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desarrollo de los numeros complejos de manera europea

1. NÚMEROS COMPLEJOS












Viviana Paula D’Agostini
Magister en Didáctica de las Ciencias, mención Matemática
[email protected]

2. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 1

Introducción
Recordemos algunos conjuntos numéricos que ya conocemos:
Números Naturales ??????={ 1,2,3,4,5,...}
Números Naturales incluido el cero ??????
4={0,1,2,3,4,5,...}=????????????{0}
Números Enteros ??????={...−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,...}
Números Racionales






 0,/ qZqp
q
p
Q
Números irracionales I: un número es irracional si su representación decimal
tiene infinitas cifras no periódicas. Ejemplos: ??????,ℯ,√2.

Cada conjunto de números ha ido ampliándose para dar solución a nuevos
problemas. En particular, en el conjunto de los números reales no es posible
encontrar solución para la ecuación ??????
6
+1 = 0. Es así que se define al número
“??????” tal que ??????
6
= −1 para poder dar solución a la ecuación mencionada.
El conjunto de números que resulta de adjuntar ?????? y sus combinaciones al
conjunto de los números Reales es el conjunto de los números Complejos que
trataremos a continuación.

Números Complejos
Un número complejo es de la forma ??????=??????+???????????? donde ?????? y ?????? son números reales
e ?????? se define por la relación ??????
6
= −1.
??????=??????+???????????? es llamada Forma Binómica del complejo z.
?????? es llamada parte o componente real de z y se simboliza: ????????????(??????) =??????.
?????? es llamada parte o componente imaginaria de z y se representa: ????????????(??????)=??????.
El conjunto de los números complejos se simboliza:
ℂ ={??????=??????+????????????:??????,?????? ϵ ??????;??????
6
= −1}
?????? C ?????? C ??????
?????? U ??????=??????
??????: números reales

3. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 2

Todo número real ?????? es un número complejo ya que puede expresarse como
??????+0??????. Así los números reales se identifican con una parte de los números
complejos: ??????⟷??????+0??????.
Todo número de la forma ????????????, llamado imaginario puro, es un número complejo
de parte real nula, y puede expresarse como 0+????????????.
Ejemplo: Sean ??????
5= 3+2?????? , ??????
6=
5
6
−5?????? , ??????
7=√3 , ??????
8= −7??????
3 es la parte o componente real de ??????
5. ????????????(??????
5)= 3.
2 es la parte o componente imaginaria de ??????
5. ????????????(??????
5)= 2.
5
6
es la parte o componente real de ??????
6. ????????????(??????
6)=
5
6
.
−5 es la parte o componente imaginaria de ??????
6. ????????????(??????
6)= −5.
√3 es la parte o componente real de ??????
7. ????????????(??????
7)=√3.
0 es la parte o componente imaginaria de ??????
7. ????????????(??????
7)= 0.
0 es la parte o componente real de ??????
8. ????????????(??????
8)= 0.
−7 es la parte o componente imaginaria de ??????
8. ????????????(??????
8)= −7.

Ejercicio 1. Determina para cada uno de los siguientes números complejos sus
partes real e imaginaria.
??????
5= −2−4?????? , ??????
6=
1
3
+5?????? , ??????
7=√2−6?????? , ??????
8= −3??????, ??????
9= 1000

La unidad imaginaria
El número ?????? recibe el nombre de unidad imaginaria y se acepta que se comporta
como un número real y respeta las propiedades de este conjunto. Además, son
válidas las siguientes propiedades de la potencia:
 ??????
?
.??????
?
=??????
?>?
, ??????,?????? ϵ ??????
 (??????
?
)
?
=??????
?.?
, ??????,?????? ϵ ??????

4. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 3

Observación. Las sucesivas potencias de ?????? se repiten periódicamente en grupos
de 4. Es decir:
??????
5
=??????, ??????
6
= −1, ??????
7
=??????
6
.??????=(−1).??????= −??????, ??????
8
=??????
6
.??????
6
= 1
??????
9
=??????
8
.??????=??????, ??????
:
=??????
8
.??????
6
= −1, ??????
;
=??????
8
.??????
7
= −??????, ??????
<
=??????
8
.??????
8
= 1.1 = 1
Por lo que es posible calcular cualquier potencia de ?????? como se enuncia en el
siguiente teorema.

Teorema: Para todo ?????? ϵ ?????? resulta ??????
?
=??????
?
donde ?????? es el resto de la división
de ?????? por 4 (??????=0,1,2,3).
Demostración: ??????= 4??????+?????? ??????= 0,1,2 ?????? 3
??????
?
=??????
8?>?
=(??????
8
)
?
.??????
?
= 1
?
.??????
?
=??????
?

??????
?
=^
1 ???????????? ??????= 0
?????? ???????????? ??????= 1
−1 ???????????? ??????= 2
−?????? ???????????? ??????= 3


Ejemplo: ??????
5667
= ??????
749.8>7
= ( ??????
8
)
749
??????
7
=??????
7
= −??????

Ejercicio 2. Determina los valores de: ??????
;
,??????
5444
, ??????
6:
,??????
769
.

Igualdad de números complejos
Se dice que los números complejos ??????
5=??????+???????????? y ??????
6=??????+???????????? son iguales si
y solo si: ??????=?????? y ??????=??????.

Opuesto de un número complejo
Dado ??????=??????+???????????? se llama opuesto de z al número complejo −??????=−??????−????????????.
Ejemplo: ??????
5= 3−2?????? −??????
5= −3+2??????

Conjugado de un número complejo
Dado ??????=??????+???????????? se llama conjugado de z al número complejo ??????$=??????−????????????.

5. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 4

Ejemplos: Dados ??????
5= 3+2?????? , ??????
6=
5
6
−5?????? , ??????
7=√3 , ??????
8= −7??????
resultan ??????
5%= 3−2?????? , ??????
6%=
5
6
+5?????? , ??????
7%=√3 , ??????
8%= 7??????

Operaciones con números complejos en forma binómica
Si ??????
5=??????+???????????? y ??????
6=??????+???????????? entonces:
 ??????
5+??????
6=??????+????????????+??????+????????????=(??????+??????)+(??????+??????)??????
 ??????
5+(−??????
6)=??????
5−??????
6=??????+????????????−??????−????????????=(??????−??????)+(??????−??????)??????
 ??????
5.??????
6=(??????+????????????).(??????+????????????)=(??????+????????????).??????+(??????+????????????).????????????=
=??????.??????+????????????.??????+??????.????????????+????????????.????????????=??????.??????+??????.????????????+??????.????????????+??????.????????????
6
=
=(??????∙??????−??????.??????)+(??????.??????+??????.??????)??????
 ??????
5:??????
6=
?
-
?
.
∙
?
.$$$
?
.$$$
=
?>??
?>??
∙
????
????
=@
?∙?>?∙?
?
.
>?
.
A+@
?∙???.?
?
.
>?
.
A??????

Ejemplos: Dados ??????
5= 3+2?????? ?????? ??????
6= 1−2??????
??????
5+??????
6= 3+2??????+1+(−2)??????=(3+1)+(2−2)??????= 4+0??????
??????
5−??????
6= 3+2??????−1−(−2)??????= 2+4??????
??????
5.??????
6=(3+2??????).(1−2??????)=(3+4)+(−6+2)??????= 7−4??????
??????
5:??????
6=
??????
5
??????
6
=
3 + 2??????
1 − 2??????
=
3 + 2??????
1 − 2??????
∙
1 − (−2)??????
1 − (−2)??????
=
3.1 + 2(−2)
1
2
+ 2
2
+
2.1 − 3(−2)
1
2
+ 2
2
??????=
=
−1
5
+
8
5
??????

Ejercicio 3
i) Dados los números complejos ??????
5= −2+3?????? , ??????
6= 3−5??????,
??????
7= −√3+7?????? , ??????
8= 6?????? ??????
9= −5 , realiza las operaciones indicadas.
a) ??????
5+??????
6= d) ??????2
$$$$= g) ??????
5:??????
6= j) ??????
7+??????
5+??????
8=
b) ??????
5+??????
5%= e) −??????
7%= h) ??????
5
$$$$+??????4= k) ??????
5.??????
8=
c) ??????
5−??????
6= f) ??????
5.??????
6= i) ??????
9:??????
:= l) −??????3−??????1=

6. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 5

ii) Determina para qué valores de ?????? y ?????? los complejos ??????
5=??????+3?????? y
??????
6=
7
8
−???????????? son iguales.
Propiedades
1) ??????=??????̅⟺?????? ϵ ??????
2) ??????+??????̅= 2??????
3) ??????−??????̅= 2????????????
4) ??????.??????̅=??????
6
+??????
6

5) ??????
5+??????
6
$$$$$$$$$=??????
5%+??????
6%
6) ??????
5.??????
6$$$$$$$=??????
5%.??????
6%
7) −??????̅= −??????$$$$
8) @
?
-
?
.
A
$$$$$$
=
?
-
?
.$$$
%
??????
6≠ 0
9) @
5
?
A
$$$$$
=
5
?̅
??????≠ 0

Ejercicio 4. Compruebe la veracidad de las propiedades citadas.

El plano complejo
Los números complejos pueden definirse como el conjunto de los pares
ordenados (??????,??????) de números reales.
ℂ =??????×??????={(??????,??????):??????,?????? ϵ ??????} (?????? es la componente real, ?????? es la componente
imaginaria).
Puede establecerse una correspondencia biunívoca entre los pares (??????,0) y los
números reales ??????.
La unidad imaginaria se define: ??????=(0,1)
??????=??????+????????????⟷??????= (??????,??????)
Representación geométrica
Dado un sistema de ejes cartesianos ortogonales en el plano, se establece una
correspondencia binunívoca entre puntos del plano y pares ordenados de

7. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 6

números reales. Esto permite representar los números complejos, ya que ?????? se
corresponde con un punto ??????(??????,??????) del plano y recíprocamente.
??????(??????,??????)⟷??????=??????+????????????
?????? recibe el nombre de afijo de ??????.
Dicha correspondencia hace posible así hablar del Plano Complejo.
El eje de las abscisas se llama eje real ????????????(??????) y en él se representan los números
complejos de la forma ??????=??????+0??????⟷ (??????,0).
El eje de las ordenadas se llama eje imaginario ????????????(??????) y en él se representan
los números complejos puros ??????= 0+????????????⟷ (0,??????).
A cada número complejo le corresponde un vector ????????????$$$$$ de origen en ?????? y extremo
el afijo ?????? de ??????.
??????=??????+???????????? ⟷??????(??????,??????)⟷ ????????????$$$$$


Ejemplo:

8. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 7

Igualdad de complejos
Sean ??????
5=(??????,??????) y ??????
6=(??????,??????) entonces ??????
5=??????
6⇔??????=?????? ?????? ??????=??????.

Operaciones
Si ??????1=(??????,??????) y ??????
6=(??????,??????) resulta:
 ??????
5+??????
6=(??????,??????)+(??????,??????)= (??????+??????,??????+??????)
 ??????
5−??????
6=??????
5+(−??????
6)=(??????,??????)+(−??????,−??????)= (??????−??????,??????−??????)
 ??????
5∙??????
6=(??????,??????).(??????,??????)= (??????.??????−??????.??????,??????.??????+??????.??????)
 ??????
5:??????
6=
?
-
?
.
=
?
-
?
.
∙
?
.$$$
?
.$$$
=
(?,?)
(?,?)
∙
(?,?)$$$$$$$
(?,?)$$$$$$$
=
(?,?)
(?,?)
∙
(?,??)
(?,??)
=
=(??????,??????).l
??????
??????
6
+??????
6
,
−??????
??????
6
+??????
6
p=l
??????.??????+??????.??????
??????
6
+??????
6
,
??????.??????−??????.??????
??????
6
+??????
6
??????p
 ??????
?
=??????.??????…?????? ?????? veces, ??????∈ℕ−{1}

Ejercicio 5. Realiza las operaciones establecidas para los números complejos
indicados.
??????
5=(3,−2) ,??????
6=(−3,5) , ??????
7= (−√3,6) , ??????
8=(0,5) , ??????
9= (−6,0)
a) ??????
5+??????
6= d) ??????
5$$$$= g) ??????
5:??????
6=
b) ??????
5+??????
6%= e) ??????
5
6
= h) ??????
5
$$$=
c) ??????
5−??????
6%= f) ??????
5.??????
6= i) ??????
8%+??????
9=

Módulo y argumento de un número complejo
Se llama módulo de un número complejo ??????=??????+???????????? al número real positivo,
igual a la longitud del vector ????????????
$$$$$$
donde P es el afijo de ??????. Y simbolizamos con la
letra ?????? o |??????|.

9. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 8

Se observa gráficamente y utilizando el teorema de Pitágoras que:
??????=|??????|=√??????
6
+??????
6
.
Ejemplo: |??????
5|=√3
6
+2
6
=√13 |??????
6|=?(−4)
6
+1
6
=√17


Ejercicio 6. Determina los módulos de los siguientes números complejos
??????
5= −2+3?????? ??????
6= 3+1?????? ??????
7=√2+√2i ??????
8= 6??????
??????
9= −2 ??????
:=(1,5) ??????
;=(−1,4) ??????
<= (−3,−3)

Se llama argumento de un número complejo ??????=??????+???????????? al ángulo
∝ que forma la dirección positiva del eje Re(??????) con el vector asociado a z.


El complejo ??????=0 no posee argumento.
Si ∝ y ∝
?
son dos argumentos de z entonces ??????=??????
′
+2???????????? .
Se llama argumento principal de ??????: ∝=arg(??????), 0 ≤∝<2??????,
????????????∝=
?
?
??????≠ 0

10. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 9

Si a=0 y b>0 entonces arg(z)=
?
6


Si a=0 y b<0 entonces arg(z)=
7?
6


Si b=0 y a>0 entonces arg(z)=0

Si b=0 y a<0 entonces arg(z)=π


Algunos ejemplos más:
??????={??????∈ ℂ/ |??????|=??????} ??????={??????∈ ℂ/ ??????≤|??????|≤??????}


??????={??????∈ ℂ/ |????????????(??????)|≤??????} ??????={??????∈ ℂ / |??????|<??????}

??????={??????∈ ℂ/−?????? ≤????????????(??????) <??????∧|????????????(??????)|< 1} ??????={??????∈ ∁/ |????????????(??????)|≤??????}

11. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 10


??????=D??????∈ ∁/|??????|= 1 ∧ 0 ≤??????????????????(??????) ≤
??????
??????
E


Forma trigonométrica de un número complejo

Como puede observarse en figura ??????=????????????????????????∝ y ??????=????????????????????????∝ , lo que permite
expresar a ?????? en su forma trigonométrica:
??????=??????(??????????????????∝ +????????????????????????∝)
??????=??????+????????????⟷??????=(??????,??????)⟷??????(??????????????????∝)+??????(??????????????????∝)??????

Ejemplo: ??????
5= 3+2?????? , ??????
6= −4+?????? , ??????
7= 2−2?????? , ??????
8= −1−3??????
????????????∝
5=
2
3
, ????????????∝
6=
1
−4
, ???????????? ∝
7=
−2
2
, ????????????∝
8=
−3
−1

12. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 11

∝
5= 33°41′24′′ , ∝
6= −14°2
?
10
??
, ∝
7= −45°, ∝
8=71°33’54’’

?????????????????? ??????
5= 33°41
?
24
??
?????????????????? ??????
6= −14°2
?
10
??
+ 180° = 165°57′50′′



?????????????????? ??????
7= −45°+ 360°= 315° ?????????????????? ??????
8= 71°33’54’’°+ 180°= 251°33′54′′


Ejercicio 7
a) Representa gráficamente los siguientes números complejos indicando a que
cuadrante o eje pertenecen.
??????
5= −2+3?????? , ??????
6= 3+1?????? , ??????
7= −√2−√2i ,
??????
8= 6?????? , ??????
9= −2, ??????
:=
5
6
−??????
b) Representa los siguientes conjuntos del plano complejo.
??????={??????∈ ∁/ |??????|≤??????}
??????={??????∈ ∁/ ??????≤|??????|≤??????}
??????={??????∈ ∁/ |????????????(??????)|≤??????}

13. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 12

??????={??????∈ ∁/ |????????????(??????)|< 2 ∧|????????????(??????)|≤??????}
??????={??????∈ ∁/−?????? ≤????????????(??????) < 3 ∧????????????(??????) = 1}
??????=D??????∈ ∁/|??????|< 3 ∧??????????????????(??????) =
??????
??????
E
??????=D??????∈ ∁/??????≤|??????|≤??????∧|??????????????????(??????)|≤
??????
??????
E
c) Determina, justificando tu respuesta, si ??????
5∈??????,??????
6∈??????,??????
9∈??????,??????
7∈??????,
??????
8∈??????, ??????
:∈??????.

Forma polar de un número complejo
Sea ??????=??????+????????????=|??????|(??????????????????∝ +????????????????????????∝) llamamos Forma Polar a la
expresión: ??????=|??????|
∝=??????
.
Ejemplos: ??????
5=2−2?????? , ??????
1
=|??????1|
∝=?2
2
+(−2)
2
7??????
4
, ??????1=√87??????
4

??????
6=−3?????? ??????2=33??????
2

??????
7=4 ??????3=40

Igualdad de complejos en su forma polar
Sean ??????
5=|??????
5|

-
y ??????
6=|??????
6|

.
entonces ??????1=??????2⟺|??????1|=|??????2| ∧
??????1=??????2+2???????????? , ?????? ?????? ℤ.

Operaciones en Forma polar
Dados ??????
5=|??????
5|

-
y ??????2=|??????2|
??????
2

 ??????
5.??????
6=|??????
5|

-
.|??????
6|

.
=(|??????
5|.|??????
6|)
(
->
.)

?
-
?
.
=
|?
-|
-
|?
.|
.
=@
|?
-|
|?
.|
A
(
-?
.)
??????
6≠ 0

Ejemplos: ??????
5=√83
0
, ??????
2= 3.
/
, ??????
7= 4
4
??????
5.??????
6=√83
0
.3.
/
=k3√8o
@
-0
2
A
=k3√8o
@
3
/
A

14. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 13

??????
6
??????
7
=
3.
/
4
4
=l
3
4
p
.
/


Ejercicio 8. Dados los números complejos
??????
5= 1+?????? , ??????
6= 3−3?????? , ??????
7= −1+√3?????? , ??????
8= −1−√3??????
exprésalos en forma polar y realiza las operaciones establecidas.
a) ??????
5.??????
6= b) ??????
7.??????
8= c) ??????
6:??????
5=
d) ??????
5.??????
7= e) ??????
8:??????
7= f) ??????
5.??????
7.??????
8=

Pasaje de una forma a la otra

??????=??????+????????????
|??????|=???????
6
+??????
6
, ??????????????????=
??????
??????

??????≠0
??????=|??????|
∝
??????=|??????|(??????????????????∝+????????????????????????∝)

??????=|??????|
∝
??????=|??????|(??????????????????∝)
??????=|??????|(??????????????????∝)
??????=|??????|(??????????????????∝+????????????????????????∝)
??????=|z|cos∝+i |z|sen∝
??????=??????+????????????

??????=|z|(cos∝+isen∝)
??????=|z|cos∝+i |z|sen∝
??????=??????+????????????
??????=|??????|
∝
??????=??????+????????????⟷??????=(??????,??????)⟷|??????|(??????????????????∝)+|??????|(??????????????????∝)??????⟷|??????|
∝

Ejemplo: ??????=2−2?????? ??????=|??????|
∝=?2
2
+(−2)
2
7??????
4
=√87??????
4

??????=|??????|(??????????????????∝ +????????????????????????∝)=√8l??????????????????
7??????
4
+????????????????????????
7??????
4
p
=√8@
√6
6
+
k?√6o
6
??????A= 2−2??????
??????= 2−2??????⟷??????=(2,−2)⟷√8l??????????????????
7??????
4
p+√8l??????????????????
7??????
4
p??????⟷√83
0


Recuerdo:

15. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 14

 0
6


4


3


2


3
2

4
3

6
5



2
sen 0
2
1

2
1

2
3

1
2
3

2
1

2
1

0 -1 0
cos 1
2
3

2
1

2
1

0
-
2
1
-
2
1
-
2
3

-1 0 1

Ejercicio 9. Expresa los siguientes números complejos en forma binómica.
??????
5= 5
4 , ??????
6= 23
2
, ??????
7= 4/
.
, ??????
8= 21
/
, ??????
9= 1
2
, ??????
:=√20
/


Potencia entera de un número complejo
Sea ??????=|??????|
∝, ?????? ?????? ℤ resulta ??????
?
=|??????|
?
?.


Ejemplo: ??????=2−2?????? ??????=|??????|
∝=?2
2
+(−2)
2
7??????
4
=√87??????
4

??????
7
=k√8o
7
.-
0


Ejercicio 10. Realiza las operaciones indicadas.
??????
5= 5
4 , ??????
6= 23
2
, ??????
7= 4/
.
, ??????
8= 21
/
, ??????
9= 1
2
, ??????
:=√20
/

??????) ??????
5
7
= b) ??????
6
8
= c) ??????
7
6
= d) ??????
8
6
= e) ??????
9
<
= f) ??????
:
8
=

Raíz enésima de un número complejo
Sea ??????=??????+???????????? se llama raíz enésima a toda solución de la ecuación
??????
?
=??????+????????????,?????? ?????? ℕ−{1}. Se indica ??????=???????+????????????
??????
.

Teorema: Todo complejo ??????=|??????|
∝ tiene exactamente ?????? raíces enésimas
dadas por: √??????
?
=?|??????|
?

∝6.?
?
; ??????= 0,1,2..,n − 1.
Observación. Todas las raíces enésimas tienen igual módulo ?|??????|
?
y sus
argumentos difieren en
6
?
radianes, por lo tanto, los afijos de estas raíces son
2
3

16. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 15

los vértices de un polígono regular de ?????? lados, inscripto en una circunferencia de
radio ?|??????|
?
.
Ejemplos:
a) Calcular las raíces cuartas de ??????= 1
√1
0
= 1,6.?
0
= 1?
.
??????= 0,1,2..,3
??????
4= 1
4= 1, ??????
5= 1
.
=??????, ??????
6= 1
= −1, ??????
7= 1/
.
= −??????

b) Calcular las raíces quintas de ??????=??????
√??????
1
= 1
.
6.?
1
??????= 0,1,2..,4
??????
4= 1
-,
, ??????
5= 1
.

, ??????
6= 15
-,

, ??????
7= 1-/
-,
, ??????
8= 1-3
-,


c) Calcular √1+??????
/

?√2
/
=√2
2

0
6.?
/
??????= 0,1,2.
??????
4= √2
2

-.
, ??????
5=√2
2
/
0
, ??????
6=√2
2
-3
-.


d) Calcular ??????
:
+ 1 = 0
??????
:
= −1 √−1
6
=1??????+2????????????
6
??????=0,1,2..,5.
??????
4= 1
2
, ??????
5= 1
.
, ??????
6= 11
2
, ??????
7= 13
2
, ??????
8= 1/
.
, ??????
9= 1--
2

Ejercicio 11
i) Calcula: a) √−??????
/
= b) √??????= c) √1+??????
0
= d) √1−??????
/
=
ii) Encuentra el conjunto solución: ??????
9
+1 = 0

17. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 16

RESPUESTAS
Ejercicio 1

????????????(??????
5)= −2 ????????????(??????
5)= −4
????????????(??????
6)=
??????
??????
????????????(??????
6)= 5
????????????(??????
7)=√2 ????????????(??????
7)= −6
????????????(??????
8)= 0 ????????????(??????
8)= −3
????????????(??????
9)= 1000 ????????????(??????
9)= 0

Ejercicio 2

??????
;
= −??????, ??????
5444
= 1, ??????
6:
= −1, ??????
769
=??????

Ejercicio 3
i) a) ??????
5+??????
6= 1 − 2?????? b) ??????
5+??????
5%= −4
c) ??????
5−??????
6= −5 + 8?????? d) ??????
6$$$$= 3 + 5??????
e) −??????
7%=√3+ 7?????? f) ??????
5.??????
6= 9 + 19??????
g) ??????
5:??????
6= −
65
78
−
5
78
?????? h) ??????
9$$$$+??????
8= −5 + 6??????
i) ??????
9:??????
:=
9
:
?????? j) ??????
7+??????
5+??????
8=k−2 −√3o+ 16??????
k) ??????
5.??????
8= −18 − 12?????? l) −??????
7−??????
5=k√3+ 2o− 10??????
ii) ??????=
7
8
??????= −3

Ejercicio 4
1) ??????=??????̅⟺??????+????????????=??????−????????????⟺????????????= −????????????⟺??????= 0 ⟺?????? ϵ ??????
2) ??????+??????̅=(??????+????????????)+(??????−????????????)=??????+??????+????????????−????????????= 2??????
3) ??????−??????̅=(??????+????????????)−(??????−????????????)=??????+????????????−??????+????????????= 2????????????
4) ??????.??????̅=(??????+????????????).(??????−????????????)=????????????+??????????????????−??????????????????−??????????????????
6
=??????
6
+??????
6

5) ??????
5+??????
6
$$$$$$$$$=(??????+????????????)+(??????+????????????)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
=(??????+??????)+(??????+??????)??????
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
=
=(??????+??????)−(??????+??????)??????=(??????+??????)+(−??????−??????)??????=
=??????+??????−????????????−????????????= (??????−????????????)+(??????−????????????) =??????
5%+??????
6%

18. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 17

6) ??????
5.??????
6$$$$$$$=(??????+????????????).(??????+????????????)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
=(??????.??????−????????????)+(????????????+????????????)??????
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
=
=(????????????−????????????)+(−????????????−????????????)??????=????????????−????????????−??????????????????−??????????????????=
=????????????−??????????????????−??????????????????+??????????????????
6
=(??????−????????????).(??????−????????????) =??????
5%.??????
6%
7) −??????̅= −(??????−????????????)= −??????+????????????= −??????−????????????$$$$$$$$$$= −(??????+????????????)$$$$$$$$$$$$$
= −??????$$$$
8) @
?
-
?
.
A
$$$$$$
=@
?>?*
?>?*
A
$$$$$$$$$
=@
?.?>?.?
?
.
>?
.
A+@
?.???.?
?
.
>?
.
A??????
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
=
=@
?.?>?.?
?
.
>?
.
A+@
??.?>?.?
?
.
>?
.
A=
????
????
?>??
?>??
=
????
????
=
?>?*$$$$$$$
?>?*$$$$$$$
=
?
-
?
.$$$
%
??????
6≠ 0
9) @
5
?
A
$$$$$
=
5%
?̅
=
5
?̅
??????≠ 0
Ejercicio 5
a) ??????
5+??????
6= (0,3) d) ??????
5$$$$=(3,2) g) ??????
5:??????
6=@
?5
78
,
65
78
??????A
b) ??????
5+??????
6%= (0,−7) e) ??????
5
6
= (5,−12) h) ??????
5
$$$=(-6,0)
c) ??????
5−??????
6%= (6,3) f) ??????
5.??????
6= (1,21) i) ??????
8%+??????
9= (−6,−5)
Ejercicio 6
|??????
5|=√13, |??????
6|=√10 ,|??????
7|= 2, |??????
8|= 6,
|??????
9|= 2, |??????
:|=√26, |??????
;|=√17, |??????
<|=√18
Ejercicio 7

a) ??????
5∈???????????? ??????, ??????
6∈?????? ?????? , ??????
7∈?????????????????? ??????,
??????
8∈?????????????????? ????????????????????????. , ??????
9∈?????????????????? ????????????????????????, ??????
:∈???????????? ??????
c) ??????
5∈??????,??????
6∉??????,??????
9∉??????,??????
7∉??????, ??????
8∈??????, ??????
:∈??????.
Ejercicio 8
??????
5=√2


0
, ??????
6=√18 3
0
, ??????
7= 2.
/
, ??????
8= 20
/

a) ??????
5.??????
6= 6
4 , b) ??????
7.??????
8= 4
4, c) ??????
6:??????
5= 3 /
.
,
d) ??????
5.??????
7= 2√2 --
-.
, e) ??????
8:??????
7= 1 .
/
f) ??????
5.??????
7.??????
8= 4√2
0

Ejercicio 9

19. Números Complejos
Mgter. Viviana D'Agostini 18

??????
5= 5 , ??????
6= −√3−??????, ??????
7= −4?????? ,
??????
8= 1−√3?????? , ??????
9=
√7
6
+
5
6
??????, ??????
:= −
√6
6
−
√:
6
??????
Ejercicio 10
??????) (50)
7
=1250 b) l27??????
6
p
8
=162??????
3
c) l43??????
2
p
6
=160
d) l25??????
3
p
6
=44??????
3
e) @1??????
6
A
<
=14??????
3
f) l√24??????
3
p
6
=22??????
3

Ejercicio 11
i) a) 1/
.
6.?
/
??????= 0,1,2. ??????
4= 1
.
, ??????
5= 13
2
, ??????
6= 1--
2

b) √??????
.
= 1
.
6.?
.
??????= 0,1. ??????
4= 1
0
, ??????
5= 11
0

c) √2
4

0
6.?
0
??????= 0,1,2,3.
??????
4= √2
4

-2
, ??????
5=√2
4
5
-2
, ??????
6=√2
4
-3
-2
, ??????
7= √2
4
.1
-2

d) √2
2
3
0
6.?
/
??????= 0,1,2. ??????
4= √2
2
3
-.
, ??????
5=√2
2
1
0
, ??????
6=√2
2
./
-.

ii) ??????
9
+1 = 0 ??????=√−1
1

√−1
5
=1??????+2????????????
5
??????=0,1,2..,4.
??????
4= 1
1
, ??????
5= 1/
1
, ??????
6= 1
, ??????
7= 13
1
, ??????
8= 15
1



Bibliografìa
- Guzmán, M. (20007). Curso Introductorio Matemática. Rosario: UNREditora.
- Stewart, J., Redlin, L., Watson, S. (2012). Précalculo. Matemáticas para el
Cálculo. México: Cengage Learning.
- Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. México: Pearson.
- Swokowski, E; Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría
Analítica. México: Cengage Learning.