NÚMEROS COMPLEXOS

CAPÍTULO 1 - NÚMEROS COMPLEXOS

1. Cálculo Avançado A - Números Complexos
1
CAPÍTULO I – NÚMEROS COMPLEXOS
1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Podemos considerar que números complexos são pares ordenados cujos componentes são de
números reais. Para definirmos as operações com números complexos vamos considerar,
( ) ( ).y,xzey,xz
222111 ==
Desta forma, obtemos que:
Identidade:
212121 yyexx,sesomentee,sezz === (1.1)
Adição:
( )
212121 yy,xxzz ++=+ (1.2)
Multiplicação:
( )
2121212121 x.yy.x,y.yx.xz.z +-= (1.3)
Exercício:
Mostre que estas operações obedecem as leis comutativa, associativa e distributiva da álgebra.
O número complexo que possui a forma especial (1,0) é chamado de unidade Real e usamos
escrever que, 1=(1,0).
O número complexo (0,1) é a unidade imaginária e é denotado (notado por i na literatura
matemática) como, ()1,0j= .
Como conseqüência das notações acima, podemos escrever um número complexo em termos
da unidade Real e Imaginária, como
()()()()() yjx1,0y0,1xy,00,xy,xz +=+=+== (1.4)
que é chamada de forma algébrica ou cartesiana do número complexo z.
Chamamos x de parte real de z e y de parte imaginária de z, e denotamos como,

2. Cálculo Avançado A - Números Complexos
2
()zRex= e ()zImy= .
Note que Re(z) e Im(z) são, respectivamente, o primeiro e o segundo elementos do par
ordenado z=(x, y), sendo assim , são números Reais.
Observe que,
()()()10,11,0.1,0jjj
2
-=-==×= . (1.5)
Consequentemente, podemos observar que,
K1jjjjj;jjjj;1j;jj;1j
3423210
=-==-==-=== (1.6)
Ou seja,
() KK ,3,2,1ke,2,1,0nonde;jj1jjjjj
kknkn4kn4kn4
======
+
(1.7)
Conjugado de um Número Complexo
Chamamos de conjugado de um número complexo yjxz+= ao número, yjxzz -==
*
.
Isto é, dado um número z seu conjugado z é obtido pela troca de sinal da parte imaginária de z.
Geometricamente, esta operação implica em um rebatimento no eixo dos reais.
PROPRIEDADES:
1) () ()
()
2
zz
zRezRe
+
== 2)() ()
()
j2
zz
zImzIm
-
=-=
3) ÂÎÛ= zzz 4)
2121
zzzz +=+
5)
2121
z.zz.z= 6) ()( ) ()( )
22
zImzRez.z +=
Divisão de Números Complexos na Forma Algébrica
Define-se a divisão como o inverso da multiplicação. Assim:
,
yx
yxyx
,
yx
yyxx
zolog,z.zz
z
z
z
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
331
2
1
3
2 ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
+
+
==Û= (1.8)
Na prática, para dividirmos dois números complexos, multiplicamos numerador e
denominador pelo conjugado do denominador e, assim, através da propriedade 6 do conjugado,
obtemos o mesmo que (1.8) de forma mais rápida. Assim:

3. Cálculo Avançado A - Números Complexos
3
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
2
2
1
2
1
yx
yxyx
j
yx
yyxx
z
z
z
z
z
z
+
-
+
+
+
=×= . (1.9)
Forma Trigonométrica de um Número Complexo
Um número complexo jyxz+= pode ser representado por um ponto no plano, como mostra
a figura 1.1. Podemos determinar este ponto através de coordenadas cartesianas, isto é, jyxz+= .





Figura 1.1: O número complexo z como um ponto no z-plano.
Mas também podemos determinar o ponto z no plano conhecendo sua distância da origem e o ângulo
que forma com o eixo dos Reais positivos. Para tanto, vamos definir módulo e argumento de número
complexo.
Módulo de z:
Chamamos de módulo de z a distância do ponto z até a origem, isto é:
( )
2/1
22
yxzr +== (1.10)
PROPRIEDADES:
1.0z³ 2. 0z0z =Û=
3. zz= 4. z.zz
2
=
5.
2121 z.zz.z= 6.
2
1
2
1
z
z
z
z
=
OBSERVAÇÃO: O conjunto dos números complexos não é um conjunto ordenado, logo não
podem existir desigualdades entre números complexos, mas apenas entre seus módulos, que são
números Reais e Positivos.
x
y
f
z
z

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4
Argumento de z:
Chamamos de argumento de um número complexo z, não nulo, ao ângulo Q que o segmento
de reta que liga a origem ao ponto z faz com o eixo dos x, isto é,
Q==Q=Q tan
x
y
ou
z
y
sene
z
x
cos . (1.11)
Devemos observar que Q não é único, pois qualquer variação de um múltiplo inteiro de 2 p
resultará em um mesmo valor para o coseno e o seno de Q. Assim, podemos escrever que:
.eirointekonde,k2 ¢p+f=Q (1.12)
De posse das definições de módulo e argumento de um número complexo, podemos escrever,
( ) ( ) ( )( )p+f+p+f=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=+=+= k2sinjk2cosz
z
y
j
z
x
zjyx
z
z
jyxz . (1.13)
Em livros de Engenharia Elétrica é comum usar a seguinte notação,
( ) ( )[ ] p+f=p+f+p+f= k2/zk2senjk2coszz para kÎZ. (1.14)
Note que a representação de um número complexo em sua forma polar (ou trigonométrica)
não é única, pois para cada k inteiro teremos uma representação distinta do mesmo número.
PROPRIEDADES:
1.( )
2121 zargzargzzarg +=× 2.
21
2
1
zargzarg
z
z
arg -=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ

Multiplicação e divisão na forma trigonométrica
Sejam p+f= k2/rz
111
e p+f= k2/rz
222
. Assim:
p+f+f×= k2)(rrz.z
21/2121
(1.15)
p+f-f= k2)(/
r
r
z
z
21
2
1
2
1
(1.16)
Exercício:
Prove as afirmações (1 e 2, usando para isto as fórmulas trigonométricas:
( ) ( ).BAcoseBAsen ±±

5. Cálculo Avançado A - Números Complexos
5
Potenciação e Radiciação
Em vista dos resultados para a multiplicação e divisão, uma definição de potência de um
número Complexo pode ser dada por:
p+f=×= k2n/rzz.zz
n
vezesn
n
K (1.17)
Para definirmos raiz de um número complexo, vamos fazê-lo de forma intuitiva.
Primeiramente, vamos calcular a raiz quadrada de um número complexo, considerando os seguintes
números:
p+f= k2/rz (1.18)
e
() ,m2/szw
2/1
p+j== (1.19)
ou
,k2/rm22/szw.w
2
p+f=p+jÛ= (1.20)
onde z é um número conhecido e w é a raiz quadrada de z que queremos determinar.
Vamos considerar que k – m = 0, daí por (1.20) temos que,
rsrs
2
=Û= e
2
2
f
=jÛf=j . (1.21)
Assim uma das raízes quadradas de z é dada por, p+==
f
k2/rwz
2
2/1
.
Vamos repetir o mesmo processo para k – m = 1, assim temos,
rsrs
2
=Û= e p+
f
=jÛp+f=j
2
22 . (1.22)
Assim, a segunda raiz quadrada de z é dada por, p++==
f
)1k2(/rwz
2
2
1
.
Se fizéssemos o mesmo processo para k – m = 2, repetiríamos a primeira raiz encontrada, ou
seja, as duas raízes quadradas de um número complexo z são dadas por,
.eirointme1,0kparam2/r
)1m2(/rw
m2/rw
z
2
k2
2
2
2
2
1
=p++=
ï
î
ï
í
ì
p++=
p+=
=
pf
f
f
(1.23)

6. Cálculo Avançado A - Números Complexos
6
Através do mesmo raciocínio anterior, podemos generalizar a fórmula (1.17) para calcular as
n raízes n-ésimas de um número complexo z, que são dadas pela fórmula:
()() () .eirointme1n,...,1,0kparam2/rz
n
k2
n
n
1
n
1
-=p++=
pf
(1.24)
2. ALGUMAS FUNÇÕES TRANSCENDENT AIS:
Nesta seção, estudaremos algumas funções de números complexos importantes no estudo de
Engenharia: a função exponencial, as funções trigonométricas e as funções hiperbólicas.
A Função Exponencial:
Para definir a função exponencial, devemos lembrar que:
()
( )
()
()
ååå
¥
=
¥
=
+¥
=
-
=
+
-
==
0n
n2n
0n
1n2n
0n
n
t
!n2
t1
tcose
!1n2
t1
tsen,
!n
t
e . (2.1)
Assim, substituindo t por j y na primeira série, obtemos que:

()
() ( )
()
()
()
( )
()
()
()
( )
.ysenjycos
!1n2
y1
j
!n2
y1
!1n2
yjj
!n2
yj
!1n2
yj
!n2
yj
!n
yj
e
0n
1n2n
0n
n2n
0n 0n
1n2
n
2n2
n
21n21n2n2n2
0n
n
jy
+=
+
-
+
-
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+==
åå
å åå
¥
=
+¥
=
¥
=
¥
=
+++¥
=
(2.2)
Portanto,
( )ysenjycoseeeee
xyjxyjxz
+===
+
(2.3)
e assim definimos a Função Exponencial Complexa, como sendo:
( )ysenjycos
x
e
z
e +=
Observe que,
( ) p+==+= k2y/1ytantanarc/1ysinjycose
yj
(2.4)
Isto quer dizer que podemos escrever um número complexo z em uma forma abreviada,
( )
q
=q+q=
j
ezsenjcoszz , (2.5)
PROPRIEDADES:

7. Cálculo Avançado A - Números Complexos
7
0e.1
z
¹ 1e.2
0
=
2121 zzzz
eee.3 ×=
+

zz
ee.4 =
jk2zz
ee.5
p+
= ()yeargeee.6
zxz
==
Exercício: Demonstre as propriedades acima.
Exercício: Encontre todas as soluções complexas de j
z
e-=.
Utilizando a equação (2.3) acima e considerando que dois números complexos são iguais
quando suas partes real e imaginária são iguais, obtemos que:
.k2
2
3
y0senye0ycos1senyee0ycose
0exx
x
p+
p
=®<=¾¾®¾-==
>

Conseqüentemente, sen y = -1 e e
x
= 1, ou seja, x = 0. Assim, as soluções da equação
j
z
e-=, são ÷
ø
ö
ç
è
æ
p+
p
+= k2
2
3
j0z .
Por outro lado, existe um caminho mais simples de resolver a equação acima. Para tanto,
devemos considerar que dois números complexos não nulos serão iguais se tiverem o mesmo módulo e
seus argumentos diferirem em um múltiplo inteiro de 2p. Assim, utilizando a propriedade 6 acima,
teremos que:
() p+
p
==®p+
p
=p+-===-== k2
2
3
ye0xk2
2
3
k2)jarg(yearge1jee
zxz
.
As Funções Trigonométricas e Hiperbólicas:
Através da definição de função exponencial, podemos definir as funções Trigonométricas e
Hiperbólicas, quais sejam:
A função Seno Hiperbólico de z:
2
z
e
z
e
zsenh
-
-
= . (2.6a)
A função Coseno Hiperbólico de z:
2
z
e
z
e
zcosh
-
+
= . (2.6b)

8. Cálculo Avançado A - Números Complexos
8
A função Seno Trigonométrico de z:
j2
ee
zsen
jzjz-
-
= . (2.6c)
A função Coseno Trigonométrico de z:
2
ee
zcos
jzjz-
+
= . (2.6d)
As demais funções Trigonométricas e Hiperbólicas (tg z, sec z, tgh z, sech z, ...) são definidas
como nos reais e a nomenclatura é a mesma usada no caso real, pois quando restringimos o domínio
destas funções aos Reais elas coincidem c om as respectivas funções Reais, mas note que nos
complexos, as interpretações geométricas estão perdidas.
OBSERVAÇÃO:
Uma ilustração desta afirmação será feita para cos z. Da equação (2.6d) tem-se que, se z é
Real,
( ) ( )
( ) () ()( )
xcos
2
xsenjxcosxsenjxcos
2
xsenxcosxsenjxcos
2
ee
2
ee
zcos
0jxj0jxjjzjz
=
-++
=
=
-+-++
=
+
=
+
=
+-+-
(2.7)
Utilizando as equações (2.6), chegamos a identidade importantes, tais como:
zsenhj)jzsen(= zsenj)jzsenh(=
zcosh)jzcos(= zcos)jzcosh(=
1
22
=+ zcoszsen
( )
212121 zsenzsenzcos.zcoszzcos m=±
( )
212121 zsenzcoszcos.zsenzzsen ±=±
() ()zsenzsen=- () ()zcoszcos=-
1
22
=- zsenhzcosh
( )
212121 zsenhzsenhzcoshzcoshzzcosh ±=±
( )
212121 zsenhzcoshzcosh.zsenhzzsenh ±=±
)zsenh()zsenh( -=- () ()zcoshzcos=-

9. Cálculo Avançado A - Números Complexos
9
Exercício: Mostre a validade das fórmulas acima.
Exemplo 1: Vamos agora encontrar todas as soluções complexas da equação cos z = 0.
2
ee
xsenj
2
ee
xcos
2
ee
zcos0
yyyyjzjz ---
-
-
+
=
+
== . (2.8)
Para que esta igualdade ocorra devemos ter que:
.
2
)1k2(x0xcos0eee0
2
ee
xcos
yy
yy
p
+=Þ=Þ¹+=
+ -
-

0y0eee0xsen0xcose0
2
ee
xsen
yy
yy
=Þ=-¹Þ==
- -
-
.
Assim, obtemos que cos z = 0 para cada z complexo tal que:
( ) .0j
2
1k2z +
p
+=
Outro caminho a ser utilizado consiste em transformar a função trigonométrica ou hiperbólica
envolvida em exponenciais. Assim:
()
.
2
)1k2(xe0y
)1k2(k2)1arg(x2earge11ee1e
1e
e
1
ee0ee0zcos
jz2y2jz2jz2
jz2
jz
jzjzjzjz
p
+==®
p+=p+-===-==®-=
-=®-=-=®=+®=
-
--

Exemplo 2: Vamos encontrar todos os pontos do plano complexo onde cosh z é zero, assim,
temos que:
( ) ( )
( ) 0xe
2
1n2y0eee0ycos
0yseneejycosee0ee0zcosh
xx
xxxxzz
=
p
+=Û=-=Û
=-++Û=+Û=
-
---
(2.9)
Desta forma, todas soluções complexas da equação cosh z = 0 são:
( ),
2
1n2j0z
p
++=
os quais são infinitos pontos igualmente espaçados sobre o eixo imaginário.