, i,
dan n menjadi anggota Q, maka P
⊂
Q.
b. Semua anggota himpunan Q, yaitu m, i, g, r, a,
dan n menjadi anggota P, maka Q
⊂
P.
c. Karena P
⊂
Q dan Q
⊂
P, maka terdapat hubungan satu-satu
antara P dan Q. Dengan demikian, himpunan P
dan Q merupakan himpunan yang sama.

26. B. HIMPUNAN KOSONG SEBAGAI HIMPUNAN
BAGIAN
KEGIATAN SISWA
HALAMAN 91

27. 2.6.2 MENENTUKAN SEMUA HIMPUNAN BAGIAN DARI
SUATU HIMPUNAN

28. Dalam pola bilangan segitiga Pascal terdapat hubungan antara suatu
bilangan dengan jumlah dua bilangan berdekatan yang terdapat
pada baris yang berada tepat di atasnya
Pola bilangan segitiga Pascal
pada Gambar di atas dapat
digunakan untuk
menentukan banyak
himpunan bagian dari suatu
himpunan
2.6.3 HIMPUNAN BAGIAN DAN POLA BILANGAN
SEGITIGA PASCAL

29. Contoh: Tentukan banyak himpunan bagian dari W = {a, b, c, d, e,
f} yang mempunyai:
a. satu anggota, b. tiga anggota, c. empat anggota.
Perhatikan keterangan pada pola bilangan segitiga Pascal di atas untuk himpunan
dengan enam anggota, yaitu 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
a. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 1 anggota adalah 6.
b. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 3 anggota adalah 20.
c. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 4 anggota adalah 15.

30. Himpunan kuasa dari himpunan H adalah himpunan yang
memuat semua himpunan bagian dari H.
Himpunan kuasa dari himpunan H ditulis dengan notasi P(H).
Himpunan kuasa dari himpunan H dapat dinyatakan dengan notasi
P(H) dan banyak
anggota dari himpunan kuasa P(H) dinyatakan dengan n(P(H)).
Dengan demikian, untukhimpunan H = {u, m, y} dapat dinyatakan
sebagai berikut:
1. Himpunan kuasa dari himpunan H adalah:
P(H) = { , {
∅
u }, { m }, { y }, {u, m}, {u, y}, {m, y}, {u, m, y}}.
2. Banyak anggota dari himpunan kuasa H adalah:
n(P(H)) = 8.
2.6.4 HIMPUNAN KUASA

31. 2.7.1 Irisan Himpunan
Irisan himpunan A dan B atau A ∩ B
adalah suatu himpunan yang
anggota anggotanya merupakan
anggota himpunan A yang sekaligus
menjadi anggota himpunan B juga.
Dengan notasi pembentuk
himpunan, irisan A dan B
didefinisikan sebagai: A ∩ B = {x | x
A dan x B}.
∈ ∈
2.7 OPERASI HIMPUNAN

32. 1. Diketahui: K = {bilangan prima kurang dari 12},
L = {bilangan ganjil antara 2 dan 8}.
a. Tentukan K ∩ L dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah yang
menyatakan K ∩ L!
Jawab:
a. K = {2, 3, 5, 7, 11} L = {3, 5, 7} b.
Anggota K yang sekaligus menjadi
anggota L adalah 3, 5, dan 7, maka:
K ∩ L = {3, 5, 7}.

33. 2. Diketahui: P = {1, 2, 3, 4, 5},
Q = {2, 4, 6, 8}.
a. Tentukan P ∩ Q dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah yang
menyatakan P ∩ Q!
Jawab:
a. P = {1, 2, 3, 4, 5} b.
Q = {2, 4, 6, 8}
Anggota P yang sekaligus menjadi
anggota Q adalah 2 dan 4, maka:P ∩ Q = {2, 4}.

34. 3. Diketahui: G = {1, 3, 5, 7}, H = {2, 4, 6}.
a. Tentukan G ∩ H dengan mendaftar anggota-
anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah yang
menyatakan G ∩ H!
Jawab:
a. G = {1, 3, 5, 7}
b. H = {2, 4, 6} H
G ∩ H =
∅
Oleh karena G ∩ H tidak mempunyai
anggota,maka tidak ada daerah yang diarsir.

35. a.Pengertian Gabungan Himpunan
Gabungan himpunan A dan B atau A B adalah suatu
∪
himpunan yang anggota-anggotanya merupakan
anggota A, atau anggota B, atau anggota persekutuan
A dan B. Dengan notasi pembentuk himpunan,
gabungan A dan B didefinisikan sebagai:
A B = { x | x A atau x B }.
∪ ∈ ∈
2.7.2 GABUNGAN (UNION) HIMPUNAN

36. 2.7.2 GABUNGAN (UNION) HIMPUNAN
Contoh:
1. Diketahui: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5}.
a. Nyatakan A
∪
B dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah A
∪
B!
Jawab:
a. A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 5} b.
A
∪
B = {1, 2, 3, 4, 5}

37. 2. Diketahui: E = {bilangan asli genap kurang dari 10},
F = {bilangan asli ganjil kurang dari 10}.
a. Nyatakan E
∪
F dengan mendaftar anggota-
anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah E
∪
F!
Jawab:
a. E = {2, 4, 6, 8} b.
F = {1, 3, 5, 7, 9}
E
∪
F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

38. 3. Diketahui: K = {bilangan asli kurang dari 7},
L = {lima bilangan prima yang pertama}.
a. Nyatakan K
∪
L dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah K
∪
L!
Jawab:
a. K = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b. S
L = {2, 3, 5, 7, 11}
K
∪
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11}

39. Perhatikan Gambar di samping!
Banyak anggota himpunan P, yaitu n(P) = (a + b).
Banyak anggota himpunan Q, yaitu n(Q) = (b + c).
Banyak anggota irisan P dan Q, yaitu n(P ∩ Q) = b.
n(P
∪
Q) = a + b + c
= a + b + c + b – b setelah ditambah b, di-
= (a + b) + (b + c) – b kurang lagi dengan b,
n(P
∪
Q) = n(P) + n(Q) – n(P ∩ Q) KEGIATAN SISWA
HALAMAN 99
B. BANYAK ANGGOTA DARI GABUNGAN HIMPUNAN

40. Contoh:
1. Diketahui: A = {semua faktor dari 24}, dan B = {bilangan cacah
genap yang kurang dari 15}.
a. Tentukan A
∪
B dengan mendaftar anggota-anggotanya,
kemudian tulislah n(A
∪
B)!
b. Tentukan n(A
∪
B) dengan menggunakan rumus!
Jawab:
a. A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.
A
∪
B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 24}.
Jadi, n(A
∪
B) = 11.
b. A ∩ B = {2, 4, 6, 8, 12}, maka n(A ∩ B) = 5.
n(A
∪
B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 8 + 8 – 5 = 11.

41. 2. Diketahui himpunan P dan Q dengan n(P) = 21 dan
n(Q) = 17. Jika n(P
∪
Q) = 30,
tentukan n(P ∩ Q)!
Jawab:
n(P
∪
Q) = n(P) + n(Q) – n(P ∩ Q)
30 = 21 + 17 – n(P ∩ Q)
30 = 38 – n(P ∩ Q)
n(P ∩ Q) = 38 – 30
= 8.

42. Selisih himpunan A dan B atau A – B adalah himpunan
semua
anggota A yang tidak menjadi anggota B.
Dengan notasi pembentuk himpunan, selisih himpunan A
dan B
didefinisikan sebagai:
A – B = { x | x A dan x B }.
∈ ∉
2.7.3 SELISIH DUA HIMPUNAN

43. 2.7.3 SELISIH DUA HIMPUNAN
Contoh
Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 4, 7}, dan B = {2, 3, 5, 6,
7}.
Tentukan selisih himpunan berikut!
a. A – B b. B – A
Jawab:
a. Anggota A yang tidak menjadi anggota B adalah 1 dan 4, maka:
A – B = {1, 4}.
b. Anggota B yang tidak menjadi anggota A adalah 2, 5, dan 6,
maka:
B – A = {2, 5, 6}.

44. 2. Diketahui: P = {semua faktor dari 15}, dan
Q = {bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 20}.
Dengan mendaftar anggota-anggotanya, tentukan
himpunan berikut:
a. P ∩ Q c. Q – P
b. P – Q
Jawab:
P = {1, 3, 5, 15} dan Q = {4, 8, 12, 16}.
a. P ∩ Q = { }
b. P – Q = {1, 3, 5, 15} = P
c. Q – P = {4, 8, 12, 16} = Q

45. Dari diagram Venn di samping,
tentukan
selisih himpunan berikut!
a. S – (P ∩ Q)c. (P
∪
Q) – (P ∩ Q)
b. S – (P
∪
Q)
Jawab: a. S – (P ∩ Q) = S – {c, d} c. (P
∪
Q) – (P ∩ Q)
= {a, b, e, f, g, h, i, j}. = {a, b, e, c, d, f, g} – {c, d}
= {a, b, e, f, g}.
b. S – (P
∪
Q) = S – {a, b, e, c, d, f, g}
= {h, i, j}.

46. Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang
anggotaanggotanya
merupakan anggota S yang bukan anggota A.
Dengan notasi pembentuk himpunan dapat ditulis:
A’ = {x | x
∉
A dan x
∈
S}.
2.7.4 KOMPLEMEN HIMPUNAN

47. Contoh: Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 6}.
a. Nyatakan A (
∪
A ∩ B) dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dengan memberi arsiran!
Jawab: a. A (
∪
A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10} {1, 3}
∪
= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}.
b. Langkah-langkah membuat diagram Venn A ’ (
∪
A ∩ B) adalah:
A ‘ A ∩ B A ’ (
∪
A ∩ B)

48. 1. Setelah diadakan pencatatan terhadap 50 anak tentang
jenis olahraga yang digemari, terdapat 32 anak gemar
voli, 40 anak gemar bulu tangkis, dan 25 anak gemar
kedua-duanya.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas!
b. Berapa anak yang tidak gemar voli maupun
bulu tangkis?
2.8 PENGGUNAAN DIAGRAM VENN UNTUK IRISAN DAN
GABUNGAN HIMPUNAN

49. Jawab:
a. V = {anak yang gemar voli}
B = {anak yang gemar bulu tangkis}
Yang hanya gemar voli : 32 – 25 = 7 anak.
yang hanya gemar bulu tangkis 40 – 25 = 15 anak.
b. Banyak anak yang tidak gemar voli maupun bulu tangkis adalah 3
anak. Yang tidak gemar voli maupun bulu tangkis, yaitu:
50 – (7 + 25 + 15) = 50 – 47 = 3 anak.

50. 2. Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 25 orang gemar
minum es buah, 35 orang gemar minum es krim, dan yang gemar
kedua minuman tersebut sebanyak x orang.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas!
b. Berapa orang siswa yang gemar kedua
jenis minuman tersebut?
Jawab :
a. b. 25 – x + x + 35 – x = 40
60 – x = 40
x = 20
Jadi, yang gemar kedua jenis minuman
tersebut adalah 20 orang siswa.

51. 2.9.2 SIFAT ASOSIATIF (PENGAYAAN )
a.Sifat Asosiatif Irisan
Untuk setiap himpunan A, B, dan C selalu berlaku sifat
berikut:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Sifat ini disebut sifat asosiatif pada irisan himpunan.
b. Sifat Asosiatif Gabungan