Multiplicación de-monomios-para-segundo-de-secundaria

ficha

1. 84
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
La multiplicación es una operación que consiste en hallar una expresión llamada producto a partir de otras dos
llamadas factores.
Ejemplo con números:
M ultiplicar números
¡E s f ácil! Pero ¿cómo
se multiplican M onomios
y Polinomios?
3 . 4 = 12
Multiplicando Multiplicador
Producto
Factores
Recuerda
I. LEY DE LOS SIGNOS
(+) (+) = (+) (+) (-) = (-)
(-) (-) = (+) (-) (+) = (-)
Ejemplos:
+ 3 . 2 = 6
-4 . - 5 = 20No se
coloca se
sobreentiende
¡aHORA TÚ!
-7 . 9 = -7 . -6 =
8 . -6 = -9 . 12 =
L a M ultiplicación de
2 signos iguales
resulta (+) la multiplicación
de 2 signos dif erentes
resulta (-)
segundo- de- s

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II. LEY DE EXPONENTES
b
m
. b
n
= b
m+n
Ejemplo:
7
3
. 7
5
= 7
3+5
= 7
8
a
8
. a
4
= a
8+4
= a
12
¡aHORA TÚ!
2
10
. 2
20
= 3
4
. 3
3
. 3
8
=
a
5
. a
7
. a
2
= -2
2
. 2
3
=
(a . b)
n
= a
n
. b
n
Ejemplo:
(2 . 9)
3
= 2
3
. 9
3
(m . n)
5
= m
5
= n
5
¡aHORA TÚ!
(3 . 11)
2
= 3
2
. 1 (5 . 8 . 9)
7
=
(2 . 8)
5
= (a . b . c . d)
3
=
(b
m
)
n
= b
m.n
Ejemplo:
(3
2
)
3
= 3
2.3
= 3
6
(2
5
)
4
= 2
5.4
= 2
20
(x
3
)
7
= x
3.7
= x
21
(b
2
. a)
3
= (b
2
)
3
. a
3
= b
2.3
a
3
= b
6
. a
3
¡aHORA TÚ!
(5
5
)
2
= (2 . 3
2
)
5
=
(a
2
)
7
= (x
3
. y)
3
=
Si multiplico bases
iguales entonces
sumo los
exponentes
Si: 2 = 1 024
2 es la base
10 es el exponente
1 024 es la potencia
10
Si:
¡E l exponente afecta
a cada uno de los
f actores!
(3 .2) = 3 . 2
7 7 7
Si:
¡L os exponentes
se multiplican!
( 7 ) = 7
3 5 3 . 5
- de- sec u ndaria-algebra. jpg

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III. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
a(b + c) = ab + ac
Ejemplos:
3(5 + 2) = 3 . 5 + 3 . 2 = 15 + 6 = 21
4(x + 3) = 4 . x + 4 . 3 = 4x + 12
¡aHORA TÚ!
8(5 - 3) = 7(x - 2) =
3(2 + 4 + 3) = 5(a + b + c) =
A hora que ya recordamos
tenemos los conocimientos
necesarios para comprender
como se multiplican
los monomios y polinomios.
1. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR MONOMIO
Para multiplicar 2 monomios, primero se multiplican las partes constantes (coeficientes) de acuerdo a la Ley de
Signos luego se multiplican las partes variables de acuerdo a las Leyes de Exponentes.
Ejemplo:
(2x
3
) (3x
5
) = (2 . 3)(x
3
. x
5
) = 6 . x
3+5
= 6x
8
(-5x
2
) (-2x
3
) = (-5 . -2) (x
2
. x
3
) = 10x
2+3
= 10x
5
(7y
4
) (-4y
3
) = (7 . -4) (y
4
. y
3
) = -28y
4+3
= -28y
7
(-8y
7
) (9y
9
) = (-8 . 9) (y
7
. y
9
) = -72y
7+9
= -72y
16
(2xy
2
) (3x
3
y
2
) = (2 . 3) (xy
2
. x
3
y
2
) = 6x
1+3
y
2+2
= 6x
4
y
4
¡aHORA TÚ!
(3x
5
) (5x
3
) =
(-2x
7
) (-8x
5
) =
(-3x
8
) (6x) =
(4x
3
) (-4x
2
) =
(5x
3
y
4
) (3x
5
y
4
) =
(-2x
5
y
7
) (8xy
2
) =
(-5x
6
y
4
z
2
) (-9x
2
y
3
z
8
) =
este f actor se
distribuye con cada uno
de los sumandos del
paréntesis.
Si:
7(x + 2) = 7x + 7 . 2
Recuerda:
E xponente
Parte V ariable
Parte Constante
7 x y
3 5
Si: L as partes variables se
multiplican según las
L eyes de E xponentes
L as partes constantes
se multiplican según la
L ey de los S ignos
-5x . 2x
3 7

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2. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR POLINOMIO
Para multiplicar un monomio por un polinomio se emplea la propiedad distributiva.
Ejemplos:
2x (x + 5) = 2x . x + 2x . 5 = 2x + 10x
2 2 2 3 2
3x (x + 2x ) = 3x . x + 3x . 2x = 3x + 6x
3 2 2 3 3 2 4 5
12x
5
(x
3
- 3x
2
) = 12x
5
. x
3
+ 12x
5
. -3x
2
= 12x
8
- 36x
7
5xy(x y + xy) = 5xy . x y + 5xy . xy = 5x y + 5x y
2 2 3 2 2 2
-2x
2
y
3
(x
3
y
5
+ x
2
y
3
) = -2x
2
y
3
. x
3
y
5
- 2x
2
y
3
. x
2
y
3
= -2x
5
y
8
- 2x
4
y
6
¡aHORA TÚ!
3x(x + 2) = 7x
2
y
3
(3x
5
y
6
+ 2x
3
y
4
) =
-5x(x
2
+ 3) = -4xy
5
(-5x
3
y + 3xy) =
4x
2
(x
3
- 4) = (x + 3x
2
)2x =
3. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR MONOMIO
En este caso también se emplea la propiedad distributiva.
Ejemplos:
(x + 5) (x + 2)
2
= x . x + 2 . x + 5 . x + 5 . 2
= x
2
+ 2x + 5x + 10
= x
2
+ 7x + 10
(x - 3) (x + 4)= x . x + 4 . x - 3 . x - 3 . 4
= x
2
+ x - 12
Recuerda:
Un polinomio es
una suma limitada
de monomios
no semejantes
Ojo:
E sta propiedad se llama
conmutativa y también
se cumple para polinomios.
3 . 7 = 7 . 3
Si luego de
multiplicar polinomios
aparecen monomios
semejantes estos
se suman

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(x + 3) (x + 2x + 1)
2
= x . x
2
+ x . 2x + x . 1 + 3 . x
2
+ 3 . 2x + 3 . 1
= x
3
+ 2x
2
+ x + 3x
2
+ 6x + 3
= x
3
+ 5x
2
+ 7x + 3
¡aHORA TÚ!
(x + 1) (x + 4 )
2
=
(x - 2) (x - 5) = (x - 2) (x
4
- x
2
+ 3) =
(x + 2) (x - 7) = (x
3
+ x) (x
3
+ x + x
5
) =
(x + 1) (x
2
+ x + 2) = (xy + 1) (x
2
y + xy
2
) =
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.Dado: P(x) = 2x
3
y Q(x) = 3x
2
Donde: P(x) . Q(x) = mx
n
Indicar la o las proposiciones verdaderas.
I) m = n
II) n - m = 1
III) n + 1 = m
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) Sólo I y II e) Sólo II y III
2.Asociar correctamente:
a) (4x
3
y
2
) (9xy
3
) ( ) 36x
4
y
6
b) (18xy
4
) (2x
3
y
2
) ( ) 36x
6
y
5
c) (12x
3
y
4
) (3x
3
y) ( ) 36x
4
y
5
3.Si de: P(x) = 4x
2
y Q(x) = 2x - 3
Se obtiene: P(x) . Q(x) = mx
n
+ ax
b
; n > b
Calcular:
bn
am


a) 4 b) 20 c) 5
d) 2 e) -4
4.Si: P(x) = 2x
3
- 3x + 5x
5
+ 3 y Q(x) = 7x
5
Calcular: P(x) . Q(x)
Dar como respuesta la suma de coeficientes.
a) 47 b) 14 c) 0
d) -21 e) 49
5.Dado: P(x) = x + 4 y Q(x) = x - 3
Además: x
2
+ x = 12
Hallar: P(x) . Q(x)
a) 24 b) 0 c) 12
d) -12 e) -24
6.Si: P(x; y) = -4x
3
y
3
; Q(x; y) = 6x
4
y
2
y M(x; y) = -3xy
Calcular: P . Q; Q . M y P . M
Luego indicar el valor de verdad de cada proposición:
I) Coeficiente (Q . M) < Coeficiente (P . Q)
II) G.A. (P . M) > G.A. (Q . M)
III) El mayor G.A. que se obtiene es 12.
a) FFF b) VFF c) FVV
d) FFV e) FVF

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7.Si: P(x; y) = -3ax
2
y
b
y Q(x; y) = 2bx
a
y
4
son semejantes.
Hallar el coeficiente de P(x; y) . Q(x; y)
a) -48 b) -6 c) 2
d) -4 e) -8
8.Si: P . Q es homogéneo.
Donde: P(x; y) = 3x
2
y
3
; Q(x; y) = x
m+3
y - 2x
3
y
n+1
Hallar: m - n
a) 2 b) -3 c) 0
d) -2 e) 3
9.Si luego de multiplicar:
P(x) = x + 1 y Q(x) = x + 2a
Se obtiene un polinomio cuya suma de coeficientes
es 10.
Calcular: Q(1)
a) 2 b) 5 c) 4
d) -2 e) -5
10.El producto de: (x + y) (x
n
- xy + y
m
) es un polinomio
homogéneo. Hallar el Nº de términos que posee dicho
polinomio.
a) 6 b) 4 c) 3
d) 5 e) 12
11.En la siguiente multiplicación de monomios:
ax
a
y
2
. mx
3
y
b
= 10x
5
y
6
Determinar: a + m + b
a) 5 b) 2 c) 4
d) 11 e) 10
12.Si: P(x) es idéntico a M(x)
Donde: P(x) = -9x(3x + 2 - 4x
2
)
M(x) = mx
2
+ nx + qx
3
Hallar: m + n + q
a) -9 b) -8 c) 7
d) 9 e) 0
13.Si al multiplicar:
nx
n
- mx
m
+ (p + 1)x
p
- qx
q
Por 2x
2
se obtiene un polinomio completo y ordenado
ascendentemente. Calcular la suma de coeficientes
del polinomio resultante.
a) -2 b) -4 c) 0
d) -1 e) 2
14.Al multiplicar:
P(x) = x
2
+ x + 1 y Q(x) = x
2
- x + 1
¿Cuántos términos tiene el resultado?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 9
15.Calcular el número de términos que se origina al
multiplicar:
P(x; y) = (x - y) y Q(x; y) = x
3
+ x
2
y + xy
2
+ y
3
a) 8 b) 6 c) 4
d) 2 e) 3

TAREA DOMICILIARIA Nº 1
1.Si: P(x) . Q(x) = mx
n
Donde: P(x) = 4x
8
Q(x) = 3x
16
Señalar la o las proposiciones falsas:
I) n > m
II) n = 2m
III) m - n = 12
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) Sólo I y III e) Sólo II y III
2.Asociar correctamente:
a) (3x
2
y
5
) (8x
2
y) ( ) 24x
6
y
7
b) (6xy
4
) (4x
3
y
3
) ( ) 24x
4
y
6
c) (2xy
3
) (12x
5
y
4
) ( ) 24x
4
y
7
3.Si al multiplicar: P(x) = 3x y Q(x) = x
3
- 2x
2
Se obtiene: P(x) . Q(x) = ax
b
+ cx
d
; b > d
Hallar: bd - ac
a) 12 b) -30 c) 18
d) -18 e) 30
4.Si: P(x) = 4x
5
- 3x + 4x
2
- 3 y Q(x) = 2x
3
Hallar: P(x) . Q(x)
Dar por respuesta la suma de coeficientes.
a) 12 b) 0 c) -12
d) 4 e) -4

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5.Dado: P(x) = x + 2 y Q(x) = x + 5
Donde: x
2
+ 7 = -9
Calcular: P(x) . Q(x)
a) 1 b) 2 c) 0
d) -1 e) -2
6.Dados los siguientes monomios:
3x
2
y
3
; 2x
3
y
4
; 4x
5
y
2
Determine el par que origina el producto de mayor
G.A. Brindar como respuesta el coeficiente de aquel.
a) 6 b) 12 c) -6
d) 8 e) -8
7.Hallar el coeficiente de P(x; y) Q(x; y)
Sabiendo que:
P(x; y) = (m + 1)x
3
y
n-1
y Q(x; y) = (n - 1)x
m
y
2
son términos semejantes.
a) 8 b) 6 c) 2
d) 4 e) 5
8.Al multiplicar:
P(x; y) = ax
2
y
b+1
y Q(x; y) = bxy
2
+ 3x
a+2
y
2b
Se obtiene un polinomio homogéneo.
Hallar la suma de coeficientes de este producto.
a) -4 b) -2 c) 2
d) 4 e) 0
9.Del producto de: P(x) = x + 3b y Q(x) = x - 1
Se origina M(x).
Calcular: M(1)
a) 4 b) 3 c) 3b
d) -b e) 0
10.Multiplicar: (x
2
+ xy
n
+ y
2
) (x
m
- y) y se obtendrá un
polinomio homogéneo. ¿De cuántos términos constará
dicho polinomio?
a) 6 b) 3 c) 2
d) 4 e) 5
11.Si: ax
5
y
m+2
. bx
b
y
4
= 27x
8
y
7
Calcular:
mb
a

a) 2 b) 4 c) 3
d) 5 e) 1
12.Si: P(x) = 3x(2x
2
- 5x - 7) y N(x) = ax
b
+ cx
d
+ ex
f
son idénticos donde N(x) es ordenado en forma
descendente.
Hallar:
fdb
eca


a) 5 b) -6 c) -5
d) -30 e) 6
13.Luego de multiplicar: nx
n
- nx
n+1
+ nx
n+2
por 3x
3
se
obtiene un polinomio completo y ordenado.
Halla la suma de coeficientes.
a) -3 b) n c) 9
d) -9 e) -3n
14.Cuántos términos se originan al multiplicar:
P(x; y) = x
4n
+ y
8m
y M(x; y) = -x
4n
+ y
8m
a) 4 b) 1 c) 3
d) 2 e) 5
15.Calcular el producto de:
P(x; y) = x
3
+ xy
2
- x
2
y - y
3
y Q(x; y) = x + y
Dar por respuesta el Nº de sus términos.
a) 2 b) 3 c) 8
d) 6 e) 7