Números_complejos_2do_Secundaria_2025.pptx

Números complejos, tema de aritmética para secundaria

1. NÚMEROS COMPLEJOS

2. NÚMEROS COMPLEJOS ( )   El conjunto de números complejos es un conjunto de pares ordenados de la forma Z = (a; b) tal que a; b ; donde «a» representa la parte real ( Re ) y «b» representa la parte imaginaria ( Im ) del número complejo. Notación: Z = (a; b) / a; b , además a = Re(Z) y b = Im (Z)   CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS ( )   Complejo real Dado Z = (a; b) es un complejo real si Im (Z) = . Es decir: Z = (a; 0) = a ; a   Complejo imaginario Dado Z = (a; b) es un complejo imaginario si Re(Z) = . Es decir: Z = (0; b) ; b   Complejo nulo Dado Z = (a; b) es un complejo nulo si Re(Z) = y Im (Z) = . Es decir: Z = (0; 0)

3. FORMA BINOMIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO Un número complejo se puede representar en forma binomial, de la forma: Z = Ejemplos: Z1 = (-2; 5) = -2 + 5 i Z2 = (3; 7) = 3 + 7 i   Relaciones definidas entre números complejos : Dado el número complejo: Z = A. Complejo opuesto (Z*) B. Complejo conjugado ( ) C. Complejos iguales Si: , entonces: .  

4. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Dados los números complejos: Se definen las siguientes operaciones: Adición: Sustracción: Multiplicación: División:   Ejemplo: Dados los números complejos: Calcula las siguientes operaciones:  

5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO A. Representación geométrica A cada número complejo Z = se le asocia un punto en el plano complejo o plano de Gauss. Im (Eje imaginario) 3 Re -42 (Eje real) -4   B. Representación trigonométrica: Dado un número complejo no nulo Z = Im b Re a θ : argumento donde: Además:   θ

6. EJEMPLO 1. Determina la forma trigonométrica del siguiente número complejo Z = (4; 3). Solución: Z = (4; 3) = a + b i → a = 4; b = 3 Tenemos: Además:   Luego: Gráficamente: Im 3 4 Re   37°

7. OPERACIONES EN FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA Dados los números complejos: Se definen las siguientes operaciones: Multiplicación: División:   Ejemplo: Dados los números complejos: Calcula las siguientes operaciones:  

8. EJERCICIOS 1. Calcula el valor de «a + b» si se cumple que: 3(a + 5 i ) – 4( b i + 3) = 18 + 11 i Solución: Operamos y reducimos términos semejantes: 3a + 15 i – 4b i - 12 = 18 + 11 i (3a – 12) + (15 – 4b) i = 18 + 11 i Igualamos: 3a – 12 = 18 Ʌ 15 – 4b = 11 3a = 30 Ʌ 4 = 4b a = 10 Ʌ 1 = b Luego: a + b = 10 + 1 = 11 2. Calcula el valor de «a - b» si se cumple que: (a + b) + (a – b) i = (2 + 5 i ) + i (2 - 3 i ) Solución: Operamos y reducimos términos semejantes: (a + b) + (a – b) i = 4 + 20 i + 25 i + 2 i - 3 i (a + b) + (a – b) i = 4 + 20 i - 25 + 2 i + 3 (a + b) + (a – b) i = -18 + 22 i Igualamos: a + b = -18 … (I) a – b = 22 … (II) De (I) y (II): a = 2 Ʌ b = -20 Luego: a - b = 2 – (-20) = 22 2 2 2

9. 3. Calcula el valor de «m» para que el número complejo «C» sea imaginario. C = Solución: Multiplicamos por la conjugada del denominador: C = C = C = Para que el complejo «C» sea imaginario, la parte real debe ser cero.   4. Calcula el valor de «F.G» si se sabe que: Solución: Aplicamos la multiplicación de complejos en forma trigonométrica: Sabemos que: cos 180 ° = -1 ; sen 180 ° = Luego: